110 años de teoria cinetica de los gases

7/23/2019 110 años de teoria cinetica de los gases

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121revistl mexiclJll de fí ski 28 no.2 (1982) 121-1.8

CIENTO DIEZ AÑOS DE TEORIA CINETICADE LOS GASES+

L eopo l do Ga r c í a - Co l í n S c he r e r *

Departamento de Física, UAM-Iztapalapa. 09340 - México, D.F.

y

Facultad de Ciencias, UNAM. 04510- México, D.F •

• Mi embr o del Col egi o Naci onal .tP r e s ent a do en l a as a mbl e a ge ne r al or di nar i a de l a SMF e l 26 de mar z o de

1981.



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1. l Nf RODUCCI ON

E l p r o p ós i t o d el p r e s e nt e t r a b aj o e s e l d e d i s c u t i r l a s i d ea s

s u by a c e nt e s a u na d i s c i p l i n a d e l a f í s i c a t e ó r i c a q ue e n l a a c t u a l i d a d n ose considera como un "terru de moda" y J sin embargo, esto no es porque ha-

y a l l e g a do a u n e s t a d o d e d e s a r r o l l o e n e l q u e l o s a s p e c t o s f u n da me n t a l e s

s e h ayan e xp l i c ad o s a t i s f a c t o r i ame n t e . T od o l o c on t r a r i o , p a r e c e o c u r r i r

a q u í q u e e l i n t e r é s e n e l l a h a d i s mi n u i d o p o r q u e l o s p r o b l e ma s q u e s o b r e -

v i v e n s on d e c a r á c t e r f u n d ame n t a l y s u s o l u c i ón e s , q u i z á s , mu y c omp l i c a -

d a . L a t e o r í a c i n é t i c a d e l a ma t e r i a , y d e l o s f l u i d o s e n p a r t i c u l a r , d i s -

c i p l i n a a q u e h e mo s h e c h o a l u s i ó n e n l a s f r a s e s a n t e r i o r e s , c u mp l e e s e n -

c i a l me nt e 1 10 a ñ o s d e e da d y a p es a r d e e l l o c o nt i e ne p r e gu nt a s a l a s c u a-

l e s n o h e mos s ab i d o r e s p on d e r .

E s d i f í c i l h a c e r u n a p r e s e n t a c i ó n e x h a us t i v a d e e s t a d i s c i p l i n a

t a n t o e n c o n t e n i d o c i e n t í f i c o c o mo h i s t ó r i c o , d e bi d o a l a s 1 ~i t a c i o n e 5

n a t u r a l e s d e e s p ac i o y c o n o c i mi e n t o s . E l c o n t e n i d o d e l a r t í c u l o e s t a r á

p u es f u e r t e me n t e p r e j u i c i a d o p o r l o s i n t e r e s e s d e l a u t o r y s u expe r i enc i aco n l a mat e r i a .

P a r a d a r l e a l l e c t o r u n p a no r a ma c l a r o d el c a mp o , l a s e c c i ó n 1 1e s t á d e di c a d a a u n a s í n t e s i s d e l a s i d e a s má s r e l e v a n t e s q u e s e i n t r o d u -

j e r o n en l a t e o r í a c i né t i c a de 105 ga s es a nt e s de 1850 . En s eg u i da , en l a

s e c c i ón 1 1 1 ab o r d a r e mos 1 0 q u e p u e d e l l ama r s e l a t e o r í a c i n é t i c a mod e r n a ,

e n p a r t i c u l a r l a s i d e a s f u n da me n t a l e s q u e s u r g i e r o n d e l o s t r a b a j o s d e

C l au s i u s , ~b xwe l l y B o l t z man n e n l a s e g u n da mi t ad d e l s i g l o p a s ad o . E s p e -

c í f i c ame n t e s e d i s c u t i r án aq u í l a e s t r u c t u r a , p r op i e d ad e s , s o l u c i on e s y

a l g un a s a p l i c a c i o n es d e l a f a mo s a e c u ac i 6 n d e Bo l t z ma n n. L a s e c c i ó n I V s e

d e s t i n a a u n a d i s c u s i ó n d e l a s d i f e r e n t e s i d e a s q u e h a n s u r g i d o p a r a d e -

d u c i r , a p a r t i r d e p r i me r o s p r i n c i p i o s , l a a r r i b a c i t a d a e c u a c i ó n d e

Bo l t z ma nn y c ómo s e h an i n t e n t ad o u t i l i z a r e n d i f e r e n t e s c on t e x t o s p a r a

g en e r a l i z a r d i c h a e c u a c i ó n a l c a s o d e g a s e s d e ns o s y d e l í q ui d o s . L o s r e -

s u l t a d o s l o g r a d o s , a s í c o mo l a s d e f i c i e n c i a s d e e s t o s mé t o d o s , s e e x h i b e n

como Wl;] c l a r a i n d i c a c i ó n d e l a s d i f i c u l t a d e s q u e p r e s e n t a l a solución

d e l p r ob l e ma . F i n a l me n t e , e n l a s e c c i ón V r e s u mi r e mos l o s p r ob l e mas aú n

no r es ue l t os y d a r e mos u n a p e r s p e c t i v a s ob r e e l d e s a r r o l l o f u t u r o d e e s t arro teria.



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1 1 , B RE V E HI S T OR I A DE L A T E OR I A C l NE T l C A ( 1 7 3 0- 1 8 5 0)

S i e n t e n d e mo s a l a t e o r í a c i n é t i c a d e l a ma t e r i a c o mo e l mé t o d o

p r o p u e s t o p a r a i n t e r p r e t a r l a s p r o p i e d a d es o b s e r v a b l e s o ma c r o s c ó p i c a s d e

un s i s t ema f o r mado po r N( Nó1023) á t o mo s o mo l é c u l a s e n t é r mi n o s d e l o s

p a r á m e t r o s q u e l o s c a r a c t e r i z a n ( t a m a ñ o ) c a r g a , m a s a , etc) y d e l as l ey es

d in ám ic as q ue g ob ie rn an s u c om po rt am ie nt o, p od em os a fi rm ar q ue l a p ri me ra

p e r s o n a a q u i e n p u e d e b a u t i z a r s e c o m o e l p a d r e d e l a t e o r í a c i n é t i c a d e

l o s g a s e s e s a l f a mo s o c i e n t í f i c o s u i z o Da n i e l Be r n o ul l i . E n 1 73 8

B e r n o u l l i ( l a ) p r o p u s o p o r p r i me r a v e z u n mo d e l o me c á n i c o p a r a d e s c r i b i r

l a s p r o pi e da de s d e u n g as , a s a be r , e l mo de l o d e l a s e s f e r a s d ur a s o b o-l a s d e b i l l a r . Co mo e s b i e n c o n oc i d o p a r a t o d os l o s e s t u di a n t e s d e f í s i c a

e le me nt al , c on e st e m o de lo s e pu ed e e xp re sa r l a pr es i6 n e je rc id a p or e l

g a s mu l t i p l i c a d a p o r e l v o l u me n d e l r e c i p i e n t e q ue l o c o n t i e n e c o mo d o s

t e r c i o s d e l a e n e r g í a ( c i n é t i c a ) p r o me d i o d e l a s mo l é c u l a s d e l g a s ( l b ) ,

E st e t ra ba jo d e B er no ul li n o t uv o a b so lu ta me nt e n in gú n é xi to ; f ue u n t ra -

bajo extemporán eo. Las dos id eas de m ayor valor que propuso es te fís ico

f ue ro n e l p r in ci pi o d e l a c on se rv ac i6 n d e l a e ne rg ía m ec án ic a, e n a q ue l

entonces llamada "fuerza viva" (vis viva) y el concebir al calor comotul

m o v i m ie n t o a tó m i c o , p e r o la p r o p u e st a s e hi z o e n l a é p o ca e n la que l a

teoría del calórico de Laplac e estab a en su momento cumbre . La g ra n mayo-

r í a d e l o s c i e n t í f i c o s d e a q ue l l a é p oc a a c e p t a b an l a i d e a d e q u e e l c a l o r

e ra u n f lu id o y por l o ta nto que s u concepción cama un efect o de orig en

m ecánico e ra ina ceptable y, d e he ch o, a be rr an te (2 a) . A lg un os f ís ic os c om o

L om on os ov e n l a U n ió n S ov ié ti ca y De Luc Y L e S ag e en Su iza s iguieron men-

ciona ndo los tra bajos de Ber noulli pero, a pesar d e e llo, no fue sino

h a s t a 1 8 2 1 c u a n d o J o h n He r a p a t h ( 2 b ) e n I n g l a t e r r a r e d e s c u b r e , d e ma n e r a

t ot al me nt e i nd ep en di en te , l as i de as d e B er no u1 1i . D es gr ac ia da me nt e

H er ap at h t am po co t uv o m uc ho é xi to ; a l pr es en ta r s u tr ab aj o e n u na s es ió n

d e l a Re a l S o c i e d ad d e L o n dr e s , e l p r e s i d e nt e d e d i c h a s e s i ó n l o j u z g ó

c o mo a u d a z e i n o p o r t u n o y s 6 l o p e r mi t i 6 q u e s e p u b l i c a r a u n r e s u me n d e é l

en las Memorias d e la Soc iedad. A p esar de que el propio Herapat h tenía

r el ac io ne s c on l a in du st ri a e di to ri al i ng le sa y le d ió to da clase de pu-

blicida d en r evistas de cons umo popular, cien tíficament e el tra bajo no

t uvo ningú n impacto. En el año d e 1847 otro físico inglé s, Jo hn



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l v at e rs t on ( 2c ) , i g no r an t e d e s u s a nt e ce s or e s, r e de s cu b re l a s i d ea s d e

B e r n o u l l i y H er ap at h e i n c lu si ve e nu nc ia c on c la ri da d p or v ez p ri me ra e l

p r i n c i p i o d e e q u i p a r t i c i ó n d e la e n er g ía : a q ue l la s v a ri a bl e s d i ná m ic a s

q u e c o n tr i b u ye n ~ua dr át i c amen t e a l a en er gí a d e u na p ar tí cu la , c on tr ib u-

y e n p o r u n me d i o d e u n a c o n s t a n t e p o r l a t e mp e r a t u r a ( j c ons t x T ) a l a

e ne rg ía p ro me di o d el s is te ma . P er o d e n u ev o e l t ra ba jo d e W at er st on n o

t i e n e n i n gú n i mp a c t o y d e h ec h o p er ma n ec i ó e n e l o l v i d o h a s t a e l a ñ o d e

1 89 2 e n q ue f u e d ad o a c o no c e r p or L o r d Ra y l e i g h.

E l primer t ra ba jo s ob re t eo rí a c in ét ic a q ue t uv o c ie rt a t ra s-

c en de nc ia e n e l me di o c ie nt íf ic o d e e sa é po ca f ue e l d e A . K. K ro ni g, y n o

f ue p o r qu e K ro ni g h ay a t en id o m e jo re s i de as q ue s us a n t ec es or es s in o q ue

l o p r e s e nt ó e n u n mo me nt o má s a d ec u a do . P a r a 1 85 0, a ñ o e n q ue K r o n i g p u-

bl i có su s r es u lt a do s , la te or í a m e cá n ic a de l ca l or d es d e el p u nt o d e vi s -

t a f e n ome n o l óg i c o h ab í a s i d o ya f o r mu l ad a p o r Rur n f o r d , ~n ye r y C l au s i u s ( 3 ) .

L a i d ea d el f l u i d o c a l ó r i c o h a bí a s i d o d es e c h ad a y l a s i d ea s d e K r o n i g ,

q ue e ra n e se nc ia lm en te l as m is ma s q ue l as d e Be rn ou ll i y H er ap at h, e je r-

ce n u n fu ert e i mp act o en e l me dio . K ro nig er a u n q uí mic o d e mu ch o p re sti -

gi o en A lem ani a y , a t ra vés d e s u a so cia ció n c on s u l abo r e di tor ial , pu do

p u bl i c a r l a s e n u n a r e v i s t a d e a l t o r e n o mb r e , e l F o r t s c h r i t t e d e r P h y s i k .De e s t e h e c h o u n t a n t o c i r c u n s t a n c i a l ( 4 ) s u r g e l o q u e p o d emo s l l a ma r a h o -

ra la t e or ía ci nét ica m od ern a, q ue pr ese nta rem os en la s ig ui ent e se cc ión .

1I 1. LA TEORl A C l NET l CA mI J ERNA ( 1857- 1940)

La s i de as b ás ica s q ue pe rm iti ero n a Bo ltz man n c im ent ar l a t eo -

r ía ci nét ica d e l os g as es s e g es tar on e n e l p erí odo c omp ren did o e nt re lo s

a ñ o s d e 1 8 51 y 1 8 70 . E l p r i me r t r a b a j o s i g n i f i c a t i v o d e e s t a s e g un d a e r a

f ue el d e R. C lau siu s, qu ien e n 18 57, en u n a rt ícu lo i nt itu lad o " La n atu -

r al ez a d el m o vi mi en to l la ma do c al or ,, (5 ), d ed uc e d e m an er a r ig ur os a l a r e-

la ció n en tre l a e ne rgí a c in éti ca m ed ia d e un ga s fo rma do p or e sf era s d u-

r as y l a te mp era tur a te rm odi nám ica . E sta r ela ció n co nt ien e de h ec ho l a

i nt er pr et ac ió n c in ét ic a d e l a t em pe ra tu ra . E n e st e t ra ba jo C la us iu s s up o-

ne q ue l as p ar tíc ula s se com por tan c om o l ib res , ex cep to po r l os i ns tan tes

d e ti e mp o en q u e ch o ca n e n tr e s í y c on la s p are des de l s is tem a. De h ech o,i mp líc ita e n e l t rab ajo e stá l a hi pót esi s d e qu e u na m olé cul a p ued e r ec o-



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r r e r u n a t r a ye c t or i a il~itada s i n s u fr i r c ol i si on e s c on o tr as m o lé cu l as .

