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243Capítulo 11 • Análise combinatória

1 Princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem

Acompanhe a seguir a resolução de alguns problemas.

1o) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferen-

tes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de

São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?

Para facilitar a compreensão, vamos utilizar os esquemas seguintes:

Recife Porto Alegre

1

2

3

4

5 possibilidades 4 possibilidades5

São PauloA

B

C

D

ou

5 possibilidades1 2 3 4 5

4 possibilidadesA B C D A B C D A B C D A B C D A B C D

Total de possibilidades: 5 � 4 � 20.

São elas: 1A, 1B, 1C, 1D, 2A, 2B, 2C, 2D, 3A, 3B, 3C, 3D, 4A, 4B, 4C, 4D, 5A, 5B, 5C e 5D.

Portanto, há 20 maneiras possíveis de viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo.

2o) Ao lançarmos uma moeda e um dado, temos as seguintes possibilidades para o resultado (sendo C: cara

e C: coroa):

C

C.

1

2

3

4

5

6

C 1

C 2

C 3

C 4

C 5

C 6

1

2

3

4

5

6

C. 1

C. 2

C. 3

C. 4

C. 5

C. 6

6

possibilidades12

possibilidades2

possibilidades

Observe que o evento tem duas etapas, com 2 possibilidades em uma e 6 possibilidades em outra, totali-

zando 12 possibilidades (2 � 6 � 12).

De modo geral, podemos dizer:

Se um evento é composto de duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número

de possibilidades na 1a etapa é m e para cada possibilidade da 1a etapa o número de possibilidades na

2a etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m � n.

Esse é o princípio fundamental da contagem.

Observação: O produto dos números de possibilidades vale para qualquer número de etapas independentes.

Para refletirDizemos que a viagem de Recife a Porto Alegre é um evento composto de duas etapas sucessivas e independentes. Quais são elas?

Fique atento!A esse segundo esquema damos o nome de árvore de possibilidades ou diagrama de árvore.

Unidade 4 • Análise combinatória e probabilidade244

3o) Em um restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quais e quan-

tas possibilidades temos para fazer uma refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?

Representando por S1 e S2 os 2 tipos de salada; por P1, P2 e P3 os 3 tipos de pratos quentes; e por s1, s2 e s3

os 3 tipos de sobremesa, temos:

s1

s2

s3

s1

s2

s3

s1

s2

s3

s1

s2

s3

s1

s2

s3

s1

s2

P1

P2

P3

P1

P2

S1

S2

2 possibilidades 3 possibilidades 3 possibilidades 18 possibilidades

P3

s3

S1P

1s

1

S1P

1s

2

S1P

1s

3

S1P

2s

1

S1P

2s

2

S1P

2s

3

S1P

3s

1

S1P

3s

2

S1P

3s

3

S2P

1s

1

S2P

1s

2

S2P

1s

3

S2P

2s

1

S2P

2s

2

S2P

2s

3

S2P

3s

1

S2P

3s

2

S2P

3s

3

Portanto, o número total de possibilidades é 2 � 3 � 3 � 18.

4o) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:

a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar?

centena dezena unidade

Há 7 possibilidades para a centena (0 não é permitido), 8 para a dezena e 8 para a unidade. Portanto, podemos formar 448 números (7 � 8 � 8 � 448).

b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?


Com 3 algarismos distintos, há 7 possibilidades para a centena, 7 para a dezena e 6 para a unidade. Portanto, podemos formar 294 números (7 � 7 � 6 � 294) de 3 algarismos distintos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Para refletir

O zero é excluído do algarismo das centenas, pois o número considerado deve ter 3 algarismos. Justifique.


2 Permutações simples e fatorial de um número

Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de

contagem, devemos associar a permutação à noção de embaralhar,

de trocar objetos de posição.

Vejamos agora quantos agrupamentos é possível formar quando temos n elementos e todos serão

usados em cada agrupamento. Observe os exercícios resolvidos:

Exercícios resolvidos

1. Quantos números de 3 algarismos (sem repeti-los em um mesmo número) podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3?

Resolução:

Podemos resolver por tentativa. Assim, temos: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. Concluímos então que são 6 os nú-meros procurados. Podemos também fazer uma árvore de possibilidades:

32

2

3

1

2

1

1

1

2

2

3

3

2

3

1

3

1

2

3

2

3

1

2

1

3

1

2

3

3

possibilidades2

possibilidades1

possibilidade

1

3

1

2

Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 possibilidades (3 � 2 � 1 � 6).Observe que a ordem dos algarismos é muito importante. Todos os números diferem entre si pela ordem de seus algarismos.

2. Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra ANEL?

Resolução:

Considerando as quatro letras: a, n, e e l, há 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda, 2 possibilidades para a terceira e 1 possibilidade para a quarta posição.Pelo princípio fundamental da contagem, temos 24 possibilidades (4 � 3 � 2 � 1 � 24), ou seja, são 24 anagramas.

De modo geral, se temos n elementos distintos, quantas filas podemos formar? Podemos escolher o

primeiro elemento da fila de n maneiras. Agora, de quantas maneiras podemos escolher o segudo elemen-

to da fila? De n – 1 maneiras. Prosseguindo dessa forma e usando o princípio multiplicativo, fica claro que

o número de agrupamentos ordenados que podemos obter com todos esses n elementos é dado por:

n � (n � 1) � (n � 2) � ... � 3 � 2 � 1

Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de permutações simples.

Indicamos por PnP o número de permutações simples de n elementos:

PnP � n � (n � 1) � (n � 2) � ... � 3 � 2 � 1


Fatorial

O valor obtido com Pn é também chamado fatorial do número natural n e indicado por n! (lê-se “fatorial de n” ou “n fatorial”).

Assim, temos n! � n � (n � 1) � (n � 2) � ... � 3 � 2 � 1, para n � 1.

Considera-se 0! � 1.

Exemplos:

a) P5 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 120 b) P4 � 4! � 4 � 3 � 2 � 1 � 24

5! � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 120 c) P2 � 2! � 2 � 1 � 2

Fique atento!

Podemos

escrever:

n! � n � (n � 1)!

15! � 15 � 14 � 13!


3. Calcule quantos são os anagramas:a) da palavra PERDÃO;

b) da palavra PERDÃO que iniciam com P e termi-nam em O;

c) da palavra PERDÃO em que as letras A e O apa-recem juntas e nessa ordem (ÃO);

d) da palavra PERDÃO em que P e O aparecem nos extremos;

e) da palavra PERDÃO em que as letras PER apare-cem juntas, em qualquer ordem.

Resolução:

a) Basta calcular P6 � 6! � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 720.

b) P — — — — O

Devemos permutar as 4 letras não fixas, ou se-ja, calcular P4:

P4 � 4 � 3 � 2 � 1 � 24

Portanto, há 24 anagramas da palavra PERDÃO iniciados com P e terminados em O.

c) É como se a expressão ÃO fosse uma só letra: PERDÃO ; assim, temos que calcular P5:

P5 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 120

d) P — — — — O

O — — — — P

Temos então 2 � P4 � 2 � 4! � 48; 48 anagramas.

e) Considerando PER como uma só letra, PER DÃO, temos que calcular P4:

P4 � 4! � 24

Como as 3 letras de PER podem aparecer em qualquer ordem, temos P3 � 3! � 6 possibilida-des de escrevê-las juntas.

Assim, o número total de anagramas pedido é:

P4 � P3 � 24 � 6 � 144; 144 anagramas

4. Simplifique as expressões:

a) 20

18

!

! b)

48 49

50

! !49

!

! !! ! c)

n!

( )n !( )( )( )( )

Resolução:

a) 20

18

20 19 1818

1818380

!

!

!!

!!� ��

� �19

b) 48 49

50

48

50

4848 1 49! !49

!

! !

!

!! ( )��

��

1 41 4( )49 48 ! !49 48 ! !

5055 49 4848� �49 !!� �

5050

5050 49

1

49�

� ��

c) n nn

n n n

!

( n )!

!!

( )n nn n ! !n nn n��

�1 1n n1 1 ) )! ( n n ) )n nn n�n nn n

1

1

5. Colocando todos os anagramas da palavra ÂNGU-LO listados em ordem alfabética, como em um dicionário, em que posição da lista estará a palavra:a) ÂGLNOU? b) UONLGÂ? c) ÂNGULO?

Resolução:

a) Todas as letras estão em ordem alfabética, logo a palavra ÂGLNOU ocupa a 1a posição.

b) As letras da palavra UONLGÂ estão na ordem inversa da 1a posição, portanto esta palavra ocu-pa a última posição.

P6 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 720

Assim, UONLGÂ ocupa a 720a posição.

c) Â G — — — — → P4 � 4 � 3 � 2 � 1 � 24

Â L — — — — → P4 � 4 � 3 � 2 � 1 � 24

Â N G L — — → P2 � 2 � 1 � 2

Â N G O — — → P2 � 2 � 1 � 2

Â N G U L O → P1 � 1

Assim,

24 � 24 � 2 � 2 � 1 � 53

Portanto, ocupa a 53a posição.


1. Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para uma cidade B e 3 vias de locomoção de uma cidade B a uma cidade C. De quantas maneiras pode-se ir de A a C passando por B?

2. De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapato?

3. Ao lançarmos sucessivamente 3 moedas diferentes, quantas e quais são as possibilidades de resultado?

4. Em uma lanchonete há 5 tipos de sanduíche, 4 tipos de refrigerante e 3 tipos de sorvete. De quantas ma-neiras podemos tomar um lanche composto de 1 san-duíche, 1 refrigerante e 1 sorvete?

5. Quantos números de dois algarismos podemos formar sabendo que o algarismo das dezenas corresponde a um múltiplo de 2 (diferente de zero) e o algarismo das unidades corresponde a um múltiplo de 3?

6. Usando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números:a) de 2 algarismos podemos formar?

b) pares de 2 algarismos podemos formar?

c) ímpares de 2 algarismos podemos formar?

d) de 2 algarismos distintos podemos formar?

e) de 2 algarismos pares podemos formar?

7. DESAFIO

EM DUPLA Uma prova é composta de 7 questões do tipo “Verdadeiro ou Falso”. De quantas maneiras um aluno pode responder essa prova aleatoriamente, ou seja, “chutando” as respostas?

8. DESAFIO

EM DUPLA Em um salão de festas há 6 janelas. De quan-tas maneiras podemos escolher quais janelas estarão abertas ou fechadas, de modo que pelo menos uma das janelas esteja aberta?

9. DESAFIO

EM DUPLA Em uma prova de vestibular com 90 questões do tipo teste, cada questão tem 5 alternativas. O aluno deve preencher um cartão de respostas, assinalando o quadradinho correspondente à resposta de cada questão.

1

2

3

4

5

6

A C D E

A B D E

B C D E

B C D E

A B D E

A B C E

De quantas maneiras diferentes o cartão de respostas com as 90 questões dessa prova poderá ser preenchido aleatoriamente? (Suponham que todas as 90 questões foram respondidas no cartão.)

10. Calcule o valor ou simplifique:

a) 6! d) n!

( )!n � 2

b) 7

4

!

! e)

( )!

( )!

n

n

�

�

1

2

c) 3 5

4 6

! !

! ! f )

( )!

( )!

( )!

( )!

n

n

n

n

�

�

�

�

3

2

1

2�

11. Determine o valor de n nas equações:

a) n

n

!

2�( ) � 56

b) (n � 2)! � (n � 1)! � 15n!

12. Quantas palavras (com significado ou não) de 3 letras podemos formar com as letras A, L e I? Quais são essas palavras?

13. Quantos números de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8? E de 4 algarismos distintos?

14. De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode se sentar em um banco de 5 lugares para tirar uma foto?

15. De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode se sentar em um banco de 5 lugares, ficando duas delas (por exemplo, pai e mãe) sempre juntas, em qualquer ordem?

16. Quantos são os anagramas da palavra AMOR?

17. Quantos números naturais de algarismos distintos entre 5 000 e 10 000 podemos formar com os algaris-mos 1, 2, 4 e 6?

18. Considerem todos os anagramas da palavra TEORIA.a) Quantos são?

b) Quantos começam por TEO?

c) Quantos têm as letras TEO juntas nessa ordem?

d) Quantos têm as letras TEO juntas em qualquer ordem?

e) Quantos têm as vogais juntas, em ordem alfabética, e as consoantes juntas, em qualquer ordem?

19. Colocando todos os anagramas da palavra AMIGO listados em ordem alfabética, como em um dicionário, qual será a:a) 1a palavra?

b) 2a palavra?

c) 25a palavra?

d) penúltima palavra?

e) 55a palavra?

ATENÇÃO!Não escreva no

seu livro!Exercícios



3 Permutações com repetiçãoConsidere o exemplo:

Quantos são os anagramas da palavra BATATA?

Se os As fossem diferentes e os Ts também, teríamos as letras B, A1, A2, A3, T1, T2, e o total de anagramas seria P6 � 6!.

Mas as permutações entre os 3 As não produzirão novo anagrama. Então precisamos dividir P6 por P3. O mesmo ocorre com os dois Ts: precisamos dividir também por P2.Portanto, o número de anagramas da palavra BATATA é:

P

P P

6

3 2�

� 6

3 2

!

! ! �

6 5 4 3

3 2

� � � !

! ! � 60

Generalizando:

A permutação de n elementos dos quais � é de um tipo, � � é de outro e � � é de outro, com � � � � � � � n, é dada por:

Pn

n

� � �

� � �

, ,� �� !

! !� �� !�

6. Quantos são os anagramas da palavra ARARA?

Resolução:

Nesse caso, há 3 três letras A, 2 letras R e um total de 5 letras. Então:

P5

3 2, 3 23 2 � 5

3 2

!

! !3 23 2 �

5 4 33

3 23 2

� �5 45 4 ! !

! !! !3 23 23 23 2 � 10

Logo, são 10 os anagramas da palavra ARARA.

7. Quantos anagramas da palavra CAMARADA co-meçam com A?

Resolução:

Fixamos uma letra A e fazemos os possíveis ana-gramas com as demais: ACAMARAD

P7PP3 1 1 1 1 7

3

, , , ,1 1 1 11 1 1 1 !

!� � 7 � 6 � 5 � 4 � 840

Logo, 840 anagramas de CAMARADA começam com A.

Exercícios

20. Determine quantos são os anagramas das palavras:a) MISSISSIPPI;

b) ARARAQUARA;

c) ABÓBORA;

d) BISCOITO;

e) ARARAQUARA que começam e terminam com A.

Fique atento!Por convenção, não se considera a acentuação gráfica nos anagramas. Na palavra abóbora, por exemplo, a letra o com acento ou sem acento tem o mesmo significado.

21. Em relação à palavra PAPA:a) quantos são os anagramas? b) quais são os anagramas?

22. DESAFIO EM DUPLA Uma matriz quadrada 3 � 3 deve ser preen-

chida com 4 “zeros”, 3 “cincos” e 2 “setes”. De quantas maneiras podemos preencher essa matriz?

23. DESAFIO EM DUPLA Uma prova tem 10 questões do tipo teste,

cada uma valendo 1 ponto se estiver certa ou 0 ponto se estiver errada (não há “meio certo” nas questões). De quantos modos é possível tirar nota 7 nessa prova?

24. DESAFIO EM DUPLA Um casal pretende ter 4 filhos, sendo 2 me-

ninas e 2 meninos, em qualquer ordem de nascimento. Quantas são as ordens possíveis em que podem ocor-rer esses 4 nascimentos?



4 Arranjos simplesVimos que permutação simples de n elementos é qualquer agrupamento ordenado desses n elementos.

Agora, tendo n elementos, vamos estudar os agrupamentos ordenados de 1 elemento, de 2 elementos, de

3 elementos, ..., de p elementos, com p � n.

8. Consideremos as letras a, b, c e d. Quais e quantos agrupamentos ordenados diferentes de 2 letras distintas é possível formar com elas?

Resolução:

a

b

c

d

1ª posição4 possibilidades

2ª posição3 possibilidades

c

c

b

b

d

d

d

c

b

a

a

a

Na primeira posição temos 4 possibilidades (pois temos 4 elementos disponíveis). Na segunda po-sição, 3 possibilidades (pois temos 3 elementos disponíveis).

Pelo princípio fundamental da contagem, há, no total, 4 � 3 � 12 possibilidades.Os 12 agrupamentos ordenados diferentes são:

ab ba ca daac bc cb dbad bd cd dc

Esses agrupamentos são chamados arranjos sim-

ples. Arranjamos 4 elementos 2 a 2, e o número desses arranjos foi 12. Escrevemos então:A4, 2 � 4 � 3 � 12 (arranjo de 4 elementos tomados 2 a 2 é igual a 12)

9. Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números naturais de 3 algarismos distintos podemos formar?

Resolução:


Há 5 possibilidades para o primeiro algarismo, 4 para o segundo e 3 para o terceiro.No total podemos então formar 60 números (5 � 4 � 3 � 60).Dizemos nesse exercício que fizemos arranjos de 5 elementos 3 a 3, e o número desses arranjos é 60.Indicamos assim: A5,3 � 5 � 4 � 3 � 60.

Fórmula dos arranjos simplesVejamos como calcular o número total desses agrupamentos no caso geral de n elementos arranjados

p a p, com n � p, ou seja, como calcular An, p (lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p).

Para n � p, temos An, n � Pn � n! , já estudado.

Para n � p, temos n elementos distintos e vamos arranjá-los p a p. Construindo a árvore de possibilidades,

obtemos:

• na primeira posição: n possibilidades (pois temos n elementos disponíveis)

• na segunda posição: (n � 1) possibilidades (pois temos (n � 1) elementos disponíveis)

• na terceira posição: (n � 2) possibilidades (pois temos (n � 2) elementos disponíveis)

� �

• na p-ésima posição: n � (p � 1) possibilidades (pois temos n � (p � 1) elementos disponíveis)


Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos que o número total de possibilidades é

dado por:

A n n n n pn p

p

,( ) ( ) [ ( )]� � � � �� 1 2 1…

fatores

� ��

Podemos ainda indicar An,p por meio de fatoriais. Observe:

An, p � n � (n � 1) � (n � 2) � … � (n � p � 1)

Multiplicando esse número por ( )!

( )!

n p

n p

�

�, temos:

An, p � n � (n � 1) � (n � 2) � … � (n � p � 1) � ( )!

( )!

n p

n p

�

� �

n n n n p n p

n p

� � � � �( ) ( ) ( ) ( )!

( )!

� � � � �

�

1 2 1… �

n

n p

!

( )!�

Como n � p, multiplicar um número por ( )

( )

n p

n p

�

�

!

! significa multiplicá-lo por 1; logo, seu valor não se

altera.

Portanto:

An

n pn pn pn p

!

( )n p !�

n pn p

Resumindo:

Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p � n) são os agrupamentos ordenados

diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados.

Indica-se por An, p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:np

An, p � n � (n � 1) � (n � 2) � … � (n � p � 1)

ou

An

n pn pn pn p

!

( )n p !�

n pn p

Usando a segunda fórmula, podemos comprovar que: An, n � Pn � n

n n

!

!( )� �

n n!

!

!

0 1� � n!

Exemplos:

(10 � 4 � 1)

↑

a) A10, 4 � 10 � 9 � 8 � 7 � 5 040 ou A10, 4 � 10

6

!

! �

10 9 8 7 6

6

� � � � !

! � 5 040

(8 � 2 � 1)

↑

b) A8, 2 � 8 � 7 � 56 ou A8, 2 � 8 7 6

6

� � !

! � 56

Observação: Você pode usar tanto o conceito de arranjo como o princípio fundamental da contagem para

resolver problemas, como veremos nos exercícios resolvidos a seguir. Compreender o que está sendo feito

é mais importante do que decorar uma fórmula e aplicá-la.

Fique atento!n � (p � 1) é o mesmo que n � p � 1.


Exercícios resolvidos10. Quantos números de 2 algarismos diferentes pode-

mos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?Resolução:1a maneira: usando a fórmula Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que a ordem é importante, pois, por exemplo, 12 � 21. Temos 9 elementos para serem arranjados 2 a 2. Assim, temos de calcular:

A9, 2 � 9 97

9 8 7777 72!

!!!

!!( )9 29 29 29 29 29 2 � ��

� �9 89 8

Portanto, existem 72 números de 2 algarismos di-ferentes que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9.2a maneira: sem usar a fórmula Para o algarismo das dezenas temos 9 opções, e pa-ra o algarismo das unidades, apenas 8 opções, pois não podemos repetir algarismos. Assim, temos 9 � 8 � 72. Portanto, são 72 números.

11. Responda às seguintes questões:a) Quantos anagramas podemos formar com as

letras da palavra CONTAGEM?b) Quantas palavras de 4 letras distintas podemos

formar com as letras da palavra CONTAGEM?c) Quantas dessas palavras começam com E?d) Quantas terminam com TA?e) Quantas contêm a letra M?f ) Quantas não contêm a letra M?

Resolução:a) P8 � 8! � 8 � 7 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 40 320b) 1a maneira: sem usar a fórmula Temos 8 possibilidades para a 1a letra, 7 para a

2a, 6 para a 3a e 5 para a 4a letra. Assim, temos 8 � 7 � 6 � 5 � 1 680; 1 680 palavras. 2a maneira: usando a fórmula A8, 4 � 8 � 7 � 6 � 5 � 1 680c) 1a maneira: sem usar a fórmula Fixando E como 1a letra, restam 7 possibilidades

para a 2a letra, 6 para a 3a e 5 para a 4a letra. Assim, temos 7 � 6 � 5 � 210.

2a maneira: usando a fórmula Fixando E como 1a letra, temos de arranjar as

3 restantes das 7 que sobraram. Assim: A7, 3 � 7 � 6 � 5 � 210d) 1a maneira: sem usar a fórmula Fixando TA como 3a e 4a letras, restam 6 possi-

bilidades para a 1a letra e 5 para a 2a. Assim, temos 30 palavras (6 � 5 � 30).

2a maneira: usando a fórmula Fixando as duas últimas como sendo TA, temos

de arranjar as 2 iniciais das 6 que sobraram. Assim:

A6, 2 � 6 � 5 � 30e) 1a maneira: sem usar a fórmula Fixando M como 1a letra, restam 7 possibilidades

para a 2a letra, 6 para a 3a e 5 para a 4a letra. Assim, temos 210 palavras (7 � 6 � 5 � 210) com o M na 1a posição. Da mesma forma, teremos 210 possi-bilidades para o M na 2a, na 3a e na 4a posição. Assim, temos 840 palavras (4 � 210 � 840).

2a maneira: usando a fórmula Colocado o M, temos A7, 3 � 7 � 6 � 5 � 210; 210 pos-

sibilidades para as outras letras. Como podemos colocar o M de quatro maneiras diferentes:

M ; M ; M e M , temos:

4 � 210 � 840f) 1a maneira: sem usar a fórmula Sem o M, teremos 7 letras para compor a pala-

vra: 7 possibilidades para a 1a letra, 6 para a 2a, 5 para a 3a e 4 para a 4a letra. Assim, temos 840 palavras (7 � 6 � 5 � 4 � 840).

2a maneira: usando a fórmula Retirando o M, passamos a ter 7 letras. Como

os anagramas devem conter 4 letras, temos: A7, 4 � 7 � 6 � 5 � 4 � 840 Observação: Também poderíamos ter feito

1 680 � 840 para obter 840, subtraindo o número de palavras obtido em e do número total obtido em b.

12. De quantas maneiras 5 meninos podem se sentar em um banco que tem apenas 3 lugares?Resolução:1a maneira: sem usar a fórmula 5 meninos são possíveis para o 1o lugar do banco, 4 para o 2o e 3 para o 3o. Então, são 5 � 4 � 3 � 60; 60 possibilidades.2a maneira: usando a fórmula Estamos interessados nos agrupamentos orde-nados de 3 elementos, retirados de 5 elementos, ou seja:

A5, 3 � 52!! � 5 � 4 � 3 � 60

Portanto, há 60 maneiras possíveis.


13. Quantas frações diferentes (e não iguais a 1) pode-mos escrever usando os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13?

Resolução:1a maneira: usando a fórmula Nesse caso estamos procurando agrupamentos de 2 elementos nos quais a ordem é importante 23

32�

e nos quais um mesmo número não po-

de ser repetido na mesma fração 33 1�

.

Esses agrupamentos de 2 elementos devem ser formados com os 6 elementos: 2, 3, 5, 7, 11 e 13. Logo, temos:

A6, 2 � 64!! � 6 � 5 � 30

Portanto, podemos formar 30 frações nessas con-dições.2a maneira: sem usar a fórmula Para o denominador temos 6 opções e, para o nu-merador, 5 opções. Então, 6 � 5 � 30; 30 frações.

14. Quantos números ímpares de 4 algarismos não re-petidos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Resolução:1a maneira: sem usar a fórmula Para que o número seja ímpar, devemos ter como algarismo das unidades uma das 5 opções apre-sentadas (1, 3, 5, 7 ou 9). Para a dezena, temos 8 opções, pois não podemos repetir o algarismo usado nas unidades. Para a centena, 7 opções; para o milhar, 6 opções. Assim, 6 � 7 � 8 � 5 � 1 680; 1 680 números.2a maneira: usando a fórmula Dos 9 algarismos, 5 deles são ímpares. Terminando com um desses 5 algarismos (por exemplo, 1 ), podemos escrever A8, 3 nú-meros de 4 algarismos.Como são 5 as possibilidades para a última posição, podemos escrever:

5A8, 3 � 5 � 85!! � 5(8 � 7 � 6) � 1 680

Portanto, há 1 680 números ímpares de 4 algaris-mos não repetidos com os dígitos 1 a 9.

15. Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras diferentes ele poderá pin-tar os estados da região Sul do Brasil, cada um de uma cor?

Resolução:1a maneira: sem usar a fórmula São 3 estados: Rio Grande do Sul, Paraná e Santa Catarina. Para pintar o Rio Grande do Sul há 5 possibilidades, para o Paraná há 4 possibilida-des e para Santa Catarina há 3 possibilidades. Logo, 5 � 4 � 3 � 60; 60 possibilidades.2a maneira: usando a fórmula Os estados do Sul do Brasil são 3: Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. Logo, devemos cal-cular A5, 3.

A5, 3 � 52!! � 5 � 4 � 3 � 60

Portanto, há 60 maneiras diferentes de pintar os estados do Sul usando 5 cores.

16. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos maiores do que 350 po-demos formar?Temos as possibilidades:• 6 • 5 3A5, 2• 4 • 3 5 2A4, 1• 3 6 Então, o total de números é:3 2 3 5 4 2 45 23 23 2 4 1A A3 23 23 23 23 23 2, 5 25 2 ,4 14 1 ( )3 53 5 4 24 2� �4 1A A3 23 23 23 2 � �4 24 2 44 24 2( )( )4 24 24 24 2� �� 4 24 24 24 2 6866

17. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos maiores que 300 pode-mos formar?Resolução:1a maneira: sem usar a fórmulaPara algarismos maiores do que 300 é necessário que o algarismo da centena seja 3, 4, 5 ou 6. Assim, temos 4 possibilidades para a centena. Para a dezena, 5 possibilidades, pois não podemos repetir a centena, e para a unidade, 4 possibilidades. Assim, 4 � 5 � 4 � 80 números.2a maneira: usando a fórmulaTemos as possibilidades:• 3 _ _• 4__• 5 _ _• 6 _ _Para preencher cada uma das lacunas temos A5, 2 possibilidades.Portanto, podemos formar: 4A5, 2 � 4(5 � 4) � 80 números


Exercícios

25. Calcule:a) A4, 2 e) A5, 1

b) A6, 3 f ) A7, 0

c) A8, 2 g) A8, 5

d) A4, 4 h) An, 0

26. Determine a expressão correspondente a:a) Ax, 2 b) Ax � 3, 2 c) A2x � 1, 3

27. Determine o valor de x nas equações:a) Ax � 1, 2 � 30 b) Ax, 3 � x3 � 40

28. Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras é possível formar uma diretoria?

Para refletir

Procure resolver o exercício 28 sem

usar a fórmula e usando a fórmula.

29. Responda às questões:

a) Quantos números de 4 algarismos distintos podem

ser formados pelos dígitos 4, 5, 6, 7 e 8?

b) Quantos desses números formados são ímpares?

30. De quantas maneiras podemos escolher um pivô e uma ala em um grupo de 12 jogadoras de basquete?

31. Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.a) Quantos números de 3 algarismos distintos pode-

mos escrever?

b) Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever?

c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?

d) Quantos números de 7 algarismos distintos pode-mos escrever com os algarismos 5 e 6 sempre juntos e nessa ordem?

Ma

rk D

ad

sw

ell

/Ge

tty

Im

ag

es

32. Em um sofá há lugares para 4 pessoas. De quantas maneiras diferentes podem se sentar 6 pessoas?

33. Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De quan-tas maneiras ele poderá pintar os estados da região Sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor?

34. Responda:a) Quantos anagramas podemos formar com as letras

da palavra FILHO?

b) Quantas “palavras” de 4 letras distintas é possível formar com as letras da palavra FILHO?

c) Quantas dessas “palavras” de 4 letras começam com O?

d) Quantas dessas “palavras” de 4 letras terminam com FI?

e) Quantas “palavras” de 4 letras contêm a letra I?

35. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6:

a) quantos números de 4 algarismos distintos pode-

mos formar?

b) quantos números de 4 algarismos distintos po-

demos formar tal que o último algarismo seja

sempre 6?

c) quantos números pares de 4 algarismos distintos

podemos formar?

d) quantos números ímpares de 4 algarismos distintos

podemos formar?

36. De quantas maneiras diferentes podemos dispor uma equipe de 4 alunos em uma sala de aula que tem 30 carteiras?

37. Dispomos de 5 cores e queremos pintar uma faixa de-corativa com 3 listras, cada uma de uma cor. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Da

m d

’So

uza

/Arq

uiv

o d

a e

dit

ora


5 Combinações simplesNos problemas de contagem, o conceito de combinação está intuitivamente associado à noção de

escolher subconjuntos.

Observe com atenção estes dois exemplos:

a) Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em

uma apresentação. Quais e quantas são as possibilidades?Representemos por A: Ane; E: Elisa; R: Rosana; F: Felipe; e G: Gustavo. Precisamos determinar todos os subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 5 elementos {A, E, R, F, G}. A ordem em que os elementos aparecem nesses subconjuntos não importa, pois Ane-Elisa, por exemplo, é a mesma dupla que Elisa-Ane.Então, os subconjuntos de 2 elementos são: {A, E}, {A, R}, {A, F}, {A, G}, {E, R}, {E, F}, {E, G}, {R, F}, {R, G}, {F, G}.A esses subconjuntos chamamos combinações simples de 5 elementos tomados com 2 elementos, ou tomados 2 a 2, e escrevemos: C5, 2.Como o número total dessas combinações é 10, escrevemos C5, 2 � 10.

b) Consideremos um conjunto com 5 elementos e calculemos o número de combinações simples de 3 ele-

mentos, ou seja, o número de subconjuntos com 3 elementos.Conjunto com 5 elementos: {a, b, c, d, e}.Combinações simples de 3 elementos: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}.Cada combinação dessas dá origem a 6 arranjos, permutando de todos os modos possíveis seus 3 ele-mentos. Por exemplo: ao permutar todos os elementos da combinação {a, b, c} encontramos os arranjos: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Isso significa que o número de arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3 é seis vezes o número de combinações de 5 elementos tomados 3 a 3, ou seja: A5, 3 � 6C5, 3.Como o 6 foi obtido fazendo permutações dos 3 elementos de, por exemplo, {a, b, c}, temos P3 � 6. Logo,

A5, 3 � P3 � C5, 3 ⇒ C5, 3 � A

P

5 3

3

, �

5

5 3

3

5

3 5 3

!

!

!

!

! !

( )

( )

�

�

� � 5 4 3

32

� � !

! ! �

20

2 � 10

Fórmula das combinações simplesA cada combinação de n elementos tomados p a p correspondem p! arranjos, que são obtidos pela per-

mutação dos elementos da combinação, ou seja:

Cn, p � A

p

n p,

! �

( )

n

n p

p

!

!

!

� �

n

p n p

!

! !( )�

⇒ Cn, p � A

p

n p,

! ou Cn, p �

n

p n p

!

! !( )�

Combinações simples de n elementos tomados p a p (p � n) são os subconjuntos com exatamente p

elementos que se podem formar com os n elementos dados.

Indica-se por CnC , p, CnCp ou

n

p

o número total de combinações de n elementos tomados p a p e

calcula-se por CnC , p �n

p n p

!

! !p np n( )p np n p! !! !p np n p! !! ! ou CnC , p �

A

p

n pn pn p

!.

Observações:

1a) Como são subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não importa. Só consideramos subcon-

juntos distintos os que diferem pela natureza dos seus elementos.

2a) Como foi observado acima, do mesmo modo que se obtém a fórmula da combinação por meio da

divisão de um arranjo pela permutação, podemos obter a combinação sem usar a fórmula, calculan-

do o arranjo sem a fórmula e dividindo o resultado pela permutação dos elementos escolhidos.


Uma propriedade importante das combinaçõesObservemos que:

• C3, 2 � C3, 1, pois C3, 2 � 3 e C3, 1 � 3

• C5, 3 � C5, 2, pois C5, 3 � A

5 3

3

,

! �

5 4 3

3 2 1

� �

� � � 10 e C5, 2 �

A5 2

2

,

! �

5 4

2 1

�

� � 10

De modo geral, vale a propriedade:

Cn, p � Cn, n � p

pois:

Cn, p � n

p n p

!

! !( )� �

n

n p p

!

! !( )� �

n

n p n n p

!

! !( ) ( ( ))� � � � Cn, n � p

Essa propriedade é muito útil para simplificar os cálculos e é conhecida por igualdade de combinações

complementares.

Veja:

• C100, 98 � C100, 2 � 100 99

2 1

�

� � 4 950

• C43, 42 � C43, 1 � 43

Fique atento!Dado um conjunto de 5 elementos,

para cada subconjunto de

3 elementos sobra um de 2 elementos.

Daí: C5, 3 � C5, 2.

2 � 1 � 3

3 � 2 � 5

Para refletirPara p � n, temos Cn, n. Qual é seu valor?


18. Calcule o valor de:

a) C6, 3 b) 4

2

Resolução:

a) C6, 3 � 6

3 6

!

! !3 63 6( )3 63 6! !! !3 63 6 3! !! ! �

6

33

!

! !3333 �

6 5 4 34 3

3 3

� �6 56 5 4 34 3!

! !! !3 33 33 3 �

� 6 5 4

3 2 1

� �6 56 5

� �3 23 2 � 20

ou

C6, 3 � A6 3

3

, 6 36 3

! �

6 56 5 4

3 23 23 2 1

� �6 56 5

� �3 23 23 2

� 20

b) 4

2

� 4

2 4 2

!

!(2 42 4 )!� �

4

2 2

!

! !2 22 2 �

4 3

2

4 34 3 � 6

ou

4

2

� A4 2

2

4 3

2 1

,4 24 2

!�

4 34 3

2 12 1 � 6

19. Em um plano marcamos 6 pontos distintos, dos quais 3 nunca estão em linha reta.a) Quantos segmentos de reta podemos traçar

ligando-os 2 a 2?

b) Quantos triângulos podemos formar tendo sempre 3 deles como vértices?

« passo a passo: exercício 20

Resolução:

a) Marcamos 6 pontos em um plano, onde não exis-tem 3 alinhados.

A

B

C

D

E

F

Como em cada segmento te-mos 2 extremos e, por exemplo, o segmento AD é o mesmo que o segmento DA, o número de

segmentos é C6, 2 � 6 5

2

6 56 5 � 15.

Portanto, podemos traçar 15 segmentos de reta.

b) Como cada triângulo fica determinado por 3 pon-tos não colineares, temos, independentemente da ordem deles:

A

B

C

D

E

F

C6, 3 � 6 56 5 4

3 23 23 2 1

� �6 56 5

� �3 23 23 2 � 5 � 4 � 20

Logo, podemos formar 20 triângulos.


« Resolvido passo a passo

20. No primeiro dia de aula de Matemática do 2o ano, 30 alunos estavam presentes na sala de aula. Para se conhecerem melhor, o professor sugeriu que cada aluno cumprimentasse o outro com um aperto de mão e uma breve apresentação. Qual foi o total de apertos de mão?

1. Lendo e compreendendo

a) O que é dado no problema?

O problema informa que há 30 alunos em uma sala. Eles vão se cumprimentar com um aperto de mão e uma pequena apresentação.

b) O que se pede?

Pede-se o número total de cumprimentos (apertos de mão) entre os alunos.

c) Entendendo melhor o enunciado

Se apenas 2 alunos estivessem na sala, teríamos 1 cumprimento. Por exemplo, se Pedro cumprimenta Maria, Maria estará cumprimentando Pedro, e isso conta apenas 1 cumprimento e não 2.

2. Planejando a solução

Há várias maneiras de resolver este problema. Vejamos três delas:• 1a maneira: elaborando diagramas e analisando casos mais simples.• 2a maneira: elaborando uma tabela, descobrindo regularidades e usando progressão aritmética (PA).• 3a maneira: usando raciocínio combinatório, isto é, usando a ideia de combinação.

3. Executando o que foi planejado

• 1a maneira: com diagramasOs diagramas abaixo representam os cumprimentos para 1, 2, 3, 4 e 5 pessoas.

B

B

B

B

C

C

C

D

D

EA

A

A

AA

1 pessoa 2 pessoas

3 pessoas

4 pessoas

5 pessoas

Observe que o problema dos cumprimentos se reduz à contagem do número de segmentos necessários para conectar vários números de pontos.Vamos ver o caso de 4 pessoas. A cumprimenta 3 pessoas: B, C e D (3 cumprimentos). B também cumpri-menta 3 pessoas: A, C e D (3 cumprimentos). E assim por diante. Cada pessoa cumprimenta outras 3 pessoas. Parece então que teremos 4 � 3 ou 12 cumprimentos. Mas note que os cumprimentos entre A e B foram contados 2 vezes. Isso ocorre com cada uma das 4 pessoas. Consequentemente, cada cum-

primento foi contado 2 vezes. Assim, para obter a resposta, precisamos dividir 12 por 2, ou seja, fazer

4 3

2

4 34 3 ou 6, que é igual ao número de segmentos de reta traçados na figura (AB, AC, AD, BC, BD, CD).

Faça esse mesmo raciocínio para o caso de 5 pessoas. Você descobrirá que serão 5 4

2

5 45 4 ou 10 cumprimen-

tos ou 10 segmentos de reta ligando 5 pontos não alinhados do plano. Podemos generalizar esse raciocí-

nio para um número qualquer de pessoas. Usando a estratégia acima, nosso problema fica resolvido

fazendo 30 29

2

870

2

�

� ou 435 cumprimentos.


• 2a maneira: elaborando uma tabela, descobrindo regularidades e usando PA.

Observe os diagramas e a tabela a seguir:

4

3

2

1

10

0 cumprimento

1

1 cumprimento

2

1

3 cumprimentos

2

3

1

6 cumprimentos

3

4

2

1

10 cumprimentos

Observe a regularidade:a) para 4 pessoas temos 6 (1 � 2 � 3 � 6) cumprimentos;

b) para 5 pessoas temos 10(1 � 2 � 3 � 4 � 10) cumprimentos;

c) o último número da expressão 1 � 2 � 3 � 4 é igual ao número de pessoas menos 1.

Seguindo esse padrão, para 30 pessoas teremos:

1 � 2 � 3 � 4 �… � 28 � 29 cumprimentos

A sequência 1, 2, 3, 4, …, 28, 29 é uma PA de razão igual a 1, onde o primeiro termo é 1, o último termo é 29 e o número de termos é 29.

Vimos no capítulo 7 do volume 1 que a soma de uma PA finita é dada por Sn

n

n�

( )a an

�a aa a1

( )( )a aa a

2.

Nesse caso, a1 � 1, an � 29 e n � 29.

