11) Análisis Gráfico de Funciones

Fatela Preuniversitarios

Matemática - Análisis de Funciones - 1 -17

MATEMÁTICA GUÍA �º 11

“A�ÁLISIS GRAFICO DE FU�CIO�ES”

En esta guía se tratará sobre:

Análisis de Funciones: Se realizará un análisis completo de todos los

aspectos relevantes de la gráfica de las funciones:

1) Dominio.

2) Imagen.

3) Ceros.

4) Conjuntos de Positividad y de Negatividad.

5) Extremos Relativos: Máximos y Mínimos.

6) Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento.

7) Ordenada al Origen.

8) Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos.

9) Rectas Asíntotas y Polos.

A�ÁLISIS DE FU�CIO�ES

1) Dominio �atural:

El "dominio natural" de una función es el conjunto de todos los números

reales para los cuales la función está definida. O sea es el conjunto de todos los

valores de "x" a los se le asigna un valor de "y".

Si una función está dada gráficamente, su dominio se puede obtener

proyectando todos los puntos de la "curva" perpendicularmente sobre el eje "x",

como se muestra en el gráfico que sigue.

El conjunto así obtenido es el dominio de la función.

Si la función está dada en forma analítica, o sea por su fórmula, el dominio

natural se puede obtener aún sin graficar según los siguientes criterios:

4

5

6

3

2

1

y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

Dominio de la función

Se obtiene proyectando

todos los puntos de la

gráfica sobre el eje "x"

(−∞ ; 2] U (4 ; ∞ )

Recta Asíntota



a) Funciones Polinómicas:

En todas las funciones polinómicas el dominio está formado por todos los

números reales; pues siempre es posible elevar un número real a una potencia de

exponente natural, luego multiplicarla por otro real, y por último sumar o restar

con otro término similar.

b) Funciones Racionales:

La función racional está formada por un cociente entre dos polinomios, en

forma genérica de grados "m" y "n" respectivamente.

En una función de este tipo el dominio es igual a todo el conjunto de

números reales salvo los valores aislados de "x" que hacen cero al polinomio

denominador. Esto es así debido a que no podemos "nunca" dividir por cero.

En la siguiente gráfica se muestra una función racional, y se observa que su

dominio incluye a todos los números reales distintos a "2". En ese punto la

función presenta una discontinuidad llamada polo o asíntota vertical: al

acercarnos más y más a x = 2 la función crece o decrece indefinidamente (crece

hasta +∞ o decrece hasta −∞.

Además posee una asíntota horizontal de ecuación y = 1.

0

1

y

−5 x 5

3

−3 Df = � = (−∞ ; ∞)

Funciones Polinómicas

Su Dominio son todos

los números Reales

P0 = 5

P1 = 2 x + 3

P2 = 4 x2 − x + 1

P3 = 2 x3 + 7 x

2 − 5 x + 8

Polinomio de grado cero:

Polinomio de grado uno:

Polinomio de grado dos:

Polinomio de grado tres:

Pn = an xn + an-1 x

n-1 + ... + a2 x

2 + a1 x + a0 Polinomio de grado "n":

m

n

P (x)f(x) =

Q (x)

Df = { }1 2 nR X ;X ;... X−

Ceros de Qn (x)

Función

Racional



c) Funciones Irracionales con Radicales de Índice Par:

La función irracional compuesta de una raíz cuadrada (o de índice par) de

una expresión que depende de "x", tiene como dominio el conjunto de valores de

"x" en los cuales el radicando no sea negativo (puede ser positivo o cero).

En caso contrario, el radicando negativo haría imposible la existencia de la

función, pues la raíz cuadrada (o de índice par) de un número negativo no tiene

resultado real, como vimos en la guía N° 1 "Conjuntos Numéricos".

0

1

y

x

5

3

y = 3 x−

Df = ( ]; 3−∞

−5

Función Irracional

0

1

y

−5

x

5

3

−3

xy =

x 2−

Recta Asíntota

Recta Asíntota

Df = { }2−�

Df = ( ) ( );2 2;−∞ ∞∪

3 − x ≥ 0

3 ≥ x

x ≤ 3

Para calcular el dominio en

estos casos, hay que plantear

una inecuación: el radicando

debe ser mayor o igual a cero: ⇒ Df = ( ];3−∞



En el caso de que la expresión irracional (de índice par) se halle en el

denominador, habrá que exigirle al radicando que sea estrictamente mayor a

cero, pues de lo contrario al hacerse cero dicho radicando se podrá extraer su

raíz que también es cero, pero luego no se puede dividir por cero y la función no

existirá en dicho punto.

Más adelante en el curso, se tratarán los dominios naturales de las

funciones trascendentes al álgebra: las funciones Exponenciales, Logarítmicas y

Trigonométricas.

2) Imagen de una Función:

0

1

y

−5 x 5

3

−3 If = (−∞ ; 3]

Imagen de la función

Se obtiene proyectando

todos los puntos de la

gráfica sobre el eje "y"

Para Practicar 1) Dadas las siguientes funciones hallar su dominio natural

analíticamente, y confirmar los resultados graficando con

el simulador digital "Graficador de Funciones"

a) y = 4 − x ℜ = (−∞; ∞)

b) 2 x

y =x + 1

ℜ − {−1}

c) y = 3 x 6− [2; ∞)

d) 2x

y =5 2x−

(−∞; 5/2)

e) y = x2 + 3 x − 4 ℜ = (−∞; ∞)

f) ( )5x 3

y =x x 2

−

− ℜ − {0; 2}

g) y = 2 x -1

+ 5 ℜ − {0}

3 2 0x − > 2y =

3 x 2−

3 2x >

2

3x > ⇒ Df =

2;

3

∞

En este caso el radicando debe

ser estrictamente mayor a cero:



La imagen de una función es el conjunto de valores que toma la función "y"

cuando la variable independiente "x" toma todos los valores del dominio.

Gráficamente se puede obtener proyectando sobre el eje "y" todos los

puntos de la "curva" que representa a la función.

Las funciones lineales de pendientes distintas de cero (rectas oblicuas)

tienen como imagen el conjunto de todos los números reales.

Las funciones cuadráticas en cambio tienen como imagen un intervalo de

longitud infinita desde un cierto punto "Yv" hasta infinito si el coeficiente

cuadrático "a" es

positivo; o bien desde

"−∞" hasta "Yv" si "a"

es negativo. Dicho

intervalo siempre es

cerrado en el extremo

finito "Yv", pues el

vértice pertenece a la

función.

0

1

y

−5 x 5

3

−3

If = {2}

Imagen de recta

horizontal y = 2

0

1

y

−5 x 5

3

−3

If = (−∞ ; ∞)

Imagen de

rectas oblicuas

0

1

y

−5 x 5

2

−3

If = [2; ∞)

−1

If = (−∞; −1]

Imagen de

Funciones

Cuadráticas



En ocasiones se pide encontrar el conjunto imagen de una función en la

cual se restringe o limita su dominio natural a un conjunto prefijado.

Por ejemplo en la parábola siguiente: y = x2 + 2

x − 1, se especifica que el

dominio debe restringirse al intervalo (−2;1]. Se pide hallar su imagen.

En primer lugar

encontramos el vértice

de la parábola, a fin de

determinar si se halla

adentro o afuera del

dominio limitado por

(−2;1]. En este caso

vemos que se ubica

adentro del mismo

(como va a resultar

habitual en la mayoría

de los ejercicios de este

tipo).

Luego graficamos

la función completa

(línea punteada) y resaltamos el tramo a considerar que corresponde al dominio

restringido (línea llena), prestando atención a los extremos del mismo: si está

incluido se coloca punto lleno, si no lo está va punto vacío.

Por último se proyectan horizontalmente todos los puntos de la curva sobre

el eje "y", hallándose el conjunto imagen.

3) Ceros de la función:

Los ceros de una función son los valores de "x" que hacen cero a la misma.

No todas las funciones tienen ceros, puesto que puede haber curvas que no

corten al eje "x". Esto ocurre, como hemos visto antes, en algunas funciones

cuadráticas (parábolas) con discriminante negativo; y en general puede ocurrir

en funciones polinómicas de grado par: 2, 4, 6 etc.

0

1

y

−4

x

4

3

−3

X1 = −4 Ceros de la Función

Gráficamente los ceros

son los puntos donde la

gráfica corta al eje "x"

X2 = 4

0

y

x

1

2

−2

−2

Imagen = [−2; 2]



4) Conjuntos de Positividad y de �egatividad:

Se llama Conjunto de Positividad o Intervalo de Positividad al conjunto de

todos los valores de "x" para los cuales la función es positiva.

Gráficamente corresponde al intervalo (o los intervalos) de valores de "x"

en los cuales la "curva" está por encima del eje "x".

Análogamente el Conjunto de Negatividad o Intervalo de Negatividad es el

conjunto de todos los valores de "x" para los cuales la función es negativa.

Gráficamente corresponde al intervalo (o los intervalos) de valores de "x"

en los cuales la "curva" está por debajo del eje "x".

En las funciones continuas, los ceros son los valores de “x” que separan los

conjuntos de positividad y de negatividad. Como el número cero no es positivo

ni negativo, el cero de la función no debe incluirse en los conjuntos de

positividad ni de negatividad. En estos casos dichos conjuntos son siempre

intervalos abiertos.

0

1

y

−4 x 3

3

2

Conjuntos de Positividad

(−∞; −4)∪ (−4; 2)∪ (3; ∞)

+ ++++ +

Conjunto de

Negatividad:

(2; 3)

0

1

y

−4

x

4

3

−2

Conjuntos de Negatividad

(−∞; −4) ∪ (4; ∞)

Conjunto de Positividad: (−4; 4)

+

− −

+



En las funciones discontinuas, tanto los ceros como los polos o asíntotas

verticales son los valores de “x” que separan (o pueden separar) los conjuntos de

positividad y de negatividad, como se observa en el gráfico anterior.

En funciones discontinuas también pueden darse conjuntos de positividad

o negatividad cerrados o semicerrados.

5) Extremos Relativos: Máximos y Mínimos

Los extremos relativos se pueden ubicar gráficamente como "picos" y

"valles": son los puntos donde la función pasa de ser creciente a decreciente

(picos), o de ser decreciente a creciente (valles).

Como se trata de puntos del plano deben indicarse como pares ordenados.

0

1

y

x 3

3

−2

−2

Mínimo Relativo (3; −2)

Máximo Relativo (−2; 3)

0

y

−4 x 3

Conjuntos de Positividad

(−∞; −4)∪ [1; 3)∪ (3; ∞)

Conjunto de Negatividad: (−4; 1)

+

−−−−

+ 1

1 +



6) Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento:

Una función es creciente en un punto si al crecer "x" (movernos hacia la

derecha) crece "y". Una función es decreciente si al crecer "x" decrece "y".

En las funciones continuas los extremos relativos separan los intervalos de

crecimiento de los intervalos de decrecimiento.

Los intervalos de crecimiento son los conjuntos de valores de "x" para los

cuales la función es creciente.

Análogamente, los intervalos de decrecimiento son los conjuntos de valores

de "x" para los cuales la función es decreciente.

Los extremos relativos "nunca" están incluidos en intervalos de crecimiento

o de decrecimiento, debido a que en dichos puntos la función no es creciente ni

decreciente. Son puntos donde la función es estacionaria.

Por ello los intervalos de crecimiento o de decrecimiento son siempre

intervalos abiertos.

0 −1

y

x 2

−2

−4

Intervalos de

Crecimiento:

(−4; −1) ∪ (2; ∞)

Punto de

discontinuidad

Polo Extremo Relativo

Intervalos de

Decrecimiento:

(−∞; −4) ∪ (−1; 2)

0

1

y

x 3

2

−2

−2

Intervalo de Crecimiento Inter. de Decrecimiento

(−∞; −2) (3; ∞) (−2; 3)

Intervalo de Crecimiento



Cuando la función es discontinua, los intervalos de crecimiento y de

decrecimiento pueden estar separados por los puntos de discontinuidad (saltos) y

polos (rectas asíntotas verticales) además de los extremos relativos ya vistos,

como se muestra en el gráfico precedente.

7) Ordenada al Origen:

La ordenada al origen, tal como vimos en rectas y parábolas, es el valor que

toma la función (y) cuando la variable independiente se hace cero.

Gráficamente corresponde al valor donde la curva corta al eje "y".

No todas las funciones tienen ordenada al origen, puesto que en algunas

funciones el número cero no está dentro del dominio de la misma, o sea en x = 0

la función no está definida. Esto ocurre, por ejemplo, en la Hipérbola Equilátera.

8) Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos

Las funciones pueden presentar también máximos o mínimos absolutos en

todo el dominio natural o en una determinada restricción a este dominio.

El máximo absoluto es el mayor valor que toma la función (y) en todo el

dominio o en un intervalo considerado.

Análogamente, el mínimo absoluto es el menor valor de la función (y) en el

dominio o intervalo considerado.

Los extremos absolutos difieren entonces de los relativos, ya que éstos

últimos son máximos o mínimos locales (picos o valles), pero nada dicen acerca

de que la función pueda tomar un valor mayor a un máximo relativo o menor a

un mínimo relativo para otros valores de "x".

Por consiguiente, de existir los extremos absolutos son únicos.

Las rectas oblicuas (no paralelas a los ejes coordenados) no tienen

máximos y mínimos absolutos, pues la función crece y decrece indefinidamente.

Las parábolas presentan sólo un mínimo absoluto si el coeficiente

cuadrático "a" es positivo, y es igual a la ordenada del vértice "Yv". Coincide en

este caso con el mínimo relativo o local. No hay máximos absolutos.

0

y

x 3

3

−2

Hipérbola Equilátera

1y =

x

Dominio= ℜ − {0}

⇒ ∃ f(0)

f(0) =1

f(0) = − 4

No tiene ordenada

al origen



Pero si el coeficiente cuadrático "a" es negativo, la parábola presentará un

máximo absoluto igual a "Yv" coincidiendo también con el máximo relativo en

el vértice. En este caso no hay mínimos absolutos.

Considerando sólo el dominio natural de las siguientes funciones, se tiene:

Si se restringe el

dominio natural a un

determinado intervalo

acotado, entonces las

rectas oblicuas y las

parábolas presentarán

máximos y mínimos

absolutos en el citado

intervalo. Por ejemplo

la función:

y = x2 + 2

x − 1, con un

dominio restringido al

intervalo ( − 2; 1 ]

presenta máximo y mínimo absoluto en dicho intervalo.

Aún así, existen otras

funciones que podrían no

admitir un extremo absoluto

aún restringiendo el dominio

natural a un cierto intervalo

acotado.

Por ejemplo: en (−2;2)

la función dada no tiene ni

máximo ni mínimo absoluto.

0

y

x 3

3

−2

Recta oblicua: No

hay máximos ni

mínimos absolutos

Mín. Abs. y = 1

Máx. Abs. y = −1

0

y

x 1

2

−2

−2

Máximo Absoluto

Mínimo Absoluto

0

y

x 2 −2

No tiene

Extremos

Absolutos



9) Rectas Asíntotas y Polos:

Las rectas asíntotas son rectas a las cuales las funciones se aproximan

"infinitamente" pero nunca las tocan.

Pueden ser verticales (polos), horizontales o inclusive oblicuas.

En los "polos" en general la función no está definida y al acercarnos a ellos

la función adopta valores mayores que cualquier valor fijado arbitrariamente;

decimos que tiende a "+∞". O bien valores menores que cualquier valor negativo

fijado en forma arbitraria; decimos que tiende a "−∞".

Puede ser

que por un lado

tienda a "+∞" y

por el otro a

"−∞", o bien que

tienda por ambos

lados a uno de

estos valores.

La recta asíntota horizontal significa que cuando la variable independiente

"x" se hace mayor que cualquier valor arbitrariamente fijado, o sea tiende a "∞",

la función tiende a tomar un valor constante "y".

Si una función no tiene asíntota horizontal puede tener una asíntota oblicua,

o sea que al tender "x" a "∞", la función "y" también tiende a "∞", pero lo hace

acercándose "infinitamente" a una recta de pendiente distinta de cero (oblicua).

En el presente curso no abundaremos más en este tema de las asíntotas

oblicuas.

0

1

y

−5

x

5

3

−3

Recta Asíntota

Vertical: x = 2

Recta Asíntota

Oblicua

y = ½ x + 1

0

1

y

−5

x

5

3

−3

Recta Asíntota

Vertical: x = 2

Recta Asíntota

Horizontal y = 1



Para Practicar Dadas las siguientes funciones hallar:

� Dominio.

� Imagen.

� Ceros.

� Conjuntos de Positividad y de Negatividad.

� Extremos Relativos: Máximos y Mínimos.

� Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento.

� Ordenada al Origen.

� Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos.

� Polos y Asíntotas

1)

2)



3)

4)

5)

Y



6)

7)



Trabajo Práctico �º 11 : "Análisis Gráfico de Funciones"

11.1) Dadas las siguientes funciones hallar su dominio natural analíticamente, y

confirmar los resultados graficando con el simulador digital "Graficador de

Funciones"

a) y = 3 6x−

b) x 2

y =x + 2

−

c) y = − x + 5

d) y = −x2 + 5 x − 2

e) x 2

y =x

+

f) y = 5 −3 x −2

g) ( )( )

( )

x 1 x 5y =

5x x 2

− +

+

11.2) Dadas las siguientes funciones en forma analítica, representar

gráficamente con el Simulador Digital "Graficador de Funciones",

y de su gráfica hallar:

� Dominio.

