10-Conducción en Sólidos

8/18/2019 10-Conducción en Sólidos

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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS

En esta clase se analizarán algunos casos prácticos que no ayudarana entender mecanismo de transferencia de calor por conducción.

El objetivo será hallar:

• La distribución de temperaturas en el sólido

• Una expresión general para la transferencia de calor (coeficiente globalde transferencia de calor, U)

Se analizarán cinco casos:

1. Una pared plana, con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluidoy la otra superficie mantenida a una temperatura fija.

2. Dos corrientes de fluidos, 1 y 2, con temperaturas diferentes separadas poruna pared plana.

3. Una pared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija.

4. Un cilindro hueco en el cual se mantienen su superficie interna y externa a unatemperatura fija.

5. Un cilindro hueco en el cual circula un fluido por su interior y en el exterior seencuentra otro fluido a una temperatura diferente del primero.


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2

CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana con una de sus superficies expuesta a una corriente de fluido y la otra superficie mantenida a una temperatura fija

Simplificaciones que se asumen para laresolución:

•Estado estacionario.

•En cuanto a las dimensiones del sólido seestablecerá que e


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4


Concepto de resistencia térmica: si se toma un diferencial de área, se pueden plantear las siguientes expresiones para reflejar el flujo de calortransferido.

Transmisión de calor entre la corriente de fluido y la superficie de la pared en x=e: e x T hq

Transferencia de calor por conducción enun sólido:

e x T T e

k q

0

Como se puede ver, el problema se puede tratar como un sistema detransmisión de calor en serie.

El calor transferido es el mismo en cada paso o etapa, y en cada unade éstas, el calor transferido queda expresado en función de ladiferencia de temperaturas entre sus límites.


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5


Concepto de resistencia térmica:

h

qT xe

xe qk

eT T

0

A partir de estas expresiones, se puede pensar en una analogía con

los circuitos eléctricos donde se usa el concepto de resistenciaeléctrica:


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6



Resistencia térmica para la conducción enel sólido:

k

e R

int

Resistencia térmica para la convección:

h

Rext 1

En este tipo de sistemas en serie, la etapaque opone una mayor resistencia a latransferencia de calor controla el proceso


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7



En un caso de flujo finito de calor, es de esperar que donde seencuentre esta resistencia “controlante”, la diferencia detemperaturas sea más pronunciada que en el resto de las etapas

xq RT T 21

Por esto, surge la necesidad de comparar las resistencias térmicasque componen un sistema en serie de transmisión de calor

k

he

R

R Bi

h

k e

ext

1

intNúmero de Biot

Dra. Larrondo - Ing. Grosso2° cuatrimestre de 2015


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El número de Biot:

•El número de Biot relaciona la resistencia a la conducción en unsólido con la resistencia a la convección superficial.

•Representa la razón entre las resistencias térmicas interna y externa,

y sirve para estimar el peso relativo de cada una de las resistencias.•Permite tener una idea aproximada de las magnitudes de los perfilesde temperatura que se observarán en el sólido y el fluido.

k

he Bi

Número de Biot



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9


El número de Biot:

int0 R R Bi

ext

ext R R Bi int

En el caso extremo que el Biot se hace muy chico:

ee T T T 0

En el caso opuesto, en que el Biot se hace muy grande:

ee T T T 0

Entonces, el número de Biot no sólo indicala magnitud de las resistencias sino quetambién indica la magnitud de losgradientes de temperatura.

e

e

T

T T Bi

0


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Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:

vv P qvU U t

:ˆˆ·

0qComo se trata de un sistema de transferencia de calor unidimensionalen la coordenada x, la ecuación de energía queda:

0dxdq x

Reemplazando por la Ley de Fourier

para un sólido isotrópico:

02

2

dx

T d k


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Resolviendo la ecuación, se obtiene que el perfil de temperaturadentro del sólido será lineal:

21 C xC T x Ahora, se deben definir dos condiciones de contorno apropiadas aeste problema.

Existen tres tipos de condiciones de contorno que normalmente se plantean para este tipo de problemas de transmisión de calor:

1. Temperatura superficial constanteCteSUP T T



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12



2. Flujo de calor constante cte

INT

q

dx

dT k

•Flujo finito de calor:

0 INT dx

dT k

•Superficie aislada:

3. Convección en la superficie INT INT

T h

dx

dT k


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Para el sistema en estudio, las condiciones de contorno queaplicamos serán las de temperatura superficial constante en x = 0 yconvección en la superficie x = e:

00 T T 0 x

e x ee

T hdxdT k

Condiciones de contorno:



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14



Aplicando ambas condiciones de contorno, se obtiene:

02 T C

211

C eC k hC

k

eh

T k

h

C

1

0

1

2° cuatrimestre de 2015


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15



La disposición del eje de coordenadas simplificó el tratamiento parala obtención de la constante C 2

Si se trabaja un poco más con la constante C 1 , se la puede expresar en

función del número de Biot:

e Bi

T Bi

e

e

k eh

T k

h

C 1

11

0

0

1



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16



Entonces, el perfil de temperaturas dentro del sólido queda:

00

1 T e

x

Bi

T Bi

T x

•El perfil de temperaturas en el sólido queda representado por una recta

•Para estudiar como es afectada esta recta por el número de Biot, vamos a

analizar que valores toma la temperatura superficial en x = e frente a doscasos límite Bi 0 y Bi

La temperatura superficial en x = e es:

0

0

1T

Bi

T BiT e


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17


Influencia del número de Biot:Temperatura superficial en x = e:

0

0

1

T

Bi

T BiT e

00 T T Bi e

eT Bi


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18


Influencia del número de Biot:


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19


Cálculo del calor transferido por la pared:

Para el cálculo del calor transferido por la pared se emplea la Ley deFourier:

dx

dT k q x

Para el caso en estudio, no es necesario definir en que posición x seva a evaluar la derivada, ya que es constante:

1C k q x

Bi

T

e

Bik q x

1

0


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20


Cálculo del calor transferido por la pared:

Si se reemplaza la definición del número de Biot en esta expresión, seobtiene:

k

e

h

T q x

1

0

int

0

R R

T AQ

ext

x

A

Qq x x


int

0

R R

T

ext

Dra. Larrondo - Ing. Grosso


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21


Expresión general para la transferencia de calor:

Se llegó a una expresión para el calor transferido en función de:

•La diferencia de temperaturas global o total del sistema.

•La suma de las resistencias en serie.

•La superficie total de transferencia de calor. int

0

R RT AQext

x

Para este tipo de sistemas compuestos se suele usar la siguiente

ecuación para representar la transferencia de calor:

T AU Q U: Coeficiente Global deTransferencia de Calor

Ecuación cinética de transferencia de calor


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22



Entonces, comparando ambas expresiones se obtiene:

0T T

En general, para cualquier otro sistema en serie se podrá expresar elcoeficiente global de transferencia de calor en función de la suma detodas las resistencias presentes:

int R R

A AU

ext

R

A AU


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23

CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSDos corrientes de fluido separadas por una pared plana

Simplificaciones que se asumen parala resolución:


•En cuanto a las dimensiones del sólido seestablecerá que e


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24


En este caso, las simplificaciones o consideraciones que se asumen para la

resolución de este sistema permiten emplear una simetría plana:

Dos corrientes de fluido separadas por una pared plana


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25


Resistencias térmicas del sistema:

Transmisión de calor entre la corriente de fluido 1 y la superficie de la pared en x=0:

011 T hq x

Transferencia de calor por conducción en el sólido:

e x T T e

k q

0


Transmisión de calor entre la corriente de fluido 2 y la superficie de la pared en x=e:

22 e x T hq


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26



Si se despeja la diferencia de temperaturas de cada una de las etapas,se obtiene:

xqhT 1011

xe qk

eT T

0


xe qh

T 2

2

1

Nuevamente, se puede pensar en una analogíacon los circuitos eléctricos



27/75

27





28/75

Ó Ó


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29


vv P qvU U t

:ˆˆ·

0

q

Como este sistema de transferencia de calor también esunidimensional en la coordenada x, la ecuación de energía queda:

0dxdq x

Reemplazando por la Ley de Fourier para un sólido isotrópico:

02

2

dx

T d k



Ó Ó


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30


Resolviendo la ecuación, se obtiene el mismo perfil de temperaturalineal dentro del sólido:

21 C xC T x

Ahora, se deben definir dos condiciones de contorno apropiadas aeste nuevo problema:



0 x

e x 22 e

e

T hdx

dT k

Condiciones de contorno:

0110

T hdx

dT k


Ó Ó


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31




2111

C hC k

22121

C eC hC k

21

1

1 C

k

hC

k

ehhhh

k

ehhhh

C ··

···

··

21

21

1

21

2211

2

Ó Ó


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32



Reacomodando y expresando estas constantes en función de losnúmeros de Biot definidos, se obtiene:

2121

2121

1··

··

Bi Bi Bi Bie

Bi Bi

C

2121

1212211

2

·

····

Bi Bi Bi Bi

Bi Bi Bi BiC


Ó Ó


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33



El perfil de temperaturas queda:

2121

221211

2121

2121

·

····

·

··

Bi Bi Bi Bi

Bi Bi Bi Bi

e

x

Bi Bi Bi Bi

Bi BiT x

Reacomodando un poco la expresión del perfil de temperaturas, finalmente se llega a la ecuación que se empleará para realizar elanálisis de cómo se modifica este perfil frente a una variación en losnúmeros de Biot 1 y 2:

211

21211

211

211

1

··

1

·

Bi Bi Bi

Bi Bi Bi

e

x

Bi Bi Bi

BiT x


Ó Ó


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34



•El perfil de temperaturas en el sólido queda representado por una recta.

• Al expresar el perfil de temperaturas en el sólido en función de losadimensionales Bi 1 y Bi 2 , se podrá inferir como será la magnitud de los perfiles de temperatura en las corrientes de fluido 1 y 2.

•

Ahora, para estudiar como es afectada esta recta por los números de Biot,vamos a analizar que valores toma la temperatura superficial en x=0 y x=e frente a los casos límite Bi 0 y Bi (Bi 1 y Bi 2 )

La temperatura superficial en x = 0 es:

211

21211

0

1

·

Bi Bi Bi

Bi Bi BiT

La temperatura superficial en x = e es:

211

21121

1

·1·

Bi Bi Bi

Bi Bi BiT e

Ó Ó


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35


Debe recordarse que se consideró θ 1 > θ 2 , por lo que se espera queT (0) sea mayor que T (e). Entonces, el perfil de temperaturas tendrá lasiguiente forma:

Influencia de los números de Biot 1 y 2:

Ó Ó


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36



Ahora, vamos a ver de qué manera se afecta este perfil frente a unavariación de las distintas resistencias térmicas (Bi 1 y Bi 2 ).

Por el momento, no se va a estudiar la forma de los perfiles detemperatura en ambos fluidos, sólo su magnitud.

Se analizarán 3 casos, variando los Biot por separado y viendo comose modifican los perfiles de temperatura. Los casos de estudio que se proponen son:

•Variación de Bi 1 frente a un Bi 2 0.

•

Variación de Bi 1 frente a un Bi 2 intermedio.•Variación de Bi 1 frente a un Bi 2 .


CO CC Ó C O SÓ OS


37/75

37



Resultados obtenidos variando Bi 1 frente a un Bi 2 0



38/75

38



Resultados obtenidos variando Bi 1 frente a un Bi 2 intermedio



39/75

39



Resultados obtenidos variando Bi 1 frente a un Bi 2



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40



Luego de haber obtenido la expresión del perfil de temperatura en elsólido y de ver como influyen en éste los números de Biot, estamos encondiciones de obtener una expresión general para la transferenciade calor:Como ya se vio, para el cálculo del calor transferido en la pared se

emplea la Ley de Fourier:

dx

dT k q x

Al igual que para el caso anterior, no es necesario definir en que posición x se va a evaluar la derivada, ya que es constante:

1C k q x

21212121

··

···

Bi Bi Bi Bie

Bi Bik q x



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41



Si se reemplaza por la definición de los números de Biot en la últimaexpresión y se la reordena un poco, se obtiene:

k e

hh

q x

21

21

11

k

e

hh

AQ x

21

21

11

AQq x x




42/75

42



Como era de esperar, se llegó a una expresión para el calortransferido en función de:


•La suma de las resistencias en serie.

int21

21

R R R AQ

ext ext

x

Comparando esta expresión con la ecuación cinética de transferenciade calor, podemos llegar a las mismas conclusiones que para el casoanterior.

T AU Q 2° cuatrimestre de 2015



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43



En este caso, se llega a:

21

T

Estos resultados comprueban lo hallado anteriormente para sistema

en serie. El coeficiente global de transferencia de calor de un sistemaen serie podrá expresarse en función de la suma de todas lasresistencias presentes:

int21

R R R A AU ext ext

R

A AU



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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSPared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija

Simplificaciones que se asumen parala resolución:


•En cuanto a las dimensiones del sólido se

establecerá que e


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45


Aplicando las simplificaciones o consideraciones que se asumen para laresolución de este sistema, el problema se resume con la siguiente figura:



46/75

46



vv P qvU U t

:ˆˆ·

0qComo se trata de un sistema de transferencia de calor unidimensionalen la coordenada x, la ecuación de energía queda:

0dxdq x


0

dx

dT k

dx

d

Pared plana de conductividad térmica variable con ambas superficiesmantenidas a una temperatura fija

Cteq x



47/75

47


Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:En este caso, la conductividad térmica no puede salir fuera de la primer integral, por lo tanto, la ecuación diferencial a resolver es:

1C dx

dT

k


Ahora, se debe proponer una expresión para la conductividad térmicaque represente su variación con la temperatura.