E s t e mo d e l o f u e s e v e r a me n t e o b j e t a d o p o r e l me t e r e ó l o g o h o l a n d é s B uy s -

Ba l l o t , q u i e n a r g u me n t a b a e n s u c o n t r a me d i a n t e e l h e c h o r e a l d e q u e a l

d es ta pa r u n f ra sc o c on te ni en do u n g as o lo ro so e n un s it io d et er mi na do , e l

o lo r n o s e p e rc ib e i ns ta nt án ea me nt e e n o t ro s it io a le ja do a u n a c i er ta

distancia del primero. En efecto, afinnaba que la "difusión" del gas no

e s u n e f e ct o i ns t an tá n eo . C la u si us a ce p tó l a c rí t ic a y m od if i c6 s u mo d el o

a nt er io r i nt ro du ci en do e l c on ce pt o d e t r ay ec to ri a l ib re m e di a, e st o e s,

l a d i s t an c i a p r c r ned i o que una mo l é c u l a j A l ede v i a j a r l i b r emen t e en t r e do s

c o l i s i o n e s s u c e s i v a s . E n b a s e a e s t o , e n 1 8 5 8 p u b l i c ó ( 6 ) u n t r a b a j o i n t i -

tulado "Sobre las trayectorias libres medias recorridas por las moléculas

i n d i v i d u a l e s d e c u e r p o s g a s e o s o s " e n e l q u e d i o u n a d e d uc c i ó n e l eme n t a l

d e l a s p r o p i e d a d e s d e t r a n s p o r t e d e u n g a s ( v i s c o s i d a d , c o n d u c t i v i d a d t é r -

mi c a , e t c . ) e xp r e s ándo l a s en t é r mi no s de e s t e pa r ame t r o ( 7a , 7b ) .

L o s t r a b a j o s d e C l a u s i u s e s t a b a n b a s a d o s e n u n a d i s t r i b u c i ó n d e

v e l o c i d a d e s u n i f o r me p a r a l a s mo l é c u l a s d e l g a s . ~l a x we l l , q u e p o r s i mp l e

c u r i o s i d a d h a b í a s i d o u n l e c t o r r e g u l a r d e C l a u s i u s , y a l q u e s e r e f i e r e

c om o e l f u nd ad or d e l a t eo rí a c in ét ic a d e l os g as es , s e pr op on e c om o u n

mer o e j e r c i c i o exami na r e l mi s mo p r ob l ema s ubs t i t u yendo d i c ha h i pó t e s i s

p o r u n a d i s t r i b u c i ó n p r o b a b i l í s t i c a d e v e l o c i d a d e s . E n u n t r a b a j o i n t i t u -

l a d o " I l u s t r a c i o n e s d e l a t e o r í a d i n ámi c a d e l o s g a s e s " j A l b l i c a d o e n

1867 ( 8 ) d e du c e s u b i e n c o n o c i d a d i s t r i b u c i ó n f ( v ) d V ,

-+ -+ _av2

-+

f ( v ) d v = censt. x e dv (1)

~

d o nd e " e s u n a c o n s t a n t e i n de p e nd i e n t e d e v . C on e s t e r e s u l t a d o ~l a x we l l

l o g r ó e x p l i c a r a l g u n as d i s c r e p a n c i a s q u e h a b í a e n t r e l o s v a l o r e s t e ó r i c o sp a r a y = ~ Y l o s r e s u l t a d o s e x p e r i me n t a l e s . E s p e r t i n e n t e s e ñ a l a r q u e e n

l a d e du c c i Ón d e l a E c . ( 1 ) a p ar e c e p o r v e z p r i me r a u na h i p ó t e s i s d e n a t u -

r al ez a a je na a l a d in ám ic a m ol ec ul ar , a s ab er , l a is ot ro pí a d el e sp ac io

d e v e l o c i d a de s . I n s p i r a d o p o r e s t e p r i me r é x i t o , ~e l l e x a mi n a p o s t e -

r io rm en te l os c ál cu lo s d e C la us iu s p ar a l os co ef ic ie nt es d e t ra ns po rt e y

u ti li za p or v ez p rU me ra e l co nc ep to d e u na f un ci ón d e di st ri bu ci ón d ep en -

d i e n t e d e l t i emp o p a r a e l a b o r a r u n a t e o r í a ma t emá t i c a f o r ma l p a r a l o s f e -

n 6me n o s d e t r a n s p o r t e ( 9 ) . S i d e n o t a mo s p o r Q e l v a l o r me d i o d e u n a p r o p i e -

d a d d i n á mi c a t r a n s p o r t a d a p o r u n a mo l é c u l a d e l g a s , p r o me d i o q u e n o e s t á



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c l a r amen t e d e f i n i d o p o r ~nxwe l l , é l mue s t r a q ue l a s uma de l a v a r i a c i ón

de Q d e bi d o a l a r r a s t r e d e l a s mo l é c u l a s y l a v a r i a c i ó n d e bi d a a c o l i s i o -

n es e s i g ua l a c e r o . S i l l a ma mo s 6 a a l a s e gu nd a , o b t i e ne q ue

[ : : ; - - j F dOnv Q - - . n -

In a v(2)

d on de n e s e l n úm er o d e p ar tí cu la s e n e l p un to r a l t i em p o t, v l a v e l o -~

cidad de lUla roolécula. In su masa y F la fuerza externa.

L a E c . ( 2 ) . c o n o c i d a c a mo l a e c u a c i ó n d e t r a n s p o r t e d e ~n x we l l .

n u nc a p u do s e r r e s u e l t a p o r é l . S i n e mb a r g o e n c o n t r ó q u e l a s i n t e g r a l e s

a so ci ad as a l os c o ef ic ie nt es d e t ra ns po rt e p od ía n c al cu la rs e s in c o no ce r

exp l í c i t amen t e l a f u n c i ón d e d i s t r i b u c i ón p a r a e l c a s o muy p a r t i c u l a r e n

q u e e l p o t e n c i a l i n t e r mo l e c u l a r d e pe n di e r a d e l i n v e r s o d e l a q u i n t a p o _

t en ci a d e l a di st an ci a e nt re l as mo lé cu la s. E st e m od el o, a ho ra c on oc id o

Caoc>el "gas de ~b.X'Well", no tiene ningún carácter real excepto el haber

p e r mi t i d o e l c á l c u l o d e p r o p i e d a de s d e t r a n s p o r t e a p a r t i r d e l a E c . ( 2 ) .

E n 1 8 70 , C l a u s i u s ( 1 0 ) a p o r t a u n a n u ev a c o n t r i b u c i ó n a l d e s a r r o -

l lo d e l a t e or ía c in ét ic a a l e n un ci ar s u f am os o t eo re ma d el v ir ia l* q ue

pe r mi t e r e l a c i on a r c an t i d ade s t e r mod i n ámi c a s d e u n g as c omo l a p r e s i ón yl a t e m pe ra tu ra c on l as f ue rz as i nt er mo le cu la re s. D e e st a m a n er a s e ob ti e-

ne u n m é t o d o para interpretar datos pvr con p a r ám e t ro s m o l ec u l ar e s .

Para es a época la t e rm o di n ám i ca c l ás i ca e s ta b a m a du r a y t e n í a

u na f ue rt e a ce pt ac i6 n e nt re l os f ís ic os y q u ím i co s d e e n to n ce s . C l au s iu s

h a bí a i n t r o d uc i d o e l c o n c e pt o d e e nt r o p í a e n 1 85 9 y e l c á l c u l o d e f u nc i o -

n es t er mo di ná mi ca s a p ar ti r d el e xp er im en to e ra y a c as i u n e j er ci ci o d e

r ut in a. P or o t ra p ar tc , l a t e or ía c in ét ic a d e l a m at er ia p od ía i nt er pr e-

t a r a l g u na s p r o p i e d a de s me c á n i c a s y t é r mi c a s d e g a s e s e n b a s e a mo d e l o s

m o l e c u l a r e s b u r d o s . E s e n e s t c c s t a d o d e e v e n t o s c u a n d o s u r g e l a f i g u r a

de Ludwi g Bo l t z mann qu i en s e p l an t ea dos p r egun t as f undamen t a l e s :

i ) ¿ Es p os ib le f or mu la r u na t eo rí a c in ét ic a q ue p e rm it a e xp li ca r l os f e-

n óm en os t ér mi co s y me cá ni co s d e l os ga se s e n t é rm in os d el c on ce pt o d e o oa

f u n ci ó n d e d i s tr i b uc i 6 n?

i i ) ¿ H ay u n a r e la c i6 n b i en d e fi n id a e n tr e l a t e r mo d in á mi c a ( f en o me n ol o gí a )

y l a t e or í a c i né t ic a ( m ic r os c op í a) ?

'"virial proviene de la raíz latina vis - fuerza.



127

L a r e s p u e s t a d e B o l t z ma n n a e s t a s p r e g u n t a s c o n s t i t u y e , a ú n

3 e s p u és d e c i e n t o d i e z a ñ os , l a má s c o mp l e t a q ue s e h a d a do y q u e, h a s t a

l a f e c h a , n o h e mo s p o d i d o s u b s t a n c i a l me n t e me j o r a r . E n 1 8 7 2 p u b l i c a s u

t r a b a j o " E s t u d i o s p o s t e r i o r e s s o b r e e l e q u i l i b r i o t é r mi c o d e mo l é c u l a s

gaseosas,,(lfa) en el cual además de mostrar su familiarizaci6n con las

i d ea s d e Cl a us i u s y ~Bx we l l , e x po ne s u i n qu i e t u d p or p od er c o nc i l i a r l o s

a sp e ct os m ac ro y m ic ro sc óp ic os d e la t eo rí a m ec án ic a d el c al or . Y e s t a .

c o n c i l i a c i ó n l a q u i e r e e s t a b l e c e r a t r a v é s d e l c o n c e p t o d e l a f u n c i ó n d e

d i s t r i b u c i ó n d e l a s mo l é c u l a s q u e c o mp o ne n a u n g a s . P a r a e l l o d e f i n e c o n

t o d a c l a r i d a d l a i d e a d e l e s p a c i o f a s e mo l e c u l a r ( e s p a c i o ~) y d e f u n c i ó n

d e d i st r i bu c ió n f ( ; , v , t ) :

...•. -+ -+-l>

f ( r , v; t ) dr dv =n úm er o d e pa rt íc ul as q ue a l t ie mp o t e s t á ncontenidas en lll1 elemento de volunen e n : : dV"'.

(3)

E n s e g ui d a d a o t r o p a s o g i g a nt e s c o a l r e c o n oc e r q ue l a i n t e r -

p r e t a c i ó n d e l a s l e y e s f e n o me n o l ó g i c a s a p a r t i r d e l a s d i n á mi c a s r e q u i e r e

f o r z o s a me n t e d e s u b s t i t u i r e l c o n o c i mi e n t o d e t a l l a d o d e l a s s e g u n da s p o r

u n a h i p ó t e s i s a j e n a a l a d i n á mi c a , v . g r . , p o r u n a h i p ó t e s i s p r o b a b i l í s t i -

c a. F in al me nt e r ec on oc e q ue s i el e s ta do d el g as q ue s e qu ie re d es cr ib ir

e s u no f u e r a d e e q ui l i b r i o , l a f u n c i ó n d e d i s t r i b u c i ó n n o p ue d e s e r l a

d i s t r i b u c i ó n d e Ma x we l l , e s t o e s , l a E c . ( 1 ) .

E n b a s e a e st as i de as s e p r op on e, p ri me ro , d ar u na . f un da me nt a-

c i ó n a l a s e g u n da l e y d e l a t e r mo d i n á mi c a p a r a s i s t e ma s c e r r a d o s y s e g u n -

d o , e n c o n t r ar l a ec u a ci ó n q u e d e s c r i be l a ev o l u c i6 n t e m p or a l d e l a f un -

c i ó n d e d i s t r i b u c i ó n d e f i n i d a e n l a E c . ( 3 ) . P a r a l o g r a r l o p r i me r o d e f i -

n e l a f un ci 6n H d e m an er a q ue s i x r ep re se nt a l a en er gí a c in ét ic a d e u na

m o l é c u l a ,

H = r f ( X, t ) [ l e x ¡ f ( X; t ) - 1 J dx

o

(4)

y c o n e l r e su l ta d o d e l s e gu n do ptll1to s e pr op on e d em os tr ar q ue , e n pr om e-

d i o ,

* Enel trabajo original de Boltzmanndid~: = eh y 1 ~ 1 la identifica con

la energía.



128

dH .;; O

dt (S)

L a E c . ( S) , co no ci da c om o e l " te or em a H " d e B o lt zm an n, fu e m ot i-

v o d e g r an d es c o nt r ov e rs ia s e n tr e e l au t or y l a e s cu el a d e B er lí n d e l a

que de s t a c a do s e x po nen t e s c o mo 2e r me l o y L o s c hmi d t o b j e t a ban s u i n t e r p r e -

t a ci ó n( 11 b ). N o d i sc ut i re m os e st o s p u nt o s, i nt e re s an t es y r e le v a nt e s , p o r

s er u n t an t o t éc n ic o s y r ef er im os a l l ec to r i nt er es ad o a l a e no rm e l it e-

r a t u r a q u e e x i s t e a l r e s p e c t o ( 1 2 a - c ) . Co n v i e n e s u b r a y a r q u e s i H s e i d e n -

t i f i c a c o mo e l n e ga t i v o d e l a e n t r o p í a d e l s i s t e ma , l a E c . ( 5 ) p ue d e e n -

t en d er s e c o mo u n a g e ne r al i za c ió n d e l a s e gu nd a l e y de l a t er m od i ná mi -

ca(13,15) .

