10_poligonos_triangulos

Polígonos. Triángulos

295

10

CLAVES PARA EMPEZAR

Cada hora equivale a una abertura de 360o : 12 30o

A las 12 h: ángulo 0o

A las 11 h y a la 1 h: ángulo 30o A las 10 h y a las 2 h: ángulo 60o

A las 9 h y a las 3 h: ángulo 90o A las 8 h y a las 4 h: ángulo 120o

A las 7 h y a las 5 h: ángulo 150o A las 6 h: ángulo 180o

Son secantes.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

VIDA COTIDIANA

Forman un triángulo rectángulo.

Un ángulo recto.

RESUELVE EL RETO

Tendrá 4 lados.


296

10

Hay 10 triángulos pequeños y luego podemos considerar diferentes uniones de ellos hasta hacer un total de 23 triángulos.

Hay varias opciones, pero al final es como dar una vuelta entera, es decir, 360o.

Se han dibujado las alturas de un triángulo rectángulo.

ACTIVIDADES

Vértices: A, B, C, D, E Lados: a, b, c, d, e

Ángulos interiores: Diagonales:

a) Falso. El número de lados y vértices es el mismo.

b) Falso. Un polígono es irregular si hay al menos un lado o un ángulo diferente al resto.

A

B

C

D

E a

b c

d

e


297

10

Un polígono de 5 lados tiene 5 diagonales.

Un polígono de 6 lados tiene 9 diagonales.

Un polígono de 7 lados tiene 14 diagonales. …

El número de diagonales de un polígono de n lados es igual a .

Un polígono de 16 lados tiene 104 diagonales

De izquierda a derecha: hexágono, pentágono, octógono y pentágono.

Un triángulo regular (equilátero).

Un heptágono regular tiene 7 ejes de simetría y un eneágono regular tiene 9 ejes, cada eje pasa por un vértice y la mitad del lado opuesto.


298

10

a) Triángulo equilátero. b) Triángulo rectángulo. c) Triángulo obtusángulo.

Tiene un ángulo recto y todos sus ángulos y lados son distintos.

a) Sí existe. Un triángulo rectángulo en el que los catetos miden lo mismo.

b) No existe. Si un ángulo mide 90 o y otro más de 90 o, entre los dos ya suman más de 180o y eso no puede ser.

c) Sí existe.

d) No existe. Si es isósceles, dos lados son iguales; pero si es escaleno, sus tres lados son distintos, de modo que no es posible que se den las dos cosas a la vez.

37o 53o 90o 180o

4 3 5 3 4 5 5 3 4 4 5 3 3 5 4 5 4 3

a) 3 3 4 4 3 3 3 4 3 4 3 3 Sí existe.

b) 9 3 5 → No existe.

c) 6 2 4 → No existe.


299

10

90o 4x x 180o → 5x 90o x 18o → Los ángulos valen 18o y 72o.

a) 5,2 7,3 4 7,3 5,2 4 4 5,2 7,3 c) 2 5,2 3,7 5,2 2 3,7 3,7 2 5,2

Sí, forman un triángulo. Sí forman un triángulo.

b) 5 1,8 3 →. d) 5 7 6 6 5 7 7 5 6 No forman un triángulo . Sí forman un triángulo.

a) c)

b) d)

4 cm

7,3 cm

5,2 cm 2 cm

5,2 cm

3,7 cm

6 cm

7 cm

5 cm

5 cm

8 cm

5 cm

6 cm 8 cm

10 cm

4,6 cm

5,8 cm

3,4 cm 5 cm

7,2 cm

9 cm


300

10

a) 7 4 c 4 7 → 3 c 11 → c debe ser mayor que 3 y menor que 11.

b) 5 2 c 2 5 → 3 c 7 → c debe ser mayor que 3 y menor que 7.

a) c)

b) d)

a) a 4a 5a → Estas medidas no forman un triángulo para cualquier valor de a.

b) a 2a 2a a a 3a 3a → Estas medidas sí forman un triángulo para cualquier

valor de a.

4 cm

4 c

m

5,6 cm 5,6 cm

2,8 cm

2,8

cm

6 cm 6 cm


301

10

Se obtienen 8 2 6 triángulos → La suma de los ángulos del octógono es 180o · 6 10 080o

Si desde un vértice salen 8 diagonales, se obtienen entonce 8 1 9 triángulos, con lo que la suma de los

ángulos del polígono es 9 · 180o 1 620o.

baricentro

circuncentro


302

10

El circuncentro en cualquier triángulo rectángulo está situado en el punto medio del lado opuesto al ángulo recto.

circuncentro

baricentro

circuncentro

circuncentro


303

10

a) b)

En un triángulo equilátero coinciden sus alturas, bisectrices, mediatrices y medianas.

ortocentro

incentro

ortocentro

incentro

ortocentro

incentro


304

10

a) Es un triángulo obtusángulo.

b) Es un triángulo acutángulo.

c) Es un triángulo rectángulo.

Triángulo grande: a 13 b 12 c 5 → a2 169 b2 c2 144 25 169 → Se cumple.

Triángulo pequeño: a 5 b 4 c 3 → a2 25 b2 c2 16 9 25 → Se cumple.

a 25 b 8 c 7 → a2 625 b2 c2 64 49 113

No es rectángulo porque no cumple el teorema de Pitágoras.

a 8 b c 5 → a2 64 b2 c2 25 25 50

No existe ningún triángulo rectángulo con esas medidas porque no cumple el teorema de Pitágoras.

TRIÁNGULO 1

a 5 b 2,6 → a2 b2 c2 → 25 6,76 c2 → c2 18,24→ c → c 4,27

TRIÁNGULO 2

a 10 b 8 → a2 b2 c2 → 100 64 c2 → c2 36 → c → c 6

TRIÁNGULO 3

a 9,5 b 7,4 → a2 b2 c2 → 90,25 54,76 c2 → c2 35,49 → c → c 5,96


305

10

a) a2 b2 c2 → 1 156 900 c2 → c 16 b) a2 b2 c2 → a2 784 441 → a 35

a) a2 b2 c2 → a2 36 81 → a → a 10,82 → El lado mide 10,82 cm.

b) a2 b2 c2 → a2 12,96 24,01 → a → a 6,08 → El lado mide 6,08 cm.

c) a2 b2 c2 → a2 9 38,44 → a → a 6,89 → El lado mide 6,89 cm.

d) a2 b2 c2 → a2 28,09 49 → a → a 8,78 → El lado mide 8,78 cm.

a) a2 b2 c2 → a2 16 16 → a → a 5,66

b) a2 b2 c2 → a2 26,01 26,01 → a → a 7,21

c) a2 b2 c2 → a2 56,25 56,25 → a → a 10,61

d) a2 b2 c2 → a2 158,76 158,76 → a → a 17,82

La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos. Si tomamos uno de ellos, la diagonal es la

hipotenusa y los dos catetos son los dos lados del cuadrado: b c 2,82

Aplicamos el teorema de Pitágoras: a2 b2 c2 → a2 7,9524 7,9524 → a → a 3,99

La diagonal del cuadrado mide 3,99 cm.

La diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos iguales. Si tomamos uno de ellos, la diagonal es la

hipotenusa y cada cateto equivale a cada lado del rectángulo: b 7,4, c 5.

Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 b2 c2 → a2 54,76 25 → a → a 8,93

La diagonal del cuadrado mide 8,93 cm.


306

10

La altura en un triángulo isósceles divide al triángulo en otros dos triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa es uno de los lados iguales, un cateto es la altura y el otro es la mitad del lado desigual.

a 6 b 7,7 : 2 3,85

Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 b2 c2 → 36 14,8225 c2 → c2 21,1775 → c → c 4,6

La altura del triángulo mide 4,6 cm.

ACTIVIDADES FINALES

a) c)

b) d)

El de la izquierda es un eneágono; el de la derecha, endecágono.

ángulos interiores

lado

diagonales

ángulos interiores

lado

diagonales

ángulos interiores

diagonal

lados ángulos interiores

diagonales


307

10

a) b) c)

No existe ningún polígono con una única diagonal.

El triángulo no tiene diagonales.

No, no puede, porque si fuera posible existiría al menos un par de vértices no unidos por un lado.

Los polígonos tienen el mismo número de vértices y de lados.

No, porque por cada vértice, hay un ángulo interior, con lo que un polígono tiene el mismo número de lados, que de vértices y que de ángulos interiores.

El mínimo de lados de un polígono es 3, el triángulo.

El de ángulos también 3.

El triángulo no tiene diagonales.

F E

G D

H C

-A B A

F

D E

C

B

G

E

D

C

B A


308

10

a) b) c) d) e)

a) 3 ejes (pasan por cada vértice y la mitad del lado opuesto).

b) 1 eje (de la mitad del lado desigual al vértice opuesto).

c) 1 eje (bisectriz del ángulo recto).

d) 4 ejes (las dos diagonales y las dos rectas que pasan por el medio de un lado y el medio del lado opuesto).

e) 2 ejes (las dos rectas que pasan por el medio de un lado y el medio del lado opuesto).

f) 2 ejes (las 2 diagonales).

g) No tiene.


309

10

a) c) e)

b) d) f)

Respuesta abierta.

Por ejemplo:

Respuesta abierta.

a) Triángulo isósceles b) Rectángulo c) Cuadrado

a) Triángulo equilátero. b) Triángulo rectángulo isósceles. c) Triángulo escaleno.


310

10

En los polígonos cóncavos, al menos una de las diagonales es exterior.

a) Hexágono convexo irregular.

b) Cuadrilátero convexo irregular.

c) Dodecágono cóncavo irregular.

d) Cuadrilátero convexo irregular.

e) Pentágono convexo irregular.

f) Triángulo convexo irregular.

Los menores de 180o están en azul claro y los mayores en azul oscuro.

No. Un polígono regular tiene todos sus ángulos iguales, con lo que si es cóncavo, todos los ángulos deberían medir más de 180o, algo no posible.

a

b

c

d

e

f

g A

B

C

D E

F

G


311

10

Respuesta abierta.

a) Equilátero b) Isósceles rectángulo c) Escaleno d) Isósceles

a) c) e) g)

b) d) f)


312

10

a) d)

b) e)

c) f)

a) 7 4 5 5 4 7 4 7 5 7 5 4 5 7 4 4 7 5

Se puede dibujar.

30o

50o

30o

30o

80o

4 cm 5 cm

7 cm

45o


313

10

b) 9 6 4 6 9 4 4 9 6 9 6 4 6 9 4 4 9 6

Se puede dibujar.

c) 9 5 3 → No se puede dibujar.

d) 10 6 2 → No se puede dibujar.

e) 7 4 4 4 4 7 7 4 4 4 7 4

Se puede dibujar.

f) 5 3 4 3 5 4 4 5 3 5 4 3 4 5 3 3 5 4

Se puede dibujar.

a) Miden todos 60o.

b) Sí, todos los ángulos de cualquier triángulo equilátero miden 60o.

4 cm

9 cm

6 cm

4 cm

7 cm

4 cm

3 cm

5 cm

4 cm

5 cm


314

10

a)

b) En un triángulo isósceles dos de los ángulos miden lo mismo.

a) c)

b) d)

70o

70o

40o

50o

80o

50o

20o 6 cm

45o 30o

120o

5 cm

30o 60o

7,5 cm 50o 50o

8 cm


315

10

a

a) b)

a) b) c)

60o

5 cm

70o

70o

4 cm

10 cm

6 cm

60o

6 cm

10 cm

90o

6 cm

10 cm

120o


316

10

Al ser rectángulo, uno de sus ángulos mide 90o y el otro 180 (40 90) 50o.

a) 180 (90 20) 70o

b) 180 (90 35) 55o

c) 90 : 2 45o

a) Es un triángulo isósceles, con lo que esos dos ángulos son iguales: (180 42) : 2 69o mide cada ángulo.

b) Es un triángulo isósceles, con lo que esos dos ángulos son iguales: (180 126) : 2 27o mide cada ángulo.

80o

85o

15o

60o

20o


317

10

a) 180 105 75o 180 (75 62) 43o

El ángulo coloreado mide 43o.

b) 180 110 70o 180 (70 70) 40o

El ángulo coloreado mide 40o.

a) El otro ángulo contiguo al lado dado es 180 (60 40) 80o

b) El otro ángulo contiguo al lado dado es 180 ( 100 30) 50o

Como es rectángulo, uno de los ángulos (el opuesto a la hipotenusa que nos dan) mide 90o y como es isósceles,

los otros dos ángulos miden igual: (180 90) : 2 45o

60o

80o 40o

4 cm

50o

30o

100o

7 cm

90o

45o 45o

4 cm


318

10

a) Los otros dos ángulos miden (180 124) : 2 28o.

b) Su ángulo diferente miden 180 (20 20) 140o.

a) Altura.

b) Mediana.

c) Bisectriz.

d) Mediatriz.

a) Es un triángulo rectángulo. Cumple el teorema de Pitágoras: 102 62 82 → 100 36 64.

28o 28o 124o

6 cm

20o

20o

140o 7 cm

7 cm

6 cm

10 cm

8 cm

Hipotenusa


319

10

b) Su circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa.

circuncentro mediatriz

circunferencia

circunscrita

baricentro


320

10

La distancia del baricentro a cada de uno de los vértices mide 4 cm

a) Todos los puntos notables (baricentro, ortocentro, incentro y circuncentro) coinciden.

b) Todas las rectas coinciden: mediatrices, bisectrices, medianas y alturas.

