UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.

FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN.

ESCUELA DE EDUCACIÓN

ÀREA MATEMÁTICA.

CÁTEDRA TALLER DE GEOMETRIA.

PROPUESTA DE ORIENTACION DIDACTICA PARA LA ENSEÑANZA Y

APRENDIZAJE DEL TEOREMA DE PITAGORAS DIRIGIDA A

ESTUDIANTES DE TERCER AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA GENERAL DEL

LICEO BOLIVARIANO LLANO EL ANIS, MUNICIPIO SUCRE, ESTADO

MÉRIDA.

Bachilleres:

Del Rosario P. Grecia S. C.I: 21.332.174

Zambrano F. Luis G. C.I: 20.287.937

Prof. Yazmary Rondón

MÉRIDA, NOVIEMBRE DE 2013.

INTRODUCCION

La propuesta aplicable al manejo, utilización y el resolución del Teorema de

Pitágoras a los estudiantes del Tercer Año de Educación Media General, como

aspecto fundamental de la actividad en los contenidos del área de matemática

consiste en resolver problemas a partir de las herramientas matemáticas que a

medida del curso se van dando a conocer para luego saberlas utilizar.

Desarrollando la necesidad del pensamiento geométrico de los estudiantes, así

como el conocimiento del plano y la necesidad de desarrollar habilidades

geométricas como la visual, verbal, gráfica, lógica y aplicada.

Se aborda la misma considerando algunas definiciones y antecedentes previos

a esta investigación que sirvieron de apoyo para ampliar el conocimiento sobre

la temática, como es el caso de la definición de planificación que en una acción

donde se diseñan actividades para estimular al estudiante en el aprendizaje

según, estrategias, métodos y materiales organizados para el logro de objetivos

propuestos.

Para la ejecución de esta propuesta nos guiamos siguiendo uno de los modelos

de enseñanza de la geometría quizás el de mayor renombre, realizado por los

esposos holandeses Van Hiele llamado “Modelo Van Hiele”, permitiéndonos

conocer los niveles de razonamiento geométrico que obtienen los estudiantes

al resolver actividades que tienen a desarrollar el pensamiento geométrico.

Siguiendo el modelo a utilizar, dicha propuesta se ha estructurado en varias

fases que van a desarrollarse en un período de 3 clases con un total de 4 horas

30 minutos guiándonos por un patrón y por materiales para hacer más

armónica la adquisición del conocimiento del tema.

OBJETIVO GENERAL.

Establecer nuevas estrategias entre el profesor y los estudiantes para que

optimicen el proceso de enseñanza y aprendizaje del Teorema de Pitágoras.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

- Diagnosticar las estrategias utilizadas por el profesor de tercer año de

Educación Media General del Liceo Bolivariano Llano El Anís.

- Ejecutar las estrategias planificadas según las fases de enseñanza para

mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje del Teorema de

Pitágoras.

- Aplicar un recurso didáctico para promover el conocimiento del Teorema

de Pitágoras en los estudiantes del tercer año de Educación Media

General.

UNIDAD DIDACTICA: TEOREMA DE PITAGORAS.

Planificación de clases y fases de enseñanza según el modelo de Van

Hiele.

Nº de clase: 1 – Tiempo: 1hora 30 minutos.

Fase 1: Información y

Fase 2: Orientación dirigida.

Inicio: Se inicia la clase con el respectivo saludo, y se realiza la

presentación, dando luego una breve explicación de cuál es el contenido

que se va a tratar a lo largo de la clase.

Desarrollo:

Fase 1: Se pide a los estudiantes que formen grupos de cuatro (4)

personas, se le procede a entregar una serie de fichas para realizar la

identificación de las figuras que se presentan y de esta manera apreciar

el conocimiento. Luego se pide a los estudiantes que recuerden en que

cosas del entorno se encuentran presente ciertas figuras.

Fase 2: se recogerán opiniones de los estudiantes acerca de los

triángulos, para que a través de una lluvia de ideas ellos mismos

construyan su propio concepto, seguidamente, se les explicará el

concepto de triángulo.

Punto: El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene

longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto

físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un

sistema de coordenadas preestablecidas.

Punto A • A

Segmento: es una parte de la recta, está conformado por dos puntos,

llamados puntos extremos o finales y todos los puntos entre éstos.

