1 Trayectoria y ley horaria

1.1 Posición instantánea

Cuando una partícula se mueve por el espacio en cada instante ocupará una posición,

que irá cambiando de forma continua con el tiempo (ya que la partícula no puede

desmaterializarse o teleportarse a otra posición).

En principio podemos etiquetar cada posición por una letra A, B, C,... Sin embargo, es

más práctico identificar cada posición por su vector de posicióncuyas componentes

cartesianas son las distancias (con signo) a los planos coordenados

Aquí x(t), y(t) y z(t) son ciertas funciones continuas del tiempo.

Cuando se da la posición de la partícula como función del tiempo se dice que se

conocen las ecuaciones horarias del movimiento.

1.2 Desplazamiento

El desplazamiento de una partícula en un intervalo Δt es la diferencia (vectorial) entre

la posición al final del intervalo y la posición inicial

Es importante hacer la distinción entre el desplazamiento y la distancia recorrida. Una

partícula que recorra una curva cerrada tendrá un desplazamiento nulo, aunque la

distancia recorrida no sea nula.

1.3 Desplazamiento diferencial

Cuando tenemos un desplazamiento entre dos instantes muy próximos,separados un

intervalo dt, se dice que tenemos un desplazamiento diferencial

Desde el punto de vista matemático, la palabra diferencial implica el proceso de tomar

el límite  , con lo que técnicamente un desplazamiento diferencial tiene

longitud nula. Sin embargo, desde el punto de vista práctico, es más sencillo considerar

un desplazamiento diferencial como de longitud muy pequeña comparada con las

distancias típicas consideradas. Por ejemplo, si estamos hablando del desplazamiento

de un vehículo sobre distancias de kilómetros a lo largo de minutos, un intervalo de

milisegundos puede tratarse como un diferencial de tiempo, y un desplazamiento de

milímetros puede considerarse un desplazamiento diferencial.

1.4 Trayectoria

Una partícula, al evolucionar en el tiempo, salvo cuando se encuentre en reposo,

describe una curva en el espacio. Esta curva se conoce como la trayectoriade la

partícula. Las ecuaciones horarias sirven como ecuaciones paramétricas de la

trayectoria, siendo el tiempo el parámetro.

No obstante, a una misma trayectoria le pueden corresponder infinitas ecuaciones

horarias, dependiendo del ritmo con el que se recorre la curva. Por ejemplo, las

ecuaciones horarias

y

corresponden a la misma trayectoria, un arco de parábola horizontal.

En ocasiones, para indicar la trayectoria es preferible usar ecuaciones implícitas. En

estas, se dan dos funciones (una sola, si el movimiento es plano), tales que

Así, los dos ejemplos anteriores verifican

        

1.5 Parametrización de una trayectoria

La trayectoria que sigue una partícula es una propiedad puramente geométrica,

independiente de si se recorre con una cierta velocidad u otra diferente. Por ello, para

describir la trayectoria, considerada como curva en el espacio, no es preciso -ni

siquiera conveniente- que en esta descripción aparezca explícitamente el tiempo. Todo

lo que necesitamos es un método para identificar los puntos que componen la

trayectoria.

Esto se consigue mediante una parametrización, que no es más que la asignación de

etiquetas individuales para cada punto. Por conveniencia de cálculo, esta etiqueta

consiste usualmente en una variable  , que varía de forma continua a lo largo de la

curva.

Por ejemplo, para parametrizar una trayectoria circular, la variable más cómoda es el

ángulo que forma el vector de posición con un eje fijo

y no es necesario interpretar   en términos de un tiempo (aunque puede hacerse,

para visualizar la curva, al variar   de forma uniforme, recorremos la circunferencia

con rapidez constante).

1.6 Distancia medida sobre la curva

Para evitar el problema que supone identificar si las trayectorias de diferentes

movimientos son coincidentes o no (debido a las diferencias en el ritmo con el que se

recorre, o las variables empleadas para describir la trayectoria) se introduce

la parametrización natural única para cada trayectoria (salvo un signo).

La idea es sencilla. En lugar de etiquetar cada punto de la trayectoria con el instante

en que se pasa por él o con una variable arbitraria, se etiqueta usando la

distancia s (sobre la curva) desde un punto de referencia:

Esto es exactamente lo que se hace en las carreteras, cuyos puntos se identifican

mediante los postes kilométricos (y no por la hora en que un viajero concreto pase por

cada punto).

La parametrización natural es única para cada trayectoria, salvo el signo

correspondiente al sentido en que se recorre la curva (en el caso de la carretera, si

desde Sevilla a Granada, o desde Granada a Sevilla). También el punto desde el que se

empieza a contar queda libre.

A la variable s, que mide la distancia sobre la curva, se la denomina parámetro

natural o parámetro arco. Para medir la distancia a lo largo de la curva lo que se hace

es rectificar esta. Rectificar consiste en descomponer la curva en una infinitud de

trozos de longitud diferencial, cada uno de los cuales se puede considerar

aproximadamente rectilíneo, de forma que

      

        

Sumando las longitudes de muchos trocitos diferenciales (esto es, integrando),

obtenemos el valor del parámetro arco en un punto de la curva

2 Ley horaria

Cuando se tiene la trayectoria parametrizada en términos de la distancia medida sobre

la curva la descripción se completa indicando cómo cambia esta variable con el tiempo.

Esta dependencia temporal se conoce como ley horaria:

En el ejemplo de un coche que va de Sevilla a Granada, la ley horaria sería la hora a la

que pasó por cada punto del camino sin prestar atención si en ese punto en concreto la

carretera va hacia el sur o hacia el este.

Según esto, las ecuaciones horarias del movimiento pueden descomponerse en la

trayectoria por un lado y la ley horaria por otro:

Si en lugar del parámetro arco, se describe la trayectoria con otra variable, como el

ángulo del ejemplo anterior, también se denomina ley horaria a la dependencia de esta

variable con el tiempo. Así, en general:

3 Velocidad

3.1 Velocidad media

Se define la velocidad media como el cociente entre el desplazamiento en un intervalo

de tiempo y la duración de dicho intervalo

De la definición se desprende que:

La velocidad es un vector: posee dirección y sentido, no solo un módulo (por

tanto, decir que la velocidad es de 120 km/h es una información incompleta).

Posee unidades de distancia dividida por tiempo, que en el sistema internacional

serán m/s.

La velocidad media depende del desplazamiento neto entre dos puntos, por tanto

en un movimiento cíclico la velocidad media es nula, pues el punto final e inicial

coinciden, independientemente de la distancia que se haya recorrido.

La velocidad no es igual a espacio partido por tiempo, sino a

un desplazamiento dividido por un intervalo, esto es, lo que cuenta no es el valor

absoluto de la distancia o la hora que marca el reloj, sino cuánto ha cambiado la

posición y cuánto tiempo se ha empleado en realizar dicho desplazamiento.

3.2 Velocidad instantánea

De forma análoga al caso del movimiento rectilíneo definimos la velocidad instantánea

como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (se

reduce a un instante)

Matemáticamente, esto quiere decir que la velocidad instantánea es la derivada

respecto al tiempo del vector de posición. En mecánica, una derivada respecto al

tiempo suele representarse con un punto sobre la magnitud

De esta definición se deduce que:

La velocidad instantánea es un vector: posee módulo, dirección y sentido.

Las unidades de la velocidad instantánea son la de una distancia dividida por un

tiempo, en el SI m/s, aunque otras unidades como km/h son de uso frecuente.

La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto.

Si lo que conocemos es la velocidad, como función del tiempo, hallamos la posición por

integración

3.3 Propiedades de la velocidad como vector

3.3.1 Componentes cartesianas

En un sistema de referencia considerado como fijo, las componentes cartesianas de la

velocidad vienen dadas por las derivadas respecto al tiempo de las componentes de la

posición

o, separando por componentes

Matemáticamente ello equivale a tratar el movimiento tridimensional como una

combinación de tres movimientos unidimensionales. Por ello, podemos hallar cada

componente de la posición integrando la componente de la velocidad correspondiente

3.3.2 Velocidad y ley horaria

Si tenemos el movimiento descrito en términos de la trayectoria y la ley horaria

podemos hallar la velocidad en cada punto empleando la regla de la cadena

Hay que resaltar que la velocidad es siempre la derivada de la posición respecto al

tiempo, no respecto al primer parámetro que aparezca. Por ejemplo, imaginemos que

se nos dice que una partícula describe la trayectoria circular

entonces su velocidad en cada punto será

y su valor dependerá de cómo cambie el ángulo con el tiempo, a través del factor  . Si

no se incluye este factor, el cálculo será erróneo.

3.3.3 Módulo

Como todo vector, el vector velocidad instantánea posee un módulo, dirección y

sentido, pudiendo escribirse en la forma

siendo   un vector unitario en la dirección y sentido de la velocidad, del que

hablaremos más adelante.

En numerosas ocasiones no estamos interesados en la dirección y sentido de la

velocidad, ya que sabiendo que es tangente a la trayectoria, podemos determinarlos

geométricamente. En ese caso, la información necesaria se reduce al módulo de la

velocidad,  . A esta cantidad se la conoce como rapidez (o celeridad):

Lo que en el habla cotidiana se denomina velocidad (“iba a 180 km/h”) es realmente

una rapidez. Cuando la dirección y el sentido se dan por supuestos, la confusión entre

los dos términos no es especialmente grave, pero siempre hay que tener en mente que

la velocidad es realmente un vector, no un escalar.

3.3.3.1 Movimiento uniforme

La celeridad es la cantidad que nos informa del ritmo con el que se recorre la

trayectoria. En particular, cuando la trayectoria (cualquiera que ésta sea) se recorre

con rapidez constante, el movimiento se denominamovimiento uniforme.

Así, por ejemplo, un movimiento circular uniforme no es un movimiento a velocidad

constante, ya que aunque su módulo no varíe, su dirección y sentido cambian a lo

largo de la trayectoria.

3.3.3.2 Unidades

La rapidez posee unidades de una distancia dividida por un tiempo. La unidad SI es el

m/s, aunque otras unidades son de uso frecuente:

m/s km/h mph nudos

1 m/s = 1 3.6000 2.2369 1.9438

1 km/h = 0.2778 1 0.6214 0.5400

1 mph = 0.4470 1.6093 1 0.8690

1 nudo = 0.5144 1.8520 1.1508 1

Otra rapidez de uso frecuente en Física es la velocidad de la luz

de forma que la celeridad de una partícula elemental suele expresarse como, por

ejemplo, v = 0.01c, con lo que la velocidad de la luz funciona también como unidad de

medida de velocidades

3.3.3.3 Relación con la distancia

La rapidez equivale a la velocidad con la que se recorre la distancia medida a lo largo

de la curva

Esto quiere decir que, si conocemos la rapidez a lo largo de un movimiento, podemos

determinar la distancia recorrida hasta un instante dado

Ejemplo. Movimiento circular uniforme

Como ilustración supongamos el movimiento circular

La rapidez la calculamos como el módulo de la velocidad

       

La distancia recorrida sobre la curva es entonces, suponiendo que empezamos a medir

desde t = 0

        

Invirtiendo esta relación

podemos escribir la ecuación de la circunferencia en función de la distancia medida

sobre ella.

Este resultado debería ser evidente, ya que nos dice que cuando aumentamos el radio

de la circunferencia, debemos recorrer una mayor distancia para girar el mismo

ángulo.

3.3.3.4 Rapidez media

La rapidez (o celeridad) media de un movimiento en un intervalo es igual al cociente

entre la distancia recorrida en dicho intervalo y su duración

Esta es la cantidad que se usa en el habla coloquial al referirse a la “velocidad media”

(“hizo un promedio de 110 km/h”).

Hay que destacar que la rapidez media no es igual al módulo de la velocidad media.

Consideremos un piloto de Fórmula 1 que recorre los 300 km de una carrera en 1:30 h,

llegando finalmente a la meta. En ese caso su celeridad media es 200 km/h, pero su

velocidad media es nula (pues no hay desplazamiento; acaba donde empezó).

3.3.4 Dirección y sentido. Vector tangente

De la definición de velocidad se deduce que se trata de un vector siempre tangente a

la trayectoria, ya que un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria es un

vector en la dirección de esta. Esto nos permite definir un vector unitario tangente a la

trayectoria normalizando la velocidad

o, tal como dijimos antes,

Puede demostrarse que el vector unitario tangente es independiente de la rapidez,

esto es, que da igual que la trayectoria se recorra rápido o lento, el unitario tangente

resultante es el mismo. Depende exclusivamente de la geometría de la trayectoria.

La única ambigüedad posible es el sentido. Dado que una misma curva puede

recorrerse en un sentido o en el opuesto, existen dos posibles orientaciones para el

vector tangente. Para un movimiento dado el unitario tangente siempre apunta en el

sentido de avance de la partícula.

En un estado de reposo (instantáneo o permanente),   y el vector tangente no

está definido.

3.3.4.1 Recta tangente

El origen de la expresión “irse por la tangente” corresponde al caso de una partícula

que abandona su movimiento curvo para seguir un movimiento rectilíneo con la

velocidad que llevaba en el momento de abandonar la trayectoria original.

Si en un instante dado t1 la partícula ocupa la posición   y se mueve con velocidad   

la recta tangente a la trayectoria se obtiene prolongando hacia adelante y hacia atrás

en la dirección de la velocidad,

Esta es la recta que seguiría una partícula que se moviera uniformemente y que pasara

por el mismo punto y a la misma velocidad que la partícula real. Es el movimiento

rectilíneo y uniforme que más se aproxima al real de la partícula en las proximidades

del instante t1.

En muchas ocasiones, si no vamos a considerar instantes muy alejados de uno dado,

puede ser más f´cil trabajar con la recta tangente que con el movimiento auténtico, el

cual puede ser muy complejo.

3.3.4.2 Movimiento rectilíneo

En tres dimensiones, un movimiento es rectilíneo se expresa diciendo que la dirección

de la velocidad es constante (con posibles cambios de sentido). Esto equivale a que el

vector tangente es constante (con posibles inversiones, como en el caso del

movimiento armónico simple, que el sentido de movimiento va y viene, pero el

movimiento es rectilíneo)

3.3.5 Movimiento rectilíneo y uniforme

Combinando los dos enunciados anteriores se tiene que, en tres dimensiones, un

movimiento es rectilíneo y uniforme cuando el módulo de la velocidad es constante y

cuando también lo es su dirección y sentido. Esto es, cuando la velocidad, como vector,

es constante

4 Aceleración

4.1 Definición

Se define la aceleración media como lo que varía la velocidad, dividido por el tiempo

empleado en realizar el cambio

Del mismo modo que se define la velocidad instantánea como la derivada de la

posición respecto al tiempo, se define la aceleración instantánea como la derivada de

la velocidad respecto al tiempo

Esto quiere decir que la aceleración es la segunda derivada del vector de posición

respecto al tiempo, lo que se indica con dos puntos sobre la magnitud

4.2 Unidades

La aceleración tiene unidades de velocidad dividida por tiempo, que en el SI será

(m/s)/s = m/s².

Una magnitud con dimensiones de aceleración que es especialmente importante es la

aceleración de la gravedad en la superficie terrestre, cuyo valor estándar es, por

definición,

de manera que muchas aceleraciones se expresan como múltiplos de esta unidad,

aunque dichas aceleraciones no estén relacionadas con la gravedad.

4.3 Componentes cartesianas

Considerando que la base   es fija, resulta que las componentes cartesianas de

la aceleración son las derivadas temporales de las componentes de la velocidad (y

segundas derivadas de las de la posición)

o, separando por componentes

Cuando se separa un movimiento en sus componentes, puede verse como la

superposición de tres movimientos rectilíneos. Así, por ejemplo, el movimiento

se descompone como

siendo las componentes cartesianas de su aceleración

y por tanto, puede verse como la superposición de dos movimientos armónicos

simples. Sin embargo, el resultado no es un un m.a.s. (que es un movimiento

rectilíneo), sino un movimiento circular, según hemos dicho.

4.4 Cálculo de la velocidad y la posición

Si conocemos la aceleración en todo instante

y las condiciones iniciales

podemos determinar la velocidad en cada instante integrando una vez

y la posición integrando una segunda vez

4.4.1 Caso de una aceleración constante

En el caso de que la aceleración sea constante en el tiempo, la integración de la

ecuación anterior es inmediata

4.4.2 Aproximación parabólica

Cuando conocemos la posición  , la velocidad   y la aceleración   del movimiento,

podemos hallar cuál sería el movimiento de aceleración constante que más se

aproxima l movimiento real en ese instante

Esta es una aproximación muy buena para el movimiento real si no nos alejamos

mucho del instante de tangencia. Representa una mejora sobre la aproximación lineal

(la recta tangente) vista anteriormente.

De manera análoga pueden hallarse aproximaciones de tercer grado, de cuarto… Cada

una será más precisa que la anterior, pero requerirá más términos y por tanto más

cálculos.

4.5 Componentes intrínsecas

A diferencia de la velocidad, la aceleración puede formar un ángulo cualquiera con la

trayectoria.

Podemos escribir entonces el vector aceleración como suma de dos componentes, una

en la dirección de movimiento, tangente a la velocidad, y un resto perpendicular a ella.

Estas dos componentes se denominanaceleración tangencial y aceleración normal.

Estas son las denominadas componentes intrínsecas de la aceleración.

                 

Hay que destacar que la aceleración tangencial y la normal son vectores, no

cantidades escalares. No obstante, también se denominan usualmente de la misma

manera a las componentes escalares, dado por supuesto la dirección y el sentido.

4.5.1 Expresiones algebraicas

A partir del doble producto vectorial, pueden hallarse expresiones para la componente

tangencial y la componente normal de la aceleración

Aceleración tangencial

o, usando el vector unitario tangente a la trayectoria

Si solo deseamos la componente escalar en la dirección del vector tangente

Aceleración normal

Puesto que la suma de la aceleración tangencial y la normal nos da el vector

aceleración, podemos despejar

Podemos calcularla directamente empleando el doble producto vectorial

Si solo deseamos el valor de la componente escalar

4.5.2 Interpretación física

Las componentes intrínsecas de la aceleración poseen interpretación física, además de

la puramente algebraica.

