1 · Web viewUnitats del llibre de l’alumne Àlgebra lineal 1. Matrius 2. Determinants 3....

Programació d’aula de Matemàtiques II 2n Batxillerat

ww.edebedigital.com 1


A l’hora de procedir a estructurar en unitats didàctiques la distribució i concreció d’objectius, continguts i objectius terminals de la matèria, l’editorial Edebé ha aplicat una sèrie de criteris, de manera que permetin un ensenyament integrat.

Així, les seqüències d’aprenentatge estan organitzades segons els criteris següents:

Adequació. Tot contingut d’aprenentatge està íntimament lligat als coneixements previs de l’alumne/a.

Continuïtat. Els continguts es van assumint al llarg d’un curs, cicle o etapa.

Progressió. L’estudi en forma helicoïdal d’un contingut facilita la progressió. Els continguts, un cop assimilats, són represos constantment al llarg del procés educatiu, perquè no siguin oblidats. Uns cops se’n canvia la tipologia (per exemple, si s’han estudiat com a procediments, es reprenen com a valors); altres cops es reprenen com a continguts interdisciplinaris en altres àrees.

Interdisciplinarietat. Això suposa que els continguts apresos en una àrea serveixin per a avançar en d’altres i que els continguts corresponents a un eix vertebrador d’una àrea serveixin per a aprendre els continguts d’altres eixos vertebradors de la mateixa àrea, és a dir, que permetin donar unitat a l’aprenentatge entre diverses àrees.

Priorització. Es parteix sempre d’un contingut que actua com a eix organitzador i, al voltant seu, s’hi van integrant altres continguts.

Integració i equilibri. Els continguts seleccionats han de cobrir totes les capacitats que s’enuncien en els objectius i en els objectius terminals. Així mateix, es busquen l’harmonia i l’equilibri en el tractament de conceptes, procediments i valors. I, molt especialment, s’han de treballar els valors transversals.

Interrelació i globalització. A l’hora de programar, s’han tingut en compte els continguts que són comuns a dues o més àrees, de manera que, en ser abordats, se n’obtingui una visió completa. Així mateix, es presenten els continguts en el seu aspecte més general, per tal de poder analitzar els aspectes més concrets al llarg de les unitats didàctiques, fins a arribar a obtenir una visió global.

Amb tots aquests criteris, la matèria s’estructura en unitats i també se seqüencien els eixos vertebradors de la matèria, de manera que permetin un ensenyament integrat en ordre horitzontal, o bé possibilitin al professor/a el tractament d’un sol eix en ordre vertical.



PROGRAMACIÓ D’AULAMATEMÀTIQUES II 2n BATXILLERAT

Unitats del llibre de l’alumne

Àlgebra lineal

1. Matrius 2. Determinants 3. Sistemes d’equacions lineals

Geometria

4. Vectors en l’espai I 5. Vectors en l’espai II 6. Geometria afí en l’espai 7. Geometria mètrica en l’espai

Anàlisi

8. Límits 9. Continuïtat 10. Derivades 11. Aplicacions de les derivades 12. Integrals



PROGRAMACIÓ D’AULAMATEMÀTIQUES II 2n BATXILLERAT

A continuació s’esmenten els objectius i els continguts que es treballen en el llibre de l’alumne. Alhora, sota el títol Activitats es descriu el recorregut d’aprenentatge proposat en la unitat. A més, es presenten una sèrie de criteris d’avaluació que estableixen el tipus i el grau d’aprenentatge que s’espera que hauran assolit els alumnes al final de la unitat respecte de les capacitats expressades en els objectius.



ÀLGEBRA LINEAL

Al principi del bloc Àlgebra lineal s’inclou una doble pàgina on es fa referència al context històric en què han sorgit els principals conceptes matemàtics i als científics que han contribuït al seu progrés (pàg. 4 i 5).

Els alumnes poden treballar sobre aquestes ressenyes d’acord amb les propostes que es recullen en el llibre d’Orientacions i propostes de treball.



UNITAT 1: MATRIUS

Objectius didàctics

Conèixer el concepte de matriu numèrica i la nomenclatura que s’hi associa (dimensió, fila, columna…), com també les seves característiques fonamentals i la manera de representar-la.

Identificar els tipus de matrius segons la seva dimensió i segons els seus elements.

Conèixer el concepte de rang d’una matriu i calcular-lo mitjançant l’aplicació de transformacions elementals.

Manejar amb destresa els algoritmes de les operacions amb matrius: calcular la matriu suma de dues matrius, la matriu multiplicació d’una matriu per un nombre real i la matriu producte de dues matrius; així mateix, conèixer les propietats d’aquestes operacions.

Conèixer el concepte de matriu inversa d’una matriu i la seva representació, i calcular aquesta matriu, en el cas que existeixi, per diversos mètodes.

Obtenir la matriu transposada d’una matriu i conèixer les propietats de la transposició de matrius.

Utilitzar les matrius per a organitzar la informació i representar relacions.

Fer servir la calculadora per a efectuar operacions amb matrius.

Obtenir la potència n-èsima d’una matriu senzilla.

Aplicar les fórmules que regulen els algoritmes de càlcul sense que això impedeixi atendre les regularitats o simplificacions que aconsellin les característiques pròpies de cada procediment.

Valorar la utilitat de les matrius per a emmagatzemar informació i de les operacions que s’hi efectuen per a manejar aquesta informació.

Continguts

Conceptes

– Matriu. Matriu numèrica.

– Igualtat de matrius.

– Matriu quadrada, fila, columna, triangular, diagonal, identitat i nul·la.

– Matriu esglaonada.

– Rang d’una matriu esglaonada.

– Transformacions elementals.

– Matrius equivalents.

– Rang d’una matriu.

– Matriu suma, matriu diferència, matriu producte per un nombre real i matriu producte.

– Propietats de les operacions amb matrius.

– Matriu inversa.

– Transposició de matrius i matriu transposada.

– Graf i matriu associada a un graf.



Procediments

– Representació de matrius.

– Classificació de matrius segons la seva dimensió i segons els seus elements.

– Obtenció del rang d’una matriu.

– Obtenció de la matriu suma, de la matriu diferència, de la matriu producte per un nombre real i de la matriu producte de dues matrius.

– Càlcul de la matriu inversa a partir de la definició.

– Càlcul de la matriu inversa pel mètode de Gauss-Jordan.

– Obtenció de la matriu transposada d’una matriu.

– Associació d’una matriu a un graf.

– Interpretació d’una matriu associada a un graf i del seu quadrat.

– Utilització de la calculadora per a efectuar operacions amb matrius.

– Càlcul de la potència n-èsima d’una matriu senzilla.

Actituds, valors i normes

– Valoració de la utilitat de les matrius com a eina per a organitzar informació, representar relacions…

– Apreciació pels algoritmes de càlcul que faciliten el treball amb matrius.

Activitats d’aprenentatge

Els Objectius (pàg. 6) es presenten en un text motivador seguit de les capacitats que es pretén que l’alumne/a desenvolupi al llarg de la unitat.

En la Presentació de la unitat (pàg. 7) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat, com ara les operacions amb nombres reals, les seves propietats i les taules de doble entrada com a mètode de representació de dades.

En la unitat podem distingir-hi tres apartats: matrius numèriques, operacions amb matrius i matriu associada a un graf.

Matrius numèriques (pàg. 8-11)

– Es parteix de l’observació d’una matriu de dimensió 2 x 3 per a introduir el concepte de matriu i la nomenclatura que s’hi associa: fila, columna, dimensió.

– A continuació, s’indica la manera com es representa una matriu i els seus elements i s’enuncia la característica que han de tenir dues matrius perquè siguin iguals.

– En el marge es presenta el llenguatge matemàtic que simplifica la notació i una aplicació de les matrius; el professor o la professora, si ho prefereix, pot iniciar l’apartat presentant l’exemple d’aplicació, o bé, presentar-lo quan ja s’ha definit el concepte de matriu.

– Seguidament, es classifiquen les matrius segons la seva dimensió i segons els seus elements, donant la definició de cada tipus i un exemple.

– Finalment, s’introdueix el concepte de rang d’una matriu. El procediment seguit consisteix a presentar diverses matrius esglaonades, definir aquest concepte i el de rang d’una matriu esglaonada, veure que existeixen una sèrie d’operacions amb les files d’una matriu que permeten de



transformar-la en una matriu esglaonada, definir el concepte de matrius equivalents i, finalment, definir el rang d’una matriu com el rang d’una matriu esglaonada equivalent.

– A continuació es mostra, mitjançant dos exemples, la manera com s’obté en la pràctica el rang d’una matriu.

– Si la professora o el professor ho considera oportú, pot apuntar la relació que hi ha entre el rang d’una matriu i el nombre de vector linealment independents, si es consideren les columnes de la matriu com a vectors, encara que això no prendrà plenament sentit fins que no es treballin els vectors en la unitat 4.

Operacions amb matrius (pàg. 12-18)

– En aquest bloc es presenten les operacions d’addició de matrius, multiplicació d’una matriu per un nombre real, multiplicació de matrius i transposició de matrius. Cada subapartat té la mateixa estructura: presentació de l’operació, exemple resolt i propietats. En el marge es pot veure una aplicació de cadascuna d’aquestes operacions en el món real, seguint amb l’exemple inicial. Com en l’apartat anterior, el professor o la professora pot optar per utilitzar aquests exemples per a introduir l’operació o bé presentar-los quan aquesta ja s’ha introduït.

– En el cas de la multiplicació de matrius, la més complexa d’aquestes operacions, es comença definint el producte d’una matriu fila per una matriu columna, i a continuació s’amplia al cas general. En observar que hi ha una matriu element neutre de la multiplicació de matrius quadrades, se li dóna el nom de matriu identitat i se simbolitza. En el marge es remarca la no-commutativitat de l’operació producte de dues matrius. La professora o el professor pot fer que els alumnes ho comprovin efectuant el producte de dues matrius determinades.

– Per acabar aquest apartat, s’introdueix, a partir de la matriu identitat, la matriu inversa. Seguidament, s’expliquen dos mètodes per al càlcul de la matriu inversa: a partir de la definició, plantejant un sistema d’equacions lineals, i pel mètode de Gauss-Jordan. Aquest darrer es presenta donant els passos en el cas general i, a continuació, es resol un cas concret.

– Per concloure l’apartat, es presenta una operació pròpia de les matrius, la transposició. Per a fer-ho, es remarquen els elements d’una fila d’una matriu i la situació d’aquests elements en la transposada. A continuació, s’enuncien les propietats de la transposició. En el marge s’introdueixen dos tipus de matrius, la simètrica i l’antisimètrica, en la definició de les quals intervé la transposada de la matriu.

Matriu associada a un graf (pàg. 19 i 20)

– En aquest apartat es presenta una nova aplicació de les matrius: la seva utilitat com a eina per a representar una relació entre els elements d’un conjunt. En primer lloc, es dóna un exemple d’una relació matemàtica i després, dues aplicacions, en forma d’exemple resolt: una a la sociologia, per a l’estudi de les relacions entre individus, i l’altra per a l’estudi de les xarxes de comunicació.

– En el marge s’explica el funcionament general d’una calculadora preparada per a treballar amb matrius. Si algun alumne en disposa d’una, el professor o la professora els pot convidar a dur-la i a efectuar diverses operacions a classe.

En la Resolució d’exercicis i problemes (pàg. 21-22) es pretén que l’alumne/a aprofundeixi una mica més en l’estudi de les matrius. Per a fer-ho, es presenten els models d’exercicis i problemes següents:

a) Resolució d’una equació matricial per dos mètodes diferents: mitjançant el plantejament d’un sistema i utilitzant la matriu inversa.

b) Càlcul de la potència n-èsima d’una matriu pel mètode d’inducció completa.

En l’Organització de coneixements (pàg. 23) es presenten d’una manera esquemàtica els continguts principals de la unitat, es mostra la relació que s’estableix entre els uns i els altres.



Finalment, en l’apartat Activitats (pàg. 23-25) es presenta una llista de conceptes i de procediments per tal que l’alumne/a repassi els conceptes i els procediments bàsics de la unitat i pugui afrontar amb èxit la resolució de la resta d’activitats. Es plantegen diverses qüestions per a la resolució de les quals són necessaris molt pocs càlculs o cap i es proposen diversos exercicis i problemes perquè l’alumne/a repassi allò que ha après. Aquests exercicis i problemes van acompanyats de la solució, si és numèrica, per tal d’afavorir el procés d’autoavaluació.

Activitats d’avaluació

Definició de matriu numèrica, fila, columna i dimensió d’una matriu.

Identificació, donat un conjunt de matrius, dels diversos tipus que existeixen: quadrada, diagonal…

Identificació del rang d’una matriu esglaonada i càlcul, pel mètode de Gauss, del rang d’una matriu no esglaonada.

Efectuació de diverses operacions amb matrius (suma, resta, producte per un nombre real, producte i transposició) i enunciació de les propietats d’aquestes operacions.

Indicació de la condició per tal que existeixi la matriu inversa d’una matriu quadrada, explicació de dos mètodes diferents per a calcular-la i obtenció de la matriu inversa d’una matriu determinada.

Interpretació de la matriu associada a un graf i escriptura de la corresponent a una relació determinada.

Obtenció de la potència n-èsima d’una matriu aplicant el mètode d’inducció completa.

Reconeixement de la utilitat de la calculadora com a eina que facilita els càlculs amb matrius.

Utilització de les matrius per a emmagatzemar informació, valorant-ne la utilitat.



UNITAT 2: DETERMINANTS


Conèixer el concepte de determinant i la manera d’expressar-los.

Calcular determinants d’ordre 1, 2 i 3 directament a partir de la seva expressió, i d’ordre n, desenvolupant per una fila o columna.

Conèixer les propietats dels determinants i aplicar-les per a simplificar-ne el càlcul.

Calcular determinants mitjançant el mètode de Gauss.

Conèixer el concepte de menor i el procediment de fitar.

Comprendre la definició de rang com a ordre del menor no nul més gran i saber-lo trobar.

Obtenir la inversa d’una matriu a partir de la matriu d’adjunts de la transposada.

Trobar el rang d’una matriu dependent d’un paràmetre.

Utilitzar la calculadora per a efectuar operacions amb determinants.

Valorar la utilitat dels determinants en el càlcul matricial.

Valorar positivament la discussió abans de la resolució d’exercicis i problemes, com també l’aplicació de diferents estratègies que faciliten el treball, i la interpretació posterior de la solució obtinguda.

Continguts

Conceptes

– Determinants d’ordre 1, 2 i 3.

– Regla de Sarrus.

– Determinants d’ordre n.

– Menor complementari i adjunt d’un element.

– Determinant d’una matriu.

– Propietats dels determinants.

– Menor d’ordre k d’una matriu.

Procediments

– Càlcul de determinants d’ordre 1, 2 i 3 mitjançant la seva definició.

– Càlcul de determinants d’ordre 3 mitjançant la regla de Sarrus.

– Determinació del menor complementari i de l’adjunt d’un element.

– Desenvolupament d’un determinant per files o per columnes.

– Aplicació de les propietats dels determinants al càlcul d’aquests.

– Càlcul de determinants pel mètode de Gauss.

– Càlcul del rang d’una matriu per determinants.



– Càlcul de la inversa d’una matriu per determinants.

– Ús de la calculadora en el càlcul de determinants.


– Valoració dels determinants com a instrument per al càlcul matricial.

– Costum de considerar totes les estratègies possibles abans de resoldre un exercici o problema, i d’interpretar la solució obtinguda.



En la Preparació de la unitat (pàg. 27) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat: les definicions de matriu, matriu quadrada, diagonal principal d’una matriu quadrada, la definició de l’equivalència de dues matrius, transformacions elementals que permeten de passar d’una matriu a una altra d’equivalent, les definicions de rang d’una matriu i d’inversa d’una matriu quadrada.

En la unitat podem distingir-hi cinc apartats: determinants d’ordre 1, 2 i 3, determinants d’ordre n, propietats dels determinants i aplicacions, càlcul del rang d’una matriu per determinants i càlcul de la inversa d’una matriu per determinants.

Determinants d’ordre 1, 2 i 3 (pàg. 28-29)

– En aquest apartat es defineix el determinant d’una matriu com un nombre associat i se n’indica el símbol.

– A continuació, es presenta la definició dels determinants d’ordre 1, d’ordre 2 i d’ordre 3. Cada definició s’acompanya d’un exemple concret. En el cas d’ordre 3 es dóna també la regla de Sarrus, que en permet de recordar més fàcilment l’expressió.

Determinants d’ordre n (pàg. 30-31)

– Al principi de l’apartat es raona la necessitat de calcular un determinant d’ordre n a partir del determinant d’ordre n - 1 i no mitjançant una fórmula general, excessivament llarga i difícil de recordar.

– Es planteja la necessitat de conèixer el mínim complementari i l’adjunt d’un element de la matriu d’ordre n i es defineixen els dos conceptes, primerament, per a una matriu i un element determinats i després, en general.

– A continuació, es posa de manifest que l’expressió d’un determinant d’ordre 3 coincideix amb la suma dels elements de la primera columna pels seus adjunts i s’estableix la definició general per recurrència.

– Abans de fer aquesta generalització i si la professora o el professor ho considera oportú, pot demanar als alumnes que obtinguin el valor del determinant d’una matriu desenvolupant-lo per qualsevol fila o columna, per tal que comprovin que el resultat obtingut és el mateix.

– L’apartat acaba amb un exemple de càcul d’un determinant d’ordre 4.

Propietats dels determinants i aplicacions (pàg. 32-37)

– En aquest bloc es presenten les propietats dels determinants i la seva aplicació al càlcul de determinants. Pel fet que una demostració rigorosa d’aquestes propietats, per a determinants de qualsevol ordre, excedeix els nivells d’aquest curs, el que es fa és enunciar la propietat, comprovar-



la per a determinants d’ordre 3, i mostrar la significació i l’aplicació que té mitjançant un exemple numèric. Per tal de facilitar la notació, s’introdueix alhora la noció de combinació lineal de línies.

– Un cop acabada l’exposició de les cinc propietats principals i de quatre propietats derivades de les primeres, es presenta un exemple en el qual l’aplicació d’aquestes propietats permet de demostrar, sense necessitat d’efectuar càculs, l’anul·lació d’un determinant.

– A continuació, es presenten les propietats com un mitjà per a simplificar el càlcul de determinants. Concretament, es fa notar que, aplicant aquestes propietats, sempre és possible d’aconseguir un nou determinant, amb el mateix valor que l’original, en el qual una de les seves línies tan sols tingui un element no nul. El procés seguit es mostra mitjançant un exemple resolt en què es redueix el càcul d’un determinant d’ordre 4 a un d’ordre 3.

– S’introdueix el mètode de Gauss per al càlcul de determinants. Per a desenvolupar-lo, primerament s’ha de fer notar que el determinant d’una matriu triangular és el producte dels elements de la seva diagonal principal. Així s’arriben a enunciar els passos per a calcular un determinant pel mètode de Gauss i, seguidament, s’apliquen en un exemple resolt.

Càlcul del rang d’una matriu per determinants (pàg. 38-39)

– Per a calcular el rang d’una matriu mitjançant determinants es comença per definir el concepte de menor i es mostra, per a una matriu concreta, un possible menor d’ordre 1, un d’ordre 2 i un altre d’ordre 3, i s’indica en cada cas la manera com s’obté.

– Seguidament, s’exemplifica el procediment d’orlar un menor partint del menor d’ordre 2 obtingut anteriorment.

– Finalment, es mostra el procediment general per a obtenir el rang d’una matriu, enumerant en una taula les seves etapes i exemplificant-les, cadascuna, mitjançant la matriu ja considerada.

Càlcul de la inversa d’una matriu per determinants (pàg. 40)

– Per explicar el mètode de càlcul de la matriu inversa mitjançant determinants, es presenta una propietat que relaciona el producte d’una matriu per la matriu d’adjunts de la transposada i la matriu inversa. S’ha omès la demostració per la complexitat que té.

– Tot seguit es mostra l’expressió que permet de calcular la matriu inversa a partir de la matriu d’adjunts de la transposada.

– Un exemple resolt permet d’observar la manera com s’aplica l’expressió obtinguda per a calcular la inversa d’una matriu de dimensió 3 x 3.

En la Resolució d’exercicis i problemes (pàg. 41-42) es pretén que l’alumne/a aprofundeixi una mica més en l’estudi dels determinants. Per a fer-ho, es presenten els models d’exercicis i problemes següents:

a) Càlcul d’un determinant d’ordre n aplicant les propietats dels determinants fins a arribar a una matriu triangular.

b) Càlcul del rang d’una matriu 3 x 4 dependent d’un paràmetre.

c) Càlcul del rang d’una matriu 4 x 4, també dependent d’un paràmetre.

En l’Organització de coneixements (pàg. 43) es presenten d’una manera esquemàtica els continguts principals de la unitat, i es mostra la relació que s’estableix entre els uns i els altres.

Finalment, en l’apartat Activitats (pàg. 43-45) es presenta una llista de conceptes i procediments per tal que l’alumne/a repassi els conceptes i els procediments bàsics de la unitat i pugui afrontar amb èxit la resolució de la resta d’activitats. Es plantegen diverses qüestions per a la resolució de les quals són necessaris molt pocs càlculs o cap i es proposen diversos exercicis i problemes perquè l’alumne/a



repassi allò que ha après. Aquests exercicis i problemes van acompanyats de la solució, si és numèrica, per tal d’afavorir el procés d’autoavaluació.


Definició i càlcul de determinants d’ordre 1, 2 i 3.

Enunciació i aplicació de la regla de Sarrus.

Definició de menor complementari i adjunt d’un element i obtenció d’aquests per a un element determinat d’una matriu.

Càlcul de determinants d’ordre 4 per recurrència.

Enunciació de les propietats dels determinants i mostra d’aquestes propietats mitjançant un exemple.

Demostració de l’anul·lació d’un determinant sense calcular-lo, aplicant les propietats pertinents.

Càlcul d’un determinant d’ordre 4 pel mètode de Gauss.

Obtenció del rang d’una matriu per menors.

Càlcul de la inversa d’una matriu a partir de la matriu d’adjunts de la transposada.

Mostra de disposició a l’hora d’utilitzar els determinants per al càlcul de la matriu inversa i per a l’obtenció del rang d’una matriu, valorant-ne la potència com a eina en el càlcul matricial.

Reconeixement de la importància d’estudiar les possibles estratègies de resolució dels exercicis i problemes per a triar la més adient i de comprovar si la solució obtinguda és coherent amb les dades de l’enunciat.



UNITAT 3: SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS


Conèixer els conceptes d’equació lineal, de sistema d’equacions lineals, d’incògnita, de coeficient, de terme independent, d’equació homogènia i de solució.

Conèixer la classificació dels sistemes d’equacions lineals segons les seves solucions.

Conèixer i aplicar diversos procediments de resolució de sistemes d’equacions lineals: mètode de Gauss, mètode de la matriu inversa i regla de Cramer.

Conèixer el teorema de Rouché-Frobenius i aplicar-lo per a classificar sistemes d’equacions lineals.

Plantejar i resoldre sistemes d’equacions lineals.

Discutir sistemes d’equacions lineals dependents d’un paràmetre.

Resoldre problemes utilitzant sistemes d’equacions lineals, i analitzar la validesa de les solucions en el context del problema.

Valorar la utilitat del llenguatge algèbric per a plantejar i resoldre problemes en diferents àmbits, i reconèixer-ne la precisió i la simplicitat.

Conèixer l’evolució històrica de l’àlgebra i els trets fonamentals del desenvolupament de la resolució dels sistemes d’equacions lineals.

Continguts

Conceptes

– Equacions lineals.

– Sistemes d’equacions lineals.

– Tipus de sistemes d’equacions lineals segons les seves solucions.

– Sistemes esglaonats.

– Mètode de Gauss de resolució de sistemes d’equacions lineals.

– Matriu associada a un sistema i matriu ampliada associada a un sistema.

– Teorema de Rouché-Frobenius.

– Sistemes resolubles per Cramer.

Procediments

– Classificació dels sistemes d’equacions lineals segons llurs solucions.

– Expressió d’un sistema en notació matricial.

– Resolució d’un sistema pel mètode de Gauss.

– Aplicació del mètode de Gauss per a la classificació de sistemes segons llurs solucions.

– Aplicació del teorema de Rouché-Frobenius per a la classificació de sistemes d’equacions lineals segons llurs solucions.

– Resolució de sistemes per la matriu inversa.



– Resolució de sistemes per la regla de Cramer.

– Discussió i resolució de sistemes d’equacions lineals amb paràmetres utilitzant el mètode de Gauss o el teorema de Rouché-Frobenius i la regla de Cramer.

– Resolució de problemes mitjançant el plantejament de sistemes d’equacions lineals.


– Costum d’integrar els coneixements d’àlgebra lineal i de la resolució dels sistemes d’equacions en el seu context històric.

– Valoració de la utilitat del llenguatge algèbric per a plantejar i resoldre problemes en diversos àmbits.



En la Preparació de la unitat (pàg. 47) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat: les transformacions elementals per files per a l’obtenció de matrius equivalents —necessàries per a la resolució de sistemes pel mètode de Gauss—, el concepte de rang d’una matriu —necessari per a establir el teorema de Rouché-Frobenius— i la resolució gràfica de sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites, que servirà de punt de partida per a establir la classificació de sistemes d’equacions lineals amb n incògnites segons les seves solucions.

En la unitat podem distingir-hi sis apartats: equacions lineals, sistemes d’equacions lineals. Classificació, mètode de Gauss, teorema de Rouché-Frobenius, resolució de sistemes per la matriu inversa i regla de Cramer.

Equacions lineals (pàg. 48)

– Es comença la unitat recordant la definició d’equació lineal amb n incògnites i els conceptes associats: coeficients, terme independent i solució.

– A continuació, s’identifiquen aquests conceptes definits en una equació concreta.

Sistemes d’equacions lineals. Classificació (pàg. 49)

– Es defineix el sistema d’equacions lineals, partint de la base que l’alumne/a té assimilat el concepte de sistema d’equacions, i se n’introdueix la notació usual. Així mateix, es defineix el concepte de solució d’un sistema.

– Es presenta la classificació dels sistemes segons les seves solucions, exemplificant-ho en el cas de sistemes amb dues incògnites, ja coneguts pels alumnes.

Mètode de Gauss (pàg. 50-55)

– El mètode de Gauss es presenta a partir d’un sistema d’equacions esglaonat que se soluciona per substitució regressiva, la qual cosa permet de comprovar com de senzilla és aquesta resolució. Tot seguit es reflexiona que sempre que trobem un sistema esglaonat equivalent a l’inicial, el podrem resoldre amb la mateixa facilitat. I s’identifica aquest mètode (obtenció d’un sistema esglaonat i substitució regressiva) com a mètode de Gauss.

– Abans d’exemplificar-lo, es recorden les transformacions que permeten de passar d’un sistema a un altre d’equivalent.



– Un cop presentat aquest mètode, s’ha de fer notar que les transformacions aplicades tan sols afecten els coeficients de les ingògnites i els termes independents, la qual cosa permet la simplificació del procés. Per a fer-ho, s’introdueixen els conceptes de matriu associada al sistema i matriu ampliada associada al sistema, i es resol de nou l’exemple anterior utilitzant la notació matricial.

– Finalment, es presenten en forma de taula els diferents casos que es poden presentar en aplicar el mètode de Gauss, identificant-los amb els diversos tipus de sistemes.

– L’apartat acaba amb diversos exemples resolts per poder observar la resolució de cadascun d’aquests tipus.

Teorema de Rouché-Frobenius (pàg. 56 i 57)

– En l’apartat Teorema de Rouché-Frobenius s’enuncia aquest teorema i es mostra, en forma d’organigrama, com es procedeix per a arribar a la classificació d’un sistema.

– A continuació, es descriu el procés mitjançant diversos exemples resolts. Si el professor o la professora ho considera oportú, per als alumnes més avantatjats, pot oferir la demostració d’aquest teorema, els pot fer veure que la compatibilitat del sistema és equivalent al fet que la columna de termes independents sigui combinació lineal de les dels coeficients, i que això fa necessari que el rang de A i el de A’ siguin el mateix.

Resolució de sistemes per la matriu inversa (pàg. 58)

– Per resoldre un sistema pel mètode de la matriu inversa, s’expressa el sistema en forma matricial i, suposant que la matriu associada al sistema és regular, es comprova que la solució es pot trobar a partir de la matriu inversa.

– Un exemple permet d’observar la manera com s’aplica aquesta equació matricial.

Regla de Cramer (pàg. 59)

– En el darrer apartat es presenta un nou mètode de resolució, la regla de Cramer, que permet de trobar les solucions del sistema sempre que la matriu associada al sistema sigui regular. Es presenta l’expressió de cada solució.

– S’exemplifica amb un sistema de tres equacions amb tres incògnites.

– Si la professora o el professor ho considera oportú, pot convidar els alumnes a elaborar la demostració de la regla de Cramer per a un sistema de n equacions amb n incògnites (en el marge de la pàgina 59 hi trobem aquesta demostració per a n = 2).

En la Resolució d’exercicis i problemes (pàg. 60-62) es pretén que l’alumne/a aprofundeixi una mica més en l’estudi dels sistemes d’equacions lineals. Per a fer-ho, es presenten els models d’exercicis i problemes següents:

a) Discussió i resolució d’un sistema d’equacions dependent d’un paràmetre mitjançant el mètode de Gauss.

b) Discussió i resolució d’un sistema d’equacions dependent d’un paràmetre mitjançant l’aplicació del teorema de Rouché-Frobenius i la regla de Cramer.

c) Resolució d’un problema en el qual intervé un sistema de tres equacions amb tres incògnites.

En l’Organització de coneixements (pàg. 63) es presenten de manera esquemàtica els principals continguts de la unitat, es mostra la relació que hi ha entre els uns i els altres.

Finalment, en l’apartat Activitats (pàg. 63-65) es presenta una llista de conceptes i procediments per tal que l’alumne/a repassi els conceptes i els procediments bàsics de la unitat i pugui afrontar amb èxit la resolució de la resta d’activitats. Es plantegen diverses qüestions per a la resolució de les quals són necessaris pocs càlculs o cap i es proposen diversos exercicis i problemes perquè l’alumne/a repassi allò



que ha après. Aquests exercicis i problemes van acompanyats de la solució, si és numèrica, per tal d’afavorir el procés d’autoavaluació.


Classificació dels sistemes d’equacions lineals segons les seves solucions.

Aplicació del mètode de Gauss per a la classificació d’un sistema i cerca de la solució en cas que sigui compatible.

Enunciació del teorema de Rouché-Frobenius i aplicació d’aquest per a discutir un sistema dependent d’un paràmetre o de cap.

Explicació sobre què és el mètode de resolució de sistemes per la matriu inversa i exemplificació de la seva aplicació.

Determinació de si un sistema és resoluble per Cramer i, en cas afirmatiu, trobar-ne les solucions.

Resolució de problemes mitjançant sistemes d’equacions indicant: la tria de les incògnites, el plantejament del sistema d’equacions, la seva resolució i la comprovació de les solucions.

Coneixement a grans trets de la història de l’àlgebra i situar-hi els sistemes d’equacions lineals.

Reconeixement dels avantatges que comporta l’ús de llenguatge algèbric per a representar i resoldre situacions quotidianes, i de l’àmbit cientificotècnic.



GEOMETRIA

Al principi del bloc Geometria s’inclou una doble pàgina on es fa referència al context històric en què han sorgit els principals conceptes matemàtics i als científics que han contribuït al seu desenvolupament (pàg. 66 i 67).




UNITAT 4: VECTORS EN L’ESPAI I


Entendre els conceptes de vector fix i de vector lliure en l’espai.

Operar amb vectors lliures en l’espai tant gràficament com analíticament i conèixer les principals propietats d’aquestes operacions.

Expressar un vector com a combinació lineal d’altres.

Determinar si un conjunt de vectors lliures en l’espai són linealment dependents o linealment independents.

Determinar el rang d’un conjunt de vectors V3.

Saber si un conjunt de vectors lliures en l’espai forma o no base de V3.

Identificar vectors donats per les seves components.

Trobar les components d’un vector de V3 respecte d’una base.