En los triángulos rectángulos el ortocentro coincide con el vértice opuesto a la hipotenusa.

a) a2 b2 c2 → 64 36 25 → No forman un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras.

b) a2 b2 c2 → 64,995844 65 (redondeando a las tres cifras decimales dadas en el enunciado) 49 16 → Forman un triángulo rectángulo porque cumplen el teorema de Pitágoras.

baricentro


321

10

c) a2 b2 c2 → 89,000356 89 (redondeando a las tres cifras decimales dadas en el enunciado) 64 25 → Forman un triángulo rectángulo porque cumplen el teorema de Pitágoras.

d) a2 b2 c2 → 60,9961 61 (redondeando a las dos cifras decimales dadas en el enunciado) 36 25 →

No forman un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras.

a) a 9,3 b 7,1 c 5 → a2 b2 c2 → 86,49 50,41 25 → No corresponden a un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras.

b) a 3,5 b 3 c 1,8 → a2 b2 c2 → 12,25 9 3,24 → Corresponden a un triángulo rectángulo porque cumplen el teorema de Pitágoras.

c) a 5 b 4,25 c 2,45 → a2 b2 c2 → 25 18,0625 6,0025 → No corresponden a un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras.

a) 142 102 96 → 9,8 c) 7,42 5,22 27,72 → 5,26

b) 162 132 87 → 9,33 d) 6,52 4,82 19,21 → 4,38

a) 172 289 → 289 : 2 144,5 → 12,02 cm

b) 242 576 → 576 : 2 288 → 16,97 cm

4

10

12

30

9


322

10

a) 122 144 → 144 : 2 72 → 8,49 cm

b) 9,32 86,49 → 86,49 : 2 43,245 → 6,58 cm

c) 152 225 → 225 : 2 112,5 → 10,61 cm

Considerando el triángulo formado al unir las localizaciones (vértices) de cada uno, el lugar que equidista de los vértices es el circuncentro, punto de corte de las mediatrices.

La diagonal divide el cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales que tienen como catetos dos lados del cuadrado y como hipotenusa la propia diagonal. Esas tres medidas cumplen el teorema de Pitágoras.

a) a2 122 122 288 → a → a 16,97 → La diagonal mide 16,97 cm.

b) a2 6,72 6,72 89,78 → a → a 9,47 → La diagonal mide 9,48 cm.

c) a2 8,022 8,022 128,6408 → a → a 11,34 → La diagonal mide 11,34 cm.


323

10

La diagonal divide a un rectángulo en dos triángulos rectángulos que tienen como catetos dos lados distintos del rectángulo y como hipotenusa la propia diagonal. Esas tres medidas cumplen el teorema de Pitágoras.

a) a2 42 72 65→ a → a 8,06 → La diagonal mide 8,06 cm.

b) a2 3,82 4,452 34,2425 → a → a 5,85 → La diagonal mide 5,85 cm.

La base es uno de los catetos del triángulo rectángulo formado por la diagonal y dos lados desiguales.

b2 302 102 800 → b → b 28,28 → La base del rectángulo mide 28,28 cm.

La diagonal, base y altura forman un triángulo rectángulo, con lo que cumplen el teorema de Pitágoras.

a2 182 62 360 → a → a 19,97 → La diagonal del rectángulo mide 19,97 cm.

Los lados de un cuadrado y la diagonal forman un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son los lados del cuadrado y la hipotenusa es la diagonal. Cumplen el teorema de Pitágoras.

a) (13,435)2 180,499225 → 180,499225 : 2 90,2496125 → 9,5 → El lado mide 9,5 cm.

b) (11,22)2 125,8884 → 125,8884 : 2 62,9442 → 7,93 → El lado del cuadrado mide 7,93 cm.

c) (8,7)2 75,69 → 75,69 : 2 37,845 → 6,15 → El lado del cuadrado mide 6,15 cm.

La diagonal, base y altura forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la diagonal, con lo que cumplen el teorema de Pitágoras.

b2 (8,2)2 (4,1)2 50,43 → b → b 7,1

La altura del rectángulo mide 7,1 cm.


324

10

a) a 16 b 16 : 2 8 → c2 162 82 192 → c 13,86


b) a 9,4 b 9,4 : 2 4,7 → c2 9,42 4,72 66,27 → c 8,14


c) a 6,82 b 6,82 : 2 3,41 → c2 6,822 3,412 34,8843 → c 5,91


a2 52 1,52 22,75 → a 4,77 → La escalera llega a una altura de 4,77 m.

