123084836 Libro MatematicasII

7/22/2019 123084836 Libro MatematicasII

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UNIVERSIDAD AUTNOMA DE NUEVO LEN

Matemticas 2

Alejandro NavaAlma VzquezJuan Cullar

Mario LealSalvador Rodrguez

UANL Mate 2 Preliminares JAB.indd 1 14/11/12


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Ediciones DeLaurel

es una marca registrada de

Comercializadora y Editora de Libros, S. A. de C. V.

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria

Editorial Mexicana, Reg. Nm. 3680

Cuidado editorial: Equipo DeLaurel

Diseo de portada: Claudia Novelo Chavira

Jess Ancer Rodrguez

Rector

Rogelio Garza Rivera

Secretario General

Ubaldo Ortiz Mndez

Secretario Acadmico

Alejandro Galvn Ramrez

Director de Estudios de Nivel Medio Superior

Biblioteca Universitaria Ral Rangel Fras, 4 piso

Av. Alfonso Reyes No. 4000 Nte., Col. del Norte

C.P. 64440, Monterrey, Nuevo Len, Mxico

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Fax: (81) 8329 4000, ext. 6608

e-mail: [email protected]

Ttulo de la obra:

Matemticas 2

Tercera edicin, 2012 Universidad Autnoma de Nuevo Len

Comercializadora y Editora de Libros, S.A. de C.V.

Alejandro Nava Segovia

Alma Rosa Vzquez Ortiz

Juan Antonio Cullar Carvajal

Mario Alberto Leal Chapa

Salvador Rodrguez Vrtiz

Portada: Direccin de Imagen Institucional

ISBN: 978-607-7967-44-6

Reservados todos los derechos. Queda prohibida

la reproduccin o transmisin total o parcial delcontenido de la presente obra en cualesquiera formas,

sean electrnicas, mecnicas o por fotocopia, sin el

consentimiento previo y por escrito de la Universidad

Autnoma de Nuevo Len y del editor.

Impreso en Mxico

Printed in Mxico



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Presentacin

En cumplimiento de la Visin 2020 UANL, la Direccin de Estudios de Nivel Medio Superior, a travs dela publicacin de los libros de texto correspondientes a cada una de las unidades de aprendizaje queconforman el plan de estudios de Bachillerato General, promueve la formacin integral del estudianteen la generacin y aplicacin del conocimiento como un proceso continuo de mejora en la calidad de laformacin universitaria. El Modelo Educativo de la Universidad Autnoma de Nuevo Len est constituido por cinco ejes rec-tores que promueven la educacin centrada en el aprendizaje, la educacin basada en competencias,la flexibilidad curricular, la internacionalizacin y la innovacin acadmica. La concrecin del modelo sereproduce en cada nivel de estudios que la institucin ofrece a travs de estos ejes. El modelo integra los programas y proyectos acadmicos que estn orientados a garantizar una ofertaeducativa con alto nivel de calidad y pertinencia, acorde con las necesidades de la sociedad en los m-

bitos econmico, social, poltico y cultural.El presente texto de Matemticas 2es un recurso didctico que forma parte de los materiales dispo-

nibles del rea de formacin bsica del Plan de Estudios de Bachillerato General de Nivel Medio Superiorde nuestra universidad. En la unidad de aprendizaje de Matemticas 2, se abordan problemas y situa-ciones que, mediante la aplicacin de tcnicas y mtodos algebraicos, geomtricos y trigonomtricos,contribuyen al desarrollo de las competencias establecidas para esta unidad de aprendizaje. Por lo tanto,las habilidades de exploracin, organizacin, pensamiento crtico y reflexivo, y la aplicacin mediante lamodelacin matemtica, permitirn a los estudiantes un mejor desenvolvimiento acadmico. Estoy convencido de que la excelencia de los programas educativos que nuestra institucin ofreceen todos sus niveles, asegura la formacin de ciudadanos con la solidez acadmica y la capacidad pararesponder al desafo histrico de nuestra sociedad, con la visin global que amerita la poca actual, conla firme conviccin de su identidad regional y nacional, y con el compromiso para participar con respon-sabilidad en beneficio de nuestro pas.

Dr. Jess Ancer RodrguezRector

Educacin de clase mundial, un compromiso social



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Agradecimiento

Nuestro sincero reconocimiento a los maestros integrantes de los Comits Tcnicos Acadmicos de laDireccin de Estudios de Nivel Medio Superior, quienes colaboraron como autores en las versiones pre-vias a la presente obra.

Gracias por compartir con la comunidad educativa y cada generacin de estudiantes de preparatoria, susconocimientos, creatividad y experiencias al caminar juntos en este devenir de formacin acadmica.

Antonio Montemayor Soto Blanca Mara Borghes Alonso

Fernando Javier Gmez TrianaJos Luis Guerra TorresMara Elena Padilla SotoMiguel ngel Torrecillas GonzlezRoberto Snchez Ayala



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Contenido

Presentacin 3Agradecimiento 4Prefacio 7

Etapa 1. Ecuaciones cuadrticas o de segundo grado en una variable 9

1.1 Ecuaciones cuadrticas con trinomios cuadrados perfectos 10 Ecuaciones que contienen valor absoluto y ecuaciones con cuadrados 10

Ecuaciones con trinomios cuadrado perfectos 17

1.2 Mtodos de resolucin de ecuaciones cuadrticas 21 Tcnica de completar el trinomio cuadrado perfecto 21 Resolucin de ecuaciones cuadrticas por el mtodo de completar al cuadrado 23 La frmula cuadrtica 28 Resolucin de ecuaciones cuadrticas por factorizacin 34 1.3 Problemas de aplicacin 38

Autoevaluacin 1 41

Etapa 2. Geometra plana 47

2.1 Conceptos elementales de geometra 48

2.2 ngulos y su clasificacin 51 ngulos 51 Clasificacin de ngulos 59 Paralelismo y perpendicularidad 72 ngulos entre rectas cortadas por una transversal 76 2.3 Tringulos y su clasificacin 86 Tringulos 86 Suma de los ngulos interiores de un tringulo 90 Desigualdad triangular 99 Clasificacin de tringulos 102 2.4 Teorema de Thales 105 Teorema de Thales 105

2.5 Semejanza y congruencia de tringulos 108 Congruencia de tringulos 108 Teorema de Thales 122 Semejanza de tringulos 125 Teorema fundamental de semejanza de tringulos 127



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6

Criterios de semejanza de tringulos 130 2.6 Polgonos, clasificacin, elementos y propiedades 141

Polgonos 141 Elementos y propiedades de un polgono 143 2.7 Cuadrilteros 155 Cuadrilteros 155 2.8 reas de regiones poligonales 182 reas de regiones poligonales 182 Circunferencia y crculo 207

Autoevaluacin 2 220

Etapa 3. Trigonometra I 231

3.1 Funciones trigonomtricas de un ngulo agudo 232 Funciones trigonomtricas de un ngulo agudo 232 Valores de las funciones trigonomtricas de un ngulo agudo 246 3.2 Relaciones fundamentales e identidades 255 Relaciones fundamentales e identidades 255 Identidades para la suma y diferencia de dos ngulos, para ngulo doble y ngulo mitad 265 3.3 Resolucin de tringulos rectngulos y su aplicacin en diferentes contextos 276

Autoevaluacin 3 284

Etapa 4. Trigonometra II 291

4.1 Funciones trigonomtricas de un ngulo cualquiera 292 4.2 Tringulos oblicungulos 308 Ley de cosenos 308 rea de un tringulo 313 4.3 Tringulo oblicungulo. Ley de los senos 316 4.4 Los casos ambiguos 321 4.5 Solucin de tringulos oblicungulos y su aplicacin en diferentes contextos 325 Solucin de tringulos oblicungulos 325 Problemas del mundo real de tringulos oblicungulos 327

Autoevaluacin 4 329



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Prefacio

En esta unidad de aprendizaje se estudian los temas de Geometra plana y Trigonometra, adems de la ecuacincuadrtica, que te permitir desarrollar la parte procedimental en la solucin de problemas geomtricos, de resolu-cin de tringulos, as como de sus aplicaciones.

La Geometra plana y la Trigonometra, comparten la caracterstica de trabajar con objetos de los cuales podemoshacernos una representacin visual, misma que nos auxilia en la comprensin conceptual y en la resolucin deproblemas. Las formas son creaciones de la naturaleza: la forma de la Tierra, la lnea del horizonte, las celdas delos panales de las abejas, la espiral logartmica de la concha de un Nautilus, etc., pero tambin son construccioneshumanas: vas de ferrocarril, puentes, torres de alta tensin, edificios y tanto cuanto podemos percibir a nuestroalrededor. La Geometra estudia las formas. Nos permite verlas y conocerlas. La Trigonometra estudia al tringuloy todo lo que est relacionado con l.

El objetivo general de este curso ser que el estudiante:

Modele y resuelva situaciones de diferentes contextos en trminos de ecuaciones cuadrticas.

Reconozca en su entorno las formas que estudian la Geometra y la Trigonometra; que conozca, com-prenda y aplique sus principios, postulados y teoremas para que sea capaz de aplicarlos en la solucin deproblemas que se le presenten en la realidad que lo circunda.

El presente libro debe servir de soporte terico bsico a los estudiantes y de auxiliar didctico a los maestros.

Cada etapa consta de:

Una Introduccindonde se presenta el tema y se incluyen los objetivos generales de la etapa.

El desarrollo del contenido donde se distinguen las siguientes secciones.

Marco terico. Definiciones, teoremas, corolarios. propiedades, reglas y tcnicas procedimentales di-versas.

Objetivos particulares del tema, dividido ste en secciones o epgrafes.

Ejemplos, con los que se busca clarificar las explicaciones.

Otros ejemplos, es un apartado opcional para aquellos estudiantes que consideren necesario abundarms sobre el tema.

Planteamientos o preguntas con su respectiva respuesta. Aparecen con el fin de complementar unaexplicacin y/o afirmar un determinado procedimiento. Generalmente tienen la forma de pregunta, detarea o de problema que se plantea para que el estudiante piense en su respuesta. Lo ideal es que elalumno la resuelva antes de seguir adelante, sin embargo, la solucin aparece en la misma pgina ya

que resulta necesaria para la continuacin del estudio. Actividades. Son preguntas, problemas o demostraciones que se pide realizar, en donde se busca que

el estudiante trabaje no solamente reproduciendo los procedimientos que se le han presentado en eltexto, sino que se enfrente con una visin menos usual de la prctica matemtica.

Ejercicios. Listados ms o menos extensos en donde deben aplicarse los conceptos, tcnicas y proce-dimientos de cada tema en la resolucin de ejercicios y problemas.



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8

Sugerencias de sitios de internet apropiados para consultar el tema en cuestin, con datos que com-plementen la explicacin o brinden otra forma de abordarlo.

Autoevaluacin. Al trmino de cada etapa aparece, con el fin de que el estudiante vaya probando sumanejo del tema, su habilidad en la resolucin de ejercicios y en la aplicacin de su conocimiento en elabordaje y respuesta a problemas de aplicacin. Al final de la misma, viene la hoja con las respuestascorrespondientes.