Utilitzar els vectors per a establir un sistema de referència en l’espai.

Obtenir les coordenades d’un punt de l’espai respecte d’un sistema de referència.

Relacionar les components d’un vector amb les coordenades de l’origen i l’extrem d’un qualsevol dels seus representants.

Aplicar el càlcul vectorial per a resoldre problemes geomètrics senzills: determinació del punt mitjà d’un segment, divisió d’un segment en parts iguals, determinació de les coordenades del baricentre d’un triangle i del d’un tetràedre, reconeixement analític de les relacions d’alineació i de coplanarietat de punts.

Valorar la utilitat del càlcul vectorial en la resolució de problemes geomètrics.

Continguts

Conceptes

– Magnitud escalar i magnitud vectorial.

– Vector fix en l’espai.

– Direcció, mòdul i sentit d’un vector fix.

– Equipol·lència de vectors fixos.

– Vector lliure en l’espai.

– Direcció, mòdul i sentit d’un vector lliure.

– Operacions amb vectors lliures: addició i multiplicació per un nombre real.

– Propietats de les operacions amb vectors lliures.

– Combinació lineal de vectors.

– Dependència i independència lineal de vectors en V3.

– Rang d’un conjunt de vectors.



– Base de V3.

– Components d’un vector en una base.

– Sistema de referència en l’espai.

– Coordenades d’un punt de l’espai.

– Components d’un vector determinat per dos punts.

– Punt mitjà d’un segment.

Procediments

– Efectuació gràfica d’operacions amb vectors en l’espai.

– Expressió d’un vector de V3 com a combinació lineal d’altres vectors. En particular, expressió d’un vector de V3 com a combinació lineal de tres vectors no nuls i no coplanaris.

– Determinació de les components d’un vector en una base.

– Determinació de la dependència o independència d’un conjunt de vectors i del seu rang.

– Efectuació d’operacions amb components.

– Determinació de la dependència o independència lineal d’un conjunt de vectors.

– Obtenció de les coordenades d’un punt de l’espai en un sistema de referència.

– Càlcul de les components d’un vector determinat per dos punts.

– Obtenció de les coordenades del punt mitjà d’un segment i, en general, dels punts que divideixen un segment en parts iguals.

– Càlcul de les coordenades del baricentre d’un triangle i del baricentre d’un tetràedre en funció de les coordenades dels vèrtexs.


– Valoració de la utilitat del càlcul vectorial en la resolució de problemes geomètrics i, en general, de problemes dels àmbits científic i tecnològic.



En la Preparació de la unitat (pàg. 69) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat: els principals conceptes relatius a vectors en el pla (vector fix, equipol·lència de vectors fixos, vector lliure, operacions amb vectors lliures de V2, combinació lineal, base de V2 i components d’un vector en una base), sistemes de referència en el pla i coordenades d’un punt del pla en un sistema de referència.

En la unitat podem distingir-hi tres apartats: vectors, operacions amb vectors lliures i coordenades d’un punt de l’espai.

Vectors (pàg. 70 i 71)

– La unitat comença recordant la diferència entre magnituds escalars i magnituds vectorials, posant així de manifest la necessitat de l’ús dels vectors.

– A continuació, es defineix el concepte de vector fix i s’explica què s’entén per direcció, mòdul i sentit d’un vector fix.



– Després de definir vectors fixos equipol·lents, s’utilitza aquesta definició per a donar la de vector lliure i per a explicar què són la direcció, el mòdul i el sentit d’un vector lliure.

– S’aprofundeix en aquests conceptes fent notar als alumnes que si dos vectors fixos són equipol·lents, llavors són representants del mateix vector lliure.

Operacions amb vectors lliures (pàg. 72-79)

– En la primera part, s’introdueixen gràficament l’addició de vectors lliures i el producte d’un vector lliure per un nombre real, s’esmenten les principals propietats que verifiquen aquestes operacions, i s’observa que el conjunt dels vectors lliures de l’espai amb les dues operacions definides té estructura d’espai vectorial sobre el cos dels nombres reals.

– Seguidament, es defineix la resta de vectors lliures en l’espai com la suma del vector oposat i es recorda la regla del paral·lelogram, tan útil per a obtenir gràficament sumes i restes de vectors.

– S’il·lustra mitjançant un exemple resolt que l’addició de vectors lliures és una operació ben definida, és a dir, que no depèn dels representants triats per a dur-la a terme.

– Es defineix el concepte de combinació lineal de vectors de V3, i es presenta en tres passos il·lustrats el procediment per a expressar qualsevol vector lliure de l’espai com a combinació lineal de tres vectors no nuls i no coplanaris.

– A partir d’un conjunt de quatre vectors, tres dels quals són linealment independents, s’introdueixen els conceptes de dependència i independència lineal, i també el de rang d’un conjunt de vectors lliures de l’espai.

– S’estableixen els conceptes de base de V3 i de components d’un vector en una base. Tots aquests conceptes es desenvolupen en un exemple resolt.

– Es troba l’expressió de la suma de dos vectors i del producte d’un vector per un nombre real en components. L’ús d’aquestes expressions s’il·lustra mitjançant exemples.

– A continuació, s’apliquen les operacions amb components per a tractar de manera analítica dos problemes que únicament s’havien resolt gràficament fins al moment: la determinació de la dependència o la independència lineal d’un conjunt de vectors i el càlcul del rang d’un conjunt de vectors. En tots dos casos, es presenten les fases del procediment i s’il·lustren amb un parell d’exemples.

Coordenades d’un punt de l’espai (pàg. 80 i 81)

– En primer lloc, es defineixen els conceptes de sistema de referència i de vector posició d’un punt.

– A continuació, s’explica el procediment que permet d’assignar unes coordenades a cada punt de l’espai. Un exemple il·lustra el procediment esmentat anteriorment i, a més, permet de posar de manifest que les coordenades d’un punt de l’espai depenen del sistema de referència triat.

– Seguidament, es mostren dues aplicacions senzilles de l’ús de coordenades per a la resolució de problemes geomètrics: el càlcul de les components d’un vector determinat per dos punts i el càlcul de les coordenades del punt mitjà d’un segment. Això s’aconsegueix mitjançant la deducció de l’expressió per a efectuar els càlculs i l’exemplificació corresponent on es mostren aplicacions immediates de les fórmules presentades.

En la Resolució d’exercicis i problemes (pàg. 82-84) es pretén que l’alumne/a aprofundeixi una mica més en l’estudi dels vectors. Per a fer-ho, es presenten els models d’exercicis i problemes següents:

a) Cerca de la resultant de diverses forces.

b) Demostració que les components d’un vector de V3 en una determinada base són úniques.



c) Donats tres vectors, alguna de les components dels quals depèn de cert paràmetre, cerca dels valors d’aquest paràmetre que converteixen els tres vectors en linealment dependents.

d) Comprovació que tres vectors donats formen base i cerca de les components d’un altre vector en la base formada pels tres primers.

e) Divisió d’un segment en parts iguals.

f) Resolució de sistemes d’equacions vectorials per a trobar les components d’un vector en una base.

g) Cerca de les coordenades del baricentre d’un tetràedre.

En l’Organització de coneixements (pàg. 85) es presenten de manera esquemàtica els principals continguts de la unitat, i es mostra la relació que hi ha entre els uns i els altres.

Finalment, en l’apartat Activitats (pàg. 85-87) es presenta una llista de conceptes i procediments per tal que l’alumne/a repassi els conceptes i els procediments bàsics de la unitat i pugui afrontar amb èxit la resolució de la resta d’activitats. Es plantegen diverses qüestions per a la resolució de les quals són necessaris molt pocs càlculs o cap, i es proposen diversos exercicis i problemes perquè l’alumne/a repassi allò que ha après. Aquests exercicis i problemes van acompanyats de la solució, si és numèrica, per tal d’afavorir el procés d’autoavaluació.


Explicació de la diferència entre vector fix i vector lliure.

Determinació de les components d’un vector a partir dels punts d’origen i final.

Efectuació d’operacions amb vectors lliures en l’espai, tant gràficament com analíticament.

Enunciació de les principals propietats que verifiquen l’addició de vectors lliures i el producte de vectors lliures per escalars.

Expressió d’un vector com a combinació lineal d’altres vectors donats.

Esbrinament de si un conjunt de vectors lliures en l’espai són linealment dependents o linealment independents.

Cerca del rang d’un conjunt de vectors de V3.

Esbrinament de si un conjunt de vectors lliures en l’espai formen base de V3 i determinació de les components d’un altre vector de V3 en la base donada.

Cerca de les coordenades d’un punt de l’espai respecte d’un sistema de referència.

Donades les coordenades de dos punts de l’espai, cerca del punt mitjà del segment, i també de les coordenades dels punts que divideixen el segment esmentat, per exemple, en cinc parts iguals.

Conegudes les coordenades dels vèrtexs d’un tetràedre, cerca de les coordenades del baricentre.

Enfrontament a diverses situacions geomètriques resolubles vectorialment, valorant la utilitat d’aquest tipus de càlculs.



UNITAT 5: VECTORS EN L’ESPAI II


Conèixer les operacions producte escalar, producte vectorial i producte mixt de vectors lliures en l’espai, i les seves propietats principals.

Calcular productes escalars, productes vectorials i productes mixtos a partir de la seva definició, i a partir de les seves propietats.

Relacionar l’ortogonalitat de dos vectors amb l’anul·lació del seu producte escalar, i la dependència lineal de tres vectors, amb l’anul·lació del seu producte mixt.

Interpretar geomètricament el producte escalar en termes de projeccions ortogonals, el producte vectorial en termes d’àrees de paral·lelograms i el producte mixt en termes de volums de paral·lelepípedes.

Conèixer els conceptes de base ortogonal i de base ortonormal.

Obtenir productes escalars, productes vectorials i productes mixtos a partir de les seves respectives expressions analítiques en base ortonormal.

Calcular el mòdul d’un vector i l’angle format per dos vectors a partir del producte escalar.

Trobar vectors unitaris paral·lels o perpendiculars a un de donat i, en general, vectors de mòdul donat i de direcció donada.

Utilitzar el producte escalar per a demostrar teoremes geomètrics.

Utilitzar el producte vectorial per a obtenir vectors perpendiculars a dos vectors donats.

Calcular àrees de polígons a partir del producte vectorial i volums de paral·lelepípedes a partir del producte mixt.

Conèixer algunes aplicacions del producte escalar i del producte vectorial en la física.

Conèixer el concepte de cosinus director i les seves propietats principals.

Valorar la utilitat del càlcul vectorial en la resolució de problemes geomètrics i físics.

Continguts

Conceptes

– Producte escalar de dos vectors lliures en l’espai.

– Significat geomètric de l’anul·lació del producte escalar.

– Relació entre el mòdul d’un vector i el producte escalar d’aquest vector per ell mateix.

– Base ortogonal i base ortonormal.

– Propietats del producte escalar.

– Interpretació geomètrica del producte escalar.

– Expressió analítica del producte escalar en una base ortonormal.

– Producte vectorial de dos vectors lliures de l’espai.

– Propietats del producte vectorial.



– Interpretació geomètrica del producte vectorial.

– Expressió analítica del producte vectorial en una base ortonormal.

– Producte mixt de tres vectors lliures en l’espai.

– Significat geomètric de l’anul·lació del producte mixt.

– Propietats del producte mixt.

– Interpretació geomètrica del producte mixt.

– Expressió analítica del producte mixt en una base ortonormal.

– Cosinus directors d’un vector en una base ortonormal.

Procediments

– Càlcul del producte escalar de dos vectors a partir de la definició, a partir de les seves propietats i a partir de les seves components en una base ortonormal.

– Càlcul del mòdul d’un vector i de l’angle entre dos vectors a partir del producte escalar.

– Obtenció d’un vector perpendicular o paral·lel a un altre, que tingui un mòdul determinat v.

– Aplicació del producte escalar a la demostració de teoremes geomètrics senzills.

– Aplicació del producte escalar a l’obtenció del treball dut a terme per una força.

– Càlcul del producte vectorial de dos vectors a partir de la definició, a partir de les seves propietats i a partir de les seves components en una base ortonormal.

– Obtenció d’un vector perpendicular a altres dos vectors, que tingui un mòdul determinat.

– Aplicació del producte vectorial al càlcul d’àrees de polígons, especialment de paral·lelograms i de triangles.

– Aplicació del producte vectorial al càlcul del moment d’una força, del moment cinètic i de la força magnètica.

– Càlcul del producte mixt de tres vectors a partir de la definició, a partir de les seves propietats i a partir de les seves components en una base ortonormal.

– Aplicació del producte mixt al càlcul de volums de políedres, especialment paral·lelepípedes i tetràedres.


– Valoració de la utilitat del càlcul vectorial en la resolució de problemes geomètrics i físics.



En la Preparació de la unitat (pàg. 89) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat: els principals conceptes relatius a vectors en l’espai (vector fix, equipol·lència de vectors fixos, vector lliure, operacions amb vectors lliures de V3, combinació lineal, base de V3 i components d’un vector en una base) i la definició de sistema de referència en l’espai i de coordenades d’un punt de l’espai en un sistema de referència.

En la unitat podem distingir-hi tres apartats: producte escalar, producte vectorial i producte mixt.



Producte escalar (pàg. 90-95)

– La unitat comença amb la definició del producte escalar de dos vectors lliures en l’espai, operació que ja és coneguda per a dos vectors lliures del pla.

– A continuació, de la definició es dedueix que dos vectors lliures de l’espai no nuls són perpendiculars si i només si el seu producte escalar és zero, i que el mòdul de qualsevol vector lliure de l’espai coincideix amb l’arrel quadrada positiva del producte escalar d’aquest vector per si mateix.

– Com a conseqüència de la determinació de la perpendicularitat entre dos vectors, es defineixen els conceptes de base ortogonal i de base ortonormal.

– Seguidament, s’esmenten les principals propietats del producte escalar i s’interpreta geomètricament el producte escalar en termes de projeccions ortogonals.

– Després de deduir l’expressió analítica del producte escalar en una base ortonormal, s’aplica l’expressió obtinguda. A més de trobar productes escalars de dos vectors a partir dels seus components en una base ortonormal, s’explica com es calcula el mòdul de cadascun i l’angle que formen i, mitjançant un exemple resolt, com s’obtenen vectors ortogonals o paral·lels a un de donat, de longitud determinada.

– L’apartat acaba mostrant algunes aplicacions del producte escalar a la geometria (demostració del teorema de Pitàgores i del teorema que enuncia que qualsevol angle inscrit en una semicircumferència és recte) i a la física (càlcul del treball dut a terme per una força).

Producte vectorial (pàg. 96-99)

– Es presenta la definició de producte vectorial de dos vectors lliures de l’espai i se n’esmenten les principals propietats.

– S’indica la interpretació del producte vectorial de dos vectors lliures de l’espai com l’àrea del paral·lelogram construït damunt seu.

– Es dedueix l’expressió analítica del producte vectorial en una base ortonormal i s’aplica en un exemple resolt.

– Es mostren, mitjançant exemples resolts, diverses aplicacions del producte vectorial: obtenció d’un vector de mòdul determinat i perpendicular a dos de donats, càlcul de l’àrea de triangles i paral·lelograms i càlcul de magnituds físiques (moment d’una força, moment cinètic i força magnètica).

Producte mixt (pàg. 100-102)

– Es proposa la definició de producte mixt de tres vectors lliures de l’espai i se n’esmenten les principals propietats. S’observa que tres vectors lliures de l’espai són linealment dependents si i només si el seu producte mixt val 0.

– S’indica la interpretació geomètrica del producte mixt de tres vectors lliures de l’espai com el volum del paral·lelepípede construït damunt seu.

– Es dedueix l’expressió analítica del producte mixt en una base ortonormal i s’aplica en un exemple resolt.

– Es mostren, mitjançant exemples resolts, diverses aplicacions del producte mixt: obtenció del volum d’un paral·lelepípede i d’un tetràedre.

