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Algunos ejercicios resueltos del Munkres

Guillermo Barcelona

22 de octubre de 2012

Capıtulo 1

Espacios topologicos yfunciones continuas

1.1. Topologıas

Ejercicio 1.1. SeanX un espacio topologico yA un subconjunto deX . Supon-gamos que para cadax ∈ A existe un conjunto abiertoU que contiene ax y talqueU ⊂ A. Pruebe queA es abierto enX .

Demostracion. Elijamos para cadax ∈ A un abiertoUx que contiene ax. Vea-mos que

A =⋃

x∈A

Ux.

ComoA es union de abiertos,A es abierto enX . �

Ejercicio 1.2. SeanX un conjunto y seaTc la coleccion de todos los subcon-juntosU deX tales queX − U es numerable o todoX . Pruebe queTc es unatopologıa. ¿Es la coleccion

T∞ = {U | X − U es infinita o vacıa o todoX}

una topologıa sobreX?

Demostracion. El conjuntoX esta enTc porqueX−X = ∅, y ∅ es numerable.El conjunto vacıo tambien esta enTc, porqueX −∅ = X .

3

4 Capıtulo 1. Espacios topologicos y funciones continuas

Sea{Uα} una coleccion arbitraria de elementos deTc. Veamos que

X −⋃

α

Uα =⋂

α

(X − Uα),

el cual es numerable porque es interseccion de conjuntos numerables.

Sea{U1, . . . , Un} una coleccion finita de elementos deTc. Notemos que

X −n⋂

i=1

Ui =

n⋃

i=1

(X − Ui).

El conjunto anterior es numerable si todos losX − Ui son numerables; esX sialgunUi es vacıo. �

La coleccionT∞ no necesariamente es una topologıa sobreX . Por ejemplo,si X = R, podemos considerar la coleccion de los conjuntos

Un = (−∞,−1/n] ∪ [1/n,+∞)

conn ∈ Z+. Es claro que losUn son elementos deT∞. Luego

R−⋃

Un =⋂

(R− Un) =⋂

(−1/n, 1/n) = {0}.

Es evidente que⋃

Un no es un elemento deT∞.

Ejercicio 1.3.

1. Si {Tα} es una familia de topologıas sobreX , pruebe que⋂

Tα es unatopologıa sobreX . ¿Es

⋃

Tα una topologıa sobreX?

2. Sea{Tα} una familia de topologıas sobreX . Pruebe que existe una uni-ca topologıa sobreX mas pequena entre todas las que contienen a todaslas coleccionesTα, y una topologıa mas grande entre todas las que estancontenidas en todaTα.

3. SiX = {a, b, c, d}, sean

T1 = {∅, X, {a}, {a, b}} y T2 = {∅, X, {a}, {b, c}}.

Encuentre la topologıa mas pequena que contenga aT1 y T2, y la topologıamas grande contenida enT1 y T2.

1.1. Topologıas 5

1. Demostracion. ComoX y ∅ estan enTα para todoα, X y ∅ estan en lainterseccion.

Si {Uβ} es una coleccion arbitraria de elementos de⋂

Tα, entonces{Uβ}es una coleccion de cada topologıa. Luego

⋃

Uβ esta en cadaTα, estandoası en la interseccion.

Si {U1, · · · , Un} es una coleccion finita de elementos de⋂

Tα, entoncescadaUi esta en cadaTα. Luego

⋂ni=1

Ui esta en cadaTα, estando ası en lainterseccion. �

La union de topologıas no siempre es una topologıa. Por ejemplo: siX ={a, b, c, d}, dos topologıas sobreX son

T1 = {X,∅, {a}} y T2 = {X,∅, {b}}.

LuegoT1 ∪ T2 = {X,∅, {a}, {b}}.

El conjunto{a, b} debe ser un elemento deT1 ∪ T2, y sin embargo no loes.

2. Demostracion. Sea{Tβ} la coleccion de topologıas sobreX , donde cadauna contiene la coleccion{Tα}. Notemos que la coleccion

⋂

Tβ

es una topologıa por lo demostrado anteriormente; ademascontiene la co-leccion{Tα}. Probemos ahora que

⋂

Tβ es la menor de todas. Suponga-mos que existe otra topologıaT′ que contiene a todas lasTα, y que almismo tiempo es la menor. De lo anteriorT′ ⊂ ⋂

Tβ . Por otra parte, comoT′ es una topologıa que contiene la coleccion{Tα}, ella sera una de las to-pologıasTβ , y por tanto la interseccion

⋂

Tβ se incluye en ella. FinalmenteT′ =

⋂

Tβ. �

Demostracion. SeaT la coleccion definida mediante

T =⋂

Tα;

probemos queT es la mayor de todas las topologıas que se encuentranincluidas en cadaTα. Supongamos que existe otra topologıaT′ mayor entretodas las topologıas que estan contenidas en cadaTα. De lo anteriorT ⊂T′. Por otra parte,T′ es una topologıa que esta incluida en cadaTα, portantoT′ se incluye en la interseccion de todas ellas. FinalmenteT = T′.

�


3. La topologıa mas pequena que contiene aT1 y T2 es

T = {∅, X, {a}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}, {b}}.

La topologıa mas grande contenida enT1 y T2 es

T′ = {∅, X, {a}}.

Ejercicio 1.4. Demuestre que siA es una base para la topologıa sobreX , enton-ces la topologıa generada porA es igual a la interseccion de todas las topologıassobreX que contienen aA. Pruebe lo mismo siA es una subbase.

Demostracion. Sea{Tα} la coleccion de todas las topologıas sobreX que con-tienen aA; seaTA la topologıa generada porA. ComoTA es una topologıasobreX que contiene aA, entonces

⋂

Tα ⊂ TA. Por otra parte, el lema 13.1asegura que todo elemento deTA es una union de elementos deA; como cadaTα que contiene aA tiene tambien cualquier union arbitraria de elementos deA,entoncesTA ⊂ Tα. LuegoTA ⊂ ⋂

Tα. FinalmenteTA =⋂

Tα.

Veamos lo mismo siA es una subbase. Notese queTA contiene aA (cadaelemento deA puede tomarse como una union de dos intersecciones finitas con-sigo mismo). Luego

⋂

Tα ⊂ TA. Por otra parte, cada elemento deTA es unaunion de intersecciones finitas de elementos deA; como cadaTα tiene cualquierinterseccion finita de elementos deA, tiene tambien cualquier union de las in-tersecciones anteriores, y por tantoTA ⊂ Tα. LuegoTA ⊂

⋂

Tα. FinalmenteTA =

⋂

Tα. �

Ejercicio 1.5. Pruebe que las topologıas deRℓ y RK no son comparables.

Demostracion. Dado un elemento basico[x, c) en la topologıa deRℓ, no existeningun intervalo abierto(a, b) y ningun conjunto(a, b)−K que este incluido en[x, c) y contenga ax. Ası, la topologıa deRK no es mas fina que la deRℓ.

Analogamente; dado el elemento basicoB = (−1, 1) −K deRK , no exis-te ningun intervalo[a, b) que contenga a cero y se halle incluido enB. Ası, latopologıa deRℓ no es mas fina que la deRK . �

Ejercicio 1.6.

1. Aplique el lema 13.2 para ver que la coleccion numerable

B = {(a, b) | a < b, a y b racionales}

es una base que genera la topologıa usual sobreR.

1.2. Topologıas: orden, producto y subespacio 7

2. Demuestre que la coleccion

C = {[a, b) | a < b, a y b racionales}

es una base que genera una topologıa distinta de la topolog´ıa del lımiteinferior sobreR.

1. Verifiquemos la hipotesis del lema 13.2. SeaU un abierto no vacıo de latopologıa usual sobreR; seax un punto deU . Sabemos queU es una unionde intervalos abiertos(a, b), por tantox esta en algun intervalo(a0, b0). Porla densidad de los racionales existena′, b′ ∈ Q tales quea0 < a′ < x yx < b′ < b0. Ası, el intervalo(a′, b′) de extremos racionales contiene axy esta en(a0, b0).

2. Probemos que la topologıa de lımite inferior es estrictamente mas fina quela generada porC. En efecto, probar queRℓ es mas fina que la generada porC es trivial. Contrariamente, no existe ningun intervalo[a, b) de extremosracionales que contenga a

√2 y ademas este en[

√2, 2).

1.2. Topologıas: orden, producto y subespacio

Ejercicio 1.7. Pruebe que siY es un subespacio deX y A es un subconjunto deY , entonces la topologıa queA hereda como subespacio deY es la misma que latopologıa que hereda como subespacio deX .

Demostracion. SeaV un abierto en la topologıa deX . Veamos que

(V ∩ Y ) ∩ A = V ∩ (Y ∩ A) = V ∩A.

Lo anterior muestra que un abierto en la topologıa de subespacio sobreA conrespecto aY , es el mismo abierto en la topologıa de subespacio sobreA conrespecto aX . �

Ejercicio 1.8. SiT y T′ son toplogıas sobreX y T′ es estrictamente mas fina queT, ¿que puede decir sobre las correspondientes topologıasde subespacio sobre elsubconjuntoY deX?

SiendoTY la topologıa que heredaY como subespacio deT, y T′

Y la topo-logıa que heredaY como subespacio deT′, se puede decir queT′

Y es estricta-mente mas fina queTY . En efecto; siV es un abierto enT, el conjuntoV ∩ Yes un abierto enTY , que es tambien abierto enT′

Y puesV ∈ T′. Resulta facilcomprobar despues que no ocurre la inclusionT′

Y ⊂ TY .


Ejercicio 1.9. Consideremos el conjuntoY = [−1, 1] como subespacio deR.¿Cual de los siguientes conjuntos son abiertos enY ? ¿Cuales son abiertos enR?

A = {x | 1

2< |x| < 1},

B = {x | 1

2< |x| ≤ 1},

C = {x | 1

2≤ |x| < 1},

D = {x | 1

2≤ |x| ≤ 1},

E = {x | 0 < |x| < 1 y 1/x /∈ Z+}.

El conjuntoA = (−1,− 1

2)∪ (1

2, 1) es abierto enY y enR. El conjuntoB =

[−1,− 1

2)∪(1

2, 1] es abierto enY pero no enR. El conjuntoC = (−1,− 1

2]∪[ 1

2, 1)

no es abierto ni enY ni enR. El conjuntoD = [−1,− 1

2] ∪ [ 1

2, 1] no es abierto

ni enY ni enR. El conjuntoE = (−1, 0) ∪⋃

n∈Z+( 1

n+1, 1

n) es abierto enY y

enR.

Ejercicio 1.10. Una aplicacionf : X → Y se dice que es unaaplicacion abiertasi, para cada conjunto abiertoU deX , el conjuntof(U) es abierto enY . Pruebequeπ1 : X × Y → X y π2 : X × Y → Y son aplicaciones abiertas.

Demostracion. SeaW un abierto en la topologıa producto sobreX × Y . Dellema 13.1 se sabe queW es una union de elementos basicosU × V , dondeU esabierto enX y V es abierto enY . Luego

π1(W ) = π1

(

⋃

(U × V ))

=⋃

π1(U × V ) =⋃

U,

donde en la segunda igualdad se uso la regla generalf(⋃

α Aα) =⋃

α f(Aα), yen la tercera queπ1 se define porπ1(x, y) = x. Finalmente, el conjunto

⋃

U esabierto por ser una union de abiertos en la topologıa deX .

La prueba es analoga para verificar queπ2 es tambien una aplicacion abierta.�

Ejercicio 1.11. Denotemos porX y X ′ a conjuntos de las topologıasT y T′, res-pectivamente; seanY eY ′ conjuntos de las topologıasU y U′, respectivamente.Asumimos que estos conjuntos no son vacıos.

1. Demuestre que siT′ ⊃ T y U′ ⊃ U, entonces la topologıa producto sobreX ′ × Y ′ es mas fina que la topologıa producto sobreX × Y .

2. ¿Se cumple el recıproco de lo anterior? Explique su respuesta.

1.2. Topologıas: orden, producto y subespacio 9

1. Demostracion. Verifiquemos una de las proposiciones del lema 13.3. Unelemento basico de la topologıa producto sobreX × Y esU × V , conU ∈ T y V ∈ U. LuegoU × V es tambien un elemento basico de latopologıa producto sobreX ′ × Y ′, puesU ∈ T′ y V ∈ U′. �

2. El recıproco tambien es cierto. Se probara unicamente queT ⊂ T′; laprueba es analoga paraU ⊂ U′. Si U ∈ T y V ∈ U, entoncesU × Ves un abierto deX ′ × Y ′. Luego, en la proyeccionπ1 : X ′ × Y ′ → X ′,el conjuntoπ1(U × V ) esU , el cual es abierto enX ′ porqueπ1 es unaaplicacion abierta.

Ejercicio 1.12. Pruebe que la coleccion

{(a, b)× (c, d) | a < b y c < d, y a, b, c, d son racionales}

es una base paraR2.

SeaA un abierto enR2, y x × y un elemento deA. Sabemos queA es unaunion de elementos del tipoU × V , dondeU y V son abiertos enR. Sabemostambien, por el ejercicio1.6, queU y V son uniones de intervalos de extremosracionales. Por tanto,x × y pertenece a un producto cartesiano del tipo(a, b) ×(c, d), cona, b, c, d racionales. Finalmente, aplicamos el lema 13.2.

Ejercicio 1.13. SeaX un conjunto ordenado. SiY es un subconjunto propio deX que es convexo, ¿se deduce queY es un intervalo o un rayo deX?

No. Por ejemplo,Y = {0} es convexo enR; sin embargo no es ni un intervaloni un rayo. Otro ejemplo serıa si tomamosX = Q, e Y como el conjunto deracionales positivos menores a

√2. Si bien este conjunto es convexo enQ, es

imposible expresarlo como un intervalo(0, q), conq ∈ Q. Menos aun es posibleexpresarlo como rayo.

Ejercicio 1.14. SiL es una recta en el plano, describa la topologıa queL heredacomo subespacio deRℓ × R y como subespacio deRℓ × Rℓ. En ambos casos setrata de una topologıa conocida.

Hagamos solo el caso deRℓ × R. Notemos que los elementos basicos deRℓ × R son del tipo[a, b) × (c, d). Un elemento basico deL sera, por tanto, elconjuntoL∩ [a, b)× (c, d). Veamos ahora como pueden expresarse estos basicosde acuerdo a la posicion deL:

1. SiL es vertical, entoncesL = {x0} × R, x0 ∈ R. Luego

L ∩ [a, b)× (c, d) =

{

∅ si x0 /∈ [a, b),{x0} × (c, d) si x0 ∈ [a, b).


2. SiL es horizontal, entoncesL = R× {y0}, y0 ∈ R. Luego

L ∩ [a, b)× (c, d) =

{

∅ si y0 /∈ (c, d),[a, b)× {y0} si y0 ∈ (c, d).

3. SiL tiene pendiente positiva, entoncesL ∩ [a, b)× (c, d) podra ser∅, unintervalo(e, f) o [g, h) dentro de la recta.

4. Si L tiene pendiente negativa, los resultados deL ∩ [a, b) × (c, d) sonidenticos a los del caso anterior.

Ejercicio 1.15. Pruebe que la topologıa del orden del diccionario sobre el con-juntoR× R es la misma que la topologıa productoRd × R, dondeRd denota aR con la topologıa discreta. Compare esta topologıa con la topologıa usual sobreR2.

Notemos que un elemento basico de la topologıa del diccionario enR × R

es {a} × (b, c). Este mismo conjunto coincide con un elemento basico de latopologıa enRd × R; tener en cuenta que la coleccion de los conjuntos{a} esuna base deRd.

La topologıa productoRd×R es estrictamente mas fina que la usual enR2. Enefecto; un elemento basico deR2 esB = (a, b)×(c, d). Luego, dadox×y ∈ B, elconjunto{x}×(c, d) contiene ax×y y esta enB. Recıprocamente, es imposibleexpresar a{x} × (c, d) como producto de dos intervalos abiertos deR.

Ejercicio 1.16. SeaI = [0, 1]. Compare la topologıa producto sobreI × I, latopologıa del orden del diccionario sobreI × I, y la topologıa queI × I heredacomo subespacio deR× R en la topologıa del orden del diccionario

SeaT1 la topologıa producto sobreI × I, T2 la topologıa del orden del dic-cionario sobreI × I, y T3 la topologıa queI × I hereda como subespacio deR× R en la topologıa del orden del diccionario.

La topologıaT1 es la queI × I hereda como subespacio deR × R. Unelemento basico suyo es la interseccion deI × I con un rectangulo sin borde(a, b)× (c, d).

Las topologıasT1 y T2 no son comparables. En efecto, dado el elementobasicoB = (1/3, 2/3) × [0, 1/3) deT1, no existe ningun elemento basico deT2 que contenga a1/2 × 0 y se incluya enB. Por otro lado, dado el abiertoC = {1/2}× (1/3, 2/3) deT2, no existe ningun abierto enT1 que se incluya enC.

La topologıaT3 es estrictamente mas fina queT1. En efecto; para todo abiertoB = ((a, b)× (c, d)) ∩ (I × I) deT1 y x× y ∈ B, es posible hallar un intervalo(e× f, e× g) que contenga ax× y y se incluya enB. El recıproco es imposible.

1.3. Conjuntos cerrados 11

La topologıaT3 es estrictamente mas fina queT2. Este hecho puede verse enun ejemplo del libro.

1.3. Conjuntos cerrados

Ejercicio 1.17. SeaC una coleccion de subconjuntos del conjuntoX . Suponga-mos que∅ yX estan enC, y que las uniones finitas y las intersecciones arbitrariasde elementos deC estan enC. Pruebe que la coleccion

T = {X − C | C ∈ C}

es una topologıa sobreX .

Demostracion. Los conjuntos∅ y X estan enT, ya que

∅ = X −X y X = X −∅,

y X y ∅ son elementos deC.

Sea{Uα} una coleccion arbitraria de abiertos deT. Por tantoUα = X−Cα,conCα ∈ C. Luego

⋃

Uα =⋃

(X − Cα) = X −⋂

Cα.

Como⋂

Cα es un elemento deC, la union⋃

Uα esta enT.

Sea{Ui} una coleccion finita de abiertos deT. Por tantoUi = X−Ci, siendoCi un elemento deC. Luego

n⋂

i=1

Ui =

n⋂

i=1

(X − Ci) = X −n⋃

i=1

Ci.

Como⋃n

i=1Ci es un elemento deC, la interseccion

⋂ni=1

Ui esta enT. �

Ejercicio 1.18. Pruebe que siA es cerrado enY eY es cerrado enX , entoncesA es cerrado enX .

Demostracion. De acuerdo al teorema 17.2, sabemos queA es la interseccion deun cerradoC deX conY . Como ademasY es cerrado enX , y la interseccionde cerrados es tambien cerrada, el conjuntoA es cerrado enX . �

Ejercicio 1.19. Pruebe que siA es cerrado enX y B es cerrado enY , entoncesA×B es cerrado enX × Y .


Demostracion. Por hipotesisX −A eY −B son abiertos enX eY , respectiva-mente. Luego

(X × Y )− (A×B) = ((X −A)× Y ) ∪ (X × (Y − B)).

Como(X−A)×Y y X× (Y −B) son abiertos enX×Y , su union es tambienabierta. Ası,(X × Y )− (A×B) es abierto; luego fA×B es cerrado. �

Ejercicio 1.20. Pruebe que siU es abierto enX y A es cerrado enX , entoncesU −A es abierto enX , y A− U es cerrado enX .

Demostracion. Por hipotesisX − U y X − A son cerrado y abierto enX , res-pectivamente. Veamos que

U −A = U ∩ (X −A),

A− U = A ∩ (X − U).

El conjuntoU − A es abierto por ser interseccion de dos abiertos, mientrasqueA− U es cerrado por ser una interseccion de cerrados. �

Ejercicio 1.21. SeaX un conjunto ordenado en la topologıa del orden. Muestreque(a, b) ⊂ [a, b]. ¿Bajo que condiciones se da la igualdad?

El conjunto[a, b] contiene a(a, b) y es cerrado, pues su complemento es launion de abiertos(−∞, a) ∪ (b,+∞). La igualdad se da si, y solo sı,a no tieneinmediato sucesor yb no tiene inmediato predecesor. En efecto; supongamosquea tiene inmediato sucesorc. El rayo(−∞, c) es abierto, por lo que[c,+∞)es cerrado. Notese que[c,+∞) = (a,+∞), por lo que[c,+∞) es un cerradoque contiene a(a, b) pero no aa. El mismo tipo de absurdo se genera sib tieneinmediato predecesor. Recıprocamente, supongamos que[a, b] no es la clausurade (a, b). En tal caso, tendra que ser(a, b], [a, b) o (a, b). Tomemos la primerposibilidad; comoa no esta en la clausura(a, b], el teorema 17.5 asegura queexiste un basico(c, d) que contiene aa pero no interseca a(a, b]. Luegoa <d < b y (a, d) = ∅, por lo qued es el inmediato sucesor dea. El mismo tipo deabsurdo se genera si[a, b) o (a, b) son la clausura de(a, b).

Ejercicio 1.22. Denotemos porA,B y Aα su subconjuntos del espacioX . Prue-be lo siguiente:

1. SiA ⊂ B, entoncesA ⊂ B.

2. A ∪B = A ∪ B.

3.⋃

Aα ⊃⋃

Aα; de un ejemplo donde no se cumple la igualdad.


1. ComoA ⊂ B y B ⊂ B, seraA ⊂ B. Como ademasB es cerrado,seraA ⊂ B.

2. ComoA y B son cerrados, la union finitaA∪B es cerrada; ademasA∪B ⊂A ∪ B. LuegoA ∪B ⊂ A ∪ B. Recıprocamente, comoA y B estanincluidos enA ∪B, lo demostrado en el ıtem 1 asegura queA ⊂ A ∪B yB ⊂ A ∪B. Ası, A ∪ B ⊂ A ∪B.

3. Como para cadaα esAα ⊂⋃

Aα, lo demostrado en el ıtem 1 aseguraqueAα ⊂

⋃

Aα. Luego⋃

Aα ⊂⋃

Aα. SeaAn = [ 1n, 2], n ∈ Z+. Por

una parte,⋃

An = (0, 2], luego⋃

An = [0, 2]. Sin embargo,An = An, y⋃

An = (0, 2].

Ejercicio 1.23. Discuta la siguiente “prueba” de que⋃

Aα ⊂ ⋃

Aα: si {Aα}es una coleccion de conjuntos enX y si x ∈ ⋃

Aα, entonces cada entornoUde x interseca a

⋃

Aα. Ası, U debe intersecar a algunAα, por lo quex debepertenecer a la clausura de algunAα. Por consiguiente,x ∈ ⋃

Aα.

El error de la prueba esta en suponer que cada entornoU dex interseca a unmismoAα.

Ejercicio 1.24. Denotemos porA, B y Aα a subconjuntos del espacioX . Deter-mine si las siguientes ecuaciones se cumplen; si una igualdad es falsa, determinesi una de las inclusiones⊂ o⊃ se cumple

1. A ∩B = A ∩ B.

2.⋂

Aα =⋂

Aα.

3. A−B = A− B.

La primera igualdad no se cumple, pero si la inclusionA ∩B ⊂ A ∩ B. Enefecto; comoA ⊂ A y B ⊂ B, entoncesA∩B ⊂ A∩B; al mismo tiempoA∩Bes cerrado. Un ejemplo que no verifica la otra inclusion es cuandoA = (0, 1) yB = (1, 2), enR. Notese queA ∩ B = ∅, por tantoA ∩B = ∅; sin embargoA = [0, 1], B = [1, 2], y A ∩ B = {1}.

En el segundo caso solamente se cumple la inclusion⊂; el contraejemploanterior sirve para negar la otra inclusion.

En el tercero se cumple solamente queA−B ⊃ A − B. En efecto; seax ∈ A − B, es decirx ∈ A y x /∈ B. Si x ∈ A ya quedax ∈ A − B, luegox ∈ A−B. Six /∈ A, supongamos que existe un entornoU dex que no intersecaA − B. Comox ∈ A, U ∩ A 6= ∅, por lo queU interseca aA solamente en lainterseccion conB. Al mismo tiempo, comox /∈ B, existe un entornoV dex


que no interseca aB. LuegoU ∩ V es un entorno dex que no interseca aA, locual es absurdo. Un contraejemplo de la otra inclusion es lasiguiente:A = (0, 2)y B = (1, 2). Notese queA − B = (0, 1], luegoA−B = [0, 1]; sin embargoA− B = [0, 2]− [1, 2] = [0, 1).

