1

Teórico 8• Hoy:

– Modelos con estructura de edades (MEE), matrices de proyección

– Tabla de vida matriz de Leslie

• Semana proxima:– MEE: matriz de Leslie, aplicaciones.– Modelos con estadios, matriz de Usher y

Lefkovitch

2

Tablas de vida

x l (x) l (x) b (x)

0 1 0 0.0

1 0.8 2 1.6

2 0.4 3 1.2

3 0.1 1 0.1

4 0.0 0  0.0

b (x) ó m (x)

3

Tablas de vida

S(x) l(x) g(x) b(x) l(x) b(x) l(x) b(x) x500 1 0,8 0 0 0400 0,8 0,5 2 1,6 1,6200 0,4 0,25 3 1,2 2,450 0,1 0 1 0,1 0,30 0 0 0 0

9.2)()(0

k

xo xbxlR

Tasa reproductiva neta (Ro) y tiempo generacional (G)

48.1

)()(

)()(

0

0

k

x

k

x

xbxl

xxbxl

G

Número promedio de hembras producido por hembra a lo largo de su vida

Edad promedio de las madres de las hembras producidas por una cohorte

4

La tabla de vida completa

Ro 2,900G 1,483

r (aprox) 0,718r (Euler) 0,776

2,173

S(x) l(x) g(x) b(x) l(x) b(x) l(x) b(x) x exp(-rx) l(x) b(x) exp(-rx) l(x) c(x) exp(-ry) l(y) b(y) v(x)500 1 0,8 0 0 0 0,000 1,000 0,684 1,000 1,000400 0,8 0,5 2 1,6 1,6 0,736 0,368 0,252 1,000 2,717200 0,4 0,25 3 1,2 2,4 0,254 0,085 0,058 0,264 3,11550 0,1 0 1 0,1 0,3 0,010 0,010 0,007 0,010 1,0000 0 0 0 0 0,000 0,000 0,000 0,000

1,000 1,463 1

DEERo, G, r y r Euler Valor reproductivo

k

x

rx xbxle0

)()(1

5

Supervivencia

• A partir de estructura de edades (vertical):

6

Supervivencia• Sesgos por reclutamiento no constante:

7

Modelos con estructura de edad

3

F4

F2

S3

S2

S1

4

2

1

4

3

2

1

Tiempo t Tiempo t +1

Ed

ad

es

F3

POBLACIÓN

Emigración

Mortalidad

Inmigración

Nacimientos o

“reclutamiento”

8

MODELO CONCEPTUAL con estructura de edades (4 edades)

3

F4

F2

S3

S2

S1

4

2

1

4

3

2

1

Tiempo t Tiempo t +1

Ed

ad

es

F3

Representación más común con tiempo implícito

3

F4F2

S2S1421

F3

S3

Modelos con estructura de edad

9

Un modelo matemático para este sistema

N

N

N

N

F N F N F N

S N

S N

S N

t

t

t

t

t t t

t

t

t

1 1

2 1

3 1

4 1

2 2 3 3 4 4

1 1

2 2

3 3

,

,

,

,

, , ,

,

,

,

3

F4

F2

S3

S2

S1

4

2

1

4

3

2

1

Tiempo t Tiempo t +1

Ed

ad

es

F3

Modelos con estructura de edad

10

21

21

2

1

2

1

212

211

dxcx

bxax

x

x

dc

ba

y

y

dxcxy

bxaxy

Sistemas de ecuaciones y multiplicación matricial

11

N

N

N

N

F N F N F N

S N

S N

S N

t

t

t

t

t t t

t

t

t

1 1

2 1

3 1

4 1

2 2 3 3 4 4

1 1

2 2

3 3

,

,

,

,

, , ,

,

,

,

t

t

t

t

t

t

t

t

N

N

N

N

S

S

S

FFF

N

N

NN

,4

,3

,2

,1

3

2

1

432

1,4

1,3

1,2

1,1

000

000

000

0

Sistemas de ecuaciones y multiplicación matricial

12

N

N

N

N

F N F N F N

S N

S N

S N

t

t

t

t

t t t

t

t

t

1 1

2 1

3 1

4 1

2 2 3 3 4 4

1 1

2 2

3 3

,

,

,

,

, , ,

,

,

,

t

t

t

t

t

t

t

t

N

N

N

N

S

S

S

FFF

N

N

NN

,4

,3

,2

,1

3

2

1

432

1,4

1,3

1,2

1,1

000

000

000

0

3

F4

F2

S3

S2

S1

4

2

1

4

3

2

1

Tiempo t Tiempo t +1

Ed

ad

es

F3

Cuatro expresiones para el mismo modelo

3

F4F2

S2S1421

F3

S3

13

tN

t

t

t

t

AtN

t

t

t

t

N

N

N

N

S

S

S

FFF

N

N

NN

,4

,3

,2

,1

3

2

1

432

1

1,4

1,3

1,2

1,1

000

000

000

0

Matriz de Leslie

Lineal

Encapsula las características dinámicas de la especie

14

Modelo no lineal

t

t

t

t

edadtedad

edadtedad

edadtedad

t

t

t

t

N

N

N

N

S

S

S

Nc

b

Nc

b

Nc

b

N

N

N

N

,4

,3

,2

,1

3

2

1

,,,

1,4

1,3

1,2

1,1

x

000

000

000

1110

15

Matriz de Leslie, características dinámicas

Proyección en el tiempo de un modelo lineal con estructuras de edades

N A N

N A N A N

N A N

t t

t t t

t nn

t

1

2 12

16

Matriz de Leslie, características dinámicas

Tiempo

ln (

Nu

me

ros

)

Edad 1

Edad 2

Edad 3

Tiempo

ln (

Nu

me

ros

)

Tiempo

ln (

Nu

me

ros

)

A

N

0 1 4

0 7 0 0

0 0 5 0

1

0

00

.

.

N 0

0

1

1

A

N

0 0 5

0 7 0 0

0 0 5 0

1

0

00

.

.Matriz cíclica

Matriz primitiva

17

Matriz de LesliePropiedades matemáticas de la matriz de proyección.Para toda matriz de transición nxn:

A w wi i i

Los autovalores y los autovectores se obtienen resolviendo:

det( )

( )

A I

A I w

0

0

Los autovalores y autovectores nos proveen un sumario del comportamiento dinámico del sistema: λ1=crecimiento poblacionalw = estructura estable de edadesv = valor reproductivo

v A viT

i iT

18

Matrices primitivas 3 421

Tamaño de los loops = 2, 3, 4.Máximo común divisor (m.c.d.) = 1

3 421

Tamaño de los loops = 3, 4.Máximo común divisor (m.c.d.) = 1

i) Existe un autovalor dominante (1>0) estrictamente mayor que el resto de los

autovalores.ii) Independientemente de las condiciones iniciales, la población alcanza un estado en el cual cambia de tamaño geométricamente (crecimiento exponencial)

N N e Nt tr

t 1 1

19

Matrices imprimitivas

3 421

Tamaño de los loops = 4.Máximo común divisor (m.c.d.) = 4

3 421

Tamaño de los loops = 2, 4.Máximo común divisor (m.c.d.) = 2

i) No existe un autovalor dominanteii) La población alcanza un estado cíclico, con crecimiento promedio λ1

20

Análisis de “perturbación”

¿Qué tan sensible es a cambios en las tasas vitales?Evaluación de estrategias de manejoExploración de factores de impactoEvolución de estrategias de vida

Sensibilidad de la tasa de crecimiento poblacional

1 1 1

1 1a

i j

ijij

w

w vS

,

Elasticidad o sensibilidad proporcional o

ae e

ij

aij ij

jiij

1

1 1 ;

21

Fortalezas y debilidades de modelos lineales

Algunos puntos débiles de los modelos lineales: •Supuesto de tasas vitales constantes• , v, w, y elasticidades tienen sentido sólo cuando la población está en la DEE.

Algunos puntos fuertes de los modelos lineales •Son muy útiles para proyección poblacional. •Importante distinguir predicción de proyección.

Predicción: ¿Qué pasará con la población en el tiempo t? Proyección: ¿Qué pasaría con la población si se mantuvieran

las condiciones actuales? •Provéen información acerca de la condición actual de la población,

no de la dinámica o los estados futuros.•Muy utilizados en problemas de conservación y evolución

de historias de vida, aunque captura relativa óptima por edad es independiente del modelo de reclutamiento

22

Tablas de vida y matrices

Clase de edad (i)

Edad (x)

23

Censos post-reproductivos

24

Censos post-reproductivos

3

F4

F2

S3

S2

S1

4

2

1

4

3

2

1

Tiempo t Tiempo t +1E

da

de

s

F3

25