En la Resolució d’exercicis i problemes (pàg. 103 i 104) es pretén que l’alumne/a aprofundeixi una mica més en l’estudi dels vectors. Per a fer-ho, es presenten els models d’exercicis i problemes següents:



a) Cerca dels angles que forma un vector amb cadascun dels de la base a partir dels cosinus directors, i conegudes les seves components en la base ortonormal esmentada.

b) Efectuació d’unes operacions amb vectors i determinació de l’angle que formen dos vectors combinació lineal d’uns altres dos vectors, coneguts els seus mòduls i l’angle que formen entre ells.

c) Determinació d’un paràmetre del qual depenen les components de tres vectors perquè el volum del paral·lelepípede construït damunt seu tingui un valor donat; per tal que els tres vectors siguin linealment dependents.

d) Cerca del volum d’un tetràedre determinada prèviament una o més coordenades desconegudes dels seus quatre vèrtexs a partir de les condicions descrites en l’enunciat.


Finalment, en l’apartat Activitats (pàg. 105-107) es presenta una llista de conceptes i procediments per tal que l’alumne/a repassi els conceptes i els procediments bàsics de la unitat i pugui afrontar amb èxit la resolució de la resta d’activitats. Es plantegen diverses qüestions per a la resolució de les quals són necessaris molt pocs càlculs o cap i es proposen diversos exercicis i problemes perquè l’alumne/a repassi allò que ha après. Aquests exercicis i problemes van acompanyats de la solució, si és numèrica, per tal d’afavorir el procés d’autoavaluació.


Definició de producte escalar, producte vectorial i producte mixt, enunciació de les propietats principals de cadascun i interpretació geomètrica de cadascuna d’aquestes operacions.

Cerca de productes escalars, productes vectorials i productes mixtos de vectors lliures en l’espai coneixent-ne les components en una base ortonormal.

Esbrinament de si dos vectors són ortogonals o no a partir del seu producte escalar.

Cerca del mòdul d’un vector i de l’angle entre dos vectors a partir del producte escalar.

Obtenció de vectors paral·lels o perpendiculars a un de donat, de mòdul determinat.

Demostració d’algun teorema geomètric senzill usant el producte escalar.

Cerca del treball dut a terme per una força exercida sobre un objecte que es desplaça des d’un punt A fins a un punt B.

Cerca d’un vector simultàniament perpendicular a dos vectors donats, de mòdul determinat.

Càlcul de l’àrea d’un paral·lelogram i de l’àrea d’un triangle coneixent-ne les coordenades dels vèrtexs.

Enunciació d’algunes de les aplicacions del producte vectorial a la física (moment d’una força, moment cinètic, força magnètica…).

Esbrinament de si tres vectors són linealment dependents o no a partir del seu producte mixt.

Càlcul del volum d’un paral·lelepípede i del d’un tetràedre coneixent-ne les coordenades dels vèrtexs.

Enfrontament a situacions geomètriques diverses, resolubles vectorialment.



UNITAT 6: GEOMETRIA AFÍ EN L’ESPAI


Identificar rectes i plans expressats a partir de les seves equacions, extraient els elements que els determinen i, recíprocament, calcular les equacions de rectes i plans a partir de llurs elements determinats.

Expressar una recta mitjançant qualssevol de les seves equacions (vectorial, paramètriques, contínues o implícites) i transformar unes equacions en unes altres.

Expressar un pla mitjançant qualssevol de les seves equacions (vectorial, paramètriques o general) i transformar unes equacions en unes altres.

Comprendre que una recta ve determinada per un punt i un vector director o bé per dos punts, mentre que un pla ve determinat per un punt i dos vectors directors linealment independents, per dos punts i un vector director, o bé per tres punts no alineats.

Determinar la posició relativa de dues rectes, de dos plans, de tres plans, o d’una recta i un pla, conegudes les seves equacions implícites o generals a partir de la discussió de sistemes d’equacions lineals.

Determinar la posició relativa de dues rectes, o d’una recta i d’un pla, a partir de les seves equacions vectorials.

Trobar l’equació del feix de plans secants que conté una recta determinada i l’equació d’un feix de plans paral·lels entre ells.

Conèixer la posició relativa de rectes i plans respecte de la referència.

Plantejar problemes geomètrics utilitzant rectes i plans i resoldre’ls mitjançant mètodes analítics.

Examinar els procediments per a resoldre un problema i triar en cada cas el més adient.

Valorar la utilitat de representar gràficament les dades d’un problema abans de resoldre’l analíticament.

Continguts

Conceptes

– Equacions d’una recta en l’espai: equació vectorial, equacions paramètriques, equacions contínues i equacions implícites.

– Equacions d’un pla en l’espai: equació vectorial, equacions paramètriques i equació general.

– Posició relativa de dues rectes en l’espai: coincidents, paral·leles, secants, o ques’encreuen.

– Posició relativa de dos plans en l’espai: coincidents, paral·lels, secants.

– Feix de plans paral·lels i feix de plans secants.

– Posició relativa de tres plans: coincidents, secants en una recta, dos coincidents i secants al tercer, secants en un punt, paral·lels i diferents dos a dos, dos plans coincidents i paral·lels al tercer, secants dos a dos, dos plans paral·lels i secants al tercer.

– Posició relativa de recta i pla: recta continguda en el pla, recta i pla paral·lels, recta i pla secants.



– Posició relativa de rectes i plans respecte dels eixos i els plans de referència.

Procediments

– Obtenció de l’equació d’una recta donats un vector director i un punt, o bé dos punts.

– Obtenció de les diverses formes d’expressió d’una recta a partir d’una equació donada.

– Identificació de punts que pertanyen a una recta donada.

– Identificació de vectors directors d’una recta donada.

– Escriptura de les equacions d’un pla donats un punt i dos vectors linealment independents, dos punts i un vector, o bé tres punts no alineats.

– Obtenció de les diverses formes d’expressió d’un pla a partir d’una equació donada.

– Identificació de punts i rectes que estan inclosos en un pla determinat.

– Estudi de la posició relativa de dues rectes si les seves equacions vénen donades en forma implícita o vectorial.

– Estudi de la posició relativa de dos i de tres plans a partir de les seves equacions generals, mitjançant l’anàlisi de les solucions del sistema d’equacions lineals corresponent.

– Estudi de la posició relativa d’una recta i un pla si les seves equacions vénen donades en forma vectorial o contínua.

– Discussió sobre la posició relativa d’un recta i d’un pla mitjançant l’estudi de les solucions del sistema format per les seves equacions implícites i general.

– Determinació d’un pla que conté un punt i pertany a un feix de plans secants.

– Determinació d’un pla que conté un punt i és paral·lel a un altre pla.

– Interpretació de les equacions implícites de la recta com la intersecció de dos plans i identificació de la recta com a intersecció d’aquests plans.


– Valoració dels avantatges que comporta la planificació de la resolució d’un problema, la qual cosa permet de triar el millor procediment de resolució, i de la importància de la representació gràfica en geometria.



En la Preparació de la unitat (pàg. 109) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat: les equacions de la recta en el pla, la determinació de la posició relativa de dues rectes en el pla a partir de les solucions del sistema format per les seves equacions i l’enunciat del teorema de Rouché-Frobenius. A més, es proposen una sèrie d’activitats relacionades amb la geometria mètrica del pla: determinació de vectors, dependència i independència lineal de vectors, discussió i resolució de sistemes d’equacions lineals i determinació de les equacions d’una recta.

En la unitat podem distingir-hi tres apartats: rectes en l’espai, plans en l’espai i posicions relatives.



Rectes en l’espai (pàg. 110-113)

– La unitat comença fent notar que una recta en l’espai queda determinada per un punt i una direcció i recorda que això mateix s’esdevenia amb les rectes en el pla.

– A continuació, es considera un sistema de referència en el qual s’hi situen un punt i un vector director i, a partir de les relacions observades en una figura, s’obté l’equació vectorial de la recta.

– Seguidament, s’apliquen transformacions senzilles a aquesta equació per a obtenir la resta d’equacions d’una recta: paramètriques, contínues i implícites. De forma paral·lela es desenvolupa un exemple amb una recta concreta, que s’expressa, successivament, mitjançant la seva equació vectorial, les seves equacions paramètriques, les seves equacions contínues i les seves equacions implícites.

– En un quadre del marge s’explica com es procedeix per a trobar l’equació vectorial de la recta a partir de dos punts, en comptes d’utilitzar un punt i un vector director.

– Els exemples resolts permeten d’observar com s’obtenen les equacions d’una recta, com es determina si un punt o un vector pertanyen a una recta, com s’obtenen punts i vectors directors conegudes les equacions d’una recta i com es transformen unes equacions en les altres.

Plans en l’espai (pàg. 114-117)

– L’apartat comença enunciant que, per a determinar un pla en l’espai, són necessaris un punt i dues direccions, que poden provenir de dos vectors directors linealment independents. En el marge s’amplia aquesta informació per tal de donar tots els casos possibles: un pla pot ser determinat per un punt i dos vectors linealment independents, per dos punts i un vector director o bé per tres punts no alineats.

– A continuació, es considera un sistema de referència en el qual s’hi situen un punt i dos vectors directors i, a partir de les relacions observades en una figura, s’obté l’equació vectorial del pla.

– Seguidament, s’apliquen transformacions a aquesta equació per a obtenir la resta d’equacions d’un pla: paramètriques i general. De forma paral·lela es desenvolupa un exemple amb un pla concret que s’expressa, successivament, mitjançant la seva equació vectorial, les seves equacions paramètriques i la seva equació general.

– En el marge es presenta una altra manera de deduir l’equació general del pla i com es pot trobar l’equació vectorial d’un pla a partir de tres punts, en comptes d’utilitzar un punt i dos vectors directors.

– Els exemples resolts permeten d’observar com s’obtenen les equacions d’un pla, com es determina si un punt o un vector director pertanyen a un pla, com s’obtenen punts i vectors directors conegudes les equacions d’un pla i com es transformen unes equacions en les altres.

Posicions relatives (pàg. 118-127)

– Aquest apartat desenvolupa la posició relativa de dues rectes, de dos plans, de tres plans i d’una recta i un pla.

– Cadascun d’aquests casos es desenvolupa escrivint les equacions implícites de les rectes i/o les equacions generals dels plans, considerant la matriu i la matriu ampliada associades al sistema d’equacions, trobant els rangs de la matriu i de la matriu ampliada i, a partir dels valors obtinguts, es determinen les posicions relatives.

– En forma de taula, es presenten els rangs i una imatge en què s’aprecien les posicions relatives esmentades.



– A més, en els casos de dues rectes i d’una recta i pla, es consideren les equacions vectorials de tots dos i es determina la seva posició relativa a partir de l’estudi de la relació de dependència o independència lineal dels seus vectors directors.

– En els casos de posicions relatives de plans s’estudien els feixos de plans paral·lels i els feixos de plans secants. Per a fer-ho, s’observa, amb l’ajut d’una imatge, que els plans d’un feix de plans secant tenen una recta comuna i que els plans d’un feix de plans paral·lels vénen determinats pels mateixos vectors directors.

– També es desenvolupen les característiques dels plans que pertanyen a un feix de plans secants a partir de les seves equacions generals i, de manera paral·lela, es resol un exemple en què s’apliquen aquests coneixements i també com es determina un pla concret del feix donats aquest feix i un punt del pla. Es permet, així mateix, que l’alumne/a observi que les equacions implícites de la recta coincideixen amb les equacions generals de dos plans la intersecció dels quals és la mateixa recta.

– Un o més exemples permeten d’observar com s’apliquen aquests procediments en casos concrets.

– Finalment, es presenten, en dues grans taules, les posicions relatives d’algunes rectes i d’alguns plans respecte dels de referència. La finalitat d’aquestes pàgines és ajudar els alumnes a identificar una sèrie de rectes i plans característics, aquells que són paral·lels a alguns eixos o plans de referència. La presència, en cada cas, d’una imatge de les equacions vectorials i implícites de les rectes i de les generals dels plans hauria de facilitar aquesta tasca d’identificació.

En la Resolució d’exercicis i problemes (pàg. 128 i 130) es pretén que l’alumne/a aprofundeixi una mica més en l’estudi de la geometria afí. Per a fer-ho, es presenten els models d’exercicis i problemes següents:

a) Discussió sobre les posicions relatives de dues rectes, donades per equacions que contenen un paràmetre.

b) Determinació del pla que conté una recta i que compleix una altra condició, utilitzant dos procediments diferents.

c) Determinació de la recta que conté un punt i talla dues rectes donades, i la recta que conté un punt, la qual està situada en el mateix pla que una altra recta i és, a més, paral·lela a un altre pla.


Finalment, en l’apartat Activitats (pàg. 131-133) es presenta una llista de conceptes i procediments per tal que l’alumne/a repassi els conceptes i els procediments bàsics de la unitat i pugui afrontar amb èxit la resolució de la resta d’activitats. Es plantegen diverses qüestions per a la resolució de les quals són necessaris molt pocs càlculs o cap i, per acabar, es proposen diversos exercicis i problemes perquè l’alumne/a repassi allò que ha après. Aquests exercicis i problemes van acompanyats de la solució, si és numèrica, per tal d’afavorir el procés d’autoavaluació.


Escriptura de les diverses equacions d’una recta determinada per un punt i un vector director o per dos punts.

Escriptura de les diverses equacions d’un pla determinat per un punt i dos vectors directors, per dos punts i un vector director, o per tres punts.

Determinació de punts i vectors directors de rectes i plans a partir d’una qualsevol de les seves equacions.



Cerca de la posició relativa de rectes i plans tant a partir de la discussió del sistema format per les seves equacions implícites o generals com a partir de l’anàlisi de la dependència dels seus vectors directors.

Obtenció de l’equació del feix de plans secants que conté una recta i de la del feix de plans paral·lels a un de donat.

Resolució de problemes que es puguin plantejar amb elements geomètrics de l’espai, com ara la determinació del punt de tall de dues rectes, la recta intersecció de dos plans o el punt d’intersecció d’una recta i d’un pla.

Estudi de la posició relativa de dos elements de l’espai en el cas que les seves equacions depenguin d’un paràmetre.

Resolució de diversos problemes geomètrics mitjançant mètodes que incloguin l’ús de feixos de plans. Per exemple, la determinació del pla que conté una recta i passa per un punt o la determinació de la recta que conté un punt i talla dues rectes donades.



UNITAT 7: GEOMETRIA MÈTRICA EN L’ESPAI


Definir i determinar angles entre elements de l’espai (dues rectes, dos plans i una recta i un pla).

Reconèixer les condicions de perpendicularitat entre rectes, entre plans i entre rectes i plans.

Conèixer el concepte de distància entre dos punts, d’un punt a una recta, d’un punt a un pla, entre dues rectes, entre dos plans i d’una recta a un pla, i calcular aquestes distàncies.

Conèixer les expressions, basades en el producte escalar, per a obtenir l’angle entre dues rectes, dos plans o una recta i un pla, i saber-les aplicar.

Conèixer les expressions, basades en el producte escalar, vectorial o mixt, per a obtenir la distància entre dos elements de l’espai, i saber-les utilitzar.

Determinar el pla mediador d’un segment i els plans bisectors de dos plans donats.

Obtenir l’equació de la recta perpendicular comuna a dues rectes que es creuen.

Determinar el punt simètric a un de donat respecte d’un altre punt, d’una recta i d’un pla.

Valorar les diverses estratègies de resolució d’un problema i la necessitat de triar la més adequada per a les característiques d’aquest problema.

Continguts

Conceptes

– Angle entre dues rectes.

– Rectes perpendiculars.

– Angle entre dos plans.

– Plans perpendiculars.

– Angle entre recta i pla.

– Recta i pla perpendiculars.

– Distància entre dos punts.

– Distància d’un punt a una recta.

– Distància d’un punt a un pla.

– Distància entre dues rectes.

– Distància entre dos plans.

– Distància entre recta i pla.

– Pla mediador i pla bisector.

– Perpendicular comuna.

– Punts simètrics respecte d’un punt.

– Punts simètrics respecte d’una recta.

– Punts simètrics respecte d’un pla.



Procediments

– Càlcul de l’angle que formen dues rectes, dos plans i una recta i un pla.

– Determinació de la perpendicularitat de dues rectes, de dos plans i d’una recta i un pla.

– Càlcul de la distància entre dos punts, d’un punt a una recta, d’un punt a un pla, entre dues rectes, entre dos plans i entre una recta i un pla.

– Determinació del pla mediador d’un segment coneguts els seus extrems.

– Determinació dels plans bisectors de dos plans donats.