Ejercicio 1.25. SeanA ⊂ X y B ⊂ Y . Pruebe que, en el espacioX × Y ,

A×B = A× B.

Demostracion. ComoA ⊂ A y B ⊂ B, entoncesA×B ⊂ A×B; a la vezA×Bes cerrado por el Ejercicio1.19. Por tantoA×B ⊂ A× B. Recıprocamente, seax×y ∈ A×B, yU×V un basico que contenga ax×y. Comox ∈ A, el Teorema17.5 asegura que el entornoU dex interseca aA; comoy ∈ B, el entornoV dey interseca aB. LuegoU × V es un entorno dex × y que interseca aA × B,pues

(A×B) ∩ (U × V ) = (A ∩ U)× (B ∩ V ) 6= ∅.

Le sigue quex× y ∈ A×B, por el Teorema 17.5. Ası,A×B ⊃ A× B. �

Ejercicio 1.26. Pruebe que la topologıa del orden es de Hausdorff.

Demostracion. Seanx e y dos puntos distintos en una topologıa del orden; su-pongamos quex < y. Si existesec tal quex < c < y, basta considerar losabiertos(−∞, c) y (c,+∞), los cuales contienen respectivamente ax e y yson disjuntos. De no existir tal puntoc, bastarıa tomar los abiertos(−∞, y) y(x,+∞). �

Ejercicio 1.27. Pruebe que el producto de dos espacios de Hausdorff es de Haus-dorff.

Demostracion. Seanx1×y1 y x2×y2 dos puntos distintos de la topologıaX×Y .Si x1 6= x2, por serX de Hausdorff, existen los entornosU1 y U2 que contienenax1 y x2 respectivamente y son disjuntos. SiendoV1 y V2 dos abiertos deY quecontienen ay1 e y2 respectivamente (no necesariamente disjuntos), los abiertosU1×V1 y U2×V2 contienen ax1×y1 y x2×y2 respectivamente, y son disjuntos.Analoga es la demostracion siy1 6= y2. �

Ejercicio 1.28. Pruebe que un subespacio de un espacio de Hausdorff es deHausdorff.

Demostracion. Seanx ey dos puntos distintos de un subespacioY enX . ComoX es de Hausdorff,x ∈ U e y ∈ V , siendoU y V dos abiertos disjuntos. LuegoU ∩ Y y V ∩ Y son los abiertos del subespacio que contienen respectivamente ax ey, y son disjuntos. �


Ejercicio 1.29. Pruebe queX es de Hausdorff si, y solo sı, ladiagonal∆ ={x× x | x ∈ X} es cerrada enX ×X .

Demostracion. Probemos queB = (X × X) − ∆ es abierto, viendo para elloque six×y ∈ B, existe un abierto enX×X que contiene ax×y y se incluye enB. Comox 6= y y X es de Hausdorff, existen dos abiertosU y V que contienenrespectivamente ax ey y son disjuntos. Luegox× y ∈ U × V y U × V ⊂ B.

Recıprocamente, six ey son distintos, entoncesx×y ∈ (X×X)−∆. Como(X ×X)−∆ es abierto, es igual a una union de basicosU × V , pero dondeUy V son disjuntos. Luegox × y pertenece a algun basicoU × V , conx ∈ U ey ∈ V . Ası,X es de Hausdorff. �

Ejercicio 1.30. En la topologıa de los complementos finitos sobreR, ¿a que pun-to o puntos converge la sucesionxn = 1/n?

Seax ∈ R,U un entorno dex en la topologıa mencionada, yC la intersecciondeX − U con el recorrido de la sucesion. SiC es vacıo,xn ya converge ax. SiC es finito no vacıo, tambien sera finito no vacıo el conjunto de naturalesn talquexn ∈ C. SiendoM el maximo del conjunto anterior, para todon > Mseraxn ∈ U . La sucesionxn converge en todo real.

Ejercicio 1.31. Determine las clausuras de los siguientes subconjuntos delcua-drado ordenado.

A = {(1/n)× 0 | n ∈ Z+},B = {(1− 1/n)× 0 | n ∈ Z+},C = {x× 0 | 0 < x < 1},D = {x× 1

2| 0 < x < 1},

E = { 1

2× y | 0 < y < 1}.

Las clausuras de los conjuntos anteriores son las siguientes:

A = A ∪ {0× 1},B = B ∪ {1× 0},C = C ∪ [0, 1)× {1} ∪ {0× 1},D = D ∪ [0, 1)× {1} ∪ (0, 1]× {0},E = E ∪ { 1

2× 0, 1

2× 1}.

Ejercicio 1.32. Si A ⊂ X , definimos lafrontera deA mediante la ecuacion

FrA = A ∩ (X −A).


1. Pruebe queIntA y FrA son disjuntos, yA = IntA ∪ FrA.

2. Pruebe queFrA = ∅ ⇔ A es, al mismo tiempo, abierto y cerrado.

3. Pruebe queU es abierto⇔ FrU = U − U .

4. SiU es abierto, ¿es cierto queU = Int(U)? Justifique su respuesta.

1. Supongamos que existe unx ∈ IntA ∩ FrA. Comox ∈ (X −A), cadaentorno dex debe intersecar aX − A. Sin embargo,IntA es un entornodex que no interseca aX −A, porqueIntA ⊂ A.

Probemos queA = IntA ∪ FrA. ComoIntA y FrA son subconjuntosde A, IntA ∪ FrA ⊂ A. Recıprocamente, six ∈ IntA es inmediato. Six /∈ IntA, cada entorno dex debe intersecar aX − A. En caso contrario,existira un entornoV dex que no interseca aX − A. Por tantoV ⊂ A.Luego IntA ∪ V es un abierto mayor queIntA y contenido enA, unabsurdo.