D e l o a nt er io r e s i nm ed ia to q ue p a ra e va lu ar ~ e s ne ce sa ri o

c on o ce r l a ec u ac i ón d e e v o lu c ió n d e f ( x, t }. B o lt z ma n n r cs o lv i 6 e s te p r o-

b l e na de mane r a c o mp l e t amen t e i n t u i t i v a . E l n úme r o t o t a l d e pun t o s r e p r e -

s en ta ti vo s d e l as m ol éc ul as q ue c on st it uy en e l g a s n o p ue de n c re ar se n i

a n i q u i l a r s e y p or l o t a nt o l a va ri ac ió n t ot al d e f e n e l t i em po , i gu al a

l a su ma d e l a s v ar ia ci on es p or a rr as tr e d e/ y p or c ol is io ne s e nt re l as

m o l é c u l a s , d e b e s e r i g u a l a c e r o . M a s a ú n , p a r a e v a l u a r e l c a m b i o e n f

po r c o l i s i o ne s s u b s t i t u y e l a d i n ámi c a mo l e c u l a r p o r u na h i p ó t e s i s p r o ba -

b i l í s t i c a , c o n s e c u e n t e c o n s u c o n c e p t u a l i z a c i ó n d e l p r o b l e m a . D i c h a h i p ó -

t es i s c on o ci d a c om o l a h ip ó te s is s ob r e e l n úm er o d e c o l is i on e s

( st o ss z ah l an s at z ) e st a bl e ce q u e d o s m ol é cu l as c u al e sq u ie r a d el g a s a l s u -

f ri r u n a c ol is ió n l o h ac en d e ma ne ra t al q u e l a pr es en ci a d e u n a e n Wl

p u nt o d a d o d e l e s p a c i o n o a f e c t a l a p r e s e n c i a s i mu l t á n e a d e l a s e g u nd a , y

q u e l a s v e l o c i d a d es d e l a s r e s p e c t i v a s mo l é c u l a s n o s e v e n a f e c t a d a s p o r

e st a c on cu rr en ci a s im ul tá ne a. E n e l l e ng ua je m od er no d e l a t eo rí a d e l asp r o b a bi l i d a d e s , l a s e g u nd a p a r t e d e l a h i p ó t e s i s s u p o ne q u e l a s v e l o c i d a -

des s on es t o c á s t i c ament e i ndepend i en t e s . E s t o l e pe r mi t e a Bo l t z mann es -

c r ib ir s u f a mo s a e c ua c ió n

af ~-+V

a ta f =~

av

J(ff) (6)

~~

d o nd e m, v y F t i e n en e l mi s mo s i g ni f i c a d o q ue e n ( 2 ) yJ

e s u n o p er a d orn o l in ea l. i nt eg ra l e i nd ep en di en te d el t ie mp o c uy a f or ma e xp lí ci ta n o

i n te r es a a qu í . P a ra l a e st r uc t ur a d e J y l a de du cc ió n d e ( 6) re fe ri mo s a l



129

l ec t o r a l a l i t e r a t u r a ( 14 a - d ) o

L a Ec . ( 6 ), qu e e s un a e c ua ci ó n i n te gr o -d if e re nc i al n o l in ea l e n

F ,s e c on oc e c om o l a e cu ac ió n d e B ol tz ma nn d e l a t eo rí a c in ét ic a d e l os

g as es . V ea mo s a ho ra c uá le s s on s us ~pl i c ac i ones m á s i mp o rt an t es . L a pr i -

me r a d e e l l a s e s l a d e mo s t r a c i 6 n d e l a d e s i g ua l d a d d a da p o r l a E c o ( 5 ) , o

sea el te orema H. Es te te orema afi rma qu e si l a s oluci ón a l a E c. (6)

existe y l a i nt eg ra l e n l a E c. ( 4) c on ve rg e, e nt on ce s p ar a t od as l as c ol i-

s i on es b i na ri a s q u e l l ev en a do s m o l éc ul as c on v e l oc id a de s i n ic ia l es v y

-+ . -+ -+,

v I r es pe ct Iv am en te , a u n e s t a d o con v e l oc i da d e s f i na l e s V' y VI Y recípro-

c a me nt e , e st o e s, q ue e xi s ta l a c ol is i ón r es t it ut i va , e nt o nc es s e s a t is -

f a c e l a E c o ( 5 ) o ~f á s a ún, l a i g u a l d a d e s s a t i s f e c h a s i y s 6 l o s i

-+-+ -+-+ -+-+ 4-+

f(r,v,t) f(r,vl't) = f(r,vl,t) f(r,vi ,t) ( 7)

d e d o n d e es pos i b l e demos t r ar ( 15)

_ ( m ] 3/2f(eq) (v) - n 2 T Ili T

q u e e n e q ui l i br i o

e_8(m~2 + 9(r)]

t e r mo d i n á mi c o

(8)

77

c on F( r ) _ : $ ( r ) y S =-k 1 , s i e nd o k l a c o n s t a n t e d e B o 1 t z ma nno E ndr T

ausencia de campos externos, <p(r) = 0, la Ec. (8) es precisamente la dis-

t r i buc i 6n de ~hxwe l 1 8 : o f . , E c o ( 1 ) J o

Es importante subrayar la enorme importancia del teorema H. La

Ec. (6) es llll3 ecuación de valores iniciales para f, esto es, si

77f ( r ,v , t= O ) e s c o n o ci d a y s e e sp ec i fi ca n l as c o nd i ci on e s a l a f r on t er a

[ po r e j empl o que f ( r , t oo , t ) =d J , e n p r i n c i p i o u no d e be r í a s e r c a p az d e

p r e d e c i r l a f o r ma d e f p a r a c ~, l q u i e r i n s t a n t e d e t i empo p o s t e r i o r t o A de -

má s , p a r a t i e mp o s l a r g o s l a s s o l u c i o n e s d e ( 6 ) d e b er í a n d e s a t i s f a c e r l ac on di c ió n d e q u e

77

l i m f ( r , v, t )t-

(9)

s i l a i de a d e o bt en er l as p ro pi ed ad es d e e qu il ib ri o d el s is te ma a p ar ti r

d e la dinám ica d e l a funci6 n de dist ribuc ión es c orrect a. B oltzm ann se

d io c ue nt a q ue e st e p ro gr am a e ra i rr ea li za bl e y p ar ti en do d e l a h ip ót es is

d e qu e u na solu ción a l a Ec. (6 ) exis te, mostr ó ba jo qu é c ondi cione s se

r e du c e a l a f u n c i 6 n d e d i s t r i b u c i 6 n d e ve l o c i d a de s d e ~hxwe l l o Ha s t a l a



(10)

130

f e c h a s ó l o e n e l c a s o d e u n s i s t e ma h o mo g é ne o d e e s f e r a s d u r a s ( 1 6 ) , i o e . ,

f = f ( v , t ) , s e h a p od i d o l l e va r a c ab o r i g u r o s ame n t e e l p r og r ama a r r i b a

i n d i c a d o c o n d u c e nt e a l a E c . ( 9 ) . Ac t u a l me n t e o t r o s a u t o r e s ( 1 7 , 1 8 ) s e h a n

d ed ic ad o a r e vi vi r e st a c ue st ió n p er o e l é xi to s e h a I tm it ad o a c as os m uy

e sp ec ia le s , n o r e al is t as , d e l a e c u ac ió n d e B o lt z ma nn .

Cu a nd o l a E c . ( 8 ) s e s u bs t i t u y e e n l a E c o ( 4 ) s e r e c u pe r a , c o n

signo c on tr ar io , l a e nt ro pí a p ar a u n g as i de al m on oa tó mi co d e a cu er do c on

l as p r ed ic ci on es d e l a t er mo di ná m ic a c lá si ca .

la segunda consecuencia importante de la ecuación de Boltzmann

e s q ue g en er a d e u na m an er a d ir ec ta l a ec ua ci ón d e t ra ns po rt e d e H,l.xwell,

l a E c o ( 2 ) . E n e f e c t o , s i a ho r aQ

s e i den t i f i c a co mo un p r omed i o t omados o b r e f, e st o e s ,

Q = 1 f f <i ~, v, t ) Q( v) dV- n(l,t)

s e mul t i p l i ca

manera que

->l a E c o ( 6 ) p o r Q( v ) y s e i n t e gr a s o b r e l a s v e l o c i d a de s d e

tii = f J(ff) Q(v) d V(11 )

s e r e c u p e r a , d e s p u és d e a l g u no s p a s o s a l g e br á i c o s e l e me n t a l e s ( l S ) , l a E c .

( 2 ) o S i e n p a r t i c u l a r Q( v ) e s l a ma s a m, e l í mp e t u mV o l a e n e r g í a

1/2 mv2

, cantidades que se conservan en tm a colisión (invariantes colisio-

na l e s ) , en t once s , ~Q=O y l a E c . ( 2 ) c o nd uc e d e i n me di a t o a l a s e c ua c i o -

n e s d e c on t in ui da d, c on se rv ac i ón d el í mp et u y d e l a e n er g í a r e sp e c ti v am e n-

t e, c o n e x pr es io ne s e xp lí ci ta s p a ra l os f lu jo s d e D n pe tu y d e e n er g í a

( t en s or d e e s fu e r zo s y f lu jo d e c al or , r e sp ec ti va m en te ) e n t é rm in os d e l a

f u n c i ó n f. E xp lí ci ta me nt e e l t en so r d e e sf ue rz os ! e st á d a do p or

->-> ->

ccfdc ( 12)

y e l f l u j o de

->

q

->

c a l o r q po r

= i m J c 2cfdc ( 13)

d o n d e e; .: v - ti(r,t} e s l a ve lo ci d ad c aó ti ca o t é rm ic a y t i = V . N ót es e q ue



131

(; = o.

A u n q u e t r a n s c u r r i e r o n m u c h o s a ñ o s e n t r e l o s d e s c u b r i m i e n t o s d e

B ol t z ma n n y s u a c e p t a c i 6 n ( 1 9 ) , q u e f u e p o s t e r i o r a s u s u i c i d i o e n 1 9 06 ,

l os ú lt im os a ño s d e s u v id a l os d e di có B ol tz ma nn a c on ve nc er , f un da me n-

talmente, a la escuela alemana de energeticistas encabezada por J . lach y

O s t w a l d y a o t ro s q ue s e o po ní an a t eo rí as m ic ro sc óp ic as d e l a I T k l t e r i a ,

d e la va l i de z de su s re s u lt a d os . S i n e m b ar g o l a s o lu c i ón d e l a e c u a c l o n

de Bo l t z ma nn t u v o que e s pe r a r h a s t a 1912 cua ndo D. l I i l b e r t ( 20 ) s e i n t e r e -

s ó e n e st a e cu ac ió n c om o u n C 3 s0 t íp ic o de e c u a c i o n e s i n t e g r a l e s , t e m a al

q ue h ab í a d e di c a d o mu c h os a ño s d e s u v i d a y p r o p us o u n mé t o d o g en e r a l p a -

r a r e s o l v e r l a . E s t e mé t o d o f u e a d a pt a d o p a r t i c u l a r me n t e a l a E c . ( 6 ) p o rD. E ns k o g ( 2 1) e n 1 91 7 d e ma n er a d e p o de r e v al u ar l a s i n t e gr a l e s q ue a pa -

r e c e n e n l a s E c s . ( 1 2) y ( 1 3) . L a e s e nc i a d el mé t o do f u e d e s c u b i e r t a s i -

mu l t áneament e po r S . Chapman( 22 ) que ve í a l a f o r ma de r e s o l ve r s i s t emát i -

c a me n t e l a e c u a c i 6 n d e t r a n s p o r t e d e ~h x we l l , e . g . , l a E c . ( 2 ) . E s t e mé -

t od o s e c on oc e a ho ra , I n j U s t a m e n t e , c om o e l mé to do d e Ch ap ma n y E n s k o g

( e l n o mb r e d e l I i l b e r t d e be r í a i n c l u i r s e ) y c o n é l e s p o s i b l e d e du c i r d e

la s e cu aci on es d e c on se rv ac ió n, l as e cua ci on es d e l a h idr od in ám ic a c lá si -

ca ( 23~ y de l a s E c s . ( 12 ) y ( 13 ) l a s l l l l i &, d a se cua c i o ne s c o n s t i t u t i v a s ,

c om o l a e cu ac ió n d e F ou ri er p ar a l a co nd uc ci ón d el c a l o T o

E l mé t o d o d e Ch a ¡ ~n y E n s k o g c o n s i s t e d e d o s h i p ó t e s i s , u n a

q ue p er mi te h ac er u n d es ar ro ll o d e l a f un ci 6n d e d is tr ib uc ió n e n s er ie d e

p o t e n c i a s d e u n p a r á m e t r o d e u n i f o r m i d a d ~ q u e e s u n a m e d i d a d e l a v a r i a -

c ió n d e l os g ra di e nt e s u ni t ar i os d e l a s v a ri a bl e s m ac r os c óp i ca s l oc a le s

c o m o T ( r , t ) y ~( r , t ) s ob re u na t ra ye ct or ia l ib re m ed ia y o tr a q ue i nt ro -

d uc e l a d ep en de nc ia d e f c on e l t i eml ~ s ó lo a t r av és d e l as v a r ia b le s

c o n s e r v a d a s n ( r , t ) , ~( r , t ) y e ( r , t ) , l as d e ns id a de s l o ca l es d e p a rt í cu la s ,

v e l o c i d a d y e ne r gí a , r e sp e ct iv a me n te . E l d es ar r ol l o s e ha c e a l re d ed or d e

u n a f u n ci ón d e d i st r ib u ci 6 n d e vel oci d~des q ue t ie ne l a m is ma f or ma q ue

l a E c . ( 8 ) e xc e pt o q ue n , u y T d e pe n d en d e - ; :y t. Es t a f unc i 6n de d i s t r i -

b u c i ó n " l o c a l " d e v e l o c i d a d e s d e f i n e l q q u e s e c o n o c e c o m o e l e s t a d o d e

e qu i li b ri o l o ca l d e l f l ui d o. E nt o nc e s,

+ +1 +f (r , v n , u, T )

(14)

Cu a nd o l a E c . ( 1 4) s e s u bs t i t u y e e n l a E c . ( 6 ) y s e i g ua l a n l o s



132

d i f e r e n t e s t é r mi n o s d e i g u al o r d e n e n ~( 2 4 ) s e o b t i e n e n, a o r d e n c e r o ,

l a s e c u ac i o ne s d e E ul e r p ar a u n f l u i d o i d ea l c o n u n t e n s o r d e l o s e s f u e r -

z o s q u e s 6 1 0 t i e n e c o mp o n en t e s d i a g o na l e s c o r r e s p o nd i e n do a u n a p r e s i ó n

hidrostática p=n k T, esto es, un gas que localmente satisface la misma

ccuac ión de estado que un gas ideal. Además,q=O, 10 cual implica que la

e n t r o p í a s e c o n s e r v a l o c a l me n t e . A p r i me r o r d e n e n ~ s e o b t i e n e n l a s e c u a -

c i o n es d e Na v i e r - S t o k e s d e l a hi dr odi nár ni c a( 23) co r r e s po nd i e n t e s a l a s

b i e n c o no c i d a s r e l a c i o ne s c o n s t i t u t i v a s l i n ea l e s ,

~q =-K grad T (15)

y

!= p! - 2n (l?+ 1/3 div U !] ( 16)

r es pec t i va-

l a t empe r a-

f ue r z a s i n -

donde Dij

1/2 ( dUi+ 3Uj] es el tensor de dcfonnación, 11 lU1 tensor uni-aXj aXi

t ar i o y K Y n l a c o n d u c t i v i d a d t é r mi c a y v i s co s i dad co r t an t e ,

men t e . E s t o s c o e f i c i e n t e s de t r a n s po r t e dependen s o l a men t e de

t u r a y s u s v a l o r e s n u mé r i c o s d e pe n de n d e l a n a t u r a l e z a d e l a s

t enn ol e c ul a r es .

A s egW1do o r den en ~ s e o b t i e ne l I D con j t l l l t ode ecua c i ones h i -

drodinámicas deducidas por primera vez por Burnett(25) en 1935 y cuyo

s i g n i f i c a d o e s u n t a n t o c o n t r o v e r t i d o . V ol v e r e mo s a e s t e p u nt o má s a d e -

l a n t e . A ó r d e ne s s u p e r i o r e s s e o b t i e n e n e c u a c i o n e s l l a ma d a s d e s u p er

B ur n e t t , s u p er s u p e r B ur n e t t , e t c . c u y o s i g n i f i c a d o y a p l i c a b i l i d a d s o n

e n g r a n p a r t e d e s c o n o c i d o s . E l r e s u l t a d o má s s o r p r e n de n t e d e l mé t o d o d e

Ol a p ma n y E n s k o g r a d i c a e n l a s p r e d i c c i o n e s t e ó r i c a s p a r a l o s c o e f i c i e n -t e s d e t r a n s p o r t e e n e l r é g i me n d e Na v i e r - S t o k e s p u es e s t a s c o n c u e r d a n

no t a b l emen t e c o n l o s da t o s e x pe r i men t a l e s en ga s e s s i mp l e s (Ar, Kr , N2,

COz, etc.) en lll1 intervalo amplio de presión y densidad (p<l atm,

p "V 100 a ma ga t s ) c o no c i d o c o mo e l r é g i men pa r a ga s e s d i l u i d o s ( 30 ) . S i n em-

b a r g o , d e s d e e l p u nt o d e v i s t a ma t e má t i c o , l a E c . (14) no es muy s a t i s f a c -

t o r i a y h a e s t a do s u j e t a a mucha s c r í t i c a s du r a n t e l o s ú l t i mo s qu i n ce

a ño s . No en t r a r emo s en más de t a l l e s s o b r e e s t e pun t o y s ó l o i n d i c a r emo s

que o t r o s a u t o r e s ( 26 , 27 , 28 ) h a n p r o pue s t o mé t o do s d i f e r e n t e s pa r a r e s o l -v e r l a e c u ac i ó n d e Bo l t z ma nn p er o n i n gu no h a l l e g ad o a mo s t r a r s u s u pe - .



133

r i o r i d a d s o b r e e l d e Ch a pma n y E n s k o g ( 2 9 , 3 0 ) . E l é x i t o d e e s t e ú l t i mo e n

l a s o l u c i 6 n d e l a e c u a c i 6 n d e B o l t z ma n n f u e t a n g r a n d e q u e d e s d e s u g e s -

t a c i 6 n h a s t a c a s i n u e s t r o s d í a s h a c o n s t i t u i d o l a h e r r ami e n t a t e 6 r i c a má s

p o d e r o s a p a r a e l c á l c u l o d e c o e f i c i e n t e s d e t r a n s p o r t e ( 3 0 ) d e g a s e s d i -

l u i do s .P o r o t r a p a r t e , l a e c u a c i 6 n d e B o l t z ma n n h a s i d o a p l i c a d a c o n

i gu al é xi t o a s i st e ma s t an d iv e rs o s c o mo s 6 li d os ( tr a ns p or t e d e e l ec tr o -

nes y f onone s ) ( 31 ) , mez c l a s mu l t i c omponen t e s ( 30 ) , s upe r f l u i do s ( 32 ) , p l a s -

ma s ( 3 3 ) , r e a c c i o n e s q u í mi c a s ( 3 4 ) ; y p o r o t r a p a r t e , h a s e r v i d o p o r a d a r

u na f un da m en t ac ió n c in ét ic a a l a te r mo d in á mi c a d e pr oc e so s i r re v er s i-

bl(35,36)

es .

P u e de u n o c o n c l u i r d e e s t a d i s c u s i 6 n q u e t a n t o d e s d e e l p u nt o

d e v i s t a f u n d a me n t a l c o mo d e s d e e l p u n t o d e v i s t a p r á c t i c o , l a e c u a c i 6 n

d e B o l t z ma n n c o n s t i t u y e e l mo d e l o má s c o mp l e t o d e q u e d i s p o n e mo s p o r a i n -

t er pr et a r m ic ro s có p ic a me n te t a nt o l a f e no m en o lo g ía d e la t er mo d in á mi c a e n

equ i l i b r i o c omo l a d e s i s t ema s f u e r a d e e qu i l i b r i o e n l a a p r o x i ma c i 6 n l i -

neal.

IV . D EO O CC lO N y G E NE R AL lZ A ClO N D E L A E CU A CIO N D E B O LT Z~ tA N N

E l h e c h o d e q u e l a e c u a c i 6 n d e B o l t z ma n n c o n s t i t u y e u n mo d e l o

a d e c u a do s 6 l o p a r a e l c a s o d e g a s e s d i l u i d o s f u e r e c o n oc i d o d e s d e f i n e s

d el s i g l o p os a do . E n e f e c t o , e n 1 89 9 G. J a ge / 3 7 ) e n V i e na i nd i c 6 que p o -

r a u n g a s d en so l a v is co s id a d d e be rí a t en e r u n de s ar r ol l o e n l a d e ns i da d ,

mu y p or e c i d o a l q ue v a n d er Wa a l s h ab í a p r o pu es t o p ar a l a p r e s i 6 n d e u n

f l u i d o . T a m b i é n h i z o n o t a r q u e l a t ra y e c t o r i a l i b r e m e d i a , q u e e n e l c as od e un g as d il ui d o e s i nv er s am e nt e p ro po r ci o na l a n , d eb e rí a c or r eg i rs e .

J u ge r p r o pu s o p a r a l a v i s c o s i d a d l a e c ua c i 6n

( 17)

donde n es la viscosidad del gas diluido, A = 1 + Sb b = 2nNo3

• s ie nd oo 2V

o e l d i á me t r o d e u n a e s f e r a d u r a y N e l n ú me r o d e p a r t í c u l a s . S i n e mb a r g o

s us m ét o do s d e ~lcul0 n o f ue ro n m uy c on vi nc en te s y h ub o q u e e sp e ra r p ar au n mé t o d o me j o r h a s t a 1 9 22 , a ñ o e n q u e D. E n s k o g ( 3 8 ) p r o p us o l a e c u a c i 6 n

c i n é t i c a p a r a g a s e s d e n s o s q u e a h o r a l l e v a s u no m b r e . L a i d e a c e n t r a l d e



134

E n s k o g e s q ue p a r a u n g a s f o n na d o p o r e s f e r a s d u r a s a d e ns i d a de s r o d er a -

d as u no d eb e t om ar e n c u en ta e l v o l u m e n e xc lu id o, e st o e s, l a r eg i6 n d el

e sp ac io e n l a qu e u na t er ce ra m ol éc ul a n o p u ed e e st ar a lr ed ed or d e d os

e s f e r a s e n c o n t a c t o ( v e r F i g . 1 ) .

1- .1

Fig. 1. Volumen excluido para dos esferas duras de diámetro o.

E s t e v o l u me n e x c l u i d o l o i n c l u y e E n s k o g e n e l t é r mi n o d e c o l i -

s i o n es d e l a E c . ( 6 ) y o b t i e n e u n o p er a d or d i f e r e n t e d e J q ue a d emá s d e

s er no li nea l es n o loc al, est o es , l as p osi cio nes d e l as esf eras no so n

l as mis mas en el m oment o d e una co lis ión . A e st e e fect o s e l e co noc e c omo

"transferencia colisiona!".

E l é x i t o d e l a e c u ac i ó n d e E ns k o g e s t r i b a e n e l h ec h o d e q ue s e

pueden calcular coeficientes de transporte para gases simples densos que

concuerdan satisfactoriamente con el cxperimento(39a-c). No obstante,

conceptualmente la ecuación tiene dificultades serias. En efecto. para la

ecu ació n o rig ina l de Ens kog no se h a p odido p roba r un teor ema H y p or

c on si gu ie nt e n o p ue de a fi rm ar se q ue s ea c or rp at ib le c on l a t e rm od in ám ic a

c lá si ca . L a e cu ac ió n f ue g e ne ra li za da p or T ho rn e( 40 ) p ar a m ez cl as m ul ti -

co ~) onc nt es p er o l os r e su lt ad os s on i nc om pa ti bl es c on l a t er mo di ná md ca

l in ea l i rr cv er si bl e( 41 ). E n ef ec to , e l c oe fi ci en te d e di fu si ón d e un a

mez c l a b i na r i a queda i nde t e r mi nado ( 42 ) . Aunque s e han p r opues t o I OOd i f i c a -



135

c io ne s a l a t eo rí a q u e s on c o m pa ti b le s c o n l a te r mo di n ám ic a i r rc ve r si -

b l e ( 4 3 ) , l o s r e s u l t a d o s t o d a v í a n o p r e d i c e n u n a f o r ma u n í v o c a p a r a c a l c u -

l a r c o e f i c i e n t e s d e t r a n s p o r t e ( 4 4 ) . P a r a u n a e c u a c i ó n t i p o E n s k o g s e h a n

pod i do demos t r a r r e c i en t emen t e t eo r emas H( 45 , 46 ) , pe r o s ubs i s t e e l p r o -

b l e m a d e u t i l i z a r e s t a s e c u a c i o n e s p a r a t e n e r u n e s q u e m a t a n c o m p l e t o c o -

mo e l de Bo l t z mann ( 46 , 47 ) .•

De s p ué s d el i n t e nt o d e E ns k o g p o r g en er a l i z a r l a e c u ac i ó n d e

B o l t z man n , s u r g i ó l a p r e g u n t a f u n d ame n t a l a c e r c a d e l o r i g e n d e e s t a ú l t i -

m a e c u a c i ó n d e n t r o d e l c o n t e x t o d e l a m e c á n i c a e s t a d í s t i c a y a p l e n a m e n t e

d e s a r r o l l ad a p o r Gi b b s y p o r E i n ~t e i n a p r i n c i p i o s d e s i g l o . Conc r e t ame n -

t e, l a pr eg un ta q ue s e pl an te ó f ue : l a ecuación d e B ol tz ma nn e s u n a e xc e.

l e nt e p r im e ra a p ro xi m ac ió n , p e ro ¿ en q u é c o nt ex t o? L a r es pu e st a h ub o d e

b u s c a r s e e n l a e c u a c i ó n f u n d a m e n t a l d e l a m e c á n i c a e s t a d í s t i c a , l a e c u a -

c i ó n d e L i o u v i l l e ( 7 b , 4 8 ) , q u e d e s c r i b e l a e v o l u c i ó n t e mp o r a l d e l a d i s -

t r i b u c i ó n d e p r o b a b i l i d a d d e u n s i s t e ma d e N p a r t í c u l a s e n u n e s p a c i o f a -

s e ( e s pac i o r) d e 2 Nf d i me n s i o n es , d o nd e f e s e l n úme r o d e g r a d os d e l i -

b e r t a d p o r mo l é c u l a . A p a r t i r d e e s t a e c u ac i ó n e s p o s i b l e d ed uc i r u na j e -

r a rq uí a d e e c ua c io ne s a co p la da s p a ra l a s l l a ma d as f un c io ne s d e d i s tr ib u -

c i ón r e du c i da s y d e l a s c u al es f l ( ; , ~, t ) e s l a d e u n a p a rt íc ul a. P ar a u n

s i s te m a i n fi n i to , N~, V 4°o, ~ = T I = o an s t. , e st a j e ra rq u ía s e c on o ce c o mo

B( o g o l i u b o v ) B ( o m) G( r e e n) K t i r k wo o d ) Y ( v o n ) ( 1 3 , 4 9 ) , c o n l a s i n i c i a l e s

apareciendo en lID orden inverso al que corresponde por el año de su de-

d uc c i ó n; Y v on l a s o bt u v o e n 1 93 5, K i r k wo o d e n 1 94 6, Bo m y f1.5. Gr e e n e n

1947 y Bo g ol i u bo v e n 1 94 9. L a p r ~r a t i e ne l a f o r ma

af, p ,--+-at m

( 18)

d on de v = n - 1 y 812

e s u n o pe ra d or q u e c on ti e ne a l p ot en c ia l i n te rm o le cu -

l a r . De s d e l u e go f 2

e s t á a c o pl a da c o n f 3 y as í s u c e s i v ame n t e . L a p r e g u n t a

e s p ue s , c ó mo p o de r c o r t a r l a j e r a r q uí a e n a l g ún p un t o y e x pr e s a r l a s c o -

r re sp on di en te s f un ci on es d e di st ri bu ci ón - e n t ér mi no s d e o tr as . e n pa rt i-

c ul ar d e fl' S i f2 f ue se u na f un ci on al c on oc id a d e tI e n t o n c es l a E c. ( 1 8 )

t om ar ía u n a sp ec to m uy sirndlar a l d e l a e cu ac ió n d e B ol tz ma nn , y v a r i o s

e s f u er z o s s e h an h ec h o p ar a i n t e nt a r d ed uc i r l a E c . ( 6 ) a p ar t i r d e l a

E c . ( 1 8 ) . K i r k wo o d ( 5 0 ) l o h i z o me d i a n t e u n a h i p ó t e s i s d é s u a v i z a c i ó n e n



136

e l t i e mp o . P o s t e r i o r me n t e Gr a d ( 5 1 , 2 6 ) mos t r 6 q u e p a r a u n g a s d e N e s f e r a s

duras de diálretro o la deducción es posible si N-+oo, 0-+0 y No2 = a:nst.

E l m ét od o m ás g en er al y s is te má ti co q ue s e h a p ro pu es to e n es ta d ir ec ci ón

s e d e be a Bo g o l i u bo v ( 4 9, 5 2) q ue b a s a s u r a z o n ami e n t o e n e l h e c ho d e q ue

e n u n g a s d e n s o s e p u e d e n i d e n t i f i c a r t r e s e s c a l a s d e t i e m p o b i e n d e f i n i -

d a s e n t r e s í : u n a e t a p a i n i c i a l q u e c o r r e s p o n d e a l t ie m p o d e d u r a c i ó n d e

u n a c o li s ió n , d e t e r r n d n a d o p o r e l tiempo q u e u n a p a r t í c u l a r e s i d e e n e l

c a mp o d e a c c i 6 n d e u na s e gu nd a p ar t í c u l a . S i r o e s e l a l c a nc e d el p ot e n-

c i a l q ue s e s u po n e f i n i t o y p e q u e ñ o , y Y l a v e l o c i d a d p r o me d i o d e u na mo -

lécula, T = r v - } z 10-13 seg. La segtmda etapa, llamada "cinética", estáo o

d e t e n n i l l a d a p o r e l t i e mp o l i b r e me d i o T y ob vi ament e , T =AY-¡ o 10-8 s eg.m m

La tercera etapa, llama.da "hidrodinámica", está dctcnninada por el tiempo

q ue l e t or n a a u n a p a r t í c u l a c r u z a r e l r e c i p i en t e q u e l a c on t i e ne , l u e g o

si vs es la velocidad del sonido, th

= v5-1 L z 10-1+ seg para L ::::1ano

A s í p u e s ,

E l a r g ume nt o d e Bo go l i u bo v e s q ue d e a c ue r d o a l a E c . (18),f¡

n o e s u na f u n c i ó n q ue e st á d i r e c t am e n t e a f e c t a d a p o r l a s f u e r z a s i n t e r m o -

l ec u l a r es y p o r c o n s i g u i e n t e , d e s p u é s d e mú l t i p l e s c h o q u e s e n t r e l a s mo -

l é c u l a s , s u v a r i a c i ó n e n e l t ie m p o v a a se r m á s l c n t a c o m p a r a d a c o n l a

v ar ia ci ón d e f. (j ~2). P oo er ro s s u po ne r e nt on ce s q ue e n l a et ap a c in ét ic aJ

l a d ep en de nc ia e n t d e l as f u n c i o n e s d e di s t r i b u c i ó n d e o r d e n s u p e r i or a l

p r i m e r o v a n a d e p e n d e r d e t s ó l o a t ra v é s d e f l, e st o e s,

(~ ~ ~~]

f.(...ltl ~f. rl' ...•p.lf¡(r.p,t) , F'2J " ( " > " ( " J Jm

( 19)

q u e e s l a l l a ma d a h i p ó t e s i s f u n c i o n a l d e B o go l i u b o v . C o n e s t a h i p ó t e s i s

e s p os ib le r es ol ve r l a j er ar qu ía B B G K Y ( 52 ,5 3) Y o bt en er p ar a f 2

e n p ar -

t i c u l a r u n d e s a r r o l l o e n s c r i e s d e p o t e n c i a s d e l a de n s i d a d n d e m an e r a

q u e e l p r i me r t é r mi n o d e l a s e r i e e s p r e c i s a me n t e J ( f f ) e n l a E c . ( 6 ) . De

u n e xa m e n d e l a di n á m i c a i n v o l u c r a d a e n e l p r o c e s o d e s ol u c i ó n s e pu e d e

v e r q ue l a E c . ( 6 ) s e c o n v i e r t e e n o t r a d e l a f o r ma ( 5 3) :



137

+

df, p,-+-dt m

(20)

L a p r e g un t a q u e s e p l a n t e a a h o r a c o r r e s p o nd e a l a f a c t i b i l i d a d

d e q ue l a E c . (20) s a t i s f a g a u n c o n j u n t o d e c o n d i c i o n e s c o mo l a E c . ( 6 ) ,

d e d o nd e u n o p u ed a e x t r a e r l a t e r mo d i n á mi c a c l á s i c a y e l e q ui l i b r i o p o r

u na p ar te y l a t er mo di ná mi ca i rr ev er si bl e p or o tr a.

Veamos primero la dinámica involucrada en los nuevos términos

q ue a p ar e c e n e n e l mi e mb r o d er e c h o d e l a E c . (20). El t ér mi no K( f , f , f , )

c on ti e ne l as c ol is io ne s t ri pl es , p e ro a d e má s, d e m a ne ra n at ur al , a pa re ce n

e v en to s e n tr e t re s p ar tí cu la s e n f o r ma d e co li si on es b i na ri as s uc es iv as .

E n l a F i g . 2 mos t r amos a l gunos de e l l os .E s t o s e v e n t o s d i n á m i c o s s e t o m a n e n c ue n t a e n a u s e n c i a d e l a s

p a r t í c u l a s r e s t a n t e s d e l s i s t e m a y p o r 1 0 t an t o a l i n t e g r a r t o d a s l a s v a -

r i a b l e s e n e l e sp a c i o f a s e s e e s p e r a d e n r e s u l t a d o s f i n i t o s . P e r o é s t e n o

e s e l c a s o , l o s d i a g r a ma s d e l t i p o ( b ) - ( d ) d i v e r g e n e n d o s d i me n s i o n e s y

l o s c or re sp on di en te s d i ag ra ma s p ar a c ua tr o p ar tí cu la s d i ve rg en e n t r es

d i me n s i on e s ( 5 4 ) . P u e d e mos t r a r s e q u e e s t o e s d e b i d o a q u e e l v o l u me n d e

q u e d is po ne u na c ie rt a p ar tí cu la p a ra c ho ca r s u ce si va me nt e c o n o tr as d os

n o e s t á a c o t ad o ( 1 4 b , 5 4 ) . E s t o s r e s u l t ad os d e s c u b i e r t o s e n 1 9 6 5 p r od u j e r on

u na g ra n c on tr ov er si a y a rr oj ar on c ie rt as d u da s s ob re e l mé t od o d e l a hi -

pót es i s f unc i ona l ( 55a- c ) .

H a ci en do a u n l ad o l os c ál c ul os e xp lí ci to s d e l os e v en to s d i ná -

m i c o s s e ñ a l a d o s e n e l p á r r a f o a n t e r i o r u n o p u e d e p r o c e d e r a o b t e n e r l a s

e c u ac i on e s h i d r od i n ámi c a s d e l s i s t e ma ( 5 6 ) s i n i n t r od u c i r e l d e s a r r o l l o e n

s e ri es e n l a d en si da d. E st o p e rm it e, m e d ia nt e l a a pl ic ac ió n d el m é to do d e

C h a p m a n y E ns ko g, o bt en er l as r el ac io ne s c ons t i t u t i vas . de l a h i d ro d i ná m i -

c a e n t é r mi n o s d e l a s f u nc i o n al e s d e f " a s a b er d c f 2 ( I f , ) . E l d es a r r o -

l lo e n l a d e ns id ad c on du ce e n to nc es a d es ar ro ll os e n el v ir i al d e d i c ho s

c o ef ic ie nt es , d e m a ne ra q ue s e o bt ie ne n p ol in om io s e n n p ar a l a c on du ct i-

v i da d t ér mi ca K , l a v is co si da d v o lu mé tr ic a ~ Y l a v i sc os id ad c or ta nt e n .

P o r e j em p lo ,

q u e s e c on oc e c o mo l a ec u ac ió n d e Bo lt zm an n g en er al iz ad a. K e s un o p e ra -

d or q u e c on ti en e a h or a l a d in á mi ca d e t r e s p ar t íc ul as , y a s í s u c es i v am e n -

t e .



(a) (b) (e)

3

t=O

X3

32

t - t ,

t=O

2 3

X::(T,p)

X2

\X3X I

1=0

(d) ( e )

Fig . 2 E l diagrama (a) c or re sp on de a l d e c o li si on es t ri pl es g en ui na s. Lo s d ia gr am as ( b) . ( e) y (d )

s on d i fe re nt es t ip os d e c ol is io ne s b in ar ia s s uc es iv as _ E l di ag ra ma ( e) es e l di ag ra ma q ue

c or re sp on de a l v ol um en e xc lu id o i nt ro du ci do p or E ns ko g 4 0 a ñ os a nt es .

~

X I

/I

2 3 2 3

3



139

(21 )

d o nd e n o e s e l t é nn i n o d e Bo l t z ma n n y n i e s s ó l o f u nc i ó n d e T ( i =1,... ).

L a s d i ve rg e nc ia s s e ña la d as e n e l p á rr a fo a nt e ri or t ie n en c om o

c on se cu en ci a q ue e n t re s d im en si on es n2

= 00, e st o e s, l a s er ie e n l a

E c . ( 2 1 ) n o e x i s t e má s a l l á d e l t é r mi n o d e c o l i s i o n e s t r i p l e s . E s t a d i f i -

c ul ta d p r ov ie n e c la ra m en te d e c on s id er a r a l os e v en to s d in ám i co s d e

3 , 4 , . . . ctc. p ar tí cu la s, c om o e ve nt os l ib re s q ue o cu rr en e n l a a us en ci a d e

l a s p a r t í c u l a s r e s t a n t e s d e l g a s . E n 1 96 4 ~I . S . Gr e e n( 5 7) p r o p us o q ue

e st o s e co rr ig ie ra i nt ro du ci en do u n p ar ám et ro d e c o rt e s up on ie nd o q ue l a

t ra ye ct or ia l ib re m ed ia d ep en de rí a d e l a de ns id ad a l co ns id er ar a di ch as

c ol i si on e s e n p r e se nc ia d el r es to d e l g a s . T o ma nd o así l os d ia g ra ma s m á s

d i v e r g e nt e s ( l l a ma d o d e a n i l l o ) y s u má n d o l o s a l a ma n e r a e n q u e s e l l e v a

a c ab o l a r e n o r r n a l i z a c i ón e n o t r o s p r ob l e mas d e mu c h os c u e r p o s ( 5 8 , 5 4 ) , s e

l l e g ó a l r e s u l t ad o d e q u e ( 5 5 a - b , 5 9 a - c ) :

(22)

c on e l t ér m in o logarítrndco i nd ic a nd o q ue l o s c o ef i ci en t es d e t r an sp o rt e

no son ftDlciones analíticas de la densidad.

L a E c . ( 2 2) h a s i d o mo t i v o d e u na s e r i e d e p o l é mi c a s q ue h a s t a

l a f e c h a n o h a n p o d i d o c o n c i l i a r s e s a t i s f a c t o r i a me n t e . De s d e e l p u nt o d e

v is ta t eó ri co m uc ho s a ut or es (6 0) i nt en ta ro n e sc la re ce r e l o ri ge n d el

t é r mi no l ogar í t mi co u s ando un mé t odo s i mi l a r a l u t i l i z ado por ~l aye r ( 61 )

par a eva luar la f unció n de part ición de un gas re al en equil ibrio . Es te

mé t o d o i n i c i a d o p o r Gr e e n e n 1 9 56 ( 6 2 ) Y d e s a r r o l l a d o p o r C o he n ( 6 3 ) f u e

a p l i c a d o a l c á l c u l o d e c o e f i c i e n t e s d e t r a n s p o r t e p o r Do r f ma n e t a l . ( 6 4 )

p a r a u n g a s mo d er a d ame n t e d en s o . L o s r e s u l t a d os c o n c u er d a n c o n l a E c . ( 2 2)

y p or l o t a nt o n os h ac e n p en s a r q ue l a E c . ( 2 0) n o t i e ne s e nt i d o má s a l l á

d el t ér mi no d e c ol is io ne s t ri pl es y q ue a d en si da de s m od er ad as l a ec ua -

c ió n c in ét ic a q ue g ob ie rn a l a e vo lu ci ón d e f ( r , ~, t ) debe te ncr u na e s-

t ructu ra di fcren te. N o es po sible entra r aq uí en m ayor es detal les por la

f al ta d e espacio p er o b as te d ec ir q ue e st e p ro bl em a n o e s tá r es uc It o.

D es de e l p un to d e v is ta e xp er im en ta l e l c oe fi ci en te l og ar ít mi co

de n~ nunca ha p odido detec tarse en m edicio nes muy prec isas que se han



140

llevado a cabo en gases simples cOJOONe, O2 y otros(65a-c). De hecho, lDl

a ná li si s e st ad ís ti co d e es os d at os m ue st ra q ue e s i m po si bl e d if er en ci ar

entre las Ecs. (21) y (22) con respecto a lDl ajuste de los datos experi-

m c n t a l c s ( 6 6 ) . P o r o t r a p a r t e , l o s p r i m e r o s c o e f i c i e n t e s d e e s t a s s e r i e s

han sido calculados extensivrorente por Sengers(67) para diferentes IIIOdelos,

p e r o l o s r e s u l t a d o s t a m p o c o s o n d e c i s i v o s f r e n t e a l a c u e s t i ó n p l a n t e a d a .

E s p r e c i s o h a ce r n ot a r q u e e n t o d o s l o s m od e l os t e 6 ri c o s q u e s e h an p l a n-

teado para estudiar la naturaleza de la Ec. (20) sólo se han considerado

potenciales repulsivos. El efecto de lD13 parte atractiva es todavía des-

c o n o c i d o .

P o r o tr a p ar t e , t am p o c o h a s i d o p o s ib l e p r oh a r t e or e m a s H n i p a -

ra la Ec. (20) ni para lDla ecuación trlDlcada en el ténninoK(fff). Sólo en

el caso particular en que K(fff) se lineariza de manera que al r C r r K J v e r la

c on tr ib uc ió n d e lo s d ia gr am as d e c ol is io ne s t ri pl es g en ui na s ( di ag ra ma ( a) ,

Fig. 2) es posible delOOstrarlo(68a). Esa misma Ec. (20) trlDlcada puede

e xt en de rs e a l c as o d e m e zc la s m ul ti co mp on en te s y p ro ba r q ue e s c om pa ti bl e

con los postulados de la terlOOdinámica irreversible lineal (68b). Así pues

l a ge n er a l i za c i ón d e l a ec ua c i ó n d e B o l t zm a n n a g as e s d en s o s y s u d e du c-

c ió n a pa rt ir d e p r ir rc ro s p r in ci pi os s ub si st e COITk) u na c ue st ió n i nc on cl u-

s a. L as d o s p re gt Ul ta s p la nt ea da s a l pr in ci pi o d e es ta s ec ci ón , a s ab er ,

e l o ri ge n d e l a e cu ac ió n d e B ol tz ma nn y l a na tu ra le za d e l a a pr ox im ac ió n

i mp lí ci ta e n e ll a, s ub si st en c om o u n r et o a l a f í si ca t eó ri ca c on te mp or á-

nea.

