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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON F A C U L T A D DE I N G E N I E R I A M E C A N I C A Y ELECTRICA

DIVISION DE E S T U D I O S DE P O S T G R A D O

LOCALIZACION DE FALLAS EN LINEAS DE TRANSMISION EMPLEANDO UN MODELO DE LINEA

CON PARAMETROS DISTRIBUIDOS Y TRANSFORMACIONES MODALES

T E S I S

EN O P C I O N AL G R A D O DE M A E S T R O EN CIENCIAS DE LA I N G E N I E R I A ELECTRICA

CON ESPECIALIDAD E N P O T E N C I A

P R E S E N T A

JESUS ALBERTO G O N Z A L E Z MURR'IETA

SAN NICOLAS D E LOS GARZA, N . L, JUNIO DEL 2004

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F O N D O T E S

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE NUEVO LEN FACULTAD DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA

DIVISIN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO

LOCALIZACIN DE FALLAS EN LNEAS DE TRANSMISIN

EMPLEANDO UN MODELO DE LNEA CON PARMETROS

DISTRIBUIDOS Y TRANSFORMACIONES MODALES

TESIS

EN OPCIN AL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS

DE LA INGENIERA ELCTRICA CON

ESPECIALIDAD EN POTENCIA

PRESENTA

JESS ALBERTO GONZLEZ MURRIETA

SAN NICOLS DE LOS GARZA, N.L. JUNIO DEL 2004

Universidad Autnoma de Nuevo Len

Facultad de Ingeniera Mecnica y Elctrica

Subdireccin de Estudios de Postgrado

Los miembros de comit de tesis, recomendamos que la tesis

LOCALIZACIN DE FALLAS EN LNEAS DE TRANSMISIN

EMPLEANDO UN MODELO DE LNEA CON PARMETROS

DISTRIBUIDOS Y TRANSFORMACIONES MODALES, realizada por el

alumno Jess Alberto Gonzlez Murrieta, matrcula 1158765, sea aceptada

para su defensa como opcin al grado de Maestro en Ciencias de la

Ingeniera Elctrica con especialidad en Potencia.

El comit de Tesis:

Asesor Dr. Ernesto Vzquez Martnez

Coaj Dr. Jose Luis

Coassor Dr. Rodolfo Salinas Villareal

San Nicols de los Garza, N.L. Junio del 2004

A Dios.

A Erasmo, T i t a , Mar ina , Ale jandra , Juan , Alexita , Indy, Claudia. . .

Si..

Si guardas en tu puesto, la cabeza tranquila, cuando todo a tu lado es cabeza perdida.

Si tienes en ti mismo una fe que te niegan y no desprecias nunca, las dudas que ellos

tengan.

Si esperas en tu puesto, sin fatiga en la espera.

Si engaado, no engaas y no buscas ms odio, que el odio que te tengan.

Si eres bueno y no finges ser mejor de lo que eres, y al hablar no exageras lo que sabes

y quieres.

Si sueas, y los sueos no te hacen su esclavo; si piensas y rechazas lo que piensas en

vano.

Si tropiezas con el triunfo, si llega tu derrota, y a los dos impostores les tratas de igual

forma.

Si logras que se sepa la verdad que has hablado, a pesar del sofismo del orbe encanallado.

Si arriesgas en un golpe y lleno de alegra, tus ganancias de siempre, a la suerte de un

da... y pierdes, y te lanzas de nuevo a la pelea, sin decir nada a nadie de lo que es y de lo

que era.

Si logras que tus msculos y el corazn te asistan, an despus de su fuga en fatiga, y

se agarren contigo cuando no quede nada, porque tu lo deseas y lo quieres, y mandas...

Si hablas con el pueblo y guardas tu virtud; si marchas junto a reyes con tu paso y tu

luz.

Si nadie que te hiera, llegue a hacerte la herida.

Si todos te reclaman y ninguno te precisa.

Si llenas un minuto envidiable y cierto, de sesenta segundos que te lleven al cielo...

Todo lo de esta tierra, ser de tu dominio, y mucho ms an...

Sers hombre, hijo mo.

Rudyard Kipling

Agradecimientos

A principios de los ochenta pases como Espaa y Brasil se encontraban en una

situacin econmica similar a la nuestra. En esa dcada estos pases decidieron in-

crementar el apoyo otorgado hacia las instituciones encargadas de realizar desarrollo

tecnolgico, como uno de los caminos que permitieran contribuir hacia un bienes-

tar social. Actualmente, podemos ver que sus inversiones a largo plazo han dado

resultado.

En lo personal, comparto esa visin y estoy convencido de que una de las mejores

inversiones que se puede hacer en nuestro pas sigue siendo en la educacin.

Por lo anterior, quiero agradecer a todas aquellas personas que hacen posible la

existencia de instituciones que promueven la investigacin. A aquellas personas que

hacen posible que la educacin este al alcance de todos. Sobre todo, a aquellas perso-

nas que encuentran en la investigacin un deleite y que con ese amor por su profesin

promueven y alientan la incursin de nuevas generaciones en este maravilloso mundo

del conocimiento.

Quiero agradecer, pues, al Dr. Ernesto Vzquez, al Dr. Jos Luis Naredo y al

Dr. Rodolfo Salinas porque con su ejemplo encontr ese aliciente para concluir esta

aventura que emprend hace poco ms de dos aos.

De igual manera, quiero agradecer a todos aquellos estudiantes, sobre todo com-

paeros y amigos, en quienes siempre encontr las palabras de aliento, la dedicacin,

el valor, el ejemplo, pero sobre todo, la amistad que contribuyeron a hacer de un sue-

o una realidad. Quiero agradecer, pues, a Ramiro, Jorge A., Ornar, Giovanni, Jorge,

Edmund, Vane, y en general a todos los compaeros del Postgrado de Elctrica.

Muchas gracias por todo.

Resumen

Publicacin nm.

Jess' Alberto Gonzlez Murrieta, M.C. en Ingeniera Elctrica

Universidad Autnoma de Nuevo Len,2004

Profesor Asesor: Dr. Ernesto Vzquez Martnez

Todo elemento de un sistema elctrico de potencia esta expuesto a fallas. En

especial las lneas de transmisin, ya que debido al rea geogrfica que ocupan, estn

propensas a una mayor incidencia de cortocircuitos. Cuando una falla ocurre en una

lnea, es necesario determinar su ubicacin en forma precisa; de tal manera que se

puedan realizar las labores de reparacin y mantenimiento correspondientes. As, un

localizador de fallas con buena exactitud, redituar en tiempos de restablecimiento

menores y, en algunas casos, permitir anticiparse a la recurrencia de fallas.

Debido a la tendencia en los relevadores digitales de disminuir los tiempos de

operacin utilizando seales- de onda viajera, los algoritmos de localizacin de falla

disponen de menor tiempo para obtener informacin de falla del sistema, lo cual

implica que estos algoritmos deban de utilizar principios de operaci-Fon similares.

En el presente trabajo se propone un algoritmo para la localizacin de fallas en

lneas de transmisin basado en seales de onda viajera y que requiere informacin

desde un slo terminal de la lnea protegida. Este algoritmo considera un modelo de

la lnea de transmisin mediante parmetros distribuidos y las seales provenientes

del sistema elctrico de potencia. El sistema de ecuaciones resultante es de segundo

orden con derivadas parciales.

. El algoritmo determina, en retrospectiva, la manera como se han propagado las

seales desde el punto de falla hasta el localizador, lo cual permite establecer un perfil

tanto de voltaje como de corriente a lo largo de la lnea. El contorno de estas seales

permite ubicar el lugar donde ocurre una falla. La ubicacin de la falla corresponde

al punto donde la corriente tiene su valor mximo y el voltaje su valor mnimo. Para

tal fin, se utiliza el mtodo de las caractersticas.

El mtodo de las caractersticas ha sido aplicado por otros investigadores en

la simulacin de transitorios que consideran el efecto corona, en el estudio de no

uniformidades en las lneas de transmisin, y en la consideracin de la dependencia

frecuencial en los modelos de la lnea de transmisin. El mtodo consiste en encontrar

una nueva representacin del sistema de ecuaciones con que se modela la lnea para

posteriormente, y bajo ciertas restricciones, transformarlo en un sistema que con-

tiene nicamente derivadas ordinarias, el cual es resuelto numricamente mediante

diferencias finitas.

La informacin que se obtiene del algoritmo de caractersticas es tridimensional,

correspondiendo estas dimensiones al tiempo, la magnitud y la distancia que recorren

las seales.

Analizar la informacin tridimensional que proporciona el algoritmo es compli-

cado, por lo que se realiza una transformacin de sta a dos dimensiones graficando

el rea de la seal contra la distancia. Esto da por resultado un equivalente del perfil

del voltaje y de la corriente a lo largo de la lnea de transmisin.

Inicialmente el algoritmo es desarrollado para un sistema monofsico, y poste-

riormente mediante la utilizacin de la teora modal los resultados son extrapolados

para la localizacin de fallas en un sistema trifsico.

El algoritmo es validado considerando fallas monofsicas, bifsicas y bifsicas a

tierra. Adems, se valida el impacto que tiene la resistencia y el ngulo de insercin

de falla en la precisin del algoritmo.

ndice general

Agradecimientos VI

Resumen VI i

Nomenclatura XVI

1. Introduccin 1

1.1. Motivacin 1

1.2. Antecedentes 2

1.3. Objetivo 5

1.4. Metodologa 5

1.5. Estructura de la tesis 6

2. Algoritmos basados en componentes de fase 8

2.1. Introduccin 8

2.2. Descripcin del algoritmo de componentes de fase 9

2.3. Descripcin del algoritmo utilizando parmetros distribuidos 11

2.4. Localizacin de fallas en sistemas trifsicos empleando transformacio-

nes modales 14

2.5. Localizacin de fallas en sistemas trifsicos realizando compensacin

por efecto de acoplamiento mutuo 17

2.6. Resultados 18

2.6.1. Algoritmo que utiliza transformaciones modales 20

2.6.2. Algoritmo que utiliza compensacin por efecto de acoplamien-

to mutuo 22

2.7. Conclusiones del captulo 25

3. Algoritmo de caractersticas 27

3.1. Introduccin 27

3.2. Mtodo de las caractersticas 30

3.3. Criterios parada localizacin de fallas 33

3.4. Descripcin grfica del algoritmo de caractersticas 35

3.5. Resultados 36

3.6. Conclusiones 40

4. Localizacin de fallas en sistemas trifsicos mediante el algoritmo

de caractersticas 43

4.1. Introduccin 43

4.2. Mtodo de las caractersticas aplicado a un sistema trifsico 44

4.3. Criterios para la localizacin de fallas 47

4.4. Descripcin grfica del algoritmo 48

4.5. Resultados 55

4.5.1. Efecto de la resistencia de falla y el ngulo de insercin . . . . 56

4.5.2. Efecto de la compensacin serie 56

4.5.3. Efecto de la configuracin de los conductores 60


5. Conclusiones y recomendaciones 63


5.2. Aportaciones de la Tesis 66

5.3. Recomendaciones para trabajos futuros 66

A. Estimacin fasorial 72

A.l. Series de Fourier para seales continuas y peridicas en el tiempo . . 72

A.2. Estimacin fasorial 72

B. Algoritmo de localizacin de fallas mediante una lgica de compo-

nentes de fase 75

B.l. Introduccin 75

B.2. Estimacin de los fasores 76

B.3. Resultados 78

C. Onda viajera en sistemas monofsicos sin prdidas 80

C.l. Conceptos 80

C.2. Expresiones para el Voltaje y la Corriente 81

D. Condiciones frontera para las seales de onda viajera 83

D.l. Conceptos ' 83

D.2. Condiciones frontera para el extremo de recepcin 83

D.3. Condiciones frontera para el extremo de envo 85

E. Detector de falla 86

ndice de figuras

2.1. Sistema de prueba 10

2.2. Circuito de prefalla 10

2.3. Circuito de falla 11

2.4. Diagrama unifilar del sistema de prueba 19

2.5. Arreglo de conductores de la lnea s-r del sistema de prueba 19

2.6. Resultados para una falla monofsica slida a tierra 20

2.7. Resultados para una falla monofsica y con Rf = 10H 21

2.8. Resultados para una falla monofsica y con Rf = 1002 21

2.9. Resultados para una falla monofsica y con Rf variable (0 lOfi). . . 22

2.10. Resultados para una falla monofsica slida a tierra 23



2.13. Resultados ante una falla monofsica y con Rf variable (0 10O). . . 24

3.1. Principio de correlacin 29

3.2. Solucin numrica a travs de las caractersticas Ai y Ai 32

3.3. Sistema monofsico de 230kV 35

3.4. Seal de prefalla y de falla proveniente del sistema elctrico 37

3.5. Informacin inicial para el algoritmo de caractersticas 37

3.6. Manera en que se propaga la seal a lo largo de la lnea de transmisin,

para una falla en el kilmetro 50 en una lnea de 100 km 38

3.7. Representacin grfica de los criterios de localizacin 38

3.8. Respuesta del algoritmo ante un ngulo de insercin de 60 40

3.9. Respuesta del algoritmo ante un ngulo de insercin de 30 41

3.10. Respuesta del algoritmo ante un ngulo de insercin de 0o 41

4.1. Diagrama unifilar del sistema de prueba 49

4.2. Disposicin horizontal de los conductores 49

4.3. Seales de voltaje provenientes del sistema trifsico 50

4.4. Seales de corriente provenientes del sistema trifsico 51

4.5. Componente modal de tierra de las seales del sistema 51

4.6. Primer componente modal areo de las seales del sistema 51

4.7. Segundo componente modal areo de las seales del sistema 52

4.8. Informacin de falla representada mediante componentes modales. . . 52

4.9. Propagacin de la seal para el modo de tierra 53

4.10. Propagacin de la seal para el primer modo areo 53

4.11. Propagacin de la seal para el segundo modo areo 54

4.12. Propagacin de la seal para la fase A 54

4.13. Criterios para la localizacin de fallas 55

4.14. Unifilar del sistema de prueba con compensacin serie 59

4.15. Disposicin vertical de los conductores 60

A.l . Respuesta a la frecuencia del filtro de Fourier de un ciclo 74

A.2. Respuesta a la frecuencia del filtro de Fourier de medio ciclo 74

B.l . Aproximacin a la seal de corriente 77

B.2. Aproximacin a la seal de voltaje 77

C.l. Circuito monofsico de dos conductores, de longitud Ax 80

D.l . Circuito monofsico de dos conductores 84

E. l . Seales obtenidas por el localizador ante una falla monofsica 88

E.2. Componentes modales de las seales de voltaje ante una falla mono-

fsica 88

E.3. Componentes modales de las seales de corriente ante una falla mo-

nofsica 88

E.4. Seales obtenidas por el localizador ante una falla bifsica 88

E.5. Componentes modales de las seales de voltaje ante una falla bifsica. 89

E.6. Componentes modales de las seales de corriente ante una falla bifsica. 89

E.7. Seales obtenidas por el localizador ante una falla bifsica a tierra. . 89

E.8. Componentes modales de las seales de voltaje ante una falla bifsica

a tierra 89

E.9. Componentes modales de las seales de corriente ante una falla bif-

sica a tierra 89

E. 10. Seales obtenidas por el localizador ante una falla trifsica 90

E.l l .Componentes modales de las seales de voltaje ante una falla trifsica. 90

E.12. Componentes modales de las seales de corriente ante una falla trifsica. 90

Indice de tablas

3.1. Respuesta del algoritmo para una falla con Rp = l f i 39

4.1. Respuesta del algoritmo de caractersticas para una RF = 10 57

4.2. Respuesta del algoritmo de. caractersticas para una Rp = 100 . . . . 57

4.3. Respuesta del algoritmo de caractersticas para una Rp = 1002 . . . 58

4.4. Respuesta del algoritmo de caractersticas para una lnea con com-

pensacin serie y con una Rp de 10f2 59

4.5. Respuesta del algoritmo de caractersticas para una lnea con confi-

guracin vertical y con una Rp de 102 61

B.l. Respuestas del algoritmo de caractersticas y del algoritmo de esti-

macin fasorial 79

Nomenclatura

Smbolo Definicin

Corriente total medida en la ubicacin del localizador.

Ixs Corriente total proveniente de la terminal s y medida en el punto de falla.

I3.:T Corriente total proveniente de la terminal r y medida en el punto de falla.

hf Corriente de falla medida en el localizador (Isf = I8 hpf)-

Jspf Corriente de prefalla medida en el localizador.

Vs Voltaje total en el punto s.

VJ Voltaje de falla medido en el localizador (Vsf ~ Vs V s p f ) .

Vspf Voltaje de prefalla en el punto s.

m Distancia a la que se encuentra la falla en p.u.

ZL Impedancia de secuencia positiva de la lnea de transmisin.

RF Resistencia de falla.

IF Corriente total en el punto de la falla (Ixs + Ixr).

VF Voltaje en el punto de falla.

X Punto de falla.

X Distancia a la que se encuentra la falla en unidades de longitud.

Es Fuente equivalente detrs del punto s.

Er Fuente equivalente detrs del punto r.

zs Impedancia equivalente detrs del punto $. Zf Impedancia equivalente detrs del punto r.

Vxe Voltaje de falla estimado para el punto de falla.

1xesf Corriente de falla estimada para el punto de falla, proveniente de la terminal s

1xerf Corriente de falla estimada para el punto de falla, proveniente de la terminal r

z Impedancia de secuencia positiva de la lnea de transmisin en p.u.

Captulo 1

Introduccin

1.1. Motivacin

Todo elemento de un sistema elctrico de potencia est expuesto a fallas. Por

las distancias que usualmente abarcan y por las condiciones ambientales a las que

frecuentemente estn expuestas, las lneas de transmisin son los elementos ms

susceptibles a cortocircuitos.

Las fallas pueden ser permanentes o transitorias. La cada de conductores y/o

estructuras son del primer tipo, mientras las fallas transitorias pueden ser originadas

por el contacto fortuito de la rama de un rbol con una fase de la lnea de transmisin,

o ante la presencia de un arco elctrico a travs de un aislador por exceso de humedad

y/o contaminacin.

El contar con un dispositivo que permita localizar el lugar donde tuvo lugar una

falla en una lnea de transmisin redituar en tiempos de restablecimiento menores

y, en algunos casos, esto permite anticiparse a la recurrencia de fallas. El tiempo

de restablecimiento es menor debido a que el personal, encargado de la tarea de

mantenimiento y reparacin, tendr conocimiento de la ubicacin del problema sin

necesidad de realizar inspecciones visuales; esta tarea es crtica cuando la lnea se

encuentra en una geografa de difcil acceso.

Un problema que enfrentan los sistemas elctricos son los bajos niveles de re-

dundancia en sus redes de transmisin, constituidas principalmente por lneas de

transmisin de alto voltaje, y transformadores de potencia. sta debe tener la capa-

cidad suficiente para transportar la energa desde las plantas de generacin hasta los

grandes centros de consumo, an cuando ocurra un cortocircuito que provoque la

desconexin de elementos de la red, o en el caso de que algunos de sus componentes

puedan estar fuera de servicio por mantenimiento. Cuando la red se ve disminuida

en su capacidad de transmisin por alguna de estas circunstancias, uno o ms de

sus componentes puede sufrir una sobrecarga tratando de mantener la capacidad

de transmisin. En condiciones extremas, estos elementos pueden ser desconectados

en forma automtica para evitar que sufran daos permanentes. Sin embargo, estas

desconexiones disminuyen an ms la capacidad de transmisin, ocasionando ma-

yores sobrecargas a otros enlaces, los cuales a su vez pueden ser desconectados del

sistema por sobrecarga, ocasionando con ello un efecto domino en la apertura de

lnea por sobrecarga. El contar con un dispositivo de localizacin de fallas permitir

localizar el lugar del evento y el restablecimiento de la lnea fallada en el menor

tiempo posible, reduciendo con ello el tiempo en que el sistema ha visto reducido

sus mrgenes de seguridad.

1.2. Antecedentes

Con el surgimiento de los sistemas elctricos hacia finales del siglo XIX, los cuales

permitan la transmisin y distribucin de la energa elctrica de manera similar a

como se hace hoy en da, tambin surgi la necesidad de protegerlos contra eventos

que ponan en riesgo la continuidad del servicio y la seguridad de las personas.

Ha pasado un poco ms de un siglo desde que se utiliz el primer relevador

electromecnico de induccin (1901) en la proteccin de los sistemas elctricos de

potencia, y podemos decir que con ello, se dio comienzo a la bsqueda de lgicas y de

sistemas de proteccin cada vez mas eficientes. As, surgen principios de operacin

como el diferencial (1908), direccional (1910) y distancia (1923). Con el continuo

desarrollo tecnolgico, los relevadores han evolucionado, pasando de relevadores con

mecanismos electromecnicos,'a relevadores construidos con dispositivos semicon-

ductores, circuitos integrados y microprocesadores. A pesar de dicha evolucin, la

lgica de operacin sigue siendo prcticamente la misma [1].

Un primer trabajo publicado en la localizacin de fallas en lneas de transmisin

aparece en 1968, con el algoritmo denominado de reactancia [2, 3], el cual se basa en

la medicin de la componente imaginaria de la impedancia medida desde un terminal

de la lnea en condiciones de cortocircuito. J. Kohlas en 1974 [4], utiliza un modelo

de la lnea de transmisin e informacin de alta frecuencia generada en el momento

de la falla, para indicar el lugar donde tuvo lugar el evento . Posteriores trabajos

como el realizado por Hermn Dommel en 1978 |5], proponen un algoritmo el cual

compara los frentes de onda generados en el momento de la falla, y que mediante

un proceso diferencial de tiempos determina el lugar donde ocurri la falla. Takagi

et al en 1981 y 1982 [6, 7], propone un algoritmo el cual utiliza una representacin

fasorial de las seales y un modelo del sistema mediante parmetros distribuidos

y orienta la solucin de las ecuaciones de tal manera que minimiza el efecto de

la resistencia de falla sobre la respuesta del localizador. Eriksson et al en 1985,

propone un algoritmo similar al de Takagi, a diferencia que incluye la impedancia

de la fuente [8]. Crossley y McLaren [9] en 1983, proponen un algoritmo que recibe

informacin de ondas viajeras desde un terminal y que mediante un proceso de

comparacin mediante correlacin localiza el lugar de la falla. Otros investigadores

han propuesto sustituir la tcnica de correlacin por tcnicas de reconocimiento de

patrones (1995) utilizando redes neuronales [10] o por un anlisis espectral (1998)

utilizando onduletas [11].

En general los algoritmos empleados en la localizacin de fallas se dividen en

dos grupos: Los que utilizan representacin fasorial de la seal (componentes de

fase), y los algoritmos que utilizan las seales transitorias de alta frecuencia que se

generan al momento de ocurrir la falla (ondas viajeras). Los algoritmos basados en

componentes de fase son los que se utilizan actualmente en los en los localizadores

de falla [12, 13].

Los algoritmos que utilizan de onda viajera no han sido utilizados por dos ra-

zones: 1) Los transformadores de corriente (TC) y potencial (TP) que se utilizan

en la mayora de las subestaciones elctricas de potencia, tienen un comportamiento

frecuencial tipo filtros pasabajos, con una frecuencia de corte de alrededor de 10kHz,

lo cual contrasta con las frecuencias que se requieren obtener de las seales de onda

viajera [14]. 2) Las frecuencias de muestreo y el nmero de operaciones aritmticas

entre muestras que se requieren, imponen velocidades de funcionamiento mayores

que la de los procesadores existentes. Estas restricciones han desaparecido prcti-

camente con el uso de transductores pticos y el incremento en la velocidad de los

procesadores, pero slo en algunas subestaciones.

Los algoritmos de localizacin de fallas tambin suelen clasificarse acorde al n-

mero de elementos que requieren para su operacin. As, encontramos algoritmos

que requieren informacin de un solo terminal [4, 6, 7, 9, 8], y aquellos que requieren

compartir informacin desde ambos extremos de la lnea de transmisin[5, 15, 16], y

que por lo tanto requieren de un canal de comunicacin. El contar con un localizador

de un slo terminal resulta ser lo ms idneo, debido a que requiere nicamente un

dispositivo por lnea protegida y no necesita de un canal de comunicacin. Dispo-

sitivos de un solo terminal resultaran, por lo tanto, ms econmicos; dando con

ello la posibilidad de extender su uso a sistemas de distribucin, donde uno de los

problemas que actualmente se tiene es la deteccin de conductores cados.

Actualmente, la mayora de los algoritmos son orientados a utilizar seales de

onda viajera, porque ello permite tiempos de respuesta menores que con los algo-

ritmos de componentes de fase. Y es que existe un periodo mnimo requerido en

el proceso de filtrado para los algoritmos basados en componentes de fase, que en

el mejor de los casos es del orden de medio ciclo, que impone una limitante en los

tiempos de respuesta. Mientras que t rabajar con las seales onda viajera generadas

en el momento de la falla, permite contar con informacin prcticamente desde el

momento mismo en que sta ocurre.

1.3. Obje t iw

El objetivo de la presente tesis es desarrollar un algoritmo de localizacin de

fallas para un sistema de transmisin trifsico, a partir de un modelo de la lnea de

transmisin mediante parmetros distribuidos, transformaciones modales e informa-

cin de onda viajera de las seales de voltaje y corriente, provenientes del sistema

elctrico de potencia y generadas en el momento de la falla.

El algoritmo propuesto se basa en el mtodo de las caractersticas, que permite

resolver el sistema de ecuaciones con derivadas parciales que modela a la lnea de

transmisin.

1.4. Metodologa

Se estudian los algoritmos que requieren informacin de un slo terminal, esta-

bleciendo cuales son las diferencias existentes entre los que basan su principio en

componentes de fase con los de seales de onda viajera.

Se estudia el comportamiento de los algoritmos de componentes de fase en la

localizacin de fallas en sistemas trifsicos. Se estudia el impacto que la resistencia de

falla tiene sobre la respuesta de los algoritmos. Tambin se estudian las resistencias

de falla variables, con las que se trata de emular la presencia de arcos elctricos.

Se propone un mtodo de localizacin de fallas el cual requiere de informacin

de ondas viajeras que se generan en el momento de la falla. Dicha informacin es

recolectada a travs de una slo terminal de la lnea de transmisin. Se emplea un

modelo de la lnea de transmisin mediante parmetros distribuidos, as como el uso

de transformaciones modales [27].

Se describe el mtodo de las caractersticas, como un mtodo que se utiliza en

la solucin de ecuaciones que contienen derivadas parciales, y que se emplea en la

solucin de las ecuaciones con que se modela a la lnea de transmisin.

Inicalmente se describe la aplicacin y establecen los criterios para la localizacin

de fallas en lneas de transmisin monofsicas mediante el algoritmo de caracters-

ticas, para posteriormente, extrapolar los resultados a un sistema trifsico mediante

transformaciones modales.

Se estudia el impacto que la resistencia y el ngulo de insercin de falla tienen

sobre la respuesta del algoritmo propuesto. Se consideran sistemas con compensacin

serie, y arreglos de conductores en horizontal y vertical como parte de los escenarios

de prueba para el algoritmo.

En la validacin del algoritmo propuesto se consideran fallas monofsicas, bif-

sicas y bifsicas a tierra. Las fallas trifsicas, por su caracterstica de simetra no se

consideran en el presente estudio por no imponer ningn reto en la respuesta de los

algoritmos.

Los modelos de los sistemas elctricos a implementar en la presente tesis se harn

mediante PSCAD/EMTDC y los algoritmos se desarrollarn en MATLAB.

1.5. Estructura de la tesis

El captulo 2 describe las caractersticas principales de los algoritmos basados en

componentes de fase, cuya lgica actualmente se emplea en la localizacin de fallas

en lneas de transmisin, y se muestran los resultados obtenidos con estos algoritmos

ante la simulacin de fallas en un sistema elctrico de potencia.

El captulo 3 describe la manera en que se modela a la lnea de transmisin

mediante parmetros distribuidos, la forma en que el sistema de ecuaciones que

contiene derivadas parciales es resuelto mediante el mtodo de las caractersticas, y

la manera en que se implementa el algoritmo en la localizacin de fallas en lneas

de transmisin monofsicas. El captulo concluye con los resultados obtenidos por

simulacin en un sistema de prueba.

En el captulo 4 se extiende la aplicacin del algoritmo de caractersticas hacia

un sistema trifsico empleando transformaciones modales. El captulo presenta los

resultados obtenidos en la localizacin de fallas en una lnea de transmisin trifsica

en distintos escenarios que incluyen un lnea con y sin compensacin serie, una lnea

con configuracin vertical y otra con configuracin horizontal; adems se consideran

diferentes resistencias y ngulos de insercin de falla.

En el captulo 5 se presentan las conclusiones finales, as como las aportaciones

de la presente tesis y las recomendaciones para trabajos futuros en la localizacin

de fallas en lneas' de transmisin.

Captulo 2

Algoritmos basados en componentes

de fase

2.1. ntroduccin

Cuando una falla ocurre en una lnea, es necesario determinar su ubicacin de

forma precisa, de tal forma que se puedan realizar las labores de reparacin y man-

tenimiento correspondientes. As, un localizador de fallas con una buena exactitud

redituar en tiempos de restablecimiento menores y, en algunos casos, permitir

anticiparse a la recurrencia de fallas.

Los algoritmos que actualmente se emplean en la localizacin de fallas en lneas

de transmisin, se derivan de un modelo en estado estable del sistema elctrico de

potencia, que en conjunto con la informacin de las seales de voltaje y corriente

representadas en forma fasorial, permiten localizar el punto de falla [12, 13].

Uno de los algoritmos mas representativos de componentes de fase, es el algoritmo

desarrollado por T. Takagi et, al (6, 7], el cual considera al sistema elctrico lineal

y homogneo en su totalidad. Este algoritmo plantea una solucin al sistema de

ecuaciones que emula al sistema elctrico, de tal manera que se logra disminuir el

efecto de la resistencia de falla. Un trabajo posterior, propuesto por Eriksson et al

[8], es un algoritmo similar al de T. Takagi et al, slo que ste considera el efecto de

las impedancias de la fuente, con lo cual se logra una mejor exactitud en los casos de

que la impedancia de la fuente permanezca constante, algo que en la mayora de los

sistemas elctricos no ocurre. Estos algoritmos arrojan errores por debajo del 5%,

para resistencias de falla de hasta 101 Una caracterstica de estos algoritmos es que

el tiempo de operacin est en funcin de la adquisicin de la informacin para el

clculo de los fasores de voltaje y corriente. En el mejor de los casos, e) clculo de los

fasores requiere de un tiempo equivalente a medio ciclo de la frecuencia fundamental,

con un compromiso entre la rapidez del clculo y la precisin requerida. Existen otros

factores que determinan los tiempos de operacin de estos algoritmos, entre ellos el

filtrado analgico anti-aliasing y el filtrado digital [17].

El objetivo del presente captulo, es dar una introduccin a los algoritmos que

utilizan una representacin fasorial de las seales para localizar el punto de falla.

Para tal fin, se toma de referencia el t rabajo desarrollado por T. Takagi et al [6, 7],

el cual es un algoritmo que ha resultado ser pionero y establecer las bases en la

localizacin de fallas en lneas de transmisin. En el presente captulo, se parte de la

premisa que el principal problema al que se enfrentan los algoritmos de localizacin

fallas, tiene que ver con la resistencia presente en el momento del evento. La esti-

macin fasorial de las seales es realizada utilizando un filtro de Fourier de 1 ciclo

(ver apndice A).

