Evaristo Galois

I.E.S. CALDERÓN DE LA BARCA CURSO 2.010/2.011

MMAACCSS 2. BTO A DISTANCIA TERCERA EVALUACIÓN. RECUPERACIÓN

CAL

NOMBRE

FECHA: 06/05/2011

INSTRUCCIONES: Deberá responder a 5 ejercicios de los 6 propuestos

1. Derive las siguientes funciones: (1 punto cada una)

2. Dada una función definida de la forma

a) Determina los valores de a y b que hacen que f (x) sea continua y derivable en todo x. (1 punto)

b) Representa gráficamente la función para . (1 punto)

a) Si , la función es continua y derivable pues cada uno de los trozos que la componen es una función polinómica. Para que sea continua en tiene que ser

Para que exista el límite en el punto 2, los límites laterales en ese punto tienen que ser iguales (pues se trata del punto de unión de dos trozos)

Por tanto, para que verifique la igualdad (*), es decir, para que sea continua en el punto 2, tendrá que ser

La función derivada, salvo en el punto viene dada por:

Para que sea derivable en ese punto (además de ser continua) las derivadas laterales tienen que coincidir, es decir . Como , tiene que ser . Resumiendo: Para que sea continua y derivable en tienen que cumplirse las dos condi-ciones enmarcadas. Así Solución: Si la función es continua en todos los números reales. Si los valores de no son los anteriores, la función es continua en todos los números reales excepto en b) Tenemos que representar

función formada por dos trozos, el primero es una parábola y el segundo una recta, su repre-sentación gráfica sería:

Obsérvese que la función no es continua en pues los valores de que hemos susti-tuido no verifican la condición que habíamos obtenido al estudiar la continuidad.

3. Sea la función

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los máximos y mínimos relativos (si los hubiere) (1 punto)

b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x = 2 (1 punto)

a) . Los puntos singulares (posibles máximos y mínimos) los obtenemos re-solviendo la ecuación .

Analizamos el signo de la derivada primera:

-∞ -1 1 +∞

negativa 0 positiva 0 negativa

decrece mín crece máx decrece

la función crece en el intervalo . Decrece en el intervalo . Alcanza un mínimo relativo cuando que vale y alcanza un máximo rela-

tivo en que vale . b) Como y , la ecuación de la recta en el punto de abscisa 2, es:

A título informativo os adjunto la gráfica de la función y la recta tangente

4. Dada la función

a) Determine las ecuaciones de sus asíntotas (1 punto)

b) Estudie la posición de la curva respecto de las asíntotas. (1 punto)

a) La función tiene dos asíntotas verticales que se obtienen de igualar a cero el denominador

luego las rectas son las asíntotas verticales. Como

la recta es asíntota horizontal No tiene asíntotas oblicuas b) La posición de la curva y las asíntotas viene dada por cada uno de los siguientes límites:

5. En el año 2000 se creó una asociación ecologista. El número de socios ha ido variando con los

años según la función donde t es el tiempo en años transcurri-

dos desde su creación y N(t) el número de socios en t.

a) ¿Cuántos fueron los socios fundadores (0.25 punto)

b) ¿En qué año se alcanzo el mínimo de socios? (1 punto)

c) Esboza la gráfica de la evolución del número de socios hasta el año 2011. (0.75 punto)

a) El número de socios fundadores se obtiene haciendo 0 el tiempo en la ecuación.

b) Para hallar el mínimo (relativo) tenemos que igualar a cero la derivada primera.

Analizando el signo de la derivada primera tendremos que

0 1 4 11

positiva 0 Negativa 0 positiva

crece máx decrece Mín crece

luego la función alcanza un mínimo 4 años después de su fundación. El número mínimo de socios fue .

c) La gráfica de la función es (aproximadamente)

6. Razone cuál es el dominio de definición de la función (0.25 punto)

Calcule los intervalos de concavidad y convexidad de f (1 punto). ¿Tiene algún punto de in-flexión? (0.75 punto)

La función existe siempre que , luego Para hallar los intervalos de concavidad y convexidad, necesitamos la derivada segunda:

Analizamos el signo de la derivada segunda (hay que tener en cuenta que el denominador cambia de signo)

-

0

positiva 0 Negativa positiva

Infl.

La función es cóncava en el intervalo

La función es convexa en el intervalo

La función tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa