Material Recopilado y Adaptado por Víctor de Jesús Osorio Rodríguez para fines educativos.

DOCENTE: Víctor de Jesús Osorio Rodríguez Logro: Resuelve problemas de aplicación con ayuda de los teoremas del seno y el coseno.

TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO El estudio de estos teoremas es indispensable para poder resolver los denominados triángulos oblicuángulos, los cuales presentan un poco más de dificultad que los triángulos rectángulos que hemos manejado.

Recordemos que un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ángulo recto. Para resolver estos triángulos necesitamos conocer tres elementos de los seis, uno de los cuales debe ser un lado.

TEOREMA DEL SENO.

En todo triángulo ABC, las longitudes de los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos

opuestos a dichos lados. Expresado matemáticamente tenemos:

SenCc

SenBb

SenAa

Importante: El teorema de los senos nos permite resolver triángulos donde se conocen dos lados y un

ángulo opuesto a alguno de ellos o dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos.

TEOREMA O LEY DEL COSENO En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes

de los otros dos lados, menos el doble producto de estos por el coseno del ángulo comprendido entre dichos

lados. a² = b² + c² - 2bcCosA

b² = a² + c² - 2acCosB

c² = a² + b² - 2abCosC Por ejemplo, si se quiere conocer el lado c de un triángulo del que se conocen los otros dos lados a y b, y el ángulo, C, opuesto al lado desconocido, el teorema del coseno permite calcularlo.

Ejemplos:

Una antena de radio está sujeta con cables de acero en la forma indicada (Ver gráfico). Hallemos la longitud de los cables:

Ejemplo 2: Resolver un triángulo si se sabe que dos lados consecutivos miden

40cm y 30cm y el ángulo comprendido entre ellos mide 30°. Solución: Supongamos que sea el triángulo ABC, entonces:

A= 30°; B=?; C=?; . Los lados a=30cm; c=40cm; b=?

DE TU ESFUERZO DEPENDE TU TRIUNFO.

RUFINO J. CUERVO – CENTRO

MATEMÁTICAS TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO

TRIGONOMETRÍA

“La matemática es la reina de las ciencias y la

aritmética es la reina de las matemáticas. Ella a

menudo se digna a prestar un servicio a la

astronomía y a otras ciencias naturales, pero en

todas las relaciones, tiene derecho a la primera

fila”

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán

Solución: Aplicamos la ley del

Seno.

SenC

c

SenA

a

y SenC

cSenAa

72

6280

Sen

MxSena

a = 74.3M

Ahora como:

SenC

c

SenB

b

y

72

4680

Sen

MxSen

SenC

cSenBb

Mb 5,60

Material Recopilado y Adaptado por Víctor de Jesús Osorio Rodríguez para fines educativos.

Solución:

Aplicamos el teorema del Coseno b² = a² + c² - 2ac Cos B b² = 30² + 40² - 2(30)(40) Cos 30°

b² = 900 + 1600 – 2400 (0,8660) b² = 2500 – 2078.4 b² = 421,6 Sacamos raíz a ambos lados

b = 20,5 Con estos datos y aplicando el teorema del seno, encontramos los otros valores.

Ejercicios 1. Dos barcos salen de un mismo puerto, y al mismo tiempo, en rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de 52°. El primero navega con velocidad constante de 80Km/h y el segundo a 60Km/h.

Encontremos la distancia que separa los barcos dos horas y media después de haber partido.

Solución:

El barco A recorrió (80x2,5) Km = 200 Km

El barco B recorrió (60x2,5) Km = 150 Km Para hallar la distancia d entre los barcos aplicamos el teorema del coseno al triángulo de la figura 1.53

d² = 200² + 150² - 2(200)(150)Cos 52° d² = 40000 + 22500 – 60000 x 0.6157

²d = 25558 d 159.9

“El secreto del éxito en la vida de un hombre está en prepararse para aprovechar

la ocasión cuando se presente.” Benjamin Disraeli (1766-1848) Estadista inglés.

No hay secretos para el éxito. Éste se alcanza preparándose, trabajando

arduamente y aprendiendo del fracaso. Colin Powell (1937- ) Militar y político estadounidense.