Como resultado de esto, el perfil de temperaturas dentro del sólidono será lineal.

Cteq x




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Para la conductividad térmica se propone la siguiente funcionalidad conla temperatura:

T bak


En general, para gases y aislantes laconductividad aumenta con latemperatura

0b

Mientras que para sólidos cristalinos ylíquidos (excepto H2O) la conductividaddisminuye con la temperatura

0b

Modelo propuesto para la conductividad térmica del sólido:



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49


Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:Reemplazando la expresión propuesta para la conductividad térmicadel sólido en la ecuación de energía, se obtiene:


1C

dx

dT T ba

Resolviendo la ecuación, se obtiene el perfil de temperatura dentrodel sólido, el cual, como ya se dijo, no será lineal:

212

2

C xC T b

T a x x


0 x

e x

ee T T

Condiciones de contorno: 00 T T



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50



2

002

2T

bT aC

2

21

2 ee T

bT aC eC


2

2

0

2

01 T T ebT T

eaC ee




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51


El perfil de temperaturas queda expresado en función de latemperatura al cuadrado, por lo tanto, se deberá trabajar un pocomás para obtener una función de la posición.


2

00

2

0

2

0

2

2

222

T T b

a

b xT T

ebT T

eaT

baT ee x x

Esto se hace completando cuadrados




52/75

52


Para completar cuadrados se suma (a/b)2 a ambos lados de laigualdad anterior:


2

2

00

2

0

2

0

2

2

2

22

b

aT T

b

a

e

xT T T T

b

a

b

aT

b

aT ee x x




53/75

53


Entonces, se puede decir lo siguiente:Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:

2

2

00

2

0

2

0

2

2

2

b

aT T

b

a

e

xT T T T

b

a

b

aT ee x

22

2

2

b

aT

b

aT

b

aT x x x



54/75

54


Además, también se cumple la siguiente igualdad:Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:

2

0

2

0

2

0

2

2

b

aT

e

xT T T T

b

a

b

aT ee x

2

0

2

0

2

0 2

b

aT

b

aT

b

aT



55/75

55


Finalmente, se obtiene el perfil de temperatura dentro del sólido:Planteo de la ecuación diferencial de energía interna para el sólido:

b

a

b

aT

e

xT T T T

b

aT ee x

21

2

0

2

0

2

02

Sólo se consideró la solución positiva de la cuadrática, ya que es la únicaque cumple con las condiciones de contorno en x = 0 y x = e:

0 x

e x

0

2

00

21

T b

a

b

a

T T

eee T

b

a

b

aT T

21

2



56/75

56


Perfil de temperatura dentro del sólido:

La concavidad del perfil detemperatura dentro del

sólido dependerá del signoque tome el parámetro b



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57

CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSCilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2



•En cuanto a las dimensiones del cilindro se

establecerá que R1


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58


Aplicando las simplificaciones o consideraciones que se asumen para la

resolución de este sistema, el problema se resume con la siguiente figura:

Cilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2

Si bien la simetría es cilíndrica,el perfil de temperatura se puede graficar de esta forma,ya que sólo depende de la posición r.



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59




vv P qvU U t

:ˆˆ·

0q

Como se trata de un sistema de transferencia de calor unidimensionalen la coordenada radial, la ecuación de energía queda:

01

r

rqdr

d

r


01

dr

dT r

dr

d

r k

Cteqr r



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60


Resolviendo la ecuación, se obtiene el perfil de temperatura radialdentro del sólido:

21 ln C r C T r


1 Rr

2

Rr Condiciones de contorno:

11

T T R

22

T T R



r

C

dr

dT 1



61/75

61




2111

ln C RC T

2212

ln C RC T

Restando ambas ecuaciones, se despeja el valor de la constante C 1:

1

2

12

1

ln R R

T T C





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62



Luego, la constante C 2 queda:

Finalmente, el perfil de temperatura dentro del cilindro queda:

1

1

2

12

12 ln

ln

R

R

R

T T T C

1

1

2

12

1 ln

ln R

r

R

R

T T T T r




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63

CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSCilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2Perfil de temperatura dentro del sólido:



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CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSCilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2Expresión general para la transferencia de calor:

Luego de haber obtenido la expresión del perfil de temperatura en elsólido, estamos en condiciones de obtener una expresión general para la transferencia de calor:

Como ya se vio en todos los ejemplos anteriores, para el cálculo delcalor transferido en la pared se emplea la Ley de Fourier:

dr

dT k qr

En este caso, se debe definir en que posición r se va a evaluar la

derivada, ya que, debido a la simetría, el calor transferido por unidadde área no es constante:

r

C k q

r r 1



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65


Entonces, la expresión para el calor transferido en el cilindro queda:

r

R

R

T T k q

r r

1

ln

1

2

21

Sin embargo, el calor transferido por unidad de tiempo si esconstante, ya que no depende del radio:

r r r r r qrLq AQ 2

r

C k rLQr

12




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66


Entonces, la expresión para el calor transferido en el cilindro queda:

1

2

21

ln

2

R

R

T T Lk Qr

A partir de esta expresión, nuevamente se puede pensar en unaanalogía con los circuitos eléctricos:




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67


La resistencia térmica por conducción en el sólido para simetríacilíndrica queda:

Cilindro hueco con su superficie interna a T 1 y su superficie externa a T 2Concepto de resistencia térmica:

Al igual que para todos los casos anteriores, se llegó a una expresión para el calor transferido en función de:


•La resistencias a la transferencia de calor, que en este caso se debe sólo a

la conducción en el sólido.

1

2

int ln2

1

R

R

Lk R




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68

CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOSCilindro hueco en el cual circula un fluido por su interior y en el exteriorse encuentra otro fluido a una temperatura diferente del primero.



•En cuanto a las dimensiones del cilindro se

establecerá que R1


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69


Aplicando las simplificaciones o consideraciones que se asumen para laresolución de este sistema, el problema se resume con la siguiente figura:

Cilindro hueco en el cual circula un fluido por su interior y en el exteriorse encuentra otro fluido a una temperatura diferente del primero.



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Transmisión de calor entre la corriente de fluido 1 y la superficieinterna del cilindro (r = R1 ):

111 Rr T AhQ

Transferencia de calor por conducción dentro del cilindro:

Transmisión de calor entre la superficie externa del cilindro (r = R2 ) yel fluido 2:

22 2 Rr T AhQ


11112 Rr T Lh RQ

12

ln

2

1

21

R R Lk

T T Q

R R

r

222 22 Rr T Lh RQ



71/75

71

CO UCC Ó C O SÓ OS

El problema se puede tratar como un sistema de transmisión de caloren serie.

El calor transferido es el mismo en cada paso o etapa, y en cada unade éstas, el calor transferido queda expresado en función de la

diferencia de temperaturas entre sus límites.Se puede despejar esta diferencia de temperaturas en cada etapa a partir de las expresiones anteriores para llegar a una expresión deltipo:



R

T Q




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Para hacer esto, se despeja la diferencia de temperaturas de cadaetapa y se suman todas las ecuaciones:



r R Q Lh R

T 11

1

2

1

1

r R R Q R R Lk

T T 12

ln2

1

21

r R Q Lh RT 222

2

1

2

r Q Lh R

R R

Lk Lh R

22

12

11

21

2

1ln

2

1

2

1



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Finalmente, el calor transferido queda expresado como:Resistencias térmicas del sistema:


22

12

11

21

2

1

ln2

1

2

1

Lh R R R Lk Lh R

Qr

Resistencia térmica porconducción en el sólido

Resistencia térmica por

convección del fluidointerior

Resistencia térmica por

convección del fluidoexterior

Comparando esta expresión con la ecuación cinética de transferenciade calor:

21

AU Q73



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El coeficiente global de transferencia de calor queda:Resistencias térmicas del sistema:


22

12

11

1ln

11

2

11

h R R R

k h R L AU

74

Por lo general, para esta geometría el coeficiente global se loreferencia a una superficie determinada. Por ejemplo, para el áreaexterna:

L R A2

2

2

12

2

11

2

2

1ln

2

11

h R R

k

R

h R

R

L R AU



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Bibliografía recomendada

• Capítulos 2 y 3 de “Fundamentos de Transferencia de Calor”, CuartaEdición, Incropera F.P. & De Witt D.P.

•Capítulo 17 de “Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y

Masa”, Segunda Edición, Welty J.R., Wicks C.E. & Wilson R.E.

•Capítulo 2 de “Transferencia de Calor”, Octava Edición, Holman J.P.

•Capítulos 9 y 10 de “Fenómenos de Transporte”, Segunda Edición, Bird

R.B., Stewart W.E. & Lightfoot E.N.

10-Conducción en Sólidos

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