1056 Algebra Adm y Auditoria-1

LGEBRA PARA ADMINISTRACIND E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas

NDICE

Introduccin............................................................................................................................... UNIDAD I: Razones, Proporciones y Porcentajes.......................................................

Concepto de Razn..................................................................................................... Razn de Cambio...................................................................................................... Concepto de Proporcin............................................................................................. - Directa - Inversa - Compuesta Porcentaje o Tanto Por Ciento.................................................................................... Aplicaciones de Porcentaje......................................................................................... Auto evaluacin..........................................................................................................

UNIDAD II: Funciones...........................................................................................................

Introduccin.............................................................................................................. Dominio de una Funcin............................................................................................ Recorrido de una Funcin.......................................................................................... Funcin Lineal.......................................................................................................... Aplicaciones Prcticas................................................................................................ Composicin de Funciones........................................................................................ Funciones de Cuadrticas.......................................................................................... Funcin Exponencial.................................................................................................. Funcin Logartmica.................................................................................................. Auto evaluacin..........................................................................................................

UNIDAD III: Matrices, Determinantes y Ecuaciones Lineales......................................

Matrices...................................................................................................................... 77 Funcin Determinante................................................................................................ 87 - Regla de Cramer Ecuaciones Lineales................................................................................................... 94 Sistema de Ecuaciones Lineales................................................................................. 96 Auto evaluacin.......................................................................................................... 101

UNIDAD IV: Inecuaciones de una y dos Variables........................................................... 103Introduccin................................................................................................................ Inecuaciones Lineales................................................................................................. Sistema de Inecuaciones de Primer Grado................................................................. Sistema de Inecuaciones de dos Variables................................................................. Aplicacin: Programacin Lineal............................................................................... Solucin Grfic Auto evaluacin.......................................................................................................... 103 104 107 108 109 120

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VIRGINIO GOMEZPg 2 3 3 4 5 17 18 29 30 30 34 34 35 39 51 53 66 72 75 77


INTRODUCCION

El presente manual de LGEBRA esta orientado a situaciones practicas, que un Ingeniero en Administracin tendr que aplicar en su carrera estudiantil y en su futuro profesional.

El manual esta formado por cuatro unidades las cuales contienen ejercicios resueltos, listados de ejercicios propuestos con sus respectivas respuestas, y al final de cada unidad existe una autoevaluacin. Durante el curso se quiere lograr, ms que dominar clculos repetitivos, un dominio de los conceptos vistos, tener una capacidad de anlisis para una buena toma de decisin, en los diferentes problemas expuestos. Las matemticas tienen un objetivo en la formacin de profesionales, como escribi Corand Hilton" :

" Para m, la capacidad de formular rpidamente, de reducir cualquier problema a su forma ms simple y clara ha sido excesivamente til Las

MATEMTICAS. Por eso encuentro que ellas son el mejor ejercicio posible para desarrollar los msculos mentales necesarios en este proceso."

LOS AUTORES

"

Calculo y Geometra Analtica; Sherman K. Stein, Anthony Barcellos

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1. 1

C O N C E P TO D E R AZ NComparacin de dos cantidades, de la misma especie, por cuociente. En general, una razn es posible escribirla de la forma:

a bdonde:

a:b

+: se denomina antecedente. , : se denomina consecuente .

Ejemplo 1.1 :

$metros , 5metros

9 horas , 7 horas

85

Ejemplo 1.2 : El valor de las acciones de Falabella y Colbun en un determinado da es de: Falabella Colbun #& " '!! #% Interpretacin: : '!! $/accin : #& $/accin

1 24

Por cada $1 que gana Colbun por accin

Falabella gana $24

Ejemplo 1.3: El comparar el sueldo de dos pases tambin lo puede representar una razn. La razn de sueldo de un trabajador de un pas latinoamericano con respecto a uno europeo es de 1 : 10.(Comparando en pesos Chilenos)

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UNIDAD I :

RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJE


Precios al Cierre del Da del 07 de Julio 2002Empresa Precio de Cada Accin ($)

Ctc B ENTEL CAP CHILECTRA CUPRUMFuente: Bolsa de Comercio de Santiago

1.450 3.650 470 1.900 9.000

La razn de valores del precio de la accin de: CHILECTRA con respecto a CUPRUM : "*!! "* = *!!! *!

Por lo tanto, se dice que el precio de la accin de Chilectra con respecto a Cuprum es: 19 : 90. Por cada $19 que obtiene la empresa Chilectra, por accin, $90, obtiene Cuprum. De esta manera podemos obtener: CTC - B #* = ; ENTEL ($ CUPRUM ")! = ENTEL ($

1.2

RAZN DE CAMBIO

Una razn de cambio es una comparacin de dos cantidades de distintas unidades de medida. Velocidad: 100 Kilometros Hora

Ejemplo 1.5

"!! Kilometros para visualizar su interpretacin. " Hora Interpretacin: Por cada 100 kilometros que se avanza, a pasado una hora de viaje. Tambien se puede escribir

Ejemplo 1.6

Precio de Compra:

3.000

$ Unidad

Interpretacin: Por cada $ 3.000 que se gasta, se adquiere una unidad.

Ejemplo 1.7 Dada la funcin de demanda de un producto: q = %p +100, donde q: son unidades demandas y p: Precio de venta del producto.

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Ejemplo 1.4 Sean los siguientes datos correspondiente al precio de cada accion, de las siguientes empresas:


Funcin de Demanda 15 10

40

60

Unidades

Del grafico se puede observar que al existir una variacin de $5 en el precio hay una variacin de 20 unidades demandas. Variacin Precio Variacin Unidades Al simplificar nos queda: 5 20

" $ interpretando: Por cada un peso en la variacin del precio, % Unid la demanda varia cuatro unidades.

1.3

CONCEPTO DE PROPORCINEs la igualdad de dos razones.

a c = b d

a:b = c:d

con + y - antecedentes, , y . consecuentes. En un proporcin , y - se denominan medios; + y . extremos.

Ejemplo 1.8 : US $" (dolar) equivale a $ 6&! por lo tanto US $$ (dlares) valen $"95! Se puede escribir como: 1 65! = 3 "95! 1 (US $) 650 ($) = 3 (US $) 1.950 ($)

(+)

(+)

Al aumentar de un dlar a $ dlares, tambin aumenta de '&! a "*&! dlares.

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Precio $


Se puede escribir como:

( (! = & &!

()

7 (unid ) 70 ($) = 5 (unid ) 50 ($)

()

Al disminuir la unidades vendidas, tambien disminuye el ingreso que se obtiene.

Teorema: En toda proporcin el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es decir, si + tenemos la siguiente proporcin , entonces +. , - . , .

La utilidad de este tipo de expresiones es llegar a conocer un valor desconocido de la proporcin, plantendose una ecuacin. Trmino desconocido de una proporcin a) Se desconoce un extremo + , B + B ,,B +

Ejemplo 1.10: Del ejemplo 1.4, si la razn de precio de Ctc-B con respecto a la empresa Almendral es 29:100, obtener el precio que obtuvo ese da, cada accin Almendral. Ctc-B Almendral #* "%&! "!! B B "!! ".%&! &!!! #*

R: El valor de cada accin para Almendral es de $ &!!!

b) Se desconoce un medio + +. -B B . +. B -

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Ejemplo 1.9 : El ingreso que se obtiene al vender ( unidades a un precio de $ "! la unidad es de $ (! Pero, al vender & unidades se obtiene un ingreso de $ &!.


22 B 7

Tipos de Proporcionalidad a) Cuarta Proporcional Es cualquiera de los cuatro trminos de una proporcin. + +B ,, B ,B + Ejemplo 1.12: Hallar la cuarta proporcional de 5, 3 y 8. 5 8 5B 24 3 B 24 B 5 b) Tercera Proporcional Es el primero o cuarto trmino de una proporcin con medios iguales. + , + B ,2 , B ,2 B + Ejemplo 1.13: Hallar la tercera proporcional de 3 y 7. 3 7 7 B 3 B 49 B 49 3

c) Media Proporcional Es cada uno de los trminos medios cuando son iguales. + B +. B2 B . + . B

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Ejemplo 1.11:

2 7 B 11

22 7B


5 B B 9

45 B 3 5 B

45 B2

Las proporciones se aplican en problemas prcticos. Para ello es necesario conocer cuando una cantidad varia en proporcin directa o en proporcin inversa.

1.3.1

PROPORCIN DIRECTA

Dos cantidades son directamente proporcionales si al aumentar una de ellas, la otra aumenta el mismo nmero de veces o dicho de otra forma, dos cantidades son directamente proporcionales cuando su cuociente es constante. Ejemplo 1.15 : La razn del ingreso con respecto a las unidades vendidas, de un determinado producto es de # ". Calcular cuantas unidades son vendidas si el ingreso es de $ '!. 2 ($) 1 (unid ) = 60 ($) x (unid )

(+)

(+)

Es una relacin directa, al aumentar una razn aumenta la segunda. # B '! " B $! Por lo tanto, se venden $! unidades cuando el ingreso es de $ '! Ejemplos 1.16: 1) 2 metros de tela valen $3600 . Cunto valen 5 metros ?. 2 metros $3600 5 metros B 2 3600 5 B 2B 18000 B 9000

R 5 metros valen $9000

2) Un automvil recorre en 5 horas una distancia de 174 Km. Cunto recorre en 9 horas ?. 5 horas 174 Km. 9 horas B

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Ejemplo 1.14: hallar la media proporcional entre 5 y 9.


B 313,2

R En 9 horas recorre 313,2 Km.

3) La razn entre adultos y estudiantes en un tren es 2 a 11. Si hay 12 adultos en el tren Cuntos estudiantes hay en ste?. 2 12 11 B # B 11 12 B 11 12 2 B 66

R: hay 66 estudiantes en el tren. Grfico de una Proporcin Directa:N de Lpices Precio

1 2 3 4 5 6

250 500 750 1000 1.250 1.500

En el eje X se ubicara el N de lpices y en el eje Y se ubicara el precio.Y1.250 1.000 750 500 2501 2 3 4 = = = = ........ 250 500 750 100

1

2 3

4 5

X

El grfico de una proporcin directa corresponde a una LNEA RECTA que parte del origen, es decir, de (0,0). Ejemplo 1.17: Ejemplos de Proporcin Directa en variados textos.

PRINCIPIO DIRECTIVO DE LA RESISTENCIA A LOS CAMBIOS: Las personas en una empresa se resisten a los cambios, en proporcin directa a la magnitud que ellos tengan.

La materia se daa en proporcin directa a su valor Murphy

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5 174 9 B

5B 1.566


1) Teresa trabaj 3 horas y gan US $13,50. A esa razn, Cunto tiempo le tomar ganar US $45?. 2) Si una mecangrafa puede escribir 275 palabras en 5 minutos, Cuntas puede escribir en 12 minutos? 3) Un banco al prestar dinero obtiene una utilidad de $5 por cada $4 que presta. Se desea saber cuanto ganar el banco si le piden prestado $500.000.

4) Una persona apost en una competencia que daba como premio $10 por cada peso de apuesta. Esta persona gan, pero no sabe cual es el monto de su premio. Si la su apuesta fue de $10.000, cuanto debe recibir?.

5) Un vehculo corre a razn de 70 km/hr. A esa velocidad cuanto tiempo demora en recorrer 350 kilometros.

6) Se sabe que 1 metro son 100 centmetros (1:100) y que 1 kilmetro son 1.000 metros(1:1000). Cuantos kilmetros son 450 centmetros? ( Los ingresos ($) por hora, de la venta de un nuevo producto es a razn de 300:1. Indicar cul ser el total de venta cuando han pasado cinco horas.

8) Un centro de trabajo realiza la fabricacin de un determinado producto a razn de 400 unid . Si hora deben cumplir una meta de fabricacin de 5.500 unidades, y tienen un tiempo limitado de 9.5 horas para cumplir con dicha meta. a) Alcanzaran a cumplir la meta de produccin. b) Cuantas unidades fabricaron de ms de menos. 9) Dada la siguiente tabla de ventas por ao.Ao 1997 1998 1999 2000 2001 Ventas ($) 4.250 6.250 8.250 10.250 12.250

Indicar cul es la razn de crecimiento de las ventas por ao.

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Ejercicios Propuestos


Dos cantidades son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas, la otra disminuye el mismo nmero de veces, o dicho de otra forma, dos cantidades son inversamente proporcionales si el producto de ellas es constante.

Ejemplos 1.18 :

1) 8 obreros hacen un trabajo en 15 das. En cunto tiempo hacen el trabajo 24 obreros ?.De 8 a 24 obreros, el trabajo se realizara en menos das, es decir, una proporcin Inversa.

8 Obreros 24 Obreros

15 Das x Das

(+)

8 (Obreros) 15 (Das) = x (Das) 24 (Obreros) 8 (Obreros) x (Das) = 24 (Obreros) 15 (Das)

()Por ser una proporcin inversa, la segunda razn se Invierte.

) B #% "& &B R #% obreros se demoran & das.

"#! #%B

2) $ llaves llenan un estanque en "& horas. En cunto tiempo lo llenarn & llaves?. $ llaves "& horas & llaves B $ B & "& %& &B *B

R & llaves lo llenan en * horas.

3) Un obrero hace un trabajo en 15 das con una jornada de trabajo de ocho horas. Cuntas horas diarias deber trabajar si debe hacer el mismo trabajo en "! das? R: "# Horas.

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1.3.2

PROPORCIN INVERSA


N de Obreros

N de Das

3 4 6 8 12 18

24 18 12 9 6 4

En el eje \ se ubicara el N de obreros y en el eje ] el nmero de das.

12 6 3 6 12 18

El grfico de una proporcin inversa corresponde a una HIPRBOLA, es decir, a una curva que se aproxima a los ejes \ e ] , sin llegar nunca a intersectarlos.

Ejemplo 1.19: Ejemplos de Proporcin Inversa en variados textos.Codelco y Southern Per se unen para explorar nuevos yacimientos de cobre Acuerdo sera firmado en el primer semestre del ao 2002 e implicara una inversin inicial del US$2 millones. Segn el presidente de SPC, en el Per Southern sera propietaria del 51% de las acciones de la nueva empresa, mientras que el 49% estara en poder de Codelco; en Chile la proporcin sera a la inversa.Fuente: Informativo Codelco

NUEVAMENTE, SIGNO CONCRETO DE DESCENTRALIZACIN

Atrs quedaron los tiempos en que cerca de un 60% de los recursos adjudicados por los primeros concursos de Investigacin y Desarrollo quedaban en Santiago: hoy se da justo la proporcin inversa, lo que es una potente seal de descentralizacin, que coincide con los lineamientos del gobierno destinados a impulsar el auge de las diferentes regiones del pas.Fondef: Fondo Nacional de Fomento al Desarrollo Cientfico y Tecnolgico.

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Grfico de una Proporcin Inversa Sea la siguiente tabla:


El tiempo dedicado a toma de decisiones es inversamente proporcional al nivel de su importancia.

Ejemplo 1.20: La demanda de un producto es propocionalmente inversa al precio de este. Si se considera la cantidad demandada de bencina, a un precio de $430 por litro en una ciudad, es de 50.000 litros. Cul es la cantidad demandada si el precio sube a $450 el litro?

Solucin: Grficamente:Precio $ Funcin de Demanda P1 P2

Q1

Q2

Cantidad

430 $ 500.000 Litros Bencina 450 $ B Litros Bencina 430 B 450 50.000 %$! &!!!! %&! B B %(((( ((

Por lo tanto, si el precio sube a $450 por litro, la demanda del producto desciende de 50.000 a 47.777 litros de bencina.

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Ley de la Trivialidad de Murphy que dice:


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En una bodega existen 3.000 artculos que abastecen una tienda. La tienda necesita 100 unidades por semana. a) Calcular cuantos artculos quedan despus de tres semanas en la bodega. b) Indicar que tipo de proporcin es la relacin: unidades en bodega y tiempo.

2) Un trabajo requiere cinco horas, con diez trabajadores. Cuntas horas se necesitan si se trabaja con siete trabajadores. 3)

Una persona al ejecutar una cierta tarea, realiza 20 proyectos trabajando tres das a la semana. Cuantos proyectos alcanzara a realizar si se dedica al trabajo cuatro das a la semana.

4) Del ejercicio anterior, si la persona trabaja cada da ocho horas para realizar los veinte trabajos. Cuntas horas diarias debe trabajar si tiene solo dos das para cumplir con dichos trabajos?

& En el colegio se quiere organizar una excursin en primavera. Se contrata un autobs con conductor que dispone de 80 asientos y cuesta $60.000. Si se llena el autobs. Si slo se cubren la mitad de las plazas cuanto debe pgar cada alumno?

' Un albail tarda 5 das en levantar una pared de 84 m. Cunto tardarn 3 albailes trabajando al mismo ritmo que el primero? ( En un sorteo que haban aparecido 6 acertantes de 15 resultados que cobraran 18.000.000 pesetas cada uno. Al terminar el escrutinio, los acertantes fueron 9. Cunto cobrar entonces cada uno de ellos? ) Si para llenar un depsito de combustible hemos utilizado 32 veces un recipiente de 12 litros Cuntas veces usaremos uno de 48 litros?

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El mtodo consiste en descomponer la regla de tres compuesta en regla de tres simples y luego multiplicar ordenadamente las proporciones formadas. Una forma prctica de hacerlo es comparar cada una de las magnitudes con una incgnita ( bajo el supuesto que las dems no varan ) para as decidir si son directa o inversamente proporcionales con la incgnita. A las que sean directamente proporcionales con la incgnita se les pone debajo un signo y encima un signo y a las magnitudes que sean inversamente proporcionales con la incgnita se les pone debajo un signo y encima un signo . Al valor de la incgnita siempre se le coloca un signo . Luego se multiplican todas las cantidades con signo divididas por el producto de todas las cantidades que llevan signo .

Ejemplo 1.21: 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 das. Cuntos das necesitarn 5 hombres, trabajando 6 horas, para hacer 60 metros de la misma obra ?. 3 hombres 5 hombres B 8 horas 6 horas 80 metros 60 metros 10 das B

(3) (8) (60) (10) (5) (6) (80) B6 R Necesitan 6 das.

Ejemplo 1.22: Se emplean 12 hombres durante 6 das para cavar una zanja de 30 metros de largo, 8 metros de ancho y 4 metros de alto, trabajando 6 horas diarias. Si se emplea el doble nmero de hombres durante 5 das para cavar otra zanja de 20 metros de largo, 12 metros de ancho y 3 metros de alto. Cuntas horas diarias han trabajado ?. 12 hombres 6 das 24 hombres 5 das (12)(6)(20)(12)(3)(6) B (24)(5)(30)(8)(4) B 27 10 27 horas. 10 30 m l 20 m l 8ma 12 m a 4mh 3mh 6 horas B

R Han trabajado

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1.3.3

PROPORCIN COMPUESTA


" Dos personas se asocian para realizar una empresa de confeccin de programas para computadoras. Al inicio se ejecutaban quince programas al mes, trabajando solo veinte das y dedicndole seis horas en cada da. Despus de un tiempo la cantidad de trabajos comenz a aumentar. a) Indicar cuantas horas tendrn que trabajar al da si la cantidad de trabajo es de #& al mes si desean trabajar #& das al mes. b) Si desean trabajar a los mas #" das al mes y siete horas al da. Indicar cuanto personal ms necesitan si tienen la misma cantidad de trabajo que la pregunta a). # En dos jornadas de trabajo existe un nivel de produccin de %!! unidades, en un turno de ) horas diarias, con ( operarios. Debido a un pedido especial de )!! unidades, se contrat dos operarios ms con similares caractersticas a los ya contratados. A la jefatura le interesa saber cuntas horas ms de trabajo diario necesitaran para hacer las )!! unidades en dos das. $) Una secretaria durante tres das redact $$ hojas en el computador, dedicndole cuatro horas al da. Ahora por razn de una reunin, el jefe le exige que redacte %! hojas antes de dos das para presentarlas en dicha reunin. Cuntas horas necesitar la secretaria dedicarle diariamente para cumplir con el trabajo?

% Si un contratista ha pagado (!! a "! empleados que han trabajado en #! das. Cunto hubiera pagado a "& empleados que hubieran trabajado solamente "& das?.

& Si 9 obreros con 20 telares terminan un trabajo en 10 das. Tres obreros con 30 telares. en cuntos das lo terminarn?. ' Si 10 obreros hacen 1000 metros de tela en 8 das. Cuntos das necesitarn % obreros para hacer 2000 metros de la misma clase de tela?.

( Seis hombres han cavado en 20 das una zanja de 50 metros de largo, 4 metros de ancho y 2 metros de profundidad. En cuntos das hubieran cavado otra zanja de 35 metros de largo, 3 de ancho y 3 de profundidad, 4 hombres?.

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Ejercicios


Tanto por ciento indica tanto de cada cien. Su smbolo es %. a) Tanto por ciento de un nmero. Hallar el + % de , , 100 % B+% , 100 B + B +, 100

Ejemplo1.23: Hallar el 18 % de 1.450 1.450 100 % B 18 % 1.450 100 B 18

B 261 R El 18 % de 1.450 es 261. b) Hallar un nmero cuando se conoce un tanto por ciento de l. De qu nmero es + el , % ?. +,% B 100 % + , 100 B B 100+ ,

Ejemplo 1.24: De qu nmero es 123 el 82 % ?. 123 82 % B 100 % 123 82 B 100 B 150 R 123 es el 82 % de 150.

c) Dados dos nmeros averiguar qu tanto por ciento es uno del otro. Qu porcentaje de + es , ?. + 100 % ,B% + 100 , B 100, +

B

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1.4.

PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO


24.500 100 % 17.150 B %

24.500 100 17.150 B

B 70 R 17.150 es el 70 % de 24.500.

1.4.1

APLICACIONES DE PORCENTAJE

El concepto porcentaje es muy utilizado a la hora de realizar un anlisis de datos, debido a que ste, indica un resumen de lo que se sta haciendo.

PRODUCCIN

Ejemplo 1.26: Para estudiar el rendimiento de una empresa en trminos de aprovechamiento de sus recursos.300 Kg.Materias Primas

Fabrica Fbrica

120 Kg.Producto

El rendimiento se mide por: Total Producto 120 = = 0.4 Total Materias Primas 300

40%

Este resultado al multiplicarlo por cien, para quedar en porcentaje nos da 40%. Por lo tanto, se puede decir que el rendimiento de la fbrica es de un 40% de fabrica es de un 40% de prdida para la aprovechamiento de sus materias primas y el otro 60% es perdida para la empresa.

Ejemplo 1.27: Dado el siguiente sistema de produccin con cuatro centros de trabajo y con sus respectivos rendimientos.Producto Final

85 %

2000 (ton)

90 %

80 %

75 %

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Ejemplo 1.25: Qu porcentaje de 24.500 es 17.150 ?.


Sol.: a) Para el primer centro #!!! >98 "!! % B >98 )& % )& #!!! "(!! >98 "!!

B

Estas 1.(00 toneladas son el producto final del primer centro, pero a la vez es la cantidad de materia del segundo centro.

Por lo tanto, al final del cuarto centro, se obtiene *") >98 los cuales son el producto final del sistema. b) Materia primera es de "&$! >98 Producto Final "##% >98

c)

*") !%&* #!!! Por lo tanto, el rendimiento del sistema es de 45,9 %.

MATEMTICA FINANCIERA

Tasa de Inters: Es una medida del incremento entre la suma originalmente prestada o invertida y la cantidad final acumulada.

Ejemplo 1.28: Una persona pide $100 y debe devolver despus de un mes $120, a la persona que facilit el dinero. Inters Cantidad Acumulada Cantidad Original Inters "#! "!! $ #!

Cuando el inters se expresa como porcentaje del monto original por unidad de tiempo, el resultado es la TASA DE INTERS. Esta se calcula como sigue:Tasa de Inters = Inters por Unidad de Tiempo 100% Cantidad Original

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a) Determinar cuantos toneladas de producto final se obtienen. b) Cul es la cantidad materia prima y el producto final del tercer centro de trabajo. c) Cul es el rendimiento del sistema.


Tasa de Inters

#! "!!

"!! % #! %

Por lo tanto, la persona que facilita el dinero tiene una tasa de inters de un 20%.

Para determinar el pago de un prstamo se utiliza la siguiente frmula:

VF = P ( 1 + i )Donde: n i P VF

n

: Nmero de Perodos. : Tasa de Inters. : Valor Inicial Prstamo. : Valor Final Pago Final

Ejemplo 1.30: Una compaa invirti $"5!!!! en mayo y retir un total de $2'0!!! exactamente un ao despus. a) Calcular el inters ganado sobre la inversin Inicial. b) Calcular la Tasa de Inters de la Inversin. Desarrollo: a) Inters 2'0!!! "5!!!! $ 110!!! b) Tasa de Inters 110!!! por ao "!! % ($ $$ % por ao. 15!!!!

Ejemplo 1.31: Una persona planea solicitar un prstamo de $#!!!! a un ao, al "& % de inters. Calcular el Inters y la cantidad total a pagar. Tasa de Inters "& % Inters "!! % Cantidad Orginal Inters "!! % #!!!!

=

"& #!!!! Inters "!! $!!! Inters La cantidad Total a Pagar es la suma del valor Original ms los intereses. Total a Pagar #!!!! $!!! $ #$!!!

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Ejemplo 1.29: Al determinar la tasa de Inters del ejemplo anterior se tiene:


Ejemplo 1.33: Una persona necesita $ %!!!!! para esto solicita un prstamo a un banco que le da dos alternativas para su financiamiento. La primera, un prstamo de un monto de $ %!!!!! a una tasa de inters del #%% al ao, pagados en 5 aos. La segunda alternativa , un pago de 1.200.000 en el quinto ao. Esta persona tiene la duda de cual alternativa elegir. Podra usted ayudar a la persona a elegir cual alternativa le conviene ms, considerando que se devolver el prstamo dentro de 5 aos. Solucin: Calculando ambos montos totales a pagar, para esto utilizaremos en forma directa la siguiente frmula.

Pago = Valor Prstamo ( 1 + Tasa de Inters ) nLa tasa de inters de ir en decimales en la ecuacin. i : !,#% n: & P : $%!!!!! Primera Alternativa: Pago Valor Original(" Tasa de Inters)& %!!!!!" !#%& ""(#'&! Segunda Alternativa: Pago a los cinco aos 1.200.00!

Por lo tanto la mejor alternativa es la primera, el pago por el prstamo es menor a la segunda alternativa.

Ejemplo 1.34: Al depositar $250.000 hoy, en una cuenta de un banco que da una tasa de inters mensual de 0.9%. a) Determinar cuanto dinero se tendr en ahorro despus de cuatro meses. b) Si el dinero se invierte en acciones que dan una rentabilidad del 1,5% al mes. Determinar cuanto dinero se obtendr dentro de tres meses. c) Si le proponen que invierta los $250.000 en un negocio y le aseguran que despus de cuatro meses le devolvern $300.000. Cul de las tres alternativas le conviene ms, el banco, en acciones o el negocio? Solucin: a) P = #&!!!! i ! * % !!!* n% VF #&!!!!" !!!*% #&*"## #$

Por lo tanto, en cuatro meses se obtiene un ahorro de $259.122,23 a una tasa de ! 9% mensual.

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Ejemplo 1.32: Una persona desea saber qu porcentaje cobra si ella presta $#%!!! y pide que un pago final de $$$!!!. ( Rep.: $( & % )


Se obtiene una ganancia de $261.419,59 despus de tres meses. c) Despus de cuatro meses: Banco : $259.1222,23 Acciones : #&!!!!" !!"&% $ #'&$%! )) Negocio : $300.000

Por lo tanto, conviene invertir el dinero en el negocio, porque se obtienen mayores ganancias.

ECONOMA

En trminos generales, en Economa se utilizan ndices los que se resumen en porcentajes, como son: I.P.C.(Inflacin), Tasa de Desempleo, Indicadores de la Bolsa de Comercio(Acciones), etc.

Cobre quiebra repunte y cae 1,88%Viernes 11 Enero 2002 Valor Futuro LONDRES.- Tras un rally alcista de 5 das, que llev a ganar 5,5 centavos de dlar, el

cobre cerr este viernes con un retroceso de 1,88%, a US$ 0,68674 la libra contado grado A, que se copara con los US$ 0,69989 del jueves (mayor valor desde el 18 de julio de 2001) y con los US$ 0,69445 del mircoles. Con ello, el promedio de enero y el anual escalo US$ 0,67432. Por su parte, la cotizacin futuro- 3 meses cerr en US$ 0,69808, con una variacin de 1,79% Segn el informe diario de la LME, los stocks de cobre aumentaron en 1.475 toneladas mtricas, a 807.125Diario EL MERCURIO

Como vemos en este extracto, de un diario nacional, el usar trminos porcentuales en vez de las cifras reales, suele ser ms cmodo para quien lee, como quien expresa las ideas.

Ejemplo 1.35: Realizar el clculo e indicar a que cifra corresponde la cada de un 1,88% en el precio del cobre. Sol:Este valor original sufre una variacin.

X

0,686794 0,6867998,12 %

Existi una Disminucin de 1,88%

100%

B

"!!

%

22

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b) VF #&!!!!" !!"&$ #'"%"* &*


B

"!! ! ')'(*% *) "#

B ! '**)*)

Por lo tanto el valor, antes de la cada de un 1,88%, fue de US $0,69989 la Libra de Cobre.

Ejemplo 1.36: Cul es la variacin, del precio del cobre, existente entre el da mircoles y el da viernes. ( Resp: Una cada de un " 1" %.)

Ejemplo 1.37: Cul fue el precio antes de la variacin de un " (* % en la cotizacin " J ?>? Depreaciacin Anual. F Costo Inicial. Z W Valor de Salvamento. 8 Vida depreciable esperada.

Grficamente$Valor de Libro Depreciacin Lineal

mm== -Dt Dt

Tiempo

Como el activo es depreciado por la misma cantidad cada ao, el valor en libros despues de t aos de servicio VL, ser igual al costo inicial del activo menos la depreciacin anual t veces. VL = B > Dt

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$


a) Calcular la depreciacin anual. b) Calcular y dibujar el valor en libros del activo despues de cada ao. Solucin: a) Dt &!!!! "!!!! )!!! & La depreciacin anual cada ao es de $8.000 durante 5 aos. b)Valor de Libro $ Dt = 8.000 Valor de Salvamento

VL = B t Dt VL1 = 50.000 1(8.000) = $ 42.000 VL2 = 50.000 2(8.000) = $ 34.000 VL3 = 50.000 3(8.000) = $ 26.000 VL4 = 50.000 4(8.000) = $ 18.000 VL5 = 50.000 5(8.000) = $ 10.000

50.000

10.000

5

Tiempo

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Ejemplo 3.24: Se tiene un equipo de un costo inicial de $50.000 con un valor de salvamento de $10.000 despus de 5 aos.


1) La gerencia de una empresa que fabrica patines tiene costos fijos (costos a cero salidas) de $300 diarios y costos totales por $ 4300 diarios cuando hay una salida de 100 pares de patines por da. Suponga que el costo G est linealmente relacionado con la salida.

a) Determine la pendiente de la recta que une los puntos asociados con las salidas de 0 y 100; es decir, la recta que pasa por (0,300)y (100,4300) b) Encuentre la ecuacin de la recta que relaciona la salida con el costo. Escriba la respuesta final de la forma G 7B , c) Construya la grfica de la ecuacin del costo tomado de la parte b para ! B #!! d) Resuelva las partes a y b del ejemplo para los costos fijos de $250 diarios y costos totales de $3450 diarios para una salida de 80 patines por da 2) Si $T (capital) se invierte a una tasa de inters de aos se calcula con E T < > T Si $100 se invierten a 6% (< ! !'), entonces E '> "!! > ! a) A cunto ascender la cantidad de $100 despus de 5 aos? Despus de 20 aos?. b) Construya la grfica de la ecuacin para ! > #!! c) Cul es la pendiente de la grfica?(la pendiente indica el aumento en la cantidad E por cada ao adicional de inversin).

