11.1.2 Clases de proposiciones · 726 Aritmética Und. 11 – Lógica Matemática 727 Usamos el...

727Und. 11 – Lógica Matemática726 Aritmética

Usamos el término proposición para referirnos al contenido de las oraciones. De este modo, dos omás oraciones diferentes que afirman lo mismo tienen el mismo significado, es decir, poseen lamisma proposición.

Ejemplo 2.- Los siguientes enunciados contienen la misma proposición:

i. La suma de dos números impares es un número par.

ii. Un número par es igual a la suma de dos números impares.

Si una proposición la contrastamos con la realidad, encontraremos que su valor veritativo sólo puedeser verdadero o falso pero no ambos a la vez.

En adelante debe tenerse en cuenta que si un enunciado no es ni verdadero ni falso entonces no es unaproposición.

Ejemplo 3.- Indicar la veracidad con V y falsedad con F de cada proposición:

i. El pisco es peruano. (V)

ii. Machu Picchu fue construido por los mayas. (F)

Las proposiciones, a diferencia de las oraciones, son independientes del lenguaje.

Ejemplo 4.- Las siguientes son oraciones en distintos lenguajes:

i. Yo estoy en la universidad.

ii. I am in the university.

Ambas oraciones o enunciados tienen el mismo significado y por lo tanto expresan una misma propo-sición.

11.1.2 Clases de proposiciones

11.1.2A. Proposición simple (P.S)Es aquella proposición que contiene una sola afirmación.

Toda proposición simple, o proposición atómica, se puede representar mediante una letra en cuyocaso ésta se llama variable proposicional. Las letras que más se usan como variable proposicional sonlas últimas del abecedario: p, q, r, s, etc.

Ejemplo.- Las siguientes son proposiciones simples:

i. Daniel es un niño honesto: p

ii. Rocío estudia con sus mejores amigas: q

iii. Marlon es ingeniero: r

iv. 4 9 6 : s

11.1.2B. Proposición compuestaUna proposición compuesta, P.C, llamada también proposición molecular, es aquella que está for-mada por dos o más proposiciones simples o es la negación de una proposición simple.

En toda proposición compuesta las proposiciones simples están ligadas mediante algunas palabrasconocidas como conectivos lógicos.

11.1.1 Definiciones fundamentales

11.1.1A. EnunciadoLlamamos enunciado a toda expresión del lenguaje en el que se transmite un sentimiento, una infor-mación o una orden, llamados enunciado expresivo, enunciado informativo o enunciado directivo,respectivamente.

Ejemplo.- Las siguientes oraciones son enunciados:

a) Te extraño. . . . (*) Enunciado expresivo

b) Ximena viene de viaje. . . . (*) Enunciado informativo

c) Cierre la puerta por favor. . . . (*) Enunciado directivo

11.1.1B. ProposiciónSe llama proposición a todo enunciado de tipo informativo que puede ser calificada como verdaderao falsa.

La verdad (V) o falsedad (F) de una proposición se llama valor veritativo, o valor de verdad, que seobtiene al ser contrastada con la realidad. Las proposiciones se caracterizan porque pueden expresarseen forma de oraciones o de relaciones matemáticas.

Ejemplo 1.- Son proposiciones:

a) La semana tiene siete días.

b) 4 + 3 < 8

c) El cuadrado de todo número real es positivo.

La lógica es la ciencia que permite distinguir unbuen razonamiento de uno malo.

Existe íntima relación entre la lógica y la informáti-ca debido al isomorfismo (igual forma) que se pre-senta entre los conectores lógicos y los circuitoseléctricos.

El estudio de estas relaciones ha permitido cons-truir el lenguaje de programación y los sistemaselectrónicos digitales.


Obsérvese que al negar una proposición se cambia su valor de verdad. En adelante utilizaremos unesquema en el que se muestran los dos posibles valores de verdad de una proposición:

Ejemplo.- Neguemos las siguientes proposiciones:

a) Junior es cantante: pJunior no es cantante: ~p

b) A Rocío le gusta pintar: qA Rocío no le gusta pintar: ~q

c) Todos los insectos son invertebrados: rAlgún insecto es invertebrado: ~r

11.1.4B. Conjunción

Dos proposiciones «p» y «q» vinculadas por el conectivo , forman una proposición compuestallamada conjunción, denotada por: p q.

La conjunción p q, se lee: «p y q»

Una conjunción sólo es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas. Para poder establecer lasdiferentes combinaciones de verdad o falsedad de ambas proposiciones se recurre a un diagrama lla-mado « tabla de verdad» que describiremos más adelante.

Ejemplos.- Las siguientes proposiciones son conjunciones:

i. Tanto Newton como Gaüss fueron matemáticos.

Es una proposición verdadera porque:

Newton fue matemático y Gaüss fue matemático

: V : Vp qY según la tabla de verdad: V V = V

ii.18 es múltiplo de 3 y 7:

Esta proposición es equivalente a:

18 es múltiplo de 3 y 18 es múltiplo de 7

: V : Fp qY según la tabla de verdad: V F = F

Por consiguiente la proposición original es falsa.

11.1.3 Conectivos lógicos

Un conectivo lógico, llamado también conector lógico, es una palabra que sirve para ligar dos propo-siciones o para negar una proposición.

Los conectivos pueden ser de dos tipos:

a) Monádicos: Si anteceden una proposición: «no...»

b) Diádicos: Si ligan dos proposiciones: «y», «o», «entonces», «si y sólo si», etc.

Símbolo

Es importante recordar el tipo de conectivo lógico y las traducciones verbales que suelen emplearsepara ellas. Cuando convertimos una proposición compuesta en forma simbólica, la expresión obtenidase llama fórmula proposicional.

En una fórmula proposicional las proposiciones están representadas mediante variables proposionalesmientras que las palabras de enlace o conectivos lógicos están representados por los símbolos de lalista anterior.

Ejemplo.- La siguiente es una fórmula proposicional: p q p q r

La tarea que tenemos ahora es saber expresar una proposición compuesta mediante una fórmula propo-sicional.

11.1.4 Clases de proposiciones compuestas

11.1.4A. Negación

La negación es un tipo de proposición compuesta en la que se afirma que algo no existe, que no esverdad, o que no es como alguien cree o afirma.

Si «p» representa una proposición, entonces para negarla se le antecede el conector negador (~),quedando: ~p.

No, nunca, jamás, no es cierto que, es mentira que, no ocurre que, esfalso que, es imposible que, ni, ... etc.

Y, sin embargo, además, pero, también, no obstante, así como, delmismo modo, de la misma manera, aún cuando, mas, y, etc

O, o sino, o bien, o también, o de lo contrario, y/o, salvo que, amenos que, excepto que, a no ser que, ... etc.

O .., o ....; o (en sentido excluyente), o bien … o bien, solamente si,únicamente, excepto que solo, no es equivalente a.

Si ..., entonces ...; como, cuando … entonces ..., porque, o unasimple «coma».

Si, y sólo si; cuando y sólo cuando, porque y solamente si, es equi-valente, es igual que, es condición necesaria y suficiente.


11.1.4E. CondicionalDos proposiciones «p» y «q», vinculadas por el conectivo , forman una proposición compuestallamada condicional, denotada por p q.

En la condicional p q, «p» se llama antecedente y «q» consecuente, y se lee: «Si p entonces q ».

Una proposición condicional es falsa sólo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejemplos.- Las siguientes son proposiciones condicionales:

i. Si Lima está en Perú, entonces 3 – (-5) = -8.

Es una proposición falsa porque:

Si Lima está en Perú entonces 3 (-5) -8

: V : Fp qY según la tabla: V F = F

ii. Si Madrid está en España, entonces 4 + 4 = 8.

Es una proposición verdadera porque:

Si Madrid está en España entonces 4 4 8

: V : Vp qSegún la tabla de verdad: V V = V

11.1.4F. BicondicionalDos proposiciones «p» y «q», vinculadas por el conectivo , forman una proposición compuestallamada bicondicional, denotada por p q.

Una bicondicional es verdadera sólo si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

La bicondicional p q, se lee: «p si, y sólo, q »

Ejemplo.- La siguiente es una proposición bicondicional:

Trujillo está en La Libertad si, y sólo si, 6 + 7 = 14.

Es una proposición falsa porque: Trujillo está en La Libertad

: Vp, si y sólo si 6 7 13

: Fq

Según la tabla de verdad: V F = F

Obsérvese que el número de combinaciones posibles de «V» y «F» está dado por 2n, donde «n» es el nú-mero de proposiciones enlazadas. En este último ejemplo n = 2, luego se tiene: 22 = 4 combinaciones.

11.1.4C. Disyunción

Dos proposiciones «p» y «q» vinculadas por el conectivo ,forman una proposición compuesta llamadadisyunción, denotada por: p q.

La disyunción p q, se lee «p o q».

Una disyunción sólo es falsa si ambas proposicionesson falsas. Todas las demás opciones se muestran enla siguiente tabla:

El disyuntor, o inclusor, es un término que sugiere quedarnos con una de las dos proposiciones o conambas, por ello la disyunción es verdadera cuando al menos una de las proposiciones es verdadera.

Ejemplo.- La siguiente es una disyunción: 72 = 6 . 11 ó 72 > 50

Es un proposición falsa porque:

272 6 11 ó 7 >50

: F : Fp q

Según la tabla de verdad: F F = F

11.1.4D. Disyunción fuerte

Dos proposiciones «p » y «q» vinculadas por el conectivo , forman una proposición compuestallamada disyunción fuerte, denotada por: p q.

La disyunción fuerte p q, se lee: «O p o q»

Una disyunción fuerte sólo es verdadera si una de las proposiciones es verdadera. Todas las demásopciones se muestran en la siguiente tabla:

Al disyuntor fuerte, llamado también exclusor, se le reconoce porque el término sugiere que la verdad ofalsedad de una proposición es incompatible con la verdad o falsedad de otro, respectivamente; es decir,o el uno o el otro, pero no los dos a la vez.

Ejemplo.- Determinemos el valor veritativo de la siguiente disyunción fuerte:

O Maradona es argentino o (-7)2 > 50

Es un proposición verdadera porque:

2O Maradona es argentino o (-7) >50

: V : Fp qSegún la tabla de verdad: V F = V


Obsérvese que el análisis se ha realizado de arriba hacia abajo. Esto se hace, generalmente, cuando seconocen los valores de verdad de cada proposición.

Ejemplo 4.- Determinar el valor de verdad de «p» si el siguiente enunciado:

( )p q r s , es falso.