Si se bordea el jardín, se recorren: 5 8 13 m

d2 82 52 89 → d 9,43 → El niño recorre 9,43 m.

Se ahorra 13 9,43 3,57 m.

d12 3,52 32 3,25 → d1 1,8 → Para llegar a la farola de altura 3 m el

pie de la escalera se debe colocar a 1,8 m de distancia de la farola.

d22 3,52 2,682 5,0676 → d2 2,25 → Para llegar a la farola de

altura 2,68 m el pie de la escalera se debe colocar a 2,25 m de distancia de la farola.

Cuerda de la izquierda: b2 42 1,52 18,25 → b 4,27 m

Cuerda de la derecha: c2 5,82 42 49,64 → c 7,05 m


325

10

a) La línea recta en diagonal más grande posible es la diagonal del rectángulo que forman los bordes de la hoja.

d2 29,72 212 1 323,09 → d 36,37 cm

La línea es más grande que su regla, con lo que no podrá trazarla.

b) El tamaño mínimo es la longitud de la diagonal: 36,37 cm

DEBES SABER HACER

a) Regular. c) Irregular ya que tiene lados diferentes.

b) Regular. d) Irregular, ya que tiene ángulos diferentes.

Número de diagonales 8 · (8 3) : 2 20

a) 8 6 4,3 6 8 4,3 4,3 8 6 8 6 4,3 6 8 4,3 4,3 8 6 Sí es posible.

b) Sí es posible.

c) No es posible porque los ángulos suman más de 180o.

d) Sí es posible.


326

10

Sí, la hipotenusa sería el lado desigual.

a2 282 212 1 225 → a 35 cm

Debe cumplir el teorema de Pitágoras.

Imaginemos que falta la hipotenusa: a2 152 122 369 → a 19,21 cm.

El lado que falta mide 19,21 cm.

Si el lado que falta es un cateto: b2 152 122 81 → b 9 cm.

El lado que falta mide 9 cm.

→ La hipotenusa mide 35 cm.

Hay dos posibilidades:

Si 15 cm y 12 cm son las medidas de los catetos, la hipotenusa mide: cm.

Si 15 cm es la medida de la hipotenusa, un cateto mide 12 cm y el otro: cm.

d2 1,352 1,352 3,645 → d 1,91 m

El listón mide 1,91 metros.

6 cm 4,3 cm

8 cm 7 cm

65o 64o 72o

5,5 cm


327

10

COMPETENCIA MATEMÁTICA. En la vida cotidiana

a) Sea x el segmento vertical rojo a la izquierda. Sea y el segmento vertical rojo.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

x2 0,132 0,52 0,2669 → x 0,52 km

y2 12 0,82 1,64 → y 1,28 km

La longitud de la pasarela es 0,52 1,7 1,28 3,5 km

b) Sea B el ángulo del triángulo que se forma en la parte superior izquierda del cuadrilátero. Sea A del triángulo que se forma en la parte superior derecha del cuadrilátero.

180 (90 23) 67o

180 (90 32,3) 57,7o


328

10

FORMAS DE PENSAR. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

En el caso del polígono de 3 lados no es posible, porque si tiene todos sus ángulos iguales, sus lados han de ser también iguales.

En el resto de polígonos sí es posible; basta con tomar una recta paralela a uno de los lados de un polígono regular y sustituirla por el lado correspondiente, alargando o acortando los adyacentes.

Construimos un segmento de 6 cm. Trazamos otro segmento de 6 cm perpendicular al anterior y que se corte en sus puntos medios.

Los extremos de los segmentos son los vértices del cuadrado.

Teniendo en cuanta la proporcionalidad que se cumple:

→ x → x 2 cm


329

10

PRUEBAS PISA

Al comprobar si está en escuadra, verá que los ángulos que forma la pared son de 90o y, por tanto, es cuadrada.

Para comprobarlo con las cuerdas que tiene, el jefe de obra debe colocar la de 4 m ocupando uno de los lados, la de 3 m, en un lado contiguo y con la de 5 m medir la distancia que hay entre los extremos de las otras cuerdas.

Si no sobra ni falta longitud, se cumple el teorema de Pitágoras (52 32 42), con lo que el triángulo es rectángulo y el ángulo entre las paredes es de 90o (son perpendiculares).

Si sobra o falta longitud en la cuerda de 5 m, significa que la habitación no está en escuadra.

Lo debe comprobar en cada una de las cuatro paredes.


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La figura D.

10_poligonos_triangulos

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