El libro mantiene el punto de vista de considerar fundamental la aplicacin de las matemticas a problemas de lavida cotidiana, lo cual le da sentido al aprendizaje de nuestra materia.

El uso de la calculadora es fundamental para la determinacin de medidas (ya sea escalares, angulares, de valores,de funciones, etc.) ya que las tablas de funciones han cado en desuso.

Asimismo sugerimos ampliamente la utilizacin de pizarrones electrnicos y otros medios tecnolgicos, no slo paraactualizar nuestros procesos sino para facilitar y hacer ms atractivo el aprendizaje.

Estamos convencidos de que el estudiante es quien construye su aprendizaje mediante actividades propicias; elenfoque en el aprendizaje y en el alumno hace necesario el diseo y la programacin de actividades, por parte delmaestro, de manera que ste se convierte en facilitador y gua de un proceso dondeel protagonista es el alumno.

La tarea del maestro y del estudiante es trabajar de manera coordinada y responsable, con la finalidad comn delograr los objetivos del programa del curso.

Estamos seguros que el camino a recorrer puede ser disfrutable y ser coronado por el xito en la medida en quetodos nos involucremos realizando el mejor de nuestros esfuerzos.

Como siempre, estamos en la mejor disposicin de escuchar, atender, discutir y tomar en cuenta las observacionesy sugerencias de quienes buscan hacer aportaciones que mejoren las condiciones para el aprendizaje significativode los estudiantes.

Por ltimo, recordemos que debemos movernos en dos niveles: uno inmediato que se traduce en la calificacin delestudiante y otro, menos visible pero ms duradero e importante, la consecucin del conocimiento, el verdaderoaprendizaje que hace de nosotros seres mejores, ms conscientes y responsables de nuestro entorno y ms capa-ces para enfrentarnos a los retos que la vida nos va presentando.

A maestros y estudiantes, les deseamos el mejor de los xitos.

Noviembre de 2012

Comit Tcnico Acadmico de Matemticas

Juan Antonio Cullar CarvajalSalvador Rodrguez VrtizDavid Fernndez HernndezFrancisco Martn Contreras AmayaRodolfo Puente RodrguezChristian Eusebio Charles Landeros



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9

Introduccin

Una vez que tienes el conocimiento de las ecuaciones lineales, ests preparado para introducirte alestudio de las ecuaciones cuadrticas o de segundo grado. stas, son ecuaciones de la forma ax2+ bx+ c= 0, donde xes la variable, a, b, y cson constantes, a 0. Una vez que aprendas cmo solucionarecuaciones cuadrticas puedes aplicar esas tcnicas para resolver situaciones de tu entorno que puedanser modeladas mediante este tipo de ecuaciones, como es el caso de los problemas planteados en laportada del presente captulo, o muchos ms.

1. Resolver ecuaciones con valor absoluto.

2. Resolver ecuaciones cuadrticas por los siguientes mtodos:

Factorizacin.

Completar el cuadrado.

Aplicando la frmula general.

3. Expresar situaciones de la vida cotidiana en trminos de ecuaciones cuadrticas yresolverlas.

Objetivos generales

Etapa

1Ecuaciones cuadrticas

o de segundo gradoen una variable

UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 9 14/11/12


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Etapa 1

10

1.1 Ecuaciones cuadrticas con trinomios cuadrados perfectos

Ecuaciones que contienen valor absoluto y ecuacionescon cuadrados

Este primer tema tiene como finalidad irnos aproximando a uno de los mtodos de solucin de ecua-ciones cuadrticas: el de completar un trinomio cuadrado perfecto. Dada su complejidad se decidipresentar dicho mtodo por las etapas de que est compuesto.

Elvalor absoluto de un nmeroes la distancia entre ese nmero y el origen de la recta numrica.

Esto es:

nes positivo si nes negativo.

Nota

7 5

x

|7|= 7 |5|= 5

El valor absoluto de un nmero n, representado como |n| se defne como:

Definicin

123

|n| = n si nes positivo o cero (n 0).

n si nes negativo (n< 0).

Encontrar el conjunto solucin de:

a) Una ecuacin que involucre el valor absoluto de una expresin con variable.

b) Ecuaciones del tipo (x + a)2= b2en la cual el cuadrado de un binomio es igual a

una constante.

Objetivo



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Ecuaciones cuadrticas o de segundo grado en una variable

11

Un nmero positivo como el 9, es el valor absoluto de dos diferentes nmeros, el 9 y el 9.

|9|= 9 = |+9|esto es, la distancia entre 9 y el origen es el mismo que del 9 al origen.

Si tenemos la ecuacin |x|= 9 significa que la xpuede tomar dos valores: x= 9 o x= 9, esto es, que laecuacin tiene dos soluciones, 9y9. El conjunto solucinde |x|= 9, es S = {9, 9}.

Veamos cmo se pueden resolver ecuaciones de este tipo:

Ejemplo

Encontrar el conjunto solucin de la ecuacin |x 3|= 5.

Procedimiento

|x 3|= 5 Escribe la ecuacin dada.

x 3 = 5 x 3 = 5 La expresin x 3 necesariamente tiene el valor de 5 o 5.

x= 5 + 3 x= 5 + 3 Tenemos dos ecuaciones sumando 3 a cada miembro en cada unade ellas.

Solucin

x= 8, x= 2 Efectuando las operaciones.



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Etapa 1

12

Propiedad de la igualdad de la raz cuadrada

Si dos nmeros positivos son iguales, entonces sus races cuadradas positivas son iguales.As que si a= b, entonces a b=

Cuando se tiene 25 la solucin es 5 y 5 por la definicin de raz cuadrada, a saber, 25 = 5 ya que52 = 25 y 5, ya que (5)2= 2; en general vamos a tomar 25 = 5 ya que es su raz principal.

Veamos la siguiente operacin: 72

( )

7 49 72

( ) = = (raz principal).

Es equivalente a tener:

7 7 7

2

( ) = =Por lo tanto:

Conclusin

La raz cuadrada de un cuadrado perfecto es:

2( )Nmero = |nmero|

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Encontrar el conjunto solucin de la ecuacin (x 3)2= 25 sin necesidad de desarrollar el binomio al

cuadrado del miembro izquierdo.

Procedimiento

(x 3)2 = 25 Escribe la ecuacin dada.

3x(( ) =2

25 Se extrae la raz cuadrada en ambos miembros.

La expresin (x+ 1)2= 4, tendra:

a) Una solucin.

b) Dos soluciones.

c ) Ninguna solucin.

d) No puede saberse.

Repaso



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13

|x 3|= 5 ya que ( ) =2

Nmero nmero

x 3 = 5 Definicin de valor absoluto.

x= 3 5 Sumando 3 a ambos lados.

Solucin

S= {8, 2}

Ejemplo

Encuentra el conjunto solucin de: |3x 2|= 32.

Procedimiento

|3x 2|= 32 Escribe la ecuacin dada.

3x 2 = 32 La expresin 3x2 necesariamente debe ser igual a 32 o 32.

3x= 32 + 2 Sumando 2 a ambos lados.

x x= =34

3

30

3 Dividiendo todo entre 3.

Solucin

S=

343

10,

Ejemplo

Encuentra el conjunto solucin de |x+ 3|= 5.

Procedimiento

Un valor absoluto es siempre un nmero positivo o cero. Por lo tanto el conjunto solucin eneste caso no tiene elementos. Este es llamado conjunto vaco nulo.

Hay dos maneras de escribir el conjunto vaco:

Solucin

S= o S = {}



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Etapa 1

14

Ejemplo

Encuentra el conjunto solucin de 30 |x+ 5|= 17.

Procedimiento

30 |x+ 5|= 17 Escribe la ecuacin dada.

|x+ 5|= 17 30 Resta 30 en cada miembro.

|x+ 5|= 13 Multiplica cada miembro por 1.

|x+ 5|= 13 (de ahora en adelante el problema es exactamente al anterior).

x+ 5 = 13 La expresin dentro del valor absoluto debe ser 13 o 13.

x= 5 13 Agrega 5 a cada miembro.

x= 8 o x= 18 Efecta las operaciones.

Solucin

S= {18, 8}

Ejemplo

Resuelve (x2)2= 49.

Procedimiento

(x2)2 = 49 Escribe la ecuacin dada.

x ( ) =2 492

Toma la raz positiva de cada miembro.

|x 2|= 7 ( ) = =47 72

nmero nmero



x= 9 o 5 Efecta las operaciones

Solucin

S = {9, 5}



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15

Otros ejemplos

Ejemplo

Resuelve (3x+ 2)2 = 25.

Procedimiento

(3x+ 2)2 = 25 Escribe la ecuacin dada.

Esta ecuacin no tiene solucin ya que el cuadrado de todo nmeroreal es no negativo.

SolucinS=

Ejemplo

Resuelve (0.2x+ 1.3)2 = 14.2

Procedimiento

(0.2x+ 1.3)2 = 14.2 Escribe la ecuacin.

0 2 1 3 14 22

. . .x +( ) = Toma la raz cuadrada de cada miembro.

|0.2x+ 1.3|= 14 2. Aplicando n n2 =

0.2x+ 1.3= 14 2. Definicin de valor absoluto.

0.2x=1.3 14 2. Agrega 1.3 a cada miembro.

1 3 14 2

0 2

. .

.x =

Divide cada miembro por 0.2

x= 12.34 25.34 Realiza la operacin aritmtica.

Solucin

S= {12.34 25.34}



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Etapa 1

16

Prctica mental

Para los siguientes problemas proporciona el resultado despus del primer paso en la solucin dela ecuacin.

Ejemplos Respuesta

|x 7|=13 x 7 = 13

(x + 5)2= 81 |x + 5|= 9

a) |x 9|=15 b) |x+ 1|= 9 c) 5x+ 2 = 6

d) |8 2x|= 18 e) |x+ 4|= 3 f ) (x+ 9)2= 121

g) (x 4)2= 0 h) (x+ 12)2= 4 i ) (x+ 8)2= 53.6

j ) (0.5x+ 6.4)2

= 3.5 k) (x+ 6)2

= 23 l ) (2x 8)2

= 49

1. Encuentra el conjunto solucin de cada una de las ecuaciones siguientes.

a) |x|= 21 b) |x|= 53

c) |x|= 925 d) |x|= 321

e) |x 3|= 20 f) |x+ 4|= 34

g) |x 6|= 5 h) |x 9|= 11

i) |x 9|= 12 j) |x+ 7|= 12

k) |6 x|= 54 l) |6 x|= 29m) |3x 6|= 12 n) |6x 3|= 33

) |x 9|= 0 o) |9x+ 20|= 38

2. Para los problemas del 17 al 28 resuelve la ecuacin. Necesitas hacer una transformacinpreliminar antes de quitar los signos de valor absoluto.

a) |x| 6 = 14 b) |x| 11 = 26

c) 42 |x|= 15 d) 25 |x|= 24

e) |3x+ 4| 6 = 28 f) |3x+ 9|9 = 40

g) 7 |x 2|= 11 h) 6 |x 4|= 3

i) (x 9)2 = 9 j) (x+ 6)2 = 121

k) (x+ 1)2 = 56 l) (x+ 3)2 = 81

Ejercicio



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17

Actividad

Ecuaciones con trinomios cuadrados perfectos

Evala los siguientes radicales.

a) b) c)

d) e) f )

32

( )42

( ) 12

( )

n292 x2

( )

Resolver ecuaciones en las cuales el miembro izquierdo es un trinomio cuadrado

perfecto.