Siendo F, V y F los valores de verdad de q, r y s respectivamente.

Primero anotamos los valores de verdad conocidos. Luego se analiza desde la derecha y hacia abajo,por ser el sector conocido. Finalmente se sigue hacia la izquierda y hacia arriba:

( ) ( )F? F V

F

p q r s

( ) ( )

? F V FFF

VVF

F

p q r s

Obsérvese, en el esquema de la izquierda, que los valores desconocidos para y deben ser V y Frespectivamente puesto que esa es la única forma como la implicación resulta falsa.

Por lo tanto el valor de verdad que le corresponde a «p» es FALSO.

11.1.5B. Tablas de verdadUna tabla de verdad es una forma concisa de mostrar la relación entre el valor de verdad de unaproposición compuesta y los valores de verdad de sus variables.

Este método se aplica cuando no sabemos el valor de verdad de las proposiciones simples que estánpresentes en una proposición compuesta y se procede así:

1ro. Se elabora un recuadro dividido en filas y columnas.

2do. En la parte superior se anota la proposición molecular que se analizaráasignándose una columna por cada variable.

3ro. El número de filas viene dado por 2n, siendo «n» el número de variablesproposicionales diferentes.

4to. En la 1ra columna, y en 2n/2 filas, se anotan valores de verdad Verdaderoy en las siguientes 2n/2 filas valores de verdad Falso.

5to. En la 2da y sucesivas columnas se anotan valores de verdad, por mitades alternadas de las inmedia-tamente anteriores, hasta que se logren alternar valores de verdad verdadero y falso consecutivamenteen la columna de la última variable.

6to. En cada fila de valores se evalúan los grupos de proposiciones componentes.

El proceso se inicia desde los signos de colección más interiores y concluye en la columna correspon-diente al conectivo de mayor jerarquía.

La columna final de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía se llama matriz principalo característica tabular.

11.1.5 Evaluación de proposiciones

Llamaremos evaluación de proposiciones al proceso que se sigue para establecer el valor veritativo deuna proposición simple o de una proposición compuesta.

Existen dos procedimientos de evaluación de proposiciones lógicas que llamaremos: Método abrevia-do y Tablas de verdad.

11.1.5A. Método abreviadoEste método se aplica cuando conocemos el valor de verdad de las variables de una proposicióncompuesta y se procede así:

1ro. Se anota debajo de cada variable su correspondiente valor de verdad conocido.

2do. Se aplican las reglas de verdad establecidas para los conectores lógicos según sus respectivastablas de verdad, y desde los signos de colección más interiores en estricto orden de jerarquía.

Los conectores vistos aquí verifican el siguiente orden de jerarquía descendente: , , , , , ~.

Ejemplo 1.- Determinar el valor de verdad del siguiente enunciado:

Si 38 -27 4 , entonces 5 + 8 = 12.

Luego de identificar las proposiciones simples aplicamos las reglas del método abreviado:

38 -27 4 5 8 12

F F

Por lo tanto la proposición dada es VERDADERA.

Ejemplo 2.- Determinar el valor de verdad de: No es verdad que 9 + 72 = 58 o que 36 1 7 .

Luego de identificar las proposiciones simples aplicamos las reglas del método abreviado:

29 7 58 36 1 7

VV

F

V


Ejemplo 3.- Sabiendo que los valores de verdad para «p», «q » y « r » son F, V y F, respectivamente,determinar el valor de verdad de: (p q) ~(q r ).

Trabajando con los valores de verdad dados empezamos desde el interior de los paréntesis y de arribahacia abajo:

( ) ( )

F V V F

V F

V

V

p q q r



11.1.6 Principales resultados

11.1.6A. TautologíaSi la matriz principal contiene sólo valores de verdad verdaderos. Esto significa que la proposiciónserá siempre verdadera cualquiera que sean sus proposiciones componentes y cualquiera sea el valorde verdad que se le atribuya a sus variables.

11.1.6B. ContradicciónSi la matriz principal contiene sólo valores de verdad falsos. Esto significa que la proposición serásiempre falsa cualquiera que sean sus proposiciones componentes y valores de verdad.

11.1.6C. Contingencia

Si la matriz principal contiene valores de verdad verdaderos y falsos.

Ejemplos.- Determinar el resultado de las siguientes proposiciones:

a) (p q) (~p q)

En este caso el conectivo de mayor jerarquía es el condicional:

Se trata deuna .

tautología

b) (p ~q) (~p q)

Como en el caso anterior el conectivo de mayor jerarquía es el condicional, luego procedemos así:

Es una

.

contingencia

c) (p ~q) (~p q)

En este caso el conectivo de mayor jerarquía es el bicondicional, luego procedemos así:

Es una

.

contradicción

Ejemplo 1.- Mostrar la tabla de verdad de la proposición: ~(p ~q)

Por tratarse de sólo dos proposiciones diferentes elaboraremos una tabla con 22 = 4 filas. Veamos:

El proceso se inicia preparando los términos que contiene la proposición compuesta.

En el paso «1» se ha efectuado la negación de «q».

En el paso «2» se ha efectuado la condicional de p y ~q.

En el paso «3» se ha determinado la negación de (p ~q).

La operación se lleva a cabo con cada una de las filas y con cada uno de los conectivos lógicos.