V. REStJr>IEN.PROBLEMASABIERTOSY PERSPECTIVAS

S i r es um im os e l c on te ni do d e l as s ec ci on es I I y l I T v em os q ue

l a e c u a ci ó n d e B o lt z m a nn , q u e e s u n IO O d e lo p a r a d e s cr i b i r l a d i ná m i c a d e

tri g as d il ui do e n t ér mi no s d e l a f lU lc ió n d e d is tr ib uc ió n d e l Ul a s ol a p ar -

t íc u l a, e s l a ún i c a e cu a c i ón c i n é ti c a d e q u e d i s po n e m os q u e s e a c o m p at i -

b l e c o n l o s r e s u l t a d o s d e l a t e r m o d i n á m i c a d e e q u i l i b r i o y l a i r re v e rs i -

b l e l i n e a l . L a e c u a c i ó n d e E n s k o g , q u e e s u n a c o r r e c c i ó n i n t u i t i v a d e l a

a n te r i or , d a r e s u lt a d o s e x c el e n t es p ar a l o s c oe f i ci e n t es d e t r an s p or t e d e

g a se s s i m p le s d e n so s l e j o s d e l p u n t o c rí t i co p er o c o n t ra r i o a l a ec u ac i ó n

d e Bol t znk~. e n s u f o r ma o r ig i n al n o c o n d u ce a l Ul t e or e m a H y a un qu e g e-



141

n e T a l a s e c u a c i o n e s h i d r o d i n á mi c a s n o s e s a b e c 6 mo e x t r a e r d e e l l a t o d a s

l a s e c u a c i o n e s f u n d a me n t a l e s d e l a t e r mo d i n á mi c a i r r e v e r s i b l e l i n e a l . P o r

ú l t i mo , l a e c u a c i ó n d e B o l t z mann g ene r a l i z a d a s 6 l o e s p a r c i a l men t e c ompa -t i b l e c o n l a f e n o me n o l o g í a d e e q u i l i b r i o y f u e r a d e e q u i l i b r i o s i s e c i r -

c un s cr i be a t r at a r c o li s io n es t r ip l es . L o s m ét o do s p er t ur b at i vo s u t il i za -

d o s p a r a r e n o r ma l i z a r e l mi e mb r o d e r e c h o d e l a E c . ( 2 0 ) c o n du c e n a e c u a -

c i on e s p ar a l o s c o ef i ci e nt es d e t r an sp o rt e q u e n o s o n f un c io n es a na l ít i -

c a s d e l a d en si d ad y c uy a c on f ro n ta c ió n c on e l e xp er i me n to e s t o d av í a d i s-

c u t i b l e . E l o r i g e n d e l a e c u a c i ó n d e B ol t z mmu J Y l a n a t u r a l e z a d e l a

a p ro x im a ci ó n q u e i mp l ic a s o n p re g un t as a ú n n o r e s p on d id as . E st o noS l l e v a ,

p r i me r a me n t e , a p l a n t e a r a l g u n o s p r o b l e ma s b á s i c o s q u e p a r a l a m i s m a ec ua -

c i ón d e B ol t zm a nn n o e s tá n t o ta l me nt e r es u el t os . E s to s s o n:

~I L a s p r o p i e d a d e s ma t e má t i c a s d e l a e c u a c i 6 n d e B o l t z ma n n n o l i n e a l s o n

d es co no ci da s. A nt e e l p ro ce so d e l in ea ri za ci án p re sc ri to p or e l m ét od o d e

Ch a pma n y E n s k o g , e l o p e r a d o r J ( f f ) s e r e d uc e a l l l a ma d o o p e r a d o r l i n e a -

r i z a d o d e B o l t z mann , C ( $ ) . E l e s p e c t r o d e C ( $ ) s 6 l o e s p a r c i a l men t e c o n o -

c i d o p ar a e s f e r a s d ur a s y p ar a e l g as d e ~~e l l ( 6 9) , y e l d e J ( f f ) e s

t o t a l me n t e d e s c o n o c i d o . P o r l o t a n t o e s i mp o s i b l e c a l c u l a r e l c o n j u n t o d et i em p os d e r e la j am a en t o a s oc i ad o s a l a s f u nc i on e s p ro p ia s d e e st os o p er a -

d o r e s , l o c u a l a s u v e z i mp i d e e s t u d i a r l a p r o p i e d a d s e ñ al a d a e n l a E c . ( 9 ) .

~) E l c a r á c t e r ma t e má t i c o d e l mé t o d o d e Ch a p ma n y E n s k o g y s u s i mp l i c a -

c i o n e s f í s i c a s n o e s t á n b i e n e n t e n d i d o s . S i l a s e r i e e s c r i t a e n l a E c . ( 1 4 )

e s c o nv er ge nt e, d iv er ge nt e o a si nt ót ic a n o e st á b ie n d ef in id o a un qu e h ay

i n d i c a c i o n es d e q u e e s l o ú l t i mo ( 7 0 ) . P o r o t r a p a r t e , l a s e c u a c i o n es d e

B ur ne tt q ue s e ob ti en en a s e gu nd o o rd en e n ~ no s on c o mp at ib le s c on l a

t e r mod i n ámi c a i r r e v e r s i b l e ( 3 S ) y a q ue v i o l a n l a h i p ó t e s i s d e l e qu i l i b r i o

l o c a l ( 3 6 ) . S i n e mb a r g o s e h a p o d i d o d e mo s t r a r r e c i e n t e me n t e ( 7 1 ) q u e s i s e

p a r t e d e l a s e c u a c i o n e s d e c o n s e r v a c i 6 n , d e l a h i p 6 t e s i s d e e q u i l i b r i o

l o c a l y d e l a d e f i n i c i ó n h a bi t u a l d e f l u j o d e e n t r o p í a e s p o s i b l e c o n s -

t r ui r e c ua c io n es h i dr o di na r ru c as d e o r d en a r bi t ra ri o e n l o s g r ad i en t es q u e

t i en en u na e st r uc t ur a i dé n ti c a a l a s e cu ac i on e s d e B u r ne t t y d e o r de n s u-

p e r i o r . E n e s t a s e c u a c i o n e s s e u s a n r e l a c i o n e s c o n s t i t u t i v a s q u e a o r d e n

s u p er i o r e n l o s g r a d i e n t e s s o n n o l o c a l e s y n o l i n e a l e s ( 7 2 ) . S i n e mb a r g os u r e l a c i ó n, s i l a h ay , c o n l a s o bt e ni d as d e l a s E c s . ( 6 ) Y ( 1 4) e s a ún

d e s c o n o c i d a .



142

iiiJ L a v a l i d e z mi s ma d e l a e c u a c i ó n d e Bo l t z ma n n e s u n a c u e s t i ó n n o f i -

n i q u i t a d a . E n p r o b l e ma s c o mo l a f o r ma c i ó n d e o n da s d e c h o q u e( 7 3 ) y de

di s pe r s i ó n y abs o r c i ón de s on i do po r gas es monoa t ómi cos d i l u i dos ( 69 , 74 )

q u e s o n i n s en s i b le s a l os e f e c t os d e l as f r o n te r a s , u no p u e d e e s t u di a r

d ir ec ta me nt e s i la s pr ed ic ci on es d e l a e cu ac ió n d e B ol tz ma nn c on cu er da n

c on e l e xp er im en to . L as c on cl us io ne s s ob re e st a c om pa ra ci 6n e st án a mp li a-

ment e d i s c ut i das en l a l i t e r a t ur a ( 69 , 7S) y s o r pr enden t ement e par a l ogr a r

una coincidencia con el experimento, a núrrcros de ~1achmenores que 2 en

e l c a s o d e o n da s d e c h oqu e y a b a j a s f r e c u e n c i a s (wt< 1 ) e n e l c a s o d e

d i sp e r si ó n d e s o n i d o, h a y q ue r e c u rr i r a l as e c u a c i on e s d e B u rn e t t y

s upe r - Bumet t r e f e r i das a r r i ba . Pe r o a númer o s de ~~, ch g r andes (> 2) y a l -t as f re cu en ci as p ar ec e s er q ue l a ec ua ci ón d e B ol tz ma nn n o d a r es ul ta do s

a decua do s ( 76 ) .

~vJ P or G lt im o, c ab e s eñ al ar q ue s e h an e st ud ia do e n f or ma m uy i nc ip ie nt e

l o s e fe c t o s d e c on di c i o ne s a la f ro n t e r a e n l a so l u ci ó n d e l a e c u a c ió n d e

B ol tz ma nn , s ob re t od o e n pr ob le ma s hidrodinárndcos. C as o s s i mp le s corno

f l u j o s de Cove t t e y P o i s e v i l l e ( 2 9 , S l , 7 6 ) y e l f l u j o d e g a s a l r e d e do r d e

una e s f e r a h a n s i d o c o n s i d e r a do s ( 77 ) pe r o f a l t a c o mp r ende r me j o r e s t o s

e fe ct os e n s i tu ac io ne s m ás c om pl ic ad as .

En se~ldo l ug a r , l a di s c u si ó n p r es e n t ad a e n l a s ec ci ó n I I I n os

p e n n i t e p l a n t e a r t a m b i é n u n c o n j u n t o d e c u e s t i o n e s b a s i c a s , q u e e n e l c a -

s o d e l a t eo r i a c i né t i c a d e g a s e s d e n s os , t o da v i a l e jo s d e l a r e g i ón c r í-

t ic a, n o e st án r es po nd id as . E st as p ue de n r es ur rU rs e c o mo s ig ue :

~J E n p r i me r l u g ar c a b e me n c i o n a r e l p r o b l e ma d e l a n o - a n a l i t i c i d a d d e

l os c oe fi ci en te s d e t ra ns po rt e c or no f un ci on es d e l a d en si da d. ¿ So n u n

p r o d u c t o d e l a s t é c n i c a s m a t e m á t i c a s u t i l i z a d a s e n l a r e- s~, ci ón d e l o s

d ia gr am as m ás d iv er ge nt es q ue a pa re ce n e n l a d in ám ic a d e n- cu er po s

( n = 3 ,4 ,5 , .. . ) o e xi st en e n l a r ea li da d? C on o m en ci on ar ro s a nt es , e xp er i-

m e n t a l m e n t e n o e s p o s i b l e d a r u n a r e s p u e s t a a e s t a d i s y u n t i v a h a s t a l a

p r e c i s i ó n l o g r a d a e n l o s e x p e r i m e n t o s q u e e s d e u n a cienncilésima. T e ó r i -

c am en te , i nc lu ye nd o l os m úl ti pl es e xp er im en to s o mo de lo s d e c om pu ta do ra

q u e s e h a n diseñado p ar a e st ud ia r e st a cuestión e n d os y t re s d im en si o-

n e s ( 7 S- S 1 ), l a e vi d e nc i a f av o r e ce l a e xi s t en c i a d e e s to s t é r m in o s e n f a-

s es m uy d en sa s, d e h ec ho e n l a fa se l iq ui da . E vi de nc ia i nd ir ec ta e xt ra id a

d e d at os e xp er im en ta le s r ea li za do s c on di fr ac ci 6n d e n eu tr on es (8 2) p ar ec e



143

c o n f i r ma r e s t a c o n c l u s i ó n , p e r o t a mb i é n d a n i n d i c a c i o n e s d e q u e e n l a f a -

s e g a s e o s a n o e x i s t e n . E s t e p r o b l ema e s t á í n t i ma men t e r e l a c i o n a d o c o n e l

c o mpo r t a mi e n t o d e l a s l l a ma da s f u n c i o n e s d e c o r r e l a c i ó n p a r a v a r i a b l e s

d i n á mi c a s ( 8 3 , 8 4 ) l a s c u a l e s s o n c o mpa t i b l e s c o n e c u a c i o n e s c i n é t i c a s s i

d e c a e n e n e l t i e mp o e x p o n e nc i a l me n t e ( 7 ) , p e r o i mp l i c a n l a n e c e s i d a d d e

f o n nu l a r e c u a c i o n e s c o n " me l 1Dr i a , , ( 8 S ) c u a nd o e l d e c a i mi e n t o n o e s e x p o -

n e n c i a l . L o q u e l a e x i s t e n c i a d e l t é r mi n o l o g a r í t mi c o e n l a E c . ( 2 2 ) i m-

p l i c a e n e l l e n gu a j e d e l a s f u n c i o n es d e c o r r e l a c i ó n e s q u e s u d e c a i mi e n -

t o e n e l t i e mp o e s p r o po r c i o na l a t-d / 2

J do nde d e s l a d i men s i o n a l i d a d

del sistema. A este fenómeno, llamado la existencia de las "colas largas"

en procesos de transporte, se le ha dedicado tm esfuerzo enonne y hasta

do nde l o s c á l c u l o s l l e v a d o s a c a b o r e c i e n t emen t e p e r mi t e n d i s c e r -

n i r ( S 4 , 8 6 , 8 7 ) , s u o r i g e n y e x i s t e n c i a s i g u e n s i e n d o u n a i n c ó g n i t a . L a

e x i s t e n c i a o i n e x i s t e n c i a d e e s t a s " c o l a s l a r g a s " p l a n t e a l Dl p r o b l ema muy

p r o f u n do e n t e o r í a c i n é t i c a d e g a s e s d e ns o s , a s a b er , l a n a t u r a l e z a d e l a

e c u a c i ó n c i n é t i c a g e n e r a l i z a d a a p r o p i a d a p a r a d e s c r i b i r l a e v o l u c i ó n t em-

p o r a l d e l s i s t e ma , g a s o l í q u i d o .