Objetivo

Este captulo est relacionado con la solucin de ciertas ecuaciones cuadrticas como:

x212x+ 36 = 50

cuyo miembro izquierdo es un trinomio cuadrado perfecto.

Debes recordar cmo transformar x2 12x+ 36 en un binomio al cuadrado, pues este hecho nosayudar a resolver la ecuacin.

Dado que: x2

12x+ 36 = (x 6)2

,

la ecuacin puede escribirse como:

(x 6)2 = 50

De aqu en adelante ser un problema semejante a los ejemplos anteriores.

x 6 502

( ) = Toma la raz cuadrada de cada miembro.

|x 6|= 50 Aplicando la propiedad =n n2



S= {6 + 50 , 6 50 } Escribe el conjunto solucin.

S= {7.64, 11.64} Soluciones aproximadas.



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Etapa 1

18

Repaso

Ejemplo

Resuelve x2 + 4x+ 4 = 93.

Procedimiento

x2 + 4x+ 4 = 93 Escribe la ecuacin dada.

(x+ 2)2 = 93 Factoriza el miembro izquierdo de la ecuacin: la mitad de 4 es 2,y 22es 4, por lo tanto el miembro del lado izquierdo es un trinomioperfecto.

( )+ =x 2 932

Toma la raz cuadrada de cada miembro.

|x+ 2|= 93 Aplicando la propiedad =n n2

x+ 2 = 93 Definicin de valor absoluto.


Solucin

S= {2 + 93 , 2 93 }

Es mejor no usar calculadora hasta que llegues al paso x= ..., Puedes verificar la re-spuesta antes de borrar el resultado en la calculadora., slo almacena las respuestas;por ejemplo, guarda 11.64... en la memoria y llmala cuando la necesites para laverificacin.

Nota

Verifica:(11.64...)2 + 4(11.64) + 4 = 93 Sustituye xpor 11.64

93 = 93 Evala la expresin. (Las operaciones con la calculadorapueden mostrar un nmero ligeramente diferente de 93).

Verifica t la otra solucin.



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19

Ejemplo

Resuelve x2 4.6x+ 5.29 = 6.2.

Procedimiento

x2 4.6x+ 5.29 = 6.2 Escribe la ecuacin dada.

(x 2.3)2 = 6.2 12 (4.6) es 2.3 y (2.3)2es 5.29. Por lo tanto el miembro del lado

izquierdo es un trinomio cuadrado perfecto.

x ( ) =2 3 6 22

. . Toma la raz cuadrada de cada miembro.

|x 2.3|= 6 2. Aplica la propiedad =n n2

x 2.3 = 6 2. Definicin de valor absoluto.

x= 2.3 6 2. Agrega 2.3 a cada miembro.

Solucin

S= {2.3 6 2. , 2.3 6 2. } S= {4.79, 0.19}

Verificacin de (4.79)

(4.79...)2 4.6(4.79...)+ 5.29 = 6.2 Sustituye 4.79... por x.

6.2 = 6.2

Prctica mental

Factoriza el miembro izquierdo de cada ecuacin.

Ejemplos Respuesta

x2 10 + 25 = 41 (x 5)2= 41

a) x2 12x+ 36 = 21 b) x2 + 16x+ 64 = 25c) x2 4x+ 4 = 12 d) x2 + 10x+ 25 = 17

e) x2+ 18x+ 81 = 42 f ) x2 6x+ 9 = 0

g) x2 + 9x+ 20.25 = 19 h) x2 11 + 30.25 = 0

i ) x2 4.2x+ 4.41 = 3.5 j ) x2 + 8.6x+ 18.49 = 5

Repaso

Verifica t la otra solucin.



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Etapa 1

20

Repaso

1. Para resolver cada una de las siguientes ecuaciones reescribe el miembro izquierdo como elcuadrado de un binomio. Cuando la solucin no sea exacta aproxima a dos dcimas.

a) x2+ 124x+ 49 = 1 000 b) x2+ 12x+ 36 =169

c) x2+ 2x+ 1 = 90 d) x2+ 10x+ 25 =16

e) x2+ 6x+ 9 = 23 f) x2+ 16x + 64 = 54

g) x2 22x+ 121 = 90 h) x2+ 24x+ 144 = 29

i) x2 18x 81 = 2 526 j) x2 6x+ 9 = 62.7

2. Resuelve las ecuaciones siguientes como en la seccin anterior.

a) |x 9|= 25 b) |x 12|= 82

c) (x+ 26)2= 256 d) |x 0.06|= 0.09

e) |4x+ 2|= 12 f) |9x 5|= 62

g) (x+ 5)2= 121 h) (x+ 2)2= 16

i) (x 0.07)2= 0.09 j) (x 10)2= 500

3. En los ejercicios del 21 al 28 utiliza el principio de que la raz cuadrada de un cociente es

igual el cociente de las races cuadradas, esto es xy =xy .

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Ejercicio

x x+ + =

2 2

7

1

49

16

49

x x + =24

3

4

9

1

9x x +2

10

9

25

811

4

81=

5

3

25

36

16

362

+ + =x x7

3

49

36

1

362

+ + =x x

11

42

x xx + =121

64

144

64x x + =

12

5

144

100

36

1002

x x

2 2

5

1

25

9

25+ + =

Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

a) x x22

5

1

25+ + b) x x2

12

5

36

25 +



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21

1.2 Mtodos de resolucin de ecuaciones cuadrticas

Tcnica de completar el trinomio cuadrado perfecto

Transformar expresiones cuadrticas de dos trminos en trinomios cuadrados perfectos.

Objetivo

Anteriormente aprendiste a desarrollar el cuadrado de un binomio, por ejemplo (3x+1)2= 9x2+ 6x+ 1.Si conoces este modelo, puedes invertir el proceso y factorizar: a2 4a+ 4 = (a 2)2.

Ahora trataremos de aplicar este conocimiento en encontrar el trmino constante necesario para obtener,en un momento dado, un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo, qu nmero puedes agregar a unaexpresin como x2+ 8x, para obtener un trinomio cuadrado perfecto?

El proceso es como sigue:

1. Escribe x2 + 8x+ ? (x+ )2

2. Llena el espacio en blanco en el binomio recordando la frmula del binomio al cuadrado.

x2 + 8x+ ?

Como 8xdebe ser el doble de xmultiplicado por algn nmero, ese nmero debe ser 4:

x2 + 8x+ ?(x+ 4)2

3. Completa el trinomio con el 16.

x2 + 8x+ 16(x+ 4)2

El proceso de agregar 16 a x2 + 8xes llamado completando el trinomio cuadrado perfecto, o simplementecompletar el cuadrado. Una vez visto el modelo es fcil hacerlo mentalmente. La tcnica es dada despusde la actividad planteada a continuacin.

Actividad

Completa las siguientes expresiones escribiendo en el espacio en blanco el trmino apropiado paraque las expresiones puedan factorizarse como binomio al cuadrado.

1. x2 20x + 2. x2+ + 25 3. x2 + 121

4. 4x2+ + 49 5. x2 16x + 6. 9x2 6x +

7. x2 10x + 8. 25x2 + 4 9. x2 24x +



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Etapa 1

22

Completar el trinomio cuadrado perfecto

Si el coeficiente de x2

es igual a 1 (como en x2

+ 8x), entonces para completar el cuadrado, realizar losiguiente:

1. Toma la mitad del coeficiente del trmino lineal, esto es ( 12 de 8, o sea 4, en este caso).

2. Elvalo al cuadrado (42es igual a 16, en este caso).

3. Agrega el resultado al problema original (x2 + 8x + 16).

Completa el trinomio cuadrado perfecto en cada uno de los siguientes casos:

a) x2 + 10x 12 de 10 es 5, y 52es 25 (no escribas un signo de igualdad (=),

puesto que la expresin dada no igual a la respuesta).x2 + 10x+ 25 Luego sumamos 25.

b) x2 12x 12 de (12) es 6, y (6)2es 36.x2 12x+ 36 Luego sumamos 36.

c) x2 9x 12 de 9 es 4.5 y 4.52es 20.25.

x2 9x+ 20.25 Luego sumamos 20.25

d) x2 3.5x 12 de 3.5 es 1.75, y (1.75)2es 3.0625.

x2 3.5x+ 3.0625 Luego sumamos 3.0625

Prctica mental

Eleva al cuadrado cada binomio.

a) (x+ 3)2 b) (x+ 2)2

c) (x 6)2 d) (x 2)2

e) (x+ 8)2 f) (x+ 7)2

En cada caso, agrega una constante para completar un trinomio cuadrado perfecto.

a) x2 + 12x... b) x2 + 18x...

c) x2 8x... d) x2 22x...

e) x2 + 14x... f) x2 + 7x...

g) x2 + 26x... h) x2 100x...

i) x2 15x... j) x2 9x...

k) x2 20x l) x2 + x...m) x2 17x... n) x2 11x...

) x2 + 2.4x... o) x2 4.2x...

p) x2 + 3.1x... q) x2 + 5.3x...

r) x2 + 0.5x... s) x2 + 0.9x...



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23

Resolucin de ecuaciones cuadrticas por el mtodo de completaral cuadrado

Aplicar la tcnica de completar cuadrados en la resolucin de ecuaciones cuadrticas.

Objetivo

Una vez entendido el proceso de completar al cuadrado, puedes usar la tcnica para resolver ecuacionescuadrticas.

Ejemplo

Resuelve x2 12x+ 9 = 0, por el mtodo de completar el cuadrado.

Procedimiento

x2 12x+ 9 = 0 Escribe la ecuacin dada.

x2 12x= 9 Agrega 9 a cada miembro, dejando un espacio en el cual se va acompletar al cuadrado.

1. En la ecuacin x2+ 14x+ 21 = 33 el miembro izquierdo no es un trinomio cuadrado perfecto.Ahora que ya sabes cmo completar el cuadrado y has resuelto una gran cantidad de ecuacio-nes en las secciones previas, sers capaz de imaginarte una forma para resolver esta ecuacin.

(Si no ests seguro del camino seguido o no has podido hacerlo t slo, puedes continuarla lectura, que la tcnica se te da a continuacin.)

a) Primero sustrae 21 de cada miembro.b) Luego determina qu nmero se debe agregar a x2+ 14xpara completar el cuadrado.c) Agrega este nmero a cada miembro de la ecuacin.d) Resuelve sta en la forma que aprendiste en la seccin anterior.

2. En la ecuacin x2+ 8x+ 12 = 5, el miembro izquierdo no es trinomio cuadrado perfecto, de-bido a que el trmino constante 12, no es cuadrado exacto.

a) Cul deber ser el trmino constante para que el miembro izquierdo fuera un trinomio cua-

drado perfecto?b) Agrega un nmero a cada miembro de la ecuacin para hacer el miembro izquierdo un tri-

nomio cuadrado perfecto.c) Resuelve la ecuacin.