Sabemos que la velocidad, como vector, posee módulo (la rapidez) y dirección y

sentido (expresados por el vector unitario tangente)

En el movimiento rectilíneo la aceleración sólo indica una cosa: el cambio en la rapidez,

así que no hay ambigüedad en decir que un objeto se acelera, o se desacelera o frena.

En dos y tres dimensiones, en cambio decir que un cuerpo se acelera, puede referirse a

dos conceptos, no incompatibles:

Que cambia la rapidez con que se mueve el cuerpo

Que cambia la dirección de movimiento

Ambos fenómenos implican un cambio en la velocidad y por tanto una aceleración.

Para separar los dos conceptos derivamos respecto la tiempo la expresión de la

velocidad en función de la celeridad y el vector tangente

El primer término apunta en la dirección tangencial. Podemos demostrar que el

segundo es perpendicular a ella, por el ser el vector tangente de módulo constante

       

Puesto que el producto escalar es nulo, ambos vectores son perpendiculares. En

consecuencia

        

        

Por tanto:

Aceleración tangencial

Mide la variación en la rapidez, esto es, si la partícula pasa a moverse más

rápido o más lento a lo largo de la trayectoria. La condición para que un

movimiento sea uniforme es que la aceleración tangencial sea cero.

Un movimiento en el que la componente tangencial de la aceleración

permanece constante en el tiempo (esto es, su rapidez varía uniformemente) se

denomina uniformemente acelerado.

Aceleración normal

Mide el cambio en la dirección del movimiento (el giro del vector tangente). La

condición para que un movimiento sea rectilíneo es que la aceleración normal

sea nula en todo instante

4.5.3 Vector normal

A partir de la aceleración normal podemos definir un vector normal a la trayectoria

Como el vector unitario tangente, el unitario normal es una propiedad puramente

geométrica y no depende de la rapidez con que se recorra la trayectoria.

Este vector apunta siempre hacia el “interior” de la curva, esto es, nos indica hacia

donde cambia la dirección del movimiento.

Hay que remarcar que el vector normal, como el vector tangente, depende de la

posición.

4.5.4 Radio de curvatura

La aceleración normal puede escribirse en la forma

donde R(t) es el llamado radio de curvatura de la trayectoria en ese instante. Este radio

de curvatura es el radio de la llamada circunferencia osculatriz que es la que

describiría una partícula que se moviera circularmente y tal que en ese instante

ocupara la misma posición, tuviera la misma velocidad y la misma aceleración que la

partícula real. El centro de esta circunferencia (centro de curvatura) está en cada

instante en

La curva formada por los sucesivos centros de curvatura se denomina evoluta de la

trayectoria.

Un movimiento circular es entonces aquel que tiene radio y centro de curvatura

constantes.

A partir de la expresión vectorial de la aceleración normal podemos obtener el radio de

curvatura como

A pesar de que esta expresión se calcula empleando la velocidad y la aceleración, que

son específicas para cada movimiento concreto, el radio de curvatura y el centro de

curvatura son propiedades puramente geométricas, independientes de la rapidez.

La inversa del radio de curvatura es la curvatura de la trayectoria

La curvatura, como el radio de curvatura, mide cuánto se dobla la trayectoria. Una

curva muy cerrada posee un radio de curvatura pequeño y una curvatura grande. Una

curva suave posee radio de curvatura grande y curvatura reducida. En particular una

trayectoria rectilínea (que tiene aceleración normal nula) posee una curvatura igual a

cero (y un radio de curvatura infinito).

        

5 Cálculo de los diferentes elementos en un instante

De lo anterior se deduce que, conocida la posición como función del tiempo,  ,

puede calcularse el resto de magnitudes.

No obstante, a menudo no se dispone de una función sino, por medidas experimentales

o por otras razones, de los valores de la posición  , la velocidad   y la aceleración  ,

en un instante dado. En este caso no podemos calcular ninguna derivada (que requiere

conocer la dependencia temporal). ¿Quiere esto decir que no podemos hallar la

aceleración tangencial, por ejemplo? No. De hecho, empleando los resultados

anteriores, podemos calcular los valores de casi todas las magnitudes para ese

instante.

Datos RapidezVector

tangente

Aceleración tangencial

(vector)

Aceleración

tangencial

(escalar)

Aceleración normal

(vector)

Aceleración

normal

(escalar)

Vector

normalRadio de curvatura

Centro de

curvatura

Como vemos, ninguno de estos cálculos requiere hallar ninguna derivada.

6 Movimiento plano

Dentro de los movimientos generales, un subconjunto muy importante es el de los

movimientos planos, definidos por la condición de que la velocidad y la aceleración

estén siempre contenidas en el mismo plano.

6.1 Caracterización del movimiento plano

En un movimiento en un plano, éste no tiene por qué ser uno de los planos

coordenados, por lo que el criterio de que en el vector de posición aparezcan solo dos

coordenadas (x e y, por ejemplo) no es suficiente para establecer que el movimiento

sea plano.

Para caracteriza cuándo un movimiento es plano tenemos dos técnicas equivalentes:

El vector velocidad y el vector aceleración definen un plano. Se trata de que este

plano siempre sea el mismo. Para ello el vector unitario perpendicular al plano

debe ser independiente del tiempo. A partir de la velocidad y la aceleración se

halla  . Si es evidente que es constante, o su derivada respecto al tiempo es

nula en todo momento, entonces el movimiento es plano.

Equivalentemente, en lugar de la velocidad y la aceleración pueden emplearse

los vectores tangente y normal.

La otra forma consiste en observar que, puesto que la velocidad y la aceleración

deben estar siempre en el mismo plano, la derivada respecto al tiempo de la

aceleración (que nos da cómo varía ésta) también debe encontrarse en el mismo

plano. Por tanto, debe ser ortogonal al vector   definido anteriormente. Esto nos

lleva a la condición vectorial

En términos de las componentes cartesianas, esta condición se puede escribir

Por ejemplo, consideremos el movimiento en tres dimensiones

¿Se trata de un movimiento plano? No lo parece porque las tres componentes son no

nulas y además varían de diferente manera. Hallamos la velocidad, la aceleración y la

derivada de ésta respecto al tiempo

Construimos el determinante con los tres vectores

Puesto que la segunda y la tercera fila son proporcionales, el determinante es nulo. Por

tanto, el movimiento es plano, aunque no lo pareciera en principio.

6.2 Coordenadas cartesianas

En el caso del movimiento plano, puede elegirse un sistema de referencia en el que el

plano de movimiento sea el OXY. En este caso, la posición, la velocidad y la aceleración

pueden escribirse como vectores de solo dos componentes

6.3 Coordenadas polares

En el caso de movimiento en un plano, es útil considerar las coordenadas polares para

describir el movimiento de la partícula,  . Estas coordenadas son la distancia al

origen del sistema de referencia (ρ) y el ángulo que forma el vector de posición con el

eje OX  .

Se relacionan con las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

y sus inversas

Las coordenadas polares llevan asociadas una base vectorial  , que apuntan

respectivamente en la dirección radial (en la que varía ρ) y acimutal (en la que varía 

). Esta base se relaciona con la canónica por el cambio de base

    ó    

y su inverso

    ó    

        

Los vectores unitarios en polares dependen de la posición. Aunque tengan el mismo

nombre, el vector   en un punto es diferente del vector   en otro. Por ello, hay que

tener un cuidado infinito a la hora de operar con vectores en coordenadas polares.

En particular, cuando consideramos el movimiento de una partícula, su posición, y por

tanto los vectores de la base en polares, son funciones del tiempo. Por ello, cuando

aparezca una derivada o una integral, habrá que tenerlos en cuenta. Sus derivadas

respecto del tiempo valen

6.3.1 Posición en polares

Puesto que el vector   es el unitario en la dirección del vector de posición en el plano

tenemos que la expresión de este en polares es

6.3.2 Velocidad en polares

la velocidad la calculamos derivando esta expresión respecto al tiempo, donde

debemos recordar que también hay que derivar el vector unitario. Aplicamos la

derivada de un producto

Esta expresión nos dice que la velocidad se compone de dos partes, una radial, debida

a que la partícula se acerca o aleja del origen de coordenadas, y una acimutal,

asociada al giro en torno a éste.

Por ejemplo, si consideramos una partícula describiendo un movimiento circular

alrededor del origen,

y resulta la velocidad

En un movimiento circular alrededor del origen la velocidad es puramente acimutal, ya

que la partícula solo gira en torno al origen.

Sin embargo, el que la velocidad acimutal sea distinta de cero (que visto desde el

origen se vea girar), no implica que el movimiento sea circular, ni siquiera curvo.

Consideremos el caso de una partícula que sigue un movimiento rectilíneo y uniforme a

lo largo de una recta paralela al origen de forma que

La expresión de este movimiento en polares es

Las derivadas respecto al tiempo de estas dos magnitudes valen

y esto nos da la velocidad instantánea

vemos que aunque el movimiento sea rectilíneo y uniforme, resulta una velocidad

radial y una acimutal no nula. Para interpretarlo nos imaginamos a un observador

situado en el origen de coordenadas, que apunte en todo momento a la partícula. Este

observador ve a la partícula acercarse y alejarse (pasando por un mínimo justo cuando

está en la perpendicular a la recta), y también ve cambiar la dirección de observación,

lo que equivale a un giro.

6.3.3 Aceleración en polares

Operando igualmente obtenemos la expresión de la aceleración en polares, solo que

esta vez debemos derivar más términos y también el vector 

En el caso del movimiento circular tenemos que, para la coordenada radial

y para la acimutal

lo que nos da la aceleración lineal

En general tendrá tanto componente radial (que en este caso coincide con la

aceleración normal) como componente acimutal 8que en este caso coincide con la

tangencial).

En el caso del movimiento rectilíneo y uniforme, tras una serie de cálculos bastante

laboriosos se llega a que

y por tanto

como corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme.

6.3.4 Resumen de expresiones

Los vectores de posición, velocidad y aceleración en este sistema quedan, por tanto,

En coordenadas polares, la rapidez es igual a

Como ejemplo de movimiento que es más fácil de expresar en coordenadas polares

que en cartesianas, consideremos una partícula que describe una espiral de

Arquímedes, en la cual la distancia al centro aumenta linealmente con el tiempo.

Empleando coordenadas cartesianas, la ecuación horaria es

lo cual, a la hora de derivar para hallar la velocidad y la aceleración puede ser bastante

engorroso. En coordenadas polares se expresa

y la velocidad y aceleración son inmediatas

6.4 Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas polares pueden extenderse a tres dimensiones añadiendo una tercera

coordenada cartesiana, que sería la altura z.

Estas tres coordenadas se denomina respectivamente radial, acimutal y vertical

Movimiento radial Movimiento acimutal Movimiento vertical

La base vectorial se amplía simplemente añadiendo el vector 

Esta base es ortonormal y dextrógira.

En coordenadas cilíndricas la posición, velocidad y aceleración quedan

Un movimiento sencillo de representar en coordenadas cilíndricas sería el de

una hélice (no confundir con una espiral), recorrida con rapidez constante

7 Ejemplos de movimientos

7.1 Rectilíneo

Un movimiento rectilíneo, como su nombre indica, es aquel cuya trayectoria es una

recta. Cinemáticamente, esto se caracteriza porque su aceleración normal, responsable

del cambio de dirección en la velocidad, es siempre nula. La velocidad y la aceleración

son siempre paralelas en un movimiento rectilíneo

En el caso de un movimiento rectilíneo, el paramétro arco no es más que la distancia

medida sobre la recta en que se desplaza la partícula, de forma que la posición,

velocidad y aceleración en cualquier instante se pueden escribir como

                 

Puesto que la elección de ejes de coordenadas es arbitraria, si estamos estudiando el

movimiento rectilíneo de una sola partícula, podemos tomar el eje X como la recta

soporte del movimiento y reducir la descripción a una escalar

                 

7.1.1 Rectilíneo uniformemente acelerado

Un caso particular de movimiento rectilíneo es aquel en que la aceleración es una

constante

En este movimiento la celeridad aumenta linealmente con el tiempo

               

y la posición varía de forma cuadrática con el tiempo

             

  

7.1.2 Rectilíneo y uniforme

Otro caso particular de movimiento es el que tiene aceleración nula. En este caso

       

En el caso de una velocidad constante, el movimiento resultante es siempre rectilíneo

y uniforme.

7.2 Parabólico

El movimiento parabólico, característico del tiro de un proyectil, se caracteriza por

tener una aceleración constante debida a la gravedad

(tomando como eje Z el perpendicular al suelo y dirigido hacia arriba). Integrando esta

ecuación una vez obtenemos la velocidad instantánea

y una nueva integración nos da la posición instantánea:

Este movimiento es plano, ya que su aceleración es constante y por tanto

Si tomamos el eje X como el que pertenece al plano de movimiento podemos escribir la

posición instantánea como

Esta ecuación puede leerse como que el movimiento parabólico es una superposición

de un movimiento uniforme en la dirección horizontal y uno uniformemente acelerado

en la dirección vertical.

Eliminando el tiempo entre las dos coordenadas obtenemos una ecuación para la

trayectoria

        

Al tratarse de un polinomio de segundo grado, es claro que la trayectoria es una

parábola dirigida hacia abajo.

Aunque la aceleración sea constante, tanto la aceleración tangencial como la normal

son funciones del tiempo. La celeridad de la partícula disminuye al ascender y vuelve a

aumentar al descender, alcanzando su mínimo en el vértice de la parábola. En este

punto, la aceleración tangencial es nula y toda la aceleración es puramente normal.

7.3 Circular

Un movimiento circular es aquel cuya trayectoria es una circunferencia. Esto implica

que

El movimiento es plano: Existe un vector constante   tal que

El radio de curvatura permanece constante:

Estas dos condiciones pueden reducirse a una sola:

El centro de curvatura permanece constante:

Por tanto, dadas la ecuación horaria del movimiento o, más en general, la trayectoria

en función de cualquier parámetro, si calculamos el centro de curvatura y resulta un

vector constante el movimiento es circular, aunque en la expresión no sea evidente.

7.3.1 Velocidad angular

En cualquier movimiento, se verifica en todo instante que

en el caso particular de un movimiento circular R y   son constantes, por lo que si

elevamos al cuadrado esta expresión

y derivamos respecto al tiempo

esto es, la velocidad es siempre perpendicular al vector de posición relativa al centro

de la circunferencia. Esta ortogonalidad permite escribir la velocidad como

donde   es la velocidad angular. Es un vector perpendicular al plano de la

trayectoria circular y con un sentido tal que se verifica la regla de la mano derecha

respecto al giro (si los dedos de la mano derecha apuntan en la dirección del giro, el

pulgar marca la dirección y sentido de la velocidad angular).

La velocidad angular posee dimensiones de 1/tiempo, con lo que en el sistema

internacional se mide en s-1 o rad/s.

7.3.2 Aceleración angular

Derivando en la expresión anterior para la velocidad

El vector

es la aceleración angular del movimiento. En el sistema internacional, sus unidades son

rad/s².

7.3.3 Movimiento circular uniforme

El movimiento circular uniforme es el que ocurre a celeridad constante

En este movimiento la velocidad no es constante, puesto que su dirección está

cambiado. La aceleración es puramente normal

lo que implica que la aceleración va en la dirección de la posición relativa al centro de

la circunferencia, y dirigida hacia adentro y puesto que estos dos vectores son de

módulo constante se cumple

En un movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante

siendo   el vector normal al plano de la circunferencia. La aceleración angular es nula

La aceleración puede escribirse en términos de la velocidad angular como

Un movimiento circular uniforme es periódico, siendo el periodo de revolución el

tiempo necesario para dar una vuelta completa

Al número de vueltas que la partícula da por segundo se le denomina la frecuencia

natural

7.3.4 Movimiento en el plano XY

Puesto que los sistemas de referencia son arbitrarios, una vez que sabemos que un

movimiento es circular, podemos tomar el origen de coordenadas en el centro de la

circunferencia y los ejes de forma que la trayectoria esté contenida en el plano XY y

con el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia. En coordenadas

polares, una circunferencia centrada en el origen se escribe simplemente

La ecuación vectorial de la trayectoria se reduce a

siendo la ley horaria

La velocidad de un movimiento circular es puramente acimutal,

siendo la rapidez y el vector tangente

        

El signo variable depende del sentido de recorrido sobre la circunferencia. Por ejemplo,

el movimiento de la lenteja de un péndulo es circular (aunque no complete una

circunferencia) pero en su vaivén, el vector tangente unas veces coincide con el

unitario en la dirección acimutal y otras es el opuesto.

La distancia medida sobre la curva

        

La velocidad angular va en la dirección normal al plano y es tal que al multiplicarla

vectorialmente por   resulta la velocidad. Esto da

La aceleración de la partícula es

con componentes intrínsecas

        

con el vector normal

Por último, la aceleración angular viene dada por

Con estos ejes, un movimiento circular uniforme corresponde a

con ω constante.

7.4 Oscilador armónico

El movimiento armónico simple se define como el que es:

Rectilíneo

Cumple la ecuación de movimiento

Por ejemplo, el movimiento, descrito en un problema

es armónico simple, sin embargo el movimiento

no lo es, por no ser rectilíneo (es circular uniforme).

No obstante, lo anterior, el comportamiento de un oscilador armónico puede

generalizarse a tres dimensiones como aquel movimiento que verifica la ecuación

Si medimos la posición respecto al punto de equilibrio, sustituyendo   por   

(entendiendo que tomamos como origen el punto de equilibrio), esta ecuación se

reduce a

La solución general de esta ecuación diferencial es de la forma

siendo   y   la posición y la velocidad iniciales.

Como en el caso unidimensional, este movimiento es periódico, con periodo

Sin embargo, en general no se trata de un movimiento rectilíneo, sino elíptico

alrededor del punto de equilibrio. Solo será rectilíneo si la posición y la velocidad inicial

son vectores paralelos o alguno de ellos es nulo.

    

Si separamos en sus componentes cartesianas, el movimiento tridimensional equivale

a la superposición de tres movimientos armónicos unidimensionales