Se puede considerar a los numeros reales como subconjunto de los comple-jos haciendo la identificacion a = (a, 0), ∀a ∈ R, pues de este modo lasoperaciones anteriores coinciden con la suma y producto de numeros reales.Ası pues, a los numeros complejos de la forma a = (a, 0) los llamaremosreales y un numero complejo es imaginario si no es real.

Se llama unidad imaginaria al numero i = (0, 1) y un numero complejo z esimaginario puro si z = (0, b) = b · i, b ∈ R.

Observacion 3. Ası definida, la unidad imaginaria verifica la ecuacion x2 +1 = 0. En general, debido a que i4 = 1, todas las potencias de i se reducena cuatro:

i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i.

Debido a la descomposicion (a, b) = (a, 0) + (0, b), todo numero complejo sepuede escribir en forma binomica como (a, b) = a + ib.

Se define conjugado de z = (a, b) al numero z = (a,−b). De la definicionse observa que los afijos de dos complejos conjugados son puntos simetricosrespecto al eje real. Podemos destacar las siguientes propiedades:

1) z = z, ∀z ∈ C.

2) z = z ⇐⇒ z ∈ R.

3) z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2, ∀z1, z2 ∈ C.

4) −z = − z, z−1 = z−1, ∀z ∈ C.

5) z + z = 2Re z; z − z = 2i Im z, ∀z ∈ C.

Llamamos modulo de un numero complejo z = (a, b) a la longitud r = |z| =√a2 + b2. Se verifican las siguientes propiedades:

6) z = 0 ⇐⇒ |z| = 0.

7) |z|2 = z · z, ∀z ∈ C.

8) |z1 · z2| = |z1| · |z2|, ∀z1, z2 ∈ C.

9) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|, ∀z1, z2 ∈ C.

Se llama argumento de un numero complejo z = (a, b) al numero ϕ = arg z =arc tg b/a y graficamente representa el angulo que forma el segmento OP conla parte positiva del eje real medido en la direccion contraria al movimientode las agujas del reloj. A veces se considera el argumento como alguno delos valores ϕ + 2kπ, con k ∈ Z, con lo que llamaremos argumento principalde z, Arg z, al que verifica 0 ≤ Arg z < 2π. Las siguientes propiedades sonfaciles de verificar:

10) arg(αz) = arg z si α > 0; arg(αz) = π + arg z si α < 0.

275

11) arg(z1 · z2) = arg z1 + arg z2, ∀z1, z2 ∈ C.

12) arg z = − arg z, ∀z ∈ C; arg(1/z) = − arg z, , ∀z 6= 0.

Dado un numero complejo z = (a, b), los valores r = |z|, ϕ = arg z consti-tuyen las llamadas coordenadas polares de z. De la relacion entre las coor-denadas cartesianas y polares podemos escribir z como

z = (a, b) = a + ib = r cos ϕ + ir senϕ = r(cos ϕ + i senϕ)

con r ≥ 0 y 0 ≤ ϕ < 2π, y la llamaremos forma trigonometrica del numeroz (abreviadamente escribiremos z = r cis ϕ). A veces tambien se utiliza laforma modulo-argumental o polar z = rϕ.

En los siguientes problemas estudiaremos diferentes aplicaciones de los con-ceptos y propiedades arriba indicadas.

PROBLEMA 16.1

Dados z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2, probar que z1z2 + z1z2 =2(x1x2 + y1y2) y z1z2 − z1z2 = 2i(y1x2 − x1y2).

Solucion

Operando directamente se obtiene:

z1 z2 = (x1 + iy1)(x2 − iy2) = x1x2 + y1y2 + iy1x2 − ix1y2;z1z2 = (x1 − iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + y1y2 − iy1x2 + ix1y2.

Al sumar miembro a miembro se obtiene que z1z2 + z1z2 = 2(x1x2 + y1y2) yal restar, se obtiene analogamente que z1z2− z1z2 = 2i(y1x2−x1y2).