Actividad



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Etapa 1

24

x2 12x+ 36 = 9 + 36 Agrega 36 a cada miembro de la ecuacin para completar al cua-drado en el miembro izquierdo.

(x 6)2 = 27 Escribe el miembro izquierdo como un binomio al cuadrado; (6 esla mitad de 12). Reduce trminos en el lado derecho.

A partir de aqu, el problema es como los de secciones anteriores.

x ( ) =6 272

Indica la raz cuadrada de cada miembro.

|x 6|= 27 Ya que nmero = |nmero|.


x= 6 27 Agrega 6 a cada miembro y emplea la calculadora para obtener que

275.2.

Solucin

{6 + 27, 6 27 }

La comprobacin corre por tu cuenta.

Nota

El mtodo anterior para completar el cuadrado se aplica slo si el coeficiente de x2es igual a 1. Y si nolo es?

Para resolver una ecuacin como:2x2 + 12x+ 10 = 0

hay que reducir la ecuacin al caso previo, esto es, a tener x2con coeficiente 1, para lo cual simplementedivide cada miembro por 2, obteniendo:

x x+ +=

2 12 10

2

0

2

2

En el lado izquierdo, la divisin se distribuye sobre la adicin. En el lado derecho02 es 0. As la ecuacinllega a ser:

x2 + 6x+ 5 = 0,

la cual se trabaja como en los casos anteriores.

Desde aqu resolvers las ecuaciones como en el ejemplo 1.



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25

Ejemplo

Resuelve 2x2+ 10x 9 = 0, completando el cuadrado.

Procedimiento

2x2+ 10x 9 = 0 Escribe la ecuacin dada.

x2 + 5x 4.5 = 0 Divide cada miembro por 2.

x2 + 5x= 4.5 Agrega 4.5 a cada miembro.

x2 + 5x+ 6.25 = 4.5 + 6.25 Completa el cuadrado.

(x+ 2.5)2 = 10.75 Escribe el miembro izquierdo como el cuadrado de un binomio.

x 2.5 = 10 75. Obtn la raz cuadrada de cada miembro.

x= 2.5 10 75. Agrega 2.5 a cada miembro y emplea la calculadora para obtenerque 10 75 3 28. . .

Solucin

S = {2.5 + 10 75. , 2.5 10 75. }

Verificacin de una de las soluciones. Sustituimos 2.5 10 75. en la expresin 2x2 + 10x9, lo

cual debe darnos cero:

2 2 5 10 75 10 2 5 10 752

. . . . ( ) + (( ) = + +( ) =

9

2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9

12

. . . .

.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9

34 10 10 75 10 1

+ +

= +

. . .

. 00 75 34

0

.

=

Concluimos que 2 5 10 75 5 78. . . es una solucin de la ecuacin 2x2 + 10x 9 = 0.

Ahora t verifica la otra solucin.

Resuelve este ejercicio que ha quedado incompleto, despus de ver el ejemplo siguiente:

Repaso



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Etapa 1

26

Prctica mental

Para los problemas siguientes, proporciona el nmero que debe ser sumado para completar un tri-

nomio cuadrado perfecto.

a) x2 + 18x b) x2 22x

c) x2 + 6x d) x2 18x

e) x2 3x f ) x2 + 5x

g) x2 13x h) x2 11x

1. Resuelve cada ecuacin completando el cuadrado. Escribe las respuestas que no sean exactas,redondeando a dos decimales.

a) x2 + 6x+ 7 = 0 b) x2 6x+ 1 = 0

c) x2 + 4x+ 6 = 0 d) x2 + 10x+ 23 = 0

e) x2 18x+ 10 = 0 f) x2 8x 25 = 0

g) x2 2x 3 = 0 h) x2 22x 14 = 0

2. Utiliza el mtodo que estamos estudiando. Algunos ejercicios tienen decimales en la ecuacin,redondea la solucin a un decimal.

a) x2 + 24x 1.6 = 0 b) x2 + 8x 6.5 = 0c) x2 2x 22.4 = 0 d) x2 10x 17.5 = 0

e) x2 + 6x+ 17x= 0 f) x2 4x+ 25 = 0

g) x2

+ 20x= 0 h) x2

10x= 0

3. Completa el cuadrado para resolver las siguientes ecuaciones, en las que el coeficiente del tr-mino lineal no es un nmero entero par.

a) x2 + 3x+ 1 = 0 b) x2 + 2.4x 5 = 0

c) x2 9x 6 = 0 d) x2 7x+ 18 = 0

e) x2 5x 18 = 0 f) x2 x+ 1 = 0

g) x2 13x+ 40 = 0 h) x2 + 6.4x 7 = 0

4. Los siguientes casos requieren varias transformaciones antes de proceder a completar el

cuadrado.a) x2 = 9x+ 8 b) 4.6x= 4 x2

c) 9x2+ 10 = 12x d) 6x2+ 18x+ 29 = 0

e) x2 + 0.7 = 2.4x f) 0.6x2 + 2.3x 20 = 0

g) 3x2 + 10x+ 7 = 2 h) 0.4x2 + 1.5x 1.3 = 0

Ejercicio



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27

Lee con cuidado la explicacin que se te da a continuacin para que posteriormente puedas con-testar la actividad planteada.

La frase completando el cuadradopuede ser ilustrada con el concepto de rea. Por ejemplo el dia-grama muestra un cuadrado con lado x, flanqueado por dos rectngulos de dimensin 2 por x. Elrea del cuadrado sumada con la de los dos rectngulos es: x2 + 2x+ 2x, o sea x2 + 4x.

Como puedes ver, el cuadrado pequeo situado a la derecha con rea 2 2 = 4 completa el cua-drado grande.

Repaso

i) x2 + 1.32 = 1.4x j) 3x2 10x+ 4 = 0

k) 6.2x= 32 x2 l) x2 5x= x 8

5. Resuelve las siguientes ecuaciones a manera de repaso.

a) |x 6|= 36 b) |x+ 11|= 9

c) |2x 7|= 16 d) |5x 3|= 25

e) (x 5)2= 100 f) (x1.2)2= 16

g) (x+ 6.9)2= 20 g) (x+ 10)2= 1

x2

x

x

2x

rea = x2+ 2x+ 2x= x2+ 4x + 4

2x

x+ 2

x+ 2

42

2

2

2

En base a la explicacin previa, dibuja las figuras que completen el cuadradopara las siguientesexpresiones:

a) x2 + 12x b) x2+ 20x c) x2 6x

Actividad



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Etapa 1

28

La frmula cuadrtica

Aplicar la frmula general para resolver cualquier ecuacin cuadrtica.

Objetivo

Toda ecuacin cuadrtica en una variable puede escribirse en la forma ax2 + bx+ c = 0, donde a, b y cson constantes y a0.

Veamos qu sucede cuando empleamos el mtodo de completar el cuadrado para resolver la ecuacincuadrtica general.

Sea la ecuacin cuadrtica general: ax2 + bx+ c= 0

1. Comenzaremos dividiendo ambos miembros por a. Obtenemos:

xb

ax

c

a

2 0+ + =

2.Sumamos c

a

en ambos lados de la igualdad:

xb

ax

c

a

2 + =

3. Completamos el trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo, para lo cual nos falta el tr-

mino ba

b

a

2

2

2

4 2=

, tal como fue explicado en la seccin anterior. Lo agregamos en ambos miembros

y en el lado derecho se efecta la operacin indicada entre las fracciones.

x2 + 222 4 4

4

4

2

2

2

2

2

2

b

ax

b

a

b

a

c

a

b ac

a

+ = =

4. Se factoriza el miembro izquierdo2

xb

a+

= 2

2

4

4

b ac

a.

5. Indicamos la raz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:

= 2

2

4

2x

b

a

b ac

a

6. Sumando b

2apara despejar x, tenemos

= 2

xb

a

bb ac

a

2 4

2



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29

7. Se efecta la suma algebraica xb b ac

a=

2 4

2

8. Y aqu tenemos una Frmula Generalque nos permitir obtener las soluciones de cualquier ecua-cin cuadrtica de la forma ax2 + bx + c= 0.

Ejemplo

Encuentra el conjunto solucin de 2x2 9x 5 = 0.

Procedimiento

En esta ecuacin, a= 2 b= 9 y c= 5

b2 4ac = 81 4(2)(5) = 121; 121= 11

Luego, x = ( )

=9 11

4

9 1

4

Habr dos soluciones, dado el signo

x =+

=9 11

4

20

445=

9 11

4

2

4

1

2=

=

=

x

Solucin

Las soluciones son x= 5 y x= 12

Ejemplo

Resolver la ecuacin 4x2 + 20x+ 25 = 0.

Procedimiento

En esta ecuacin, a= 4, b= 20 y c= 25

b2 4ac= 400 400 = 0; 0 = 0

Luego,20 0

8x=

( )



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Etapa 1

30

Si admitimos que toda ecuacin de 2 grado tiene dos soluciones, en este caso diremos que las dos son

iguales a x= 52

Solucin

5

2S=

Ejemplo

Resuelve usando la frmula cuadrtica: 2x2 + 8x+ 5 = 0.

Procedimiento

2x2 + 8x+ 5 = 0 Escribe la ecuacin dada.

8 64 4 2 5

2 2x=

( ) ( )( )

Usa la frmula cuadrtica sustituyendo los valores de a,b, c. En estecaso: a= 2, b= 8, c= 5.

S= +

8 24

4

8 24

4, El radical es 24 , el cual es aproximadamente 4,898979486.

Solucin

S={0.78, 3.22} Soluciones aproximadas.

Otros ejemplos:

Ejemplo

Resuelve (usando la frmula cuadrtica) la ecuacin: 5x2 7x 11 = 0.

Procedimiento

5x2 7x11 = 0 Escribe la ecuacin dada.

x = ( ) ( ) ( )

( )

7 49 4 5 11

2 2 Usa la frmula cuadrtica sustituyendo los valores de a, b, c. En

este caso: a= 5, b= 7, c= 11.

El radical es 2269 , el cual es aproximadamente 16.40121947.



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31

Solucin

S= {2.34, 0.94}

Ejemplo

Resuelve la ecuacin 2x2+ 5x+ 2 = 0, usando la frmula cuadrtica.

Procedimiento

2x2 + 5x + 2 = 0 Escribe la ecuacin dada.

x = ( ) ( )

( )

5 25 4 2 2

2 2 Usa la frmula cuadrtica, a= 2, b= 5, c= 2.

El radicando es 9, y como 9 es un nmero con raz exacta, estoquiere decir que las races son racionales.

Solucin

S= {0.5,2} Efectuando las operaciones aritmticas.

Ejemplo

Resuelve la ecuacin 3x2 x+ 8 = 0, usando la frmula cuadrtica.

Procedimiento

3x2 x+ 8 = 0 Escribe la ecuacin dada.

x = ( ) ( ) ( )

( )

1 1 4 3 8

2 3 Usa la frmula cuadrtica sustituyendo los valores de a, b, c. En este

caso: a=3, b=1, c= 8.

El radical es 95, el cual no es un nmero real. (Esto ocurre siem-pre que b2 4aces negativo).