� Imagen.

� Ceros.

� Conjuntos de Positividad y de Negatividad.

� Extremos Relativos: Máximos y Mínimos.

� Intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento.

� Ordenada al Origen.

� Extremos Absolutos: Máximos y Mínimos.

� Polos y Asíntotas.

a) ( ) ( )1

y = x x 2 x 35

− − + y = -1/5*x*(x-2)*(x+3)

b) ( )

( )

x 21 1y = .

5 x 3 5

−− +

+ y = -1/5*(x-2)/(x+3)+1/5

c) y = (x+1). log2 (x + 3) − 3 y = (x+1)*(log(x+3)/log(2))-3

d) y = ( ) ( ) ( )21

. x 1 . x 2 . x 515

+ − + y = 1/15*(x+1)^2*(x-2)*(x+5)

e) ( )3. x 2y 15 .2 .sen x 2 1

− −= − − + y = -15*2^(-3*abs(x-2))*sen(x-2)+1

(Para esta última función, usar la apariencia inicial del Simulador, sin el

detalle que brindaría la tecla de acercamiento "zoom")

Tipear:



Respuestas del trabajo Práctico �º 11 "Análisis Gráfico de Funciones"

11.1) a) Df = (−∞; ½] e) Df = (0; ∞) = ℜℜℜℜ

+

b) Df = ℜℜℜℜ −{−2} f) Df = ℜℜℜℜ −{0}

c) Df = (−∞; ∞) g) Df = ℜℜℜℜ −{0; −2}

d) Df = (−∞; ∞)

11.2)

a) Df = (−∞; ∞); If = (−∞; ∞) ; Ceros: X1 = −3; X2 = 0; X3 = 2

C + = (−∞; −3) ∪ (0; 2); C −−−− = (−3; 0) ∪ (2; ∞)

Máx. Rel. (1,1; 0,8); Mín. Rel. (−1,8; −1,7)

IC = (−1,8; 1,1); ID = (−∞; −1,8)∪ (1,1; ∞)

f(0) = 0; Máx. Abs. y Mín. Abs.: No tiene; Polos: No tiene.

b) Df = ℜ − {−3}; If = ℜ − {0}; Ceros: No tiene.

C + = (−3; ∞); C −−−− = (−∞; −3)

Máx. Rel. y Mín. Rel. : No tiene.

IC = ∅; ID = (−∞; −3) ∪(−3; ∞)

f(0) = 1/3; Máx. Abs. y Mín. Abs.: No tiene; Polos: X = −3

Asíntota Horizontal: y = 0.

c) Df = (−3; ∞) ; If = (−3,3; ∞); Ceros: X1 = −2,7; X2 = 0,6;

C + = (−3; −2,7)∪(0,6; ∞); C −−−− = (−2,7; 0,6)

Máx. Rel. : No tiene ; Mín. Rel. : (−1,6; −3,3);

IC = (−1,6; ∞); ID = (−3; −1,6)

f(0) = −1,3; Máx. Abs.: No tiene; Mín. Abs.: −3,3; Polos: X = −3

d) Df = (−∞; ∞); If = (−3,6; ∞) ; Ceros: X1 = −5; X2 = −1; X3 = 2

C + = (−∞; −5) ∪ (2; ∞); C −−−− = (−5; −1) ∪ (−1; 2)

Máx. Rel. (−1; 0); Mín. Rel.: (−3,9; −3,6) y (1,1; −1,6)

IC = (−3,9; −1)∪(1,1; ∞) ; ID = (−∞;−3,9)∪ (−1; 1,1)

f(0) = −0,7; Máx. Abs.: No tiene; Mín. Abs.:−3,6; Polos: No tiene.

e) Df = (−∞; ∞); If = (−1,6; 3,6) ; Ceros: X1 = 2,1; X2 = 3,3;

C + = (−∞; 2,1) ∪ (3,3; ∞); C −−−− = (2,1; 3,3)

Máx. Rel. (1,6; 3,6); Mín. Rel.: (2,5; −1,6)

IC = (−1; 1,6)∪(2,5; 5); ID = (1,6; 2,5); Estable: (−∞;−1)∪(5; ∞)

f(0) = 1,2; Máx. Abs.: 3,6; Mín. Abs.:−1,6; Polos: No tiene.

Asíntota Horizontal: y = 1.

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