Obsérvese que, en este ejemplo, el análisis se ha hecho de izquierda a derecha.

Ejemplo 2.- Mostrar la tabla de verdad de la proposición:

(p q) ~p

Como en el ejemplo anterior y, por tratarse de dos proposi-ciones, elaboramos la tabla con cuatro filas:

Descripción:

En «1» se ha efectuado la disyunción fuerte de p y q: p q.

En «2» se ha efectuado la negación de «p».

En «3» se ha determinado la implicación de (p q) ~p

Ejemplo 3.- Mostrar la tabla de verdad de la proposición: (p q) ~(p q)

Para este ejemplo procederemos de otro modo. Empezaremos determinando el resultado de cadaparéntesis y terminaremos con el análisis de la bicondicional ubicada en la parte central. Veamos:

La matriz principal viene indicada por la columna de valores ubicada debajo del doble implicador.


d. ~V F ..................... ( )

e. F ~V ..................... ( )

Método abreviado

08.- Efectuar las siguientes expresiones anotando losresultados parciales y el valor de verdad de toda laexpresión debajo de cada llave:

a.

V F V V

b.

V F V F

c.

V V F F

d.

F F V V

09.- Efectuando las expresiones indicadas, se pide ano-tar los resultados de cada paso y el resultado final:

a.

V F F F( ) ( )

b.

F V V V( ) ( )

c.

F F V V( ) ( )

10.- Analizar la expresión dada y anotar el valor deverdad que debe tener la proposición «p» en cadacaso, si:

q = V , r = F , s = F

a. (p q) r , es verdadero

...............................................

b. (r q) p , es falso

...............................................

c. (p s) r , es verdadero

...............................................

11.- Completar las siguientes tablas de verdad y anotarel resultado principal:

a. p q ( ) ( )p q p q

b. p q ( ) ( )p q p q

c. p q (~ ) ( )p q p q

01.- Indica con E, D o I si el enunciado es expresivo,directivo o informativo, respectivamente:

a. ¡Atención! ( )

b. ¿Qué hora es? ( )

c. Hoy es viernes ( )

d. Prohibido fumar ( )

02.- Indica con P o NP si la oración es o no, respectiva-mente, una proposición.

a. Sí se puede. ( )

b. Los insectos son ovíparos. ( )

c. La gioconda baila reague. ( )

d. El Perú es una monarquía. ( )

03.- Apelando a tu bagaje cultural anota el valor de ver-dad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

a. 2 + 32 = 11 ( )

b. Los mayas reinaron en México. ( )

c. Existen 3 800 variedades de papa. ( )

d. El Huáscar fue piloteado por Grau. ( )

04.- Identifica las proposiciones simples y el conectivológico de cada proposición compuesta. A continuaciónexpresa la proposición dada en forma simbólica segúnel ejemplo mostrado:

Si hoy llueve entonces mañana sale el sol .

qp

a. Luis va al colegio o a la universidad.

...................................................

b. 2x – 4 = 8 a menos que -x2 < -1.

...................................................

c. Es falso que (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

...................................................

d. La bisectriz y la altura son líneas notables.

...................................................

e. Claudia aprobará matemática siempre y cuando re-suelva sus ejercicios.

...................................................

f. 32 = 9 del mismo modo que 3-2 = 9-1.

...................................................

05.- Escribe al menos dos formas de negar cada una delas siguientes proposiciones:

a. Luis va al colegio.

...................................................

...................................................

b. 2x – 4 = 8

...................................................

...................................................

06.- Si V y F son los valores de verdad y falsedad, anotael valor de verdad resultante de cada expresión:

a. F F ( )

b. F V ( )

c. F F ( )

d. F F ( )

e. V F ( )

f. ~F ( )

07.- Efectúa los cambios necesarios y determina el valorde verdad resultante de cada expresión:

a. ~V ~F ..................... ( )

b. V ~F ..................... ( )

c. ~F V ..................... ( )


Las proposiciones simples son aquellas que noestán ligadas por algún conector lógico ni afec-tados por él.

I. Falso, porque se trata de la negación de 2 = 4.

II. Falso porque no se conoce el valor

III. «Falso» porque no se precisan los valores dex.

IV. «Verdadero» porque la proposición se pue-de descomponer de la siguiente forma:

(2 4 5) o (2 4 5)p q

FFFV

Prob. 05 (cepre uni 07 – II)Si «r» y «s» son proposiciones falsa y verdaderarespectivamente, indicar cuáles de las siguientesproposiciones son verdaderas:

I. (r s) r II. ~s r

III. ~r s IV. ~r (r s)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo II y IV E) Sólo II y III

Atendiendo las condiciones del problema se tiene:

r : F y s: V

Sustituyendo los valores de verdad de cada va-riable proposisional y reduciendo según cadaconectivo, se tiene:

I.

( ) (Falso)F V F

VF

r s r

II.

~ (Verdadero)F F

V

s r

III. r s~ (Verdadero)V V

V

IV.

~ ( ) (Falso)V F V

FF

r r s

Sólo II y III

Prob. 06

Si la siguiente proposición: (p ~q) (p r) esfalsa, entonces se tiene que:

I. p q es falsa

II. r q es verdadera

III. ~q p es verdadera

son ciertas:

A) I B) Todas C) I y II

D) I y III E) II y III

En atención a la condición del problema com-pletamos los valores de verdad de abajo haciaarriba.

