10 análisis de sensibilidad

Análisis de Sensibilidad

O análisis post optimal

IO1 RDA 2


Tópicos

Definición

Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la F.O. cj

Análisis de sensibilidad vector b

Análisis de sensibilidad de los aij

Adición/Eliminación de una variable

Adición/eliminación de una restricción

IO1 RDA 3


Se denomina análisis de sensibilidad a las investigaciones que tratan los cambios en la solución óptima debido a los cambios en los datos

El análisis de sensibilidad en cierto sentido convierte la solución estática de P.L. En un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes

IO1 RDA 4


Objetivo:

Como se ve afectada la solución, si se modifica las condiciones iniciales; esto es hay cambios en los costos, recursos, coeficientes tecnológicos.

Cual es el rango de valores en que se puede trabajar sin afectar la solución.

IO1 RDA 5

Sensibilidad de los coeficientes de la F.O. (Cj)

Sí C C’ ¿cuál será la nueva solución

óptima?

Recordemos que:

(P) max Z=CX (D) min w=Yb

s.a. AX=b s.a. YA C

x>0 Y libre

IO1 RDA 6


Que ocurre con las condiciones? Se mantienen?

La condición de factibilidad

si se mantiene, i.e. B es base primal

La condición de optimalidad

no! se

sabe

Pues solamente se cumple para las VB.

01 bBXB

,...,1 ? 0 njzc jj

IO1 RDA 7


Entonces sí:

=> sol. óptima

se mantiene

en caso contrário la sol óptima es

afectada => utilizar Simplex para

encontrar la nueva solución

0 Njj Ijzc

IO1 RDA 8


Ejemplo:

Sea el tablero óptimo

2

1

82

62 .

23

2

21

21

21

21

x

xx

xx

xxas

xxzmax

38/3- 0 0 4/3- 1/3- 0 0

2/3 1 0 1/3 2/3- 0 0

3 0 1 1 1- 0 0

10/3 0 0 2/3 1/3- 0 1

4/3 0 0 1/3- 2/3 1 0

6

5

1

2

654321

z

x

x

x

x

xxxxxx

IO1 RDA 9


Sí se cambia por

la solución permanece óptima?

Solución: Nos interesa calcular solamente

21 45' xxz 21 23 xxz

básicas

básicas no

donde

0 pues 0

B

N

BjjNjj

I

I

IjzcIjzc

IO1 RDA 10


Como:

Veamos la Base

1 0 0 1

0 1 1- 1

0 0 2 1

0 0 1 2

B

1 0 1/3 2/3-

0 1 1 1-

0 0 2/3 1/3-

0 0 1/3- 3/2

1B

11 e BCYNBCz BBN

IO1 RDA 11


Ahora, con el cambio de coeficientes:

Necesitamos conocer N

0 0

0 0

1 0

0 1

donde de

4,3 6,5,1,2 que dado

N

II NB

)0,0,2,1()0,0,5,4(

)0,0,5,4( )0,0,3,2(

11''

'

BBCY

CC

B

BB

IO1 RDA 12


Luego

Cumple con la condición de optimalidad

0)2,1(

)2,1(

0 0

0 0

1 0

0 1

)0,0,2,1()0,0(),( 4433

zczc

IO1 RDA 13


Esto es el punto óptimo es el mismo pero el valor de Z varia

En la tabla ahora se tiene:

22)3/4(4)3/10(5

)3/4,3/10( 21

z

xx

22- 0 0 2- 1- 0 0

654321

z

xxxxxx

IO1 RDA 14


¿Cuál es el rango de variación de cj

para que la base se mantenga óptima?

ahora:

esto es:

y),.....,....,(' 21 nk ccccC

keCC '

kk cc'

I matriz la dek filaek

IO1 RDA 15


1. Sí corresponde a una VNB

Se cumple que:

entonces basta verificar que:

de donde: costo reducido

BC , 0 -1B YKjzc jj

kc

kkk zcc '

kk cz

IO1 RDA 16


Ejemplo: Hallar el rango de variación de c3 para que la base siga siendo óptima

Basta mirar el tablero óptimo a nivel de -z y

tomar el valor contrario de c3-z3=-1/3=>

De donde , esto es,

VNBesxc 0 33

3/1

3/13'3 CC 3/1,'

3 C

IO1 RDA 17


1. Sí corresponde a una VB, se tiene:

se debe verificar que:

de donde:

0'' NIjjaYjcjzjc

kc

pj

0ypj

0y ymin

ymax

pjpj

jjjj aYcaYc

pfYBpeBCBBCY 1)(1''

deAjcolumnaja

Bfilapf

enkdepos

defilape

1 de P

BI VB . P

I p

IO1 RDA 18


Ejemplo: Hallar el rango de variación de c1 para que la base siga siendo óptima

Observe que , , la posición de en la base es 2

=> Según la formula esto corresponde a los valores de y de

=>

y como

VBxC es 3 11

3/1

3/1min

3/2

3/4max

00 pjpj yy

4,3NI 6,5,1,2BI

2423 y , y4433 , zczc

1x

12 41 '11

'1 ccc

IO1 RDA 19

Sensibilidad del vector b

Sí b b’ ¿Cuál es la nueva solución Óptima?

¿Qué ocurre con las condiciones?

Factibilidad: no se sabe

Optimalidad: se mantiene, pues b’ no interviene

=> B es Base dual posible

=> Y es solución dual posible

?0'1 bBXB

0YAC

IO1 RDA 20


Entonces, Sí

=>Sol. Óptima del

problema primal (e Y óptima del dual)

En otro caso solución es afectada

=>aplicar simplex dual para la hallar la solución

0'1 bBXB

IO1 RDA 21

Sensibilidad del vector bEjemplo: que pasa si

Debemos verificar

la base permanece

y ahora

1x

2

1

8

6

b

2

3

8

7

'b

0'1 bBXB

0

0

4

3

2

2

3

8

7

1 0 1/3 2/3-

0 1 1 1-

0 0 2/3 1/3-

0 0 1/3- 3/2

1

bB

13

0,4

3,2

65

12

z

xx

xx

IO1 RDA 22


¿Cuál es el rango de variación de b para que B siga siendo óptima?

En particular para la fila s, tenemos:

0

0''

111'

iBB

iB

XX

eBbBbBX

iebb '

si

B

si

B S

si

S

si

XX

00minmax

1 i

I i

Bcolumna

decolumnae

i

i

IO1 RDA 23

Sensibilidad del vector bEjemplo: rango de variación de b1

b1=6 => vemos en la columna 1 de y para cada fila S = 1, 2,3,4 según fórmula se tiene

=>

1B

2

1

8

6

b

3/2

3

3/10

3/4

BX

1 0 1/3 2/3-

0 1 1 1-

0 0 2/3 1/3-

0 0 1/3- 3/2

1B

3/2

3/4min

3/2

3/2,

1

3,

3/1

3/10max

21

1626 1 b

7'4 1b

IO1 RDA 24

Sensibilidad de los coeficientes aij

Caso en que cambie, que ocurre con la solución solución óptima?

C. de Factibilidad:

se mantiene

C. de optimalidad:

No se sabe

Naij

01 bBXB

?0YNCN

IO1 RDA 25


Entonces, dado

Sí,

entonces la solución permanece

caso contrário solución cambia

=> aplicar simplex

Naij

0YNCN

IO1 RDA 26

Sensibilidad de los coeficientes aij Ejemplo:

Sea el tablero óptimo

2

1

82

62 .

23

2

21

21

21

21

x

xx

xx

xxas

xxzmax

38/3- 0 0 4/3- 1/3- 0 0

2/3 1 0 1/3 2/3- 0 0

3 0 1 1 1- 0 0

10/3 0 0 2/3 1/3- 0 1

4/3 0 0 1/3- 2/3 1 0

6

5

1

2

654321

z

x

x

x

x

xxxxxx

IO1 RDA 27


Ejemplo: Que pasa si ,

ahora es

=>debemos verificar , como

y , obtenemos

de donde

113 a

033 zc

)0,0,3/4,3/1(1 BCY B

VNBxa 313

03 c

413 a

3/4

0

0

0

4

)0,0,3/4,3/1(33

aYz

03/43/4033 zc

IO1 RDA 28


Rango de variación de

la base permanece óptima sí,

esto es:

Pero como

para un j

Naij

0YNCN

Njj IjaYc 0

ijj eaa '

IO1 RDA 29


=> el rango de variación de

0

0

i

i

Yi

jj

Yi

jj

Y

aYc

Y

aYc

IO1 RDA 30


Ejemplo: rango de variación de

=>nos interesa y la variable dual,

obtenido a partir de

ahora reemplazando, en la formula se tiene:

113 a

33 zc

)0,0,3/4,3/1(1 BCY B

13/1

3/1

VNBxa 313

3/11 Y

0'' 131313 aaa

IO1 RDA 31


Caso en que cambie, que ocurre con la solución solución óptima?

La modificación de un elemento de la base afecta las condiciones:

de factibilidad:

de optimalidad (factibilidad dual):

de complementaridad:

Baij

bBXB1

0YNCN

1 BCY B

IO1 RDA 32


Rango de variación de

En este caso se calculará el rango de variación respecto a las condiciones de factibilidad y de optimalidad para cada caso particular

Nota: A veces es mejor resolver el nuevo problema generado con el cambio.

Baij

IO1 RDA 33

Adición de una variable

¿Qué posibilidad hay de lanzar un nuevo producto al mercado?

El problema ahora es:

El número de restricciones ha variado?