2.2. Descripcin del algoritmo de componentes de

fase

La descripcin del algoritmo parte de considerar un sistema elctrico tpico como

el mostrado en la Fig. 2.1 1. Utilizando el principio de superposicin, el sistema

descrito es representado como la superposicin de dos subsistemas: El primero (Fig.

2.2), representa al sistema de prefalla, es decir, son las condiciones existentes antes

de que la falla ocurra. El segundo (Fig. 2.3), representa al sistema fallado, es decir,

1Ver nomenclatura en el inicio.

7 V s p f 7 Z s m Z i. \ y Vrpf

m ) Z l Zr

E:

xsf Ixrf >Rf

M ET

Figura 2.1: Sistema de prueba.

7 V s p f V Z s m Z i \ y Vrpf

M ) Z L Zr

spf rpf

E'. 0 E ,

Figura 2.2: Circuito de prefalla

contiene nicamente informacin del sistema a partir del momento de que ocurre la

falla.

Considerando que el localizador se encuentra en la terminal S, se pueden esta-

blecer las siguientes relaciones para el sistema de prueba de la Fig. 2.1:

V8 = mZLIs + R f I f (2.1)

b = Ixaf + hrf ( 2 . 2 )

La corriente vista por el localizador puede ser expresada como la suma de las

corrientes de prefalla y de falla; a su vez se puede despejar la corriente de falla:

I s f = I a - Ispf (2.3)

Z s V s f mZi - m ) Z i _ Z r f Zr

1 sf i xs'f 'xrf Irf RF

EF

Figura 2.3: Circuito de falla

S se asume que la lnea de transmisin es homognea y que la relacin X / R de las

fuentes son similares al de la propia lnea, se cumple que la relacin entre la corriente

de falla vista desde el localizador (ISF) y la corriente de falla en el mismo punto de

falla (IF) sea un valor real (no hay desfasamiento entre las fuentes equivalentes).

Esta consideracin permite reducir la expresin (2.1), al considerar nicamente la

parte imaginaria del producto entre (2.1) y el conjugado complejo de la corriente de

falla (Isf) de la siguiente manera:

Im(VsI*f) = Im(mZLIsI*j) + Im(RFIFIf) (2.4)

mjVJtf)

donde m en (2.5), indica el punto donde ocurri la falla, con base a la informacin

de voltaje y de corriente obtenidas desde el extremo S.

2.3. Descripcin del algoritmo utilizando parme-

tros distribuidos

La expresin (2.5) se desarroll a partir de un modelo de lnea de transmisin con

parmetros concentrados, por lo que una mejor aproximacin para aquellos sistemas

con lneas de transmisin largas, resulta de considerar parmetros distribuidos.

. El voltaje y la corriente a lo largo de la lnea de transmisin puede ser conocida

en funcin de la informacin encontrada desde un terminal, mediante las ecuaciones

de lnea larga, de la siguiente manera [18]:

Vxes = Ks cosh yx ZCIS sinh 71c (2.6)

y . hesf = -4r s i n h - hf cosh yx (2.7)

c

donde 7 y Zc son la constante de propagacin y la impedancia caracterstica respec-

tivamente, y que se definen de la siguiente manera:

7 = yfZY (2.8)

= / z j r (2.9)

Para el punto de falla, se establece la siguiente relacin:

IFe = Ixesft (2.10)

donde IFe representa la corriente que circula desde la lnea de transmisin hacia la

falla, y es expresada en funcin de la corriente de falla proveniente de la terminal

S y una constante de proporcionalidad compleja C, la cual se define de la siguiente

manera:

C = (2 .11)

donde la magnitud es expresada como la relacin entre las corrientes de falla pro-

venientes de ambos extremos de la lnea de transmisin, y el ngulo, a partir de

la relacin entre la corriente de falla proveniente del extremo del localizador y la

corriente que fluye en el punto de falla:

her + 1 ( 2 < 1 2 ) Ixesf

9 = arctan {Fe/hes}) (2.13)

En el punto de falla, se cumple que el voltaje de falla Vxes puede ser expresado

en funcin de la corriente de falla 1f y la resistencia presente en el momento de

falla R f , de la siguiente forma:

Vscs - I f c R F (2.14)

Ahora, sustituyendo en (2.14) la relacin expuesta en (2.10), se tienen que:

Vxes = hesf^RF (2.15)

Al susti tuirn (2.15) las expresiones de lnea larga de voltaje y corriente expues-

tas en (2.6), (2.7) y (2.11) se tiene para el punto de falla:

Vs COSI172; ZCIS sinh7a: = sinh7 Is cosh yx)C,e:dRF (2.16) Zc

La expresin (2.16) se reduce mediante las siguientes consideraciones: 1) Se con-

sidera que el sistema es homogneo, dando por resultado que la constante compleja

C sea real. 2) Se multiplica la expresin por el conjugado complejo de la corriente de

falla (Ixes/Y, con lo cual se logra que el miembro derecho de la expresin sea real. 3)

Por ltimo, se considera la parte imaginaria de la expresin resultante. Considerando

lo anterior se tiene que:

Im{{V6 - ZJS t a n h t a n h 72; - Isf)*} = 0 (2.17) Zc

As mismo, las siguientes consideraciones se pueden aplicar para una lnea larga:

tanh yx ^ yx (2.18)

^ tanh yx < Isf (2.19) Zc

Por lo tanto, al sustituir (2.18) y (2.19) en (2.17) se obtiene una expresin re-

ducida de sta y que representa la ecuacin base del algoritmo de localizacin de

fallas:

Im(Vj;f) im(zi.i:f) (- i )

donde x indica la localizacin de la falla en unidades de longitud.

2.4. Localizacin de fallas en sistemas trifsicos em-

pleando transformaciones modales

El estudio de problemas en sistemas trifsicos de potencia impone varios retos,

uno de los ms comunes es el efecto del acoplamiento electromagntico existente

entre fases, que implica que cualquier variacin en las seales de corriente o voltaje

en cualquiera de las fases tenga influencia en las dems. Este acoplamiento existente

es modelado a travs de impedancias que expresan la inductancia mutua y propia de

cada lnea, para una representacin en estado estable. La magnitud de las impedan-

cias depende de factores como la distancia existente entre conductores, la geometra

transversal de la torre de transmisin, el nmero de hilos de guarda, entre otros.

La caracterstica principal de la matriz impedancias con que se modela una lnea

de transmisin idealmente transpuesta, es su simetra y que adems se encuentra

balanceada. Esto permite poder aplicar una matriz de transformacin para diago-

nalizar la matriz de impedancias[19], conseguindose con ello una simplificacin del

problema [20].

Las transformaciones modales, que es el nombre que recibe toda transformacin

que tenga por objeto diagonalizar una matriz, permiten expresar al sistema trifsico

mediante tres sistemas monofsicos desacoplados entre si [27].

En las secciones 2.2 y 2.3, se describieron dos algoritmos monofsicos, por lo

tanto, la aplicacin de estos algoritmos a un sistema trifsico resulta directo despus

de haber realizado la transformacin modal.

En esta seccin se desarrolla el algoritmo basado en componentes modales y

utiliza el algoritmo expresado en (2.16). Al extraer de (2.16) la parte imaginaria

y utilizar una representacin mediante las constantes ABCD, el algoritmo queda

expresado como:

( 2 . 2 1 )

donde:

A(x) = D{x) = cosh7a: (2.22)

B{x) = Zcsinh72' (2.23)

= ' (2.24)

La expresin en (2.21) denota la relacin existente entre el voltaje y la corriente a

lo largo de la lnea de transmisin, por lo tanto, la parte imaginaria de esta relacin

debe de ser cero para aquella distancia x que denota el punto de falla, ya que es el

nico punto donde la. corriente y el voltaje se encuentran en fase.

La informacin de voltaje y corriente, de falla y prefalla, es informacin que se

mide en el localizador, por lo tanto x es la nica incgnita. El proceso de encontrar

la distancia para la cual (2.21) se cumple, se vuelve un proceso iterativo, y que por

las caractersticas del problema, este se resuelve numricamente mediante el mtodo

de Newton Raphson.

Se utiliza la matriz de componentes simtricas para realizar la transformacin

modal, la cual es expresada de la siguiente manera:

(2.25)

Por lo tanto, la matriz que modela la lnea de transmisin es diagonalizada acorde

a lo siguiente:

Z ( m ) = T _ 1 Z ( P ) T (2.26)

y(m) _ t - i y ( p ) t (2.27)

donde m expresa las componentes modales 0, 1, y 2, denominados como modo de

tierra, primer areo y segundo areo, respectivamente, y p expresa las componentes

de fase A, B y C.

La impedancia caracterstica Zc y la constante de propagacin 7 para cada modo

es calculada acorde a:

1 1 1

T = 1 a2 a

1 a a2

/ 7m)

15 0 fl>2 8

. 7() = V ^ H y ( m ) (2.29)

En este caso se trata de una operacin escalar para cada modo, por lo que se usa

esta representacin.

De igual manera, las magnitudes de las seales correspondientes al voltaje y la

corriente son expresadas en componentes modales.

' v ( m ) = T " V P ) (2.30)

(m) = T - i O)

Ahora, (2.21) es expresada en componentes modales, que dependiendo del tipo

de falla, ser el tipo de informacin que se emplee. As, para una falla monofsica:

Vafc){x) - I$DU)(x) i / J o l , . . . - = 0 (2.32)

j { 0 , 1 , 2 }

donde j denota la componente de secuencia que se puede utilizar. Para una falla

monofsica se pueden utilizar cualquiera de las componentes de secuencia de la

corriente; VF es el voltaje en el punto de falla para cada modo y se expresa en

trminos de las ecuaciones de lnea larga de la siguiente forma:

y{m) = y ( m > A ( m ) ^ _ / M f M ^ ) (2.33)

De igual manera para una falla bifsica, la expresin (2.21) es expresada como:

/ v1 } - V3) \ Im % = 0 (2.34)

\VafcW(x)-I$DW{x)J

3 {1,2}

As, las expresiones (2.32) y (2.34) conforman el algoritmo de componentes mo-

dales, mediante el cual es posible localizar una falla en la lnea, independientemente

del tipo de falla.

2.5. Localizacin de fallas en sistemas trifsicos rea-

lizando compensacin por efecto de acoplamien-

to mutuo

El siguiente algoritmo contiene en principio los fundamentos expuestos anterior-

mente, no obstante el algoritmo ha sido modificado para emplearlo en la localizacin

de fallas en sistemas trifsicos, realizando una compensacin por efecto de acopla-

miento mutuo [7].