2. SiFrA = ∅ seraA = IntA, por lo demostrado arriba. La igualdad ante-rior ocurre siA eIntA coinciden conA. ClaramenteA es cerrado y abiertoa la vez. Recıprocamente, comoA es abierto y cerrado, seraIntA = A yA = A, respectivamente. FinalmenteA = IntA, debiendo serFrA = ∅

por lo visto en la primera parte.

3. Por una parte,FrU = U ∩ (X − U). Probemos que(X − U) es el propioX −U . En efecto; siU es abierto,X −U es cerrado, por lo queX −U essu propia clausura. Recıprocamente, si

FrU = U − U = U ∩ (X − U),

comoFrU es tambienU ∩ (X − U), seraX − U = (X − U), y estoocurre siX − U es cerrado. LuegoU es abierto.

4. ComoU ⊂ U y ademasU es abierto, entoncesU ⊂ Int(U). La otrainclusion no es siempre cierta, pues puede existir un abierto dentro deUque contenga propiamente aU . Un ejemplo de lo anterior es el siguiente:U = R − {0}. El conjuntoU es abierto pues es(−∞, 0) ∪ (0,+∞). Sinembargo,U = R, e Int(U) = R.

1.4. Funciones continuas

Ejercicio 1.33. Pruebe que para las funcionesf : R → R, la definicionǫ− δ decontinuidad implica la definicion de conjunto abierto.

1.4. Funciones continuas 17

La definicionǫ − δ de continuidad es la siguiente: si una funcionf : R → R

es continua enx0, significa que dadoǫ > 0, existeδ > 0 tal que si|x− x0| < δ,entonces|f(x) − f(x0)| < ǫ. Mostremos que siV es un elemento basico deR, entoncesf−1(V ) es un abierto en el mismo espacio. SeaV = (a, b) y seax0 ∈ f−1(V ). Entoncesf(x0) ∈ (a, b); sea ahora

ǫ = mın{f(x0)− a, b− f(x0)}.

De acuerdo a la definicionǫ− δ, existeδ > 0 tal que

U = (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ f−1(f(x0)− ǫ, f(x0) + ǫ) ⊂ f−1(a, b).

En resumidas cuentas, para todox0 ∈ f−1(V ), existe un entornoU dex tal queU ⊂ f−1(V ). Luegof−1(V ) es abierto, por el Ejercicio1.1.

Ejercicio 1.34. Supongamos quef : X → Y es continua. Six es un puntolımite del subconjuntoA, ¿es necesariamente cierto quef(x) es un punto lımitedef(A)?

No. Por ejemplo, la funcion constantef : R → R tal quef(x) = 3 es conti-nua. SiA = (1, 2), un punto lımite deA es1. Sin embargo, cualquier entorno def(1) no interseca af(A) en un punto distinto de3.

Ejercicio 1.35. Denotemos porX y X ′ a un mismo conjunto con dos topologıasT y T′, respectivamente. Seai : X ′ → X la funcion identidad.

1. Pruebe quei es continua⇔ T′ es mas fina queT.

2. Pruebe quei es un homeomorfismo⇔ T′ = T.

1. SeaV un elemento deT. Comoi es continua, el conjuntoi−1(V ) es abiertoenX ′, al mismo tiempo quei−1(V ) = V . Ası, V es un elemento deT′.Recıprocamente, siV es un abierto deT, el conjuntoi−1(V ) = V , que eses un abierto enX ′ porqueT ⊂ T′.

2. Comoi e i−1 son continuas, aplicando el directo anterior quedaT ⊂ T′

y T′ ⊂ T. Recıprocamente, por la igualdad de topologıas,i es biyectiva.Por las dobles inclusiones, el recıproco anterior aseguraquei e i−1 soncontinuas.

Ejercicio 1.36. Dadox0 ∈ X e y0 ∈ Y , pruebe que las aplicacionesf : X →X × Y y g : Y → X × Y definidas por

f(x) = x× y0 y g(y) = x0 × y

son embebimientos.


La funcionf es claramente inyectiva; ademas es continua pues siV ×W esun elemento basico deX × Y , el conjuntof−1(V × W ) esV , que es abiertoenX . Seah : X → X × {y0} la aplicacion definida medianteh(x) = f(x),para todox ∈ X . Esta aplicacion es biyectiva; ademas es continua porquees unarestriccion adecuada del codominio def . Su inversah−1 : X × {y0} → X estambien continua, puesh−1 es la proyeccion sobreX . Analoga es la prueba parag.

Ejercicio 1.37. Pruebe que el subespacio(a, b) deR es homeomorfo con(0, 1),y el subespacio[a, b] es homeomorfo con[0, 1].

Definimosf : (a, b) → (0, 1) mediante

f(x) =1

b− a(x − a).

Esta aplicacion es biyectiva, pues graficamente corresponde a un segmento sinextremos, que va dea× 0 a b× 1.

La funcionf es un homeomorfismo, pues si(c, d) es un intervalo de(0, 1),el conjuntof−1(c, d) sera otro intervalo; recıprocamente tenemos el mismo re-sultado.

La formula anterior funciona tambien como homeomorfismo entre [a, b] y[0, 1].

Ejercicio 1.38. Encuentre una funcionf : R → R que sea continua unicamenteen un punto.

Seaf definida mediante

f(x) =

{

x si x ∈ Q,0 si x /∈ Q.

Esta funcion es continua en cero, pues siV es un entorno def(0) = 0,podemos considerarU = V y ver quef(U) ⊂ V . En cambio,f no es continua enotro punto. Six0 es un racional no nulo, el conjuntoV = (x0− 1

2|x0|, x0+

1

2|x0|)

es un entorno dex0, y no existe ningun entornoU dex0 tal quef(U) ⊂ V , puescualquierU tiene numeros irracionales. Sii es un irracional yr es un real tal que0 < |r| < |i|, siV = (−r, r), no existe ningun entornoU dei tal quef(U) ⊂ V ,pues habra un racionalq dentro deU tal que|q| > |i|, cuya imagen no queda enV .

Ejercicio 1.39. SeaY un conjunto ordenado con la topologıa del orden. Seanf, g : X → Y continuas.

1.4. Funciones continuas 19

1. Pruebe que el conjunto{x | f(x) ≤ g(x)} es cerrado enX .

2. Seah : X → Y la funcion

h(x) = mın{f(x), g(x)}.