( ~ ) ( ) (Falsa)V V V F

V FF

p q p r

Luego los valores de verdad de las variables pro-posicionales son:

p : V , q : F , r : F

Sustituyendo los valores de verdad para cadavariable proposicional y reduciendo según losconectivos lógicos, se tiene:

I. ( Verdadero)V F

V

p q

Prob. 01 (UNALM 04 – II) Determinar si es proposición o no:I. ¿Qué hora es?II. No fumarIII. 3 + 2 = 5IV. Un número par más un número par siempre te

da par.A) FVFV B) FFVV C) FFFVD) VVVV E) FFFF

I. No es proposición porque es un enunciadode tipo expresivo.

II. No es una proposición; es un enunciado detipo directivo.

III. Sí es una proposición dado que es un enun-ciado de tipo informativo cuyo valor de ver-dad es verdadero.

IV. Sí es una proposición dado que es un enun-ciado de tipo informativo cuyo valor de ver-dad es verdadero.

FFVV

Prob. 02 (UNALM 05 – I)Indicar si es verdadero o falso:I. Es falso que el número 3 no es par ( )II. ¡Viva el Perú! es una proposición ( )III. x = 4; es proposición ( )A) VFF B) VVV C) FFFD) FFV E) VVF

I. La proposición «p: 3 no es par» es verdade-ra por lo tanto «Es falso que el número 3 noes par» es falsa.

II. Es falso porque se trata de un enunciadoexpresivo.

III. No es una proposición porque lo que se afir-ma no puede constrastarse con la realidad.

FFF

Prob. 03 (UNPRG 02 – I)De la falsedad de: (~p q) r, determinar elvalor de verdad de: «p», «q» y «r», en ese orden.A) FVF B) VVF C) FFVD) VFV E) VVV

En atención a las condiciones del problema te-nemos que:

( ~ ) (Falso)F V F

VV

F

p q r

Podemos observar que los valores de verdad son:

p : F q : V r : F

FVF

Prob. 04 (cepre uni 06 – II)Determine el valor de verdad de cada uno de lossiguientes enunciados:I. 2 4, es una proposición simple.II. 2x + 4 = 5, es una proposición simple.III. 2x + 4 5, es una proposición compuesta.IV. 2 + 4 5, es una proposición compuesta.A) FFVV B) FFFV C) VFVVD) VFVF E) FFFF


Prob. 09

Si se sabe que s t es verdadera, r s es falsa,p q es falsa, ~p r es falsa, determinar losvalores de «p», «q», «r», «s» y «t».

A) VFVFF B) FVFVV C) VFFVV

D) VFVFV E) VFVVF

Según el enunciado, del problema comple-tamos los valores de verdad de abajo haciaarriba:

i)

(Verdadera)V V

V

s t

ii) (Falsa)V F

F

p q

iii) ~ (Falsa)F F

F

p r

Luego, el valor de verdad de las variables pro-posicionales son:

p : V , q : F , r : F , s : V y t : V

VFFVV

Prob. 10 (UNMSM 05 – I)

Identifique la fórmula proposicional que corres-ponde a la siguiente inferencia:

«Si Jorge estuvo en el lugar del asalto entonces esun asaltante; pero Jorge estuvo en la universidad,por lo tanto, Jorge no es un asaltante».

A) ( p q ) q p

B) ( p q ) q q

C) ( p q ) q r

D) ( p q ) r p

E) ( p q ) r q

Identifiquemos las proposiciones simples yasignemos una variable proposicional a cadauna.

p : Jorge estuvo en el lugar del asalto

q : Jorge es un asaltante

r : Jorge estuvo en la universidad

Luego la fórmula proposicional de la expresiónes:

Jorge estuvo en el lugar del asalto entonces

p

es un asaltante pero Jorge estuvo en la universidad

q r

por lo tanto Jorge no es un asaltante

~q

Finalmente hemos obtenido:

( )p q r q

Prob. 11 (crepre uni 06 – I)

Determine la forma más simple de:

T = p (p q)

Si:

A) p q B) p q C) ~p q

D) p ~q E) ~p q

II. (Verdadero)F F

V

r q

III. ~ (Verdadero )V V

V

q p

Todas son verdaderas

Prob. 07 (UNFV 03)

De la falsedad de: (p q) (~r t), determinelos valores de verdad de las siguientes proposi-ciones:

I. (r p) (~r t)

II. (q r) (r t)

III. p (r t)

A) FFF B) FVV C) VFF

D) FVF E) VVF

En atención a la condición del problema descu-brimos los valores de verdad completando deabajo hacia arriba.

( ) ( ~ ) (Falsa)V V F F

FVF

p q r t

Luego los valores de verdad de las variables pro-posicionales son:

p : V , q : V , r : V , t : F

Ahora reemplazamos en cada proposición y re-ducimos de arriba hacia abajo:

I. ( ) ( ~ ) V V F F

FVF

r p r t

II. ( ) ( ) V V V F

V FF

q r r t

III. ( ) V V F

FF

p r t

FFF

Prob. 08 (UNMSM 05 – I)Determinar la matriz principal de la siguiente fór-mula proposicional:

p q p r p r

A) VFFFVVVV B) VVVVVVVV C) FVFVVFVF

D) VVVVVFVV E) FFFFFFFF

Como no conocemos los valores de verdad decada proposición utilizamos una tabla de verdad.

