137013090 Trabajo Colaborativo 3 Ecuaciones Diferenciales
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ECUACIONES DIFERENCIALES
100412
ACTIVIDAD
TRABAJO COLABORATIVO 3
ELABORADO POR:
TUTOR:
RICARDO GOMEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
2012
ACTIVIDADES
1. Hallar el radio de convergencia de las siguientes series:
A. 1n
∞
=∑ ( )
3
3n
x
n
−
1Lim anu
n an
+ =→ ∞
Lim
n → ∞
( )( )( )
( )( ) ( )
( )( )
1
3 1 3 3
3
3
3
1 3 3
13 3 1
n
n
n n
x
n x n x nLim Lim
n n nx x n
n
+
+
−
+ − −= =
→ ∞ → ∞ +− − +
( )3
33
1
Lim nx
n n= −
→ ∞ +
3x= −
1 31 1x − ∠
1 3 1x− ∠ − ∠
1 3 1 3x− + ∠ ∠ +
2 4x∠ ∠ 1r =
B. 1n
∞
=∑ ( )1
n
nxn
−
Lim
n → ∞
( )
( )( )
( ) ( )
1 1
1 11
111 1 1
n n
n n
n nn n
xn xLimn
nx n x
n
+ +
+ +−
−+ =→ ∞− + −
( )1
1
n xLim
n n
−=
→ ∞ +
1
Lim nxn n
= −→ ∞ +
x= −
1 1 1x− ∠
1 1x∠ ∠
1r =
2. Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en
forma de serie
A. ' 0y y+ =
- Se considera como solución: 0
n
n
y cnx∞
=
= ∑
- Derivamos la ecuación anterior: 1
0
´ n
n
y ncnx∞
−
=
= ∑
- Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación
diferencial =
' 0y y+ =
1
0 0
0n n
n n
ncnx cnx∞ ∞
−
= =
+ =∑ ∑
1
0 0
n n
n n
ncnx cnx∞ ∞
−
= =
=−∑ ∑
( )0 0
1 1 n n
n n
n cn x cnx∞ ∞
= =
+ + =−∑ ∑
- Comparamos los coeficientes de los dos miembros y hallamos los
valores de C:
( )
, 0 : 1 0
1 0, 1: 2
2 2 1 02 0 0
!, 2 : 33 2.3 3!
3 0 0, 3 : 4
4 2 3 4 4!
n
Si n c c
c cSi n c
ccnc c c
nSi n c
c c cSi n c
x x
= = − − = = = − =− = = = − = −
− − = = = − =
- Sustituimos Cn en la solución considerada en el paso 1
( )
0
1 0
!
n
n
n
cy x
n
∞
=
−=∑
3. Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en
forma de serie:
A. ( ) ( )1 ´ 2 0x y x y+ + + =
- Se considera como solución 0
n
n
y cnx∞
=
=∑
- Su derivada 1
0
´ n
n
y ncnx∞
−
=
= ∑
- Sustituimos los resultados anteriores en la E.D
( ) ( )1 ´ 2 0x y x y+ + + =
( ) ( ) 1
0 0
1 2 0n n
n n
x cnx x ncnx∞ ∞
−
= =
+ + + =∑ ∑
1 1
0 0 0 0
2 0n n n n
n n n n
cnx cnx ncnx ncnx∞ ∞ ∞ ∞
+ −
= = = =
+ + + =∑ ∑ ∑ ∑
0 0 0 0
1 2 1 1 0n n n n
n n n n
cn x cnx cncx n cn x∞ ∞ ∞ ∞
= = = =
− + + + + + =∑ ∑ ∑ ∑
- Comparamos los coeficientes
( )1 2 1 1cn cn ncn n cn− = − − − + +
