10/4/2015 10:47ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Estatística Aplicada I Prof. Dr....

11/04/23 13:50 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística AplicadaEstatística Aplicada I I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia

Campus de Tucuruí – CTUCCurso de Engenharia Mecânica

11/04/23 13:50 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

Capítulo IVCapítulo IV

Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia

Modelos de DistribuiçõesModelos de Distribuições

Campus de Tucuruí – CTUCCurso de Engenharia Mecânica


Introdução

Distribuições teóricas discretas

Distribuições teóricas contínuas

IV – Modelos de Distribuições


4.1 Introdução

Existem variáveis aleatórias que têm uma função de distribuição pertencente a uma classe de distribuições teóricas.

As distribuições teóricas, como o próprio nome indica, foram submetidas a estudos prévios e têm propriedades conhecidas; portanto, podem servir como modelo em determinadas situações em que a distribuição esteja identificada, poupando tempo na análise do problema estudado.


4.1 Introdução

As distribuições teóricas que aqui serão estudadas são:

• Caso discreto- Distribuição binomial- Distribuição hipergeométrica- Distribuição de Poisson

• Caso contínuo- Distribuição uniforme- Distribuição exponencial- Distribuição normal- Distribuição qui-quadrado- Distribuição t de Student- Distribuição F


Introdução





4.2 Distribuições Teóricas Discretas

Prova de Bernoulli

• A prova de Bernoulli é uma experiência aleatória que serve de base a várias distribuições teóricas (distribuição binomial, distribuição binomial negativa e distribuição geométrica).

• Consideremos uma experiência aleatória na qual existem apenas dois acontecimentos em que estamos interessados: o acontecimento A que será designado por sucesso e o acontecimento contrário, , que será designado por falha. O sucesso ocorre com probabilidade p, e o insucesso com probabilidade q = 1− p .

A



Prova de Bernoulli

• O espaço de resultados está assim particionado em dois acontecimentos em que:}A,A{S

p1q)A(PfalhaA

p)A(PsucessoA

• A uma experiência aleatória com estas características dá-se o nome de prova de Bernoulli.



Prova de Bernoulli

• Principais características:

pq)p1(ppp

pp1q0)x(fx

)X(E)x(E:Variância

pp1q0)x(fx:Média

2

1

0

2222i

2i

222i

2

1

0ii



Prova de Bernoulli

• Sucessão de provas de Bernoulli: Defini-se como o processo caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas seguintes condições:

1. Cada prova resultem em somente dois resultados possíveis, designados como “sucesso” e “falha”.

2. A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada por p, permaneça constante. A probabilidade de falha designa-se por q = 1− p.

3. As provas sejam independentes, isto é, os resultados obtidos numa sequência de provas não influenciam os resultados da(s) provas(s) subsequente(s).



Distribuição binomial

• Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos experimentos que apresentam apenas dois resultados: sucesso ou falha.

• Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses:

- H1. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas;- H2. cada prova admite apenas dois resultados – sucesso ou

falha;- H3. a probabilidade de sucesso é p e de falha é 1 – p = q.




• Considerando-se uma sucessão de n provas de Bernoulli, a variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos nessas n provas de Bernoulli tem distribuição binomial.

• A variável aleatória X, que é igual ao número de provas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com parâmetros p e n em que 0 < p < 1 e n = {1, 2, 3, ..., n}.

• A função de probabilidade de X é

n...,,2,1,0x,qpx

n)x(f xnx




• Principais características:

- De acordo com as hipóteses, observa-se que X é a soma de n variáveis do tipo “Bernoulli”, daí

npqn)X(Var:Variância

npn)X(E:Média

2




• Exemplo: Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma certa molécula rara. Considere que as amostras sejam independentes em relação à presença da molécula rara. Encontre a probabilidade de que, nas próximas 18 amostras, exatamente 2 contenham a molécula rara.

- Seja X = número de amostras de ar que contenham a molécula rara nas próximas amostras analisadas (sucessos); então, X é a variável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 18. Assim,

284,0)9,0()1,0(2

18)2X(Pqp

x

n)x(f 162xnx




• Exemplo: Determine a probabilidade de que no mínimo 4 amostras contenham a molécula rara.

- Neste caso, a probabilidade requerida é

098,0

)168,0284,0300,0150,0(1

)9,0()1,0(x

181

)9,0()1,0(x

18)4X(P

3

0x

x18x

18

4x

x18x




• Exemplo: Determine a probabilidade de que o número de amostras que contenham a molécula rara esteja entre 3 e 6.

- Neste caso, a probabilidade requerida é

265,0

005,0022,0070,0168,0

)9,0()1,0(x

18)6X3(P

6

3x

x18x



Distribuição hipergeométrica

• Suponhamos que temos um conjunto de N elementos e que M destes elementos têm uma certa característica em que estamos interessados (sucesso); logo os outros N-M elementos não têm essa característica.

• Ao retirarmos n elementos do conjunto inicial de N elementos (retirar de forma aleatória e sem reposição) consideremos X a variável aleatória que representa o número de elementos que são retirados e que têm a característica em que estamos interessados.

• A variável aleatória definida nas condições anteriores tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n.




• A probabilidade da variável aleatória assumir o valor x é dada por:

M,nmin...,,)MN(n,0máxxcom

n

N

xn

MN

x

M

)n,M,N,x(b)xX(P

• Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n, então:

1N

nN

N

MN

N

Mn)X(Var

N

Mn)X(E




• Exemplo: Na produção de 1000 parafusos em uma máquina A foi observado que 100 apresentam algum tipo de defeito. Como vão ser utilizados 10 parafusos de cada vez, determine a probabilidade de todos serem perfeitos.

- Neste caso, N = 1000, M = 100 e n = 10, a probabilidade requerida, portanto, será:

35,0

10...21

991...999100010...21

891...8999001

10

1000

010

1001000

0

100

)0X(P



Distribuição de Poisson

• A distribuição de Poisson (que deve o seu nome ao físico francês Simon Poisson) está associada a um grande conjunto de situações práticas cujos alguns exemplos são os seguintes:

- Número de mensagens que chegam em um servidor no intervalo de uma hora.

- Número de partículas defeituosas em um cm3 de volume de um certo líquido.

- Número de defeitos em um metro de comprimento, de um fio produzido por uma máquina têxtil.




• Todos os exemplos apresentados têm uma característica comum: a variável aleatória em estudo representa o número de ocorrências de um certo evento ao longo de um intervalo (tempo, comprimento, área ou volume).

• Os valores que a variável aleatória pode assumir são valores inteiros não negativos: 0, 1, ..., n,... .




• Outras características que identicam uma distribuição de Poisson são:

- O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são variáveis independentes.

- A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar é a mesma para intervalos da mesma dimensão; isto é, a probabilidade depende apenas da amplitude do intervalo e não da posição em que se situa nesse intervalo.

- As ocorrências do fenômeno descrito verificam-se uma a uma e

nunca em grupos.




• Se o número médio de ocorrências no intervalo em estudo for λ > 0, a variável aleatória X, que é igual ao número de ocorrências no intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro λ, sendo a função de distribuição de X dada por

...,2,1,0x,!x

e)x(f

x

• Características:

t)X(Var:Variância

t)X(E:Média




• Exemplo: Mensagens chegam a um servidor de computadores de acordo com a distribuição de Poisson, com uma taxa média de 10 por hora.

a) Qual a probabilidade de 3 mensagens chegarem em 1 hora?

b) Qual a probabilidade de 6 mensagens chegarem em 30 minutos?




• Exemplo:

0076,0!3

10e)3X(P

!x

e)x(f

310x

b) Seja X a representação do número de mensagens em 30 minutos (0,5 hora). Então E(X) = 10.0,5 = 5 mensagens e

1462,0!6

5e)6X(P

65

a) Seja X a representação do número de mensagens em 1 hora. Então E(X) = 10.1 = 10 mensagens e


Introdução





4.3 Distribuições Teóricas Contínuas

Distribuição uniforme

• Consideremos uma variável aleatória contínua, cujos valores podem ocorrer dentro dum intervalo limitado (aberto ou fechado) (a,b). Se quaisquer dois subintervalos de igual amplitude têm a mesma probabilidade, então a variável aleatória tem distribuição uniforme.

• Diz-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo (a,b) se a sua função de densidade de probabilidade for dada por:

xdevaloresoutrospara0

bxaab

1)x(f



bx1

bxaab

ax

ax0

)x(F

• Os parâmetros caracterizadores desta distribuição são a e b, que satisfazem a condição −∞ < a < b < +∞.