Tratándose de 3 variables proposicionales, con-sideramos 23 = 8 filas.

Asimismo, identificamos, según los signos decolección dados, que la fórmula proposicional esimplicativa (), por ello procedemos así:

VFFFVVVV


Prob. 15Dadas las premisas:

- Ninguno de los locos toca piano.

- Ningún japonés deja de tocar piano.

- Todos los estudiantes son locos.

Elabora un diagrama de Venn - Euler y estableceuna conclusión lógica.

Teniendo en cuenta los cuantificadores univer-sales y existenciales, que se citan en laspremisas, elaboramos el siguiente diagrama:

De donde se pueden deducir las siguiente con-clusiones lógicas:

i) Ningún estudiante toca piano.

ii) Ningún estudiante es japonés.

iii) Ningún loco es japonés.

Prob. 14Dadas las siguientes funciones proposicionales:

p(x): x2 = 16 r(x): x2 - 5 > 2

q(x): x - 4 = 8 s( x ) : x 3 0

determina el valor de la verdad de:

a) p( 4 ) q( 3 ) s( 3 )

b) p( 3 ) r( 3 ) s( 1 )

Nuestra estrategia consistirá en determinar elvalor de verdad de las funciones proposicio-nales para los valores indicados. A continua-ción aplicamos las reglas de los conectivos enlas proposiciones dadas.

a) p(4): 42 = 16 (V), q(3): 3 - 4 = 8 (F),

s(-3): ( 3) 3 0 (V)

(4) (3) ( 3)V F V

FF

V

p q s

4 3 3 ( ) ( ) (- )p q s es verdadero

b) p(3): 32 = 16 (F), r(3): 32 - 5 > 2 (V),

s(-1): ( 1) 3 0 (V)

(3) (3) ( 1)F V V

VV

p r s

3 3 1 ( ) ( ) (- )p r s es verdadero

Prob. 16Determinar una proposición reducida y equivale a:

E p q q p r t r t

Procediendo como en el ejercicio anterior, setiene:

NegaciónE p q q p r t r t

Aplicando la ley de equivalencia en la negacióndisyuntiva, se tiene:

complementariosE p q q p r t r t

Aplicando la ley del complemento, se tiene:

identidad

E p q q p V

Analizando las distintas combinaciones de va-lores de verdad en la tabla mostrada, se puedeconcluir que esta corresponde a la negación deldisyuntor débil, luego:

~p q p q

Reemplazamos esta equivalencia en «T»:

T p p q

T ~p p q

T ~ ~p p q

Ahora aplicamos las leyes lógicas en:

~ ~p p q

De Morgan: ~ ~ ~p p q

Absorción: ~ ~

~

p q

p q

De Morgan:

T = ~p q

Prob. 12 (crepre uni 05 – II)

Si es un operador lógico definido mediante lasiguiente tabla de verdad:

Entonces al simplificar la proposición:

p ~ p q q

se obtiene:A) F B) V C) pD) q E) p q

Dado que no conocemos el valor de verdad decada proposición, el proceso de simplificación loobtendremos por medio de la matriz principalde la tabla de verdad de la proposición dada:

~ Vp p q q

Prob. 13 (UNI 01 – I)Simbolizar lógicamente la expresión «Juan Pérezsaldrá elegido y será congresista si, y sólo si, ob-tiene apoyo en su provincia».

A) p (q r) B) (p q) r

C) (p q) r D) (p q) r

E) p (q r s)

Identificamos a las proposiciones simples y leasignamos una variable proposicional:

p : Juan Pérez saldrá elegido

q : Juan Pérez será congresista

r : Juan Pérez obtiene apoyo en su provincia

Luego la fórmula proposicional de la expresiónes:

Juan Pérez saldrá elegido y será congresista

p q

sí y sólo si obtiene apoyo en su provincia

r

p q r


Aplicando la ley de identidad, se tiene:

Condicional Condicional

E p q q p

Aplicando la ley del condicional, se tiene:

E p q q p

Aplicando la ley asociativa, se tiene:

qV

E p p q q V q

V

Prob. 17

Simplificar la siguiente proposición:

( p q ) ( q p ) ( q )

Nuestra estrategia consistirá en aplicar las leyeslógicas atendiendo la jerarquía de los signos decolección:

( ) ( ) ( )Condicional

p q q p q

Aplicando la ley de equivalencia en la condi-cional, se tiene:

( ) ( ) ( )Condicional

p q q p q

Aplicando otra vez la misma ley, se tiene:

( ) ( ) ( )Negación

p q q p q

Aplicando la ley de negación, o ley De Morgan,en la disyunción se tiene:

cos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Idénti

p q q p q p q q

Y aplicando la ley de absorción

( ) ( )p q q ( )~ q

Prob. 18

Sabiendo que:

2x a a x a, a

Se plantea: si B x | 3 x 3 , se pide es-tablecer la negación de las siguientes proposicio-nes y sus correspondientes valores de verdad:

a) x B , se cumple que: 2x 16

b) x B , tal que: 2x 3 5

Se tiene que: B = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}

a) Aplicando la regla dada, se tiene:

2 16 4 4x x

C.S = {-4; -3;-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}

De aquí descubrimos que: B C.S

es decir, todos los valores posibles de x, quepertenecen al conjunto B, satisfacen la desigual-dad dada.