Para fallas monofsicas y para un sistema de hasta doble circuito, el algoritmo

es expresado acorde a:

~ { '

donde:

VLAI HK{ZA\KIK)-

K Al , Bl , Cl , A2 B2 y C2.

Al , B l y C l Cada una de las fases de la primera lnea de transmisin.

A2, B2 y C2 Cada una de las fases de la segunda lnea de transmisin.

VAI Voltaje de la fase A de la primera lnea.

IaAif Componente a de la corriente de falla de la fase A.

ZAIK Impedancia mutua relacionada a la fase A.

El trmino VLAI expresa las cadas de tensin originadas por las impedancias

mutuas entre cada una de las fases, donde K denota las fases para uno o dos circuitos;

as mismo, A,B y C denotan cada una de estas fases. El nmero 1 indica que se

t ra ta de las fases del primer circuito, y el 2 indica las fases corresponden al segundo

circuito, en caso de existir. El trmino ZAIK representa a todas las impedancias

mutuas relacionadas a la fase A de la misma lnea, y en dado caso, tambin refleja

las impedancias mutuas existentes con una segunda lnea adyacente.

. Para una falla entre fases y un sistema de hasta doble circuito el algoritmo es

representado por2:

~ ImiV^BiIlinf) ( }

donde:

Vlaibi (ZAIAI ZAIBI)IAI ~ {ZBIBI ZA\B\)IB\ + (ZCIAI ZCIBI)JCI + J2K(ZAIK ~ ZBU

Es

V s = 1 . 0 z 5 Zs m Z i

V r = 1 . 0 0 '

m ) Z i Z r

R-Er

Figura 2.4: Diagrama unifilar del sistema de prueba.

20-6m

Figura 2.5: Arreglo de conductores de la lnea s-r del sistema de prueba.

Respuesta del algoritmo

Nmero de Muestras

Figura 2.6: Resultados para una falla monofsica slida a tierra.

tierra a travs de una resistencia de 10 ohmios; c) Falla a tierra a travs de una

resistencia de 100 ohmios; e) Falla a tierra a travs de una resistencia que varia a

partir del momento de falla desde 0 hasta 10 ohmios en un lapso de 0.05s.

Los algoritmos cuentan con un detector de falla, el cual determina el momento en

que sta se presenta, y a partir de este instante la informacin se almacena durante

los dos siguientes ciclos. Almacenar informacin de falla durante ms de dos ciclos

no es conveniente, debido a que es el momento en que los interruptores comienzan

a liberar la falla.

2.6.1. Algor i tmo que util iza t ransformaciones modales

La respuesta del algoritmo a cada uno de los escenarios son mostrados en las

Figs. 2.6 a 2.9, respectivamente. En cada figura se muestra la localizacin de la falla

dada por el algoritmo en por unidad (respuesta del algoritmo) y la desviacin que

sta tiene con respecto a la ubicacin real de la falla en por ciento (error). Para que

se puedan apreciar mejor los resultados, los rangos han sido acotados tanto para la

respuesta del algoritmo como para el error.

En los resultados se aprecia como la respuesta del algoritmo tiende a ser oscilato-

ria: producto del proceso del filtrado y de la respuesta natural del sistema elctrico.


/ 60 es 70 75 80 as

Nmero de Muestras

Figura 2.7: Resultados para una falla monofsica y con R = 102.

1.3 3 a e ip n 0.8 o e S fft a 0


es 70

Error 78 80

3*

65 70 75

Nmero de Muestras 80

Figura 2.8: Resultados para una falla monofsica y con Rf = 1002.

c 0) A 0 E n ? o 0

10

s

S o

10

Figura 2.9: Resultados para una falla monofsica y con Rf variable (0 lOfi).

La oscilacin inicial es ms fuerte debido a la componente aperidica de C.D. de

la corriente de falla, y tambin debido a que la ventana de datos, con la que se

estiman los fasores de voltaje y corriente, se encuentra en un punto de transicin

entre informacin de falla y prefalla [21].

Al comparar los resultados obtenidos y representados en las Figs. 2.6, 2.7 y

2.8, se aprecia el impacto que sigue teniendo la resistencia de falla en la respuesta

del algoritmo. Al comparar los resultados obtenidos para una falla a travs de una

resistencia constante de lOfi (Fig.2.6), contra los resultados obtenidos ante una

resistencia de falla variable de 0 102 (Fig. 2.9), se aprecia como la resistencia

variable tiende a incrementar el error encontrado.

2.6.2. Algor i tmo que uti l iza compensacin po r efecto de aco-

p lamiento m u t u o

La respuesta del algoritmo a cada uno de los escenarios son mostrados en las Fig.

2.10 a 2.13, respectivamente. En cada figura se muestra la localizacin de la falla

(respuesta del algoritmo) y la desviacin que sta tiene con respecto a la ubicacin

real de la falla (error).

Al comparar la respuesta de este algoritmo, con el que utiliza transformaciones


/ 60 65 70 75 80 85

Error

/ / \ / \ / \ / \ \ / \ / / \ / J 60 65 70 75 80 85

Nmero de Muestras


/ k " BO BS 70 75 80 8S

Error 10, _

bo es 70 75 eo as

Nmero de Muestras

Figura 2.10: Resultados para una falla monofsica slida a tierra.


/

Error

Nmero de Muestras

Figura 2.11: Resultados para una falla monofsica y con Rf = lOfi.

Respuesta del algoritmo , i . a , , 3

E r r o r

60 69 70 75 SO 85 N m e r o d e M u e s t r a s

Figura 2.12: Resultados para una falla monofsica y con Rj = lOOfi.

Figura 2.13: Resultados ante una falla monofsica y con Rf variable (0 lOfi).

modales, se observa la similitud de resultados, por lo que los comentarios van en el

mismo sentido que en la seccin anterior.

2.7. Conclusiones del captulo

El algoritmo de propuesto por Takagi logra disminuir el efecto que la resistencia

de falla tiene en la exactitud del algoritmo, lo cual es el principal problema para

los algoritmos que utilizan una representacin fasorial de las seales de voltaje y

corriente. El algoritmo arroja un error por debajo del 5% para resistencias de falla

de hasta 101, lo cual se considera aceptable. Sin embargo, cuando la resistencia de

falla es mayor, el error encontrado se incrementa. Algo que pocas veces se considera

es el efecto que las resistencias de falla variable tienen sobre la respuesta de los

algoritmos. Las resistencias de falla variable son tpicas de arcos elctricos, ya sea

de una fase a tierra, entre fases, u otros. Al considerar resistencias de falla variable,

se ha encontrado que stas tiene un impacto en la respuesta del algoritmo.

Un factor importante en la exactitud de los algoritmos que utilizan componentes

de fase, es el procesamiento de la seal. Si bien es cierto, el algoritmo de localizacin

de fallas t rabaja fuera de lnea con la informacin producto de la falla, pero el

periodo de informacin debe de ser la suficiente como para que el algoritmo realice su

trabajo. El periodo de informacin mnimo de falla requerido en estos algoritmos es

impuesto por el proceso de filtrado, que en el mejor de los casos es de medio ciclo. En

contraparte, el periodo mximo de informacin de falla esta limitado por el momento

en que el interruptor comienza con el proceso de apertura, porque un tiempo despus

la informacin corresponde al fenmeno transitorio de la desenergizacin de la lnea

de transmisin. De manera general, si la informacin de falla es mnima la exactitud

de los algoritmos de componentes de fase disminuye, en comparacin con periodos

de informacin de falla mayores.

El proceso de filtrado para la estimacin fasorial requiere de un periodo mnimo

de informacin de falla para tal fin, que en el mejor de los casos es de medio ciclo de

la frecuencia fundamental. A su vez, el periodo de informacin de falla con el que se

estiman los fasores, es un factor que determina la exactitud con que se realiza dicha estimacin.

En las grficas presentadas producto de las diferentes simulaciones que se han

realizado, se aprecia que la respuesta del algoritmo es oscilatoria, sobretodo en la

parte inicial. Esto tiene que ver principalmente con la componente de corriente

directa presente en la corriente de falla, as como con el hecho de que la v e n t e a de

datos con la que se forman los fasores se encuentra en un punto de transicin entre

informacin de falla y de prefalla.

Captulo 3

Algoritmo de caractersticas

3.1. Dntroduccin

En el captulo anterior se analizaron los algoritmos que t rabajan con compo-

nentes de fase, destacndose que como parte natural del proceso de filtrado en la

representacin fasorial se requiere contar con un periodo de informacin de falla de

por lo menos medio ciclo de la seal fundamental [17]. Adems, se destac la rela-

cin existente entre el periodo de informacin de falla, la velocidad de operacin y

la exactitud, los cuales a su vez se contraponen.

Aquel periodo mnimo requerido en el proceso de filtrado establece un lmite al

tratar de reducir los tiempos de operacin por debajo de medio ciclo. Esta limitante

no es importante para los algoritmos cuya funcin es la de localizacin, porque su

trabajo es realizado fuera de lnea; pero si es importante en el caso de los algoritmos

de proteccin en los que se busca reducir los tiempos de respuesta a fin de minimizar

el dao a los equipos y al sistema de potencia.

Es por lo anterior, que se comenz a trabajar con las seales de alta frecuencia

generadas en el momento de la falla, lo cual permite contar con informacin prcti-

camente desde el momento mismo en que sta ocurre. Esto dio lugar a la creacin de

algoritmos de proteccin basados en seales de onda viajera 1 que lograron tiempos

: Es otra manera de hacer referencia a la informacin de alta frecuencia generada en el momento

de la falla.

de. operacin por debajo de los obtenidos con los algoritmos de componentes de fase.

Si los tiempos de respuesta de los algoritmos de proteccin se reducen con la

utilizacin de algoritmos de onda viajera, es imposible pensar en la coexistencia de

stos con algoritmos de localizacin de falla basados en los principios de componentes

de fase; porque, al reducir los tiempos de operacin tambin se reduce el periodo

de informacin de falla disponible, haciendo imposible la representacin fasorial. El

perodo requerido de informacin de falla lo impone la lgica a utilizar, y el periodo

disponible de informacin lo establece el momento en que el interruptor comienza a

ejecutar la orden de apertura dada por el relevador de proteccin. Por lo tanto, el

periodo de informacin con la que cuenta un localizador de falla depende en gran

parte de la velocidad de respuesta del relevador de proteccin.

Los algoritmos de localizacin de fallas basados en onda viajera, utilizan dife-

rentes lgicas de operacin: a) Los que utilizan un modelo del sistema y lo retro-

alimentan con las seales de voltaje y corriente provenientes del sistema elctrico

protegido [4], b) Los que realizan una comparacin entre el primer frente de onda

con sucesivos arribos de las seales reflejadas [9]. c) Los que utilizan un principio

diferencial, por lo que requieren intercambiar informacin entre ambos extremos de

la lnea [5, 15, 16].

Los de primer grupo utilizan un modelo del sistema a partir del cual se estiman

los parmetros de inductancia (L), resistencia (R) y capacitancia (C) de la lnea,

adems que el modelo es retroalimentado con las seales de falla de corriente y volta-

je del sistema. La desventaja de estos algoritmos radica en su mayor complejidad en

comparacin a los dems. Los del segundo grupo han sido el tipo de algoritmos mas

desarrollados, y dentro de las tcnicas de reconocimiento que se han utilizado estn

el uso de funciones de correlacin, reconocimiento de patrones y anlisis espectral

utilizando onduletas, entre otros. En la Fig. 3.1 se ilustra el principio de compara-

cin de seales. El principio consiste en comparar el primer frente de onda b en el

punto donde se encuentra el equipo de proteccin con las sucesivas seales refleja-

das producto de la falla. La seal c corresponde a la seal b un tiempo 2r despus.

Conociendo el tiempo 2r y la velocidad de propagacin de la seal v, que depende

Figura 3.1: Principio de correlacin.

de los parmetros fsicos de la lnea, se puede determinar la distancia en que se ori-

gin la onda viajera y que corresponde al punto de falla. La principal desventaja de

los algoritmos de este segundo grupo, se presenta ante fallas que ocurren cerca del

cruce por cero de la seal de voltaje, o de alta impedancia, o cerca del localizador,

as como para sistemas en cuyos puntos de unin inciden lneas de transmisin de

caractersticas similares. Los del tercer grupo requiere de un canal de comunicacin

al tener la necesidad de intercambiar informacin entre los dispositivos localizados a

ambos extremos de la lnea. La desventaja de estos ltimos radica en que se requiere

una mayor inversin.

Por lo anterior, en el presente captulo se propone un algoritmo para la locali-

zacin de fallas en lneas de transmisin basado en seales de onda viajera y que

requiere informacin desde un slo terminal de la lnea protegida. Este algoritmo

parte de la idea propuesta por J. Kohlas [4], que consiste en modelar la lnea de

transmisin mediante parmetros distribuidos y retroalimentar al modelo con las

seales provenientes del sistema. El sistema de ecuaciones con que se modela la

lnea de transmisin se resuelve mediante el mtodo de las caractersticas, que per-

mite representar un sistema de ecuaciones que contiene derivadas parciales en un

sistema que contiene derivadas ordinarias. Posteriormente, la solucin es encontrada

numricamente mediante diferencias finitas.

El mtodo de las caractersticas ha sido aplicado por otros investigadores en la

simulacin de transitorios que consideran el efecto corona [22], en el estudio de no

uniformidades en las lneas de transmisin [23], y en la consideracin de la depen-

dencia frecuencial [24] en los modelos de la lnea de transmisin.

3.2. Mtodo de las caractersticas

El modelo de la lnea de transmisin, en el que se considera que los parmetros

son independientes de la frecuencia, est dada por las ecuaciones del telegrafista. En

forma matricial [22]:

U + A U + B U - 0 ot ox

(3.1)

donde para una lnea de transmisin area, las matrices quedan definidas como:

U =

A =

B =

v

i

0 1 C

1 L 0

0 0

0 R/L

(3.2)

(3.3)

(3.4)

En estas expresiones v e i son el voltaje y corriente dependientes de la distancia

y el tiempo, v(x,t) e i(x,t) . Los parmetros de resistencia (R), nductancia (L) y

capacitancia (C) de la lnea de transmisin, son dados en por unidades de longitud.

Los eigenvalores de A. son:

1 Ai =

A, = -

VLC

1

y/LC

(3.5)

(3.6)

Los eigenvalores obtenidos-son reales y distintos, lo cual corrobora que (3.1) es

un sistema de ecuaciones hiperblico [25]. Ambos eigenvalores corresponden a la

velocidad de propagacin de la onda viajera y, a partir de los cuales, se obtiene la

matriz de eigenvetores izquierdos que es utilizada como la matriz de transformacin.

1 Zw

1 Zw Ejzq (3.7)

donde:

- yjL/C (3.8)

Al multiplicar (3.7) por (3.1) y reagrupar trminos, se obtiene la siguinete repre-

sentacin:

( | + A l | ) o + ^ ( | + A l ) j + A l = 0 (3.9)

+ + + = 0 (3.10)

Ahora en (3.9) y (3.10) Ai y A 2 se restringen a:

= A, (3.11)

= A2 (3.12)

donde (3.11) y (3.12) son ecuaciones diferenciales ordinarias que definen familias de

trayectorias en el plano x-t. Dado que para una lnea homognea Ai es una cons-

tante positiva, la ecuacin (3.11) define una familia de rectas con pendiente positiva

I/VLC que, en lo sucesivo, se denominarn caractersticas positivas (Fig.3.2). De

igual modo, dado que A2 es una constante negativa, la ecuacin (3.12) define la fa-

milia de caractersticas con pendiente negativa tambin esquematizadas en la Fig.

3.2. Si la solucin de (3.9) se restringe a lo largo de las caractersticas positivas y

tras aplicar la definicin de la derivada total de una funcin de dos variables, se llega

a la siguiente ecuacin diferencial ordinaria:

dv + Zwdi + Ridx = 0 (3.13)

Figura 3.2: Solucin numrica a travs de las caractersticas Ai y Ai.

Del mismo modo, si la solucin de (3.10) se restringe a lo largo de las caracters-

ticas negativas , sta se transforma en:

dv Zwdi + Ridx = 0 (3.14)

El sistema expresado por (3.13) y (3.14), es resuelto numricamente mediante

diferencias finitas de la siguiente manera:

RAx. {VL - VQ) + ZW{IL - IQ) + - + IQ) = 0

RAx (VL ~ vG) - Zw{iL - iG) + Z(L + G) = 0

(3.15)

(3.16)

donde los subndices Q y G, denotan los puntos donde se conoce la magnitud tanto

de v e i; inicialmente estos puntos hacen referencia al lugar donde se encuentra

el localizador. El subndice L hace referencia al nuevo punto donde nos interesa

conocer las magnitudes de v e i, y el cual se encuentra un Ax despus. Lo anterior

es mostrado en la Fig. 3.2, donde T es el periodo de muestreo. En este caso, el

desplazamiento se debe realizar a travs de las caractersticas Ai y A2.

Si (3.15) y (3.16) se resuelven inicialmente para L y posteriormente para VL, se

obtiene que:

1 1>L =

2Z w [(v

VL - \[{vQ + Va) - ZWlG + ZW21Q - AxRiL] (3-18)

donde Zw\ y Zwi se definen de la siguiente manera:

Z W 1 = Z W + ^ - (3.19)

Zyj 2 = Zw - (3.20)

Las expresiones (3.17) y (3.18) corresponden al algoritmo de caractersticas, que

permite conocer la manera en que se propagan las seales a lo largo de la lnea de

transmisin. El contorno de estas seales permite ubicar el lugar donde ocurri la

falla. La ubicacin de la falla corresponde al punto donde la corriente tiene su valor

mximo y el voltaje su valor mnimo.

Cabe resaltar, que para cada nueva iteracin (un Ax posterior) y como caracte-

rstica del mtodo de solucin, se pierden dos datos. Si K es el nmero de iteraciones,

entonces tendremos la prdida de 2K datos en la K-esima iteracin.

3.3. Criterios para la localizacin de fallas

El proceso de localizacin comienza con la informacin que ha sido recopilada

durante un perodo de tiempo T, tanto de la seal de voltaje como de corriente y

que se denotan como f (0 , ) e z(0,) respectivamente.

La informacin que se obtiene del algoritmo de caractersticas es tridimensio-

nal2, correspondiendo estas dimensiones al tiempo en mltiplos de As, magnitud en

kV, y la distancia en mltiplos de Ax. Analizar la informacin tridimensional que

proporciona el algoritmo es complicado, por lo que se realiza una transformacin

de sta a dos dimensiones graficando el rea de la seal contra la distancia. Esto

da por resultado un equivalente del perfil del voltaje, as como de la corriente, a lo

2 A modo de ejemplo, la Fig. 3.6 muestra la simulacin de una falla en el kilmetro 50, para una

lnea de 100 km de longitud.

largo de la lnea de transmisin. La transformacin es realizada acorde a la siguiente

expresin:

1 pT-y.t Fi(x) = Y ^ i l* v ^ d t t3"21)

V rT--yx

= l ( x ' t ) d t

donde x queda restringido a:

x < Tj27 ' (3.23)

en la cual 7 corresponde a la constante de propagacin y es definida como:

7 - VLC (3.24)

El trmino T 2-yx en (3.21) y (3.22), compensa la prdida de informacin que

ocurre cada Ax. Con x < T/'2j se ratifica que con N muestras se puede emular una

lnea no mayor a esa distancia.

Es importante determinar los perfiles de voltaje y corriente porque ello es un

indicativo del lugar donde ocurri la falla. Tanto el valor mnimo en la seal de

voltaje como el valor mximo en la seal de corriente son indicativos del lugar

donde ocurri la falla. La manera natural de encontrar estos puntos es calculando

la primera derivada de (3.21) y (3.22):

* ( * ) = ^ (3-25)

H X ] = ( 3 . 2 6 )

Otro criterio, es determinar la segunda derivada de la misma funcin, con lo cual

se tiene un indicativo de la rapidez con que ocurren las variaciones de v e i. En el

presente trabajo se concluy que utilizar el criterio de segunda derivada resulta ser

ms adecuado, por cual se utiliza este ltimo:

G M - i g * (3 ,7 )

d2F2(x) G 'x) - d x 2 (3.28)

Vs Vr mZL (1 -m)ZL

Figura 3.3: Sistema monofsico de 230kV.

3.4. Descripcin grfica del algoritmo de caracte-

rsticas

El sistema de prueba a utilizar tanto en esta seccin de descripcin como en la

de resultados es el sistema monofsico mostrado en la Fig.3.3, y el cual es implemen-

tado en EMTDC/PSCAD. El sistema es homogneo con una relacin X/R de 8. La

longitud de la lnea de transmisin s-r es lOOKm. Las impedancias de las fuentes son

estimadas considerando un nivel de corto circuito de 1,000MVA y 2,500MVA en las

barras s y r, respectivamente. La magnitud de los parmetros de la lnea de transmi-

sin son: R = 0,12401/Km, L = 1 , 5 5 m H / K m y C = 7 , 4 9 8 8 n F / K m . El algoritmo

es implementado en MATLAB. En la solucin numrica se utiliza informacin de

falla almacenada en un periodo de 5ms a una frecuencia de muestreo 100kHz.