Má s a C m, d e l p á r r a f o a n t e r i o r d e d u c i r r o s q u e e n d o s d ~n s i o n e s

l a s f u n c i o n e s a n a l í t i c a s v a r í a n c o mo t-1 , l o c u a l i mp l i c a q ue l o s c o e f i -

c i e n t e s d e t r a n s p o r t e , q u e s o n p r o p o r c i o n a l e s a l a s i n t e g r a l e s e n e l t i e m-

p o d e B s t a s f u n c i o n e s , n o e x i s t e n . E s t o a s u v e z i mp l i c a l a i n e x i s t e n c i a

d e u n a h i d r o d i n á mi c a e n d o s d i me n s i o n e s , u n r e s u l t a d o q u e a me r i t a s e r e s -

t u d i a d o c o n má s c u i d a d o y s e r v e r i f i c a d o e x p e r i me n t a l me n t e . E n l a a c t u a -

l i d a d , s ó l o s e h a c o mp r o b a d o p o r c á l c u l o s d e mo de l o s e n c o mpu t a d o r a s ( 7 9 , 8 9 )

y c on mét odo s s emi - mac r os c óp i c os ( 88 , 89 ) .

{i¡ Un a s e g un d a c u e s t i ó n q u e e s f u nd a me n t a l , e s l a p o s i b l e c o n e xi ó n e n t r eu n a h i d r o d i n á mi c a n o l i n e a l ( 7 0 , 7 2 ) y u n a t e o r í a c i n é t i c a d e g a s e s d e n s o s .

E l p r o b l ema e s t á í n t i ma men t e a s o ~i a d o c o n l o s mu c h o s e s f u e r z o s q u e s e h a n

hec ho pa r a gene r a l i z a r l a t e r mod i námi c a i r r e ve r s i b l e l l l l e a l a f enómenos

n o l i n e a l e s ( 9 0 - 9 S ) . Ha s t a l a f e c h a n o h a y u n a r e s p u e s t a s a t i s f a c t o r i a

a l Dl que c o r r o y a s e i nd i c ó an t e r i o r men t e ( 7 J ) , den t r o de l a h i pó t e s i s de l

e q u i l i b r i o l o c a l e s p o s i b l e f o r mu l a r t o d a u n a h i d r o d i n á mi c a n o l i n e a l y

n o l o c a l a c u a l q u i e r o r d e n e n l o s g r a d i e n t e s .

~l Un a t e r c e r a c u e s t i ó n q u e a l p a r e c e r s e h a p a s a d o p o r a l t o f r e c u e n t e -. - . - . mo d 1 _ . ( 96 ) dme nt e e s qu e u na e c ua Cl o n Cl n et l c a e s un e o r ne s o s c o pl CO p ar a e s -



144

c r i b i r l a e v o l u c i ó n e n e l t i e mp o d e u n s i s t e ma d a d o y p or l o t a nt o e l

comportamiento asintótico en el tiempo debe ser compatible con las pre-

d ic ci on es d e l a t er mo di ná mi ca e n e qu il ib ri o y d e l a te rm od in ám ic a i rr e-

v er si bl e l in ea l c uy a v al id ez e st á c om pl et am en te c om pr ob ad a p ar a u na c l as e

e no rm e d e f en óm en os n at ur al es . L as c o nd ic io ne s n ec es ar ia s y su fi ci en te s

para lograr esta compatibilidad se han establecido para ecuaciones de

Bo l t z mann( 46) , Ens ko g( 47) y o t r a s ( 9 7 , 98 ) , p e r o f a l t a e s t u d i a r l a s p a r a e l

c as o d e s is te ma s d en so s, d o; d e r ep et im os , l a e cu ac ió n c in ét ic a m is ma n o

e s t o da v ía c o no c id a .

-iv} Los efectos hidrodinámicos a nivel microscópico se han extraído de

s i mu l a c i ones co n co mput ado r a ( 78 ) y s ó l o a l g u n os c á l c u l o s s e h a n r e a l i z a d opara estudiarlos teóricamente (14b).

vi L a d i s c u s i ó n e n e l p u nt o I~v) d el p ár r a f o a nt e r i o r e s a pl i c a bl e a l c a -

s o de l a te or ía c in ét ic a e n g e ne ra l.

v .¿ J Finalmente, deseamos tcnninar esta exposición subrayando que todavía

p e r s i s t e e l p r o b l e m a , d e n t r o d e l m a r c o g e n e r a l d e lllla t eo ría c in ét ic a d e

f l ui d o s , d e c uá l e s e l n iv e l q ue g u a r da l a e c u a c i ó n d e B o l t zm a n n.

AGRADECI~I lENfOS

E l au to r d es ea m an if es ta r s u a gr ad ec im ie nt o a G ab ri el a G ar cía -

C o lín G . p o r s u i n a g o ta b l e p a ci e n c ia p a r a t r a n sc r i b ir l a g ra ba c i ó n d e l a

c on fe re nc ia a u n ~1nus cr i t o l e g i b le , s i n e l c ua l e l p re s en t e t r a b aj o n o

s e h u b ie r a l T k1 . t er i a li z a do .

REFERENCIAS

lb)

la)

2a)

2b)2c)

D. Be r n o ul l i e n K i n e t i c T h eo r y o f Ga s e s p o r S . G. B r u s h , P e r g a ma nP r e s s , L o nd r e s , Vo l . 1 ( 1 96 5) p . 5 7.R . R es n i e k y D . H a l l i d a y , P h s í e s f e r S t u d e n t s e f S ci e n e e a n d E n i -n ee r i n g, J o hn Wi l e y a nd S on s , N. Y . 1 96 6 2 a. E d. , Vo l . 1 , p p. 5 75 -77 .

P . S i ma n Ma r q u i s d e L a p l a c e e n Oe u v r e s Co mp l é t e s d e L a p l a c e , Ga u t h i e r -Vi l l a r s , P a r i s ( 1 88 2) Vo l . 5 , p . 9 9 y r e f . ( l a ) .

J . He r a pa t h e n K i ne t i c T heo r y o f Ga s es po r S . G. 8 r u s h, l o e . c i t . ( l a ) . J . J . Wa t e r s t o n e n T he Co l l e c t e d P ape r s o f J . J . Wa t e r s t o n , Ol i v e r yBo y d, E di n bu r 9 h ( 1 92 8) p . 2 07 .

3 ) R. Ma y e r , J . J o u l e y H. v a n He l mh o l t z e n K i n e t i c T h eo r y o f Ga s e s , l o e .ciL (la).



145

2 3 9. ( T r a d uc c i ó n a l i n gl é s e n

3 15 Y r e f . ( l a ) .3 53 . ( T r a d uc c i ó n a l i n g l é s e n

P hy s i k [ 2 J 9 9 ( l S 56 )d e r P h y s i k l QQ ( l S57 )

d e r P h y s i k 1 0 5 ( l S 5 8)

4 ) A . K . K r o n i g , An n.5 ) R. Cl a us i u s , A nn .

r e f . ( l a ) ) .

6 ) R. Cl a us i u s , An n.r e f . ( 1 a ) ) .7 a ) F . Re i f , F u n da me n t a 1 s o f S t a t i s t i c a l a n d T h e r ma l P h s i c s , Mc Gr a w Hi l l

Bo o k Ca . , Ne w Yo r k 19 66 Ca p. 1 2 .7 b ) J . K e s t i n y J . R . Do r f ma n , A F i r s t C o u r s e i n S t a t i s t i c a l T h e r mo d n a mi c s ,

A c a de mi c P r e s s , N. Y . ( 1 g7 1 Ca p. 1 2.S ) J . C. Ma x we l l , T h e S c i e n t i f i c P a p er s o f J . C. Ma x we l l , Do v e r P u b1 i c a -

t i o ns , Ne w Y o r k ( 1 96 5) Vo l . 1 , p p. 3 77 - 4 09 .9 ) J . C. Ma x we l l , l o c . c i t . r e f . ( S ) , Vo l . J I , p p. 2 6- 7 S.

1 0 ) R . C l a u s i u s , S i t z . Ni e d . Ge s e l l s c h a f t , B o nn ( l S 7 0 ) 1 1 4 . ( T r a d u c c i ó na l i n gl é s e n r e f . ( 1 a) ) .

l 1 a ) L . B o 1t z ma n n , L e c t u r e s o n Ga s T h e o r y , Un i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a P r e s s ,

B er k e 1 ey , C a. ( 1 9 64 ) .1 1 b) L . Bo l t z ma n n e n K i n e t i c T h e or y o f Ga s e s p o r S . G. B r u s h , P e r g a mo n P r e s s ,

Ox f o r d ( 1 96 6) Vo l . 2 , p p. 2 0S - 2 4S .1 2a ) P . E hr e nf e s t Y T . E hr e nf e s t , T h e Co nc e pt u a l F o un da t i o ns o f t h e S t a -

t i s t i c a 1 Ap p r o a c h i n Me c h a n i c s , C o r n e 1 l Un i v e r s i t y P r e s s , J t h a c a ( 1 9 5 9 ) .1 2b ) D. t e r Ha ar , Re v . Mo d. P hy s . 2 7 ( 1 95 5) 2 S9 .1 2c ) O. P en r o s e , Re p. P r o g. P hy s . T L o nd r e s ) 4 2 ( 1 97 9) 1 93 7.

1 3 ) G. E . Uh 1 e n b e c k y G. W. F o r d , L e c t u r e s i n - S t a t i s t i c a 1 Me c h a n i c s , Ame -r i c a n Ma t h e ma t i c a 1 S o c i e t y , P r o v i d e n c e , R . I . ( 1 9 6 3 ) .

1 4 a ) S . C ha p ma n y T . G. C o wl i n g , T h e Ma t h e ma t i c a 1 T h e o r y o f No n - Un i f o r mGa s e s , C amb r i d g e Un i v e r s i t y P r e s s , C a mb r i d g e , 3 a . E d . ( 1 9 7 0) .

1 4b ) ~Do r f ma n Y H. v a n Be i j e r e n, " T he K i n et i c T he or y o f Ga s e s " e n S t a -t i s t i c a 1 Me c h a ni c s B , e d . p o r S . J . Be r n e , P 1 e nu m P r e s s , N. Y . (197"'1)

p . 65.1 4c ) L H. K en na r d , K i n et i c T h eo r y o f Ga s e s , Mc Gr a w Hi l l Bo o k Ca . , N. Y .

( 1939) .1 4d ) E . Da hl b er g , J . P h ys . ( L o nd r e s ) A6 ( 1 97 3) l S 00 .

1 5 ) L . S . Ga r c í a - C o l í n , T e o r í a C i n é t i c a d e l o s Ga s e s , J V I C , C a r a c a s , V e n.( 1 9 75 ) y r e f . ( 1 3 ) .

1 6 ) C ar 1 é ma n t , P r o b 1~me s Ma t h é ma t i u e s d a ns l a T h é or i e Ci n é t i u e d e s Ga z ,A 1 mq u i s t Y Wi s k e 1 1 s , Up s a l a 1 9 5 7.

1 7 ) M. H. E r n s t , " E x a c t S o l u t i o n s o f t h e No n - L i n e ar B ol t z ma n n E qu a t i o n " e nF u n da me n t a l P r o b 1e ms i n S t a t i s t i c a l Me c h a ni c s V , e d . p o r E . G. D. Co h en ,No r t h Ho l l a n d P u b l o C a . , A ms t e r d a m ( 1 9 S 0) p . 2 4 9 .

l S ) U. We i n er t , S . L . L i n y E . A. Ma s a n, P h ys . Re v . A2 2 ( 1 98 0) 2 26 2.1 9) M. J . K l e i n e n T h e Bo 1t z ma nn E gu at i o n , e d. p or E . G. D. Co he n y W.

T h i r r i n g , Sp r i nge r - Ve r 1 a g , Vi e na ( 1 97 3 ) .2 0 ) D. Hi l b e r t , " F o u nd a t i o n s o f t h e K i n e t i c T h e or y o f Ga s e s " e n K i n e t i c

T he o r y po r S . G. S r u s h, P e r g a mo n P r e s s , Ox f o r d , Vo l . 3 ( 1 972 ) p . S9 .2 1 ) D. E n s k o g , " K i n e t i c T h e or y o f P r o c e s s e s i n Di l u t e Ga s e s " e n K i n e t i c

T h e o r y po r S . G. Br u s h, P e r g a mo n P r e s s , Ox f o r d , Vo l . 3 ( 1 9 72 ) p . 1 25 .2 2 ) S . C ha p ma n . " T h e K i n e t i c T h e or y o f S i mp l e a n d Co mp o s i t e Ga s e s : V i s -

c o s i t y , T h e r ma l C on d u c t i o n a n d Di f f u s i o n " e n K i n e t i c T h e o r y p o r S . G.

B r u s h , 1 0c . c i t o r e f s . ( 2 0 ) Y ( 2 1) .2 3 ) L . L a n d a u y E . M. L i f s h i t z , F l u i d Me c h a n i c s , A dd i s o n - We s l e y P u b 1 . C a.

R ea d i n g , Ma s s . ( 1 9 5 9) .2 4) Ve r r e f e r e nc i a s ( 1 3) , ( 1 4a ) y ( 1 5) .



146

2 5) D. Bu r n et t , P r o c . L o nd on Ma t h . S oc o 4 0 ( 1 93 5) 3 82 Y r e f s . ( 1 4a ) yS . G. Br u s h , K i n et i c T h eo r y , V ol . 3 , l o e . c i t . ( 2 0) .

2 6) H. Gr a d, " P r i n c i p l e s o f t h e K i n et i c T he o r y o f Ga s e s " e n Ha nd bu c h d erP h YWi f ' e d. p or S . F l ü 9g e, S pr i n ge r - Ve r 1 a9 , Be r l í n , Vo l . 1 2 ( 1 95 8) .

2 7 ) E . 1 d , P r o c . Ca r r i l . P h i l . S o c o 4 7 ( 1 9 51 ) 6 0 2.2 8) O. Mo r g en s t e m, P r o c . Na t . Ac a d. S c i . ( Wa s h i n 9t o n) 4 0 ( 1 95 4) 7 19 ; J .Ra t . Me c h . An a l . 4 ( 195 5 ) 53 3 . - -

2 9 ) C . C e r c i 9 n a n i , Ma t h e ma t i c a l Me t h o d s i n K i n e t i c T h e o r y , P l e n u m P r e s s ,N. Y . ( 1 9 6 9 ) .

