UTILIZACIN DEL MTODO DE ELEMENTOS FINITOS DISCONTINUOS PARA LA RESOLUCIN DE LA ECUACIN DE

TRANSFERENCIA RADIATIVA

Christian U. lvarez Tagliabue, Pablo Marino

Centro de Investigacin Industrial (CINI), Tenaris Siderca, Dr. Jorge A. Simini 250, Campana, Argentina, pamarino@tenaris.com, http://www.tenaris.com/Argentina/es/

Palabras Clave: Radiacin, Galerkin Discontinuo, Transferencia de Calor, Elementos Finitos Discontinuos, Ecuacin de Transferencia Radiativa, Factores de Vista

Resumen. En numerosos procesos industriales de calentamiento, la combustin del gas natural se realiza en cmaras que se encuentran separadas de la que se utiliza para el calentamiento de la carga. En estos casos, el clculo del calentamiento implica la resolucin conjunta de los flujos turbulentos y de los intercambios de calor por radiacin que se producen entre los productos de combustin (vapor de agua y dixido de carbono), la carga y los refractarios que recubren al horno, pero sin tener en cuenta los procesos de reaccin qumica. La transferencia de calor por radiacin en medios participantes es gobernada por la ecuacin de transferencia radiativa, que describe el balance de la intensidad de radiacin a lo largo de la direccin de propagacin. En este trabajo, para la resolucin de esta ecuacin se implementa el mtodo de elementos finitos discontinuos (Galerkin discontinuo) modelando el salto de intensidad en lo bordes de los elementos mediante un esquema con upwinding. A partir del campo de intensidades se calculan las densidades de potencia radiativa que se incluyen en la ecuacin de transporte de la energa correspondiente a los flujos turbulentos de los humos en el interior del horno. Se presentan ejemplos de verificacin, en los que se evala la sensibilidad de los resultados a la eleccin de la malla y la convergencia del esquema iterativo. El cdigo desarrollado se utiliza para evaluar los flujos de calor en el interior de un horno de pasaje para el curado del recubrimiento de chapa. Finalmente, se evala el uso de este mtodo para el clculo de las reas de intercambio directas que se definen en el mtodo de zonas.

Eqr{tkijv"B"4229"Cuqekcekp"Ctigpvkpc"fg"Ogepkec"Eqorwvcekqpcn"jvvr

INTRODUCCIN En este trabajo se explora la utilizacin del mtodo de los elementos finitos discontinuos

para resolver numricamente la ecuacin de transferencia radiativa. Esta ecuacin describe un fenmeno que se presenta en mltiples problemas de ingeniera, como es el caso de los hornos industriales a gas, donde la mayor parte de la energa se transfiere por radiacin debido a las altas temperaturas a las que operan estas instalaciones. Por este motivo se han desarrollado distintas tcnicas de resolucin, como el mtodo de los armnicos esfricos (PN), el mtodo de las ordenadas discretas (SN), el mtodo de zonas, el mtodo de Monte Carlo, el mtodo de los elementos finitos (continuos), y el mtodo de los volmenes finitos. Todas estas tcnicas se encuentran bien documentadas en Siegel (1992) y en Modest (2003).

La motivacin para utilizar el mtodo de elementos finitos discontinuos reside en la versatilidad geomtrica que brindan los mtodos de elementos finitos, junto a la eficiencia y estabilidad numrica que se obtienen al implementar elementos discontinuos con un esquema de upwinding Li (2006). A continuacin se describen en forma detallada la ecuacin diferencial junto con las condiciones de contorno, su resolucin mediante el mtodo de elementos finitos discontinuos y la discretizacin empleada. Se presentan las verificaciones efectuadas del cdigo implementado en 1D y 3D. Se comparan los flujos de calor calculados con los analticos extrados de la literatura para distintas situaciones y mallas.

Luego se implementa el mtodo en 3D para estimar los flujos radiativos en un horno para el curado de chapa recubierta en la planta de Canning de la empresa Siderar. Por ltimo se analiza la utilizacin del mtodo para la obtencin de los factores de vista correspondientes a geometras bidimensionales no convexas. Estos factores pueden ser calculados analticamente y utilizados para evaluar la sensibilidad de los resultados obtenidos con el mtodo numrico a las discretizaciones espaciales y angulares empleadas.

