10.- Superficies de Revolucion i

8/18/2019 10.- Superficies de Revolucion i

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Superfcies de Revolucion

Son superfcies generadas por una línea,denoinada genera!ri" o eridiano #ue giraalrededor de un e$e de revoluci%n& Cada pun!ode la curva genera en su giro circun'erencias

direc!rices o paralelos& (as genera!rices son!odas iguales, ) las direc!rices soncircun'erencias con dis!in!o radio&


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Represen!acionEsfera

(a es'era se represen!a edian!e las

circun'erencias correspondien!es al con!ornoaparen!e en la pro)ecci%n, por lo #ue elecuador se pro)ec!a so*re el +ori"on!al segnun círculo ) en el ver!ical se pro)ec!a eleridiano A-C segn o!ro círculo& A*os sepro)ec!an en la o!ra vis!a segn un di.e!ro


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cara de una superfcie de

revolucion/n pun!o por e$eplo en una es'era, se

encuen!ra en una circun'erencia de ella& Dic+acircun'erencia puede resul!ar de lain!ersecci%n de la es'era con un plano paraleloal +ori"on!al o al ver!ical, con lo #ue sepro)ec!a en uno de ellos coo unacircun'erencia ) en el o!ro segn una línea&Por lo !an!o, la pro)ecci%n de un pun!o en unavis!a corresponde a dos de la es'era&


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Cono

0&1 Cono recto y derevolución con la basecontenida en el plano

horizontal de proyección.

Conocida la al!ura ) elradio de la *ase, surepresen!aci%n no o'recedifcul!ad&


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2.- Cono oblicuo y de

revolución con la basecontenida en el planohorizontal de proyección

y eje frontal.


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Conociendo )a laspro)ecciones del e$e 'ron!al,

la al!ura + ) el .ngulo a #uelas genera!rices 'oran cones!e e$e, represen!areos enla pro)ecci%n ver!ical elCono #ue se ve reducido en

con!orno aparen!e al!ri.ngulo a2, *2, v2& Enpro)ecci%n +ori"on!al elpro*lea se reduce ade!erinar los e$es de laelipse de cen!ro ,pro)ecci%n +ori"on!al de 2,siendo 2 el pun!o edio dela *ase reci3n di*u$ada en

pro)ecci%n ver!ical a21*2& (ose5!reos del e$e a)or de la


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El e$e enor c1d, se

calcula !ra"ando por m una rec!a perpendicular ale$e del cono& El valor delseie$e enor es d/2,radio de la circun'erencia

genera!ri" en el pun!o m&Para calcular es!e radiod/2 calculaos la secci%nrec!a del cono en el pun!o

m !ra"ando por 6 unplano pro)ec!an!e ver!ical&(a secci%n generada lare*a!ios ) o*!eneos lacircun'erencia de cen!ro o2siendo el pun!o o2 la


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/na ve" #ue lacircun'erencia es!a

di*u$ada !ra"aos por 2una rec!a noral a la!ra"a ver!ical del planosecan!e +as!a cor!arla )

o*!eneos de es!e odola cuerda 1d1, la i!ad dees!a cuerda es el valor delseie$e enor *uscado&Di*u$ada la elipse de la

*ase, !endreos #ue!ra"ar las genera!rices delcon!orno en pro)ecci%n+ori"on!al #ue no son sino

rec!as !angen!es a laeli se desde un un!o


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Cilindro

1.- Cilindro recto y de revolución con la basecontenida en el plano horizontal de

proyección.

Di*u$areos el cilindro de revoluci%n conocidasu al!ura 1+1 ) el radio de su circun'erencia

genera!ri"& Por ser un cilindro rec!o ) !eneruna de sus *ases con!enida en el plano+ori"on!al de pro)ecci%n, su e$e esperpendicular a es!e plano& Por ser un cilindro

de revoluci%n, su genera!ri" es unacircun'erencia su secci%n rec!a ser. or


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(as *ases no son sino secciones rec!as

producidas por el propio plano +ori"on!al depro)ecci%n ) un plano paralelo a es!e de co!a1+1 luego las *ases son círculos de radiosiguales al de la circun'erencia genera!ri"&

la *ase de radio dado de*e ser di*u$ado en lapro)ecci%n +ori"on!al ) en pro)ecci%n ver!icalel con!orno aparen!e de las genera!rices del

cuerpo #ue no son sino segen!os ver!icalesde pro)ecciones +ori"on!ales a ) * ) de co!ala al!ura 1+1 dada& (as *ases circulares seues!ran en pro)ecci%n ver!ical coo

segen!os +ori"on!ales de longi!ud igual al


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2.- Cilindro oblicuo y de revolución con la base

contenida en el plano horizontal de proyección y eje frontal.


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Conocidas las pro)ecciones del e$e E 7e2, e8 la

al!ura 9 ) el radio de la circun'erenciagenera!ri", represen!areos el cilindro& (asgenera!rices del con!orno dis!ar.n del e$e elradio R dado en a*as pro)ecciones,

cople!aos la represen!aci%n en pro)ecci%nver!ical del cilindro #ue es un ro*oide& Enpro)ecci%n +ori"on!al, las *ases son elipses,para de!erinar sus e$es ) poder !ra"arlas

geo3!ricaen!e procedereos del siguien!eodo&

Toaos un plano au5iliar pro)ec!an!ever!ical P #ue con!enga al e$e E del cilindro,

e$e #ue a*a!ios so*re el plano +ori"on!al dero ecci%n !oando coo c+arnela la !ra"a


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De!erinareos los e$es a)ores de laselipses '1n ) a1*, a par!ir del e$e a*a!ido,!ra".ndole paralelas a dis!ancia R +as!a cor!aren :0, ;0, A0 ) -0 a la propia !ra"a P delplano au5iliar ) a una paralela a es!a !ra"adapor el e5!reo del e$e a*a!ido& Tra"aosrec!as norales a la pro)ecci%n +ori"on!al dele$e por los pun!os o*!enidos ) encon!raosen su in!ersecci%n con es!e los e5!reos delos e$es de las elipses *uscados&


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(as pro)ecciones +ori"on!ales de es!os pun!os

es!.n necesariaen!e so*re la !ra"a T& Por laspro)ecciones +ori"on!ales de 0 ) B de*enpasar las pro)ecciones +ori"on!ales de lasgenera!rices >1= ) ?1@ respec!ivaen!e #ue

!ra"aos paralelas al e$e&


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In!ersecci%n en!re una rec!a ) un conoo*licuo


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In!ersecci%n en!re una rec!a ) un conoo*licuo


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In!ersecci%n en!re una es'era ) unarec!a


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In!ersecci%n en!re una es'era ) una rec!a

In!ersecci%n en!re una rec!a ) un cilindroo*licuo

In!ersecci%n en!re una rec!a ) un cono o*licuo

PROCEDIMIE;TO

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