3) Una compaa manufacturera est interesada en introducir una nueva segadora. Su departamento de investigacin de mercados di a la gerencia el pronstico de precio-demanda que se presenta en la siguiente tabla. Precio $70 $120 $160 $200 Demanda estimada 7.800 4.800 2.400 0

a) Marque estos puntos e indique con . nmero de segadoras que se espera que la gente compre (demanda) a un precio $: cada una. b) Observe que los puntos de la parte (a) estn a lo largo de una recta. Encuentre la ecuacin de esa recta. (Nota: La pendiente de la recta que se determina en la parte (b) indica el decremento en la demanda por cada $ 1 de aumento en el precio). 4) El equipo de oficina se adquiri por $20.000 y se supone que tiene un valor de baratillo de $ 2.000 despus de 10 aos. Si su valor se deprecia linealmente (para propsitos de impuestos) de $20.000 a $2.000. a) Encuentre la ecuacin lineal que relaciona el valor (V) en dlares al tiempo > en aos. b) Cul sera el valor del equipo despus de seis aos?. c) Construya la grfica de la ecuacin para ! > "! (Nota: La pendiente que se encontr en la parte (a) indica el decremento en el valor por ao).

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6) Un electricista cobra $ 1200 por visita domiciliaria ms $ 500 por hora de trabajo adicional. Exprese el costo de llamar a un electricista a casa en funcin del nmero de horas que dura la visita y estime costo para 7 horas de trabajo. 7) Un artista que hace una exhibicin de cuadros recibe $ 320.000 por cada cuadro vendido menos $45.000 por cargo de almacenaje y exhibicin. Represente el ingreso V que l recibe en funcin del nmero de cuadros vendidos B y calcule el ingreso si se venden 5 cuadros. 8) Un autor recibe honorarios por $ 120.000 ms $1.800 por cada libro vendido. Exprese su ingreso V como funcin del nmero de libros B vendidos y calcule su valor para 8 libros vendidos.

9) Las ventas de una empresa farmacutica local crecieron de $ 6.500.000 en 1980 a $11.000.000 en 1990. Suponiendo que las ventas se aproximan a una funcin lineal, exprese las ventas Z como funcin de tiempo >

10) Una fbrica de computadores vendi 320 en 1980 y 400 en 1994. Asumiendo que las ventas se aproximan a una funcin lineal, exprese las ventas Z de la empresa en funcin de tiempo >. 11) Una maquinaria industrial vale $480.000 y se deprecia en $5.000 al ao. Empleando depreciacin lineal exprese el valor Z de la mquina como una funcin del nmero de aos > . Calcule su valor pasado 3 aos de uso.

12) Una industria de papel vendio 5.000 toneladas en 1992 y 3200 en 1996. Asumiendo que las ventas se aproximan a una funcin lineal exprese la venta Z de la industria en funcin del tiempo > y evale venta para 1997.

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5) La ecuacin de costo para una cierta empresa que produce equipos estereofnicos se encuentra que es G *'!!! )!8 donde $*'!!! representa los costos fijos (construccin y gastos generales) y $)! es el costo variable por unidad (materiales, manufactura, etc). Construya la grfica de esta funcin para 0 8 1.000


1)

a) m 40 c)CT ($) 8.300

b) G %!B $!!

300

200

Unidades

d) 2)

+ m=40 , G %!B #&!

a 130; 220 b)A($) 1.300

100 200

6

Aos

c La pendiente es 6 3) 4) b) .: '!: "#!!! a) Z (t)= 1800p + 20000 c)Valor de Libro $ 20.000 Depreciacin Lineal

b) $9200

10.000

10

Aos

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Respuestas


$176.000

96.000

1.000

Unidades

6) $ 4.700 el trabajo 7) $ 1.555.000 8) $ 134.400 9) Z (>) 450.000 > 6.500.000 10) V(t) = (! t + 320 (

11) V (3) = $ 465.000 12) V(5) = 2.750 Toneladas.

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5)


Hay muchas situaciones en las que una cantidad viene dada en funcin de una variable, la que a su vez puede ser escrita en funcin de otra. Combinando las funciones de un modo adecuado se puede expresar la cantidad original como una funcin de la tercera variable. Este proceso se conoce como composicin de funciones. Observacin:

Comnmente la notacin 0 [ 1(B) ] se denota por ( 0 o 1 )(B) a condicin de que V/- 0 H97 1. Aplicaciones de la Compuesta.

Ejemplo 3.25: Un estudio ambiental sugiere que el nivel medio diario de monxido de carbono en el aire ser G: 0, 7: 3 partes por milln cuando la poblacin sea : miles. Se estima que dentro de > aos la poblacin ser : (> ) 8 0, 2 >2 miles. a) Exprese el nivel de monxido de carbono en el aire en funcin del tiempo. G (:) 0, 7: $ : (>) 8 0, 2 > 2 G [ :(>) ] 0, 7 [ 8 0, 2 > 2 ] 3 G [ :( >) ] 0,14 > 2 8,6 b) Nivel de monxido transcurrido 5 aos G [ :(5) ] 0, 14 2& 8, 6 G [ :(5) ] 12, 1 partes por milln

Ejemplo 3.26: Una empresa determina que la funcin de la demanda para " B " artculos viene dada por B(: ) 4800 20: donde " : " es el precio de venta (dlares). A su vez los costos totales vienen definidos por G ( B ) 6000 30B en dlares. a) Qu cantidad de artculos se haban vendido para un precio de 4, 2 dlares ?. Resp : B (4, 2) 471' dlares . b) Cul es el costo para x artculos vendidos a 5, 8 dlares? G [B (:) 6000 30 (4.800 20:) G [ B( 5, 8) ] 146.520 dlares.

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Composicin de Funciones.


1) Una empresa tiene un costo fijo de 1.200 pesos y un costo marginal de 600. Si el precio de venta es de 720 pesos. Determine : a) La funcin utilidad . b) Punto de equilibrio en forma grfica y analtica. c) Estime utilidad para la venta de treinta artculos . 2) La funcin demanda " B " de un producto en trmino de su precio " : " viene dado por B 9000 20: La funcin costo totales viene dado por G 12000 30B Determine: a) Funcin ingreso total. b) Estime el ingreso para 12 artculos vendidos. c) Funcin utilidad. d) Cunta utilidad genera la venta de 48 artculos? . e) Estime costo para una produccin de 36 artculos .

3) Un estudio ambiental de una cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel medio diario de monxido de carbno en el aire ser G (:) 0 8 : 3 partes por milln cuando la poblacin sea : miles. Se estima que dentro de siete aos la poblacin de la comunidad ser: :(>) 8 0,2>2 miles. Exprese el nivel de monxido de carbono en funcin del tiempo y estime su valor cuando han transcurrido siete aos.

4) En cierta industria el costo total de fabricacin durante el proceso diario de produccin es de G (; ) ; 2 2; 400 dolares. En un da tpico de trabajo, se fabrican ; ( > ) 30 > unidades durante la primera > horas, del proceso de produccin. Exprese el costo total en funcin de > y estime cunto sera el gasto en la produccin al final de la tercera hora?.

5) Un importador de arroz estima que los consumidores locales comprarn aproximadamente 1280 H (: ) miles de kilos por mes, cuando el precio sea de : dlares. Se estima que dentro de :2 > semanas el precio del arroz ser : (>) 0, 3 >2 1, 2 > 16 dlares por miles de kilos . a) Exprese la demanda de consumo de en funcin de > . b) Cuntos miles de kilos de arroz comprarn cuando el precio sea de 1, 2 dolares? c) Cul ser el precio del kilo de arroz en la tercera semana ? d) Cul ser la demanda a la quinta semana ?

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Ejercicios Propuestos.


Cualquier funcin definida por una ecuacin de la forma :

y = ax2 + b x + c

;

a0

donde +, , y - son constantes, se denomina funcin cuadrtica. Ecuacin Cuadrtica.

Cuando 0 (B) 0, es decir, C 0 para algn valor del dominio de 0 , la expresin +B2 ,B - 0 , se denomina " Ecuacin cuadrtica " o de " segundo grado ". Resolucin de una Ecuacin Cuadrtica. Considere la ecuacin + B2 , B - 0 si: I) - 0 , se tiene : + B2 , B 0 B (+ B , ) 0 , B2 , +

Soluciones :

B1 0

Ejemplo 3.27:

7B2 14B 0 B ( 7B 14 ) 0

B1 0

C

B2 2

II)

, 0

se tiene:

+ B2 - 0 B + B +2

Ejemplo 3.28

5B2 20 0 B2 4 B 4 C B2 2

B1 = 2

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3. 4

F u n cio n es C u a d r tica s.


a) Factorizacin. +B2 ,B - 0 : + B2 , B 0 + +

( B B1 ) (B B2 ) 0 de modo que se cumple. B 1 B2 , + ; B1 B 2 +

Ejemplo 3.29

3B2 6B 24 0 3 B 2B 8 0 (B 4) (B #) 0.2

Soluciones:

B1 4

,

B2 2

b) Por completacin de cuadrados. Si se trata de transformar una ecuacin cuadrtica de la forma general : + B 2 , B - 0 en ( B E )2 F donde E y F son constantes.

Cuando el coeficiente del trmino cuadrtico es 1 se puede convertir en un cuadrado perfecto 2 b b tomando la mitad del coeficiente de B , , elevndolo al cuadrado y sumndola a la 2 2 2 , expresin , sta se reconvierte en B 2

Ejemplo 3.30

B2 14B 24 0 B2 14B 24

B2 14B 49 24 49 (B 7)2 25 B 7 5 B 7 5 Soluciones: B 1 = 12 y B2 = 2

14 2

2

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III)

Si +, - , son distintos de cero, podemos encontrar soluciones para: + B 2 , B - 0 usando los siguientes criterios .


1 B

1 2

Soluciones:

B1 1 2

, B2 1 2

Ahora se probar este mtodo en la ecuacin general cuadrtica. +B2 ,B - 0 B2 B2 B2 B2 B B , B 0 + + , B +2

;

+ o

+2

, , , B 2+ 2+ + + , ,2 , 2 4+B + 4+ 2 4+ 2 , , 2 4+ 2+ 4+ 22

, , 2 4+ 2+ 4+ 2 , 2 4+ , 2+ 2+

B

Frmula

General

de

Resolucin de una Ecuacin

Cuadrtica

B

, , 2 4 +2+

Generalmente sta frmula se utiliza para resolver ecuaciones cuadrticas cuando los mtodos anteriores no funcionan. La expresin , 2 4+ - se denomina Discriminante y de este valor podemos obtener informacin til respecto de las soluciones.

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Ejemplo 3.31 B2 2B 1 0 B 2 2B 1 2 B 2B 1 2 (B 1) 2


ii) , 2 4+ - > 0 iii) , 2 4+ - < 0

Races reales y Distintas Races Complejas.

Representacin Grfica de una funcin Cuadrtica.

La grfica de una funcin cuadrtica 0 (B ) + B2 , B - ; + 0 es una" parbola " que tiene su eje ( recta de simetra ) paralelo al eje vertical . Si + > 0 la parbola es cncava hacia arriba ; y si + 0 la parbola es concava hacia abajo. Los elementos determinantes para la grfica de una funcin cuadrtica son las coordenadas del vrtice y las intersecciones de la parbola con los ejes cordenados. a) Interseccin eje B ( C 0 ) + B 2 , B - 0 ; las soluciones o races las designaremos por B 1 y B 2

b) Coordenadas del vrtice se determinan por completacin de cuadrados, as s : 0 B +B2 ,B - en donde por completacin de cuadrados obtenemos la funcin de la forma C + ( B 22 5 donde el vrtice toma por coordenadas (2 5 ). , , Tambin se puede obtener el vertice a tavs de la siguiente frmula 0 #+ #+ Ejemplo 3.32 Sea i) C B2 6B 5.

Interseccin con el eje B ( C 0 ) B 2 6B 5 0 (B 5)(B 1 ) 0 B1 5 ; B2 1

ii)

Coordenadas del vrtice C B2 C 5 B2 C 4 (B C (B 3)2 6B 5 6B 3)2 4 9

vrtice ( 3 4 ) Por frmula: iii) Idea grfica

' ' 0 $ 0 $ $ % #" #"

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i)

,2 4+ - 0

Races reales e Iguales.


5

200

3 Eje X

-4 6

Otra forma de determinar las coordenadas del vrtice dados B 1 y B 2 (intersecciones con el eje B) es : B@ C@ B1 B 2 2 0 (B@)

Ejemplo 3.33 Dada C B2 6B 5 B1 5 , B@ C@ B2 1

5+1 3 2 0 (3) 4

vrtice : ( 3, 4)

Aplicaciones de la funcin cuadrtica

Muchos de los problemas que se dan en Economa, Cs Sociales, y en Administracin estn modelados por funciones cuadrticas, como por ejemplo: Las funciones de ingreso y ganancia .

Ejemplo 3.28: La utilidad Y de una fbrica de computadores para cada unidad B vendida viene calculado como : Y (B) 600 B 3B 2 12000 a) Para qu produccin la utilidad es mxima ?

Como la grfica de esta funcin es una parbola abierta hacia abajo, es claro que la mxima utilidad se logra en la coordenada B del vrtice. As tenemos : Y (B ) Y (B ) 600 B 3B2 12000 3B2 600B 12000

completando cuadrados, la funcin se puede expresar como :

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Eje Y


Y (B ) Y (B ) Y (B )

3 (B2 200B ) 12000 3 (B2 200B 10000 ) 12000 30000 3 ( B 100 )2 18000

Luego el vrtice tiene por coordenadas ( 100, 18000), por lo tanto cuando se venden 100 unidades la utilidad se maximiza en $ 18000 b) Para que produccin la utilidad es nula ( Y = 0) 3B2 600B 12000 0 3 B 2 200B 40!0 0 200 40000 16!00 B 2 B 2001&% * 2 B 2 2# &&

B 1 1(( %& ;

Luego, para la produccin de 2# && y 1(( %& unidades la utilidad es nula, es decir , son puntos de equilibrio . Idea grfica :Y

22, 5

177,45

X

Ejemplo 3.35 Dadas las siguientes funciones de Ingreso total M (B) de costo total G (B) exprese la ganancia Y como una funcin explcita de B y determine el nivel mximo de ganancia, haciendo el vrtice de Y (B) y los puntos de equilibrio Y (B) 0 M (B) 600B 5B2 G (B) 100B 10500

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Y (B ) Y (B ) 0 0

600B 5B2 ( 100B 10500 ) 5B2 500 B 10500 5B2 500B 10500 5

B2 100 B 2100 100 10000 8400 B 2 B

100 40 B 1 70 ; B 2 30 2 Puntos de equilibrio 30 y 70 unidades. Nivel mximo de ganancia 70 30 B1 B 2 50 2 2 2000

B@ C@

Luego, para una produccin de 50 unidades , la utilidad se maximiza en $ 2000 . Idea grfica :

Ejemplo 3.36 El departamento de investigacin de mercados de una empresa recomend a la gerencia que la compaa fabrique y venda un nuevo producto prometedor. Despus de amplias investigaciones, el departamento apoy la recomendacin con la ecuacin de demanda. (1)

B 0 : '!!! $!:

donde B es el nmero de unidades que los distribuidores comprarn probablemente cada mes a $: por unidad.

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Puntos de equilibrio:


GB (#!!! '!B

(2)

donde $(#!!! es el costo fijo (manufactura y costos generales) y $'! es el costo variable por unidad (materia prima, ventas,transporte, almacenamiento,etc.). La ecuacin de ingreso (cantidad de dinero, M , que recibe la compaa por vender B unidades a $: por unidad ) es: M B: Y, finalmente, la ecuacin de rentabilidad es Y M G donde Y es la utilidad, M es el ingreso y G es el costo. (3) (4)

Ntese que la ecuacin de costo (2) expresa G como una funcin de B y la ecuacin de demanda (1) expresa B como una funcin de :. Al substituir (1) en (2), se obtiene el costo G como funcin lineal del precio :: G (#!!! '! '!!! $!: G %$#!!! ")!!: Funcin lineal (5)

En forma similar, al sustituir (1) en (3), se obtiene el ingreso M como una funcin cuadrtica del precio : : M '!!! $!:: '!!!: $!:# Funcin cuadrtica (6)

Ahora, vamos a construir las grficas de las ecuaciones (5) y (6) en el mismo sistema de coordenadas. Se obtiene la siguiente figura.

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Observe que a medida que el precio sube el nmero de unidades disminuye. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuacin de costo


G %$#!!! ")!!: $!:# ()!! : %$#!!! :# #'!: "%%!! :

M '!!!: $!:# ! ! #'! #'!# %"%%!! # #'!"!! # $")!

:

:

$80,

Por lo tanto, al precio de $)!, o bien $")! por unidad, la empresa se encontrar en el punto de equilibrio. Entre estos dos precios se puede predecir que la empresa obtendr una utilidad. A qu precio se obtendr la mxima utilidad? Para calcular ese valor, se escribe Y M G '!!!: $!:# %$#!!! ")!!: $!:# ()!!: %$#!!! Puesto que sta es una funcin cuadrtica, la utilidad mxima se obtiene en , ()!! : $"$! #+ # $!

Observe que ste no es el precio con el cual el ingreso es mximo. Este ltimo ocurre en : $"!! como muestra la figura anterior.

Ejemplo 3$7: El departamento de investigacin de mercados de una empresa recomend a la gerencia que la compaa fabrique y venda un nuevo producto. El departamento adopt la recomendacin con la ecuacin de demanda B = 2.000 10:; donde B es el nmero de unidades que los distribuidores compraran cada mes a $: por unidad. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuacin de costos G 36.000 30B donde $36.000 es el costo fijo y $30 es el costo marginal. a) Determinar la ecuacin Ingreso. Sol.:

La cantidad de dinero V , que recibe la compaia por vender B unidades a $: por unidad es : 2.000 B , pero : , luego MB : 10

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Conviene observar detenidamente la informacin contenida en esta gafrica. Calcularemos los puntos de equilibrio, es decir, los precios a los cuales el costo es igual al ingreso (los puntos de interseccin de las dos grficas anteriores). Se calcula : de modo que:


La funcin de Ingreso:

M

2.000 B B2 10

b) Determinar la Funcin Utilidad. 2.000B B2 36.000 30 B 10 B2 Y #00B 36.000 30B 10 2 B Y 170 B 36.000 10 c) Calcular Puntos de equilibrio. B2 170 B 36.000 0 "! 10 B2 1.700B 360.000 0 1.700 2.890.000 1.440.000 2 Sol.: Y

B

1.700 1.204, 2 2 B 1 1.452,1 ; B 2 247,9 B d) Determinar la Produccin para una utilidad mxima. 1.452,1 247,9 850 2 C@ 36.250 B@ La mxima utilidad se logra para una produccin de 850 unidades.

Ejemplo 338: Halle los puntos de equilibrio de una fbrica dadas las funciones de ingreso total (Y ) y costo total (G ) en forma grfica y en forma analtica M (B) 750 B 5 B2 G (B) 100 B 20.000

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M B

2.000 B 10


M (B) G (B) 750B 5B2 100 B 20.000 B2 (B B1 5B2 650B 20.000 0 150 4000 0 80) ( B 50 ) 0 80 ; B2 50

Los ingresos se igualan a los costos, es decir, la utilidad es nula para una produccin de 50 y 80 unidades Idea grfica :

M (B) 750B 5B2 0 750B 5B2 0 B (750 5B) B1 0 ; B2 150 B@ 75 C@ 28125 G (B) 100 B 2000

B 0 100

GB 20000 30000

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Solucin : Los puntos de equilibrio se presenta cuando M G , en forma equivalente cuando Y 0, as tenemos :


a) Exprese el costo total de produccin como una funcin de > b) Cunto se habr gastado en produccin al final de la tercera hora ? c) Cundo alcanzara el costo total de produccin US $ ""!!! ?

2) El departamento de investigacin de mercados de una empresa recomend a la gerencia que la compaa fabrique y venda un nuevo producto prometedor. Despus de amplias investigaciones, el departamento apoy la recomendacin con la ecuacin de demanda. B 0 : )!!! %!: donde: B es el nmero de unidades que los distribuidores comprarn probablemente cada mes a $: por unidad. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuacin de costo: GB *!!!! $!B

a) Exprese el costo G como una funcin lineal del precio :. b) Exprese el ingreso V como una funcin cuadrtica del precio :. c) Construya la grfica de las funciones de costo e ingreso obtenidas en las partes (a) y (b) en el mismo sistema de coordenadas, e identifique las regiones de utilidad y prdida. d) Calcule los puntos de equilibrio; es decir, encuentre los precios al valor ms prximo en el cual M G . e) Calcule el precio que produce el mximo ingreso. 3) La funcin de demanda de un producto particular es ; 0 : &!!!!! $!!!: donde ; se expresa en unidades y : en dlares. Determine la funcin cuadrtica del ingreso total, donde M es una funcin de : o sea M 1: Cul es la concavidad de la funcin?:Cul es la interseccin con el eje C ?.Cul es el ingreso total con un precio de $20?.Cuntas unidades sern demandadas a este precio?A qu precio se maximizar el ingreso total?

4) La funcin de demanda de un producto es ; 0 : 2!!!! 25: donde ; se expresa en unidades y : en dlares. Determine la funcin cuadrtica del ingreso total, donde M es una funcin de : o sea M 1: Cul es la concavidad de la funcin?:Cul es la interseccin con el eje C ?.Cul es el ingreso total con un precio de $60?.Cuntas unidades sern demandadas a este precio?A qu precio se maximizar el ingreso total? 5) El costo ,en dlares, de una fbrica en funcin del nmero de unidades producidas viene dado, por G (; ) 1500 40 ; . Su nivel de produccin es una funcin del tiempo ( horas) y viene dada 2 por ; (>) 16 > >4 . Determine: a) El costo en funcin del tiempo y grfica . b) Instante en que se maximiza el costo. c) Instante en el que los costos asociados a 10300 dlares. d) En qu instante los costos son nulos? . e) Costos para las 7 primeras horas.

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Ejercicios Propuestos 1 En una cierta industria, el costo total de produccin de ; unidades durante el perodo diario de produccin es G ( ; ) = ; # ; *!! dlares. En un da normal de trabajo, se fabrican ; (>) #&> unidades durante las primeras ">" horas de un perodo de produccin.


1) a) G> '#&># #&> *!!

b G$ ''!!

c) > %

2) (a) $$!!!! "#!!: b) M 8: )!!! %!:: )!!!: %!: # (c)

d) $%% %& e) $1!!.

$")& &

3) M 1: 500000: 3000:# 1#! $800000; 4) V 1: 20000: #&:# 0 '! ")&!! 5) a) b) c) d) e)

abajo (0,0), 0 #! $440000 abajo (0,0) unidades$83.33 1'! $"""!!!!;

unidades$%!! 10 ># 640 > 1500

Los costos se maximizan en > 32 horas. Los costos ascendieron a 1030 para > 20 y > 44 horas. Los costos se anulan para > 66, 3 horas. - 11740

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Respuestas


Hasta ahora hemos estudiado la mayora de las funciones algebricas, es decir, funciones que se pueden definir utilizando las operaciones algebraicas de adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potencia y races. En ningn caso se ha tenido una variable como exponente. As definimos una nueva funcin que se compone de una base + y un exponente en la variable B que se denomina funcin exponencial. Definimos una funcin de la siguiente forma: C +B ; +>0 y + 1

Las funciones exponenciales se emplean para expresar crecimiento y decrecimiento, esta es la razn por la cual a estas funciones frecuentemente se les da el nombre de funciones de crecimiento. En general se emplean para describir, por ejemplo, aumento monetario, a un inters compuesto, crecimiento demogrfico de nmero de animales y bacterias , desintegracin radiactiva, etc.

Ejemplo 339: Si se desea construir la grfica de la funcin exponencial C 2 B Se tiene la siguiente tabla de valores. B $ # " ! " # $ C" ) " % " #

" # % )

Idea grfica

En general, independiente de la base (+ > !) , (+ 1 ) toda funcin exponencial de la forma C + B pasa por el punto (0, 1).

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3. 5

F u n ci n E x p o n en cia l.


Supuesto + , > 0; +, , 1 B e C 1) 2) +B +C +BC + B 1 +BC

cualquier nmero real.

3) 4)

a+ B b C

+B B + +C

+BC

5) + B , B (+ , ) B 6) +B + B B , ,

Ejemplo 340:

C 2B Idea grficayX -3 -2 -1 0 1 2 3 Y 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 1

y = 2

x

x

Una funcin exponencial tienen las siguientes caractersticas. Dada C + B ; + > 0 + 1

a) El dominio de la funcin es el conjunto de todos lo nmeros reales, el rango de la funcin es el conjunto de todos los nmeros reales positivos. b) Para + > 1 la funcin es creciente y cncava hacia arriba; para 0 < + < 1, la funcin es decreciente y cncava hacia arriba. c) Independiemtemente de la base, la funcin exponencial C +B

pasa siempre por el punto (0, 1).

En las funciones exponenciales, la base que con ms frecuencia se utiliza es el nmero irracional " / " cuyo valor matemtico aproximado a la quinta cifra es 2,171828...As la funcin : C / B la denominaremos " funcin exponencial natural ".

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Propiedades de la funcin exponencial.

Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas1 1 8 8 / cuando Observacin: En clculo se puede demostrar que el lmite de la expresin "8" tiende al infinito. Las funciones que involucran potencias de " / " juegan un papel central en matemtica aplicada se usan en demografa para preveer tamaos de poblacin en finanzas para calcular al valor de inversiones, en arqueologa para fechar objetos antiguos.

Aplicaciones de la funciones Exponenciales. Inters compuesto.

Si se invierten T dlares a un tipo anual de inters < y el inters se compone 5 veces por ao , el r 5> saldo F (>) pasado > aos ser: F (>) T 1 + 5 dlares. Cuando crece la frecuencia con lo que es compuesto el inters, el correspondiente saldo F (>) tambin crece.< 5t Qu sucede a la expresin T 1 + 5 cuando 5 crece sin lmite?.

Inters compuesto contnuamente: Si se intervienen T dlares se compone continuamente , el saldo F (>) depus de > aos ser: F ( >) T /< > dlares

Ejemplo 336: Suponga que invierten 3000 dlares a un tipo anual de intres del 4 %. Calcule el saldo despus de 8 aos si el intres se compone. a) Semestralmente. b) Mensulamente. c) Continuamente. Solucin: a) b) c) F (>) 3000 1 0, 04 2 8 2 0, 04 12

4118, 4 dlares.

F (>) 3000 1

12 8 4129, 2 dlares.

F (>) 3000 /0,04 8 4131, 4 dlares.

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Una cantidad U(>) que crece de acuerdo a una ley de la forma U(>) Uo / O > donde U! y O son constantes positivas se dice que experimentan un "crecimiento exponencial".

Ejemplo 342: Sea U>) 2000 /0,05 > el nmero de bacterias presentes pasado > minutos. Cuntas bacterias habrn pasado en 20 minutos? Solucin: U(20) 2000 /0,05> 20 U(20) 5436, 6 bacterias.

Decrecimiento exponencial.

Una cantidad U(>) que decrece de acuerdo con la ley U(>) U! /O> donde U! y O son constantes positivas se dice que experimenta un " decrecimiento exponencial ".

Ejemplo 343: Los bosques de un pas estn desapareciendo a razn de 3,6 % al ao. Si originalmente haban 2400 (millones). Cuntos rboles desaparecen en 7 aos? Solucin: U(>) 2400 / 0, 036 7 U(7) 2400 / 0,252 U(7) 1865, 4 millones de rboles.

Depreciacin Otro mtodo de depreciacin es el llamado ACELERADO. El valor de la depreciacin los primeros perodos seran mayores que de los ltimos perodos.$

Depreciacin Lineal

Depreciacin Acelerada

tiempo

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Crecimiento Exponencial.


Valor libro costo de compra depreciacin.

Ejemplo 344: El valor en libros de un equipo industrial se representa mediante la funcin exponencial. Z 300000(2,5)0,1>

Donde Z es el valor libro expresado en dlares y > representa el nmero de aos transcurridos desde la adquisicin del equipo. a) Determinar el valor del equipo al cabo de 5 aos. b) Cul era el valor del equipo cuando se compr? c) Cul es el valor a los 20 aos?. Solucin: a)

Z

0 &

$!!!!!# &!"& $!!!!!# &!& " $!!!!! # &!& $!!!!! " &) $ 189873,42

El valor del equipo a los cinco aos es de $ ")*.)($,%# b) 0 0 $!!!!!# &!"0 $!!!!!1 $!!!!!

Z

Por lo tanto, el valor del equipo al comprarlo fue de: $ $!!!!!

c) Z

0 20 $!!!!!# &!"20 $!!!!!# &2 48!!! El valor del equipo al cabo de 20 aos ser de $48000.

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Cuando las organizaciones adquieren vehculos, edificios, equipos y otras clases de "bienes", los contadores acostumbran asignar el costo del objeto a lo largo del perodo en que se usa. Los contadores llevan a simismo registros de los principales activos y su valor actual o " en libros". El valor en libros representa la diferencia entre el precio de compra del activo y la cantidad de depreciacin asignada, o sea:


1)

Suponga que se convierten 1200 dlares a un tipo anual de inters del 3,2 %. Calcule el saldo despus de 5 aos si el inters se compone: a) Mensualmente. b) Trimestralmente. c) Anualmente.

2) Una cierta cantidad de dinero se deposita a un inters del 1,8 % anual capitalizados semestralmente por un perodo de 8 aos, ascendiendo el monto final a 288.500 dolares. Cul era el monto inicial ?. 3) Si un monto inicial de 80.000 dlares fue depsitado a una tasa de inters anual del 2,6 % durante un cierto perodo de tiempo capitalizados trimestralmente ascendiendo el monto final a 120.000 dlares. Cunto tiempo estuvo depositado? 4) Una cierta maquinaria industrial se deprecia de forma que su valor pasado > aos viene dado por U(>) U / 0, 03> ? b) Cul ser su valor pasado 3 aos? c) Establezca una grfica.

a) Despus de 20 aos la maquinaria tiene un valor de 9000 dlares Cul era su valor original

5) El ritmo al que un empleado medio de correo puede clasificar cartas despus de > meses en el trabajo est dada por G (>) 420 120 e 0, 4 > carta por hora . a) Esboce una grfica. b) Estime nmero de cartas clasificadas pasado 4 meses. c) Si el nmero de cartas clasificadas a 300 por hora. Cunta antigedad tiene en el trabajo?.

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Definicin: La funcin C + B define la variable "C " en funcin de "B" esta ecuacin tambin puede determinar a "B" como una funcin de " C" lo que se denota por B + C , a esta nueva funcin se le dar el nombre de funcin logartmica en base " + " lo que se denota por: C 691 + B si y slo si B + C , +>0 ; + 1

Es importante recordar que C 691 + B y la expresin B + C describen la misma funcin. Puesto que el dominio de una funcin exponencial incluye a todos los nmeros reales y su recorrido es el conjunto de los nmeros reales positivos, el dominio de una funcin logartmica en el conjunto de todos los reales positivos y su recorrido el conjunto de todos los nmeros reales.

Ejemplo 340: Determine grficamente de C 691 $ B que es equivalente a B $C Idea grficayX -3 -2 -1 0 1 2 3 Y 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 1

x

En general, independiente de la base (+ > 0 , + 1) la funcin C 691+ B pasa por el punto (1, 0). Propiedad de la funcin Logartmica. Sea , > 0, , ", Q > 0, R >0.

1) 691 , , B B 2) 691, Q R 691, Q 691, R 3) 691,Q R

691, Q 691, R

4) 691, Q T : 691, Q 5) 691, Q 691, R , si y solo si , Q R 6) 691 , 1 0 ( 691 , , "

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3. 6

F u n ci n Lo ga r tm ica .


Si nos encontramos con la forma exponencial B / C , es natural que deseemos resolver la ecuacin para C , lo que equivale a: C 691 / B a la expresin "691 / " la denominaremos " Logartmo natural de ", en nuestro caso logartmo natural de B lo que se denota por: C 68 B si y slo si B /C

Las funciones exponenciales y las funciones logartmicas son inversa entre s. Como tales, la una contribuye en la solucin de la otra. Puesto que 68 B significa la potencia a la que debe elevarse " / " para obtener B, se concluye que: 1) /68 + + 2) 68 / " ; ; /68B B 68 / + + ; ; / 6 8 0 B 0 B 6 8 /0 B 0 (B)

Aplicaciones de Logartmo Natural

Ejemplo 346: La poblacin del mundo est creciendo a un ritmo aproximado del 3% anual reponiendo el modelo T (>) T! /0,03 > , donde > es el tiempo en aos. Cunto tardar la poblacin mundial en duplicarse?. Solucin: T (>) T! /0,03 > 2T! T! /0,03 > 2 e0,03 > 68 6 8 2 0, 03 > 68 / 68 2 0, 03 > 682 > 0, 03 > 23, 1

La poblacin tardar en duplicarse 23,1 aos.

Ejemplo 347: Cuntos aos > demorar una suma de dinero T para triplicarse a un inters compuesto del 8 %, anual?. Solucin: A 3T 3 68 3 68 3 6 8 1, 08 > 14 El dinero tardar en triplicarse 14 aos. T (1 0,08) > T (1 0,08) > (1 0,08)> 6 8 > 6 8 1,08. >

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Logartmo Natural.


Solucin:

12 5 /9 < 2, 4 /9 < 6 8 6 8 2, 4 9 < 6 8 2, 4 < 9 0,09 < < 9 %.

La razn de crecimiento es de un 9% despus de 9 horas.

Ejemplo 349: Las moscas de rboles frutales crecen a razn de 5, 8% al da.Cunto demorar la poblacin en llegar a ser cuatro veces su tamao actual?. Solucin : T (>) T! /0, 058 4P! P! /0, 058T 4 / 0,058

68 4 D 0, 058 D 24 dias.

Ejemplo 350: Una persona desea obtener en seis aos un milln de pesos depositando hoy $500.000, si la tasa de inters que el banco le otorga es de un 10 % anual. Alcanza ha obtener el dinero que desea en el tiempo requerido? Resp: No alcanza.

Ejemplo 351: Determinar en cuanto tiempo se obtendr el doble de dinero si se deposita hoy $300.000 a inters contnuo al 15% anual. R: 4,62 aos.

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Ejemplo 348: El fermento de un cultivo aumenta de 5 gramos a 12 gramos despus de 9 horas. Halle la razn de crecimiento > aos. P3 Poblacin en el ao i. a) Indicar la poblacin inicial. b) Indicar la poblacin en el tercer ao. c) En cuntos aos se tendr 8.000 microorganismos. d) Cuantos aos pasaran para que la poblacin se triplique. Resp.: a) T! #!!! Hab. b) T$ #")) Hab. - > %' # aos. . > $' ' aos.

6.- Considerando que las ventas, de la empresa ABC, tienen una tendencia lineal. Se sabe que para ao 2000 las ventas fueron de 8.000 unidades y para el 2001, de 10.000 unidades. a) Indicar cul ser el nivel de venta para el ao 2002. b) Graficar la funcin indicando la ecuacin de la funcin. Res.: a) 12.000 unidades.

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5.- El crecimiento de un cultivo de microorganismos esta dado por la funcin:


2 . M A T R IC E S 1

Definicin: Una matrz es un arreglo rectangular de elementos escritos entre parntesis. Algunos ejemplos son: 1 -2 0 3 , 1 0 2 , a 1 -1 2 4 b

2. . 1 1

D im en sio n es d e u n a M a tr iz

En general

a11 a 21 . a m1

a12 a 22 am2

a13 a 23 a m3

a1n a2n a m 4 ... a m n a14 ... a 24 ...

Fila

Columna

Indica un elemento en la matriz, ubicada en la primera FILA tercera COLUMNA

La matriz definida anteriormente es una matriz de orden 7 x 8 ( se lee " 7 por 8"), es decir, tiene 7 filas y 8 columnas, al producto 7 x 8 se le llama tambin dimensin Muchas veces nos referimos a un elemento en general de la matriz como +34 indicando un elemento de la " 3sima " fila y la " 4-sima " columna de la matriz.

Ejemplo 2.1: Matrices y sus Dimensiones. 0 1 3], una matriz fila de 1 x 3 tambin llamado vector fila. 3 0 , una matriz columna 4 x 1 tambin llamado vector columna. 1 2

ES IMPORTANTE notar que primero se da el nmero de filas.

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UNIDAD III:

MATRICES, DETERMINANTES Y ECUACIONES LINEALES.


1 3 1 0

2 una matriz 2 x 2 1 1 2

( 7 8 , se dice que la matriz es cuadrada )

3 , una matriz rectangular 2 x 3. 1

[ 3 ] una matriz 1 x 1 es llamada escalar.

Igualdad de Matrices.

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensin y sus elementos correspondientes son iguales. Ejemplo 2.2: + . 0 B A ,C; /?; D > -D; 0 >

, /

C ?

Luego : + B ; . A;

2. . 1 2

O p er a cio n es co n M a tr ices

SUMA DE MATRICES.

Si dos matrices, E y F , tienen las mismas dimensiones, entonces su suma indicada por E F es la matriz cuyos elementos son las sumas correspondientes de E y F . Por ejemplo, si + E , B F . A C EF D +B -A ,C .D

Ya que la suma de dos matrices es igual a la matriz formada por la suma de los elementos correspondientes, se infiere de las propiedades de los nmeros reales que la suma de matrices de la misma dimensin es asociativa y conmutativa, es decir, si E, F , G son matrices de la misma dimensin entonces: EF FE Conmutativa. (E F G E (F G ) Asociativa.

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Si el nmero de filas es igual al nmero de columnas en una matriz se dice que ella es CUADRADA.


Se denomina matriz cero o nula aquella que tiene todos sus elementos iguales a cero. 0 0 0 0 [0 0 0 ] , , 0 0 0 Son matrices cero de diferentes dimensiones. Nota : " 0 " se puede emplear para denotar la matriz cero de cualquier dimensin

El negativo de una matriz Q , denotado por Q es una matriz cuyos elementos son los negativos de los elementos de Q Por lo tanto , si + Q , + Q . , .

Observese que Q [Q ] 0 ( la matriz es cero ).

SUSTRACIONES DE MATRICES:

Si E y F son matrices de la misma dimensin entonces se define la sustraccin o resta de la siguiente manera : E F E F

Por lo tanto, para restar la matriz F de la matriz E, simplemente se restan los elementos correspondientes.

Ejemplo 2.3: 1 2 3 2 1 4 1 1 3 2 3 2 1 4 1 3 3 2

4 2

MULTIPLICACIN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR.

El producto de un escalar O y una matriz Q , denotado por O Q , es una matriz con elementos formados por la multiplicacin de cada elemento de Q por O . Esta definicin est en cierto modo motivada por el hecho de que por ejemplo si Q es una matriz se deseara que Q Q sea igual a 2Q

Ejemplo 2.4:

2 3 3

0 1

1 6 2 9

0 3

3 6

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Obs : Matriz cero o nula.


Producto punto. El producto punto de una matriz fila 1 x 8 y una matriz columna 8 x 1 es el nmero real dado: c +1 +2 ... +8 d ,1 ,2 ,8 . +1 ,1 +2 ,2 . . . +8 ,8 un nmero

Producto de Matrices.

El producto de dos matrices E y F se define slo bajo la suposicin de que el nmero de columnas en E 7 x : es igual al nmero de filas en F : x 8, entonces la matriz producto de E y F , denotada por E F , es una matriz 7 x 8 cuyo elemento de la 3-sima fila y de la 4 sima columna es el producto punto de la fila 3-sima de la matriz E y de la columna 4-sima de la matriz F . Es importante verificar las dimensiones antes de comenzar el proceso de la multiplicacin. S una matriz E tiene dimensin + x , y la matriz F tiene dimensin - x . , entonces, si , - el producto E F existir y tendr dimensin + x . .

Ejemplo 2.4: Con un ejemplo se ayudar a aclarar el proceso : 2 E 2A 2x3 B 3x2

3 1

1 2

F

1 2 1

3 0 2

El nmero de COLUMNAS de A es igual al nmero de FILAS de B.

1 2 [2 3 1] 1 EF 1 2 [2 1 2] 1 9 EF 2 4 2

c2

3

1d

[ 2 1

3 0 2 3 2] 0 2

Propiedades de la Multiplicacin. La multiplicacin de matrices en general no es conmutativa. Q R puede ser cero sin que lo sean ni Q ni R . Suponiendo, que, para las matrices dadas E, F , G todos los productos y sumas entonces para O , un nmero real : 1) ( E F ) G = E (F G ) Propiedad Asociativa

estn definidos,

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MULTIPLICACIN DE MATRICES.


3) ( F G ) E 4) O (E F )

=F EG E

Propiedad Distributiva por la derecha

= ( O E ) F E (O F )

Como la multiplicacin de matrices no es en general conmutativa, las propiedades dos y tres deben escribirse como propiedades diferentes.

2. . 1 3

A p lica cio n esAdicin .

Ejemplo 2.5: Anlisis de Costos: Una compaa con dos diferentes fbricas, manufactura guitarras y banjos. Los costos de produccin para cada instrumento se dan en las siguientes matrices. Fbrica B Guitarra Banjo $ 30 $ 25 $ 60 $ 80 E Fbrica C Guitarra Banjo $ 36 $ 27 $ 54 $ 74 F " (EF ) #

Materiales labor

Encuentre el costo promedio para las dos fbricas =

Ejemplo 2.6: Herencia: Gregol Mendel ( 1822 - 1884 ), monje bvaro y botnico, hizo descubrimientos que revolucionaron la gentica. En un experimento cruz guisantes hbridos amarillos redondos ( amarillos redondos son las caractersticas dominantes ; los guisantes tambin eran de color verde y tenian plieges como caracteres recesivos ) y obtuvo 560 guisantes de los tipos indicados en la matriz. Redondo Arrugado 319 101 Amarillo Verde =M 108 32

Supongase que realiz un segundo experimento del mismo tipo y obtuvo 640 guisantes de los tipos indicados en la matriz. Redondo Arrugado 370 124 Amarillo - Verde R 110 36

Si se combinan los resultados de los dos experimentos escrbase la matriz resultante Q R . Calclese la fraccin decimal del N total de guisantes (1200) en cada categora de los resultados combinados Indicacin = 1 ( Q R) 1200

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2) E ( F G )

=E F E G

Propiedad Distributivapor la izquierda


Un sistema de ecuacin se puede escribir de la siguiente forma, utilizando matrices.

2x + 5y 3 z =10 x + 7y + z = 9 6x + y + 4 z = 8

2 5 3 x 10 1 7 1 y = 9 6 1 4 z 8

Ejemplo 2.7: Una fbrica de muebles tiene tres departamentos necesarios para la fabricacin de sus productos. La fbrica esta desarrollando tres diferentes tipos de modelos(X, Y, Z). Cada departamento incurre en costos ya sea de mano de obra como de insumos. En la siguiente tabla se detalla los costos que incurre cada departamento al fabricar los distintos tipos de muebles.Departamento A B C X ($/unidad) 3 2 1 Tipo de Mueble Y ($/unidad) 2 1 5 Z ($/unidad) 3 4 0.5

a) Escribir en forma de matriz el costo para cada departamento. b) Si se fabrican 10 unidades de X, 5 de Y, 8 de Z, determinar cual es el costo por departamento. Solucin:

a) Para el departamento A: El costo de producir una unidad de X es 3x, de producir Y es 2y y por ltimo una unidad de Z es de 3z. Por lo tanto, el costo que incurre el departamento A es: C1 $B #C $D Para Dpto B: Para Dpto C: C2 #B C %D C3 B &C ! &D

Como sistema de Ecuaciones queda: $B #C $D G" #B C %D G# B &C ! &D G$ En forma de matriz: $ # " # " & $ B G" % C G# ! & D G$

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Producto punto


$ # "

# " &

$ "! '% % & &( ! & ) $*

El costo que incurre el departamento A es de $ 64. El costo que incurre el departamento B es de $ 57. El costo que incurre el departamento C es de $ 39.