1 ECUACIN DE TRANSFERENCIA RADIATIVA Un medio es considerado participante, si absorbe, emite, o dispersa intensidad de radiacin

a lo largo de la direccin de propagacin. La intensidad de radiacin ( )srI , es la cantidad de potencia que en la posicin r se propaga en la direccin s , por unidad de ngulo slido y por unidad de rea transversal a la direccin .s La transferencia de calor por radiacin en un medio participante es gobernada por la ecuacin de transferencia radiativa (RTE, por sus siglas en ingls) que describe la variacin de la intensidad de radiacin a lo largo de una direccin de propagacin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) '',,',4

,,,,,,,1

4

WF+

++-=

+

dsstsrIr

trIrtsrIrs

tsrIt

tsrIc b

pl

l

llllll

ps

kb (1)

En esta ecuacin, ( ) ( ) ( )rrr lll skb += es el coeficiente de extincin, ( )rlk es el coeficiente de absorcin, ( )skjis W++= ,cossinsincossin qfqfq es el ngulo slido asociado a s ,

( )rls es el coeficiente de dispersin, y fqq ddd sin=W es el diferencial de ngulo slido. La funcin de fase ( )', ssF , que describe la forma en que se dispersa la radiacin, satisface la siguiente condicin:

3494

( ) =WFpp 4

1'',41 dss (2)

En la Ecuacin (1), dtdsc /= es la velocidad con la que viaja la intensidad de radiacin. Todas las variables son funcin del espacio, del tiempo, y del nmero de onda. La intensidad de radiacin y la funcin de fase son funcin de la direccin s y '.s

Para muchos problemas de ingeniera, la transferencia de calor por radiacin entra en rgimen estacionario mucho ms rpido que los otros modos de transferencia de calor, por lo que frecuentemente se utiliza una aproximacin cuasi-estacionaria. Esto permite eliminar el trmino transitorio. Para simplificar la descripcin del problema se ha supuesto que todas las cantidades son independientes de la longitud de onda, aunque el algoritmo que se presenta puede ser aplicado con mnimas modificaciones para la radiacin intercambiada en un dado rango de longitudes de onda. Teniendo en cuenta estas aproximaciones, la Ecuacin (1) se escribe:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '',',4

,,

4

WF++-=

dsssrI

rrIrsrIrs

srI Sb

pps

kb (3)

sta es una ecuacin integral-diferencial de primer orden para la intensidad de radiacin, y es de tipo hiperblica. El primer trmino a la izquierda de la Ecuacin (3) mide el cambio de

( )srI , en un diferencial de distancia en la direccin s , el primer trmino a la derecha representa la prdida de intensidad de radiacin debido a la absorcin y a la dispersin, el segundo trmino es la emisin local, y el tercer trmino representa la contribucin de intensidad de radiacin en la direccin s que proviene de la dispersin de intensidad en otras direcciones. La ecuacin debe ser resuelta para cada posicin r y para cada direccin .s

En el caso de una superficie emisora opaca correspondiente a un medio con transmisividad nula y que refleja en forma difusa (segn la ley de Lambert), la intensidad de radiacin saliente es independiente de la direccin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ''',1,0'

W-

+=

Para una superficie opaca con propiedades arbitrarias, la reflectividad es una funcin de la posicin y la direccin. De esta manera la intensidad de radiacin emitida es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ''',,',",0'

W+=

( ) ( )p

s 4rTrIb = (14)

Integrando por partes la Ecuacin (12) se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] W+-W=

=WGW+WW-

DW

DW G

+

DW

dVdsrFsrIrrv

ddsnsrIrvdVdrvssrI

l e

ll e

V

V

,,,

,,,,

b (15)

en la que ( )srI ,+ es usada para representar el valor de la intensidad del lado exterior a la frontera del elemento. Integrando nuevamente por partes la Ecuacin (15) se llega a la siguiente expresin:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] W+-W=

=WG-W+WW

DW

DW G

-+

DW

dVdsrFsrIrrv

ddsnIIrvdVdsrIsrv

l e

ll e

V

V

,,,

,,,

b (16)

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] W+-W=

=WGW+WW

DW

DW GDW

dVdsrFsrIrrv

ddsnIrvdVdsrIsrv

l e

ll e

V

V

,,,

,,,

b (17)

donde n es la normal exterior de la cara del elemento e [ ]I es el salto en el valor de la intensidad a travs de la frontera del elemento en cuestin. En las ecuaciones anteriores se ha utilizado el teorema de la divergencia:

=-GG VV

dVIvsdVvIsdnIvs (18)

para convertir la integral sobre el dominio a una integral sobre el contorno del dominio. En la Ecuacin (18), G es la frontera que encierra el volumen V. s es el vector unitario que apunta en la direccin en la que se propaga la intensidad de radiacin ( )srI , y es independiente del volumen V.

