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TEMA I

Teoría de Circuitos

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Teoría de Circuitos

Electrónica II 2009

1 Teoría de Circuitos

1.1 Introducción.1.2 Elementos básicos1.3 Leyes de Kirchhoff.1.4 Métodos de análisis: mallas y nodos.1.5 Teoremas de circuitos:

Thevennin y Norton.

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1.6 Fuentes reales dependientes.1.7 Condensadores e inductores.1.8 Respuesta en frecuencia.

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1.8 Respuesta en frecuencia

Circuitos de primer ordenCircuitos de orden superiorImpedancia, reactancia y admitanciaFrecuencia de resonancia

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Circuito RLC SerieCircuito RLC Paralelo

Resistencias y C.A.◊ Son los únicos elementos pasivos para los cuales la

respuesta es la misma tanto para C. A. como para C.C.◊ Se dice que en una resistencia la tensión y la corriente

están en fase.

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Capacidad y C.A.◊ En C.C. su comportamiento es similar a las resistencias.◊ En cambio en C.A. las señales tensión y corriente

mantienen la forma de onda pero desfasadas 90º.La corriente se adelanta 90º a la tensión.

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La corriente no depende exclusivamente del valor de la tensión y de la reactancia capacitativa, sino también de la frecuencia, siendo directamente proporcional a esta.

Capacidad y C.A.◊ El parámetro que mide el valor de la reactancia

capacitativa:

XC = 1/2 f C = 1/w C

Donde XC se expresa en ohms

◊ Como X V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos:

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◊ Como XC = V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos:

i(t) = V(t)/XC = 2fC V(t) = wC V(t)

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Inductancia y C.A.◊ En C.C. su comportamiento es similar a las resistencias.◊ En cambio en C.A. las señales tensión y corriente

mantienen la forma de onda pero desfasadas 90º.La corriente atrasa 90º con respecto a la tensión.

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La corriente no depende exclusivamente del valor de la tensión y de la reactancia inductiva, sino también de la frecuencia, siendo inversamente proporcional a esta.

Inductancia y C.A.◊ El parámetro que mide el valor de la inductancia es la

reactancia inductiva:

XL = 2 f L = w L

Donde XL se expresa en ohms

◊ Como X V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos que:

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◊ Como XL = V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos que:

i(t) = V(t)/XL = V(t)/2fL = V(t)/wL

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Resistencia y reactancia◊ La resistencia es el valor de oposición al paso de la

corriente (sea continua o alterna) de la resistenciacorriente (sea continua o alterna) de la resistencia.

◊ La reactancia es el valor de la oposición al paso de la corriente alterna que tienen los condensadores y las bobinas.

◊ Existe la reactancia capacitativa debido a los condensadores y la reactancia inductiva debido a las bobinas.

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bobinas.

◊ Cuando en un mismo circuito se tienen resistencias, condensadores y bobinas y por ellas circula corriente alterna, la oposición de este conjunto de elementos al paso de la corriente alterna se llama impedancia.

Impedancia◊ La impedancia tiene unidades de Ohmios (Ohms). Y es la

suma de una componente resistiva (debido a las suma de una componente resistiva (debido a las resistencias) y una componente reactiva (debido a las bobinas y los condensadores).

Z = R + j XLa jota ( j ) que precede a la X, nos indica que la X es un número imaginario.

◊ La bobina y el condensador causan una oposición al paso de la corriente alterna; además de un desfase, pero idealmente no causa ninguna disipación de potencia, como si lo hace la resistencia (La Ley de Joule)

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como si lo hace la resistencia (La Ley de Joule).

◊ El desfase que ofrece un bobina y un condensador son opuestos, y si estos llegaran a ser de la misma magnitud, se cancelarían y la impedancia total del circuito sería igual al valor de la resistencia.

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Impedancia ◊ Las reactancias se muestran en el eje Y (el eje

imaginario) pudiendo dirigirse para arriba o para abajo imaginario) pudiendo dirigirse para arriba o para abajo, dependiendo de si es mas alta la influencia de la bobina o el condensador y las resistencias en el eje X. (solo en la parte positiva del eje X). El valor de la impedancia (la línea diagonal) será:

Z = R + j(XL - XC)

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j( )

Impedancia y Admitancia◊ Al ser la impedancia un valor complejo (suma

t i l) id ód l fvectorial), se mide su módulo y fase:

◊ La inversa de la impedancia es la Admitancia

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◊ La inversa de la impedancia es la Admitancia(Y):

Y = 1/Z

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Circuitos de primer orden Circuitos de segundo orden

Orden del circuito

p Circuitos de segundo orden

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Se reducen al equivalentede Thévenin/Norton conectado a un condensador o bobina.

Combinaciones R-C◊ Se combinan resistencias e inductancias:

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En el diagrama vectorial de las tensiones del circuito ,vemos cómo VR está en fase con la corriente, VC está retrasada 90º con respecto a ésta.

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Combinaciones R-L◊ Se combinan resistencias e inductancias:

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En el diagrama vectorial de las tensiones del circuito ,vemos cómo VR está en fase con la corriente, VL está adelantada 90º con respecto a ésta.

Combinaciones R-L-C◊ Se combinan resistencias, capacitancias e inductancias:

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La tensión resultante total es función de las tres tensiones presentes, resultando la tensión total (VT) adelantada a la corriente si XL > XC, atrasada si XC > XL y estará en fase con la corriente si XC = XL.

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Circuitos resonantes◊ Un circuito de resonancia está compuesto por una

i t i d d b bi l l resistencia un condensador y una bobina en el cual se alimentan de corriente alterna.

◊ Hay dos tipos de circuitos resonantes: serie y paralelo.

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Cuando el circuito entra en resonancia, tanto el de serie como el de paralelo, la tensión en la bobina es la misma tensión del condensador, entonces eso quiere decir que el valor óhmico se iguala ( XL = XC ).

Frecuencia de resonancia◊ La reactancia de un condensador o de una bobina es el

valor óhmico que se opone al paso de electrones valor óhmico que se opone al paso de electrones. Cuando la frecuencia crece la reactancia de la bobina aumenta, en tanto que al del condensador disminuye. Pero hay una determinada frecuencia en la que los valores absolutos de ambas reactancias se igualan y a este fenómeno se llama "Frecuencia de resonancia". Su valor se deduce de esta manera:

XL = 2fL ; XC = 1/2fC ◊ Para la frecuencia de resonancia:

f /√( )

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2f = 1/√(LC) ◊ El factor de calidad es algo más amplio, puede definirse

en el caso de una bobina, como la reacción: Q = XL/RL

◊ El ancho de banda es el margen de frecuencias.

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Circuito RC. Respuesta natural

◊ El interruptor ha estado cerrado para tiempo anterior al instante cero y por tanto el condensador ha almacenado energía

◊ De modo que en el instante cero entre sus placas tiene un potencial V0

Circuito RC. Respuesta natural

◊ A partir del instante cero el interruptor está abierto y por tanto tenemos el siguiente circuito

◊ La energía almacenada en el condensador se disipa en forma de calor a través de la resistencia

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Circuito RC. Respuesta natural

Ecuación homogénea diferencial de primer orden:

◊ Ordinaria una sola variable independiente (el tiempo)◊ Primer orden primera derivada del voltaje◊ Lineal la variable dependiente y sus derivadas no

incluyen términos de segundo orden ◊ Coeficientes constantes C y R no dependen del tiempo◊ Homogénea no hay términos que no incluyan el

potencial o su derivada

Circuito RC. Respuesta natural

Integrando a ambos lados:

Condiciones iniciales

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Circuito RC. Respuesta natural

El condensador se descarga sobre la resistencia siguiendo una

evolución exponencial desde el valor inicial V0 hasta 0=V∞

Régimen permanente

∞

Régimen transitorio

Circuito RC. Respuesta natural

◊ El producto RC (Ohmios x Faradios) tiene unidades de tiempo◊ T= RC recibe el nombre de constante de tiempo del circuito◊ Vemos que para t=T el voltaje ha caído un 63% del valor V0◊ Como este circuito no tiene ninguna fuente la solución que hemos

hallado se llama respuesta natural (o no forzada) ◊ Y T recibe el nombre de constante de tiempo natural

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Circuito RC. Respuesta natural

Energía en el condensador:

Circuito RC.Respuesta forzada

◊ Ahora tenemos una ecuación no homogénea◊ Solución: suma (superposición) de la homogénea y la

solución de la ecuación particular

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Circuito RC.Respuesta forzada

Homogénea

Particular

◊ Para el cálculo del parámetro A tenemos en cuenta las condiciones iniciales

◊ En el instante cero el voltaje en el condensador es V0◊ Así A= V0 - VS

Circuito RC.Respuesta forzada

◊ Gráfica con el tiempo normalizado respecto a la constante de tiempo

◊ Después de 5 veces la constante de tiempo el voltaje en el condensador alcanza el 99% del voltaje Vs

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Circuito RC. Entrada pulso

l i h h d l i ió “ ” i◊ El switch ha estado en la posición “a” por un tiempo suficientemente largo para que el condensador esté completamente descargado

◊ En el instante inicial el switch cambia a la posición “b” y permanece en ella por un tiempo t1 y posteriormente retorna a la posición “a”

Circuito RC. Entrada pulso

Hasta t1 el circuito se comporta como un RC con respuesta forzada y voltaje inicial cero

A partir de t1 el circuito es un RC con respuesta natural. Para conocer su condición inicial necesitamos hallar el voltaje en el instante t1

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Circuito RC. Entrada pulso

Gráfica normalizada respecto a la constante de tiempo

Circuito RL.Respuesta natural

◊ Estamos en una situación similar a la anterior◊ El inductor tiene almacenada una energía y en el instante

inicial se conecta en serie con una resistencia◊ Por tanto comienza a fluir corriente y la energía

almacenada en la bobina se disipa en la resistencia

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Circuito RL.Respuesta natural

Asumiendo que la qsolución tiene la forma

Solución no trivial

Condiciones Condiciones iniciales

Circuito RL.Respuesta natural

◊ El producto L/R (henrios/ohmios) tiene unidades de tiempo◊ T= L/R recibe el nombre de constante de tiempo del circuito◊ Vemos que para t=T el voltaje ha caído un 63% del valor V0◊ Como este circuito no tiene ninguna fuente la solución que hemos

hallado se llama respuesta natural (o no forzada) ◊ Y T recibe el nombre de constante de tiempo natural

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Circuito RL.Respuesta natural

Procedimiento análisistransitorio RC y RL◊ 1 – Calcular la inductancia/ capacitancia equivalente

◊ 2 – Calcular la resistencia de Thévennin vista por la inductancia/ capacitancia equivalente

◊ 3 – La constante de tiempo es ReqCeq o Req/Leq

◊ 4 – Calcular el valor inicial de V o I en el circuito

◊ 5 – Buscar el valor final de Vc o IL para tiempo infinito

◊ 6 – Solución =valor final+[valor inicial-valor final]

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Circuito con dos constantes de tiempo

◊ El switch ha estado en la posición “a” por un tiempo suficientemente largo para que el condensador esté completamente descargado

◊ En el instante inicial el switch cambia a la posición “b” y permanece en ella por un tiempo t1 y posteriormente retorna a la posición “a”

Circuito con dos constantes de tiempo

◊ Las ecuaciones dependen de las dos constantes de tiempo

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Circuito con dos constantes de tiempo

parapara

para

Respuesta a un impulso

Respuesta generalRespuesta general

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Respuesta a un impulso

respuestarespuesta

◊ Si el impulso es más estrecho la salida no alcanzará el valor máximo

Circuito RLC serie ◊ La intensidad que pasa por todos los elementos es la misma. ◊ La suma (vectorial) de las tensiones de los tres elementos.

El vector resultante de la suma de los tres vectores es:

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Se denomina impedancia del circuito al término:

El vector resultante de la suma de los tres vectores es:

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Circuito RLC serie

C i t i it

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Corriente circuitoKVL

Circuito RLC serie

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Ecuación de segundo orden

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Circuito RLC serie

Ecuación de segundo orden

Sol. Particular + sol homogénea

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particularhomogénea

Circuito RLC serie

homogénea

Asumiendo que la solución tiene la forma

Ecuación característica:

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Circuito RLC serie

Ecuación característicaRaices

Ecuación característica

Solución de la homogénea

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Solución completa

A1 y A2 condiciones iniciales

Circuito RLC serieRespuesta subamortiguada

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◊ Las raíces son complejas.◊ El sistema presenta un comportamiento oscilatorio

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Circuito RLC serieRespuesta Críticamente amortiguada

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◊ Las raíces son números reales y de igual valor◊ El sistema no presenta oscilaciones

Circuito RLC serieRespuesta Sobreamortiguada

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◊ Las raíces son números reales y son distintas◊ No hay oscilación

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Circuito RLC serieParámetros

Frecuencia de resonancia:

Factor de amortiguamiento:

Críticamente amortiguado

Sobreamortiguado

Subamortiguado

Frecuencia natural del sistema.

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◊ Cuando se aumenta el valor de la resistencia aumenta el valor de alfa respuesta sobreamortiguada

Circuito LC serie

Asumiendo que la l ió dsolución es de

la forma:

Ecuación característica:

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◊ En el límite cuando la resistencia se hace cero el circuito RLC serie se reduce a el circuito LC serie

Frecuencia de resonancia

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Circuito RLC paralelo

◊ Determinar la corriente y la tensión en el inductor:1 Establecemos las condiciones iniciales del sistema

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1 – Establecemos las condiciones iniciales del sistema.2 – Determinamos la ecuación que describe el sistema.3 – resolvemos la ecuación.4 – Distinguimos las características de operación en

función de los parámetros de los elementos del circuito.

Circuito RLC paraleloLa caída de tensión es igual en los tres elementos:

Condiciones iniciales:

igual en los tres elementos:

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KCL:

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Circuito RLC paralelo

Ecuación diferencial que describe al sistema

La solución de la ecuación es la suma de la sol. homogénea y la sol. particular

Solución Particular

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Ecuación homogénea

Circuito RLC paralelo

Ecuación homogénea

Ecuación característicaLa solución es de la forma:

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Frecuencia resonancia

Coeficiente amortiguamiento

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Circuito RLC paralelo

Ecuación característica: Raíces de ecuación característica

La solución de la homogénea es una combinación lineal de:

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Solución general

Circuito RLC paralelo

Críticamente amortiguado. S1 y S2 son iguales y reales. No respuesta oscilatoria

Sobreamortig ado S1 S2 son distintos reales No

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Sobreamortiguado. S1 y S2 son distintos y reales. No respuesta oscilatoria

Subamortiguado. S1 y S2 son complejos. Respuesta oscilatoria

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Circuito LC paralelo

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En el circuito LC no hay amortiguamiento◊ Resistencia infinita ◊ coeficiente de amortiguamiento nulo

RLC respuesta transitoria Sumario

ParaleloSerie

Críticamente amortiguado

60

Sobreamortiguado

Subamortiguado

Respuesta