5 0 Bx x es verdadero

b) Despejando: 2x + 3 = 5

2x = 5 – 3

x = 1

Inspeccionando los elementos del conjunto «B»descubrimos que al menos un valor de «x», quepertenece a «B», satisface la desigualdad.

2 3 5 Bx x es verdadero


01.- Determina el valor de verdad de p, de mane-ra que las proposiciones compuestas resultenverdaderas:

I. (23 1 7) p

II. 1 0,254 p

III. ( 2 3)p

A) FFV B) FVF C) VFV

D) FVV E) VVF

02.- Sean las proposiciones:p: Fujimori gobernó durante 5 años.q: Asunción es la capital de Paraguay.r : Cervantes es el autor de «La vida es sueño».Determina el valor de verdad de las siguientes pro-posiciones:

I) ( )r q p

II) ( ) ( )p r q p

III) ( ) ( )p q r q

A) VVV B) FVV C) VVF

D) FFV E) VFV

03.- Aplicando la técnica del contra ejemplo, demues-tra la verdad o falsedad de las siguientes proposi-ciones categóricas:

a. Todos los número múltiplos de 3 son múltiplosde 6.

b. Ninguna palabra, en inglés, se escribe sinconsonante.

c. 103 no es el menor número primo de tres cifras.

d. 7 meses del año poseen 31 días.

A) VVVV B) FFVV C) VVFV

D) FFVF E) VFVV

04.- Descubre el conectivo lógico en cada caso:

A) B)

A) , B) ; C) ;

D) ; E) ;

05.- El valor de verdad de los operadores & y sedefinen según las siguientes tablas:

A) B)V V V

F V FV F F

F F V

F V V

V V VF F F

V F V

Elabora la tabla de verdad de: & ( ) p p q e indicacomo respuesta la matriz principal.

A) FFVF B) FVVF C) VFFV

D) FVVV E) VVVV

SUFICIENCIA DE DATOS

En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dosdatos para resolverlo. Debe determinar qué datos senecesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas.

a. El dato I es suficiente y el dato II no lo es.

b. El dato II es suficiente y el dato I no lo es.

c. Es necesario utilizar I y II conjuntamente.


A) FFF B) VFF C) FFV

D) VFV E) VVF

14.- Si la proposición: ( ) ( )p q r s es falsa.Determinar el valor de verdad de p, q, r y s respec-tivamente.

A) VFVV B) VFVV C) FVVF

D) FVFV E) FVVV

15.- Si ( ) (p q q r , es verdadera de-termina los valores de verdad de:

I) ( ) ( )p q q q

II) ( )p q r p

III) r t

A) VVV B) VVF C) VFF

D) VFV E) faltan datos

16.- ¿Cuáles de las siguientes proposiciones es unatautología?

I) ( ) ( )p q p q

II) ( ) ( )p q p q

III) ( )p q p q

A) I B) II C) III

D) I y II E) I y III

17.- Se sabe que: «Si P clasifica al mundial, jugarácon A o F. Se sabe, además que P ya clasifico almundial. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se con-cluye necesariamente de ellas?

A) P no jugará con A, pero sí con F

B) P jugará con A

C) P no jugará con F

D) P jugará con A o F

E) No es cierto que P clasificó al mundial

18.- Se sabe que: «Todos los gatos son invetebradosy algunos gatos son bilingües». Entonces, se dedu-ce que:

A) Todo bilingüe es invertebrado

B) Algún gato es vertebrado

C) Todo gato es bilingüe

D) Algún bilingüe es invertebrado

E) Ningún bilingüe es gato

19.- Si se sabe que: «Todos los adolescentes soncreativos, todos los creativos son ingeniosos. Nin-gún intransigente es ingenioso». ¿Qué se concluye?

A) Todos los ingeniosos son creativos.

B) Ningún adolescente es intransigente.

C) Todos los creativos son adolescentes.

D) Ningún adolescente es ingenioso.

E) Todos los ingeniosos son adolescentes.

20.- Cuatro amigos participaron en una carrera; cuan-do se les pregunta por el resultado, se obtuvieronlas siguientes respuestas:

Eduardo: «Ganó Julio»

Julio: «Ganó Víctor»

Ricardo: «Yo no gané»

Víctor: «Julio mintió, cuando dije que yo gané».

Si se sabe que en la carrera no hubo empates, y quesolo uno de ellos está diciendo la verdad. ¿Quiéndice la verdad?

A) Ricardo B) Víctor C) Eduardo

D) Julio E) No se puede saber

21.- Si la proposición: «Marco es feliz, si estudiamucho», es verdadera, entonces se afirma que:A) No es cierto que estudie mucho o que no seafeliz.B) No es cierto que estudie mucho y que sea feliz.C) No es cierto que estudie mucho y que no seafeliz.

d. Cada uno de los datos por separados es suficiente.

e. Se necesitan más datos.

06.- Determine el valor de verdad de:[ ( )]p q r p

Datos:

I. p y q son verdaderos

II. p es verdadero

A) e B) c C) b D) d E) a

07.- Establecer el valor de verdad de[ ( )] p p q r

Datos:I. p es falso y q es verdadero.II. r es falso.