– Obtenció de l’equació de la recta perpendicular comuna a dues rectes que s’encreuen.

– Obtenció del punt simètric a un altre punt, respecte d’un tercer punt, d’una recta o d’un pla.


– Valoració de la recerca i aplicació de noves estratègies per a la resolució de problemes geomètrics.



En la Preparació de la unitat (pàg. 135) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat: l’expressió analítica del producte escalar i de l’angle entre dos vectors, l’expressió analítica del producte vectorial i del producte mixt, i també les seves interpretacions geomètriques i un exemple resolt del càlcul d’un producte escalar, de l’angle entre dos vectors, d’un producte vectorial i d’un producte mixt, en el qual s’inclou la interpretació geomètrica dels dos darrers.

En la unitat podem distingir-hi tres apartats: angles entre elements de l’espai, distàncies entre elements de l’espai i resolució de problemes mètrics.

Angles entre elements de l’espai (pàg. 136-141)

– A partir de l’observació d’una imatge es descriuen les possibles posicions relatives entre dues rectes i es defineix l’angle que formen en cada cas.

– A continuació, es dedueix la fórmula per a calcular l’angle entre dues rectes que es creuen. S’observa que la fórmula trobada es pot utilitzar, en realitat, per a totes les rectes, sigui quina sigui la seva posició relativa. Un exemple resolt permet d’observar com es calcula en la pràctica l’angle entre dues rectes.

– Seguidament, s’utiliza la definició d’angle entre dues rectes per a definir rectes perpendiculars i com es poden determinar. Un exemple resolt permet d’aplicar aquests conceptes.

– A continuació, se segueixen els mateixos passos per a l’angle entre dos plans i per a l’angle entre una recta i un pla, observant una imatge, i es descriuen les possibles posicions relatives, es defineix l’angle que formen en cada cas i es dedueix la fórmula per a calcular l’angle en el cas més difícil (dos plans secants i recta que talla el pla). Uns exemples resolts permeten d’observar com es calcula en la pràctica l’angle buscat.

– Es defineixen plans perpendiculars i recta i pla perpendiculars a partir de la definició d’angle, i es dedueix com es poden determinar observant la manera com s’apliquen aquests conceptes mitjançant uns exemples resolts.

– En els marges d’aquest apartat, es desenvolupen, a més, unes altres ampliacions, recordes…, que complementen els continguts estudiats. Així, es presenta la relació entre la geometria afí i la



geometria mètrica, es recorda la definició de l’angle díedre i de l’angle rectilini del díedre, es dedueix que el vector normal del pla és ortogonal a aquest, s’explica com es pot trobar un vector normal a un pla si aquest és expressat mitjançant la seva equació vectorial i com es pot trobar l’equació general d’un pla donats un vector normal i un punt i, finalment, s’observa que la projecció d’una recta sobre un pla coincideix amb la intersecció d’aquest pla amb un de perpendicular que conté la recta.

Distàncies entre elements de l’espai (pàg. 142-149)

– L’apartat comença amb la definció de la distància entre dos punts i l’enunciat de les seves propietats. A continuació, s’exemplifica mitjançant un exemple resolt en què es calcula la distància entre dos punts i s’aplica per trobar el perímetre d’una figura plana.

– En el marge apareix una ampliació destinada al fet que els alumnes puguin observar que la distància és, en realitat, una aplicació amb una sèrie de característiques, que coincideixen amb les seves propietats, i que es pot aplicar a diversos conjunts.

– Per trobar la distància d’un punt a una recta, es diferencien les possibles posicions relatives que té i es determina la distància en cada cas.

– A continuació, es dedueix, amb l’ajut d’una representació gràfica, la fórmula per a calcular la distància d’un punt a una recta quan el punt no pertany a aquesta recta. La fórmula trobada es pot utilitzar, en realitat, per a tots els casos. Un exemple resolt permet d’observar com es calcula en la pràctica aquesta distància.

– Tot seguit se segueixen els mateixos passos per a la distància d’un punt a un pla, entre dues rectes, entre dos plans i entre recta i pla: descripció de les possibles posicions relatives i determinació de la distància en cada cas, deducció de la fórmula per a calcular la distància en el cas més difícil (punt que no pertany al pla, rectes que es creuen, plans paral·lels i recta paral·lela al pla). Uns exemples resolts permeten d’observar com es calcula en la pràctica la distància buscada.

– A més, en el cas del càlcul de la distància d’un punt a un pla, s’aprofita el resultat per trobar la fórmula general de la distància d’un pla a l’origen de coordenades.

– En els marges d’aquest apartat es desenvolupen, a més, altre ampliacions, recordes…, que complementen els continguts estudiats. Així, es presenta la projecció ortogonal d’un punt sobre una recta, la projecció ortogonal d’un punt sobre un pla; es recorden les posicions relatives de dues rectes i com s’identifiquen, les posicions relatives de dos plans i com s’identifiquen, i també la condició de paral·lelisme entre dos plans. Finalment, es recorden les posicions relatives d’una recta i un pla i com s’identifiquen, i també la condició de paral·lelisme ente una reca i un pla.

– És important també que els alumnes s’acostumin a representar gràficament les situacions, ja que això els facilitarà la comprensió de les deduccions, de les fórmules obtingudes i del procés per a calcular qualsevol distància. A més, pot ser important que el professor o la professora insisteixi en les deduccions de les fórmules per tal que els alumnes comprenguin com s’obtenen i no simplement les apliquin.

Resolució de problemes mètrics (pàg. 150-152)

– En aquest apartat es pretén que l’alumne/a apliqui els coneixements adquirits per a la resolució dels següents problemes geomètrics: determinació de les equacions del pla mediador i del pla bisector, obtenció de la perpendicular comuna a dues rectes que es creuen i determinació de punts simètrics respecte d’un punt, d’una recta o d’un pla.

– L’apartat comença determinant els punts de l’espai que equidisten dels extrems d’un segment i que coincideixen amb el pla mediador. Un exemple resolt permet d’observar com es calcula en un cas concret.



– A continuació, es determinen els punts que equidisten de dos plans donats, s’identifiquen amb els seus plans bisectors i se n’observa el càlcul mitjançant un exemple resolt.

– Seguidament, es presenten dos procediments, tots dos de forma paral·lela, per a trobar la recta perpendicular comuna a dues rectes donades, es descriuen els passos dels procediments i es desenvolupen en un exemple resolt. D’aquesta manera, es pretén que l’alumne/a observi i assimili una de les característiques de les matemàtiques: que molts exercicis i problemes tenen més d’una estratègia vàlida de resolució.

– Finalment, l’apartat introdueix els conceptes de centre de simetria, eix de simetria i pla de simetria per tal de desenvolupar els conceptes i els procediments de càlcul del punt simètric d’un punt respecte d’un altre punt, respecte d’una recta o respecte d’un pla. En un exemple resolt, s’observa com es calcula, donat un punt, el que és simètric respecte d’un punt donat, d’una recta donada i d’un pla donat.

En la Resolució d’exercicis i problemes (pàg. 153 i 154) es pretén que l’alumne/a aprofundeixi una mica més en l’estudi de la geometria mètrica. Per a fer-ho, es presenten els models d’exercicis i problemes següents:

a) Determinació del pla perpendicular a una recta i que passa per un punt.

b) Cerca de l’equació d’un pla que conté una recta i que a més verifica una altra condició.

c) Càlcul dels paràmetres de les equacions d’unes rectes per tal que aquestes rectes compleixin una sèrie de condicions.

d) Cerca de l’equació de la projecció ortogonal d’una recta sobre un pla, conegudes les equacions de tots dos elements geomètrics.




Càlcul de l’angle entre dues rectes, entre dos plans i entre una recta i un pla.

Càlcul de la distància entre dos punts, d’un punt a una recta, d’un punt a un pla, entre dues rectes, d’una recta a un pla i entre dos plans.

Resolució de problemes mètrics que es puguin plantejar amb elements geomètrics de l’espai, per exemple.

Escriptura de l’equació d’una recta que passa per un punt i és perpendicular a una altra recta donada.

Determinació de l’equació d’un pla que conté un punt, és paral·lel a una recta i perpendicular a un altre pla.

Cerca de l’equació d’una recta perpendicular a un pla i que passa per un punt donat.

Càlcul dels plans bisectors a dos plans donats i l’angle que formen entre ells.



Presentació de dues estratègies diferents per a determinar la perpendicular comuna a dues rectes que es creuen i aplicar-ne una per a resoldre un cas concret.

Determinació del punt simètric a un punt respecte d’un altre punt, d’una recta i d’un pla.

Posada en relació dels punts simètrics respecte d’un pla i el concepte de pla mediador.

Elaboració, en els casos possibles, de dues estratègies diferents per a resoldre un problema mètric i triar la més adient.



ANÀLISI

Al principi del bloc Anàlisi s’inclou una doble pàgina on es fa referència al context històric en què han sorgit els principals conceptes matemàtics i als científics que han contribuït al seu desenvolupament (pàg. 158 i 159).




UNITAT 8: LÍMITS


Adquirir la noció intuïtiva i visual, comprendre el concepte i conèixer les definicions formals de límit d’una funció en un punt, tant finit com infinit.

Adquirir la noció intuïtiva i visual, comprendre el concepte i conèixer les definicions formals de límit d’una funció en l’infinit, tant finit com infinit.

Comprendre el concepte de límit lateral per l’esquerra i per la dreta d’una funció, i també la relació que s’estableix entre el límit i els límits laterals.

Conèixer les propietats i les operacions amb límits.

Calcular de manera sistemàtica límits de funcions racionals en un punt.

Calcular límits de funcions utilitzant les propietats adequades.

Entendre el concepte d’indeterminació, reconèixer els diversos tipus d’indeterminació i saber resoldre’ls en els casos que s’indiquen en la unitat.

Conèixer els conceptes d’infinitèsim i infinit, i també els d’infinitèsims i infinits equivalents i la utilitat d’aquests darrers per a resoldre indeterminacions.

Conèixer el concepte d’asímptota d’una funció i reconèixer gràficament asímptotes verticals, horitzontals i obliqües.

Calcular les equacions de les asímptotes d’una funció a partir de l’expressió analítica d’aquesta.

Valorar la importància del càlcul de límits com a eina per a l’estudi de funcions.

Continguts

Conceptes

– Límit finit d’una funció en un punt.

– Límits laterals finits d’una funció en un punt.

– Propietats dels límits.

– Indeterminació.

– Límit infinit d’una funció en un punt.

– Límits laterals infinits d’una funció en un punt.

– Límit finit d’una funció en l’infinit.

– Límit infinit d’una funció en l’infinit.

– Operacions amb límits.

– Infinitèsims i infinits.

– Infinitèsims i infinits equivalents.

– Tipus d’indeterminació.

– Asímptotes verticals d’una funció.



– Asímptotes horitzontals d’una funció.

– Asímptotes obliqües d’una funció.

Procediments

– Càlcul de límits de funcions en un punt mitjançant taules de valors.

– Càlcul de límits de funcions en un punt a partir de la seva gràfica.

– Càlcul de límits de funcions en un punt utilitzant les propietats adequades.

– Càlcul de límits en un punt de funcions definides a trossos.

– Resolució de la indeterminació zero partit per zero.

– Càlcul sistemàtic de límits infinits de funcions racionals en un punt.

– Càlcul de límits de funcions en l’infinit mitjançant taules de valors.

– Càlcul sistemàtic de límits de funcions en l’infinit.

– Resolució d’indeterminacions.

– Obtenció de les asímptotes verticals d’una funció.

– Obtenció de les asímptotes horitzontals d’una funció.

– Obtenció de les asímptotes obliqües d’una funció.


– Valoració de la utilitat del càlcul de límits en l’estudi de funcions.

– Apreciació del valor que tenen els límits de funcions per a resoldre problemes d’índole real.



En la Preparació de la unitat (pàg. 161) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat: el concepte d’entorn (i les diferents maneres d’expressar-lo) i el concepte d’entorn reduït (i les diferents maneres d’expressar-lo). En cada cas es mostra un exemple.

En la unitat podem distingir-hi sis apartats: límit finit d’una funció en un punt, límit infinit d’una funció en un punt, límit finit d’una funció en l’infinit, límit infinit d’una funció en l’infinit, operacions amb límits i asímptotes d’una funció.

Límit finit d’una funció en un punt (pàg. 162-167)

– S’introdueix intuïtivament el concepte de límit finit d’una funció en un punt mitjançant l’observació d’una taula de valors i de la gràfica d’una determinada funció en l’entorn d’un punt concret, per a arribar, finalment, a la definició formal de límit.

– Seguidament, s’explica el concepte de límits laterals d’una funció en un punt seguint el mateix procés que en el cas del límit d’una funció en un punt, és a dir, primerament intuïtivament i després formalment, i s’estableix la relació que hi ha entre el límit i els límits laterals.

– Posteriorment, es donen algunes propietats dels límits funcionals que ens permetran el càlcul sistemàtic de límits. També es dóna en forma de taula la fórmula, acompanyada d’un exemple, per al càlcul del límit de funcions polinòmiques i racionals en un punt.



– A continuació, es resolen uns exercicis a tall d’exemple en què es calcula el límit d’altres funcions; en particular, es mostra com es procedeix per al càlcul sistemàtic de límits de funcions definides a trossos.

– Finalment, s’introdueix el concepte d’indeterminació a partir de la indeterminació zero partit per zero, que pot aparèixer en el càlcul de límits de funcions en un punt, i es mostra mitjançant uns exemples la manera com es procedeix per a resoldre analíticament aquest tipus d’indeterminació.

Límit infinit d’una funció en un punt (pàg. 168 i 169)

– Seguint el mateix procediment que en el cas del límit finit d’una funció en un punt, s’introdueix el concepte de límit infinit d’una funció en un punt.

– Es conclou l’explicació proposant la definició formal de límit infinit d’una funció en l’infinit.

– S’introdueixen unes observacions generals per poder calcular aquest tipus de límits i es mostra en exemples resolts la manera de resoldre la qüestió en alguns casos senzills, posant de manifest que de vegades cal considerar, de manera similar a l’apartat anterior, la lateralitat dels límits.

Límit finit d’una funció en l’infinit (pàg. 170)

– De manera semblant, s’introdueix intuïtivament el concepte de límit finit en l’infinit observant successives aproximacions.

– Es presenten diversos gràfics que il·lustrin les tendències aproximatives de les seqüències numèriques que es presenten.

– Es proposa, posteriorment, la definició formal de límit finit d’una funció en l’infinit.

Límit infinit d’una funció en l’infinit (pàg. 171)

– Utilitzant un procediment semblant a l’anterior, s’introdueixen els conceptes de límit infinit d’una funció en l’infinit, completant l’explicació teòrica amb els gràfics corresponents.

– Igualment, s’introdueix la definició formal de límit infinit d’una funció en l’infinit.

Operacions amb límits (pàg. 172-177)

– En primer lloc, es fa notar que les propietats dels límits vistes anteriorment es continuen verificant si alguna de les funcions té un límit infinit o bé quan es tracta de límits en l’infinit i es resumeixen, en forma de taula, els diversos casos determinats que poden aparèixer quan operem amb límits.

– A continuació, s’explica que, com en el cas de límits finits, poden aparèixer casos d’indeterminació en operar amb límits infinits o en l’infinit i s’indiquen tots els tipus d’indeterminació que puguin sorgir.

– Seguidament, es mostra com es resolen els diversos tipus d’indeterminació en els casos més senzills, a excepció de dos dels tipus que, tal com s’indica, es tracten més endavant.

– S’introdueix el concepte d’infinitèsims equivalents mostrant els casos d’equivalència en el zero més típics i explicant la utilitat d’aquest concepte a l’hora de resoldre indeterminacions.

– En un marge es recorda el nombre e que utilitzem per a resoldre el cas particular d’indeterminació u elevat a l’infinit.

– En aquest apartat, i si la professora o el professor ho considera necessari, es poden estudiar criteris generals que permeten de resoldre ràpidament algunes indeterminacions.

Asímptotes d’una funció (pàg. 178 i 179)

– Es presenten els tres tipus d’asímptotes. Observant la gràfica d’una funció, s’ofereix la idea intuïtiva i visual d’asímptotes d’una funció (verticals, horitzontals i obliqües).



– A continuació, es dóna la definció formal de cadascun dels tipus d’asímptotes.