Pruebe queh es continua. [Indicacion: use el lema del pegamiento.]

1. Probemos queA = {x | f(x) > g(x)}, el complemento de{x | f(x) ≤g(x)}, es abierto enX . Seax0 ∈ A; entoncesg(x0) < f(x0).

Si existe el puntoy tal queg(x0) < y < f(x0), consideremos los rayosdisjuntos(−∞, y) e (y,+∞). Luego

x0 ∈ g−1(−∞, y) ∩ f−1(y,+∞).

Notese que el conjunto anterior es abierto por ser interseccion de abiertos;al mismo tiempo se incluye enA. Se sigue queA puede escribirse comounion de abiertos, siendo entonces un abierto enX .

De no existir tal puntoy, la prueba es completamente analoga: allı se con-sideran los rayos disjuntos(−∞, f(x0)) y (g(x0),+∞).

2. Consideremos los conjuntosA = {x | f(x) ≤ g(x)} y B = {x | g(x) ≤f(x)}. Notese queX = A ∪ B, y queA y B son cerrados enX por loanterior. Ademasf(x) = g(x) para cadax ∈ A ∩B. Luegoh(x) = f(x)si x ∈ A, y h(x) = g(x) si x ∈ B, coincidiendo con la funcion del lema.

Ejercicio 1.40. Sean{Aα} una coleccion de subconjuntos deX y X =⋃

α Aα.Seaf : X → Y y supongamos quef |Aα es continua en cadaα.

1. Pruebe que si la coleccion{Aα} es finita y cada conjuntoAα es cerrado,entoncesf es continua.

2. Encuentre un ejemplo donde la coleccion{Aα} sea numerable y cadaAα

sea cerrado, perof no sea continua.

3. Una familia indexada de conjuntos{Aα} se dice que eslocalmente finitasi cada puntox deX tiene un entorno que interseca aAα solo para unnumero finito de valores deα. Pruebe que si la familia{Aα} es localmentefinita y cadaAα es cerrado, entoncesf es continua.

1. Por hipotesis, podemos escribirX como union finita de conjuntos cerra-dosAα, tales quef |Aα es continua para cadaα. SeaC un cerrado deY .Entonces

f−1(C) ∩ Aα = (f |Aα)−1(C).


Comof |Aα es continua, ese conjunto es cerrado enAα, y por tanto, cerra-do enX . Pero

f−1(C) =⋃

α

(f−1(C) ∩ Aα),

por lo quef−1(C) es cerrado ya que se trata de una union finita de cerra-dos.

2. Seaf : [0, 1] → R definida mediantef(x) = 1 si x 6= 0, y f(x) = 0 six = 0. Notese que podemos escribir

[0, 1] =⋃

n

[1/(n+ 1), 1/n] ∪ {0},

y tanto[1/(n + 1), 1/n] como{0} son cerrados1. Ademasf es continuaen cada[1/(n+ 1), 1/n] y en{0}. Sin embargo,f no es continua en0.

3. Seax ∈ X y Ux un entorno dex que interseca una cantidad finita deconjuntosAα. Notese que

Ux = Ux ∩X = Ux ∩ (⋃

α

Aα) =⋃

α

(Ux ∩ Aα).

Como los conjuntosUx ∩ Aα no son vacıos solamente para una cantidadfinita de valores deα, el conjuntoUx puede reescribirse como union finitade dichas intersecciones:Ux =

⋃nj=1

(Ux ∩ Aαj). Cada funcionf |(Ux ∩

Aαj) es continua porque es una restriccion de la funcion continuaf |Aαj

.Ademas, como cadaAαj

es cerrado, la interseccionUx ∩ Aαjes cerrada

enUx. Aplicando la parte 1,f |Ux es continua. Finalmente, comoX =⋃

x∈X Ux, f es continua por la formulacion local de continuidad.

Ejercicio 1.41. Seanf : A → B y g : C → D funciones continuas. Definamosuna aplicacionf × g : A× C → B ×D mediante la ecuacion

(f × g)(a× c) = f(a)× g(c).

Pruebe quef × g es continua.

Demostracion. SeaU × V un elemento basico deB ×D. Observese que

(f × g)−1(U × V ) = f−1(U)× g−1(V ).

Comof−1(U) y g−1(V ) son abiertos enA y C respectivamente,(f ×g)−1(U ×V ) es abierto enA× C. �

1Recordar que cada conjunto unipuntual en un espacio de Hausdorff es cerrado.

1.5. La topologıa metrica 21

Ejercicio 1.42. SeaF : X × Y → Z. Decimos queF escontinua en cadavariable separadamentesi para caday0 enY , la aplicacionh : X → Z definidaporh(x) = F (x×y0) es continua y para cadax0 enX , la aplicacionk : Y → Zdefinida pork(y) = F (x0×y) es continua. Pruebe que siF es continua, entoncesF es continua en cada variable separadamente.

Demostracion. Veamos queh resulta de componer la funcionj : X → X × Y ,tal quej(x) = x× y0, con la funcionF . La funcionh es continua porquej y Fson continuas. Analoga demostracion recibe la funcionk : Y → Z. �

Ejercicio 1.43. SeanA ⊂ X , f : A → Y continua eY de Hausdorff. Prue-be que sif puede extenderse a una funcion continuag : A → Y , entoncesgesta unıvocamente determinada porf .

Demostracion. Supongamos que existen dos extensionesg : A → Y y h : A →Y de la funcionf , ambas continuas y distintas. Seax ∈ A tal queg(x) 6=h(x). ComoY es de Hausdorff, existen dos entornosU y V de g(x) y h(x)respectivamente que son disjuntos. El conjunto

W = g−1(U) ∩ h−1(V )

es abierto, puesg−1(U) y h−1(V ) son abiertos, que ademas contiene ax. Luego,comox ∈ A, W interseca aA. Sia ∈ W ∩A, comog y h son extensiones def ,

g(a) = f(a) = h(a),

por lo quef(a) ∈ U ∩ V , un absurdo. �

1.5. La topologıa metrica

Ejercicio 1.44.