En la formulacin de elementos finitos continuos, los trminos del borde se eliminan durante el ensamble con los elementos vecinos o lo que es lo mismo [ ] .0=I Por el contrario, en la formulacin discontinua de elementos finitos, esos trminos no se cancelan durante el ensamble. En cambio, se utilizan los siguientes valores:

)(lim jr

j rIIj

+G

+ = y )(lim jr

j rIIj

-G

- = (19)

donde los supra-ndices + se refieren a los valores fuera del elemento y los - a los valores interiores del elemento. El tratamiento anterior supone que los dos valores +jI e

-jI a travs de

la frontera del elemento no son iguales y la notacin usual para este salto en los valores de la intensidad es:

[ ] -+ -= jjj III (20)

3497

Estos saltos se modelan a travs de flujos numricos. Para los problemas de transferencia radiativa, la eleccin ms simple y efectiva es el esquema de upwinding o de flujo entrante:

[ ] [ ]

>

valor establecido en el criterio de convergencia. Debido a que la formulacin en elementos finitos discontinuos es local, para analizar la

implementacin numrica hay que centrarse en el elemento i y en los vecinos. Adems hay que convivir con dos tipos de valores nodales, los valores locales de cada elemento en el nodo y un valor global del nodo que surge como un promedio de los valores nodales de cada elemento asociado a ese nodo. Esto puede ser una desventaja desde el punto de vista del uso de memoria, ya que requiere guardar ms informacin por nodo, pero que se ve altamente compensada al evitar el ensamble y resolucin de una matriz global.

Una descripcin completa de la implementacin del mtodo se encuentra en Cui y Li (2005) y Li (2006).

3 VALIDACIN En esta seccin se muestra la comparacin de los resultados obtenidos con el cdigo

desarrollado con algunas soluciones analticas presentes en la bibliografa. El primer caso consiste en calcular el flujo radiativo entre dos placas (planas, paralelas e infinitas) en la aproximacin unidimensional a lo largo de la direccin normal a las mismas. En la Figura 1 y la Figura 2 se observan el excelente acuerdo que se logra para este problema sencillo, con dos discretizaciones distintas (cuatro elementos y veinte elementos).

Los parmetros utilizados en este caso de prueba corresponden a un medio participante que se encuentra a una temperatura de 100K, con un coeficiente de absorcin 1=b m-1, una emisividad de la superficie ,1=e y con una temperatura superficial igual a 0K.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1z

q

solucin analticaEFD (Nel = 20, Nang =12EFD (Nel = 4, Nang =12

Figura 1. Flujo de calor terico vs. Calculado [W/m2]

3499

56

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1z

divq

solucin analticaEFD (Nel = 20, Nang =12EFD (Nel = 4, Nang =12

Figura 2. Divergencia terica del flujo de calor vs. calculada [W/m3]

Figura 3. Malla de elementos finitos

3500

En un segundo caso se plantea el clculo en tres dimensiones en el interior de un cubo de arista unitaria, con las mismas propiedades y condiciones de contorno que se utilizaron en el problema unidimensional. La malla de elementos finitos se ilustra en la Figura 3, y esta compuesta por 5137 tetraedros y 1092 nodos.

En la Figura 4 se muestra el mdulo del flujo de calor sobre las paredes del cubo unitario. En la Figura 5 se realiza una comparacin de los flujos de calor con los que se obtienen en el plano z=0,5 cambiando la emisividad de las paredes de 1=e a .5,0=e

En la Figura 6 se compara la solucin analtica del flujo de calor normal a una cara del cubo (Raithby y Chui, 1990) con los resultados obtenidos con el modelo 3D para dos casos extremos del coeficiente de absorcin: 0,1 y 1m-1.