Solucin

S=



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Etapa 1

32

Ejemplo

Resuelve la ecuacin (2x+ 3) (x 7) = 3, usando la frmula cuadrtica.

Procedimiento

(2x+ 3)(x 7) = 3 Escribe la ecuacin dada

2x2 11x 21= 3 Multiplica los binomios.

2x2 11x 24 = 0 Resta 3 a ambos miembros para que la ecuacin quede de laforma ax2 + bx+ c= 0 y pueda ser empleada la frmula general.

x = ( ) ( )11 121 4 2 24

2 22( )

Usa la frmula cuadrtica: a= 2, b=11, c= 24.

Solucin

S= +

11

4

313

4

11

4

313

4, El radical 313es aproximadamente 17.69180601.

Prctica mental

Identifica los valores de a, b y c para utilizarlos en la frmula cuadrtica.

a) 5x2 3x+ 2 = 0 g) x2 2x= 0

b) 6x2

+ 4x+ 10 = 0 h) 3x2

2x 6 = 0c ) x2 x+ 3 = 0 i ) x2 + x+ 1 = 0

d) 9x2 11x15 = 0 j ) 6x2 9 = 0

e) 6x2 + 3x+ 2 = 0 k) x2 x+ 1 = 0

f ) 5x2 3x+ 2 = 0 l ) 53x+ 7x2 = 0

1. Escribe las soluciones que no son exactas, redondendolas a dos decimales. Verifica cada res-puesta almacenndola en la memoria de la calculadora. Despus evala la(s) expresin(es) en la

ecuacin usando el valor almacenado.a) 4x2 11x 3 = 0 b) x2 + 8x+ 25 = 0

c) x2 x 30 = 0 d) 5x2 17x+ 6 = 0

e) 2x2 4x+ 1= 0 f) x2 6x+ 13 = 0

g) 6x2 + 5x+ 1 = 0 h) 8x2 + 10x+ 1 = 0

Ejercicio



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33

i) 3x2 x 2 = 0 j) x2 x+ 1= 0

k) 0.5x2

+ 11x+ 3.5 = 0 l) 0.2x2

0.4x 2.1 = 0m) 0.8x2+ 5x+ 3.1 = 0 n) x2+ x+ 1 = 0

2. En cada uno de los siguientes casos falta un trmino. Para aplicar la Frmula General, slo debesconsiderar que el coeficiente del trmino faltante es igual a cero.

a)3x2 + 7 = 0 puede ser escrita como 3x2 + 0x+ 7 = 0; entonces a= 3, b= 0,c= 7.

b)8x2 5x= 0 puede ser rescrita como 8x2 5x+ 0 = 0; entonces a= 8, b= 5,c= 0.

c) 4x2 + 9 = 0 d) 2x2 + 4 = 0

e) x2 2x= 0 f) 3x2 + 2x= 0

g) 2x2 + x= 0 h) x2 + x= 0

i) 5x2 + 1 = 0 j) 3x2 13 = 0

3. Transforma cada ecuacin a la forma: ax2+ bx+c= 0, para que pueda ser usada la frmulacuadrtica.

a) 5x2+ 2x= 3 b) x2+ 3x 1 = x 2x2

c) 2x2 5x 3 = 2x 4x2 d) n(n+ 2) = 35

e) x(x+ 1) = 30 f) (x+ 3)2 x= 20

g) x2= 2x+ 2 h) (x 2)(x 5) = 6

i) (x+ 2)2+ 36 = 0 j) (3x+ 2)(2x 1) = 13

k) 0.2(x 4) = x21.2 l) 0.3(3 x) = x2+ 0.6

m) (x+ 8)2+ x= (x+ 6)2+ 4 n) (x 3)2+ 3x= (x+ 1)2 10

Has notado que algunas veces no hay soluciones reales a ciertas ecuaciones cuadrticas. Esto su-cede cuando el nmero bajo el signo radical es negativo.

De la frmula cuadrtica, sabes que este nmero es b2 4ac.

Sin que resuelvas las siguientes ecuaciones, encuentra el valor de b2 4acy usa el resultado paradecir si la ecuacin tiene o no soluciones reales. A la expresin b2 4acse le llama discriminante.

a) 3x2 + 2x+ 5 = 0 b)x2 + 7x 3 = 0 c) 5x2 + x 20 = 0

d) 2x2 3x+ 7 = 0 e)x2+ x + 1 = 0 f )3x2+ x 1 = 0

Actividad



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Etapa 1

34

Resolucion de ecuaciones cuadrticas por factorizacin

Aplicar los tipos apropiados de factorizacin en la resolucin de ecuaciones cuadrticas.

Objetivo

Cuando el polinomio ax2+ bx+ cse puede factorizar como el producto de dos factores lineales (unidad2), la ecuacin cuadrtica ax2+ bx+ c= 0 puede resolverse igualando separadamente cada uno de losfactores a cero. De esta manera la ecuacin cuadrtica queda expresada como dos ecuaciones lineales.El conjunto solucin estar formado por las soluciones de dichas ecuaciones lineales.

Ejemplo

Encontrar el conjunto solucin de la ecuacin x2 x 2 = 0.

Procedimiento

Factorizar el miembro de la izquierda: (x 2)(x+ 1) = 0.

En esta forma, la ecuacin nos seala que un producto de dos nmeros es igual a cero. La nicamanera de que un producto pueda ser cero es que uno de los factores sea cero (o ambos).

Entonces la ecuacin (x 2)(x+ 1) = 0

puede ser escrita: x 2 = 0 x+ 1 = 0

Esta transformacin cambia un problema difcil en dos problemas fciles. Despejando xen cadauna de las ecuaciones lineales resultantes, tenemos:

x= 2 x= 1

Solucin

Por lo tanto, el conjunto solucin es S= {2,1}

Propiedad multiplicativa del cero

El producto de cualquier nmero por 0 es igual a 0.

Recproco de la propiedad multiplicativa del ceroSi un producto de nmeros reales es igual a cero, entonces uno de los factores es igual a cero. Estoes, para todo nmero real ny p, si np= 0, entonces n= 0 bien, p= 0.



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35

Para saber si una expresin cuadrtica tiene o no factorizacin recurrimos al discriminanteb2 4ac.

En la ecuacin x2

x2 = 0, el discriminante es (1)2

(4)(1)(2) = 9, que es un nmero cuadradoexacto. La expresin x2 x 2 puede ser factorizada como:

(x 2)(x+ 1)

Prueba de discriminante para factorizarUn trinomio cuadrtico ax2+ bx+ cpuede ser factorizado si y solo si el discriminante b2 4aces uncuadrado perfecto.

Ejemplo

Resolver (7x 3)(2x+ 5) = 0.

Procedimiento

(7x 3)(2x+ 5) = 0 Escribir la ecuacin dada.

7x 3 = 0 2x+ 5 = 0 Aplicar el recproco de la propiedad multiplicativa del 0.

x x= 3

7

5

2 Resolviendo cada ecuacin lineal.

Solucin

S=

3

7

5

2,

Ejemplo

Resolver 2x2 x 3 = 0.

Procedimiento

2x2 x 3 = 0 Escribir la ecuacin dada.

(2x 3)(x+ 1) = 0 Factoriza el lado izquierdo.

1. Obtn el discriminante de la ecuacin x2 3x12 = 0.

2. La expresin x2 3x12 puede ser factorizada? Hay alguna relacin entre el valor del discrimi-nante y el hecho de que una expresin cuadrtica pueda factorizarse?

Repaso



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Etapa 1

36

2x 3 = 0 x+ 1= 0 Aplicar el recproco de la propiedad multiplicativa del 0.

x x= =

3

2 1 Resolviendo cada ecuacin lineal.

Solucin

S =3

21,

Ejemplo

Resolver 2x2+ 15x+ 12 = 0.

Procedimiento

2x2 + 15x+ 12 = 0 Escribir la ecuacin dada.

b2 4ac= 152 4(2)(12) = 129 Calcular el discriminante. Como 129 no es cuadrado exacto,decimos que la expresin no tiene factorizacin. Entonces:

x=

( )15 129

2 2 Usando la frmula cuadrtica.

x x= +

= 15 129

4

15 129

4,

Solucin

S= +15 1299

4

15 129

4, x=

Repaso

Escribe la solucin, aproximando a dos decimales el resultado de las operaciones aritmticas.

Ejemplo

Resolver 10x2

83x+ 24 = 0.

Procedimiento

10x2 83x+ 24 = 0 Escribe la ecuacin dada.

(10x 3)(x 8)= 0 Factoriza.



37/335


37

x= 83

10x=

Resolviendo cada ecuacin lineal.

Solucin

83

10,S=

Prctica mental

Las siguientes ecuaciones pueden ser resueltas factorizando? Explica.

Ejemplos Respuestas

a) 3x2

10x 8 = 0 a) Si; b2

4ac= 196 es cuadrado perfecto.b) 5x2 11x+ 3 = 0 b) No; b2 4ac= 61 no es cuadrado perfecto.

1. x2 + 8x+ 15 = 0 2. x2 x 6 = 0

3. x2 + 5x+ 3 = 0 4. x2 + 3x+ 10 = 0

5. x2 + 3x 10 = 0 6. x2 + 3x+ 10 = 0

7. 2x2 + 7x+ 6 = 0 8. 3x2 8x+ 5 = 0

9. 3x2 + 10x 8 = 0 10. 2x2 + 5x 10 = 0

11. x2 + 6x+ 10 = 0 12. 4x2 12x+ 9 = 0

1. Enuncia la propiedad de multiplicacin del cero.

2. Enuncia el recproco de la propiedad de multiplicacin por cero.

3. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones.

a) (x 3)(x 7) = 0 b) (x 9)(x 2) = 0

c) (7x+ 8) (2x 11) = 0 d) (4x 7)(x+ 3) = 0

e) (x 3)(x+ 4)(x 5) = 0 f) (11x+ 17)(2x 13) = 0

g) (6x 5)(x+ 7)(2x 9) = 0 h) (5x+ 24)(4x+ 37) = 0

i) (x 6)(x 7)(x 8)(x+ 9) = 0 j) (2x 9)(x+ 8)(6x 7) = 0

4. Resuelve por factorizacin sies posible. De otro modo resuelve usando la frmula cuadrtica.Redondea las soluciones no exactas a dos cifras decimales.

a) x2 x 12 = 0 b) x2 3x 10 = 0

c) x2 + 4x 5 = 0 d) x2 + 5x 6 = 0

e) 5x2 12x 6 = 0 f) 12x2 20x+ 7 = 0

Ejercicio



38/335

Etapa 1

38

g) 6x2 5x 6 = 0 h) x2 + 3x 28 = 0

i) 16x2

46x+ 15 = 0 j) 3x2

5x+ 4 = 04. Transforma cada una de las siguientes igualdades en una ecuacin cuadrtica y resulvela.

Descarta soluciones extraas.

a) b)

c) d)

e) f)

8

6

8

6m m+

=

2

5

1

33

x x+

=

3

x 11

2

45

+

=

x 2

7

42

+

+

=x

x x

3

4

5

3+

=

x x

4

12

2x =

Para los problemas siguientes el miembro izquierdo se puede factorizar como producto de tresbinomios lineales. Resuelve las ecuaciones, cada una tiene tres soluciones.