– En el cas de les asímptotes obliqües es resol l’exercici a tall d’exemple en què s’obté una fórmula que permet el càlcul sistemàtic de les asímptotes esmentades.

En la Resolució d’exercicis i problemes (pàg. 180-182) es pretén que l’alumne/a aprofundeixi una mica més en els continguts de la unitat. Per a fer-ho, es presenten els models d’exercicis i problemes següents:

a) Aplicació de les definicions formals de límit finit d’una funció en un punt.

b) Aplicació de les definicions formals de límit finit d’una funció en l’infinit.

c) Resolució d’indeterminacions en les quals apareixen expressions amb radicals.

d) Resolució d’indeterminacions del tipus u elevat a l’infinit quan la variable tendeix a un nombre real.

e) Obtenció de paràmetres que facin que el límit d’una funció en un punt tingui un valor concret.

f) Obtenció de paràmetres que facin que les asímptotes d’una funció siguin unes rectes determinades.




Donada la gràfica d’una funció, determinació del límit en diversos punts i el límit en l’infinit i comprovació d’aquests límits amb la construcció de taules de valors adequades.

Càlcul de diversos tipus de límits en funcions a trossos.

Definició intuïtivament de límits laterals i explicació de la relació entre els límits laterals i el límit d’una funció en un punt.

Enunciació de les propietats dels límits finits en un punt.

Càlcul de límits infinits en l’infinit de funcions senzilles.

Càlcul sistemàtic de límits de funcions polinòmiques i racionals, i també de funcions obtingudes a partir d’operacions amb altres funcions.

Explicació de què és una indeterminació i indicació dels diversos tipus d’indeterminació que es poden presentar en el càlcul de límits.

Resolució de diversos tipus d’indeterminació.

Resolució d’indeterminacions utilitzant infinitèsims i infinits equivalents.

Reconeixement, donada la gràfica d’una funció, de les asímptotes verticals, horitzontals i obliqües i cerca de les equacions d’aquestes asímptotes a partir de l’expressió analítica de la funció.

Apreciació del valor de les tècniques d’anàlisi matemàtica en l’estudi de funcions.



UNITAT 9: CONTINUÏTAT


Adquirir la idea intuïtiva de continuïtat d’una funció en un punt.

Conèixer les condicions per tal que una funció sigui contínua en un punt.

Comprendre el concepte de continuïtat lateral d’una funció en un punt i la relació que s’estableix entre aquesta i la continuïtat.

Estudiar la continuïtat d’una funció en un interval.

Conèixer els tipus de discontinuïtats que pot presentar una funció en un punt.

Reconèixer els punts de discontinuïtat d’una funció, tant visualment com analíticament, i saber-los classificar.

Conèixer les propietats de les funcions contínues.

Conèixer la continuïtat de les funcions elementals i aplicar-la per a estudiar la continuïtat de funcions obtingudes a partir d’operacions amb funcions elementals.

Conèixer l’enunciat i el significat dels teoremes més elementals relacionats amb la continuïtat.

Aplicar el teorema de Bolzano per a determinar els zeros d’una funció, i també les solucions o arrels d’una equació.

Valorar la importància que té l’estudi de la continuïtat en el comportament de molts fenòmens de la naturalesa.

Continguts

Conceptes

– Continuïtat d’una funció en un punt.

– Continuïtat lateral d’una funció en un punt.

– Continuïtat d’una funció en un interval.

– Discontinuïtat d’una funció en un punt.

– Tipus de discontinuïtats.

– Propietats de les funcions contínues.

– Continuïtat de les funcions elementals.

– Teorema de conservació del signe.

– Teorema de Bolzano.

– Teorema dels valors intermedis.

– Teorema de Weierstrass.

Procediments

– Comprovació de la continuïtat o no d’una funció en un punt a partir de les tres condicions de continuïtat.



– Comprovació de la continuïtat d’una funció en un punt mitjançant la definició de límit.

– Estudi de la continuïtat lateral d’una funció en un punt.

– Estudi de la continuïtat d’una funció en un interval.

– Determinació i classificació dels punts de discontinuïtat d’una funció.

– Estudi de la continuïtat de funcions obtingudes a partir d’operacions amb funcions elementals.

– Aplicació del teorema de Bolzano per a comprovar si una funció té un zero en un interval donat i obtenció d’aquest zero amb un determinat error.

– Aplicació del teorema de Bolzano per a comprovar si una funció té un zero o si una equació té una solució real en un interval donat, i també la seva determinació amb una certa precisió.

– Aplicació del teorema dels valors intermedis per a comprovar si una funció pren determinat valor en un interval donat, i també l’obtenció del punt de l’interval per al qual pren el valor en qüestió.


– Apreciació de la importància de la continuïtat per a l’estudi de les funcions.

– Valoració de la continuïtat per a l’estudi del comportament que segueixen molts fenòmens de la natura.



En la Preparació de la unitat (pàg. 187) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat: la definició de nombre real mitjançant dues successions d’aproximacions decimals (per defecte i per excés) i la consegüent successió d’intervals, els conceptes de màxim i mínim absolut d’una funció en un punt i la definició de zero d’una funció a partir de la cerca d’arrels de l’equació f (x) = 0. Es proposen també unes activitats amb la finalitat de recordar els mètodes per a resoldre equacions de grau més gran que dos.

En la unitat podem distingir-hi tres apartats: continuïtat d’una funció en un punt, propietats de les funcions contínues i teoremes relatius a la continuïtat.

Continuïtat d’una funció en un punt (pàg. 188-193)

– S’introdueix la idea intuïtiva de continuïtat d’una funció en un punt a partir de l’observació de la gràfica de diverses funcions.

– Posteriorment, s’observa que en la tercera condició de continuïtat es resumeixen les anteriors, per la qual cosa podem dir que una funció és contínua en un punt si verifica aquesta condició.

– A continuació, es dóna la definició formal de continuïtat en un punt aprofitant-la per a introduir la definició de funció discontínua en un punt, i es comprova la continuïtat d’una funció en un punt.

– Seguidament, utilitzant la definició de límit, es formalitza el concepte de continuïtat. En l’exemple que segueix, es mostra el procés que s’ha de seguir per a veure si una funció és contínua en un punt a partir d’aquesta darrera definició.

– S’introdueix el concepte de continuïtat lateral d’una funció en un punt i s’observa la relació que hi ha amb la continuïtat de la funció en aquest punt a partir de la relació existent entre límits laterals i límit d’una funció en un punt. Com a exemple, s’estudia la continuïtat de la funció identitat menys la part sencera.



– Posteriorment, es defineix la continuïtat en un interval. És convenient que el professor o la professora faci notar que la definició donada per a la continuïtat d’un interval tancat no és equivalent a dir que la funció és contínua si ho és en cada punt de l’interval tancat, en els punts extrems de l’interval; únicament es demana continuïtat lateral des de l’interior d’aquest.

– En el marge, també es defineix la continuïtat en un interval semiobert. Novament, el subapartat acaba amb l’anàlisi de la continuïtat d’una funció en un interval.

– Seguidament, es presenta una taula amb la classificació dels diversos tipus de discontinuïtats, il·lustrant cadascun dels casos i observant les condicions de continuïtat que es verifiquen i les que es deixen de verificar en cada situació.

– A continuació, s’observa que, si la funció presenta una discontinuïtat evitable en un punt, es pot definir una nova funció que coincideix amb la primera en tots els punts del seu domini excepte en el punt considerat, en cas que hi pertanyi, i evita la discontinuïtat en aquest punt.

– Es proposen tres exemples en què es mostren respectivament el cas d’una discontinuïtat no evitable de salt infinit, no evitable essencial i evitable. En el marge es pot veure un esquema del procés que s’ha de seguir per a classificar discontinuïtats.

Propietats de les funcions contínues (pàg. 194 i 195)

– Com a conseqüència de les propietats vistes per als límits, s’obtenen algunes de les propietats de les funcions contínues.

– A partir d’aquestes, es comprova la continuïtat en el seu domini d’algunes de les funcions elementals (potencials, polinòmiques, racionals i irracionals).

– D’altra banda, es presenten en una taula unes altres funcions elementals (exponencials, logarítmiques i trigonomètriques), observant a partir de la seva gràfica que són contínues en tot el seu domini.

– Seguidament, es resol un exercici a tall d’exemple en què s’estudia la continuïtat de funcions obtingudes mitjançant operacions amb funcions elementals.

Teoremes relatius a la continuïtat (pàg. 196-198)

– S’enuncia el teorema de conservació del signe i la seva justificació a partir de l’observació de la gràfica d’una funció contínua.

– S’enuncia el teorema de Bolzano i es justifica de manera intuïtiva. En el marge hi ha una demostració rigorosa del teorema, que la professora o el professor podrà donar o no depenent del grup d’alumnes. Tot seguit, es mostra, mitjançant exemples, la utilitat d’aquest teorema per a la determinació de zeros de funcions i arrels d’equacions.

– A continuació, s’enuncia el teorema dels valors intermedis i s’indica que és conseqüència immediata del teorema de Bolzano; en el marge s’hi pot trobar la demostració detallada.

– Tot seguit, es mostra, mitjançant un exemple, la seva aplicació per veure que una funció pren un valor determinat en un interval. En aquest punt, es pot comentar, si es considera oportú, que el teorema de Bolzano i el dels valors intermedis són equivalents, ja que el teorema dels valors intermedis s’obté a partir del de Bolzano, i aquest és un cas particular de l’anterior.

– S’enuncia el teorema de Weierstrass i es justifica de manera intuïtiva. Seguidament, s’observen tres conseqüències d’aquest teorema.

En la Resolució d’exercicis i problemes (pàg. 199 i 200) es pretén que l’alumne/a aprofundeixi una mica més en els continguts de la unitat. Per a fer-ho, es presenten els models d’exercicis i problemes següents:



a) Determinació del valor dels paràmetres presents en l’expressió analítica d’una funció per tal que sigui contínua en un punt o bé contínua en tot el seu domini.

b) Determinació del valor dels paràmetres presents en l’expressió analítica d’una funció per tal que aquesta presenti una discontinuïtat evitable en un punt o bé una discontinuïtat.

c) Aplicació del teorema de Bolzano per provar que les gràfiques de dues funcions es tallen en algun punt i la determinació d’aquest en un interval de certa amplitud.

d) Aplicació del teorema de Bolzano per obtenir l’aproximació d’una arrel cúbica amb un error determinat.

En l’Organització de coneixements (pàg. 201), es presenten de manera esquemàtica els principals continguts de la unitat, es mostra la relació que hi ha ente els uns i els altres.



Reconeixement de manera visual de si una funció és contínua en un punt.

Comprovació de si una funció és contínua en un punt mitjançant la verificació de les tres condicions de continuïtat.

Comprovació, utilitzant la definició formal de continuïtat, de si una funció és contínua en un punt.

Indicació de la relació que s’estableix entre continuïtat lateral d’una funció en un punt i continuïtat en aquest punt i estudi de la continuïtat lateral d’una funció en un punt.

Exemplificació de funció contínua en un interval obert però que no ho és en el tancat.

Enumeració dels diversos tipus de discontinuïtat que pot presentar una funció indicant les característiques de cadascun i reconeixement de manera visual d’aquests.

Cerca dels punts de discontinuïtat d’una funció i determinació del tipus de discontinuïtat que presenta en cadascun.

Enumeració de les propietats de les funcions contínues.

Anàlisi, tenint en compte la continuïtat de les funcions elementals, de la continuïtat de funcions obtingudes a partir d’operacions amb funcions elementals.

Determinació de l’existència de zeros de funcions i d’arrels d’equacions i obtenció d’aquests zeros i arrels amb un error determinat utilitzant el teorema de Bolzano.

Prova que una funció pren determinat valor en un interval donat i càlcul del punt d’aquest interval en què la funció pren aquest valor utilitzant el teorema dels valors intermedis.



UNITAT 10: DERIVADES


Comprendre el significat de la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval.

Comprendre el significat de la derivada d’una funció en un punt i conèixer-ne la definició formal.

Interpretar geomètricament la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval, i la derivada d’una funció en un punt.

Determinar l’equació de la recta tangent a una funció en un punt.

Comprendre el concepte de derivada lateral per l’esquerra i per la dreta d’una funció, i també la relació existent entre la derivada i les derivades laterals.

Comprendre el concepte de funció derivada d’una funció i calcular derivades successives.

Conèixer la funció derivada de les funcions elementals.

Conèixer la derivabilitat de les funcions elementals i les regles que permeten de derivar funcions que són el resultat d’operar amb altres funcions derivables.

Conèixer la relació que s’estableix entre les derivades de dues funcions inverses i aplicar-la per a deduir la derivada d’algunes funcions.

Conèixer i utilitzar els mètodes de derivació: de la funció inversa, logarítmica i en forma implícita.

Conèixer el concepte de diferencial d’una funció en un punt, la seva interpretació geomètrica i la seva aplicació per a efectuar càlculs aproximats.

Valorar la importància de la derivada en l’estudi de la variació d’una funció i la seva aplicació en diferents contextos: física, química, biologia…

Continguts

Conceptes

– Taxa de variació mitjana d’una funció.

– Derivada d’una funció en un punt.

– Derivades laterals.

– Funció derivada.

– Derivades d’ordre superior.

– Derivada de funcions elementals.

– Funció derivada i operacions.

– Derivació logarítmica.

– Derivació implícita.

– Diferencial d’una funció.

Procediments

– Determinació de la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval.



– Determinació del pendent de la recta secant a la gràfica d’una funció per dos punts.

– Determinació de la velocitat mitjana d’un mòbil que segueix una trajectòria rectilínia.

– Obtenció de la derivada d’una funció en un punt.

– Determinació del pendent de la recta tangent a la gràfica d’una funció en un punt.

– Obtenció de l’equació de la recta tangent a la gràfica d’una funció en un punt.

– Determinació de la velocitat instantània d’un mòbil que segueix una trajectòria rectilínia.

– Obtenció de les derivades laterals d’una funció en un punt.

– Identificació de punt angulosos, de retrocés, o d’inflexió amb tangent vertical.

– Càlcul de derivades d’ordre superior a partir de la definició formal.

– Obtenció de derivades de funcions elementals.

– Obtenció de la derivada de la funció suma, del producte d’una constant per una funció, de la funció producte i de la funció quocient.

– Aplicació de la regla de la cadena per a obtenir la derivada d’una funció composta.

– Determinació de la derivada de funcions inverses.

– Obtenció de derivades de funcions del tipus exponencial-potencial per derivació logarítmica.

– Càlcul de derivades de funcions donades en forma implícita.

– Obtenció de valors aproximats de funcions utilitzant el concepte de diferencial d’una funció.


– Importància de la derivabilitat per a l’estudi de les funcions.

– Valoració dels processos deductius com a instrument bàsic en el treball matemàtic.

– Valoració de la importància de la derivada i de la diferencial d’una funció com a instrument en el camp científic.



En la Preparació de la unitat (pàg. 205) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat: la definició del pendent d’una recta i equació punt-pendent d’una recta, la definició de les operacions definides en el conjunt de les funcions reals de variable real, la definició de la funció composta de dues funcions, la definició de funció inversa d’una funció donada que sigui injectiva en el seu domini i la definició de límit finit i continuïtat d’una funció en un punt.

En la unitat podem distingir-hi quatre apartats: taxa de variació mitjana, derivada d’una funció en un punt, funció derivada i diferencial d’una funció.

Taxa de variació mitjana (pàg. 206 i 207)

– S’introdueix el concepte de taxa de variació mitjana d’una funció en diversos intervals mitjançant una funció que relaciona la temperatura i la profunditat en l’interior de la Terra.

– En aquest punt, el professor o la professora pot suggerir a l’alumne/a que recordi els coneixements apresos en física, com ara les equacions que donen la posició d’un mòbil i la seva velocitat en



funció del temps en un moviment rectilini uniforme, o en un moviment amb acceleració constant, i comprovi que la velocitat mitjana és la taxa de variació de la funció que dóna la posició d’un mòbil en l’interval de temps considerat.

– En l’exemple que segueix, l’alumne/a aplicarà el concepte de TVM (taxa de variació mitjana) i la seva interpretació geomètrica a una funció algèbrica coneguda. Es pretén que l’alumne/a comprengui que la TVM és una mesura de la rapidesa amb què varia una funció en un interval, i que aquesta funció pot expressar el comportament d’un fenomen físic o químic.

– Després d’això, es proposa la definició formal de taxa de variació mitjana d’una funció en un interval.

– El càlcul formal de la taxa de variació mitjana es complementa amb la interpretació geomètrica en la qual s’observa la coincidència d’aquesta taxa amb el pendent de la recta secant a la corba pels punts que limiten l’interval estudiat.

– Es postula d’una manera rigorosa la interpretació geomètrica de la taxa de variació mitjana.

Derivada d’una funció en un punt (pàg. 208-211)

– Es considera l’exemple d’una funció polinòmica de segon grau senzilla i es calcula, a partir de l’aproximació proposada, el límit de la TVM quan l’interval considerat tendeix a zero.

– Es formula de manera rigorosa la definició de derivada d’una funció en un punt donat.

– Novament la professora o el professor pot utilitzar com a funció l’equació del moviment rectilini uniformement accelerat; d’aquesta manera, l’alumne/a comprendrà millor que l’interval que tendeix a zero, si la variable és el temps, és un instant i identificarà velocitat instantània amb la taxa de variació instantània o derivada de la funció desplaçament del moviment referit.

– Seguidament, en la interpretació geomètrica, el profesor o la professora farà observar a l’alumne/a que, si l’interval en el qual es considera la variació d’una funció es redueix a un punt, la taxa de variació instantània corresponent coincideix amb el pendent de la recta tangent en aquest punt.

– A continuació, s’utilitza aquest resultat per a obtenir l’equació punt-pendent de la recta tangent a la funció en un punt.

– S’introdueix el concepte de derivades laterals d’una funció en un punt i s’observa la relació que hi ha entre la derivabilitat de la funció en aquest punt a partir de la relació existent entre límits laterals i límits d’una funció en un punt. Com a exemple, s’estudia la derivabilitat de la funció valor absolut en el zero.

– És convenient tractar els conceptes de continuïtat i derivabilitat d’una forma intuïtiva, observant en primer lloc gràficament els casos més freqüents de continuïtat i no-derivabilitat, per a proposar en segon lloc la condició analítica.

– La professora o el professor, a més, pot suggerir a l’alumne/a que recordi funcions no contínues en alguns punts i que comprovi que en aquests punts no pot dibuixar una recta tangent a la gràfica, per la qual cosa la continuïtat resulta una condició absolutament necessària per a la derivabilitat.

Funció derivada (pàg. 212-217)

– S’introdueix el concepte de funció derivada d’una forma natural a partir de la derivada de la funció en un punt. El professor o la professora pot partir d’una funció molt senzilla (per exemple, f (x) = x2) per tal que l’alumne/a en calculi la derivada en diversos punts. Seguidament, suggereix una forma d’evitar el càlcul reiteratiu de límits: efectuar el càlcul en un punt genèric.

– Seguidament, es defineix la funció derivada segona d’una funció de manera anàloga a com es defineix funció derivada i es comenta que, reiterant el procés, es poden definir totes les derivades d’ordre superior.



– A continuació, es dedueixen les fórmules de les derivades de funcions elementals (constant, potencial, logarítmica i sinus) amb el mètode que s’ha explicat i que és convenient que l’alumne/a practiqui.

– S’obtenen de la mateixa manera les regles per a derivar les funcions suma, producte, quocient i composta, i s’apliquen les fórmules obtingudes per a derivar funcions concretes.

– S’estudia la derivació de funcions inverses obtenint la derivada de la inversa d’una funció a partir de la definició de funció inversa recordada en la preparació de la unitat i la regla de la cadena. Com a exemple, s’aplica aquesta fórmula per obtenir la derivada de la funció arcsinus.

– Així mateix, s’explica el mètode de derivació logarítmica presentant en una taula el procediment per a obtenir la derivada d’una funció exponencial-potencial i un exemple en què es practica el mètode descrit.

– En el marge s’observa que, per poder aplicar el mètode explicat, la funció exponencial-potencial considerada ha de ser estrictament positiva, és a dir, de base estrictament positiva.

– S’utilitza la derivació logarítmica en un exemple concret per a obtenir la derivada d’una funció donada en forma implícita i que no es pot expressar explícitament.

Diferencial d’una funció (pàg. 218 i 219)

– Sintrodueix la notació d’increments per a la derivada d’una funció en un punt i, amb l’ajut d’una interpretació gràfica de la situació, s’obté una aproximació de la variació de la funció a partir de la derivada de la funció en un punt i l’increment de la variable considerat des d’aquest punt.

– Finalment, es fa notar la manera com aquesta aproximació es pot utilitzar per a calcular valors aproximats de la funció.

– Es recullen, en forma de taula, les principals derivades de funcions simples i funcions compostes que l’alumne/a ha de conèixer. S’adjunta per tal que l’alumne/a hi pugui recórrer en cas de dubte sense haver de buscar en l’interior de la unitat, en què també apareixen aquestes fórmules, però barrejades amb altres continguts.


a) Obtenció de la fórmula d’una derivada utilitzant el mètode d’inducció.

b) Cerca de l’equació de la recta tangent a la gràfica d’una funció donada implícitament.

c) Comprovació de la regla de derivació del producte de dues funcions a partir del mètode de derivació logarítmica.

d) Càlcul de l’equació de la recta tangent i la de la recta normal a la gràfica d’una funció, i també els punts en els quals la recta tangent és paral·lela a una recta donada.

e) Estudi de la continuïtat i la derivabilitat d’una funció i comprovació dels resultats obtinguts a partir de la gràfica de la funció.






Cerca de la taxa de variació mitjana d’una funció polinòmica i racional, entre dos punts donats, i càlcul del pendent de la recta secant que passa per tots dos punts.

Definició de la derivada d’una funció en un punt i interpretació geomètrica d’aquesta derivada.

Determinació de l’equació de la recta tangent a la gràfica d’una funció en un punt.

Càlcul de velocitats mitjanes i instantànies de moviments rectilinis uniformement accelerats i justificació que són exemples de taxes de variació mitjana i instantànies, respectivament.

Deducció de la derivabilitat d’una funció definida a trossos, o de valor absolut, i caracterització dels punts de no-derivabilitat trobats.

Obtenció de la funció derivada d’alguna funció elemental a partir de la definició de funció derivada.

Obtenció de la fórmula de la derivada n-èsima d’una funció concreta.

Càlcul, donades dues funcions, de la funció derivada de la seva suma, del producte, del quocient i de composició.

Càlcul de la derivada d’alguna funció no elemental utilitzant conjuntament la taula de derivades elementals i de propietats de les derivades.

Aplicació del mètode de derivació de la funció inversa o bé logarítmica en algun cas concret.

Determinació de l’equació de la recta tangent en un punt a una corba l’equació de la qual es coneix de forma implícita.

Càlcul del valor aproximat d’un radical utilitzant la diferencial.

Esment d’exemples en els camps de la física, la química o la biologia en els quals pot ser útil l’estudi de la TVM o de la derivada.

Reconeixement de la utilitat de la funció derivada en l’estudi de fenòmens susceptibles de ser tractats mitjançant funcions.



UNITAT 11: APLICACIONS DE LES DERIVADES


Utilitzar el concepte de derivada per a determinar el creixement i el decreixement d’una funció en un punt i en un interval.

Reconèixer l’existència de màxims i mínims relatius.

Utilitzar el concepte de derivada segona per a determinar la concavitat i la convexitat d’una funció en un punt i en un interval.

Reconèixer l’existència de punts d’inflexió.

Obtenir la representació gràfica de funcions.

Resoldre problemes d’optimació.

Conèixer els teoremes de Rolle i de Lagrange i interpretar-ne el significat geomètric.

Conèixer la regla de l’Hôpital i aplicar-la per a resoldre indeterminacions.

Valorar l’aplicació de les derivades en l’estudi de funcions i en la resolució de problemes d’altres camps: aritmètica, geometria, física…

Continguts

Conceptes

– Relació entre creixement (decreixement) d’una funció en un punt i el signe de la derivada.

– Extrems relatius.

– Relació entre la curvatura (convexitat) d’una funció en un punt i el signe de la derivada segona.

– Punts d’inflexió.

Procediments

– Utilització de la derivada primera d’una funció per a estudiar la monotonia d’una funció, en un punt o en un interval.

– Determinació dels extrems relatius d’una funció.

– Utilització de la derivada segona d’una funció per a estudiar la curvatura d’una funció, en un punt o en un interval.

– Determinació dels punts d’inflexió d’una funció.

– Organització mitjançant taules de les dades obtingudes en l’anàlisi d’una funció.

– Representació gràfica d’una funció a partir dels aspectes essencials de la seva anàlisi.

– Plantejament i resolució de problemes d’optimació.

– Utilització de la calculadora gràfica per a la representació gràfica de funcions.

– Aplicació del teorema de Rolle per a comprovar si la derivada d’una funció té un zero en un interval donat i obtenció d’aquest zero.



– Aplicació del teorema de Lagrange per a trobar el punt o els punts en què la recta tangent a la funció té un pendent determinat.

– Utilització de la regla de l’Hôpital per a resoldre indeterminacions.


– Sistematització i ordre en la presentació de dades per a la representació gràfica d’una funció.

– Interès per contrastar les solucions obtingudes amb les dades inicials.

– Apreciació del valor que té l’estudi de funcions i l’optimació de funcions per a resoldre problemes d’índole real.



En la Preparació de la unitat (pàg. 227) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat: la interpretació geomètrica de la derivada, el teorema de Bolzano i el teorema de Weierstrass. A més, es proposen unes activitats per a recordar la resolució d’inequacions i les fórmules de derivació.

En la unitat podem distingir-hi cinc apartats: derivada i monotonia d’una funció, derivada i curvatura d’una funció, representació gràfica de funcions, optimació de funcions i teoremes sobre funcions derivables.

Derivada i monotonia d’una funció (pàg. 228-231)

– S’inicia la unitat recordant la definició de derivada d’una funció en un punt i obtenint a partir d’aquesta les condicions que ha de complir la funció per tal que sigui estrictament creixent o decreixent en un punt. A continuació, s’aplica el resultat obtingut en un exemple.

– Seguidament, es justifica la condició necessària d’existència d’extrem relatiu. En aquest punt, s’observa que aquesta condició és necessària però no suficient, a partir d’un exemple concret.

– A continuació, es considera que la derivada segona en el punt extrem té signe positiu i s’analitza aquest cas per concloure que l’extrem relatiu és un màxim.

– Posteriorment, s’indica que, raonant de manera semblant en considerar que la derivada segona té signe negatiu en l’extrem relatiu, s’obté que és un mínim. Seguidament, s’apliquen els resultats obtinguts en un exemple. L’estudi d’extrems relatius es completa mostrant en el marge els diferents comportaments dels pendents de les rectes tangents en un entorn d’un extrem relatiu, depenent del tipus d’extrem relatiu que considerem.

– A continuació, s’estableix el criteri per a trobar intervals de creixement i decreixement d’una funció. A tall d’exemple, es mostra com es calculen aquests intervals de monotonia d’una funció mitjançant el procediment de càlcul d’intervals amb el mateix signe que la funció derivada primera. Aquest procediment és molt limitat, ja que únicament se saben resoldre inequacions en el cas que la funció derivada primera sigui polinòmica de grau menor o igual que dos. Així, es mostra un altre procediment més general per a obtenir aquests intervals sense haver de recórrer a la resolució d’inequacions. Aquest procediment s’aplica a un cas concret en l’exemple que segueix.

– En el marge, s’explica com s’utilitza la calculadora gràfica per a obtenir la gràfica d’una funció i es mostra la gràfica d’una de les funcions proposades amb el fi de poder comprovar els resultats obtinguts anteriorment. Per acabar, es comenta que aquest procediment permetrà també de determinar els punts extrems de la funció en el cas que la funció sigui contínua.



Derivada i curvatura d’una funció (pàg. 232-235)

– Es comença l’anàlisi de la curvatura d’una funció definint els conceptes de convexitat i concavitat en un punt a partir de les posicions relatives entre la gràfica de la funció i la recta tangent a aquesta en el punt en qüestió.

– Tot seguit es raonen intuïtivament les condicions que ha de complir la derivada segona de la funció en un punt per tal que aquest sigui de convexitat o de concavitat. A continuació, s’aplica el resultat obtingut en un exemple.

– Seguidament, es presenta el concepte de punt d’inflexió d’una funció i es justifica la condició necessària d’existència d’aquest. En aquest punt, s’observa que aquesta condició és necessària però no suficient, a partir d’un exemple concret. Després, es dóna una condició suficient de punt d’inflexió.

– A continuació, es generalitza la determinació de punts extrems relatius o d’inflexió quan s’anul·len derivades successives. En el marge es resumeix a manera d’esquema com es procedeix per saber si un punt és un extrem relatiu o d’inflexió.

– En els exemples que segueixen, s’aplica aquest procediment: en el primer, es troben els punts d’inflexió d’una funció i, en el segon, es conclou que la funció donada no pot tenir punts d’inflexió.

– A continuació, s’establirà el criteri per a trobar intervals de convexitat i concavitat d’una funció. A tall d’exemple, es mostra com es calculen aquests intervals de monotonia d’una funció mitjançant el procediment de càlcul d’intervals amb el mateix signe que la funció derivada segona. Tal com passava amb els intervals de monotonia, aquest procediment és molt limitat, ja que únicament se saben resoldre inequacions en el cas en què la funció derivada segona sigui polinòmica de grau menor o igual que dos. Així, es mostra també un altre procediment més general per a obtenir aquests intervals i s’exemplifica en un cas concret.

– Per acabar, s’observa que aquest procediment permetrà també de determinar els punts d’inflexió de la funció si és contínua.

Representació gràfica de funcions (pàg. 236-239)

– Per fer la representació gràfica d’una funció, s’analitzen els aspectes següents: domini, punts de tall amb els eixos, signe, simetria i periodicitat, asímptotes i branques infinites, intervals de monotonia i extrems relatius, intervals de curvatura i punts d’inflexió.

– Un cop recollida tota la informació, s’explica el procediment per a dissenyar el gràfic d’una funció. A continuacció, es mostren dos exemples en els quals es duu a la pràctica el procés descrit, evitant càlculs excessius.

– La professora o el professor pot suggerir tècniques per a facilitar la representació gràfica d’algunes funcions, com ara les formes possibles de les funcions polinòmiques de grau n, o la translació de funcions racionals.

Optimació de funcions (pàg. 240 i 241)

– Es comença aquest apartat comentant la utilitat del càlcul d’extrems relatius, no solament en problemes de tipus matemàtic sinó també en àmbits més generals les situacions dels quals es respresenten mitjançant funcions.

– A continuació, s’enumeren els passos que s’han de seguir per a la resolució d’un problema d’optimació.

– En els tres exemples que segueixen es resolen, respectivament, problemes dels àmbits aritmètic, geomètric i físic.



Teoremes sobre funcions derivables (pàg. 242-244)

– S’enuncia el teorema de Rolle i se n’ofereix la demostració. A continuació, s’interpreta geomètricament. Posteriorment, s’aplica en un exemple concret.

– S’enuncia el teorema del valor mitjà de Lagrange i es demostra a partir del teorema de Rolle. En aquest punt, es pot comentar, si es considera oportú, que el teorema de Rolle i el del valor mitjà de Lagrange són equivalents, ja que aquest darrer s’obté a partir del de Rolle i aquest és un cas particular de l’altre. A continuació, s’interpreta geomètricament i s’aplica en un exemple.

– S’enuncia la regla de l’Hôpital i se’n ressalta la utilitat per al càlcul de límits quan apareixen les indeterminacions zero partit per zero i infinit partit per infinit, ja que s’explica com es redueixen els altres tipus a aquests dos.

– En els exemples que segueixen, s’aplica aquesta regla en quatre tipus d’indeterminació: zero partit per zero, infinit partit per infinit, zero per infinit i infinit elevat a zero; la resta de tipus es veuran en la resolució d’exercicis i problemes.


a) Determinació d’una funció polinòmica de la qual se’n coneix algun extrem relatiu i algun punt d’inflexió.

b) Comprovació que una equació polinòmica presenta una única arrel en un interval donat.

c) Determinació de la gràfica aproximada d’una funció a partir de la gràfica de la seva funció derivada.

d) Aplicació de la regla de l’Hôpital per a la resolució d’indeterminacions.

e) Utilizació del teorema del valor mitjà per a obtenir la funció la derivada de la qual és idènticament nul·la.

f) Representació gràfica, d’una funció irracional.