Assim, S29

9 29

2

30 29

2

870

2435� �

��

( )1 29 29 21 21 2.

Portanto, teremos 435 cumprimentos.

• 3a maneira: usando a ideia de combinaçãoSão 30 alunos que vão se cumprimentar. Já vimos que não importa a ordem no cumprimento, ou seja, quando A cumprimenta B, B já cumprimentou A (não conta duas vezes, conta uma vez só). Assim, estamos combinando 30 alunos, 2 a 2. Para encontrar o número total de combinações, fazemos:

C30 2

30

2 3

30 29 2828

2 28

30 29

2, � �

��

!

! !2 32 30 20 20 2

!

! !! !2 22 22 288(! !! !2 32 3 )! !! !

� �2828 30!

� �� 870

2

435

Assim, temos 435 cumprimentos.

4. Emitindo a resposta

Quando 30 alunos se cumprimentam com um aperto de mão, há 435 cumprimentos no total.

Da

m d

'So

uza

/Arq

uiv

o d

a e

dit

ora

Número

de pessoasNúmero de cumprimentos

1 0

2 1

3 3 � 1 � 2

4 6 � 1 � 2 � 3

5 10 � 1 � 2 � 3 � 4

� �

10 1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 6 � 7 � 8 � 9

� �

30 1 � 2 � 3 � … � 28 � 29


5. Ampliando o problemaa) E se fossem 20 alunos, qual seria o total de

cumprimentos? Escolha uma das maneiras e resolva.

b) Discussão em equipe Troque ideias com seus colegas sobre qual

maneira de resolver o problema foi a mais criativa, qual foi a mais fácil, qual foi a mais rápida. Justifiquem suas escolhas.

21. De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de basquete tendo à sua disposi-ção 12 atletas que jogam em qualquer posição?Resolução:1a maneira: usando a fórmulaProcuramos o número total de subconjuntos (ou combinações) com 5 elementos tirados de um con-junto de 12 elementos. A ordem não importa; cada subconjunto difere um do outro apenas pela na-tureza dos seus elementos. Assim, procuramos:

C12, 5 � A12 5

5,

! � 1212 11 1010 9 85 45 45 4 3 23 23 2 1

� �1111 � �9 89 8� �5 45 45 45 4 � �3 23 23 23 2 � 11 � 9 � 8� 792

Portanto, podemos formar 792 times de basquete diferentes com 12 atletas.2a maneira: sem usar a fórmulaSão 5 jogadores a serem escolhidos entre 12. Então, teríamos 12 � 11 � 10 � 9 � 8 � 95 040 possibilidadesse estivéssemos calculando um arranjo. Como é uma combinação, então devemos dividir o resul-tado pelo fatorial dos elementos escolhidos (5 elementos):12 11 10 9 8

5� �1111 � �9 89 8 � 792

Portanto, 792 possibilidades.

22. O conselho desportivo de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos. Candidataram-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito?Resolução:Se escolhermos os professores de x maneiras e os alunos de y maneiras, pelo princípio fundamental da contagem escolheremos os professores e alu-nos de xy maneiras. Assim:• escolha dos professores: C5, 2 � 5

2 3!

! !2 32 3 � 5 4 332 3� �5 45 4 !

! !! !2 32 32 32 3 �

� 5 42 15 45 42 12 1 � 10

• escolha dos alunos: C30, 3 �303 27

!!!3 23 2 �

�30 29 28 2727

3 2� �2929 � !

! !! !3 23 23 23 27777 �30 29 28

3 2� �29293 23 2 � 4060

Logo:C5, 2 � C30, 3 � 10 � 4 060 � 40 600Portanto, o conselho pode ser eleito de 40 600 maneiras diferentes.

23. De quantas maneiras podemos colocar 10 bolas em 3 urnas de modo que fiquem 2 bolas na pri-meira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira?Resolução:Há C10, 2 maneiras de escolher as 2 bolas que ficarão na primeira urna. Para cada maneira há C8, 3 possi-bilidades de escolher as 3 bolas que ficarão na segunda urna. Pelo princípio fundamental da con-tagem há, então, C10, 2 � C8, 3 maneiras de distribuir as 2 bolas na primeira urna e as 3 bolas na segunda urna. Para cada uma dessas possibilidades, há C5, 5 maneiras de colocar as 5 bolas na terceira urna. Por-tanto, novamente pelo princípio fundamental da contagem, há C10, 2 � C8, 3 � C maneiras diferentes de colocar 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segun-da urna e 5 bolas na terceira urna.

1a urna

2a urna

3a urna

2 bolas 3 bolas 5 bolasem 10 em 8 em 5

C10, 2 � C8, 3 � C5, 5 � 102 8

835

555 05 0

!! !2828

!! !3535

!! !5 05 0

� ��

� 1010 9 89 82 12 1 88

8 7 6 56 53 23 23 2 1 51 5

10

5

1

� �9 89 8� �2 12 1

�� 8 78 7 6 56 5� �3 23 23 23 2 1 51 5

�!

!!!

!!

� 45 � 56 � 1 � 2 520

Portanto, existem 2 520 possibilidades de fazer essa distribuição.

24. No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas (são excluídas as cartas 8, 9 e 10). De quantas maneiras diferentes um jo-gador pode receber suas 3 cartas?Resolução:As 3 cartas diferem entre si pela natureza delas e não pela ordem. Como a ordem não importa, o problema fica resolvido calculando:

40 39 383 2 1 988040, 3C �� 3939� �3 23 2 �

Portanto, cada jogador pode receber suas 3 cartas de 9 880 maneiras diferentes.


38. Calcule o valor de:a) C6, 4 e) C

7

5

b) C5, 3 f ) 7

6

c) C4, 1 g) C45, 44

d) C5, 4 h) C30, 26

39. Determine o valor de x em:a) 5 � Cx, 2 � x � 14

b) Cx � 3, 2 � 15

40. Quantas equipes de 3 astronautas podem ser forma-das com 20 astronautas?

41. Quantas equipes diferentes de vôlei podemos escalar tendo à disposição 10 meninas que jogam em qualquer posição?

42. Em uma prova de 10 questões, o aluno deve resolver apenas 8. De quantas maneiras diferentes ele poderá escolher essas 8 questões?

43. Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres?

44. Uma urna contém 5 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. De quantas maneiras podemos selecionar:a) 3 bolas?

b) 3 bolas azuis e 2 vermelhas?

c) 3 bolas vermelhas e 2 azuis?

45. Quantas comissões de 5 elementos podemos formar com os 30 alunos de uma classe?

46. De quantos modos podemos formar triângulos com 3 dos vértices de um heptágono regular?

Dam

d'S

ou

za/A

rqu

ivo

da e

dit

ora

47. De quantas maneiras podemos extrair 4 cartas de um baralho de 52 cartas?

48. Um rapaz tem 5 bermudas e 6 camisetas. De quantas formas ele pode escolher:a) 1 bermuda e 1 camiseta?

b) 2 bermudas e 2 camisetas?

c) 4 peças quaisquer de roupas, entre bermudas e camisetas?

49. Uma classe tem 24 alunos, sendo 10 meninas e 14 me-ninos. De quantos modos podemos escolher:a) 3 meninos e 2 meninas?

b) 5 alunos quaisquer?

c) 1 menino e 1 menina?

50. ATIVIDADE

EM DUPLA Em um grupo de 10 pessoas estão Anderson e Eduardo. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar:a) em que ambos estejam presentes?

b) em que nenhum deles esteja presente?

c) em que apenas um deles esteja presente?

51. ATIVIDADE

EM DUPLA Em um grupo existem 5 homens e 6 mulhe-res. De quantas maneiras podemos escolher uma comissão de 4 pessoas com:a) exatamente 3 homens?

b) pelo menos 3 homens?

c) no máximo 1 homem?

52. ATIVIDADE

EM DUPLA Considerem 10 pontos, sendo 6 na reta r e 4 na reta s. De quantos modos podemos formar triân-gulos com vértices nesses pontos?

r

s

53. DESAFIO

EM DUPLA Quantos quadriláteros, de qualquer tamanho, existem na figura abaixo?