(Factoriza por agrupacin).

1.x3 3x2 4x+ 12 = 0 2.x3 + 4x2 25x 100 = 0

3.x3 2x2 9x+ 18 = 0 4.x3 + 5x2 36x1 80 = 0

5.3x3 + 4x2 3x 4 = 0 6.4x3 24x2 x+ 6 = 0

1.3 Problemas de aplicacin

Plantear y resolver ecuaciones cuadrticas que representen una situacin cotidiana

dada.

Objetivo

Veamos algunos ejemplos y tengamos en cuenta que las soluciones deben tener sentido en el contextodel problema; en caso de no ser as, la solucin debe ser descartada.

Ejemplo

La casa de la familia Martnez tiene un patio cuyo largo es el doble del ancho. Se va a adoqui-nar una parte y a dejar otra para jardn. La parte que se va a dejar para jardn son 6 metros

a lo largo de todo el lado poniente, como se ilustra en el dibujo. Si se necesitan 360 m2de

adoqun para cubrir la parte correspondiente,

a) Cules son las dimensiones del terreno?

b) Cuntos metros cuadrados quedan de jardn?

Actividad



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39

Procedimiento

rea adoquinada = 360 = x(2x 6) = 2x2 6x

2x2 6x 360 = 0 Se ordena la ecuacin y se iguala a 0.

x2 3x 180 = 0 Dividiendo la ecuacin por 2.

(x15)(x+12) = 0 Factorizando.

x= 15, x= 12 Aplicando la propiedad del 0 y resolviendo cada ecuacin lineal.

Solucin

a) El terreno mide 15 metros de ancho por 30 metros de largo, esto es, 450 m2.

b) El jardn mide 6(x) = 6(15) = 90, o bien 450 m2del terreno 360 m2de adoqun = 90 m2dejardn.

Observa que x= 12 no puede ser solucin a nuestro problema porque la longitud es una mag-

nitud positiva.

Ejemplo

La suma de dos nmeros naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36 al productode los nmeros. Encontrar ambos nmeros.

Procedimiento

Primer nmero Segundo nmerox (48 x) Ya que la suma de ambos es 48.

Cuadrado Cuadrado Producto de los nmeros.

x2 (48 x)2 x(48 x)2

x

2x



40/335

Etapa 1

40

x2 48 (48 x)2 36 = x(48 x) La relacin existente entre los nmeros.

x2 2304 96x x2 36 = 48x x2 Efectuando operaciones.

x2+ 48x(48 2 304) = 0 Reduciendo trminos.

(x+ 78) (x 30) = 0

x+ 78 = 0, esto es x= 78 Factorizando.

x 30 = 0, es decir x= 30 Resolviendo cada ecuacin lineal.

Solucin

Los nmeros son 30, y 48 30 = 18.

RepasoPor qu se elimina 78 como solucin del problema?

1. La suma de dos nmeros es 20. La suma de sus recprocos es

415

.

a) Establece las ecuaciones que plantea el problema.

b) Procede por el mtodo de sustitucin.

c) Resuelve la ecuacin cuadrtica que resulta.

d) Determina los nmeros.

2. Dado el siguiente tringulo rectngulo, determina:

a) El valor de x.

b) El valor de cada lado.

3. Una excursin geolgica cost 120 dlares. Si hubieran ido 3 miembros ms, el costo por estu-diante habra sido de 2 dlares menos. Cuntos estudiantes fueron a la excursin?

2x1x

2x 10

Ejercicio



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41

4. El largo de una pieza rectangular de madera mide 4 cm ms que su ancho y el rea es de 192

cm2. Encuentra las dimensiones de la pieza.5. Si cada uno de dos lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros lados

opuestos se disminuye 2 pies, el rea del rectngulo resultante supera en 32 pies cuadrados alrea del cuadrado original. Encuentra la longitud del lado del cuadrado.

6. Se quiere cubrir una superficie triangular de 48 m2.La base del tringulo mide 4 metros menosque la altura. Encuentra las medidas de la base y la altura del tringulo.

7. La diferencia de dos nmeros naturales es 9 y la suma de sus cuadrados es 305. Encuentra losnmeros.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto.

a) |5 x|= 31

b) |6x+ 3|= 15

c) |x 8|= 0

d) |4x 19|= 7

2.Resuelve aplicando =n n.2

a) (x+ 3)2= 100

b) (2x+ 7)2= 25

c) (0.7x+ 5 8)2= 46.31

d) (x+ 9)2= 36

3. Resuelve las ecuaciones cuadrticas escribiendo el miembro izquierdo como un trinomio cua-drado perfecto.

a) x2 4x+ 4 = 25

b) x2 18x+ 81 = 2 001

c) x2 + 14x+ 49 = 49

d) x2 1.4x+ 0.49 = 0.35

Autoevaluacin 1



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Etapa 1

42

e) x x22

3

1

9

4

9+ + =

f) x x25

4

25

64

121

64 + =

4. Agrega una constante para completar el trinomio cuadrado perfecto.

a) x2 + 24x+...

b) x2 + 0.04x+

c) x2 3x+...

d) x2 x+...

e) x2 + 1 000x+...

5. Resuelve las ecuaciones completando el trinomio cuadrado perfecto.

a) x2 + 6x+ 4 = 0

b) x2 16x 17 = 0

c) x2 6x 21.9 = 0

d) x2 6x+ 13 = 29

e) x2 + 8x+ 7 = 27

f) x2 + 0.65 = 1.8x

g) x2

+ 1.68 = 2.6x

6. Resuelve las ecuaciones empleando la frmula general.

a) 3x2 + 14x+ 15 = 0

b) 8x2 + 5x+ 21 = 0

c) 6x2 17x 3 = 0

d) 7x2 + 10x+ 3 = 0

7. Resuelve las ecuaciones por factorizacin.

a) x2 + x 2 = 0

b) x2

x 6 = 0c) 2x2 x 6 = 0

d) 2x2 + 15x+ 7 = 0



43/335


43

8. Resuelve los siguientes problemas de aplicacin.

a) La suma de dos nmeros es 35. Si a un nmero le llamamos x, el otro nmero puede ex-

presarse como . Su producto se escribir como

.

Si el producto de esos dos nmeros es 264, escribimos la ecuacin: .

Resolviendo la ecuacin, encontramos que los nmeros son: y .

b) La suma de dos nmeros naturales es 40. La suma de sus cuadrados es 850. Encuentra losnmeros.

c) Se desea cercar un terreno rectangular con 300 m de alambre. Un ro corre a lo largo de uno

de sus lados y, por tanto, no necesita cercar dicho lado. Halla las dimensiones del terreno siste no es un cuadrado y su rea es de 10 000 m2.



44/335

Etapa 1

44

a) x= 26, 36 a) S= {0.76, 5.24}

b) b) S= {17, 1}

c) x= 8 c) S= {8.56, 2.56}

d) S= {3, 6.5} d) S= {8, 2}

a) S= {7, 13} e) S= {2, 10}

b) S= {1, 6} f) S= {1.3, 0.5}

c) S= {1.44, 18.01} g) S = {1.2, 1.4}

d) S= a) S=

12

33,

a) S= {7, 3} b) S= {1.34, 1.96}

b) S= {53.73, 35.73} c) SS=

31

6,

c) S= {0, 14} d) S=

3

71,

d) S= {1.29, 0.11} a) S= {1, 2}

e) S=

1

31, b) S= {3, 2}

f) S=

23

4, c) S=

3

22,

a) 144 d) =

S 71

2,

b) 0.0004 a) 11 y 24.

c) 94

b) 15 y 25.

d) 154

c) 50 m 200 m.

e) 2.5 105

7.

6.

5.1.

2.

4.

3.

8.

Solucin a la autoevaluacin 1



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Qu es la geometra?

La Geometra griega parte de los conocimientos concretos y prcticos de las civilizacionesegipcia y mesopotmicas, pero avanza en direccin a la abstraccin al considerar los obje-tos como entes ideales: un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta,un crculo en lugar de la entrada de un pozo, etc. Esto tiene la ventaja de que los objetosas representados pueden ser manipulados mentalmente, y al ser abstractos pueden gene-ralizarse. Aqu aparece por primera vez la demostracin como justificacin de la veracidadde un conocimiento, aunque en un primer momento se trataba ms de justificaciones in-tuitivas que de verdaderas demostraciones formales.

Pitgoras y la secta por l creada (los pitagricos) tiene un papel central en el desarro-llo de la geometra, pues asienta definitivamente el concepto de demostracin formal comonica va de establecimiento de la verdad. Sin embargo, al querer demostrar cada afirma-cin geomtrica, se cae en la trampa de entrar en un proceso sin fin.

Se resuelve este dilema con las aportaciones de Euclides, quien propone un sistema deestudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intui-tivamente claras: llamadas axiomas o postulados, y a partir de ellas se deducen todoslos dems resultados. Su obra, Los Elementos, es un modelo de sistema axiomtico-deductivo: sobre tan slo cinco postulados y las definiciones que precisa construye todala geometra y la aritmtica conocidas hasta el momento1. Cualquier estudio bsico degeometra, toma el modelo euclidiano. En nuestro caso, sin pretender agotar el tema,seguimos la metodologa en cuestin, que sera:

1. Reconocer que en nuestro mundo existen formas que pueden ser identificadas, cla-sificadas y estudiadas.

2. Partir de algunos trminos indefinidos el menor nmero posible, que se puedanentender de manera ms o menos intuitiva pero de los que no se dar una defini-cin formal; en todo caso, ejemplos para una comprensin ms o menos uniforme(es el caso de punto, recta, plano).

3. Definiciones. (ngulo, tringulo, etc.)

4. Axiomas o postulados. Principios que se aceptan como ciertos o evidentes.

5. Teoremas y corolarios. Proposiciones que se aceptarn como verdaderas slo des-pus de su demostracin.

6. Razonamiento inductivo.Una especie de generalizacin a partir de la observacin dehechos particulares

7. Razonamiento deductivo. El proceso que garantiza la veracidad de las conclusiones apartir de unas premisas y mediante la lgica pura.

8. Problemas.Con la aplicacin de todo el sistema planteado, estar en posibilidad deresolver situaciones tanto del mbito escolar como del mundo real.

1 Su obra, en 13 volmenes, perdura como nica verdad geomtrica hasta entrado el siglo XIX. A partir del quinto postulado

se desarrollan otras geometras, llamadas no euclidianas.

45



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Etapa 2

46

El siguiente esquema muestra en qu consiste el mtodo axiomtico, que se usa en el estudio de laGeometra.