A) a B) c C) e D) d E) b

08.- Rocío realizó preguntas a sus amigos Pedro,Luis y José, obteniendo las siguientes respuestas:

Rocío sabe que uno de ellos miente siempre, otromiente sólo una vez; y el último siempre respondecon la verdad. Por otro lado, si todos respondierancon la verdad, todos darían la misma respuesta.¿Quién es el que miente siempre?

A) Pedro B) Luis C) José

C) Ninguno D) Todos

09.- Identifica la negación de:«No es mentira que nunca dejaré de jugar fútbol».

A) Dejaré de jugar fútbol

B) Algún día jugaré fútbol

C) Siempre jugaré fútbol

D) No jugaré fútbol

E) Algunas veces no jugaré fútbol

* Para la información dada, se plantea una premisa yse establece una conclusión. Lee cuidadosamente eidentifica el razonamiento lógico correcto de las pre-guntas 11 y 12.

10.- Información:

Si un número es múltiplo de 6, entonces dicho nú-mero es múltiplo de 2.

A) 36 es múltiplo de 6. Luego, 36 es múltiplo de 3.

B) 36 es múltiplo de 2. Luego, 36 es múltiplo de 3.

C) 36 es múltiplo de 3. Luego, 36 es múltiplo de 2.

D) 36 es múltiplo de 3. Luego, 36 no es múltiplo de 6.

E) 15 no es múltiplo de 2. Luego 15 no es múltiplode 3.

11.- Información:

Todos los arquitectos son idealistas. Los poetas soningeniosas. Ningún ingeniero es idealista.

A) Raúl es arquitecto. Entonces Raúl no es poeta.

B) Sandra no es arquitecta, entonces no es idealista.

C) Eva es poeta, luego, Eva no es ingeniosa.

D) Luis no es ingenioso entonces es arquitecto.

E) Kate es idealista, entonces es poeta.

12.- Determina el valor de verdad de las siguientesproposiciones:

I. Si 1 + 1 = 3, entonces 4 + 4 = 8

II. No es verdad que 3 + 3 = 5

III. 42 = (-4)2, sí y sólo si 4 = - 4

A) VFF B) FFF C) VVV

D) VFV E) VVF

13.- Establecer los valores de verdad de las siguien-tes proposiciones:

I. 1 + 1 = 3 ó Lima está en París

II. 2 < 4y -2 < -4

III. Si (-3)2 < (-2)2, entonces - 3 > -2

750 Aritmética

D) No es cierto que no estudie mucho y que seafeliz.E) No es cierto que no estudie mucho y que no seafeliz.

22.- Simboliza la siguiente expresión:«No es el caso que Grau fuera chileno o Bolognesiecuatoriano, y se comunique esto a los alumnos».Se obtiene:

A) ( )p q r B) ( )p q r

C) ( )p q r D) ( )p q r

23.- Formaliza la siguiente expresión y analiza si elrazonamiento es válido: «Adriana nació en Lima oHuancayo si su papá trabaja ahí, si y solo si no na-ció en Huancayo, entonces no nació en Lima».

A) [( ( )] ( )p r q q p

B) [( ( )] ( )p r q q p

C) ( ) [ ( )]p r q q p

D) [( ( )] ( )p q r r q

E) [( ) ) ( )p r q p r

24.- ¿Cuántos conectivos lógicos conjuntivos,disyuntivos y condicionales, en ese orden, se dis-tinguen en el siguiente texto?. César tiene éxito, o esinteligente y posee gran voluntad; Eva también esinteligente, pero le falta perseverancia; Luis es unpoco apático y no muy inteligente, por ello no triun-fa; en cambio, Raquel es audaz, y no se obsesiona sino tiene las cualidades para algo.A) 5; 1 y 2 B) 4; 1 y 2 C) 4; 2 y 1

D) 8; 1 y 2 E) 6; 1 y 2

25.- ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposicioneses equivalente a: «Si hoy sale el sol, entonces maña-na no vamos a la playa»I. No es el caso que, hoy salga el sol y mañana

vamos a la playaII. Hoy sale el sol y mañana vamos a la playaIII. Hoy no sale el sol o mañana no vamos a la playa

A) I B) I y II C) II

D) III E) I y III

26.- Si r, p y q son proposiciones lógicas con r tau-tología ¿Cuáles de las proposiciones siguientes sontautología?

I. [( ) ( )] ( )p r q r p q p

II. [( ) ( )] ( )p q p q p q r

III. [( ) )] [( )]p q r r p r r r

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) Sólo I y III

27.- Se define las siguientes proposiciones «p: laselección peruana entrena», «r: la selección argen-tina entrena» «s: la selección argentina clasifica»,«t : la selección brasileña siempre gana»Representa simbólicamente el siguiente texto a par-tir de dichas proposiciones:«La selección argentina no clasifica o la selecciónbrasileña siempre gana, porque la selección perua-na entrena y la selección argentina no entrena».¿Cuál de las alternativas representa a dicho texto?

A) ( ) ( )p r s t

B) ( ) ( )s t p r

C) ( ) ( )p r s t

D) ( ) ( )p r s t

E) ( ) ( )p r s t

03B

11A

04A

12E

20A

05D

13C

21C

06D

14B

22A

15A

23A

24E

02E

01C

10C

19B

09A

17D

25E

18D

26C

27B

07A

08B

16E

11.1.2 Clases de proposiciones · 726 Aritmética Und. 11 – Lógica Matemática 727 Usamos el...

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