En todo momento se extrae informacin del sistema y slo cuando ocurre una

falla la informacin se almacena para su posterior anlisis. En la Fig. 3.4 se muestra

una condicin de operacin normal y el momento justo cuando ocurre la falla. El

abatimiento repentino del voltaje con un incremento sbito de la corriente es el

indicativo, en este caso, de la presencia de una falla.

Como parte del proceso de localizacin de fallas se cuenta con un algoritmo

encargado de determinar el momento en que sta ocurre. El algoritmo de deteccin

de falla, cuyo principio es descrito en el apndice E, dar la orden de almacenar la

informacin de falla tanto de voltaje como de corriente una vez que ha determinado

la presencia de sta en el sistema. Lo anterior se ilustra en la Fig. 3.5.

Esta informacin inicial representada como (0, ) y i;(0, ), es procesada mediante

el algoritmo de caractersticas acorde a (3.17) y (3.18), lo cual permite conocer la

manera en que se han propagado las seales de voltaje y corriente a lo largo de la lnea

de transmisin. La Fig. 3.6 corresponde a los resultados que arroja el algoritmo para

le informacin de falla indicada en la Fig. 3.5. Los ejes en la Fig. 3.6 corresponden al

tiempo en mltiplos de As, magnitud en kV y la distancia en mltiplos de Ax. Esta

grfica corresponde a la seal de voltaje, por lo que se puede apreciar que existe un

punto donde la magnitud de la seal sufre un cambio abrupto, correspondiendo ste

al lugar donde se encuentra la falla.

La informacin que proporciona el algoritmo de caractersticas se transforma

mediante (3.21) y (3.22), obtenindose una representacin bidimensional (Fig. 3.7b).

Esta informacin equivale a tener una representacin del perfil de voltaje y corriente

a lo largo de la lnea de transmisin. La informacin mostrada en la Fig. 3.7a es

similar a la mostrada en la Fig. 3.7b, slo que no se ha considerado el factor que

compensa la prdida de informacin cada nueva iteracin.

Se aplica el criterio de primera derivada para determinar la distancia donde el

perfil de voltaje tiene su valor mnimo mediante (3.25) y (3.26), que corresponder

a aquel lugar don la mendiente es cero. Lo anterior es mostrado en la Fig, 3.7c. Una

segunda representacin de (3.21) y (3.22) se obtiene mediante el criterio de segunda

derivada indicada por (3.27) y (3.28), correspondiendo al punto de falla al punto

donde se tiene 1a. mxima variacin (Fig. 3.7d).

En la grfica que corresponde al criterio de la primera derivada se puede apreciar

que se tiene una pendiente de cero muy cerca del kilmetro 50. En la grfica que

corresponde al criterio de la segunda derivada se puede apreciar que la mxima

variacin se tiene cerca del kilmetro 50. Estos resultados son el producto de la

simulacin de una falla en el sistema de prueba que ocurre en el kilmetro 50.

3.5. Resultados

En la Tabla 3.1 se describen los casos de falla simulados en el sistema de prueba.

Las fallas se simularon con una Rp = 12, en los kilmetros 10, 50 y 90; se consideran,

para cada caso, ngulos de insercin de falla (a) de 60, 30 y 0o, con respecto al

Lectura d e vo l ta je en el local izador .

Lec tura de co r r i en te e n el localizador.

Tiempo.

Figura 3.4: Seal de prefalla y de falla proveniente del sistema elctrico.

Informacin Inicial d e fal la e n la onda d e vo l ta je .

Informein inicial d e fal la e n la onda d e cor r i en te .

Tiempo.

Figura 3.5: Informacin inicial para el algoritmo de caractersticas.

Seal de falla en la onda de Voltaje.

Figura 3.6: Manera en que se propaga la seal a lo largo de la lnea de transmisin,

para una falla en el kilmetro 50 en una lnea de 100 km.

Integracin de la sea l . 100 -

80

60 40

20

0 50 (a)

Primera derivada (F1x')

i 'i 500 l i t . . , . . i

50

(C)

2

1.5

1 0.5

0

X 10 Valor ef icaz (F1x)

- f1-+ + + +

I H + I + 4

100 50

Tabla 31: Respuesta del algoritmo para una falla con RF = 1H.

a = 60 a = 30 a = 0

Xr

(km)

Xc

(km)

Ec%

(%) (km)

Ec%

(%) Ec%

(km) (%) 10 8.8 1.2 8.8 1.2 92.5 82.5

50 49.8 0.2 49.8 0.2 62.6 12.6

90 , 93.9 3.9 93.9 3.9 86.5 3.5

cruce por cero de la seal de voltaje. En la tabla se muestra la localizacin real de

la falla la respuesta el algoritmo {Xc) y el error encontrado (E%). El error es

estimado acorde a:

E % = X c 7 X r 100 (3.29) J-i

donde L es la longitud de la lnea de transmisin protegida.

La Tabla 3.1 muestra como el algoritmo responde adecuadamente para todas

aquellas fallas que no ocurren cerca del momento del cruce por cero de la seal de

voltaje. Cuando la falla ocurre cerca del cruce por cero, el algoritmo se ve seriamente

afectado dando errores mayores. Esto ltimo es un rasgo caracterstico de los algo-

ritmos basados en ondas viajeras. Otro factor que tambin afecta en la respuesta

del algoritmo es la resistencia presente en el punto de falla, lo cual se estudiar en

el siguiente captulo. El problema de este algoritmo ante fallas cercanas al cruce por

cero, es disminuido haciendo ms sensible al detector de fallas.

Adicionalmente y como caso particular, las Figs. 3.8, 3.9 y 3.10, muestran los

resultados en forma grfica para la falla ubicada en el kilmetro 50. En estas grficas,

se aprecia que cuando el ngulo de insercin de la falla es ms cercano a 90 (Fig.

3.8), el perfil de voltaje dado por F l ( z ) resulta ser ms representativo del perfil

de voltaje que existe en la lnea de transmisin que cuando el ngulo de insercin

de falla es menor (Figs. 3.9 y 3.10). Sin embargo, se aprecia que el criterio de la

segunda derivada, sigue indicando el mismo punto de la falla para cualquier ngulo de

insercin no cercano a cero grados. Esto se encuentra relacionado con la sensibilidad

In t eg rac in d e la s e a l .

40 SO M 100 Pr imera d e r i v a d a (F1xa)

Valor e f i c a z (F1x) 14000 12OO0p IOOOO t o o o L

o o o -

4000|-2000-

S e g u n d a d e r i v a d a (F1x")

t 49.8 Km

Figura 3.8: Respuesta del algoritmo ante un ngulo de insercin de 60.

que se pierde a medida que el ngulo de insercin de falla se acerca ms al momento

del cruce por cero de la seal de voltaje, y lo cual se puede ajustar haciendo que el

detector de falla sea ms sensible.

3.6. Conclusiones

A travs de las simulaciones realizadas, se aprecia como el algoritmo tiene la

capacidad de localizar el punto donde ocurri la falla para la mayora de los escena-

rios propuestos. En estos casos el error encontrado en la respuesta se encuentra por

debajo del 5%, lo cual se considera aceptable.

Una caracterstica importante del algoritmo es el periodo de informacin reque-

rido de slo 5ms, lo cual es un tiempo menor al de cualquier algoritmo basado en

componentes de fase.

El requerir menor tiempo de informacin de falla permite al algoritmo propuesto

coexistir con algoritmos de proteccin que trabajen con seales de onda viajera, y

por otro lado, incrementa la posibilidad de localizar fallas del tipo transitorias.

Tanto el ngulo de insercin como la resistencia presente en el momento de falla,

influyen en el desempeo del algoritmo. Cuando la falla ocurre cerca del cruce por

In tegrac in d e la s e a l . Valor e f i c a z (F1x) 50 , , 10000

40 O 0 100 O 20 40 SO M 100 Primera de r ivada

cero de la seal de voltaje, la magnitud de las seales de onda viajera son mnimas, lo

cual imposibilita al algoritmo trabajar con estas seales, teniendo por consecuencia

errores en la salida. La resistencia de falla afecta la respuesta del algoritmo, aunque

este efecto no es tan severo como ocurre con los algoritmos basados en componentes

de fase.

El detector de falla debe de tener la suficiente sensibilidad que permita detectar

el momento exacto en que ocurre la falla. A medida que la informacin se almacena

con una cierta demora, producto de una mala deteccin, el error del algoritmo se

incrementa.

Captulo 4

Localizacin de fallas en sistemas

trifsicos mediante el algoritmo de

caractersticas

4.1. Ontroduccin

En el captulo 3 se analiz el algoritmo de caractersticas, as como su aplicacin a

un sistema monofsico. Los sistemas monofsicos existen principalmente en redes de

distribucin y para aquellos circuitos cuyo crecimiento, caractersticas y demanda de

la carga no justifica un sistema trifsico. La gran mayora de los sistemas elctricos de

potencia son del tipo trifsico y, por lo tanto, los bloques de energa son transmitidos

mediante lneas de transmisin trifsicas.

Usualmente, las lneas de transmisin abarcan longitudes bastante grandes y por

las condiciones ambientales a las que comnmente estn expuestas, son los elementos

del sistema elctrico que estn ms propensos a cortocircuitos. En estas condicio-

nes, el localizar el lugar exacto donde tuvo lugar el evento redituar en tiempos de

restablecimiento menores, e incluso da la posibilidad de anticiparse a la recurrencia

de fallas.

El presente captulo describe la aplicacin del mtodo de las caractersticas a la

localizacin de fallas en sistemas trifsicos. En la aplicacin se considerarn todas

la fallas que pueden presentarse en el sistema elctrico trifsico, incluyendo el efecto

de la resistencia de falla y el ngulo de insercin de falla.

4.2. Mtodo de las caractersticas aplicado a un sis-

tema trifsico

Tanto la matriz de impedancias (Z), que representa las inductancias(L) y las

resistencias (R), como la matriz de admitancias (Y), que representa los efectos

capacitivos (C) y conductivos (G), para una lnea de transmisin trifsica, son si-

mtricas. Toda matriz simtrica es diagonalizable [19]. El diagonalizar las matrices,

con que se modela una lnea de transmisin trifsica, permite representar el sistema

trifsico mediante tres sistemas monofsicos e independientes entre s [27], lo cual

simplifica su estudio.