RazonamientoInductivo-deductivo

Teoremas ycorolarios

PostuladosDefiniciones

Trminosindefinidos

Formas delmundo real

Problemas



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47

Un baln de futbol te es comn? Tiene forma esfrica perfecta? Si lo observas, vers que est formadopor pentgonos y hexgonos unidos. (cuntos habr de cada tipo?. Su forma esfrica, cuando lo desin-flas un poco, es en realidad un poliedro: un icosaedro truncado. Segn informacin de la pginahttp://www.diadelasimetria.com/ml/page3.htmltenemos que:

Por qu se utiliza este poliedro para construir los balones? Es el que ms se aproxima a una esfera? Su

volumen es slo el 86,74 % de la esfera correspondiente, que no es una mala aproximacin. Al curvarsus caras cuando se infla este porcentaje aumenta ligeramente y sobrepasa el 95 %. Para abundar en eltema puedes consultar la siguiente direccin: http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/

La Geometra tiene que ver con temas, objetos, ideas, presentes en la vida y la mente del hombre desdela ms remota antigedad. Te imaginas cmo le hicieron las culturas egipcia o maya para lograr quelos ngulos de la base de las pirmides quedaran tan exactos? Y cmo le haran para que al repartir unterreno entre varios hermanos cada uno tuviera la misma cantidad de tierra para sembrar?

De ah precisamente proviene la palabra geometra, de las races griegas geoy metron, que significantierra y medida, respectivamente. As que si se traduce literalmente, resulta ser que Geometra significa

medicin de la tierra. Sabemos que esa sera una definicin demasiado estrecha de esta ciencia detan gran utilidad.1

1 La geometra plana que solemos estudiar es conocida tambin como Geometra euclideana. Es interesante conocer entonces

quin es Euclides. Puedes entrar a la pgina: http://es.geocities.com/eucliteam/estudios_de_geometria.html#Geometra

Etapa

2Geometra plana

El icosaedro truncado deriva del icosaedro, uno de los cinco slidos platnicos, el cual est formado por 20

caras en forma de tringulo equiltero. Cortando cada vrtice como se muestra en la figura, se forman las 12

caras pentagonales y 20 hexagonales del icosaedro truncado.



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Etapa 2

48

La Geometra es una ciencia muy prctica. Los ingenieros y arquitectos deben dominar la geometra, ascomo los fsicos y otros cientficos deben dominarla. Pero la geometra tambin facilita enormemente el

trabajo al dibujante, al carpintero, al fabricante de herramientas y al artesano en general.

Puede ser que no vayas a realizar ninguna labor que necesite directamente de la geometra. Sin embar-go, sta tambin te ayudar a pensar y a expresarte ante los especialistas en Matemticas a quienes enalgn momento plantears algn problema que te interese resolver.

Si esto no basta para motivarte totalmente por esta rama de las Matemticas, piensa que la geometraes hermosa2, y en su belleza ayuda a comprender mejor la naturaleza del mundo que nos rodea; enefecto, si observas la realidad descubrirs un mundo pletrico de imgenes geomtricas provenientes dela misma naturaleza como del trabajo del hombre; as que puedes darte cuenta de lo til que puede serel estudio de la Geometra para comprender el mundo en que vivimos. Por otro lado la geometra ayudaa desarrollar las habilidades del razonamiento lgico por lo que vale la pena disfrutar su conocimiento.

2.1 Conceptos elementales de geometra

2 Te recomendamos la siguiente direccin, para que leas la Declaracin Pblica de Amor que su autor hace hacia esta ciencia.

http://www.nacho.unicauca.edu.co/Matemas/0104DecAmo/DecAmo.htm

Si preguntas a alguien qu cosa es un cuerpo, seguramente recibirs respuestas como: un objeto, algoque se puede ver y tocar, por ejemplo un jarrn, una pelota, etc. Como puedes observar, se relaciona ala palabra cuerpo con objetos materiales. Ahora bien, un cuerpo fsicoes toda porcin del espacio que

est ocupada por materia.

Sin embargo, existe otro tipo de cuerpos que constituyen el objeto de estudio de la geometra plana, loscuerpos geomtricos, que no son objetos materiales en general. Es decir, un cuerpo geomtricoes todaporcin limitada del espacio (aunque no est ocupada por materia).

La geometraes la parte de las Matemticas que estudia las propiedades de los cuerpos geom-tricos en general. Dichas propiedades pueden ser referidas tanto a las medidas de los cuerpos(longitud, rea, volumen, etc.) como a las relaciones entre sus diferentes partes.

Definicin

Los cuerpos geomtricos elementales son el punto, la recta y el plano. Resulta imposible obtener unadefinicin rigurosa de dichos conceptos, pues cualquier intento de definicin de uno de ellos incluye

Comprender los conceptos intuitivos de punto, recta, plano y conocer los axiomas b-sicos de la Geometra euclidiana.

Objetivo



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Geometra plana

49

siempre a alguno de los otros, sin poderse establecer un orden jerrquico entre ellas. As, podemos en-contrar definiciones como las siguientes:

Un puntoes la interseccin de dos rectas no paralelas.

Una rectaes la interseccin de dos planos no paralelos.

Un planoes el conjunto de todos los puntos determinados por tres puntos no colineales prefijados.

Por lo tanto, punto, recta yplanoson conceptos que no van a definirse; sin embargo, cualquier personaes capaz de imaginar ms o menos intuitivamente qu es un punto, una recta o un plano, vindolospor ejemplo como la esquina de una mesa, el borde de la mesa, o la superficie de la mesa. Luego, paradesarrollar el concepto geomtrico slo resta tener en cuenta las siguientes consideraciones, que son degran importancia en el trabajo geomtrico y se obvian a menudo:

El punto no tiene longitud. Por lo general, se menciona con letras maysculas, por ejemplo: el punto

A, el punto B, etctera, y se representan grficamente como .

La recta contiene una cantidad infinita de puntos; no tiene principio ni fin. Su longitud es infinita yno tiene rea.

Una recta se representa mediante una lnea, en la que pueden marcarse uno, dos o ms de suspuntos, como lo muestra la siguiente figura:

r

A B

Se denota con una letra minscula escrita a un lado; la recta anterior se llamara la recta r. Tam-bin se puede hacer referencia a ella mencionando dos de sus puntos de la siguiente forma:AB, locual se lee: la recta AB.

El plano contiene una cantidad infinita de puntos y rectas, no tiene bordes, su rea es infinita y notiene volumen.

Un plano se representa con una figura que asemeje a una superficie y se hace referencia a l men-cionando tres de sus puntos no alineados como en la siguiente figura:

A

Plano ABCD:

B

C

D

En el trabajo geomtrico se dibuja la recta y el plano como objetos finitos por razones de espacio, peronunca se deben olvidar las consideraciones anteriores mencionadas.



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Etapa 2

50

Otros conceptos elementales de la geometra

Adems de los conceptos bsicos de punto, recta yplano, tenemos otros, que definiremos a continuacin:

Si en una recta se fija un punto O, entonces el conjunto formado por todos los puntos de la rectaque se encuentran a un mismo lado del punto O, incluyendo el punto O, se llama semirrecta o rayo,y el punto Ose llama origende la semirrecta.

En el ejemplo siguiente se puede hablar del rayo AB, se escribe AB, el cual incluye todos los puntosa la derecha de A, incluyendo al punto A; o del rayo BA, se escribe BA, que incluye todos los puntosa la izquierda de B, incluyendo a B.

A B

Notars que tambin se puede hablar de los puntos que estn entre Ay B; en este caso se hablaslo de una parte de la recta, mismo que se denomina segmento de recta, en este caso se repre-senta como: AB.

Si en un plano se fija una recta r, entonces el conjunto formado por todos los puntos del plano quese encuentran a un mismo lado de la recta, incluyendo la recta r, se llama semiplano.

Una superficiees el conjunto de todos los puntos que limitan un cuerpo plano geomtrico. Todocuerpo geomtrico plano es una superficie (conocida tambin como figura plana).

Se dice que tres puntos son colinealessi se encuentran todos sobre la misma recta, y coplanaressiestn en el mismo plano.

Dos rectas son paralelassi se encuentran en el mismo plano y no tienen ningn punto en comn.

Dos planos son paralelossi no tienen ningn punto en comn.

Conociendo estos conceptos primarios, la Geometra se desarrolla a partir de una serie de axiomas o pos-tulados, los cuales son proposiciones que se consideran vlidas gracias a la observacin y la experiencia,y que no pueden ser demostradas con rigor matemtico partiendo de conocimientos previos.

Axiomas de la geometra euclidiana

Algunos Axiomas de la geometra euclidiana son los siguientes:

Por un punto pasan infinitas rectas.

Dos rectas se cortan a lo sumo en un punto.

Dos puntos distintos determinan una recta.

Tres puntos no colineales determinan un plano.

Y el siguiente:

Por un punto exterior a una recta dada se puede trazar una nica recta que sea paralela a la anterior.



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Geometra plana

51

Este ltimo axioma se conoce con el nombre de postulado de las paralelas3y fue objeto de discusin enla Geometra durante muchos aos. Se trataba de determinar si constitua un axioma o no, es decir, si

poda ser demostrado con la ayuda de los axiomas ya conocidos. Luego de mucho tiempo de estudio selogr determinar que efectivamente el axioma de las paralelas s poda ser considerado como tal, demos-trndose adems que su sustitucin por otro poda conducir al desarrollo de otras geometras llamadasno euclidianas, como son los casos de la Geometra elptica y la Geometra hiperblica, donde en el lugardel postulado de las paralelas se considera que:

Por un punto exterior a una recta dada no se puede trazar ninguna recta que sea paralela a la an-terior.

Por un punto exterior a una recta dada se pueden trazar infinitas rectas que sean paralelas a laanterior.

2.2 ngulos y su clasifcacin ngulos

3 http://www.ivic.ve/estudio_de_la_ciencia/Geometrias.pdf

En la figura precedente las semirrectas son: ABy ACcon origen comn en A.

Si dos semirrectas o rayos tienen el mismo origen, entonces el conjunto unin de ambas es loque se llama ngulo. Las dos semirrectas se llamarn lados del nguloy el origen comn delas semirrectas se llamar vrtice del mismo.

Definicin

A

B

C

Figura 2.1

Aplicar el concepto de ngulo (y su notacin) y de grados y radianes como unidadesde medicin de ngulos.

Transformar medidas de ngulos en grados a radianes y viceversa, y aplicarlo a lasolucin de problemas prcticos de medicin de ngulos.

Objetivos



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Etapa 2

52

Para designar el ngulo que forman ABy se usa una de las dos notaciones siguientes: BACo CAB

situando la letra del vrtice en el medio.

A veces, con la finalidad de abreviar, se designa el ngulo con la letra del vrtice; en el caso de nuestrafigura, sera A. Desde luego, esto ltimo se hace si no hay ms de un ngulo con el mismo vrtice.

Si revisas otros libros encontrars otras definiciones de ngulo que se refieren en general a regionesplanas determinadas por dos semirrectas de origen comn o por dos rectas que se cortan en un punto.Sin embargo, en casi todas ellas surge alguna ambigedad al tratar de determinar la regin en cuestin.

Esto conduce a otra forma de denotar los ngulos, hacindolo a travs de letras del alfabeto griego quemarcan en la grfica la regin determinada por el ngulo, como se observa en la figura 2.1, as se denotaBAC= a.

Se llama bisectriz de un ngulo a la semirrecta que tiene su origen en el vrtice del mismo ylo divide en dos ngulos de igual medida.

Definicin

En la figura 2.2, el ngulo BACse ha dividido en dos ngulos de igual medida por la semirrecta AD.

Figura 2.2

A

Bisectriz

B

D

C

En su obra La isla misteriosa Julio Verne describe cmo el ingeniero Ciro Smith calcula aproximadamente

la latitud y longitud geogrficas de la isla Lincoln con herramientas muy rsticas, pero con la ayuda indiscuti-

ble del clculo geomtrico. Para determinar la latitud mide un ngulo determinado y expresa el resultado en

grados. Para ello construye un instrumento utilizando un crculo, cuya circunferencia divide en 360 partes

iguales. As logra expresar la medida del ngulo buscado en grados sexagesimales.

Existen diferentes sistemas de medicin de ngulos. Los ms utilizados y conocidos son el sistema sexa-gesimal y el circular, los cuales se describen a continuacin.



53/335

Geometra plana

53

Sistema sexagesimal

Consideremos una circunferencia con centro en Oy de radio arbitrario. Supongmosla dividida en 360partes (es decir arcos) iguales entre s, mediante puntos situados sobre la circunferencia.

Sean Ay Bdos puntos de divisin consecutivos. Si los unimos con el centro Ose formar el nguloAOB, que mide, por definicin, un grado sexagesimal, y se denota 1 (se lee: un grado).

Figura 2.3

Figura 2.4

A B

O

Consecuencia inmediata de lo anterior es que en una circunferencia completa hay 360 grados, lo cualse escribe: 360.

El nombre sexagesimal se debe a que cada grado se divide en 60 partes iguales que se llaman minutos, portanto un minuto es 1/60 de grado, es decir, la sexagsima parte de un grado. Un minuto se designa as: 1.

A su vez el minuto se divide en 60 partes que se llaman segundos. Un segundo se denota as: 1.

De modo que si escribimos que un ngulo mide: 20 1534, leemos: veinte grados, quince minutos,treinta y cuatro segundos.

Una herramienta muy til para estudiantes, obreros, tcnicos y profesionistas es el transportador, stepermite medir o dibujar ngulos en grados sexagesimales.

90

90

80

10070

11060

120 50130 4

0140 3

0150

20

160

10

170

01

80

180

0

17

0

10

160

20

150

30

140

40

130

50

120

60

110

70

100

80



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Etapa 2

54

Sistema circular

Otro sistema para medir ngulos que adems de emplearse en Geometra tambin se usa en Trigonometra,

Fsica, y otras reas. Este sistema emplea la unidad llamada radin, que se define del modo siguiente.

Sean una circunferencia de radio ry centro en O, y dos puntos situados sobre ella: Ay B, talesque uno de los arcos que tienen sus extremos en Ay en Btengan una longitud igual al radio.Entonces la medida del ngulo AOBes un radin.

Definicin

r r

r

B

O

El hecho de que el arco ABtenga longitud igual al radio lo indicamos as AB= rEntonces AOB= 1 radin.

Cmo escribir la medida de un ngulo dado en elsistema sexagesimal, en radianes, o viceversa

La longitud de la circunferencia de radio r, es 2pr, donde pes la letra griega Pi que se usa para desig-nar una constante4cuyo valor aproximado es de 3.1416.

Si dividimos 2prpor rnos dar el nmero de radianes que hay en un ngulo de una vuelta completa. Esdecir que 2pradianes equivalen a 360, es decir:

2pradianes = 360;

360 1 radin = 2p

180 1 radin = p

4 Para conocer algo de historia del nmero Pi, consultar http://ciencianet.com/pi.html

Figura 2.5



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Geometra plana

55

Imagina la siguiente situacin:

Un ingeniero elctrico ha diseado una pieza metlica para un equipo de transporte elctrico. El siguien-te dibujo muestra el diseo de la vista frontal de la pieza realizado por el ingeniero.

22.5 cm

= ?

15 cm

15 cm

Figura 2.6

El operario que debe elaborar la pieza dispone para ello de una pieza metlica redonda de 30 cm dedimetro, de manera que slo necesita conocer la medida del ngulo a formado por los bordes rectosde la pieza. Pero, al observar el dibujo descubre que el ingeniero ha olvidado sealar ese dato y ya notiene modo de localizarlo para obtener la informacin.

Observa detenidamente el dibujo y nota que el ngulo acorresponde a un arco de longitud L= 22.5 cmen una circunferencia de radio r= 15 cm.

El operario recuerda que un radin es la medida de un ngulo con vrtice en el centro de una circunfe-rencia de radio r, correspondiente a un arco de longitud igual al radio, es decir, la longitud r. As obtiene

L 22.5rpidamente que, a= radianes, es decir, a= = 1.5 radianes. r 15

Pero volvamos a nuestro problema: las dificultades del operario no han terminado, pues ahora descubrecon sorpresa que slo dispone de un transportador para dibujar el ngulo sobre la pieza redonda, por loque necesita conocer la medida del ngulo a en grados sexagesimales. De nuevo, sus conocimientosde Matemticas lo ayudan a solucionar el problema, y piensa as:

Podemos reescribir esta frmula para utilizarla en posteriores casos: Si Ses el arco de unacircunferencia de radio rdescrito por un ngulo , la relacin entre estos tres elementosest dada por:

S=

r



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Etapa 2

56

Si conozco que 180 equivalen a pradianes, entonces, llamndole xa la medida del ngulo a engrados sexagesimales, puedo plantear: 1.5 radianes es a pradianes como xgrados es a 180.

1.5 x Luego, tengo que = , es decir, p 180

1.5 270 x= (180) = = 85.9, p p

entonces el ngulo a mide 85.9.

De esa manera pudo el operario elaborar la pieza.

Este es un ejemplo que nos muestra la necesidad de saber convertir de un sistema de medicin de n-gulos a otro. Adems, nos indica el camino a seguir para hacerlo, a travs de la relacin:

grados radianes =

180 p

Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo

Transformar 75 a radianes.

Procedimiento 75 xAplicando la relacin presentada donde x es el valor buscado, se tiene que, = , es decir, 180 p 75p 5px= = , de manera que,

180 12

5p Solucin: 75 = radianes. 12

Es muy frecuente dar la medida de un ngulo en radianes en funcin de p. Pero podemos sustituir estaconstante por su valor aproximado: 3.1416. En este caso obtendramos que 75 es aproximadamente

igual a 1.309 radianes.

Ejemplo

p Convertir al sistema sexagesimal radianes. 4



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Geometra plana

57

Procedimiento x 4En este caso se tiene: = ,

180 p

x p = 180 4p

x 1 = 180 4

180 x= 4

x= 45

p Solucin: radianes equivale a 45. 4

1. Convierte en radianes las siguientes medidas dadas en grados.

a) 15 i) 135 p) 270

b) 25 j) 150 q) 280

c) 30 k) 180 r) 300

d) 40 l) 200 s) 315

e) 100 m) 220 t) 320

f) 45 n) 225 u) 340

g) 90 o) 240 v) 350

h) 120

2. Convierte los siguientes ngulos de radianes a grados sexagesimales.

p 11p 2pa) = f) = k) = 12 18 9

3p 7p 4pb) = g) = l) = 12 9 9

p 5p 5pc) = h) = m) = 2 9 9

p 8p pd) = j) = n) = 3 3 9

p 10p 5pe) = k) = o) = 4 9 9

Ejercicios



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Etapa 2

58

3. En cada una de las siguientes figuras, donde S representa la longitud del arco, encuentrala medida del ngulo x en radianes y grados sexagesimales.

a) B

S

Ar

r= 20 cm

S= 20 cm

x= _________

b)B

S

A

x

r= 35.81 cm

S= 50 cm

x= _________

c) B S

A

x

r

r= 20 cm

S= 30 cm

x= _________

d) B

S

A

x

r

r= 25 cm

S= 60 cm

x= _________



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Geometra plana

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Clasifcacin de ngulos

e)B S

A

x

r

r= 15 cm

S= 40 cm

x= _________

f)

B

S

A

x

r

r= 30 cm

S= 120 cm

x= _________

g)

B

S

A

r

r= 15 cm

S= 75 cm

x= _________

Los ngulos son magnitudes que pueden ser sumadas y restadas tanto analtica como geomtricamente.

Sumar ngulos geomtricamente implica determinar la apertura del ngulo que se forma al colocar (di-bujar) un ngulo a continuacin del otro, de modo que coincidan sus vrtices y una de las semirrectasque los generan. As, en la figura que se presenta a continuacin se tiene: BAD+ DAC= BAC.

Clasificar los ngulos de acuerdo a su medida.

Objetivo



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Etapa 2

60

Sumar analticamente implica determinar la medida del ngulo que se obtuvo al sumar geomtricamen-te. Por ejemplo, si BAD = 15 y DAC= 20, entonces se tiene que BAD+ DAC= 35.

Para ello se debe tener en cuenta que deben de coincidir los sistemas de medicin para los ngulos quevan a ser sumados. En caso contrario se debe unificar el sistema de medicin de acuerdo a la conve-niencia segn la tarea propuesta.

Ejemplo

Determina la suma de los ngulos PQRy RQS, y dibuja el ngulo resultante, si se conoce que p PQR= y RQS= 45. 6

Procedimiento

Para resolver este ejercicio resulta necesario unificar el sistema de medicin de ngulos. Teniendoen cuenta que se debe dibujar el ngulo resultante, es conveniente realizar la transformacin dela medida del ngulo PQRa grados sexagesimales para poder utilizar el transportador al dibujar.

pEn el ejemplo 2 del epgrafe anterior ya hemos realizado la transformacin. As sabemos que, 6radianes = 30. Entonces se tiene: PQS= PQR+ RQS= 30 + 45 = 75.

Solucin

Clasificacin segn su medida:

Figura 2.7

Figura 2.8

A

B

D

C

Q

P

R

S

45

30



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Geometra plana

61

Los ngulos se pueden clasificar de acuerdo a su medida en ngulos rectos, llanos, agudos u obtusos.

Un ngulo recto es aquel que mide 90.

Un ngulo llano es aquel que mide 180.

Un ngulo agudo es aquel que mide menos de 90.

Un ngulo obtuso es aquel que mide ms de 90.

Actividad

Actividad

Realiza un dibujo para cada uno de los casos de la clasificacin anterior, esto es, traza:

a) Un ngulo recto. b) Un ngulo llano.

c) Un ngulo agudo. d) Un ngulo obtuso.

Realiza un dibujo para cada uno de los casos de la clasificacin anterior, esto es, traza:

a) Un par de ngulos complementarios.

b) Un par de ngulos suplementarios.

c) Un par de ngulos conjugados.

Segn el valor de su suma:

De acuerdo a este criterio, las parejas de ngulos se pueden clasificar en complementarios, suplemen-tarios y conjugados.

Dos ngulos son complementarios si la suma de ambos mide 90.

Dos ngulos son suplementarios si la suma de ambos mide 180.

Dos ngulos son conjugados si la suma de ambos mide 360.

De gran utilidad resulta en la prctica de la Geometra la siguiente:

Clasificacin segn su posicin

Si dos rectas en un plano se cortan en un punto, ellas determinan cuatro ngulos (ver figura 2.9), quese clasifican dos a dos de acuerdo a su posicin relativa, como adyacentes(los consecutivos) y opuestospor el vrtice(los alternos).

As po

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