Trabajo colaborativo 2

Luis Eduardo Ordoñes

German Lopez

Maicol Douglas Mora Perdomo

Yesenia Andrea Barrera

Grupo: 100412_176

Tutora: Yenifer Elizabeth Galindo

Universidad nacional abierta y a distancia UNAD

Escuela de ciencias básicas, tecnología e ingeniería.

Curso: ecuaciones diferenciales

2015

Introducción

En este documento se desarrolla la segunda actividad colaborativa del curso de ecuaciones diferenciales, esta actividad está basada en un problema planteado y al cual se le ha de dar solución según las temáticas estudiadas en la unidad número dos del curso, disponibles en el entorno de conocimiento. Para el desarrollo de esta actividad colaborativa estudiamos las temáticas de Ecuaciones diferenciales de orden superior y también se estudiaron las leyes de amortiguación de un resorte, como la ley de Hooke y sistemas masa-resorte.

Objetivos

Objetivos generales

- Estudiar las temáticas de la unidad número dos del curso.

- Poner a prueba nuestros conocimientos con respecto a la unidad.

- Exponer nuestros conocimientos previos al trabajo colaborativo.

- Estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas y de

orden superior.

Objetivos específicos

- Solucionar el trabajo colaborativo número dos del curso.

- Trabajar con las temáticas expuestas en el curso para esta unidad.

- Evaluar los conocimientos adquiridos durante esta unidad.

- Analizar y dar solución al ejercicio planteado.

- Utilizar las ecuaciones y formulas de la unidad para solucionar el problema

planteado.

Actividad

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se

le aplica una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas

de amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de

movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. ¿Cuánto

tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de

equilibrio?

Como estamos en el caso de una vibración simple no amortiguada, tenemos la ecuación.

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+

𝑘

𝑚𝑥 = 0

Cuya solución generales

𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠 (√𝑘

𝑚𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 (√

𝑘

𝑚𝑡) . 𝑐1. 𝑐2 𝐸𝑅.

Para encontrar k observamos que la masa de 4 lb, estira el resorte 3 pulgadas o ¼ pie.

Empleando la ley de Hooke, se tiene

4 = 𝑚𝑔 = 𝑘1

4

Lo que implica 𝑘 = 16 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 como 𝑔 = 32 𝑝𝑖𝑒/𝑠𝑒𝑔², se tiene que 𝑚 =4

32=

1

8 𝑠𝑙𝑢𝑔 y

por lo tanto

√𝑘

𝑚= √

16

18

= 8√2.

Luego

𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠(8√2𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(8√2𝑡)

Imponiendo nuestras condiciones inicial son: 𝑥 (0) = 3 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 =1

4 𝑝𝑖𝑒 y 𝑥 (0) =

√2 𝑝𝑖𝑒 /𝑠𝑒𝑔 , tenemos

1

4= 𝑥(0) = 𝑐1

2

√2= 𝑥(0) = 8√2𝑐2

Lo que implica 𝑐1 =1

4𝑦 𝑐2 =

1

8 por consiguiente la ecuación del movimiento de la masa es

𝑥(𝑡) =1

4𝑐𝑜𝑠(8√2𝑡) +

1

8 𝑠𝑒𝑛(8√2𝑡)

Para expresar la solución en forma senoidal hacemos

𝐴 = √𝑐12 + 𝑐22 =√5

8 𝑡𝑎𝑛(∅) =

𝑐1

𝑐2= 2

Entonces

𝑥(𝑡) =√5

8 𝑠𝑒𝑛 (8√2𝑡 + ∅)

Donde ∅ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(2) = 1.107

Por lo tanto, la amplitud es 𝐴 =√5

8 , el periodo es T =

𝜋

8√2=

𝜋

4√2 y la frecuencia natural es 𝑓 =

4√2

𝜋 finalmente el tiempo t que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la

posición de equilibrio verifica 8√2 𝑡 + ∅ = 𝜋, lo que implica 𝑡 =𝜋−∅

8√2= 0,179

Analisis

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se

le aplica una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas

de amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de

movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. ¿Cuánto

tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de

equilibrio?