Ejemplo 2.8: Una fbrica produce un esqu acutico para salto. Necesita 4 horas de trabajo en el departamento de fabricacin y 1 hora en el de acabado para fabricar un esqu. El personal de fabricacin recibe $800 por hora y el personal de acabado $600 por hora. El costo total de la mano de obra por esqu est dado por el producto punto : [ 4 1 ] 800 = $ 3800 por esqu 600

Costo de la mano de obra es de $ $!!! por esqu.

Ejemplo 2.9: Una compaa, con fbricas localizadas en diferentes partes del pas, tiene necesidad de horas de trabajo y de salarios para la fabricacin de tres tipos de botes inflables. Como se indica en los siguientes matrices : horas de trabajo por bote 0,6 hrs 0,6 hrs 1,0 hrs 0,9 hrs 1,5 hrs 1,2 hrs 0,2 hrs 0,3 hrs 0,4 hrs

Q

Primera Fila : Bote para una persona Segunda fila : Bote para dos personas Tercera fila : Bote para cuatro personas Salario por hora Fbrica I $ 6 R $8 $ 3

Fbrica II $7 $ 10 $4

Primera fila : Departamento de Corte Segunda fila : Departamento de ensamble Tercera fila : Departamento de empaque

a) Encuntrense los costos de mano de obra para la fabricacin del bote para una persona en la fbrica I es decir, encuntrese el producto punto [ 0,6 0,6 0,2 ] 6 8 ! ' ' ! ' ) ! # $ * 3

El costo de mano de obra para la primera Fbrica es de : $ 9 para un bote de una persona.

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b)

B "! C & D )


c) Cul es la dimensin de Q R ? d) Encuntrese Q R e interprtela

Ejemplo 2.10: La Sra Smith y el Sr Jones son vendedores en una nueva agencia de automviles que venden solo dos modelos. Agosto fue el ltimo mes para los modelos del ao y en Septiembre se introduciran los modelos del siguiente. Las ventas brutas en dlares para cada mes se dan en las siguientes matrices. Ventas Agosto Compacto Lujo $ 18.000 $ 36.000 $ 36.000 =E 0 Primera Fila : Sra Smith Segunda Fila : Sr Jones Ventas Septiembre Compacto Lujo $ 72.000 $ 144.000 $ 90.000 $ 108.000 = F

Por ejemplo. la Sra Smith tena $ 18.000 en venta de automviles compactos en Agosto y el Sr Jones tena $ 108.000 en venta de automviles de lujo en Septiembre

a) Cules son las ventas combinadas en dlares en Agosto y Septiembre para cada persona y para cada modelo? Compacto $ 90.000 EF $ 126.000 Primera Fila : Sra Smith Segunda Fila : Sr Jones Lujo $ 180.000 108.000

b) Cul es el aumento de las ventas en dlares de Agosto a Septiembre ? Compacto Lujo $ 54.000 $ 108.000 FE $ 54.000 $108.000

Primera Fila : Sra Smith Segunda Fila : Sr Jones

c) Si ambos vendedores reciben el 5% de comisin por el total de sus ventas en dlares, calclese cunto recibi cada uno para cada modelo vendido en Septiembre. 0.05 72000 0,05 F 0.05 90.000 Primera Fila : Sra Smith Segunda Fila : Sr Jones 0.05 144.000 3600 0.05 108.000 4500 7200 5400

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b) Encuntrense los costos de mano de obra para la fabricacin del bote para cuatro personas en la fbrica II. Seleccione el producto punto como en la parte ( E ) y multiplquese.


1) Dadas las siguientes matrices : E 3 1 1 2 1 4 0 1 ,F 3 0 1 1 1 , 2 2 G 1 1 , 3

1 H 2 a) b) c) d)

3 1

EH 2H E EF (2E F ) 3G

2) Una empresa tiene tres departamentos para la fabricacin de tres productos diferentes. Sea la siguiente tabla de tiempos de produccin por departamento.Tiempo de Produccin (Hora/unidad)) Producto X Producto Y Producto Z Depto. A 5 3 3 Depto. B 4 5 4 Depto. C 6 7 5

Escribir en forma de matriz el tiempo de produccin para cada departamento, si se fabrican los tres tipos de productos. b) Calcular cul es el tiempo de produccin de cada departamento si se fabrican 15 unidades de X, 7 de Y y 8 de Z. c) Cul es el tiempo total de fabricacin si se producen 5, 8 y 3 de X, Y y Z respectivamente. $ Sean las matrices: 1 2 4 1 9 1 2 0 3 4 1 A= ; D = ; C = ; B = 2 5 3 7 8 1 1 2 2 4 1

a)

Resolver: 4A -B - 1/2 C + D C % Una empresa se dedica a fabricar zapatos de tres diferentes modelos.Tabla de Costos ($/Unidad) Modelo A Modelo B Modelo C 2 3 3 1 2 4

Mano de Obra Materiales

La demanda y los precios por cada modelo de zapato es la siguiente: Modelo A Modelo B Modelo C Precio ($/Unidad) 10 15 20 Demanda (unidades) 30 15 12

a) Calcular el costo de fabricacin de un zapato por cada modelo. b) Cul es el costo de mano de obra y materiales por satisfacer la demanda. c) Cul es el ingreso por tipo de zapato al satisfacer la demanda.

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1)

a)

4 1

0 6

3 0 3 6 4 3 5 3 6 3

b)

1 5 9 4 24 11

c)

d)

2) a)

5 4 6

3 5 7

3 x Tiempo Dpto. A 4 y = Tiempo Dpto. B 5 z Tiempo Dpto. C

b) T1 = 120 hrs. T2 = 127 hrs. T3 = 179 hrs. c) 231 Hrs.

$

"* #* #

" # $$ #

$$ # #!

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Respuestas


Determinante: Con cada matriz cuadrada E podemos asociar un nmero real o complejo llamado determinante de E y que denotamos ./> E, por ejemplo, si una matriz E + E , .

El determinante, ./> E es el nmero representado por J = (+ . ,- ) , es decir, el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Generalmente el smbolo que se usa para indicar un determinante es un par de barras verticales, por ejemplo : + ./> E , (+ . , - ) .

Debe recordarse que det A tiene un valor numrico, mientras que la matriz es un arreglo de nmeros.

Un determinante de orden R es uno con 8 filas y 8 columnas. Calcularemos a continuacin los determinantes de orden 2 y 3. Determinantes de segundo orden :

En general, se puede simbolizar un determinante de segundo orden de la siguiente manera: +11 +21

+12 +22

Donde emplea una letra simple con un doble subndice para facilitar la generalizacin a determinates de un orden ms alto. El primer subndice indica la fila a lo cual pertenece el elemento, y el segundo subndice indica la columna. As +21 es el elemento de la segunda fila y de la primera columna y +12 es el elemento de la primera fila y de la segunda columna. Cada determinante de segundo orden representa un nmero real dado por la frmula siguiente : +11 +21

+12 +22

+11 +22

+12 +21

Ejemplo 2.11:

./>

1 3

2 4 6 10 4

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2. 2

F u n ci n D eter m in a n te.


Un determinante de orden tres es un arreglo cuadrado de nueve elementos y representa un nmero real o complejo dado por la siguiente frmula :

a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a11 a 23 a 21 a33 a31

a12 a 22 = (a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a32 ) a32

(a31 a 22 a13 + a32 a 23 a11 + a33 a 21 a12 )

Propiedades de los determinantes.

Los siguientes teoremas facilitan mucho la tarea de evaluar los determinates de orden mayor o igual a 3 Teorema: Si se multiplica cada elemento de una fila ( o columna ) de un determinante por una constante O , el determinante resultante es O veces el original.

Teorema: Si todos los elementos de una fila ( o columna ) son ceros, entonces el valor del determinante es cero. Teorema: Si se intercambian dos filas ( o columnas ) de un determinante, entonces el determinante que resulta es negativo del anterior.

Teorema: Si dos filas ( o columnas ) de un determinante son iguales, entonces el valor del determinante es cero. Teorema: Si se suma a una fila ( o columna ) un mltiplo de otra fila ( o columna), el valor del determinante no cambia.

2 . . R egla d e C r a m er 2 1

A continuacin se ver como surgen los determinantes de manera natural en el proceso para resolver los sistemas de ecuaciones lineales. Inicialmente se investigarn dos ecuaciones con dos incognitas y despus se extendern estos resultados a tres ecuaciones con tres incgnitas. Sean las ecuaciones : +11 B +12 C 51 +21 B +22 C 5# P 1 ) P 2 )

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Determinantes de orden tres


B

5" +"" 5# +"# +"" +## +#" +"#

con +11 +22 +21 +12 0

Lo que podemos fcilmente asociar a : 51 52

B

+11 +21

+12 +22 +12 +22 +11 +21 21

En forma similar tenemos

C

+"1 +

51 52 +12 +22

a) Regla de Cramer para ecuaciones con dos incgnitas Dado el sistema : +11 B +12 C 51 +21 B +22 C 52 H +11 +21 +12 0 +22 51 5 +12 2 +22 H +12 +21

Con

Entonces

, B

C

51 52

H

El determinante H se denomina determinante de los coeficientes. Si H 0 el sistema tiene exactamente una solucin la cual est dada por la regla de Cramer. Por otro lado si H 0, entonces se puede demostrar que el sistema es inadecuado o es dependiente, es decir, el sistema no tiene soluciones o tiene un nmero infinito de soluciones.

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Se tiene que si se multiplica las ecuaciones P1 y P2 por constantes reales tal que se pueda reducir una de las variables se tiene : +11 B +12 C 51 +22 +21 B +22 C 52 +12 tenemos : +11 +22 B +12 +22 C 51 a22 +21 +12 B +12 +22 C 52 a12 B ( +11 +22 +21 +12 ) 51 +22 52 +12


Ejemplo 2.12:

Resolver : 3 B 4C 2B 5 C 1 2 3 2 3 2 1 2

B

4 5 5 8 13 13 = = = 15 8 23 23 4 5

C

1 2 6 2 4 = = 23 23 23

b) Regla de Cramer para 3 ecuaciones con tres incgnitas Dado el sistema : +11 B +12 C +13 D 51 +21 B +22 C +23 D 52 +31 B +32 C +33 D 53 +11 H +21 +31 51 52 53 +13 +23 +33 +13 +23 0 +33 +13 +23 +33 +11 +21 +31 51 52 53

con

+12 +22 +32

Entonces : +11 +21 +31

B

+12 +22 +32 H

C

51 52 53 H

D

+12 +22 +32 H

Es sencillo recordar estas frmulas de determianates para B, C , D si se observa :

1) El determinan

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