Figura 4. Mdulo del flujo de calor sobre las paredes [W/m2]

3501

Figura 5. Corte del mdulo del flujo de calor en el plano z=0,5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

X/L

*q

*q analytic *q DFE

k = 1 m

k = 0.1 m-1

-1

Figura 6. Corte del flujo de calor normal en la pared del cubo

Por ltimo se compara la solucin analtica que existe para el flujo de calor radial sobre el lateral de un cilindro (Chui et al., 1992) con los resultados del modelo 3D. El problema que se resuelve es tambin el de un gas participante a una temperatura de 100K con un coeficiente de absorcin 1m-1, las paredes a 0K y con emisividad 1=e . En la Figura 7 se observa el mdulo del flujo de calor sobre las paredes del cilindro y la posicin del corte realizado sobre la pared, mientras que en la Figura 8 se muestra la comparacin de los valores calculados analticamente versus los calculados con el modelo 3D para una malla poco densa (1859 nodos).

3502

Figura 7. Mdulo del flujo de calor volumtrico en las paredes del cilindro

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Z

*q

*q analytic *q DFE

k = 1 m-1

Figura 8. Corte longitudinal del flujo de calor radial en la pared del cilindro

3503

4 EJEMPLO DE APLICACIN En esta seccin se muestran los resultados obtenidos al aplicar esta metodologa de clculo

para evaluar los flujos de calor radiativos en un horno para el curado de chapa pintada. Este horno cuenta con tres cmaras de combustin externas. Los humos resultantes de la combustin son inyectados en la cmara principal del horno donde intercambian calor por conveccin y radiacin con la chapa y las paredes del horno. A los efectos de esta evaluacin se supuso que las distribuciones de temperatura en los humos y en las paredes son iguales y dependen nicamente de la coordenada longitudinal del horno. Los valores utilizados, fueron obtenidos con un modelo simplificado del horno y se muestran en la Figura 11.

Figura 9. Corte longitudinal del mdulo del flujo de calor [W/m2]

Como primer paso se mall el interior del horno con tetraedros, y se utiliz una emisividad para las paredes de 0,85e = y de 0,30e = para la chapa, con un coeficiente de absorcin para el gas de 30,0=b m-1. En la Figura 9 se muestra un corte longitudinal del mdulo del flujo de calor volumtrico y en la Figura 10 una serie de cortes transversales del horno con el mdulo del flujo de calor sobre dichos planos.

Figura 10. Cortes del mdulo del flujo de calor dentro del horno [W/m2]

3504

050

100

150

200

250

300

350

400

0 5 10 15 20 25 30Progresiva [m]

Tem

pera

tura

[C

]

T hornoT chapa

Figura 11. Distribucin de temperaturas utilizadas para el horno, las paredes y la chapa

5 FACTORES DE VISTA Una aplicacin interesante de este algoritmo es el clculo de los factores de intercambio

directos correspondientes a los problemas de intercambio de radiacin en medios participantes o no. En el caso en que el medio sea no participante los factores de intercambio directo se reducen al producto del factor de vista por el rea de la superficie. Para realizar el clculo de los factores de intercambio directos se deben realizar clculos integrales que requieren importantes tiempos de clculo, especialmente para geometras complejas en las que se presentan obstrucciones. Estos factores pueden ser calculados resolviendo la ecuacin de transferencia radiativa.

Un algoritmo con el que se puede proceder para dicho clculo es, fijar una temperatura arbitraria (64,77K) a una superficie volumen y temperaturas nulas para el resto de las superficies y volmenes, para luego calcular los flujos de calor sobre el resto de las superficies y volmenes. Con estos valores de temperatura, el valor numrico de los flujos de calor sobre las superficies y volmenes coincide con los factores de intercambio directo dividido por el rea de la superficie con respecto al resto de las superficies y volmenes.

A continuacin se muestra un ejemplo de aplicacin del algoritmo propuesto, que corresponde a la cavidad bidimensional cerrada de la Figura 12.

3505

Figura 12. Cavidad utilizada como ejemplo

Para verificar el valor obtenido con el mtodo de elementos finitos discontinuos, se puede calcular exactamente el factor de vista entre dos laterales de la cavidad, utilizando el mtodo de las cuerdas de Hottel. El factor de vista entre la cara S1 y S2 es .181,012 =F Es decir que la superficie S2 recibe el 18,1% de la energa que emite la superficie S1. Luego se aplica el mtodo de elementos finitos discontinuos para calcular este mismo factor de vista. Tambin se puede calcular analticamente la distribucin del factor de vista ( )yF de un diferencial de rea sobre la superficie S2 con respecto a S1 como funcin de la coordenada vertical, Ecuaciones (26), (27), y (28).