Exercícios


6 Problemas que envolvem os vários tipos de agrupamentos

Nos exercícios resolvidos a seguir temos os vários tipos de agrupamentos estudados e as formas de calcular o número de agrupamentos.


25. Usando os algarismos 5, 6 e 8, quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?

Resolução:

P3 � 3! � 3 � 2 � 1 � 6Portanto, 6 números.

26. Usando os algarismos 1, 3, 4, 6 e 9, quantos núme-ros de 3 algarismos distintos podemos formar?

A5, 3 � 5

2

!!

� 5 4 3 23 2 11

2 12 12 1

� �5 45 4 � �3 23 23 2

2 12 1 � 60 ou

A5, 3 � 5 � 4 � 3 � 60

Podemos fomar 60 números.

27. Quantas comissões diferentes de 3 pessoas podemos formar para representar um grupo de 10 pessoas?

C10, 3 � 10

3 7

!! !3 73 7

� 10 9 8 77

3 2 1 71 7

� �9 89 8 �

� �3 23 2 1 71 7

!!

!! � 120 ou

C10, 3 � A10 3

3

,

! �

10 9 8

3 2 1

� �9 89 8

� �3 23 2 � 120

Podemos formar 120 comissões.

28. Quantos anagramas tem a palavra BANANA?

Resolução:

P6

3 2 1, 3 23 2, � 6

3 2 1

!! !3 23 2 !

� 6 56 5 4 3 2 12 1

3 23 2 1 21 2 1 1

� �6 56 5 � �4 34 3 2 12 1

� �3 23 2 � �1 21 21 2 1 11 1 � 60

A palavra BANANA tem 60 anagramas.

Exercícios

Façam estes exercícios em dupla.

54. Quantos triângulos podemos formar unindo os vérti-ces de um octógono?

55. A diretoria de um clube é composta de 10 membros, que podem ocupar a função de presidente, secretário ou tesoureiro. De quantas maneiras podemos formar, com os 10 membros, chapas que contenham presiden-te, secretário e tesoureiro?

56. Em um ônibus há 5 lugares vagos. Duas pessoas en-tram no ônibus. De quantas maneiras diferentes elas podem se sentar?

57. Em uma competição com 10 países, de quantas ma-neiras podem ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?

58. Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA?

59. Sobre uma circunferência são marcados 6 pontos dis-tintos. Quantos quadriláteros podemos traçar com vértices nesses pontos?

60. Na despedida de um grupo de amigos, 36 abraços fo-ram trocados. Sabendo que cada um abraçou todos os outros, quantos amigos estavam reunidos?

61. Considerem a palavra LÓGICA:a) Quantas permutações (anagramas) podemos formar?

b) Quantos anagramas começam com L?

c) Quantos começam com LO?

d) Quantos começam e terminam com vogal?

e) Quantos começam com consoante e terminam com vogal?

f ) Em quantos anagramas as letras L, O, G estão jun-tas, nessa ordem?

g) Em quantos as letras L, O, G estão juntas?

62. Quantos números de 4 algarismos distintos maiores que 2 000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

63. As placas dos automóveis são formadas por 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas placas podemos criar com as letras A e B e os algarismos pares, poden-do repetir a letra e não podendo repetir o algarismo?

64. Quantas duplas diferentes podemos formar com um grupo de 8 tenistas?

65. Em um grupo de 20 pessoas há 6 mulheres. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas de modo que nelas haja pelo menos 1 mulher?


7 Números binomiais

Chama-se número binomial o número n

p

, com n e p naturais, n � p, tal que n

p

� n

p n p

!

! !( )� (n é

o numerador e p é a classe do número binomial). Note que n

p

� Cn, p.

Exemplo:

5

2

5

2 5 2

��

!

! !( ) �

5

2 3

5 4 3

2 1 3

!

! !

!

!�

� �

� �� 10 � C5, 2

PropriedadeDois números binomiais são iguais se tiverem o mesmo numerador e:

• suas classes forem iguais, ou

• a soma de suas classes for igual ao numerador (binomiais complementares).

8 Triângulo de PascalPodemos dispor os números binominais em formações triangulares, como abaixo:

0

0

1

0

1

0

2

0

2

1

2

2

3

0

3

1

3

2

3

3

4

0

4

1

44

2

4

3

4

4

…

… … … … …

n

0

n n n

1 2 3…

n

n

ou

0

0

1

0

1

1

2

0

2

1

22

2

3

1

3

2

3

3

3

0

4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

… … … … …

0 1

n n

2 3

…n n n

n

Calculando cada número binomial, temos:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...

ou

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 1

Essa maneira de dispor tais coeficientes é conhecida como triângulo de Pascal.

Para refletir

Verifique que: n n

n

n

n 01

1

� � �; ; .1

Você sabia?

Blaise Pascal (1623-1662) foi um físico, filósofo e teólogo francês que estudou os problemas matemáticos relacionados aos jogos de dados, e um dos resultados dessa pesquisa foi a tabela numérica denominada triângulo de Pascal.


Propriedades dos números binomiaisObservando o triângulo de Pascal podemos tirar as seguintes propriedades:

1a) Por exemplo:

3

1

3

2

� → 1 � 2 � 3 4

1

4

3

� → 1 � 3 � 4 5

2

5

3

� → 2 � 3 � 5

De modo geral, como já foi visto no estudo dos números binomiais:

n

a

n

b

� , pois a � b � n (binomiais complementares ou combinações complementares)

2a) Observe:

3

1

3

2

4

2

� � 3

2

3

3

4

3

� � 4

2

4

3

5

3

� �

1

1 1

1 2 1

1 3 � 3 � 1

1 4 6 � 4 1

1 5 10 10 5 1

...

De modo geral:

n

p

n

p

n

p

�

��

�

�

1

1

1

relação de Stifel

3a) Observe a soma dos elementos de uma mesma linha no triângulo de Pascal:

0

0

� 1 � 20

1

0

1

1

� � 1 � 1 � 2 � 21

2

0

2

1

2

2

� � � 1 � 2 � 1 � 4 � 22

3

0

3

1

3

2

3

3

� � � � 1 � 3 � 3 � 1 � 8 � 23

4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

� � � � � 1 � 4 � 6 � 4 � 1 � 16 � 24

Qual seria o valor de 6

0

6

1

6

2

6

3

6

4

6

5

� � � � �

�

6

6?

De modo geral, temos:

n n n n n

n0 1 2 3 1

…

� � � � ��

�

n

n � 2n

Você sabia?Michael Stifel (1486-1567) foi um matemático alemão, que fez pesquisas na Álgebra e na Aritmética. Seu trabalho mais famoso é Arithmetica Integra, publicado em 1544, na qual inclui o triângulo de Pascal e o tratamento dos números negativos, radicais e potências.

Fique atento!Observe que 2n é o mesmo que (1 � 1)n.


29. Obtenha o valor de x sabendo que 7

3

7

�x

.

Resolução:

Sabemos que a igualdade acontece em duas situações: x � 3 ou 3 � x � 7. Se 3 � x � 7, então x � 4.Logo, os valores de x são: x � 3 ou x � 4.

30. Uma casa tem 3 portas de entrada. De quantos modos essa casa pode ser aberta?

Resolução:

Há C3, 1 modos de abrir a casa abrindo 1 só porta, C3, 2 modos de abrir a casa abrindo 2 portas e C3, 3 modos de abrir a casa abrindo as 3 portas. Logo:

C3,1 � C3,2 � C3, 3 � 3

1

3

2

3

32

3

0

3

� �

� �23

� 8 � 1 � 7


Exercícios

66. Calcule o valor de:

a) 6

2

b) 7

3

c) 6

0

d) 20

18

67. Se m m

9 8

� , calcule m

17

.

68. Determine o valor de x, sabendo que 20

2

20

1x x

��

.

69. Simplifique a fração:

12

4

12

5

70. Calcule o valor das expressões usando as propriedades do triângulo de Pascal:

a) 5

0

5

1

5

2

5

3

5

4

� � � �

�

5

5

b) 6

1

6

2…

6

5

6

6

� � � �

c) 9

5

9

4

�

d) 8

0

8

1

8

2

8

3

� � �

71. Se a 5a linha do triângulo de Pascal é:1 5 10 10 5 1, escreva a 6a e a 7a linhas.

72. Determine inteiros n e p de modo que:

n

p

n

p

n

p

1

1

2

2

3�

��

�

73. Lembrando que Cn, p � n

p

, determine:

a) C4, 0 � C4, 1 � C4, 2 � C4, 3 � C4, 4

b) C8, 1 � C8, 2 � ... � C8, 7 � C8, 8

74. ATIVIDADE EM DUPLA Um salão tem 5 janelas. De quantas manei-

ras podemos abrir essas janelas de modo que o salão nunca fique com todas as janelas fechadas?

75. ATIVIDADE EM DUPLA Dez pontos estão distribuídos em uma circun-

ferência. Quantos polígonos podemos fazer usando quaisquer desses pontos como vértices?

76. ATIVIDADE EM DUPLA Em uma sorveteria, o cliente pode escolher

quantos e quais desejar entre 8 tipos de cobertura para colocar no seu sorvete, podendo também não colocar cobertura alguma. De quantos modos o clien-te pode fazer a sua escolha?

A.

Parr

am

ón

/AP

Ph

oto


9 Binômio de NewtonToda potência da forma (x � y)n, com x � ®, y � ® e n � n, é conhecida como binômio de Newton.

O desenvolvimento do binômio de Newton é simples em casos como os seguintes, que você já estudou

no Ensino Fundamental:

• (x � y)0 � 1

• (x � y)1 � x � y

• (x � y)2 � (x � y)(x � y) � x2 � 2xy � y2

• (x � y)3 � (x � y)2(x � y) � x3 � 3x2y � 3xy2 � y3

Em casos como (x � y)7, (2x � y)5, (x � 2)10 e outros, vamos recorrer aos conhecimentos adquiridos na

análise combinatória.

Observe nos exemplos seguintes os binômios de Newton desenvolvidos e veja como são os coeficientes

de cada termo:

a) (x � y)2 � x2 � 2xy � y2 � 1x2y0 � 2x1y1 � 1x0y2 � 2

0

x y2 0

� 2

1

x y1 1

� 2

2

x y0 2

b) (x � y)3 � x3 � 3x2y � 3xy2 � y3 � 1x3y0 � 3x2y1 � 3x1y2 � 1x0y3 � 3

0

x y3 0

� 3

1

x y2 1

� 3

2

x y1 2

� 3

3

x y0 3

Note que os coeficientes dos desenvolvimentos são as linhas do triângulo de Pascal. Será que isso tam-

bém acontece com (x � y)4?

De fato:

(x � y)4 � x4 � 4x3y � 6x2y2 � 4xy3 � y4 � 1x4y0 � 4x3y1 � 6x2y2 � 4x1y3 � 1x0y4 �

� 4

0

x y4 0

� 4

1

x y3 1

� 4

2

x y2 2

� 4

3

x y1 3

�

4

4

x y0 4

Generalizando, podemos escrever, para x e y � ® e n � n:

(x � y)n �

xn

0

�

nx ynx yx y

1

1x yx y

�

�n

x ynx yx y2

2 2x yx y

…�

� �…n

kx y

n

nyn kx yx yk n

ny

…k nk n

k nk nk nk n

k nk n

k nk nk nk n

n kn k

� �k nk n…

Note que os expoentes de x começam em n e decrescem de 1 em 1 até 0, enquanto os expoentes de y

começam em 0 e crescem de 1 em 1 até n.

Observação: Como já vimos, dados os números naturais n e p, com n � p, o número np

é chamado

número binomial n sobre p. Lembre que Cn, p � n

p

� n

p n p

!

!( )!�

.

Veja, por exemplo, como efetuar o desenvolvimento de (x � a)5

( )x a x x a x a� � � �5 5 4 3 2

5

0

5

1

5

2

1 5

3

5

4

5

5

2 3 4 5

x a xa a� �

Portanto:

(x � a)5 � x5 � 5x4a � 10x3a2 � 10x2a3 � 5xa4 � a5

↓1

↓1

↓10

↓10

↓5

↓5

Você sabia?

Isaac Newton (1642-1727) foi um cientista inglês e é considerado um dos maiores estudiosos da História. Contribuiu grandemente com a Matemática e a Física. Criou o binômio de Newton, a lei da gravitação, entre outras criações.


Exercícios

77. Efetue os seguintes desenvolvimentos:a) (x � 2)5

b) (a � 3)4

Fique atento!(a � 3)4 � (a � (�3))4

78. ATIVIDADE

EM DUPLA Considerem o desenvolvimento de (x � 1)15. Sem fazer o desenvolvimento todo, tentem responder às perguntas:a) Quantos termos tem o desenvolvimento?

b) Qual é o 1o termo?

c) Qual é o 3o termo?

Leitura

O triângulo aritmético

Também conhecido como triângulo de Pascal, triângulo de Tartaglia ou triângulo de Yang-Hui, o

triângulo aritmético já era conhecido dos matemáticos havia muito tempo. Referências ao triângulo

aritmético ou a seus coeficientes podem ser encontradas rudimentarmente em obras indianas e chi-

nesas de épocas anteriores a Cristo.

Na China, o Manual de Matemática de Jia Xian, escrito por volta do ano 1050, já traz o triângulo.

O mais famoso matemático chinês associado ao triângulo aritmético foi Yang-Hui, que estudou e

aplicou o triângulo aritmético por volta do ano 1250. Outra importante referência chinesa ao triân-

gulo aritmético é o livro Precioso espelho dos quatro elementos, escrito em 1303 por Chu Shih-Chieh.

Esse livro traz figuras de triângulos com até nove linhas; entretanto, a denominação chinesa mais

comum para o triângulo aritmético é triângulo de Yang-Hui.

O poeta, astrônomo e matemático persa Omar Khayyam (1048-1122) descreveu o triângulo arit-

mético em alguns trabalhos por volta de 1100. Um arranjo semelhante dos coeficientes era conhecido

dos árabes na mesma época e, em 1265, o árabe Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) faz uma clara referência

ao triângulo aritmético em uma de suas obras.

Na Europa, um século antes de Pascal, muitos matemáticos trabalharam com o triângulo aritmé-

tico. Um dos mais antigos foi o matemático alemão Apianus (Petrus Apianus, 1495-1552), que em 1527

publicou um livro cuja capa trazia um desenho do triângulo aritmético. Mas quem mais divulgou o

triângulo foi o alemão Stifel (Michael Stifel, 1486-1567), principalmente por meio de sua importante e

influente obra Arithmetica Integra, de 1544.

Após os alemães, alguns matemáticos italianos redescobriram o triângulo aritmético. O principal deles

foi Tartaglia (Niccolò Fontana Tartaglia, 1499-1559), que dedicou a esse assunto muitas páginas de seu ex-

tenso livro General Tratato di numeri et misure, de 1556. Tartaglia reivindicou a criação do triângulo aritmé-

tico para ele, e atualmente em alguns países este é chamado triângulo de Tartaglia.

O francês Pascal (Blaise Pascal, 1623-1662) chegou ao triângulo aritmético motivado pela resolução de um

problema que envolvia a probabilidade de obter um duplo 6 jogando dois dados. Escreveu uma monografia

de 60 páginas sobre o triângulo aritmético, Traité du triangle arithmétique, publicada postumamente em

1665. Pascal propôs o triângulo em nova forma e estudou suas propriedades mais a fundo que seus anteces-

sores, provando várias delas. A consagração da denominação atual triângulo de Pascal ocorreu pelo fato de,

em 1739, De Moivre (Abraham de Moivre, 1667-1754) ter publicado um trabalho de grande repercussão na

época, em que usou a denominação triangulum arithmeticum pascalianum para o triângulo aritmético.

Adaptado de: GALERA, María Cristina Solaeche. Sistema de tabulación de coeficientes binomiales o triángulo de Pascal: un modelo numérico rasga el telar de los tiempos. Venezuela: Divulgaciones matemáticas. n. 1, p. 61-68, v. 6, 1998.; DAVIS, Harod T. Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula. São Paulo: Atual, 1992.;

MORGADO, Augusto César de Oliveira et al. Análise combinatória e probabilidade. Rio de Janeiro: SBM, 1991. (Coleção do Professor de Matemática).

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