1. EnRn, definimos

d′(x, y) = |x1 − y1|+ · · ·+ |xn − yn|.Pruebe qued′ es una distancia que induce la topologıa usual enRn. De unaidea de como son los elementos basicos parad′ cuandon = 2.

1. Las primeras dos propiedades de una distancia son triviales. La desigual-dad triangular surge del hecho que

|xi − zi| ≤ |xi − yi|+ |yi − zi|para cadai = 1, · · · , n.

Capıtulo 2

Conexion y compacidad

Ejercicio 2.1. SeanT y T′ dos topologıas enX . SiT′ ⊃ T, ¿que puede decir dela conexion deX respecto de una topologıa y respecto de la otra?

Puede decirse que siX es conexo conT′, X es conexo conT.

Ejercicio 2.2. Sea{An} una sucesion de subespacios conexos deX tales queAn ∩ An+1 6= ∅ para cadan. Demuestre que

⋃

An es conexo.

Demostracion. Supongamos que⋃

An = C ∪ D es una separacion de⋃

An.ComoA1 es conexo, del lema 23.2 quedaA1 ⊂ C o A1 ⊂ D; pongamos queA1 ⊂ C. Sean tal queAn ⊂ C. ComoAn+1 es conexo,An+1 ⊂ C o An+1 ⊂D, aunque esta ultima posibilidad se descarta puesAn∩An+1 6= ∅. Ası,An ⊂ Cpara cadan, luego

⋃

An ⊂ C. De esta manera contradecimos queD es novacıo. �

Ejercicio 2.3. Sean{Aα} una coleccion de subespacios conexos deX y A unsubespacio conexo deX . Demuestre que siA ∩ Aα 6= ∅ para todoα, entoncesA ∪ (

⋃

Aα) es conexo.

Demostracion. Supongamos queA ∪ (⋃

Aα) = C ∪ D es una separacion deA ∪ (

⋃

Aα). ComoA es conexo, entoncesA ⊂ C o A ⊂ D; pongamos queA ⊂ C. Por otra parte, como cadaAα es conexo,Aα ⊂ C o Aα ⊂ D, aunquela ultima posibilidad se descarta ya queA ∩ Aα 6= ∅. Luego

⋃

Aα ⊂ C, yfinalmenteA ∪ (

⋃

Aα) ⊂ C, contradiciendo queD es no vacıo. �

Ejercicio 2.4. Demuestre que siX es un conjunto infinito, entoncesX es conexocon la topologıa del los complementos finitos (o topologıacofinita)

23

24 Capıtulo 2. Conexion y compacidad

Demostracion. Supongamos queX = A ∪B es una separacion deX . ComoAy B son abiertos en la topologıa de los complementos finitos,X − A y X − Bson conjuntos finitos. LuegoX es la union deX − A y X − B, ambos finitos,siendoX un conjunto finito. �

Ejercicio 2.5. Un espacio estotalmente disconexosi sus unicos subespaciosconexos son los conjuntos unipuntuales. Demuestre que siX tiene la topologıadiscreta, entoncesX es totalmente disconexo. ¿Es cierto el recıproco?

Demostremos que todo subespacioA no vacıo ni unipuntual tiene una se-paracion. Seap ∈ A. En la topologıa discreta, cualquier subconjunto deX esabierto. Ası, una separacion deA es{p} ∪ (A− {p}). El recıproco no es cierto:el conjuntoQ es totalmente disconexo como lo muestra el libro; sin embargo, latopologıa no es la discreta porque no contiene conjuntos unipuntuales.

Ejercicio 2.6. SeaA ⊂ X . Demuestre que siC es un subespacio conexo deXque interseca a tanto aA como aX −A, entoncesC interseca aFrA.

Demostracion. Recordemos queFrA = A ∩ (X −A). Supongamos queC ∩FrA = ∅. Entonces(C∩A)∩(C∩(X −A)) = ∅. Las intersecciones anterioresno son vacıas porqueC interseca aA y X −A. Su union esC porque

C = (C ∩ A) ∪ (C ∩ (X −A)), y A ⊂ A y (X −A) ⊂ (X −A).

Por otra parte, el conjuntoC ∩ (X −A) es abierto enC porque coincide conC − (C ∩ A). De manera analoga se muestra queC ∩ A es abierto. De todo loanterior tenemos queC ∩ A y C ∩ (X −A) conforman una separacion deC,pero comoC es conexo alguno de ellos debe ser vacıo. SiC ∩ A = ∅, entoncesC ∩ A = ∅; si C ∩ (X −A) = ∅ entoncesC ∩ (X −A) = ∅. �

Ejercicio 2.7. ¿Es el espacioRℓ conexo? Justifique su respuesta.

No, Rℓ puede escribirse como la union de(−∞, 0) y [0,+∞). Ambos con-juntos son abiertos puesto que

(−∞, 0) =⋃

x<0

[x, 0) y [0,+∞) =⋃

x>0

[0, x).

Ejercicio 2.8. SeaY ⊂ X y supongamos queX e Y son conexos. Demuestreque siA y B forman una separacion deX − Y , entoncesY ∪ A e Y ∪ B sonconexos.

25

Demostracion. Supongamos queY ∪ A tiene una separacionC ∪ D. ComoYes conexo, del lema 23.2 quedaY ⊂ C o Y ⊂ D; pongamosY ⊂ C. Demos-traremos que(B ∪ C) ∪ D es una separacion deX , logrando la contradiccion.Veamos primero queD es abierto enX . Del lema 23.1 se sabe que

C ∩D = C ∩ D = ∅ y A ∩B = A ∩ B = ∅.

ComoD ⊂ A, entoncesB ∩D = ∅. Luego

∅ = (B ∩D) ∪ (C ∩D) = (B ∪ C) ∩D = (B ∪ C) ∩D.

Como(B ∪ C) ∩ D = ∅, se tiene que(B ∪C) ⊂ (B ∪ C), y asıB ∪ C escerrado. LuegoD es abierto. De manera parecida se demuestra queB ∪ C esabierto enX : comoD ⊂ A, entoncesD ⊂ A y por tantoD ∩B = ∅. Luego

∅ = (D ∩B) ∪ (D ∩ C) = (B ∪ C) ∩ D,

por tantoD ⊂ D, y asıD es cerrado. LuegoB ∪ C es abierto. �

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