- El ejercicio nos pide hallar el tiempo que se demora el resorte en quedar de nuevo

en su posición de equilibrio, luego de que se deja caer la masa y se comienza a

generar las oscilaciones del resorte.

Para un caso normal del movimiento de un sistema masa-resorte, se utiliza la siguiente

formula:

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝑏

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 25𝑥 = 0

Pero como en nuestro caso el sistemas masa-resorte no tiene amortiguación si no que

tenemos un caso de vibración simple.

Para esto utilizamos la ecuación:

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+

𝑘

𝑚𝑥 = 0

Cuya solución generales

𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠 (√𝑘

𝑚𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 (√

𝑘

𝑚𝑡) . 𝑐1. 𝑐2 𝐸𝑅.

Para encontrar k observamos que la masa de 4 lb, estira el resorte 3 pulgadas o ¼ pie.

Empleando la ley de Hooke.

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la

ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida por el resorte con

la elongación o alargamiento provocado por la fuerza externa aplicada al extremo del

mismo.

Entonces:

4 = 𝑚𝑔 = 𝑘1

4

Lo que implica 𝑘 = 16 𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 como 𝑔 = 32 𝑝𝑖𝑒/𝑠𝑒𝑔², se tiene que 𝑚 =4

32=

1

8 𝑠𝑙𝑢𝑔 y

por lo tanto

√𝑘

𝑚= √

16

18

= 8√2.

Luego

𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠(8√2𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(8√2𝑡)

Imponiendo nuestras condiciones inicial son: 𝑥 (0) = 3 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 =1

4 𝑝𝑖𝑒 y 𝑥 (0) =

√2 𝑝𝑖𝑒 /𝑠𝑒𝑔 , tenemos

1

4= 𝑥(0) = 𝑐1

2

√2= 𝑥(0) = 8√2𝑐2

Lo que implica 𝑐1 =1

4𝑦 𝑐2 =

1

8 por consiguiente la ecuación del movimiento de la masa es

𝑥(𝑡) =1

4𝑐𝑜𝑠(8√2𝑡) +

1

8 𝑠𝑒𝑛(8√2𝑡)

Para expresar la solución en forma senoidal hacemos

𝐴 = √𝑐12 + 𝑐22 =√5

8 𝑡𝑎𝑛(∅) =

𝑐1

𝑐2= 2

Entonces

𝑥(𝑡) =√5

8 𝑠𝑒𝑛 (8√2𝑡 + ∅)

Donde ∅ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(2) = 1.107

Por lo tanto, la amplitud es 𝐴 =√5

8 , el periodo es T =

𝜋

8√2=

𝜋

4√2 y la frecuencia natural es 𝑓 =

4√2

𝜋 finalmente el tiempo t que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la

posición de equilibrio verifica 8√2 𝑡 + ∅ = 𝜋, lo que implica 𝑡 =𝜋−∅

8√2= 0,179

De esta manera obtenemos que el tiempo que tardara el resorte en llegar a su posición de

equilibrio nuevamente será de:

𝒕 = 𝟎. 𝟏𝟕𝟗 𝒎𝒊𝒏

Conclusiones

Se desarrolló la actividad grupal número dos del curso de ecuaciones

diferenciales, utilizando las herramientas temáticas presentadas en la unidad y en

el entorno de conocimiento del curso.

Se realiza la solución del problema planteado para esta unidad, haciendo uso de

los conocimientos adquiridos durante el desarrollo de la segunda unidad del curso

y la ley de elasticidad Hooke.

Referencias Bibliográficas

Gonzalo, P. (1991). La ley de Hooke, masa y periodo de un resorte. Revista Española de

Física, 5(1), 36.

DE HOOKE, L. E. Y. ELASTICIDAD POR TRACCIÓN-LEY DE HOOKE.

de Hooke, L. Ley de Hooke.

Núnez, L. A. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior...

Zill, D. G. (2002). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Thomson Learning.

Ayres, F. (1969). Teoría y problemas de ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill.