1. Topicos de Matematicas Aplicados a La Microeconomia (1)

Contenido

nuclear

Microeconomía Tópicos de matemáticas

aplicados a la microeconomía

División de Ciencias Sociales y Administrativas

Microeconomía

1. Tópicos de matemáticas aplicados a la microeconomía

Universidad Abierta y a Distancia de México | División de Ciencias Sociales y Administrativas

Índice

Presentación de la Unidad ................................................................................................. 2

Competencia específica ..................................................................................................... 2

Propósitos .......................................................................................................................... 2

Problemática ...................................................................................................................... 3

Las matemáticas y los negocios ..................................................................................... 4

Aritmética para los negocios .......................................................................................... 5

Los números reales ........................................................................................................ 6

Operación suma. Ejercicios ............................................................................................ 6

Operación resta. Ejercicios ............................................................................................. 8

Operación multiplicación. Ejercicios ............................................................................. 10

Operación división. Ejercicios ....................................................................................... 12

Álgebra para los negocios ............................................................................................ 14

Ecuaciones lineales para los negocios ......................................................................... 18

Funciones lineales aplicadas a lo negocios .................................................................. 26

Gráficas lineales aplicadas a los negocios ................................................................... 31

Cierre de Unidad .............................................................................................................. 39

Recursos de apoyo para el aprendizaje ........................................................................... 39

Fuentes de consulta ........................................................................................................ 41

Recuerda:

Consultar la herramienta Foro de la unidad, en dicho espacio tu docente publicará la planeación de cada unidad.

Revisar el documento Actividades.

(Se encuentra en Material de apoyo)

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Presentación de la Unidad

En la vida diaria y en particular en el mundo de los negocios, el estudio de las

matemáticas cobra especial relevancia ya que éstas te permitirán tomar decisiones

relevantes aun antes de que abras un negocio, durante el transcurso del mismo y sobre

todo te proporcionarán las herramientas para hacerlo crecer. Por lo anterior, en esta

unidad recordarás los elementos fundamentales de aritmética, álgebra, ecuaciones y

funciones lineales, así como analizar las operaciones que se pueden realizar con ellas a

fin de aplicarlas a un entorno de negocios, lo que es indispensable para comprender las

siguientes unidades temáticas que requieren de las herramientas matemáticas al igual

que de un análisis gráfico.

Asimismo, ampliarás tu habilidad para graficar funciones lineales, lo que te permitirá

entender, analizar y explicar un problema de índole económico-administrativo.

Competencia específica

Emplea herramientas básicas de matemáticas para el planteamiento,

desarrollo y solución de problemas relacionados con el ámbito de los

negocio, a partir de la elaboración de ejercicios prácticos.

Propósitos

Analizar la utilidad de las matemáticas como una

herramienta fundamental para hacerle frente al mundo de

los negocios.

Desarrollar ejercicios de aritmética y algebra.

Desarrollar ejercicios de ecuaciones lineales de primer

grado.

Desarrollar ejercicios de funciones lineales.

Elaborar gráficas de funciones lineales.

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Problemática

Se reconoce el poco interés por el estudio de las matemáticas, sin embargo, esta área del conocimiento forma parte de la vida diaria, así como también tiene un papel preponderante para el análisis sobre el comportamiento y posterior toma de decisiones de una empresa.

El estudio de las matemáticas se lleva a cabo de manera descontextualizada, por lo que el estudiante pierde el interés por aprenderlas, por ello es importante que su aprendizaje sea significativo.

En virtud de que las matemáticas se perciben como abstractas es poca la probabilidad de que te apropies de esta herramienta, por lo que en tu ambiente profesional se te dificulta plantear y resolver las situaciones que se te presenten.

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Las matemáticas y los negocios

Las matemáticas son una herramienta para la solución

de problemas reales que surjan en cualquier campo

de la actividad humana. Por otra parte, los diversos

sectores de la actividad productiva, los negocios, la

industria y el gobierno, requieren hacer uso del

razonamiento matemático, del análisis y solución de

problemas, es decir, proporcionan una metodología

para abordar dichos problemas.

En tu vida diaria constantemente estás haciendo uso de las matemáticas, desde

considerar el tiempo para llegar al trabajo, contabilizar las horas efectivas que trabajas y

las que debes considerar para comer, si vas a una tienda de autoservicio tienes que saber

el dinero del que dispones para gastar en tus alimentos, en los artículos de limpieza tanto

personal como de la casa, si te preparas una taza de café cuentas el número de

cucharadas de azúcar que deseas, por lo que los ejemplos son muchos y muy diversos

acerca de las matemáticas en la cotidianidad.

Para las empresas es indispensable apropiarse de las matemáticas como un elemento de

análisis para la toma de decisiones, como por ejemplo, cuántos clientes tiene una

cafetería familiar, en qué horarios tienen mayor clientela y si ésta se compone

mayoritariamente por mujeres y de qué edad. Recopilar esta información te lleva a

reconocer si en el negocio se requiere hacer promociones o bien incorporar otros

productos o servicios conforme a las necesidades de los clientes, siempre que estas

decisiones te lleven a obtener más ingresos que costos, para lo cual es importante hacer

números, es decir, incorporar las herramientas matemáticas para conocer el

funcionamiento y necesidades de la empresa.

En el ambiente empresarial se ha detectado que hay algunas empresas que no hacen de

las matemáticas una forma adecuada de llevar a cabo un negocio exitoso, sea por

desconocimiento o por que no ven la necesidad de hacerlo, lo cual puede llevar al fracaso

del mismo, así, desde antes de iniciar un negocio, es importante contar con las

herramientas matemáticas para hacer de éstas una fortaleza significativa para el

administrador de empresas.

En virtud de lo anterior es indispensable entender las matemáticas básicas de negocios

para reconocer con qué dinero iniciar un negocio o si es conveniente comprar una

franquicia, cuantificar la demanda del bien o servicio que se va a colocar en el mercado, el

precio más conveniente del mismo, los gastos en que estás incurriendo y por supuesto si

se están obteniendo ganancias o pérdidas. Asimismo, como administrador de empresas

te puedes preguntar qué hacer con estas ganancias, si son suficientes para ampliar el

negocio o solo pueden servir para usarlas en algún instrumento de inversión y, por otra

Microeconomía



parte, en el caso de pérdidas, las matemáticas te ayudan a analizar a partir de qué mes

se está incurriendo en esta situación, si es conveniente solicitar un préstamo o llevar a

cabo una solución extrema como puede ser cerrar un negocio.

Aritmética para los negocios

Uno de los objetivos fundamentales de aprender matemáticas es que las personas logran

alcanzar un nivel de análisis y razonamiento que les permite actuar con lógica en sus

decisiones tanto personales como en los negocios.

Para alcanzar dicho objetivo es significativo ir comprendiendo los conceptos teóricos que

te permitirán desarrollar las habilidades necesarias para hacer de las matemáticas una

herramienta indispensable para llevar una empresa hacia el éxito. De esta manera, hay

que comenzar con un repaso sobre aspectos básicos de la aritmética.

La aritmética es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los números y

las operaciones que pueden realizarse con ellas. Dichas operaciones son las que se

hacen día con día como son: cuánto dinero voy a pagar por dos kilos de jitomate así como

por 3 kilos de uva, cuántos días faltan para cobrar la quincena si vamos en el día 3, al

llegar el pago de mi sueldo ¿cuánto dinero debo destinar para pagar la renta, el teléfono,

la colegiatura para dos hijos, la gasolina?

En los negocios, la aritmética es importante para saber la superficie del local donde se

ubicará la empresa, el número necesario de maquinaria y equipo, cuánto cuestan las

materias primas, todo ello para determinar el total de ingresos y costos por día, mes y

año, si hay utilidades, ¿cuánto dinero le corresponde a cada empleado?, si al final del año

hubo ganancias, pérdidas o ninguna de las dos. Como podrás observar, las respuestas a

estos cuestionamientos aluden a las operaciones básicas de sumar, restar, multiplicar y

dividir.

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Los números reales

El hombre siempre ha tenido la necesidad de contar, para ello se apoyó de los números 1,

2, 3... conocidos como naturales, los cuales se construyeron bajo el principio de adición,

sin embargo, este principio no aplicaba cuando había situaciones que requerían

descontar, por lo que crearon los números negativos…-3, -2, -1, y el elemento cero (0),

estos dos últimos junto con los naturales son considerados números enteros:

…-3,-2,-1, 0, 1, 2,3…

Además, como se necesita dividir un entero, surgen los números racionales, es decir,

aquellos números de la forma 𝑝

𝑞, donde p y q son números enteros pero donde q debe ser

distinto de cero:

−2

6,

1

2,

3

4,

2,

3

Operación suma. Ejercicios

En esta operación los elementos (números) reciben el nombre de sumandos y su

resultado se le conoce como adición o suma. Esta operación aplica siempre que los

signos de los elementos sean iguales:

1

El resultado de la siguiente operación es:

7 + 4 = 11

Observa que el signo del número 7 y 4 es (+) por lo

tanto su resultado tiene el mismo signo (+).

2

El resultado de la siguiente operación es:

-10 -6 = -16

Observa que el signo del número 10 y 6 es (-) por lo

tanto su resultado tiene el mismo signo (-).

Ejemplos

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Esteban es un trabajador por honorarios, en este mes recibió un ingreso de $4,000, al

siguiente mes le otorgaron $3,500, ¿cuánto dinero recibió en estos dos meses?:

Datos:

Mes 1 = $4,000 ingreso

Mes 2= $3,500 ingreso

Operación: Adición, ambos números son enteros positivos.

Puedes realizar la operación de dos formas:

4,000 + 3,500 = 7,500

4,000

+3,500

7,500

Solución: Esteban recibió un ingreso de $7,500.00 por los dos meses de trabajo.

Una empresa reporta durante los últimos tres meses las siguientes pérdidas: $22,000,

$35,700 y $28,300. ¿Cuánto es el monto total de las pérdidas?

Operación: Adición, ambos números son enteros negativos.

Puedes realizar la operación de dos formas:

-22,000 -35,700 -28,300 = -86,000

-22,000

-35,700

-28,300

-86,000

1

2

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Solución: Esta empresa tiene un monto total de pérdidas por $86,000.

Operación resta. Ejercicios

La resta es la operación contraria a la adición o suma, sus elementos son: a -b c Cuando se lleva a cabo una operación de resta es importante que el resultado o diferencia

lleve el signo del número con el mayor valor absoluto (este valor implica que solo

consideres el número sin importar que sea positivo o negativo, ejemplo el valor absoluto

de -100 es 100 y el valor absoluto de 2 es 2).

1

Considera lo siguiente: al número 10 resta 4. Efectúa la operación y el resultado lleva el signo con el mayor valor absoluto, en este caso es (+) Operación: 10 – 4 = 6

2

Considera lo siguiente: ¿cuál es el resultado de restar -450 + 100? Efectúa la operación resta y al resultado se le antepone el signo negativo dado que 450 es mayor que 100 en valor absoluto. Operación: 450 -100= - 350 O bien puedes dejar el signo de los números, realizar la operación suma y al resultado anteponle el signo negativo, ya que en términos absolutos 450 es mayor que 100, por lo que el signo del resultado es (-) Operación

-450 +100 -350

Minuendo

Sustraendo

Diferencia

Ejemplos

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3

Realiza las siguientes operaciones 2-10-6+4-15+5 Solución: se recomienda agrupar los números con el mismo signo, sumarlos y al resultado habrá que colocar el signo del mayor número en términos de valor absoluto.

+2 -10 +4 -6 +11 +5 -15 -31 11 -31 -20

Luis solicitó un préstamo por $500,000 para iniciar un pequeño negocio, acordó con el banco pagar el primer mes $50,000, el segundo mes $135,000 y el tercer mes $250,000, ¿cuánto dinero deberá pagar al cuarto mes para liquidar esta deuda?

Datos

Dinero del préstamo: $500,000

Primer pago: $50,000

Segundo pago: $135,000

Tercer pago: $250,000

--50,000 -135,000 +500,000 -250,000 -435,000 -435,000 65,000

Solución: el cuarto pago deberá hacerse por un monto de $65,000 y con ello se liquida el préstamo.

En un restaurante de las 14:00 a las 14:30 hay 50 comensales y de las 14:31 a las 15:00 salieron 18 y entraron 20. ¿Cuántas personas se están atendiendo en el horario de las 14:31 a 15:00? Datos Horario 14:00-14:30 hay 50 personas Horario 14:31-15:00 hay 20 + otras que quedaron del horario anterior

1

2

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Solución

14:00-14:30 14:31-15:00 50 20 -18 +32 32 52

Resultado: en el horario de las 14:31 a las 15:00 se están atendiendo a 52 comensales.

Operación multiplicación. Ejercicios

La multiplicación implica el número de veces que sumas la misma cantidad. Esta

operación se representa con los símbolos: “x”, “( )”, “*” o “.”

Los elementos de la multiplicación reciben el nombre de factores y el resultado se llama

producto o multiplicación.

Ejemplo: 2 x 4 2 x 4 = 2+2+2+2 = 8 En virtud que la operación de la multiplicación también conlleva realizarla con números

negativos o con la combinación de números positivos y números negativos es necesario

tomar en cuenta las leyes de los signos.

Leyes de los signos (+)(+)= + (+)(-)= - (-)(+)= - (-)(-)= +

Donde 2 y 4 son los factores

Donde 8 es el producto y es el resultado de sumar 4 veces 2

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Toma en cuenta las siguientes multiplicaciones: 1. (2)(20)= 40

3. (14)(-6)= -84

2. (-30)(4)= -120

4. (-10)(-25)= 250

En una cafetería se van a colocar 20 mesas con 4 sillas cada una. ¿Cuántas sillas

habrá en total?

Datos:

20 mesas

4 sillas

Operación:

20 * 4= 80

En esta cafetería habrá 80 sillas y 20 mesas.

Una empresa de refrescos de cola ocupa camiones para distribuir su producto con una

capacidad de carga de 350 cajas, cada una de éstas contiene 15 litros y el precio por

litro es de $8.0. Si una tienda de conveniencia le hace un pedido de 5 cargas, ¿cuánto

dinero recibirá esta empresa por esta venta?

Datos:

350 cajas por carga

Ejemplos

1

2

Microeconomía



15 litros cada caja

$8 vale cada litro

5 cargas

Operación: Alternativamente:

350 * 15 = 5,250 350 x 5 = 1,750

(5,250)(8)= 42,000 (1,750)(15)= 26,250

42,000 x 5 = 210,000 26,250 * 8 = 210,000

Esta empresa va a recibir $210,000 por este pedido de 5 cargas de refrescos.

Operación división. Ejercicios

Considera que a y b son números enteros y la división de a entre b puede efectuarse

siempre que b sea un número diferente de cero. Esta operación puede presentarse en

diversas formas:

2÷1, 10

3, 4

2⁄ ,

Los elementos de la división son:

5

Divisor 3

0

15

3

15 Dividendo

Cociente

Resultado

Microeconomía



Revisa las siguientes operaciones con las

divisiones

1. 45 ÷ 3 = 15

10

2. 25 250

00

Una familia de 4 integrantes requiere de $600,000 para comenzar un negocio, cada

persona quiere aportar partes iguales, ¿cuánto dinero debe proporcionar cada

integrante?

Datos: Operación

4 personas 600,000

4= 150,000

$600,000.

Cada persona debe aportar $150,000 para iniciar el negocio familiar.

Se obtienen utilidades por $525,000 al año, su dueño decidió repartirlas por partes

iguales entre sus 10 empleados pero dicha cantidad la recibirán cada mes durante el

próximo año. ¿Cuánto dinero recibirá cada empleado en un mes?

Datos: Operación:

$525,000 de utilidades 525,000

10= 52,500 Recibirá un

empleado

10 empleados

𝟓𝟐,𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟐= 4,375 al mes

Ejemplos

1

2

Microeconomía



Durante cada mes un empleado recibirá $4,375 a lo largo de un año.

Álgebra para los negocios

El álgebra es la rama de las matemáticas que trata a las cantidades numéricas de manera

general. En esta definición es importante acotar que dichas cantidades se escriben

mediante una expresión algebraica, la cual consiste en una combinación de números

reales (conocidos como constantes o coeficientes) y literales o letras (conocidas como

base o variables) que representan cantidades mediante las operaciones de suma, resta,

multiplicación, división.

Comprender el lenguaje del álgebra te permitirá expresar variables microeconómicas

como costos, ingresos, productividades en términos de una ecuación algebraica.

a) 7a+5b+9, los coeficientes son: 7,5 y 9 y las bases son: a y b

b) 5b2 – 8, los coeficientes son 5 y 8, la base es b y el exponente es 2

c) 1/3 mn2 , los coeficientes son 1/3, la base es m, n y el exponente es 2

d) Las expresiones algebraicas pueden clasificarse en monomio y polinomio

Ejemplos

Para ilustrar lo anterior, a continuación se muestran los

siguientes ejemplos:

Expresiones algebraicas

Microeconomía



Para efectuar la suma y resta de polinomios debes tomar en cuenta que solo se puede

realizar si las bases y los coeficientes son iguales.

1. (2x + 3y -4z) + (3x-2y+8z)= 5x+y+4z

Se recomienda agrupar por base y coeficiente: 2x+3x= 5x

3y-2y=1y

-4z+8z=4z

2. (5𝑦5 + 4𝑧6 + 3) − (7𝑦5+6𝑧6 + 9) = −2𝑦5 − 2𝑧6 − 6 Se recomienda agrupar por base y coeficiente:

5𝑦5 − 7𝑦5= -2𝑦5

4𝑧6 − 6𝑧6 = −2𝑧6

Para efectuar esta operación es conveniente recordar:

Leyes de los signos (+)(+)= + (+)(-)= - (-)(+)= - (-)(-)= +

Leyes de los exponentes para la multiplicación la cual indica que si son bases iguales los exponentes se suman.

𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

1. (3x)(8x)= 24x2 2. (-4z2) (10z3)= -40z5

Monomio, consta de un solo término

Polinomio, consta de más de 2 términos

5b, -3c, −4𝑥

2𝑥, 8m2

a+b, 3x2 + 6y2-4z , 2𝑧3−4𝑧8

6𝑧

Suma y resta de polinomios

Multiplicación de monomio

por monomios

Microeconomía



Con el fin de realizar esta operación es recomendable que el monomio multiplique cada

término del polinomio o viceversa.

1. (5x3 + 6y2 + 8xy) (3x2 y3 )= 15x5y3 + 18x2y5 + 24x3y4 3x2 y3 * 5x3 = 15x5y3

3x2 y3 * 6y2 = 18x2y5

3x2 y3 * 8xy = 24x3y4

2. (4xy + 3x2z -7y2z-3)(-3x2 y3 )= -12x3y4 – 9x4y3z + 21x2y5z-3

(4xy)(-3x2 y3) = - 12x3y4

(3x2z)(-3x2 y3) = - 9x4y3z (-7y2z-3)(-3x2 y3) = 21x2y5z-3

1. (5x + 3x2 – 1) ( -6x2 – 4x – 2 + 2x4)= Se recomienda ordenar los polinomios con respecto a los exponentes en forma

ascendente o descendente. Posteriormente, del primer polinomio toma el primer término

para multiplicarlo por cada término del segundo polinomio, continúa con el segundo

término y realiza la misma multiplicación y así hasta terminar con el último término del

primer polinomio. Finaliza sumando y/o restando los términos semejantes (misma base

con mismo exponente) y ordena de mayor a menor exponente.

Ordenarlos (3x2 + 5x – 1) (2x4 -6x2 – 4x – 2)= 6x6 + 10x5 - 20x4 - 42x3 - 20x2 -6x + 2 Ahora ve multiplicando cada término del primer polinomio por el segundo

polinomio. Termina sumando y/o restando los términos semejantes y ordena de

mayor a menor exponente.

3x2 (2x4 -6x2 – 4x – 2)= 6x6 – 18x4 -12x3 - 6x2

5x (2x4 -6x2 – 4x – 2)= 10x5 – 30x3 -20x2 - 10x

-1 (2x4 -6x2 – 4x – 2)= -2x4 + 6x2 + 4x + 2

6x6 + 10x5 - 20x4 - 42x3 - 20x2 -6x + 2

Multiplicación de polinomio

por monomios

Multiplicación de polinomio

por polinomios

Microeconomía



Una empresa se dedica a fabricar cuadernos y carpetas. Considera que x representa

los costos, si x2 + 30x – 1,500 son los cuadernos y 5x2 - 25x + 2,000 son las carpetas,

¿cuál es el costo total de producción de esta empresa?

Datos: Costos de cuadernos: x2 + 30x – 1,500 Costos de carpetas: 5x2 - 25x + 2,000 Solución: el costo total se obtiene a partir de la siguiente suma. x2 + 30x – 1,500 5x2 - 25x + 2,000 6x2 + 5x + 500 El costo total de la empresa es: 6x2 + 5x + 500

Una empresa obtiene ingresos por la venta de sus productos representados por

8x2 + 6x + 2,500 y sus costos de producción son 6x2 – 7x – 8,500. Calcula la utilidad

que obtiene esta empresa.

Datos: 8x2 + 6x + 2,500 Ingresos por ventas 6x2 – 7x – 8,500 Costos de producción Solución: la utilidad se obtiene restando los ingresos a los costos. 8x2 + 6x + 2,500 -(6x2 – 7x – 8,500) 2x2 + 13x + 11,000

1

2

Microeconomía



Ecuaciones lineales para los negocios

Una igualdad hace referencia a dos cantidades equivalentes o que tienen el mismo valor,

como por ejemplo:

(4 + 5)2= 81 (9)2 + (9)2 = 81 √6561 = 81

Así, las expresiones anteriores son equivalentes, ya que todas tienen el mismo valor de 81.

¿Podría decirse que x + 70 = 81 es una igualdad?

Para obtener esta respuesta hay que considerar el significado de ecuación.

Una ecuación es una igualdad con una o varias incógnitas, las cuáles están representadas

por letras que se les conoce como variables (x, y, z).

a) x+3= 7 b) 2x+4= 18 c) 2y+5=10+y

En la ecuación (a) y (b) la variable es la letra x, en la

ecuación (c) la variable es la letra y, en estas tres

ecuaciones solo hay una incógnita y dado que sus

respectivas variables tienen exponente 1, se les

conoce como ecuaciones de primer grado o lineales.

Las ecuaciones o expresiones algebraicas están separadas por un signo de igualdad (=) y

se les conoce como lados o miembros de la ecuación, así se tiene:

La solución de una ecuación es cuando se encuentra el valor que hace que la igualdad se

cumpla, así la ecuación: x + 70 = 81 sí es una igualdad.

Ejemplo

Lado derecho

(2do miembro)

x + 4 = 10 - x

Microeconomía



La solución a esta igualdad es cuando x=11 ya que al sustituir 11 en la ecuación se obtiene

la igualdad en la ecuación:

11+70= 81

81=81

Las ecuaciones de primer grado puedes resolverlas mediante

operaciones elementales como la suma, resta, multiplicación y división,

las cuales deben hacerse en ambos lados de la ecuación.

A continuación se muestra otro ejemplo de ecuación lineal:

1. Encontrar el valor de la variable x de la siguiente ecuación:

X+8=15

Para eliminar el valor de 8 y dejar sola a x, hay que restar 8 en ambos lados de la

ecuación, ya que esta operación no afecta la igualdad:

-8+x+8=15-8

Al sumar estos valores nos queda:

X=7

Para comprobar que este valor es el único que satisface la igualdad se puede sustituir

este valor en la ecuación encontrada:

X+8=15

Comprobar que solo hay un valor para esta igualdad.

Sí x=7

Entonces:

7+8=15

15=15

Microeconomía



Ahora, revisa estos tres ejemplos sobre procedimientos algebraicos:

a. x+3= 7 Restar 3 a ambos lados de la ecuación. X+3-3=7-3 Sumar ambos lados de la ecuación. X=4 Comprobar que este valor resuelve la ecuación. 4+3=7 7=7

b. 2x+4= 18 Restar 4 a ambos lados de la ecuación 2x+4-4=18-4 Sumar ambos lados de la ecuación. 2x=14 Como 2 está multiplicando a x, se hace la operación inversa en ambos lados, es decir hay que dividir por 2

2𝑥

2=

14

2

X=7 Alternativamente, desde 2x=14 se

despeja x pasando el 2 del lado

derecho de la ecuación,

respetando su signo pero con la

operación contraria a la

multiplicación, es decir pasa

dividendo.

𝒙 =𝟏𝟒

𝟐=7

Comprobar que este valor

resuelve la ecuación.

2(7) + 4= 18

14+4=18

18=18

c. 2y+5=10+y Restar 5 ambos lados de la ecuación. 2y+5-5=10+y-5 Sumar ambos lados de la ecuación. 2y=5+y Restar y a ambos lados de la ecuación. 2y-y=5+y-y Sumar ambos lados de la ecuación. y=5 Comprobar si este valor resuelve la ecuación. 2(5) + 5= 10 + (5) 10+5=10+5 15=15

Microeconomía



El conocimiento del álgebra es importante para plantear problemas de forma verbal y

traducirlos a lenguaje algebraico, para ello se te recomiendan los siguientes pasos:

1 En virtud de que se trata de valores desconocidos hay que representarlos mediante un

símbolo algebraico que por lo regular es la x.

2 Expresar el resto de los valores o cantidades en términos de x.

3 Traducir las expresiones verbales del problema a términos algebraicos en los cuales participe

la x.

4 Resolver la expresión(es) algebraica(s) acorde a los métodos algebraicos. La solución

implica encontrar el valor de la incógnita y por tanto, la solución al problema.

La suma de dos números es 210 y el mayor excede al menor en diez. Encuentra los números.

Solución. Se debe encontrar dos números enteros, llamaremos x al entero más pequeño

Número menor es: x Número mayor es: x+10

Planteamiento

Expresión verbal: La suma de dos números es 210, en este caso sumar el número menor y el mayor para que al sumarlos obtengamos un valor de 210.

Por lo tanto la expresión algebraica es x+(x+10)=210 Ahora sumar la ecuación algebraica 2x+10=210 Encontrar el valor de x por lo que se debe restar 10 a ambos lados de la ecuación 2x-10+10=210-10 2x=200

1

Microeconomía



Dividir entre 2 ambos lados de la expresión 2𝑥

2=

200

2 𝑥 = 100

Solución Por lo tanto el número menor es 100 por que x=100 El número mayor es 100+10 es decir x=100+10=110 La suma de ambos es 100+110=210

O bien a partir de la expresión algebraica sustituir el valor de x:

x+(x+10)=210 100 + (100+10) =210 100+ (110)=210 210=210 Por lo tanto, el valor de x satisface la igualdad para esta ecuación algebraica.

Elena tiene el triple de edad que su prima Ana y la suma de ambas edades es de 40

años. Encuentra la edad de ambas personas.

Planteamiento: La edad de Ana es=x La edad de Elena es el triple de la de Ana=3x La suma de ambas edades es 40= x+3x=40 Ecuación algebraica x+3x=40 Solución algebraica Sumar la variable x del lado izquierdo de la ecuación 4x=40 Dividir entre 4 ambos lados de la ecuación para despejar x

4𝑥

4=

40

4

𝑥 = 10 Verificando X+3x=40

2

Microeconomía



10+3(10)=40 10+30=40 40=40 Por lo tanto, la igualdad se cumple para esta ecuación algebraica. Ahora expresar el valor de las variables al lenguaje verbal.

La edad de Ana es de 10 años. La edad de Elena es de 3(10)= 30 años. La suma de ambas edades es 10 años más 30 años es igual a 40 años entre las

dos.

Una persona que abrirá un restaurante compró el doble de sillas que de mesas, por

cada silla pagó $1,500 y por cada mesa pagó $2,000. El importe de esta compra fue de

$50,000, ¿cuántas sillas y mesas adquirió?

Planteamiento

Número de mesas es =x

Número de sillas es el doble de mesas=2x

La suma de esta adquisición es de 50,000= x+2x=50,000

Dado que se compraron x mesas cuyo valor es de $2,000, por lo que su costo es 2000x.

Cada silla costó $1,500 y se compraron el doble, su costo es 2x (1,500)=3,000x.

Dado que el costo de la compra es $50,000 se tiene la siguiente ecuación.

Ecuación algebraica 2,000x+3,000x=50,000 Solución algebraica 5,000x=50,000 Dividir entre 5,000 para despejar x

5000𝑥

5000=

50,000

5000

𝑥 = 10 Verificando

3

Microeconomía



5,000 (10)=50,000 50,000=50,000 Por lo tanto, la igualdad se cumple para esta ecuación algebraica. Ahora expresar el valor de las variables al lenguaje verbal:

Mesas: x=10 Sillas: 2x=2(10)=20

Costo: 2000(10)=$20,000 Costo:3000(10)=$30,000

Un pequeño empresario de aves de corral compró 2,000 pollos a $300 cada uno.

Vendió 800 pollos obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las

restantes 1,200 aves para obtener una utilidad del 30% por todas ellas?

Planteamiento

Por 800 pollos obtuvo una ganancia del 25%, como su costo fue de $300, entonces su

ganancia por cada pollo es de 0.25 (300)= $75 y por los 800 pollos fue de

800($75)=$60,000

Se requiere saber el precio y utilidad de las 1,200 aves de corral restantes.

Sea x el precio de venta de las restantes 1,200 aves.

Su utilidad por pollo es x-300.

Su ganancia por las 1,200 aves es 1,200(x-300).

Así la ganancia por la venta completa es:

60,000 + 1,200(x-300)

Pero esta ganancia deberá ser el 30% del precio que él pagó por los 2,000 pollos, esto

es, calcular el costo de estas 2,000 que es 2,000(300)=$600,000 y el 30% sobre esta

ganancia es 0.30 ($600,000)= $180,000, ahora se puede plantear a ecuación:

Ecuación algebraica

60,000 + 1,200(x-300)= 180,000

4

Microeconomía



60,000 + 1,200x – 360,000= 180,000

Solución algebraica

60,000 + 1,200x – 360,000= 180,000

1,200x – 300,000= 180,000

Restar 300,000 a ambos lados de la ecuación

1,200x – 300,000 + 300,000= 180,000 + 300,000

1,200x=480,000

Dividir entre 1,200 para despejar x

1,200x/1,200=480,000/1,200

x=400

Verificando

60,000 + 1,200x – 360,000= 180,000

60,000 + 1,200 (400) - 360,000 = 180,000

60,000 + 480,000 – 360,000= 180,000

480,000 – 300,000=180,000

180,000=180,00

Por lo tanto, la igualdad se cumple para esta ecuación algebraica.

Ahora expresar el valor de las variables al lenguaje verbal.

Esta persona deberá vender cada pollo en $400 para obtener una ganancia del 30%.

Microeconomía



Funciones lineales aplicados a los negocios

En el área de negocios hay diversas variables económicas que muestran una relación

matemática, entre ellas se encuentran los costos e ingresos, precio y cantidad

demandada o bien precio y cantidad ofertada, unidades producidas con costos, tiempo

(medido en horas, días, meses años) contra ventas, calidad de servicio y ventas,

empleados y unidades producidas por ellos, el ingreso de un empleado dependerá de las

ventas que realice a la semana, para saber a cuánto ascenderá el pago anual de

impuestos se consideran los ingresos percibidos.

Como puedes observar, cada una de estas variables expresa la idea de que una cantidad

depende de la otra, como por ejemplo a medida que mejoras tu servicio aumenta el

número de ventas; adicionalmente a este planteamiento matemático, puedes presentar

esta información mediante gráficas con el objetivo de realizar un análisis sobre la relación

de estas variables y darte cuenta si el negocio está generando ganancias o pérdidas, para

identificar en qué mes han sido más altas o más bajas las ganancias y, finalmente, con

este análisis puedes tomar medidas correctivas que beneficien a la empresa.

A fin de encontrar la manera en que se relacionan estas variables económicas es

necesario aludir al concepto de función:

Por lo general, una función se escribe con las letras f, g, F o G, en lenguaje matemático

se puede describir la relación entre variables mediante la ecuación:

𝒚 = 𝒇(𝒙)

Que verbalmente se expresa como “y es una función de x” o lo que es lo mismo el valor

de la variable y dependerá del valor de la variable x, en donde x es la variable de entrada

y y la variable de salida.

Por el rol de estas variables en una función, a la variable x se le conoce como variable

independiente y a la variable y se le llama variable dependiente.

•Expresa la idea de que una cantidad depende o está determinada por otra, es decir, se trata de una regla matemática en donde se asigna para cualquier valor de entrada (conocido como dominio) uno y solo un valor de salida (conocido como rango).

Una función

Microeconomía



De las siguientes funciones determinar el valor de la

variable dependiente considerando los diversos

valores de la variable independiente que a

continuación se te indican:

x=0, x=10, x=18, x=20

1. y=f(x) y=f(x)= 5x + 10

x y=5x+ 10

x=0 y=5(0) + 10= 10

x=10 y=5(10) + 10 = 50 + 10 =60

x=18 y=5(18) + 10 = 90 + 10 =100

x=20 y=5(20) + 10 = 100 + 10 =110

2. y=f(x) y=f(x)=8x

x y=8x

x=0 y=8(0)= 0

x=10 y=8(10) = 80

x=18 y=8(18)= 144

x=20 y=8(20)= 160

3. y=f(x) y=f(x)=2x - 2

x y=2x - 2

x=0 y=2(0) -2 = - 2

x=10 y=2(10) - 2 =18

x=18 y=2(18) - 2= 34

x=20 y=2(20) - 2= 38

Ejemplos

Microeconomía



1

Una persona es contratada por una empresa para realizar encuestas de mercado, en el

área de recursos humanos le comentan que su sueldo semanal dependerá del número

de encuestas realizadas. Determina su función:

x= número de encuestas realizadas por semana, variable independiente

y= sueldo semanal en pesos, variable dependiente

f= función sueldo

La relación entre estas variables queda establecida en la función:

y = f(x)

Esta función indica que del número de encuestas realizadas por esta persona a la

semana va a depender su sueldo o bien que su sueldo está en función del número de

encuestas.

Ahora considera que el área de recursos humanos de esta empresa le ha dado a

conocer a este empleado la manera para calcular su sueldo semanal con la siguiente

función:

𝒚 = 𝒇(𝒙)

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟓𝟎

Con esta información esta persona quiere saber cuánto dinero va a ganar si no hace

alguna encuesta o si hace 50 o 100. Por lo que se pueden construir sus valores de

entrada (dominio) y salida (rango). Para lo cual, toma en cuenta estos valores del

número de encuestas a fin de obtener su sueldo.

x Número de encuestas por semana. Dominio de la función

f(x)= 2x + 50 Función del sueldo semanal

y Sueldo semanal en pesos Rango de la función

x=0 , ninguna encuesta y=2(0) + 50= 50 Sueldo semanal cero encuestas $50

x=50 y=2(50) + 50 = 150 Sueldo semanal con 50 encuestas es de $150

x=100 y= 2(100) + 50 = 250 Sueldo semanal con 100 encuestas es de $250

Microeconomía



2

Una compañía considera que el número de unidades vendidas cada año de su

producto depende de los gastos de publicidad en pesos en la radio. Determina su

función:

x= gastos de publicidad en la radio en pesos, variable independiente

y= número de unidades vendidas anuales, variable dependiente

f= función publicidad

La relación entre estas variables queda establecida en la función

y = f(x)

Esta función indica que el número de unidades vendidas del producto va a depender

del gasto en publicidad.

La función de esta empresa en publicidad es:

𝒚 = 𝒇(𝒙)

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎𝒙 − 𝟏, 𝟎𝟎𝟎

Determina lo siguiente: ¿Cuáles son las ventas anuales si se destina $2,000 a gastos de publicidad en radio? ¿Cuáles son las ventas esperadas si se considera un gasto en publicidad de $3,500 en este medio?

x Gasto en publicidad en pesos. Dominio de la función

y=f(x)= 5,000x – 1,000 Función de gastos en publicidad

y Número de unidades vendidas al año Rango de la función

x=2,000 y=5,000(2,000) – 1,000= 10,000-1,000=9,000 Las ventas anuales serán de $9,000

x=3,500 y=5,000(3,500) – 1,000= 17,500 – 1,000= 16,500 Las ventas anuales serán de $16,500

Como puede observarse en este ejemplo, entre más se gaste en publicidad habrá un mayor número de ventas.

Microeconomía



3

Una empresa quiere saber el costo de producir varias carpetas de vinil diariamente, el

costo fijo diario es de $100 y cada carpeta tiene un costo de producción de $20.

Expresa su función de costos e indica cuál es el costo de producir 10, 15, 20 y 25

carpetas de vinil.

x= número de carpetas de vinil a producir, variable independiente

y= costo total de producción diario, variable dependiente

f= función del costo total de producción diaria

La relación entre estas variables queda establecida en la función:

y = f(x)

Esta función indica que el costo total de producción diaria va a depender del número de

carpetas a producir.

𝒚 = 𝒇(𝒙) 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎

x Número de carpetas de vinil a producir Dominio de la función

y=f(x)= 20x + 100 Función del costo total de producción diaria

y Costo total de producción diaria Rango de la función

x=10 y=20 (10) + 100 = 200 + 100 = 300 El costo de producir 10 carpetas de vinil es de $300



x=25 y=20 (25) + 100 = 500 + 100 = 600

Microeconomía



El costo de producir 25 carpetas de vinil es de $600

Gráficas lineales aplicadas a los negocios

La relación funcional entre las variables x y y puede apreciarse mediante una gráfica, por

lo que resulta útil preguntarse cómo será la gráfica de las variables costos total de cada

unidad producida, o cómo será la gráfica del precio y la cantidad demandada, así una

función puede representarse en forma geométrica mediante una gráfica.

Las gráficas se construyen utilizando las llamadas coordenadas cartesianas, que consiste

en trazar una línea horizontal (conocida como eje x) y otra lineal vertical (conocida como

eje y) y donde se intersectan es el punto O, conocido como origen. Un plano con estos

ejes de coordenadas se le conoce como plano cartesiano.

En este plano cartesiano puedes dibujar un punto el cual está representado por una

pareja de números reales (x,y), a este par de números se le conoce como coordenadas

de un punto, donde a x se le llama abscisa y a y se le llama ordenada.

Asimismo, este plano cartesiano está dividido en cuatro cuadrantes, en donde al dibujar

cada pareja de números reales deberás fijarte si son números positivos, negativos o la

combinación de ambos, para saber ubicarlos observa el siguiente plano con los signos

que se pusieron debajo de las coordenadas, así como el ejemplo.

Microeconomía



La pendiente

Al graficar una función lineal es importante el valor de la pendiente, ya que ella da

información acerca de la relación entre las variables, como por ejemplo: si a los

consumidores les aumentan el precio de un producto, entonces se espera que se

disminuya la cantidad demanda de este bien, por lo que la relación entre precios y

cantidades tiene una pendiente negativa y por ello el trazo de su recta es decreciente

Así, cualquier línea recta se caracteriza por medio de su pendiente, que es básicamente

el grado de inclinación de una recta, o lo que es lo mismo, cuánto cambia de valor y si x

aumenta en una unidad.

La fórmula de la pendiente es:

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Microeconomía



Donde:

∆(𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎) = 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 "cambio en" 𝑜 "𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛"

∆𝑦 = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦

∆𝑥 = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥

Encontrar el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (-3,3) y B (1,-3)

Solución:

A (-3 , 3) = (𝑥1, 𝑦1), entonces 𝑥1 = −3, 𝑦1=3

B (1 , -3) = (𝑥2, 𝑦2), entonces 𝑥2 = 1, 𝑦2= − 3

Sustituyendo estos valores en la fórmula:

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

−3 − (+3)

1 − (−3)=

−3 − 3

1 + 3=

−6

4

Observa que en la sustitución de la fórmula se respeta el signo menos del incremento, los

valores que están después de este signo se ven afectados conforme a la ley de los signos

de la multiplicación, así en el numerador tienes (-) (+)= (-) y en el denominador (-)(-)= (+).

El resultado de la pendiente indica que hay un decremento en y de 6 unidades con un

aumento en x de 4 unidades.

Microeconomía



∆

En términos generales, la gráfica de una función lineal dependerá del valor que toma la

pendiente.

a) Si la línea tiene una pendiente positiva, la función es creciente, esto quiere decir

que al aumentar x, también y aumenta, o bien y disminuye al disminuir x. Se

trata de una relación directa, ya que si una variable aumenta la otra también y si

una variable disminuye la otra lo hará también.

A(-3 , 3)

B(1, -3)

x

y

4

-6

y

x

Microeconomía



a) Si la línea tiene una pendiente negativa, la función es decreciente, esto quiere

decir que al disminuir x, aumenta y, o bien si el valor de y disminuye el valor de

x aumenta. Se trata de una relación inversa, ya que al aumentar el valor de una

variable la otra disminuye.

b) Si la línea es horizontal implica que la pendiente es cero, la función es

constante, esto quiere decir que al aumentar o disminuir x, y permanece

constante (y=constante).

c) Si la línea es vertical implica que la pendiente es indefinida, la función es

constante, esto quiere decir que x es constante sin importar el valor de y

(x=constante).

x

y

x

y

x

y

Microeconomía



Cabe destacar que el signo de la pendiente indica si la línea está subiendo (+) o

descendiendo (-) y el resultado o la magnitud indica la inclinación relativa de la misma. El

resultado significa que lo consideres en términos de valor absoluto, esto implica que solo

observes el valor del número real si tienes -8 el valor absoluto es 8 y si tienes 3 su valor

absoluto es 3.

Si 𝑚 =6

4, el signo (+) indica que es una línea creciente y que y aumenta en 6 unidades

por cada 4 unidades en que lo hace x.

Si 𝑚 =−3

5, el signo es (-) indica que es una línea decreciente ya que y disminuye en 3

unidades por cada 5 que x aumenta,

En general, las funciones que se han revisado se pueden expresar en forma general

como:

y = mx + b

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

A esta función se le conoce como lineal en virtud de que x tiene exponente 1, a las letras

m (a) y b se les llaman parámetros, donde m (a) representa la pendiente y b la ordenada

al origen, donde x sigue siendo la variable independiente y la variable dependiente es y.

Cabe destacar que la ordenada al origen se obtiene haciendo x=0, por lo tanto b

representa el punto de intersección con el eje de las y, es decir se tiene un punto (0,y)

De las siguientes funciones lineales, encontrar los parámetros m y b.

Función lineal Valor de la pendiente Valor del parámetro b

y=5x + 12 m=5 b=12 y=20x m=20 b=0 y=-4x + 3 m= -4 b=3 y=4 m=0 b=4 y=-6x+7 m= -6 b=7

Microeconomía



Considera el ejemplo donde el empleado calcula su sueldo semanal con la función:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 50

Ahora indica:

a. El valor de la pendiente b. El valor de la ordenada al origen

Resolviendo

a) 𝑚 = 2

Es una pendiente positiva, por lo que es una línea creciente.

b) 𝑠í 𝑥 = 0, 𝑏 = 50

Para graficar te puedes ayudar de una tabla para obtener los diversos valores de y

considerando ciertos valores de x.

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 50

x .y Operaciones

x=0 y=50 y=2(0) + 50=0+50 50 es el valor de la ordenada al origen

y se interpreta como el sueldo que percibe aun sin hacer

alguna encuesta, es un sueldo base.

x=10 y=70 y=2(10) + 50=20+50=70

x=30 y=110 y=2(30) + 50 =60 + 50= 110

x=50 y=150 y=2(50) + 50= 100 + 50= 150

Ejemplo

Microeconomía



Al momento de graficar no olvides lo siguiente:

a Por cada valor de x le corresponde solo un valor de y, por lo que en tu gráfica tendrás diversos pares de puntos (x,y).

b Une desde el primer par de puntos (x,y) hasta el último, ya que ello te permitirá obtener una línea recta.

c Fíjate en el valor de la pendiente, si es (+) tu gráfica será creciente y si es (-), la gráfica será decreciente, si es (0) la gráfica será horizontal y si es pendiente indefinida esta gráfica será vertical.

d Encuentra el valor del parámetro b u ordenada al origen y trata de darle un significado económico.

e Pon el nombre de las variables a cada uno de los ejes.

f Da un nombre a tu gráfico.

Relación entre el número de encuestas y salarios

Microeconomía



Cierre de Unidad

En esta unidad llevaste a cabo una revisión de

los principios básicos de la aritmética, álgebra,

ecuaciones, funciones y gráficas lineales.

El estudio de estas herramientas matemáticas

te permitirá plantear, desarrollar e interpretar

diversas problemáticas que se presentan en el

área económico-administrativa y que te

posibilitarán obtener un mejor entendimiento

sobre el comportamiento microeconómico de

una empresa.

Recursos de apoyo para el aprendizaje

Se ha seleccionado una serie de recursos en línea con el fin de ofrecerte un

panorama general de la unidad y alternativas en caso de que se te dificulte la

comprensión de algún concepto o proceso.

Si deseas saber más de estos temas se te sugieren los siguientes enlaces:

Nota: Para algunas páginas deberás tener instalado el software Java para

visualizar la información y realizar actividades.

Álgebra

http://www.educatina.com/matematicas/algebra

http://www.galeon.com/damasorojas8/BALDOR.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=nbDA4TY7ymc

http://newton.matem.unam.mx/aritmetica/index.html

http://www.galeon.com/damasorojas8/BALDOR.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=nbDA4TY7ymc

http://newton.matem.unam.mx/aritmetica/index.html

Microeconomía



Para revisar cómo hacer un planteamiento de lenguaje algebraico a verbal

y viceversa, así como ejercicios para resolver ecuaciones de primer grado

puedes observar los siguientes videos:

https://www.youtube.com/watch?v=zut8H1BaoFU

https://www.youtube.com/watch?v=QEBqnFS5Mi4

https://www.youtube.com/watch?v=wE6OydOzC-k

https://www.youtube.com/watch?v=EYG1XvNUZF0

https://www.youtube.com/watch?v=ogm6VKWdeJI

https://www.youtube.com/watch?v=TNcJvIZEvwg

Ecuaciones lineales

https://www.youtube.com/watch?v=4h2-GpUcqwQ

https://www.youtube.com/watch?v=jUV068nwxM4

https://www.youtube.com/watch?v=4hHi8ivIKDQ

Ejercicios sobre ecuaciones de primer grado

http://www.ematematicas.net/ecuacion.php

https://www.youtube.com/watch?v=p5B-UiOHPvw

https://www.youtube.com/watch?v=3hnBUKsOc0M

Funciones lineales

http://www.vitutor.com/fun/2/c_3_e.html

http://desenderismo.com/blogmaria/?page_id=379

https://www.youtube.com/watch?v=E9-_oCmH-iQ

http://matematicasmodernas.com/funciones-lineales-ejemplos/

https://www.youtube.com/watch?v=K-C6l6tH95Q

Aplicación de las funciones lineales


https://www.youtube.com/watch?v=7QeH9L1KkBw

Tutorial para hacer gráficas en Excel

https://www.youtube.com/watch?v=Mfpb1BtT_10

https://www.youtube.com/watch?v=zut8H1BaoFU

https://www.youtube.com/watch?v=QEBqnFS5Mi4

https://www.youtube.com/watch?v=wE6OydOzC-k

https://www.youtube.com/watch?v=EYG1XvNUZF0

https://www.youtube.com/watch?v=ogm6VKWdeJI

https://www.youtube.com/watch?v=jUV068nwxM4

https://www.youtube.com/watch?v=p5B-UiOHPvw

http://www.vitutor.com/fun/2/c_3_e.html

http://desenderismo.com/blogmaria/?page_id=379

http://matematicasmodernas.com/funciones-lineales-ejemplos/

https://www.youtube.com/watch?v=K-C6l6tH95Q


https://www.youtube.com/watch?v=Mfpb1BtT_10

Microeconomía



Fuentes de consulta

Aguilar, A., et-al (2009). Aritmética y Álgebra. México: Pearson-CONAMAT.

Arya, J. C. y Larder, R. W. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la

economía. México: Pearson.

Chiang (2006). Métodos fundamentales en economía matemática. México:

Editorial McGraw-Hill.

Haeussler, E. F., Jr. y Richards, P. (2003). Matemáticas para Administración y

Economía. México: Pearson Educación.

Harshbarger, R. J., et al. (2005). Matemáticas Aplicadas a la Administración,

Economía y Ciencias Sociales. México: McGraw-Hill.

Hungerford, T. W. y Lial, M. L. (2000). Matemáticas para administración y

economía. México: Pearson Educación.

1. Topicos de Matematicas Aplicados a La Microeconomia (1)

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