• Sua função de distribuição cumulativa F(x) é dada por:

• Características: Se a variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (a,b) então:

12

)ab()X(Var,

2

ba)X(E

2




2x0para,5,002

1

ab

1)x(f

• Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta (0,2). Qual a probabilidade de que este ponto esteja entre 1 e 1,5?


Então:

5,1

1

b1

a

25,0dx5,0)5,1x1(P

dx)x(f)bxa(P

- Seja X a representação da variável escolher um ponto de (0,2). A função densidade de probabilidade de X é dada por:


Distribuição Exponencial


• A distribuição exponencial está intimamente ligada à distribuição de Poisson. Se o número de ocorrências de um certo acontecimento segue uma distribuição de Poisson, a “medida de espaço” entre duas ocorrências consecutivas ou a “medida de espaço” até à primeira ocorrência segue uma distribuição exponencial.

• A distribuição exponencial é também usualmente utilizada na descrição do tempo de vida de aparelhos, de organismos etc. (lei de falhas exponencial).

• A distribuição de probabilidade de um intervalo entre dois sucessos consecutivos de uma lei de Poisson é a distribuição exponencial.



0xparaeλ)x(f xλ

• Sua função densidade de probabilidadea é dada por


onde λ é o parâmetro caracterizador da distribuição, sendo λ > 0.

• Características:

2

1)X(Var:Variância

1)X(E:Média



• O gráfico de f(x) é dado por:

• Função distribuição cumulativa:

0 x

f(x)

λ


0xpara,e1dxeλ)x(F

0xpara,0)x(F

xλx

0

xλ



• Conhecida a função distrbuição cumulativa de x, pode-se facilmente determinar

00 xx00 ee11)x(F1)xX(P

0 x

f(x)

λ

e-λxo

xo




• Exemplo: Os defeitos de um tecido seguem a distribuição de Poisson com média de um defeito a cada 400 m de tecido. Qual a probabilidade de que o intervalo entre dois defeitos consecutivos seja:


a) No mínimo de 1000 m;

b) Entre 800 e 1000 m.

Calcule a média e a variância.



• Exemplo:


- Sabe-se que na distribuição de Poisson E(x) = λt, então:

%32,5ou0532,0ee

)1000x(P)800x(P)1000x800(P)b

%81ou081,0ee)1000x(P)a

400

1

400

1000

400

800

400

1000x


Distribuição Normal

• É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada em inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística.

• A grande maioria das variáveis aleatórias contínuas que descrevem processos físicos ou características humanas seguem uma distribuição normal. Algumas vezes, as variáveis aleatórias não seguem uma distribuição normal, mas aproximam-se muito desta. Por outro lado, a distribuição normal desempenha um papel crucial na inferência estatística.

• É também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss




xpara,eπ2σ

1)x(f

2

2

σ2

)μx(

• Seja X uma variável aleatória contínua, X terá uma distribuição normal se


2)X(Vare)X(E

onde μ e σ são os parâmetros caracterizadores da distribuição.

• Se a variável aleatória X tem distribuição normal então:

• A notação N(μ,σ2) é frequentemente usada para denotar uma distribuição normal, com média μ e variância σ2.




• Quando se utiliza a distribuição normal na forma como se apresenta, para o cálculo das probabilidades, surgem dois problemas:

- A integração de f(x) fica difícultada, pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento da função em série;

- A elaboração de uma tabela de probabilidades única inexiste, pois como f(x) depende de dois parâmetros, isto acarreta um grande trabalho para tabelar essas propriedades considerando-se as várias combinações de μ e σ2.



• Esses problemas podem ser contornados por meio de uma mudança de variável, obtendo-se, assim, a distribuição normal padronizada ou reduzida.

• Distribuição normal padrão:

ii

XZ

em que X é uma variável normal de média μ e variância σ2.

- Seja Z uma variável aleatória tal que:




1)X(Var1

)X(Var1X

Var)Z(Var

01

)(E)X(E1

)X(E1X

E)Z(E

2

2

22

• Distribuição normal padrão:

- Logo, a função densidade de probabilidade será:

- A média e a variância de Z serão:

z,e2

1)z( 2

z2


- Como a média de Z é 0 e a variância 1, as probabilidades podem ser facilmente calculadas e tabeladas.



• Propriedades da distribuição normal


1. f(x) é simétrica em relação à média x = μ, ou φ(z) é simétrica em relação a z = 0.

μ0

f(x)

φ(z)





2. f(x) possui um máximo para x = μ, ou φ(z) possui um máximo para z = 0.

φ(z) 0,39





3. f(x) tende a zero quando x tende para ± ∞, o mesmo acontecendo com φ(z) quando z tende para ± ∞; isto é, x ou z

são assíntotas de f(x) ou φ(z).





4. f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem μ + σ e μ – σ, da mesma forma φ(z) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e –1.

μ+σ

μ-σ 0 1 -1





5. Em ambas as funções 99,99% dos valores da variável pertencem ao intervalo [μ - 4σ, μ + 4σ].





6. Na figura (a) estão representadas duas distribuições que têm o mesmo valor médio (μ1 = μ2), mas diferentes desvios padrões (σ1 < σ2). Na figura (b) estão representadas duas distribuições que têm o mesmo desvio padrão, mas médias diferentes.

(a) (b)1

2





6. Alguns resultados úteis relativos à distribuição normal, são sumarizados na figura abaixo. Para qualquer variável aleatória normal,

9975,0)3X3(P

9545,0)2X2(P

6827,0)X(P





- Pelo fato de mais de 0,9975 da probabilidade de uma distribuição normal estar dentro do intervalo (μ - 3σ, μ + 3σ), 6σ é frequentemente referida como a largura de uma distribuição normal.

- A integração numérica pode ser usada para mostrar que a área sob a função densidade de probabilidade normal de – ∞ < x < ∞ é igual a 1.



• Uso da tabela de distribuição normal padrão


- Existem vários tipos de tabelas que oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva normal padrão.

- Essa tabela fornece a área sob a curva normal padrão entre z = - ∞ até o valor de z considerado, ou seja, P(Z ≤ z).

zo





- O uso da tabela para encontrar, por exemplo, P(Z ≤ 1,53) é ilustrado na figura abaixo:

1,53

P(Z ≤ 1,53) = Φ (1,53)

= área sombreada

z 0.00 0,01 0,02 0,03 . . . 0,09

0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511967 . . . 0,535856

0,1 0,539828 0,503795 0,547758 0,551717 . . . 0,575345...

......

......

...

1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,936992 . . . 0,944083

......

......

......

3,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 . . . 0,999967





- Definição: A função Φ(z) = P(Z ≤ z) é usada para denotar uma probabilidade proveniente da tabela anterior. Ela é chamada de função distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal padrão.

- Uma tabela é requerida porque a probabilidade não pode ser determinada pelos métodos elementares.





- Outros exemplos:





- Exemplos: Os seguintes cálculos são mostrados de forma diagramática na figura a seguir.

10364,089616,01)26,1Z(P1)26,1Z(P)1



19490,0)86,0Z(P)2


91465,0)37,1Z(P)37,1Z(P)3






53886,0

10565,064431,0

)25,1Z(P)37,0Z(P)37,0Z25,1(P)4





0)6,4Z(P

0003,0)6,4Z(P

00003,0)99,3Z(P

)99,3Z(P)6,4Z(P)5





).próximomaisvalor(65,1z)95,0Z(P:tabelaDa

95,0)zZ(P05,0)zZ(P)6





.58,2zquando,99506,0étabelanavalordessepróxima

maisadeprobabilidA.tabelana995,0deadeprobabilid

aecorrespondzdevalorO.005,02/)99,01(aigualé

ãodistribuiçdaeextremidadcadaemáreaa,simetriaPor

99,0)zZz(P)7



• Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária


- Todas as distribuições normais estão relacionadas algebricamente e a tabela da distribuição normal padrão pode ser usada para encontrar as probabilidades associadas com uma variável aleatória normal arbitrária usando a transformação

ii

XZ

onde X é a variável aleatória normal de média μ e variância σ2.





- Exemplo: Suponha que as medidas de corrente em um pedaço de fio sigam a distribuição normal, com uma média de 10 miliampères e uma variância de 4 (miliampères)2. Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliampères?



5,12

1013

2

10XZ



- Seja X a representação da corrente em miliampères. A probabilidade requerida pode ser representada por P(X > 13). Usando a transformação de variável tem-se:

06681,093319,01

)5,1Z(P1)5,1Z(P)13X(P

Logo,


Distribuição qui-quadrado

2p

22

21

2p x...xx


onde “p” é um parâmetro da função densidade denominado grau de liberdade, normalmente indicado pela letra grega φ.

• Trata-se de um modelo de distribuição contínua muito importante para a teoria da inferência estatística.

• Seja x1, x2, ..., xp, “p” variáveis aleatórias independentes, normalmente distribuídas, com média 0 e variância 1. Define-se variável aleatória com distribuição qui-quadrado, como uma combinação das variâncias dessas variáveis aleatória:



2)(Var

)(E

222p

22


• Pode-se demonstrar que a média de uma distribuição qui-quadrado é igual ao grau de liberdade, e que a variância é igual ao dobro do número de graus de liberdade:




• A forma da curva que descreve a função densidade varia conforme o valor do grau de liberdade (valor do parâmetro φ):




- A distribuição qui-quadrado está tabelada. A tabela fornece a abscissa da distribuição para diversas áreas (probabilidades) da cauda à direita. Assim:

• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado




- Exemplo 01: Admita φ = 9 e α = 5%.

Entra-se na 1ª coluna com φ = 9, e na 1ª linha com α = 0,05; na intersecção dessas obtém-se o número 16,9.


16,9

φ = 9

α = 5%




- Exemplo 02: Considere uma distribuição qui-quadrado com parâmetro 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 90º percentil.

a) A média, a variância e o desvio padrão:


636)(

362)(

18)(

2218

218

2

218




- Exemplo 02:

b) A mediana





- Exemplo 02:

c) O 1º quartil





- Exemplo 02:

d) O 90º percentil



Distribuição t de Student


• Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha à distribuição normal padrão, N(0,1). É utilizada para inferências estatísticas, particularmente, quando se tem amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos (Fonseca & Matins, 1996).

• A distribuição t também possui um parâmetro denominado grau de liberdade (φ), e é simétrica em relação à sua média.

• A média dessa distribuição é zero, e sua variância é dada por:

)2(2

)t(tVar

0]t[E

2




• Gráfico da distribuição t de Student (para φ = 4):

• Observa-se que para valores de φ < 30 a distribuição t apresenta maior dispersão do que a normal padrão N(0,1), já que o desvio padrão, nesses casos, é maior do que 1, que é o desvio padrão da distribuição normal padrão.




03,1235

35)t( 35

02,1260

60)t( 60

41,124

4)t( 4

• Exemplo:

- Para φ = 4 tem-se:






- Trata-se de uma tabela bicaudal. Assim:

• Uso da tabela de distribuição t de Student




- Procedimento de uso da tabela:

• Uso da tabela de distribuição t de Student



a) A média, a variância e o desvio padrão:

• Exemplo: Considere uma distribuição t com parâmetro igual a 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 95º percentil.

06,113,1)t(:padrãoDesvio

13,1218

18)t(:Variância

0)t(:Média

18

182

18




b) A mediana – Md(t18) :

• Exemplo:


c) O 1º quatil – Q1:

d) O 95º percentil – P95:

Md =


Distribuição F

• Trata-se de um modelo de distribuição contínua também útil para inferências estatísticas.

• A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatórias independentes com distribuições qui-quadrado. Assim, uma distribuição F com p graus de liberdade no numerador e q graus de liberdade no denominador é expressa por:


p

q

q

p)q,p(F

2q

2p

2q

2p


Distribuição F

• A função F possui dois parâmetros: o grau de liberdade do numerador e o grau de liberdade do denominador, que são denominados, comumente, por φ1 e φ2 .

• A média, a variância e a moda dessa distribuição são dadas por:


2

2:Moda

24

22:Variância

2:Média

2

2

1

1

2221

21222

2

2


Distribuição F

• Formas de gráficos da distribuição F :



Distribuição F


• Uso da tabela de distribuição F

- A tabela fornece as abscissas que deixam α na cauda à direita, dados os parâmetros φ1 e φ2.


Distribuição F


• Uso da tabela de distribuição F

- Para se encontrar o valor da abscissa F1-α(u,v) utiliza-se a fórmula:

u,v,v,u,1 F

1F

- Exemplo: Admita uma distribuição F com u = 9, v = 5 e α = 5, determine as abscissas.


FIM

IV – Modelos de Distrubuições

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