La representacin de un sistema trifsico por tres sistemas monofsicos desa-

coplados se le conoce como representacin modal. Es prctica comn denominar a

los modos corno de tierra y dos areos, o de secuencia cero, positiva y negativa,

respectivamente.

Debido a que es practica comn expresar los datos de la lnea mediante Z y Y

es que inicialmente se utilizan dichas matrices, para posteriormente, una vez que se

cuente con la representacin modal, extraer nicamente los valores de L, C y R.

Suponiendo que las lneas que se analizan estn perfectamente balanceadas, la

diagonalizacin de las matrices Z y Y puede efectuarse de la siguiente forma:

z(m) = T - l Z ( p ) T (4J)

y( m ) = T - 1 Y ^ T (4 2)

donde el superndice m en Z denota que corresponden a la matriz modal, y el

superndice p en Z denota que corresponden a valores de fase. La matriz T es la

matriz que diagonaliza, en el caso de una lnea balanceada, tanto a la matriz de

impedancas como a la de admitancias de fase. Para el caso de lnea balanceada,

adems, hay un sin fin de matrices de transformacin T que puede efectuar la

diagonalizacin. De entre las ms comunes estn la de componentes simtricas, la

de Karrenbauer y la de Clarke. Se suele preferir la de Clarke por ser una matriz

real y ser muy aproximada a la que diagonaliza el producto de ZY de una lnea

horizontal o en delta [27]:

1 1 X

T = 1 - 2 0 (4.3)

1 1 - 1

Generalmente las matrices de transformacin modal de voltajes son diferentes a

las de transformacin de corrientes; sin embargo, en el caso de una lnea balanceada

es posible obtener matrices de transformacin iguales para voltajes y para corrientes:

v(m) = t - i v ( P ) (44)

(m) = t-IJ(P) ^

Las expresiones (4.1), (4.2), (4.4) y (4.5), representan al sistema trifsico me-

diante tres sistemas modales independientes. La aplicacin del algoritmo de caracte-

rsticas, estudiado en el captulo 3 para un sistema monofsico, resulta directo para

cada uno de los modos obtenidos.

En el caso del modelo de la lnea de transmisin trifsica en el cual se consi-

dera que sus parmetros son independientes de la frecuencia, se puede realizar a

travs de las ecuaciones del telegrafista [22]; as, utilizando la notacin matricial y

la representacin modal del sistema trifsico se tiene que:

(4.6)

donde para una lnea de transmisin area, las matrices quedan definidas como 1:

r\ o + -U ( m ) + B t m^U ( m ) = 0

dt dx

!(m) (4.7)

'Recurdese que (m) indica que es una representacin modal, por lo tanto, la expresin (4.6)

representa seis ecuaciones, dos para cada modo. De manera similar Um representa tres matrices,

una por modo.

A ( m ) = O

L ()-! O

0 . o

0

(4.8)

(4.9)

en los cuales v m e im, voltaje y corriente modal, son variables dependientes de la

distancia y el tiempo. Los parmetros de resistencia R m , inductancia Lm y capaci-

tancia C m modales, corresponden a la diagonal de la matriz modal de impedancias

V admitancias segn el caso, y son determinados acorde a:

R{m) = Real{ Z ( m )}

7m) L ( m ) = I m a a { w)

-y(m) C

donde el superndice (m,k) denota que se est trabajando con componentes modales

y que para cada modo se requiere aplicar el par de ecuaciones. Adems, z f f i es la

impedancia caracterstica de la lnea para cada modo; Z ^ y Z ^ s o n constantes

que permiten reducir la expresin:

Z / 2 A t (4.18) 1 y/l(m)C(m) 1 K

A

2) La determinacin de la velocidad con la que ocurren los cambios en la seales

descritas por (4.22) y (4.23), mediante:

H ? ( X ) = ^ ( 4 , 4 ) dx

dx

3) La determinacin de la aceleracin con que ocurren los cambios en la funciones

(4.22) y (4.23) mediante:

( 4 . * )

(4.27)

Despus de analizar distintos casos de prueba, se determin que el criterio de

segunda derivada da una mejor exactitud, por lo que se ha optado por utilizar este

criterio en la localizacin de la falla.

4.4. Descripcin grfica del algoritmo

El sistema de prueba a utilizar en esta seccin de descripcin como en la seccin

de resultados, es el sistema trifsico de 400kV mostrado en la Fig. 4.1, el cual es

implementado en PSCAD/EMTDC. El sistema es homogneo sin compensacin y

con una relacin X/R de 8. La longitud de la lnea de transmisin entre las terminales

s r es de lOOKm. Las impedancias de las fuentes son estimadas considerando un

nivel de corto circuito de 1,000MVA y 2,500MVA en las barras s y r, respectivamente.

El tipo de conductor es ACSR Cardinal cuya disposicin es mostrada en la Fig. 4.2.

El algoritmo es implementado en MATLAB, y en la solucin numrica se utiliza

informacin de falla almacenada durante un periodo de 5ms a una frecuencia de

maestreo 100kHz.

mZi

Vr= 1 .OzO Zr

( 1 - m ) Z L ^ Er

Figura 4.1: Diagrama uniflar del sistema de prueba.

\ \ \ \ \ k ' \ \ \ v' s

Figura 4.2: Disposicin horizontal de los conductores.

t iempo

Figura 4.3: Seales de voltaje provenientes del sistema trifsico.

En todo momento el localizador de fallas se encuentra recibiendo informacin de

las fases del sistema, tanto de las seales de voltaje y corriente. A modo de ejemplo,

las Figs. 4.3 y 4.4 muestran la informacin de voltaje y corriente provenientes de

una de las simulaciones realizadas, en la cual ocurre una falla monofsica a travs

de una Rf = 102 en el kilmetro 50, con un ngulo de insercin de falla de 30. La

informacin es procesada y representada en componentes modales (Figs. 4.5, 4.6 y

4.7) para poder aplicar el algoritmo de caractersticas, adems, que esta informacin

es utilizada por el detector de fallas 2. Cuando el detector percibe la falla da la orden

de almacenar la informacin, representada mediante componentes modales, durante

el periodo establecido previamente (Fig. 4.8). Con esta informacin y mediante el

algoritmo de caractersticas, se determina la manera en que la seal se propaga a

lo largo de la lnea para cada modo (Figs. 4.9, 4.10 y 4.11). Por ltimo, a partir

de la informacin modal y una transformacin inversa se determina la forma de la

propagacin en componentes de fase, tal como se muestra en la Fig. 4.12.

En s, la. Fig. 4.12 refleja el resultado de las transformaciones modales y la respues-

ta del algoritmo de caractersticas. Posterior a esto, la informacin tridimensional

que arroja el algoritmo se lleva a un plano bidimensional mediante (4.22) y (4.23)

lo cual equivale a obtener un perfil de voltaje y corriente a lo largo de la lnea de 2E1 detecor de fallas es descrito en el apndice E

l lampo

Figura 4.4: Seales de corriente provenientes del sistema trifsico.

Voltaje

Corriente

tiempo

Figura 4.5: Componente modal de tierra de las seales del sistema.

Voltaje

Corriente

tiempo

Figura 4.6: Primer componente modal areo de las seales del sistema.

Voltaje

Corriente

1 1 \

1 ' 1 J

tiempo

Figura 4.7: Segundo componente modal areo de las seales del sistema.

Voltaje

Moco 2

/ isao 1 \

M< do'O V -

O O.S 1 1.S 2 1S 3 JJ 4 4J S

Figura 4.8: Informacin de falla representada mediante componentes modales.

100 O 0 tiempo (dt). distancia (dx)

Figura 4.9: Propagacin de la seal para el modo de tierra.

200

distancia (d

distancia (dx) O o vv

tiempo (tft).

Figura 4.11: Propagacin de la seal para el segundo modo areo.

distancia (dx) 0 0 tiempo (dt).

Figura 4.12: Propagacin de la seal para la fase A.

I n t e g r a c t t n d e la s A a l V a l e r e f i c a z (F1x )

4 0 -

wl B000

60 00

r I w 0 I I 2000 1 M

0 40

1 0 0

-100

(*) P i l m a ra d e r i v a d a ( F I * - )

r .'h-hj

f f

K J

S e g u n d a d a r f v a d a ( F l x " )

( c ) (0)

Figura 4.13: Criterios para la localizacin de fallas.

transmisin (Fig. 4.13b). La informacin mostrada en la Fig. 4.13a es similar a la

mostrada en la Fig. 4.13b, slo que no se ha considerado el factor que compensa

la prdida de informacin de esta ltima. Se encuentra una nueva representacin

de (4.22) y (4.23), mediante (4.24) y (4.25), que corresponden a los resultados de

la primera derivada (Fig. 4.13c). Una segunda representacin de (4.22) y (4.23) se

obtiene mediante (4.26) y (4.27). que expresan la segunda derivada (Fig. 4.13d).

La grfica 4.13d indica que la falla se encuentra en el kilmetro 50.4 de la lnea

de transmisin, lo cual corresponde a la ubicacin real de la falla con un error de

0.4%.

4.5. Resultados

El desempeo del algoritmo propuesto fue evaluado en distintos escenarios a fin

de determinar su exactitud. En estos escenarios se consider el efecto de la resistencia

y el ngulo de insercin de falla en lneas con y sin compensacin serie y distinta

disposicin geomtrica de los conductores.

4.5.1. Efecto de la resistencia de falla y el ngulo de insercin

La metodologa para realizar las pruebas consiste en simular tres fallas indivi-

duales en la lnea de transmisin, en los kilmetros 10, 50 y 90, respectivamente.

A la vez, para cada punto de falla se consideran ngulos de insercin de falla de

60, 30 y 0o, con respecto al cruce por cero de la seal de voltaje de la(s) fase(s)

fallada(s). Adems, para cada punto de falla y para cada ngulo de insercin de

falla se consideran todas las fallas posibles, es decir monofsicas a tierra (A

Tabla 4.1: Respuesta del algoritmo de caractersticas para una Rp = 1Q

Tipo de Falla Xr Ec% Xe Ec% Ec%

(km) (km) {%) (km) (%) (km) {%) a 60. a = 30. a ---W.

10 8.9 1.1 8.9 1.1 8.9 1.1

A ~ B 50 47.4 2.6 47.4 2.6 4-7.4 2.6

90 88.9 1.1 88.9 1.1 88.9 1.1

10 8.9 1.1 8.9 1.1 8.9 1.1

4>A-4>B~G 50 47.4 2.6 47.4 2.6 47.4 2.6

90 88.9 1.1 88.9 1.1 88.9 1.1

Tabla 4.2: Respuesta del algoritmo de caractersticas para una Rp = 10Q,

Tipo de Falla Xr Ec% Ec% Ec%

1020150028

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