( ) ( )( )210arctansin

6.05.0arctansin

21

Figura 13. Corte del flujo de calor

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Coordenada Y

Fact

or d

e V

ista

FV DFE 5084 elementos (Nang=128) Figura 14. Distribucin de los factores de vista

3507

En la Figura 13 se observan los flujos de calor calculados con el mtodo de elementos finitos discontinuos utilizando una malla para el clculo compuesta por 5084 tringulos con 2668 nodos y 128 direcciones, en la que la longitud promedio de las aristas de los tringulos es 0,02. En la Figura 14 se grafican las distribuciones del factor de vista calculadas analticamente y numricamente. Integrando la distribucin de factores de vista se encuentra el factor de vista total 178,012 =F . Procediendo de esta forma se puede hallar la matriz de factores de vista de la cavidad.

0.150

0.155

0.160

0.165

0.170

0.175

0.180

8 16 32 64 128Discretizacin angular

Fact

or d

e vi

sta

tota

l

5084 elementos780 elementos184 elementos

Figura 15. Convergencia segn la discretizacin angular y cantidad de elementos para mallas no estructuradas

En la Figura 15 se observa la convergencia del factor de vista total, es decir la integral de la distribucin de factores de vista, con respecto al tamao de la malla y la discretizacin angular. En la Figura 16 se observa la convergencia de los errores relativos del factor de vista total, calculados segn la Ecuacin (30), tambin con respecto al tamao de la malla y la discretizacin angular.

En la Figura 17 se muestra el anlisis de convergencia de distintas mallas no estructuradas con las diferentes discretizaciones angulares y tambin el desempeo de un mallado estructurado para una nica discretizacin angular, de 64 direcciones. En la Figura 18 se realiza la misma comparacin, pero esta vez relativa al valor terico de la distribucin de factores de vista. Se observa que las mallas estructuradas tienen un desempeo muy superior a las no estructuradas.

( )

( )

-= 1

0

1

0

dyyF

dyFyFErel

EFD

(30)

3508

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

8 16 32 64 128Discretizacin angular

Err

or re

lativ

o

184 elementos780 elementos5084 elementos

Figura 16. Errores relativos segn la discretizacin angular y la cantidad de elementos para mallas no

estructuradas

0.150

0.155

0.160

0.165

0.170

0.175

0.180

0.185

100 1000 10000Cantidad de elementos

Fact

or d

e vi

sta

tota

l

CuerdasEstructurada (Nang=64)Nang=128Nang=64Nang=32Nang=16Nang=8

Figura 17. Factor de vista total segn la discretizacin angular, la cantidad de elementos y el tipo de malla

utilizado

3509

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

100 1000 10000Cantidad de elementos

Err

or re

lativ

o

Nang=8Nang=16Nang=32Nang=64Nang=128Estructurada (Nang=64)

Figura 18. Errores relativos segn la discretizacin angular, el tipo de malla y la cantidad de elementos

6 CONCLUSIONES En este trabajo se implementa y analiza el mtodo de elementos finitos discontinuos para

resolver en forma verstil y eficiente la ecuacin de transferencia radiativa. Se muestra que los resultados obtenidos con esta formulacin son muy precisos para el caso de geometras sencillas, an cuando se utilicen mallas y discretizaciones angulares relativamente groseras. Sin embargo, es importante destacar que en el caso de geometras complejas y con obstrucciones, si las mallas utilizadas no son lo suficientemente densas, especialmente en lo que respecta a la discretizacin angular, se obtienen resultados que difieren muy significativamente de los tericos. Es esperable encontrar el mismo tipo de errores en los casos en los que hay gradientes de temperatura importantes sobre las superficies de la cavidad.

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Methods. In: B. Cockburn, G. Karniadakis, C.W. Shu, editors. Discontinuous Galerkin Methods: Theory, Computation and Applications. Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 11. New York: Springer-Verlag, 2000; 3-50.

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3510

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Enclosures With Participating Media. Journal of Heat Transfer, vol. 112, pp 415-423, 1990. Chui E.H., Raithby G.D., Hughes P.M.J. Prediction of Radiative Transfer in Cylindrical

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3511