3 0 ) J . O. Hi r s c h f e 1 de r , C . F . C ur t i s s y R. B. B i r d , T h e Mo l e c u l a r T h e or y o f L i g u i d s a n d Ga s e s , J o h n Wi 1 e y a n d S o ns , N. Y . , 2 a . E d . ( 1 9 74 ) .

3 1) R. K ub o e n T h e Bo 1t z ma nn E gu at i o n , e d. p or E . G. D. Co he n y W. T h i r r i n 9,S p r i n g e r - V e r 1 a 9 , V i e n a ( 1 9 7 3) p . ' 3 0 1.

3 2 ) I . M. K h a l a t n i k o v , I n t r o d u c t i o n t o t h e T h e o r y o f S u p e r f 1 u i d i t y , W. A .B en j a mi n P u b l . , N. Y . ( 1 9 6 5) .

3 3) T . Y . Wu , T h e K i n e t i c T h e or o f Ga s e s a n d P l a s ma s , A dd i s o n - We s l e yP ub l . CO. Re a di n 9 , Ma s s . 1 96 6 y r e f . 14 b .3 4) L . Ga r c í a - Co l í n , O. No v ar o y M. Be r r o nd o, Re v . Me x . F i s . 2 2 ( 1 97 3)

3 51 ; L . Ga r c í a - Co 1 í n y L . Ba r a j a s , K I NAM 2 ( 1 98 0) 5 7. -35 ) l . P r i 9 09 i ne , P hy s i c a 15 ( 1 94 9 ) 2 71 . -3 6 ) S . R . d e Gr o o t y P . Ma z u r , No n - E g u i l i b r i u m T h e r mo d y n a mi c s , No r t h

Ho l l a n d P u bl . C o. , A ms t e r d a m ( 1 9 62 ) c a p . I X .3 7 ) S . G. Br u s h , K i n e t i c T h e or y , P e r 9 a mo n P r e s s , Ox f o r d , V ol . 3 ( 1 97 2 )

c a p . V I .3 8 ) D. E n s k 0 9 , " K i n e t i c T h e or y o f He a t C on d uc t i o n , V i s c o s i t y a n d S e l f

Di f f u s i o n i n C o mp r e s s e d Ga s e s a n d L i q u i d s " e n S . G. B r u s h , K i n e t i c T h e o r y , l o e . c i t o ( 3 7 ) , p . 22 6 .

3 9a ) J . V. S en ge r s , l n t . J . He a t Ma s s T r a ns f e r 8 ( 1 96 5) 1 10 3.3 9b ) J . V. S en ge r s e n Re c e nt Ad v an c e s i n E ng i n ee r i n g S c i e nc e , e d. p or A. C.

E r i n ge n, Go r d on a nd Br e ac h , N. Y . ( 1 96 8) p . 1 53 .3 9 c ) H. J . M. Ha n 1e y , R. O. Mc Ca r t y y E . G. D. Co h e n, P h y s i c a 6 0 ( 1 9 72 ) 3 2 2;

8 3A ( 1 97 6 ) 21 5 . - -4 0) ~T h or n e ( r e s u l t a do s i n éd i t o s ) , v e r M. K . T h am y K . E . Gu bb i n s , J .

Ch em. P h ys . 5 3 ( 1 97 1) 2 68 Y r e f s . ( 1 4a ) y ( 3 0) .4 1) L . S . Ga r c í a - Co l í n , L . B ar a j a s y E . P i ñ a , P h . v s . L e t t e r s 3 7A ( 1 9 71 ) 3 9 5.4 2 ) L . Ba r a j a s , L . S . Ga r c í a - C ol í n y E . P i ñ a , J . S t a t . P h y s . - Z- ( 1 9 73 ) 1 6 1.4 3) H. v a n B ei j e r e n y M. H. E r n s t , P h y s i c a £ J i . ( 1 9 73 ) 3 4 7; Z Q T 19 73 ) 2 25 .4 4) E . P i ñ a, J . S t a t . P h y s . 1 1 ( 1 97 4) 4 33 Y c o mu ni c a c i ó n p r i v a da .

4 5) P . Re s i b oi s , J . S t a t . P hy s . 1 9 ( 1 97 8) 5 93 .4 6) M. Gr me 1a y L . S . Ga r c í a - Co 1í ñ : P hy s . Re v . 2 2A ( 1 98 0) 1 29 5.4 7) M. Gr me l a y L . S . Ga r c í a - Co 1í n , P hy s . Re v . 2 2A ( 1 98 0) 1 30 5.4 8 ) R . C . T o l ma n , T h e P r i n c i p 1 e s o f S t a t i s t i c a 1 J Me c h a n i c s , Ox f o r d Un i v e r -

s i t y P r e s s , Ox f o r d ( 1938 ) .4 9 ) N. N. B o go l i u b o v , " P r o b l e ms o f a Oy n a mi c a l T h e o r y i n S t a t i s t i c a l

P h y s i c s " e n S t u d i e s i n S t a t i s t i c a 1 Me c h a n i c s , e d . p o r G. E . Uh 1 e nb e c ky J . d e Bo e r , No r t h Ho l l a nd P u b l o CO. , A ms t e r d am, Vo l . 1 ( 1 96 2) p . 5 .

5 0) J . G. K i r k wo o d, J . Ch em. P h y s . 1 4 ( 1 94 6) 1 80 .5 1 ) S . Ha r r i s , A n l n t r o d uc t i o n t o t h e T h e or o f t h e Bo l t z ma n n E u a t i o n ,

Ho l t , R i n e ha r t a n d Wi n s t o n , N. Y . 1 9 71 .

5 2 ) E . G. D. C oh e n e n F u n d a me n t a l P r o b 1 e ms i n S t a t i s t i c a l Me c h a n i c s , e d .p or L G. D. Co he n, No r t h Ho l l a nd P ub l . CO. ( 1 96 2) p . 1 10 .5 3 ) R. A l e x a nd e r K a t z - K a uf ma n , T e s i s P r o f e s i o n al , F a c . d e Ci e n c i a s , UNA M,



147

1 9 66 ( i n é di t a ) . V er L . S . Ga r e l a - Co l í n e n S e l e e t e d T o p i e s i n S o l i dS t a t e a nd T h eo r e t i e a l P h s i e s , e d. p or M. Be mp or a d y E . F e r r e i r a ,Go r d o n a n d Br e a e h , N. Y . 19 68 ) Se e . 3 . .

5 4 ) V er a r t í c u l o s p o r Co h en , Oo r f ma n , E r n s t , S e ng e r s y We i n s t o e k e n L e e -

t u r e s i n T h e or e t i e a l P h y s i e s , K i n e t i e T h e or y , e d . p o r W. E . B r i t t ~A. O. 8 ar u t y f 1 . Gu en i n , Go r d on a nd Br e a en , N. Y . , Vo l . 9 C ( 1 96 7) .

5 5a ) J . R . Oo r f ma n y E . G. O. Co he n, J . Ma t h . P h ys . 8 ( 1 96 7) 2 82 .5 5 b) M. H. E r n s t , L . K . Ha i n e s y J . R. Oo r f ma n , Re v . - Mo d . P h y s . 4 1 ( 1 9 69 ) 2 9 6.5 5e ) A. Ge r v o i s , C. No r ma nd - Al 1 e y Y . P ome au , P hy s . Re v . A1 2 T J 9 75 ) 1 57 0.

5 6) L . S . Ga r e í a - Co l í n , M. S . Gr e e n y F . Ch ao s , P h ys i e a 3 2- r r 9 66 ) 4 50 ; L . S .Ga r e í a - Co l í n y A . F l o r e s , P h y s i e a 3 2 ( 1 96 6) 2 89 - 4 44 ; J . Ma t h . P h ys . 7( 1 96 6) 2 54 . Ve r a r t í c u l o d e L . S . Ga r e í a - Co l í n e n L e e t u r e s i n T h eo - -r e t i e a l P h ys i e s , K i n et i e T h eo r y , V ol . 9 C, l o e . c i t . ( 5 4) .

5 7) M. S . Gr e e n e n P r o e e ed i n gs o f t h e I n t e r n a t i o n al S e mi n a r o n t h e T r a n s -p or t P r o pe r t i e s o f Ga s e s , e d. p or J . K es t i n y J . Ro s s , P r o v i d en ee ,

R. I . ( 1 9 64 ) p . 1 3 9- 1 41 .5 8) R. Zwa nz i g , P hy s . Re v . 1 29 ( 1 96 3) 4 86 .5 9a ) K . K awa s a k i y l . Op pe nh ei m, P hy s . Re v . 1 36 ( 1 96 4) A1 51 9; 1 39 ( 1 96 5)

A649 ; 1 39 ( 196 5 ) A17 63 . - -5 9b ) J . V . S en ge r s , P hy s . o f F l u i d s 9 ( 1 96 6) 1 68 5; 9 ( 1 96 6) 1 33 3.5 ge ) E . A. F r i e dma n y R. Go l d ma n, J . - Ma t h . P hy s . 7 T ! 9 66 ) 2 15 3; 8 ( 1 96 7)

1 41 0 . - -6 0 ) J . R . Oo r f ma n e n F u n d a me n t a l P r o b l e ms i n S t a t i s t i e a l Me e h a n i e s , e d .

p o r E . G. O. Co h e n, No r t h Ho l l a n d P u bl . CO. , V ol . J I I ( 1 9 75 ) .6 1 ) J . E . Ma y e r y M. G. Ma y e r , S t a t i s t i e a l Me e h an i e s , J o h n Wi l e y a n d S o ns ,

N. Y . ( 1 9 4 0 ) .

6 2) M. S . Gr e en , J . Ch em. P hy s . 2 5 ( 1 95 6) 8 36 ; P hy s i e a 2 4 ( 1 95 8) 3 93 .6 3) E . G. O. Co he n, P hy s i e a 2 8 ( 1 96 2) 1 02 5, 1 04 5, 1 06 0. - -6 4) J . R. Oo r f ma n y E . G. O. Co he n, P h ys . Re v . A6 ( 1 97 2) 7 76 ; i b i d . AI 2

( 19 75 ) 29 2 . - -6 5a ) J . Ke s t i n , E . P ay e ok y J . V . S en ge r s , P hy s i e a 5 4 ( 1 97 1) l .6 5 b ) N. T r a p p e ni e r s ( c o mu n i c a c i ó n p r i v a d a L a b . v a n ~e r Wa a l s , A ms t e r d a m,

197 6 ) . . .6 5e ) J . K es t i n , O. K or f a l i y J . V. S en ge r s , P hy s i e a 1 00 A ( 1 98 0) 3 35 .

6 6) H. J . M. Ha nl e y , R. O. Me Ca r t y y J . V. S en ge r s , J . Ch em. P h ys . 6 3 ( 1 96 9)35 8 . - -

6 7 ) J . V . S e ng e r s , O. T . Gi l l e s p i e y J . J . P é r e z - E s a n di , P h y s i e a 9 0A ( 1 9 78 )36 5 . -

6 8a ) M. H. E r n s t , P h ys i e a 5 0 ( 1 97 0) 4 77 .6 8 b) E . G. O. C oh e n, L . S . Ga r e í a - C ol í n y M. H. E r n s t , P h y s i e a 5 0 ( 1 9 70 ) 1 77 .

6 9 ) J . F o e h y G. W. F o r d , " T h e Oi s p e r s i o n o f S o un d i n Mo n oa t o mi e Ga s e s " e nS t u di e s i n S t a t i s t i e a l Me e ha ni e s , e d. p or G. E . Uh l e nb ee k y J . d e Bo e r ,No r t h Ho l l a n d P u bl . CO. , A ms t e r d a m, V ol . V ( 1 97 0 ) p p . 1 2 8- 1 5 6.

7 0) J . A. Me L e nn an J r . , P h ys . o f F l u i d s 8 ( 1 96 5) 1 85 0.7 1) L . S . Ga r e l a - C ol í n , J . A . Ro b l e s Oo mí n g ue z y G. F u e nt e s , P h y s . L e t t e r s

8 4A ( 1 98 1) 1 69 .7 2 ) J . A . Ro b l e s Oo ml n g ue z , B . S i l v a y L . S . Ga r e l a - Co l í n , P h y s i e a I 0 6 A

( 19 81 ) 53 9 . - - - -7 3) C. S . Wa n g- C ha n g y G. E . Uh l e n be e k e n S t u d i e s i n S t a t i s t i e a l Me e h an i e s ,

Vo l . V, l o e. c i t . ( 6 9) , p p. 2 7- 4 2.7 4) C. S . Wa ng - Ch an g y G. E . Uh l e nb ee k , í b i d . , p p. 4 3- 6 8.7 5) J . F o e h i n T h e Bo 1t z ma nn E gu at i o n , e d. p or E . G. O. Co he n y W. T h i r r i n g,



148

76)

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B. J . A l d e r y T . E . Wa i n wr i g h t , P h y s . Re v . A l ( 1 9 7QT 1 8 ; B . G. A l d e r ,D. M. Ga s s y L E . Wa i n wr i g ht , J . Ch em. P h ys . 5 3 ( 1 97 0) 3 81 3; P h ys . Re v .A4 ( 1 971 ) 2 33 . -¡ ; ¡ : - W.Wo o d e n F u n d a me n t a l P r o b l e ms i n S t a t i s t i c a l Me c h a n i c s , e d . p o rE . G. D. C oh e n , No r t h Ho l l a n d P u b l . C O. , A ms t e r d a m, V o l . J I I ( 1 9 7 5) p. 331-E . E r p e nb e c k y W. W. Wo o d e n S t a t i s t i c a l Me c h a ni c s , P a r t B , e d . p o rB . J . B e r n e , P l e n u m P r e s s , N. Y . ( 1 9 7 7) .C. Br u i n , P h ys i c a 7 2 ( 1 97 4) 2 61 ,L . G. Ol s s o n y K . E . - r a r s s o n , P h y s i c a 7 2 ( 1 9 74 ) 3 0 0; 8 0 A ( 1 9 75 ) 2 0 3.R. Zwa nz i g , Ann . Re v. P hy s . Ch em. 1 6- ¡ 1 97 5) 6 7. - - -

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110 años de teoria cinetica de los gases

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