FACTORES DE INTERES Y SU EMPLEO.

FVPPU: Esta expresin permitir determinar el valor presente P de una cantidad futura F despus de n aos, a una tasa de inters i. FVFPU: Dar la cantidad futura F de una inversin inicial P despus de n aos a una tasa de inters i. FVPSU: este factor dar el valor presente P de una serie anual uniforme equivalente A, que comienza al final del ao 1 y se extiende n aos a una tasa de inters i. FVFSU: Cuando este factor se multiplica por la cantidad anual uniforme dada A produce el valor futuro de la serie uniforme. FRC: Permite obtener el costo anual uniforme equivalente A durante n aos, de una inversin dada P cuando la tasa de inters es i. FFA: Se utiliza para determinar la serie anual uniforme, la que ser equivalente a un valor futuro F dado. INTERS SIMPLE Comenzamos con la segunda parte de la matemtica financiera, para ello tenemos que tener bien sabido el tema de porcentaje visto en el captulo anterior.

Se llama inters simple a la operacin financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razn, para obtener un cierto beneficio econmico llamado inters. La frmula ms conocida de inters simple es:

Donde I es el inters o dinero a cobrar o pagar C es el capital o dinero a considerar

ut

TRCI

.100

..

R es la tasa o razn T es el tiempo pactado de la operacin Ut es la unidad del tiempo considerado. Ejemplo: Calcular el inters producido por un capital de 5000 $ colocado durante

3 aos al 9 % anual. C = 5000 $ T = 3 aos R = 9 % ut = 1 ao Por lo tanto > I = 5000. 9. 3 = 1350 $ 100. 1 Aclaracin: la unidad de tiempo es el valor numrico de la frase que aparece en la razn Ejemplo: razn 4 % anual representa: 1 ao = 12 meses = 2 semestres = 3 cuatrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 360 das

El tiempo dado T y la razn deben tener las mismas unidades antes de sacar cuentas

Ejemplo: Un capital de 4000 $ es colocado al 5 % mensual durante 3 bimestres, calcular en inters ganado: C = 4000 $ R = 5 % mensual ut = 1 mes T = 3 bimestres = 9 meses I = 4000. 5. 9 = 1800 $ 100. 1

La matemtica financiera comienza luego de este tema a utilizar una

frmula reducida de inters simple con el objeto de poder llegar a deducir otras ms complejas, por lo tanto se realizan las siguientes modificaciones: tasa >>> i = R perodo >>>> n = T 100 ut ahora se reemplazan la tasa ( i ) y el perodo (n) en la frmula primitiva : La frmula principal queda reducida a I = C. i. n MONTO: Es el capital colocado ms es inters ganado M = C + I

Combinando ambas frmulas >>>>>>>>>> M = C + C. i. n Factoreando (factor comn, inversa de la propiedad distributiva) >>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>> M = C. (1 + i. n) Ejemplos:

EJERCICIO UNO: Un capital de 5000 $ se colocan en un banco al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar el valor del inters y del monto.

Primero se debe arreglar los tiemposR = 4 % mensual T = 8 bimestres = 16 meses

Luego si R = 4% entonces i = 0,04 Al estar los tiempos convertidos el Tiempo es igual al perodo n.n = 16

Entonces >>>>>>>>>> I = C. i. n = 5000. 0,04. 16 = 3200 $ El monto ser >>>>>> M = C + I = 5000 + 3200 = 8200 $ En este caso se podra hallar tambin con la otra frmula:

M = C. (1 + i .n) = 5000. (1 + 0.04 .16) = 5000. (1 + 0,64) = 5000. 1,64 = 8200 $

EJERCICIO DOS: Un capital de 800$ se transform en 850 $ en 2 bimestres.

Calcular la tasa mensual. C = 800 $ M = 850 $ por lo tanto I = 50 $ T = 2 bimestres = 4 meses. I = C . I. n 50 = 800. I. 4 50 = 3200. I 50 / 3200 = i 0,015 = i Esto significa que la tasa mensual es 0,015 o la razn 1,5 % mensual

3) 3) Un cierto capital se transform en 25000 $ en dos trimestres, si se aplic un 3 % mensual. Cul fue el capital inicial?

C = x (hay que averiguar) M = 25000 $ T = 2 trimestres = 6 meses R = 3 % i = 3 /100 = 0, 03

Con estos datos la nica frmula capaz de resolver el problema es:

M = C. (1 + i. n) 25000 = x. (1 + 0, 03. 6) 25000 = x. (1 + 0.18) 25000 = x. 1, 18 25000 / 1, 18 = x 21186, 44 = x >>>>>>>>>>>> C = 21186, 44 $

4) 4) Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de 3000 $ que al ser depositado con una tasa anual de 0,09 obtuvo una ganancia de 400 $.

T = x n = x C = 3000 $ i = 0, 09 anual I = 400 $

Este problema puede resolverse con la frmula: I = C. i . n 400 / 270 = n 400 = 3000. 0,09. n 1,4814 = n 400 = 270. N

Este nmero est expresado en aos (ya que la tasa as lo indica), vamos a transformarlo en un tiempo ms real, para ello se debe interpretar lo siguiente: 1, 4814 aos = 1 ao + 0,4814 ao = 1 ao + 0,4814 x 12 meses = = 1 ao + 5,7768 meses = 1 ao + 5 meses + 0,7768 meses = = 1 ao + 5 meses + 0,7768 x 30 das = 1 ao + 5 meses + 23 das Otros ejemplos: 1) Un cierto capital se transform en 4600 $ en 4 cuatrimestres, si se aplic un 1% mensual. Cul fue el capital inicial y el inters ganado? 2) Hallar el porcentaje aplicado a un capital de 800 $ para transformarse en 700 $ 3) Indicar el valor del capital que al ser colocado al 5 % bimestral durante 3 aos produjeron un monto de 6900 $. 4) Un capital de 640 $ sufre un aumento del 20 % y luego un descuento del mismo valor, hallar el monto final.

5) Un capital de 900 $ se transforman en 980 $ en un ao. Calcular el inters, la razn y la tasa bimestral. 6) Un hombre coloca 500 $ en un banco que le paga un 4 % bimestral en un ao, luego retira la cuarta parte del monto y lo coloca en otro banco al 5 % bimestral durante medio ao, con la plata que le sobraba gasta un 40 % en pasajes y un 30 % en indumentaria. Cunta plata le queda para emprender el viaje? 7) Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de 500 $ si se obtuvo una ganancia de 30 $ al ser colocado al 6% bimestral. 8) Indicar el porcentaje de aumento final que sufre un producto si vala 400 $ y le fueron agregados tres aumentos consecutivos del 10 % cada uno. 9) Se depositan 4000$ el 1 de marzo y se retiran el 31 de julio. Si la razn era del 4 % bimestral. Calcular el inters y el monto. 10)Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de 4000 $ si se obtuvo una ganancia de 500$ al ser colocado al 6% anual. Inters Compuesto Conceptos bsicos En el inters compuesto los intereses que se van generando se van incrementando al capital original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo inters adicional para el siguiente lapso. El inters se capitaliza. Periodo de capitalizacin.- El inters puede ser convertido en Anual, semestral, trimestral y mensualmente. Frecuencia de Conversin.- Nmero de veces que el inters se capitaliza durante un ao (n). Cuntos trimestres tienen 1 ao. Ej. n? de un depsito que paga 5% capital trimestral. n = 12 meses/3 meses = 4. Tasa de Inters compuesto.- Se expresa comnmente en forma anual indicando si es necesario su periodo de capitalizacin. Ej. 48% anual capitalizable mensualmente. Conclusiones a) Inters compuesto es mayor que el inters simple. b) A mayor frecuencia de conversin mayor ser el inters siendo igual la tasa anual nominal. Ej. Un depsito que obtenga intereses mensualmente tendr mayor rendimiento que uno que los obtenga trimestralmente. Tasa nominal de inters (Ir a conceptos y ejercicios) Tasa efectiva (Ir a conceptos y ejercicios) Tasas equivalentes (Ir a conceptos y ejercicios) EJERCICIOS 1) Cul es la tasa de inters por periodo de: a) 60% anual capitalizable mensualmente? 0.05 o 5% mensual. 5%

b) 36% semestral capital trimestralmente. 18% c) 12% trimestral 12% d) 18% anual capital semestralmente 9% e) 18% capitalizar mensualmente 1.5% Monto compuesto M = C (I + i) n I. Se depositan $ 500.00 en un banco a una tasa de inters del 48% anual capitalizable mensualmente. Cul ser el monto acumulado en 2 aos? Datos: M = 500 (1 + .04)24 = $ 1,281.65 C = 500.00 i = 48% a.C. 100 12 = 0.04 M =? t = 2 aos * n en 1 ao = 12 X 2 = 24 n=24 II. Se obtiene un prstamo bancario de $ 15,000 a plazo de un ao y con inters del 52% convertible trimestralmente Cul ser el monto a liquidar? Datos M = 15,000 (1 + .13) 4 = $ 24,457.10 c = 15,000 t = 1 ao i = 52% ct 100 4 = 0.13 M = ? III. Se decide liquidar el prstamo del ejemplo anterior en forma anticipada habiendo transcurrido 7 meses y . Cul es la cantidad que debe pagarse? c = 15,000 t = 7 meses = 2.5 trim. i = 52% ct = .13 M = ? M = 15,000 (1 + .13) 2.5 = $ 20,360.449 IV. Se contrata un prstamo bancario por $ 50,000 el plazo a pagar es 3 aos, la tasa de inters es del 60% a, c s. Qu cantidad debe pagarse si se decide cancelarlo en forma anticipada a los 15 meses? Datos M= 50,000 (1 + .3) 2.5 = $ 96,344.82 c = 50,000 i = 60% acs 100 2 = 0.3 t = 15 meses M = ? V. Determine el inters que gana en un ao un depsito de $ 1000.00 en: a) Una cuenta que paga el 20% de inters anual convertible trimestralmente. n = 4 M = 1000 (1 + 0.05) 4 = $ 1,215.50 I = 215.50 b) 20% a c diariamente n = 365 M = 1000 (1 + .00054) 365 = 1,221.33 I = 221.33 7495 VI. Determine el monto acumulado de $ 5,000.00 que se depositan en una cuenta de valores que paga el 24% anual convertible mensualmente. a) Al cabo de un ao b) Al cabo de dos aos. a) M = ? M = 5000 (1 + .02) 12 = $ 6,341.208 c = 5000 i = 24% a c m = 0.02 t = 1 ao = 12 meses

b) t = 2 aos = 24 meses M = 5000 (1 + .02) 24 = $ 8,042.18 VII. Cunto dinero debe pagarse a un banco que hizo un prstamo de $ 30,000 si se reembolsa al ao capital e inters y la tasa aplicada es del 0.44 anual convertible trimestralmente? M = C (1 + i) n M = 30.000 (1 + 0.11)4 = 45,542.11 c = 30,000 i = 0.44 a c t t = 1 ao n = 4 VIII. Qu cantidad deber liquidarse en caso de que el prstamo del Ejemplo anterior se pagar al cabo de 10 meses? t = 3.33 trim. M = 30,000 (1 + .11) 3.33 = $ 42,481.305

Inters Compuesto El inters compuesto es aquel monto obtenido por el prstamo, cuando el dinero que se recibe del capital inicial pasa a ser parte de ese mismo capital al final del primer perodo de tiempo, esto se hace para formar un nuevo capital y sobre este se causar los nuevos intereses. El inters compuesto se puede expresar: S= p (1+i)n Donde:

S = Capital final p = Capital inicial i = Tasa de inters n = Nmero de perodos

Ejemplo 3. Calcular el valor final de un capital de $700 a una tasa del 25% durante 5 aos. RTA/ S= p (1+i)n S= 700(1+0.25)5 S= 2136.23 Esta sera la cantidad obtenida al finalizar el quinto ao. Ejemplo 4. Hallar los valores acumulados del anterior ejercicio al final de cada ao.

Perodo Capital inicial

inters Capital final

1 700 175 875

2 875 218,75 1093,75

3 1093,75 273,4375 1367,1875

4 1367,1875 341,796875 1708,98438

5 1708,98438 427,246094 2136,23047

Al tener ya las bases y la teora general del inters simple y el inters compuesto se debe ahora ver la forma en que se paga cada uno de ellos, esto se refleja en el tipo de tasa de inters que se paga en cada periodo de tiempo.

Fuentes de Informacin 1. Blank, Leland T. Tarquin Anthony J. Ingeniera Econmica, Editorial Mc Graw Hill. 2. Degarmo Paul E., Sullivan William G., Bontadelli James A., Wicks Elin M. Iingeniera Econmica, Editorial Prentice Hall. 3. Baca Urbina, Gabriel. Ingeniera Econmica, Editorial Mc Graw Hill.