PROBLEMA 16.2

Dados z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, expresar en forma binomica el

numeroz1 + z2

z1z2 − 1.

Solucion

276

Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:

z1 + z2

z1z2 − 1=

(z1 + z2)(z1z2 − 1)|z1z2 − 1|2

=|z1|2z2 + |z2|2z1 − (z1 + z2)

|z1z2 − 1|2

=(x2

1 + y21)(x2 − y2i) + (x2

2 + y22)(x1 − y1i)− (x1 + x2)− (y1 + y2)i

|(x1x2 − y1y2 − 1) + (x1y2 + x2y1)i|2

=(x2

1 + y21)x2 + (x2

2 + y22)x1 − (x1 + x2)

(x1x2 − y1y2 − 1)2 + (x1y2 + x2y1)2

−i · y2(x21 + y2

1) + y1(x22 + y2

2) + (y1 + y2)(x1x2 − y1y2 − 1)2 + (x1y2 + x2y1)2

.

PROBLEMA 16.3

Dado z = x+iy, expresar (z/z)2−(z/z)2 en forma binomica.

Solucion

Haciendo denominador comun, tenemos:

(z/z)2 − (z/z)2 =z2

z2 −z2

z2=

z4 − z4

z2z2

=z4 + z4 − 2z4

|z|4=

2 Re(z4)− 2z4

(x2 + y2)2

=2(x4 − 6x2y2 + y4)− 2[x4 + 4x3(−iy) + 6x2(−iy)2 + 4x(−iy)3 + (iy)4]

(x2 + y2)2

=8x3yi− 8xy3i

(x2 + y2)2= 0 + i · 8xy(x2 − y2)

(x2 + y2)2.

PROBLEMA 16.4

Simplificar las siguientes expresiones:

a) (a + ib)2 + (a− ib)2.

b) (1 + ia)4 + (1− ia)4.

c)a + ib

c + id+

a− ib

c− id.

277

Solucion

a) Desarrollando las potencias,

(a + ib)2 + (a− ib)2 = a2 − b2 + 2iab + a2 − b2 − 2iab = 2(a2 − b2).

b) Analogamente al anterior,

(1 + ia)4 + (1− ia)4 = 1 + 4ia + 6(ia)2 + 4(ia)3 + (ia)4

+ 1− 4ia + 6(ia)2 − 4(ia)3 + (ia)4 = 2− 12a2 + 2a4.

c) Hacemos denominador comun y obtenemos

a + ib

c + id+

a− ib

c− id=

(a + ib)(c− id) + (c + id)(a− ib)c2 + d2

= 2 · ac + bd

c2 + d2.

Se observa que todos los resultados son reales, hecho que se deduce deque en todos los casos se tenıa la suma de un numero y su conjugado.

PROBLEMA 16.5

Calcular B =(1 + i)(1− i)3

(1 + 2i)3− i(i− 1)(2i− 1)

(3 + i)2.

Solucion

Desarrollando las potencias y expresando cada sumando en forma binomicatenemos:

B =(1 + i)(1− i)(1− i)2

(1 + 2i)3− i(i− 1)(2i− 1)

(3 + i)2

=(1− i2)(1− i)2

(1 + 2i)3− (i2 − i)(2i− 1)

(3 + i)2

=2(1 + i2 − 2i)

13 + 3 · 2i + 3 · (2i)2 + (2i)3− (−1− i)(2i− 1)

9 + i2 + 6i

=−4i

1− 12 + 6i− 8i+

2i− 1 + 2i2 − i

8 + 6i=

−4i

−11− 2i+−3 + i

8 + 6i

=−4i(−11 + 2i)

125+

(−3 + i)(8− 6i)100

=8 + 44i

125+−24 + 8i + 18i− 6i2

100

=(

8125

− 18100

)+(

44125

+26100

)i =

−29 + 153i

250.

278