● ●

A B

Recta: la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección,

existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta

de infinitos segmentos. También se describe como la sucesión continua

e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee

principio ni fin.

Plano: un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y

contiene infinitos puntos y rectas; son conceptos fundamentales de la

geometría junto con el punto y la recta.

Nota: Cabe aclarar que estas son características del punto, la recta y el

plano para representados, pues son conceptos primitivos, es decir, que

no se pueden definir.

Angulo: Figura formada por dos semirrectas que parten del mismo

punto inicial. A las dos rectas se les denomina lados del ángulo y al

punto inicial se le llama vértice del ángulo. El símbolo del ángulo es .

C

β

A B

Triángulo: es un polígono de tres lados. El triángulo está determinado

por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos

no alineados llamados vértices.

A

B C

Área del Triangulo: El área de un triángulo es igual a la mitad del

producto de una base (un lado) por la altura a esa base.

Ejemplo:

4

3

Triangulo Rectángulo: Se llama triángulo rectángulo a todo triángulo

que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90º, a los lados que

forman el ángulo recto se les llama catetos y al tercer lado se le llama

hipotenusa.

En un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras: Es razonable pensar que los primeros orígenes

de la Geometría se encuentran en los mismos orígenes de la

humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba aun de

manera inconsciente los objetos que le rodeaban según su forma. En la

abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento informal e

intuitivo a la Geometría.

Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos

conocimientos geométricos de carácter muy práctico. Estos son

esencialmente algunas fórmulas -o mejor dicho algoritmos expresados

en forma de ""receta""- para calcular áreas y longitudes. La finalidad era

práctica, pues se pretendía con ello calcular la producción proporcional

de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las

parcelas de tierra después de las inundaciones del Rio Nilo.

Por tanto, “Pitágoras de Samos (580 a. C. – 495 a. C.) Fue un filósofo y

matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó

de manera significativa en el avance de la matemática, la geometría y la

aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y

aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la

música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica,

una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente

religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética

y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que

influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más

general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía

racional en Occidente”, en la geometría nos enseña en su propio

Teorema.

Ejemplo:

Cierre: se les pide a los estudiantes que expresen como les pareció la

clase y que digan que fue lo que se aprendió en la clase.

Nº de clases: 2 – Tiempo: 1hora 30 minutos.

Fase 3: Explicitación.

Inicio: se inicia la clase con el respectivo saludo, se pide a los

estudiantes que formen grupos de cuatro (4) y se procede a recordar lo

que se hizo en la clase anterior.

Desarrollo: se procede a entregar un rompecabezas, dándole

previamente las instrucciones del juego que van a ejecutar para que

ellos puedan comprobar que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la

suma de los dos catetos del triangulo recto.

Instrucciones del rompecabezas:

Entregar a cada grupo una hoja con la figura que se va a

construir.

Deben ordenar las piezas indicadas para cada cateto.

Cada grupo tiene 30 minutos para realizar la actividad.

Realizar un pequeño informe que describa la actividad realizada.

Una vez realizada la actividad se procederá a explicar el ejercicio del

rompecabezas a través de la fórmula para verificar que se cumple lo

planteado.

Se resuelve el ejerció sustituyendo los valores de los catetos en la fórmula para

así luego encontrar el valor de la hipotenusa y comprobar que es la misma

cantidad que se presento en el rompecabezas.

Fase 4: Orientación libre.

Se le da una serie de ejercicios y problemas de la vida cotidiana donde los

estudiantes deben aplicar la fórmula del Teorema de Pitágoras utilizando sus

niveles de conocimiento de la explicación y ejecución del problema antes

resuelto, siguiendo las siguientes instrucciones:

Cada estudiante debe sacar una hoja, lápiz y borrador.

Se le dará una serie de cinco (5) ejercicios que deben ser resueltos de

manera individual.

Teniendo un tiempo de veinticinco (25) minutos para resolverlos.

Después de pasado el tiempo los resolvemos en la pizarra y que ellos

mismos se den cuenta de cuáles son los errores que han cometido si es

que los tienen.

Cierre: se les pide a los estudiantes que expresen como les pareció la clase y

que lograron aprender, leyendo uno de cada grupo el informe de la actividad

del rompecabezas.

Nº de clases: 3 – Tiempo: 1 hora 30 minutos.

Fase 5: Integración: Recurso Didáctico.

Inicio: se inicia la clase con el respectivo saludo, se les pide a los estudiantes

que se formen en grupo de tres (3), seguidamente recordando todo lo

acontecido del día anterior.

Desarrollo: se procede a entregar a cada grupo un trozo de cuerda, marcador y

una cinta métrica; para emplearlos en el Teorema de Pitágoras, a cada grupo le

corresponderá una actividad diferente.

ACTIVIDAD 1: Junto con a sus compañeros toman la cuerda, con el marcador

deben dividen la cuerda según los valores en partes iguales, en cada marca se

hace un pequeño nudo teniendo cuidado de mantener la misma longitud.

Utilizando la cuerda formamos un triangulo rectángulo, después deben

comprobar utilizando la ecuación del Teorema de Pitágoras.

ACTIVIDAD 2: Se le pide a los estudiantes que junto a sus compañeros tomen

la cinta métrica y midan el marco de alguna ventana del salón, midiendo de

forma horizontal y vertical para de esta manera obtener valores y determinar el

valor de la hipotenusa haciendo uso del teorema de Pitágoras.

ACTIVIDAD 3: Siguiendo los pasos de la actividad 2 pero en este caso el

objeto de estudio será la puerta.

Nota: En caso de haber varios grupos se realizará la misma actividad utilizando

diferentes valores y objetos del salón. Ejemplo: pizarrón, mesas, sillas entre

otros.

Para concluir con la actividad daremos a conocer de forma física que en todo

triangulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al área

del cuadrado de la hipotenusa. Construyendo con cartulina la siguiente figura.

Dejando unas pequeñas aberturas para así de esta manera llenar las cajas con

arroz. Y de esta manera demostrar lo planteado.

ACTIVIDAD 1:

ACTIVIDAD 2:

RECURSO DIDACTICO:

Niveles de Razonamiento:

Nivel 1: Visualización y Reconocimiento.

Los estudiantes deben reconocer los triángulos en las figuras y formas que

están a su alrededor, logrando identificarlas y señalar cuáles son sus

elementos.

Nivel 2: Análisis.

Los estudiantes deben percibir las propiedades de los triángulos de manera

lógica sin la presencia de la figura, como saber que un triangulo posee 3 lados,

3 vértices y 3 ángulos, que existen varios tipos de triángulos según la medida

de sus ángulos y de sus lados.

Nivel 3: Ordenación o Clasificación.

En este nivel ya los estudiantes deben ordenar los conocimientos previos para

la construcción del triangulo ayudados por el facilitador en este caso nosotros

como preparadores del tema, le explicaremos a partir de que se forma un

triangulo; y sobre todo a la implementación de el Teorema de Pitágoras para su

demostración.

Nivel 4: Razonamiento Deductivo.

Luego de siguiente paso de la clasificación de los conocimientos, los

estudiantes deben ellos mismos formar a partir de los conceptos, definiciones

que les hemos dado formar su propia demostración para luego radicalizar lo

que es la utilización del Teorema de Pitágoras en los triángulos. En este nivel lo

introduciremos de manera no tan explícita para que a los estudiantes se les

haga de manera fácil la abstracción de contenido.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Tomando en cuenta los aportes obtenidos como producto del análisis de los

resultados alcanzados con la aplicación de la propuesta, se llegó a las

siguientes conclusiones y recomendaciones, como respuesta a cada uno de

los objetivos planteados; en este sentido, se expone lo siguiente:

Conclusiones:

Al efectuar el diagnóstico en el área de Matemáticas a los estudiantes

del Tercer Año de Educación Media General del Liceo Bolivariano “Llano

El Anís”, se concluye que enfrentan dificultades al desarrollar

contenidos en cuanto al Teorema de Pitágoras, debido a la falta de

práctica que se hace en el aula y al desconocimiento de procedimientos

y estrategias que les permitan desarrollar habilidades para superar las

limitaciones que poseen para conceptuar, razonar, analizar y sintetizar,

entre otras.

Al ejecutar estrategias planificadas que faciliten a los estudiantes el

aprendizaje de la matemática, se concluye que son necesarias, esto

implica la definición de nuevas estrategias psicopedagógicas con las

cuales los educandos aprendan a desarrollar su pensamiento, además,

para contribuir a un mejor desempeño, por lo tanto el perfeccionamiento

de los docentes en el uso de técnicas y estrategias metodológicas,

pedagógicas y didácticas es fundamental.

Al aplicar el recurso didáctico se vio de parte de los estudiantes un gran

interés y motivación, siendo esto algo innovador que les atrajo y les

causó asombro de lo que ellos podían descubrir. Es así como, utilizando

estrategias didácticas para disminuir la problemática en el grado del

objeto de estudio, se concluye que los estudiantes muestran más interés

y participan de manera más positiva en el desarrollo de los contenidos

del área de matemática, cuando las actividades están vinculadas a su

entorno, a su quehacer y a sus necesidades, es decir, cuando las

estrategias van acompañadas de actividades significativas, su actitud,

motivación y su desempeño en el desarrollo de las mismas es

notablemente diferente a cuando la docente solo emplea la pizarra para

la clase.

Recomendaciones:

Las siguientes recomendaciones fueron concebidas con la finalidad

de proporcionar aportes que sirvieran para minimizar la problemática:

A los docentes evitar usar únicamente una o dos técnicas para la

enseñanza del Teorema de Pitágoras. En su lugar aplicar la mayor

cantidad de técnicas posibles que faciliten la comprensión por parte del

estudiante.

Los docentes deben actualizarse en conocimientos teóricos- prácticos

en cuanto a las distintas formas de planificar de acuerdo a las técnicas,

métodos y estrategias que sirvan de guía para atraer la atención de los

estudiantes y desarrollar de forma positiva la enseñanza del Teorema de

Pitágoras entre otros contenidos, para romper con los patrones actuales

de repetición y dictado.

Fomentar la participación activa del estudiante en la toma de decisiones

en relación a la planificación de los proyectos y las actividades, a fin de

involucrarlo de manera más eficaz, para que sienta que participa en su

proceso de aprendizaje.

Finalmente que el docente este bien empapado en cuanto al tema a

tratar y tener una buena planificación para que eviten la improvisación y

el mal manejo de los contenidos, ayudándose con materiales de apoyo

que hoy en día ofrece el sistema educativo regional y nacional como lo

son las Canaimas, Colección Bicentenario, Aulas Virtuales, Tic’s, entre

otros, para así potenciar el desarrollo social y humano a través de la

actividad con su atributo esencial: el ser actividad productiva y

transformadora.

REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS

Ministerio del Poder Popular para la Educación, (2012). Colección Bicentenario.

La matemática de la belleza. TERCER AÑO. Educación Media. Caracas:

autor.

ANEXOS

Universidad de Los Andes Facultad de Humanidades y Educación

Escuela de Educación Departamento de Medición y Evaluación

Cátedra: Taller de Geometría Mérida – Venezuela

Cuestionario de Base Estructurado dirigido a docentes del Área de Matemática en servicio de

Tercer Año de Educación Media General con el propósito de recabar información relacionada

con el rendimiento estudiantil sobre el contenido del Teorema de Pitágoras.

Nombre y Apellido: ____________________________________ Institución: ___________________________________________ Área de Especialización:________________________________ Instrucciones Generales:

a. Usar lápiz tinta..

b. Leer detalladamente cada pregunta.

c. A continuación se le presenta un cuestionario con una serie de preguntas relacionadas

con el contenido del Teorema de Pitágoras.

1. Incluye en su contenido el Teorema de Pitágoras.

SI ______ NO _____

2. En caso de que su respuesta anterior sea afirmativa diga que estrategia

utiliza:________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

___________________________________________________

3. En caso de que su respuesta anterior sea negativa, indique las causas por las cuales

no lo

aplica:________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

___________________________________________________

4. Si utiliza alguna estrategia diga de que tipo es

:_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

__________________________________________________

5. Si el contenido indicado no se aplica diga las consecuencias que genera

:_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

__________________________________________________

6. En que lapso del año escolar aplica este

contenido:______________________________________________________

7. ¿Cuántas horas académicas emplea para explicar este

contenido?______________________________________________________

8. ¿Considera usted que la estrategia que utiliza para el desarrollo de este contenido es

la adecuada? Justifique su

respuesta_____________________________________________________________

_____________________________________________________________________

___________________________________________________

9. ¿Qué resultado obtiene con la estrategia

aplicada?_____________________________________________________________

_____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Universidad de Los Andes Facultad de Humanidades y Educación

Escuela de Educación Departamento de Medición y Evaluación

Cátedra: Taller de Geometría Mérida – Venezuela

Cuestionario de Base Estructurado dirigido a estudiantes de tercer año de Educación

Media General con el propósito de recabar información relacionada con el rendimiento

estudiantil sobre el contenido del Teorema de Pitágoras

Nombre y Apellido: ____________________________________

Institución: ___________________________________________

Instrucciones Generales:

d. Usar lápiz piedra.

e. Juego geométrico.

f. Leer detalladamente cada pregunta.

g. A continuación se le presenta una serie de preguntas relacionadas con dicho

contenido.

10. ¿Conoce el Teorema de Pitágoras?

SI ______ NO _____

11. Si su respuesta es afirmativa de una breve definición del Teorema de

Pitagoras:_______________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

______

12. En caso de que su respuesta sea negativa diga el por qué desconoce el

Teorema de

Pitágoras:_______________________________________________________

_______________________________________________________________

____

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

____

13. Crear un triangulo rectángulo e identificar cual es la hipotenusa, cuales son los

catetos y cuál es el ángulo de 90º.

14. Con la representación anterior señale los vértices y de nombre a cada uno de

ellos.

15. diga cuál de estas ecuaciones se utiliza para hallar el área del triangulo.

16. En el siguiente triangulo rectángulo si a=12 y b=16 entonces c=?.

17. La longitud de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es 17 y la de una de

los catetos es 15 ¿Calcular el cateto que falta?

18. Con respecto al ejerció anterior dado los mismos valores ¿Calcular el área del

triangulo?.

RESULTADOS OBTENIDOS DE LA ENCUESTA DIRIGIDA A LOS

ESTUDIANTES DEL TERCER AÑO DE EDUCACION MEDIA GENERALEN

EL LICEO BOLIVARIANO “LLANO EL ANIS”, MUNICIPIO SUCRE, ESTADO

MERIDA. CON EL PROPOSITO DE RECABAR INFORMACION

RELACIONADA CON EL TEOREMA DE PITAGORAS.

Nº ITEMS

1 SI NO NO RESPONDIO

54 3 2

2 BUENO MALO REGULAR NO RESPONDIO

27 20 6 6

3 NO LO DIERON NO RESPONDIO

3 56

4 BUENO MALO REGULAR NO RESPONDIO

49 1 0 9

5 21 10 0 28

6 18 20 0 21

7 13 21 0 25

8 7 11 0 41

9 6 0 0 53

FUENTE: ZAMBRANO Y DEL ROSARIO (2013).

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN.

ESCUELA DE EDUCACIÓN ÀREA MATEMÁTICA.

CÁTEDRA TALLER DE GEOMETRIA

EJERCICIOS DEL TEOREMA DE PITAGORAS.

1. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden

y respectivamente?

2. Una escalera de 10m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la

escalera dista 6m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

10m

6m

3. ¿Calcula la longitud de una cinta transportadora que avanza 32 m de forma

horizontal y asciende 24 m de forma vertical? Realizar el grafico.

4. Los catetos de un triángulo

5. equilátero miden 3 unidades de longitud cada uno ¿Cuánto mide su

hipotenusa?

6. Calcula el lado desconocido de cada uno de los siguientes triángulos.

Explicación y dándoles relaciones de figuras

geométricas con su entorno.

Exposición de conceptos y definiciones primitivas

para la construcción del Teorema de Pitágoras.

Construcción del rompecabezas y utilización de la

fórmula del Teorema de Pitágoras para hallar la

hipotenusa y así ver que el cuadrado de la hipotenusa

es igual a la suma del cuadrado de los catetos del

triangulo rectángulo.

Resolución de ejercicios planteados utilizando el

Teorema de Pitágoras en problemas de la vida

cotidiana.

Exposición y utilización del recurso didáctico dirigido

a los estudiantes del Tercer Año del Liceo Bolivariano

“Llano El Anís”.

Recurso didáctico de manejo fácil para estrategia del

Teorema de Pitágoras