0,

Zmax

1

11

11

n

nn

nn

xX

bxaAX

xcCX

IO1 RDA 34


Como el número de restricciones no varia B tiene el mismo número de VB

esto es: es una base posible

Ahora Sí, B sigue siendo óptimo, debemos de verificar que:

en caso contrário aplicar el Simplex

bBXB1

11 nn aYc

IO1 RDA 35


La variable que entra es

Para la tabla simplex es necesario calcular

11

1ny

naB

1nx

IO1 RDA 36


Ejemplo: Suponga que se desea añadir una

variable x7,

debemos de verificar que:

Como

11 nn aYc

2

1

8)4/3(2

6)4/3(2 .

)2/3(23 max

2

721

721

721

721

x

xxx

xxx

xxxas

xxxz

)0,0,3/4,3/1(Y )0,1,4/3,4/3(1 na

IO1 RDA 37


tenemos

=> Aplicar simplex

Calcular y el nuevo tablero es:

2/34/3

2/3)0(0)1(0)4/3(3/4)4/3(3/1

11

1

nn aBy

4/1

1

4/1

4/1

0

1

4/3

4/3

1 0 1/3 2/3-

0 1 1 1-

0 0 2/3 1/3-

0 0 1/3- 3/2

38/3- 3/4 0 0 4/3- 1/3- 0 0

2/3 1/4- 1 0 1/3 2/3- 0 0

3 1- 0 1 1 1- 0 0

10/3 1/4 0 0 2/3 1/3- 0 1

4/3 1/4 0 0 1/3- 2/3 1 0

6

5

1

2

7654321

z

x

x

x

x

xxxxxxx

IO1 RDA 38

Eliminación de una variable

La eliminación de una variable implica que este tome un valor fijo:

Caso de una VNB

En el óptimo:

como :

kx j

y

)(

BjsjaBB

Njjja

IsxXX

IjxzcZZ

ss

kx

IO1 RDA 39


se tiene:

entonces, sí:

la base sigue siendo óptima

en otro caso aplicar dual simplex

y)y(

)())((

Bkj

jsjskaBB

Nkj

jjjkka

IsxXX

IjxzczcZZ

ss

0y skBsX

IO1 RDA 40


Ejemplo: Suprimir es VNB

verificar

4/3 – (2/3) 2 = 0

10/3 –(-1/3) 2 = 12/3 Z= 38/3 +(-1/3)2 =36/3 = 12

3 – (-1) 2 = 5

2/3- (-2/3) 2 =2

0y skBsX

,23 x 3x

38/3- 0 0 4/3- 1/3- 0 0

2/3 1 0 1/3 2/3- 0 0

3 0 1 1 1- 0 0

10/3 0 0 2/3 1/3- 0 1

4/3 0 0 1/3- 2/3 1 0

6

5

1

2

654321

z

x

x

x

x

xxxxxx

IO1 RDA 41


ahora la tabla óptima queda así:

12- 0 0 4/3- --- 0 0

2 1 0 1/3 --- 0 0

5 0 1 1 --- 0 0

12/3 0 0 2/3 --- 0 1

0 0 0 1/3- --- 1 0

6

5

1

2

654321

z

x

x

x

x

xxxxxx

IO1 RDA 42

Eliminación de una variable Caso de una VB

La eliminación de una variable de la Base, modifica de forma compleja el problema; esto es la base ya no es más base óptima.

Una forma de abordar el problema es hacer que la VB a ser eliminada pase a ser una VNB

IO1 RDA 43


ejemplo: Suprimir es VB

Forcemos a salir de la base y luego eliminémosla.

,22 x 2x

38/3- 0 0 4/3- 1/3- 0 0

2/3 1 0 1/3 2/3- 0 0

3 0 1 1 1- 0 0

10/3 0 0 2/3 1/3- 0 1

4/3 0 0 1/3- 2/3 1 0

6

5

1

2

654321

z

x

x

x

x

xxxxxx

2x

IO1 RDA 44


38/3- 0 0 4/3- 1/3- 0 0

2/3 1 0 1/3 2/3- 0 0

3 0 1 1 1- 0 0

10/3 0 0 2/3 1/3- 0 1

4/3 0 0 1/3- 2/3 1 0

6

5

1

2

654321

z

x

x

x

x

xxxxxx

18- 0 0 0 3- 4- 0

2 1 0 0 0 1 0

7 0 1 0 1 3 0

6 0 0 0 1 2 1

4- 0 0 1 2- 3- 0

6

5

1

4

z

x

x

x

x

10- 0 0 0 3- -- 0

0 1 0 0 0 -- 0

1 0 1 0 1 -- 0

2 0 0 0 1 -- 1

2 0 0 1 2- -- 0

6

5

1

4

21

z

x

x

x

x

xx

Haciendo: x2= 2,-4-(-3)2 =26-(2)2=27-(3)2=12-(1)2=0Z= 18+(-4)2= 10Se tiene :

IO1 RDA 45

Adición o eliminación de una restricción Al eliminar una restricción la región factible

queda inalterada o aumenta

La Adición de restriciones hace que la región factible quede inalterada o se reduzca

Efectos sobre la FO.

La adición de una restricción al modelo empeora o no altera el valor de la FO.

La eliminación de una restricción al modelo mejora o no altera el valor de la FO.

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