Determinació del creixement o decreixement d’una funció en un punt i cerca dels intervals de creixement i decreixement de la funció.

Determinació de la concavitat o convexitat d’una funció en un punt i cerca dels intervals de concavitat i convexitat de la funció.

Obtenció dels extrems relatius i punts d’inflexió d’una funció.

Demostració que una funció polinòmica de segon grau presenta el seu màxim o mínim absolut, segons el signe del seu coeficient de segon grau, en el vèrtex.



Efectuació de l’estudi global i la representació gràfica d’una funció polinòmica o racional.

Dibuix de la gràfica d’una funció de la qual en coneixem la representació gràfica de la seva derivada.

Resolució d’un problema d’optimació en una situació de la vida real.

Comprovació de si una funció polinòmica determinada acompleix les hipòtesis del teorema de Rolle en un interval tancat i cerca d’almenys un punt en el qual la recta tangent a la gràfica sigui paral·lela a l’eix d’abscisses. Interpretació geomètrica del resultat.

Demostració que una funció que té tres extrems relatius no pot tenir més de dos zeros, a partir del teorema de Rolle, i generalització del resultat.

Esbrinament de si una funció polinòmica, f, de grau dos, verifica les hipòtesis del teorema de La-grange en un interval tancat [a, b] i cerca del punt en què la recta tangent a la seva gràfica és paral·lela a la secant que passa per [a, f(a) ] i [b, f(b) ]. Interpretació geomètrica del resultat.

Indicació de quan és possible aplicar la regla de l’Hôpital i resolució d’alguns tipus d’indeterminacions a partir d’aquesta.

Explicació sobre què és l’optimació de funcions i esment d’exemples en què es pugui aplicar.



UNITAT 12: INTEGRALS


Entendre la integració com a operació inversa de la derivació.

Conèixer els conceptes de primitiva i d’integral d’una funció, i la relació que s’estableix entre tots dos conceptes.

Reconèixer integrals indefinides immediates.

Conèixer les propietats principals de les integrals indefinides.

Conèixer les principals propietats de les integrals indefinides i utilitzar-les per a calcular algunes integrals indefinides senzilles mitjançant el mètode de descomposició.

Calcular integrals indefinides mitjançant diferents mètodes (de descomposició, canvi de variable, per parts, mètodes d’integració per a funcions racionals).

Comprendre el concepte d’integral definida entre a i b d’una funció contínua en l’interval [a, b] i identificar-lo amb l’àrea sota una corba.

Conèixer les propietats principals de les integrals definides.

Enunciar el teorema del valor mitjà del càlcul integral, i interpretar-lo geomètricament.

Enunciar el teorema fonamental del càlcul, i aplicar-lo a la derivació de funcions l’expressió analítica de les quals ve donada per una integral definida.

Calcular integrals definides a partir de la regla de Barrow.

Determinar àrees de diverses figures planes aplicant el càlcul integral.

Calcular el volum d’un sòlid de revolució a partir del càlcul integral.

Habituar-se a analitzar els diversos mètodes d’integració abans de resoldre una integral i seleccionar el més adequat en cada cas.

Valorar la utilitat de les integrals definides per a abordar una gran varietat de problemes d’aplicació en altres àrees.

Continguts

Conceptes

– Primitiva d’una funció.

– Integral indefinida d’una funció.

– Propietats de la integral indefinida.

– Integral indefinida immediata.

– Integral definida entre a i b d’una funció contínua en [a, b].

– Propietats de les integrals definides.

– Teorema del valor mitjà del càlcul integral.

– Teorema fonamental del càlcul.

– Regla de Barrow.



Procediments

– Obtenció d’integrals indefinides immediates.

– Aplicació de les propietats de la integral indefinida per a calcular integrals de funcions senzilles pel mètode de descomposició.

– Càlcul d’integrals indefinides per canvi de variable.

– Càlcul d’integrals indefinides aplicant el mètode d’integració per parts.

– Càlcul d’integrals indefinides de funcions racionals amb arrels reals simples.

– Aproximació del càlcul de l’àrea de la figura plana que limita una funció monòtona i positiva en l’interval [a, b], l’eix d’abscisses i les rectes x = a i x = b, a partir del càlcul de sumes inferiors i superiors.

– Càlcul d’integrals definides a partir de la regla de Barrow.

– Càlcul de l’àrea limitada per la gràfica d’una funció contínua, l’eix d’abscisses i les rectes x = a i x = b.

– Càlcul de l’àrea limitada per la gràfica de dues funcions contínues i les rectes x = a i x = b.

– Càlcul del volum d’un sòlid de revolució.


– Hàbit d’analitzar els diversos mètodes d’integració abans d’abordar la resolució d’una integral amb la finalitat de seleccionar el més adient.

– Valoració de la utilitat de les integrals definides en la resolució de diferents problemes d’aplicació a la geometria.



En la Preparació de la unitat (pàg. 253) s’evoquen els coneixements previs necessaris per a emprendre la unitat: el teorema del valor mitjà i d’una de les seves conseqüències. També es presenten dibuixos que posen de manifest les simetries de les funcions oposades i inverses. Es completa la preparació amb un formulari d’algunes àrees i d’alguns volums comuns.

En la unitat podem distingir-hi sis apartats: primitives i integrals indefinides, mètodes bàsics d’integració, àrea sota una corba, integral definida, teoremes d’integració i aplicacions de la integral definida.

Primitives i integrals indefinides (pàg. 254-257)

– Es comença la unitat plantejant el problema invers al de l’obtenció de la derivada d’una funció, s’il·lustra mitjançant un exemple i es dóna la definició de primitiva d’una funció donada.

– A continuació, s’observa que poden existir diferents primitives d’una mateixa funció, i es conclou, a més, que totes les funcions que difereixen solament en una constant d’una primitiva qualsevol seràn també primitives de la funció inicial.

– Seguidament, es completa el resultat anterior demostrant, a partir del teorema del valor mitjà, que una funció definida en un interval tancat no pot tenir altres primitives que les que s’obtenen sumant una constant a qualsevol de les seves primitives prèviament fixada.



– Caracterizat així el conjunt format per totes les primitives d’una funció donada, es defineix el concepte d’integral indefinida i s’expliquen algunes qüestions de notació.

– A continuació, s’enuncien i es demostren les propietats més importants de les integrals indefinides i es mostren alguns exemples d’aplicació.

– En el subapartat Integrals indefinides immediates es comença mostrant una taula d’integrals immediates. L’alumne/a s’ha d’adonar que cadascuna d’aquestes integrals indefinides són les funcions que apareixen en la taula de les derivades immediates que ja coneix, disposades en el marge, la qual cosa li’n facilitarà la memorització. Es recomana practicar el càlcul d’integrals indefinides immediates observant les integrals indefinides proposades en els exemples.

– A continuació, s’explica com es calculen integrals l’integrant de les quals és de la forma f (g (x)) · g’(x), sent f (x) l’integrant d’una integral indefinida immediata, procediment que s’il·lustra mitjançant exemples.

– S’adjunta també una taula d’integrals immediates generalitzades, obtinguda a partir de la taula d’integrals indefinides immediates canviant f (x) per f (g (x)) · g’(x). Es recomana, tanmateix, que l’alumne/a no la memoritzi; és preferible entendre el procediment que s’ha utilitzat per a construir-la.

Mètodes bàsics d’integració (pàg. 258-261)

– Es presenta la integració per descomposició, després d’observar que és una simple aplicació reiterada de les propietats de les integrals indefinides. Es mostren tres exemples típics d’aplicació d’aquest mètode.

– Es presenta la integració per canvi de variable explicant com es procedeix per a aplicar aquest mètode i es mostren exemples per tal que l’alumne/a observi en dos casos particulars el procediment explicat.

– Es recomana que els alumnes facin els exercicis proposats a continuació, encara que s’adverteix que necessitaran dur a terme uns quants exercicis semblants més de l’apartat Activitats, per tal de dominar la tria del canvi de variable adequat.

– Es proposa la integració per parts després de justificar la fórmula corresponent. S’especifiquen els passos que cal seguir per a aplicar el mètode correctament i es presenten diversos exemples.

– Es presenten els mètodes d’integració de funcions racionals. Inicialment s’introdueix el mètode general d’integració per a funcions racionals basat en la descomposició en suma de fraccions simples. L’explicació es redueix al cas en què el grau del polinomi numerador és menor que el grau del polinomi denominador, ja que, tal com es fa observar en el marge, el cas contrari es pot reduir fàcilment a aquest.

Àrea sota una corba (pàg. 262 i 263)

– Es comença la unitat plantejant el problema de calcular l’àrea de la regió plana limitada per la gràfica d’una funció, l’eix d’abscisses i dues rectes verticals.

– Per tal d’obtenir una aproximació d’aquesta àrea, s’explica el mètode de la successió de sumes inferiors, que aproxima l’àrea buscada per defecte, i el mètode de la successió de sumes superiors, que aproxima l’àrea buscada per excés.

– Es fa observar que el límit de les dues successions és l’àrea buscada i es dóna una aproximació amb dos decimals correctes.

Integral definida (pàg. 264 i 265)

– En aquest apartat es generalitza el procés introduït en l’apartat anterior i s’obté la definició rigorosa d’integral definida entre a i b d’una funció contínua en [a, b]. En aquest punt, hem optat per dividir



l’interval [a, b] en subintervals equiespaiats per donar claredat a l’exposició.

– En el marge es comenta la definició de funció integrable sobre un interval i, en el cas que una funció ho sigui, el concepte de la seva integral definida en aquest interval. Així, s’observa que el concepte d’integral definida no és exclusiu de les funcions contínues sinó de les integrables.

– A continuació, s’enumeren les principals propietats de la integral definida en un interval, i se’n justifiquen gràficament i de forma intuïtiva algunes.

– Convé destacar que aquestes propietats les compleixen les funcions integrables en general, és a dir, que no han de ser necessàriament contínues en l’interval.

Teoremes d’integració (pàg. 266 i 267)

– Es presenta el teorema del valor mitjà del càlcul integral.

– Seguidament, s’ofereix una interpretació geomètrica per a una funció positiva en un interval determinat.

– S’enuncia el teorema fonamental del càlcul. Aquest teorema ens serà útil per a calcular la derivada d’una funció l’expressió analítica de la qual vingui donada per una integral definida.

– S’obté com a conseqüència del teorema fonamental del càlcul la regla de Barrow. Aquest teorema permet de calcular de manera efectiva integrals definides sense necessitat de calcular sumes inferiors i sumes superiors.

– A continuació, es presenta en una taula el procediment que s’ha de seguir, acompanyat d’un exemple.

Aplicacions de la integral definida (pàg. 268-273)

– S’explica com s’apliquen les integrals al càlcul d’àrees de figures planes. Començant per l’àrea limitada per la gràfica d’una funció contínua, l’eix d’abscisses i dues rectes verticalment (s’explica el procediment en tres exemples concrets) i continuant per un exemple amb el qual es mostra com es procedeix si ens demanen calcular l’àrea limitada per la gràfica d’una funció i l’eix d’abscisses.

– També s’explica com es calcula l’àrea limitada per la gràfica de dues funcions contínues i rectes verticals i horitzontals. S’obté una fórmula per al cas en què les dues funcions considerades siguin positives i es comprova que aquesta fórmula és vàlida també en general. Tot seguit s’aplica aquesta fórmula en un cas concret a tall d’exemple. Després, es consideren dos exemples amb els quals es mostra com es procedeix si ens demanen calcular l’àrea limitada per dues gràfiques.

– Es presenta el mètode per a calcular el volum d’un sòlid de revolució obtenint una fórmula per a calcular el volum d’un sòlid de revolució generat per una funció contínua en un interval tancat en girar al voltant de l’eix d’abscisses. Per a fer-ho, se segueix un procés similar al descrit en la definició de la integral definida. Seguidament, es presenta un exemple il·lustratiu.

– En la darrera pàgina del tema es recullen, en forma de taula, les principals integrals indefinides immediates i immediates generalitzades que l’alumne/a ha de conèixer. S’adjunta per tal que els alumnes les hi puguin recórrer en cas de dubte sense haver de buscar en l’interior de la unitat, on també apareixen aquestes fórmules, però barrejades amb altres continguts.


a) Determinació de la primitiva d’una funció que compleix una condició donada.

b) Coneguda la gràfica d’una funció, estudi de la monotonia i dels extrems relatius d’una qualsevol de les seves primitives.



c) Càlcul d’integrals indefinides de funcions exponencials i polinòmiques senzilles.

d) Determinació del valor d’un paràmetre a partir de condicions establertes mitjançant el valor d’àrees del pla.

e) Càlcul de l’àrea d’un recinte limitat per una recta i una funció irracional.

f) Obtenció d’un volum de revolució senzill aplicant girs senzills en el raonament.


Finalment, en les Activitats (pàg. 277-279) es presenta una llista de conceptes i procediments que l’alumne/a ha de tenir clars si ha comprès els continguts bàsics de la unitat. Es plantegen diverses qüestions de tipus teòric que l’alumne/a haurà de respondre per tal d’aprofundir en els continguts teòrics de la unitat i es proposen diversos exercicis i problemes perquè els alumnes repassin i aprofundeixin en allò que s’ha après. Aquests exercicis i problemes van acompanyats de la solució per tal d’afavorir el procés d’autoavaluació.


Definició de primitiva i integral indefinida d’una funció, i explicació de la relació que s’estableix entre tots dos conceptes.

Enunciació de les dues propietats principals de les integrals indefinides i il·lustració d’aquestes amb exemples concrets.

Càlcul d’una sèrie d’integrals indefinides immediates.

Resolució d’integrals indefinides pel mètode de descomposició, fins i tot en casos en els quals l’integrant no estigui clarament expressat com a combinació lineal de funcions fàcilment integrables.

Càlcul d’integrals indefinides per canvi de variable, amb indicació del canvi de variable que s’ha d’utilitzar si aquest presenta una dificultat especial.

Cerca d’integrals indefinides mitjançant el mètode d’integració per parts, fins i tot en el cas que s’hagi d’aplicar aquest mètode reiteradament i en el cas que, després d’aplicar-lo, torni a obtenir-se una altra vegada la integral indefinida inicial.

Resolució d’integrals indefinides de funcions racionals quan el polinomi denominador té arrels reals simples.

Explicació del concepte d’integral definida d’una funció contínua en un interval [a, b] mitjançant un exemple concret.

Enunciació de les propietats principals de les integrals definides, i exemplificació de funcions que les verifiquin en cada cas.

Enunciació del teorema del valor mitjà del càlcul integral, i interpretació geomètrica d’aquest.

Enunciació del teorema del valor mitjà del càlcul integral, cerca del valor c en un exemple concret i interpretació geomètrica d’aquest.

Enunciació de la regla de Barrow, i aplicació d’aquesta per a trobar integrals definides.

Càlcul de l’àrea limitada per la gràfica d’una funció contínua, l’eix d’abscisses i les rectes x = a i x = b.

Cerca de l’àrea limitada per la gràfica de dues funcions contínues i les rectes x = a i x = b.



Càlcul de l’àrea d’altres figures planes senzilles (com ara les que mostren els exercicis resolts).

Resolució de problemes de determinació de paràmetres en càlculs d’àrees.

Determinació del volum d’un sòlid de revolució obtingut girant al voltant de l’eix d’abscisses una funció contínua en un interval.

Determinació del volum d’un sòlid de revolució obtingut girant al voltant de l’eix d’ordenades una funció contínua en un interval.

Reconeixement del mètode més adient per a resoldre una integral indefinida similar a algun dels models tractats en la unitat.

Valoració de la necessitat d’analitzar quin és el mètode d’integració més adient per a resoldre una integral indefinida.


1 · Web viewUnitats del llibre de l’alumne Àlgebra lineal 1. Matrius 2. Determinants 3....

Documents

Transcript of 1 · Web viewUnitats del llibre de l’alumne Àlgebra lineal 1. Matrius 2. Determinants 3....