CALCULO INTEGRAL

Trabajo colaborativo fase 1

Presentado

WILLIAN MARTINEZ ACEVEDO

ELKIN SUAZA MONTENEGRO

JUAN DE JESUS CORTES SANTANA

CLAUDIA PATRICIA PEREZ

YEIDI RAQUEL LEDESMA

GRUPO: 100411_220

TUTOR:

MIRYAN PATRICIA VILLEGAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

2015

INTRODUCCIÓN

La matemática es una ciencia eminentemente teórica, debido a que parte de teorías y definiciones,

cuyas demostraciones se soportan en el principio de la lógica, los axiomas y postulados, que permiten

el desarrollo de habilidades de pensamiento de orden superior, especialmente la Deducción, Inducción

y la Abstracción, pero a su vez presenta dificultades para poder desplegar dichas habilidades, ya que se

requiere trabajar el sentido de análisis, desarrollo del raciocinio, aspectos no fáciles de activar en la

mente humana.

El Cálculo Integral es la rama de las Matemáticas muy utilizadas en Ciencias, Tecnología, Ingeniería e

Investigación, que requiere un trabajo sistemático y planificado, para poder cumplir el propósito

fundamental que es saber integrar, técnica que permite solucionar problemas de estos campos. Por otro

lado, la integración es necesaria para otros escenarios como las Ecuaciones Diferenciales, los Métodos

Numéricos, la geometría diferencial, la Probabilidad, la Estadística Avanzada y otras áreas del

conocimiento. Además, el cálculo ha sido una secuencia de áreas matemáticas entrelazadas, donde se

utilizan principios de Álgebra, Geometría, Trigonometría, se debe destacar que para desarrollar el curso

de Cálculo Integral, es pertinente tener claros los principios de las áreas nombradas y además los de

Cálculo Diferencial, ya que, la integración es la opuesta a la diferenciación.

En esta primera unidad se desarrolló lo referente a la antiderivada o primitiva, la integral indefinida, la

integral definida, el teorema fundamental del cálculo y las integrales impropias.

OBJETIVOS

. Identificar los fundamentos del cálculo integral para que active y fortalezca sus conocimientos

previos.

Comprender y aplicar los principios matemáticos del cálculo integral como las técnicas de

integración al desarrollar ejercicios modelos.

Resolver problemas del medio con los conocimientos debidamente interiorizados del curso.

Interactuar con los compañeros del foro.

Explorar, analizar, comprender e interiorizar los principios de Cálculo integral, para aplicarlos

en diferentes escenarios del saber, utilizando las teorías y definiciones que soportan este curso

académico.

Describir claramente las anti derivadas, a través del estudio teórico aprendido en la derivación y

el análisis de casos modelos.

Identificar adecuadamente la integral indefinida, sus principios y propiedades y, comprenda los

ejemplos modelos.

Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las

propiedades de las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas

en la diferenciación.

1. ∫

separando los terminos de la fraccion

∫

Desarrollando la suma de las integrales

∫

∫

∫

Simplificando cada funcion

∫ ∫

∫

Resolviendo

+c finalmente queda

2. ∫( )

∫ ∫

3. ∫√

√

separando los terminos de la fraccion y expresando en forma de potencia

∫

∫

∫

Aplicando leyes de potenciación

∫

∫ (

) ∫(

)

∫ ∫ ∫

4.

Por medio de las identidades trigonometricas

Reemplazando *

∫ ∫

Descomponiendo la potencia del numerador

∫

Usando **

∫

Por el metodo de sustitucion de variables

Reemplazando en terminos de u

∫

Separando las integrales

∫

∫

(

| |)

dxxTan3

Volviendo a la variable original

| |

| |

5. ∫

Para realizar esta integral debemos realizar una sustitución:

Realizamos la sustitución sobre la ecuación:

∫

∫

∫

6. ∫ * (

√ ) +

∫ ∫

√ ∫

Las integrales son inmediatas (tabla pag 21 modulo)

7. ∫

Por el metodo de sustitucion de variables

Reemplazando en terminos de u

∫

∫

8. ∫

separando los terminos de la fraccion

∫

∫

∫ ∫

9. Hallar el valor medio de la función en el intervalo [0, 2].

√

El teorema del valor medio nos indica que:

∫

Entonces en nuestro ejercicio tenemos que:

∫ √

∫ √

Para realizar esta integral debemos realizar una sustitución:

∫ √

∫

Resolviendo la integral obtenemos

|

|

10. Hallar el valor medio de la función en el intervalo [0, 1].

∫

∫

*

+

*

+

11.

∫

∫

∫

12. Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver

∫

∫

sen³(2x) cos(2x) dx =

=sen (2x) = u d[sen(2x)] = du → 2cos(2x) dx = du → cos(2x) dx = (1/2) du

=∫ sen³(2x) cos(2x) dx = ∫ u³ (1/2) du = (1/2) ∫ u³ du = (1/2) [1/(3+1)]u^(3+1) + C

=(1/2)(1/4)u⁴ + C = (1/8)u⁴ + C =(1/8)sen⁴(2x) + C (antiderivada)

=∫

sen³(2x) cos(2x) dx = (1/8)sen⁴[2(π/4)] - (1/8)sen⁴[2(0)] = (1/8)sen⁴(π/2) -

(1/8)sen⁴(0) =

(1/8) 1⁴ - (1/8) 0⁴ =(1/8) 1 - (1/8) 0 = (1/8) - 0 = 1/8

CONCLUSIONES

El manejo complejo del trabajo mental para el estudio de las Matemáticas, requiere un

esfuerzo sistemático en el análisis de contenidos, esto indica que para comprender un

tema, se debe comprender uno previo que facilite la comprensión del siguiente.

Para resolver la integral de una función se debe saber cuál es su derivada, otro ejemplo

sería que para hallar la integral de un producto de dos funciones se debe saber la

derivada de dichas funciones, estos y otros casos son la justificación de estudiar

detalladamente el curso de Cálculo integral.

Las Unidades Didácticas que conforman el curso son: La Integración, Los Métodos de

Integración y Las Aplicaciones de las integrales. En la primera unidad se desarrolla lo

referente a la anti derivada o primitiva, la integral indefinida, la integral definida, el

teorema fundamental del cálculo y las integrales impropias. La segunda unidad presenta

lo relacionado con las técnicas de integración, iniciando con las integrales inmediatas

producto de la definición de anti derivada, la integración por cambio de variable o

también llamada sustitución, integración por partes, integración por fracciones parciales,

integración de funciones trascendentales; tales como, exponencial, logarítmica,

trigonométricas e hiperbólicas. La tercera unidad presenta las aplicaciones de la

integración, tales como áreas bajo curvas, longitud de una curva, volúmenes de sólidos

de revolución, la integración en la física, en la estadística y en la economía.

BIBLIOGRAFIA

Blanco, Pedro. (2010). 100411 – Cálculo Integral. Bogotá: UNAD

Rios, Julio. (2015,03,06). Teorema fundamental del cálculo. [Archivo de video].

Recuperado de

https://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss