1 Oscilaciones Libres - MAS

5/12/2018 1 Oscilaciones Libres - MAS - slidepdf.com

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1 Lic. Fís. John Cubas Sánchez



Oscilaciones Mecánicas

Movimiento oscilatorio

Movimiento periódico Movimiento armónico simple (MAS)

Elementos del MAS

Ecuaciones de un MAS

Ecuación del desplazamiento “X”

Ecuación de la velocidad “v”Ecuación de la aceleración “a”




Oscilaciones Mecánicas


Es aquel en el cual el móvil va y vienesiguiendo una misma trayectoria en formarepetitiva, hacia uno y otro lado de un puntollamado punto de equilibrio. También se leconoce con el nombre de movimiento devaivén.

Ejemplo: El movimiento que realiza un pénduloal ser separado de su punto de equilibrio




El movimiento de un resorte





Movimiento periódico

Es aquel movimiento que se repite cada ciertotiempo denominado período.

Ejemplo:

El movimiento planetario.


Ejemplo: El movimiento

planetario



Movimiento armónico simple (MAS)

Es aquel movimiento periódico y oscilatoriorealizado sobre una recta; se caracteriza porque la

aceleración del móvil es directamente proporcional

a la elongación, pero de sentido contrario.

A A

-x x0

a -a




Elementos del MAS

1.- Oscilación o vibración completa.-Es el movimiento de ida y vuelta que efectúa el

móvil, recorriendo la trayectoria completa.

2.- Período (T).-

Es el tiempo que transcurre durante la realizaciónde una oscilación.

3.- Frecuencia (f).-

Es el número de oscilaciones efectuadas en

cada unidad de tiempo. f = 1 / T7 Lic. Fís. John Cubas Sánchez



4.- Elongación (x).-

Es la distancia medida desde la posición deequilibrio hasta el lugar en que se encuentra elmóvil en un instante cualquiera. Sirve para ubicar

al móvil.

5.- Posición de equilibrio (P.E.).-

Es aquel punto situado en la mitad de latrayectoria. No necesariamente el movimiento seinicia en este punto




6.- Amplitud (A).-

Es la distancia entre la posición de equilibrio ycualquiera de los extremos de la trayectoria. Es el

máximo valor de la elongación. Una oscilación

consta de cuatro amplitudes.




Ecuaciones de un MAS:

Para deducir las ecuaciones de un MASutilizaremos un sencillo equipo compuesto de:

Una partícula que tiene MCU.Un gran foco luminoso.

Un écran para proyectar la sombra de la partícula

(que los colocaremos en forma vertical)




La sombra de la partícula tendrá un movimientoarmónico simple MAS y una velocidad y

aceleración iguales a las proyecciones de la

velocidad tangencial “vt” y la aceleración centrípeta“ac” del MCU sobre el ecran; es decir son las

componentes verticales de la velocidad tangencial

“vt” y la aceleración centrípeta “ac”.





Como el movimiento circular es uniforme; solo hayaceleración centrípeta; y ω y vt son constantes.

La amplitud A del MAS es igual al radio del circulo.

La partícula inicia su movimiento en el punto P. El ángulo α se le llama fase inicial.





X= QR= A sen γ

γ = θ + α

θ = ωt

X= A sen (ω

t +α

)

Ecuación del desplazamiento “X”




Ecuación de la velocidad “v”

V= Vt cos γ

Vt = ωR = ωA

V= ωA cos (ωt + α)

γ = θ + α

θ = ωt




Ecuación de la aceleración “a”

a = ac sen γ

ac = ω² R = ω² A

γ = θ + α

θ = ωt

a = ω²A sen (ωt + α)17 Lic. Fís. John Cubas Sánchez



OSCILADOR

ARMÓNICOω t + α :es la fase, cuya unidaden S.I es el RADIÁN

α : es la fase inicial (t = 0)

x = A cos(ω t +ϕ)

x = A sin(ω t +ϕ)



CINEMÁTICA DEL MAS

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Si x = A sin ωtv= dx/dt = A ω cos ωt

a= dv/dt= -A ω2 sin ωt

Lic. Fís. John Cubas Sánchez



DINÁMICA DEL M.A.S.

• Para x >0, F = - kx

• Para x <0, F = kx

LEY DE HOOKE: define el comportamiento del muelle para

un oscilador armónico.

La fuerza restauradora de un muelle es directamente proporcional a su deformación .

F K = -k x




Lic. Fís. John Cubas Sánchez21

Periodo de las oscilaciones:

Tomando a= - ω2

x ; tenemos que la frecuencia angular yperiodo son respectivamente:

El periodo de oscilación y la frecuencia del cuerpo no depende

de la amplitud de las oscilaciones.

En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las fuerzasque actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza restauradora del muelle:

F K = m a - k x = m a

T = 2π

m / k ω

= k / m

xmk a −=



ENERGIA ASOCIADA AL OSCILADOR

ARMÓNICO

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W =

|f| |Δr|cos

ϕ

1. TRABAJO:




2. ENERGIA CINETICA: Aquella capacidad que poseen los cuerpos para realizar trabajo en

función de su movimiento.

23

Ec = 1/2 mv2

Ec = 1/2 k (A2 – x2 )

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA

CINÉTICAW T = Δ Ec




Lic. Fís. John Cubas Sánchez24

La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza conservativa, porque el trabajo que realiza un muelle no depende del camino seguido.

3. FUERZAS CONSERVATIVAS:



Esta energía, depende de las posiciones de las partículas que forman el sistema.

En un sistema muelle - cuerpo, hablamos de energía potencial

elástica ; por supuesto cuanto mayor sea la compresión del muelle

mayor es la energía.

4. ENERGIA POTENCIAL:

25

E pelástica= ½ K x 2




5. CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA MECÁNICA:

El trabajo total realizado sobre una partícula se puedeexpresar como:

W TOTAL = W C + W NC = Δ E c

Teniendo en cuenta la relación entre el W c y la Δ Ep

tenemos: :W NC = Δ E c + Δ E p

O lo que es lo mismo: W NC = Δ E m




APLICACIONES DEL MAS

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M.A.S. vertical

Colgamos una masa del extremo libre

de un resorte vertical y se dejadescender suavemente; comienza aoscilar de forma vertical, hasta que el

sistema alcanza el equilibrio.

Fuerza recuperadora -> F = k l

En el equilibrio se cumple -> m g = k Δl

k=mg/l -> f= 1/2 π k/mLic. Fís. John Cubas Sánchez



MAS ANGULAR

La frecuencia angular y frecuenciavienen dadas por:

Ejemplo: rueda de balance de un reloj mecánico

Un resorte espiral ejerce un momento de torsión de restitución

proporcional al desplazamiento angular respecto de la posiciónde equilibrio.τ = - K Θ

El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ)




PÉNDULO SIMPLE

Constituido por una masa puntualsuspendida de un punto fijomediante un hilo inextensible cuyamasa es despreciable.




ENERGÍA ASOCIADA AL PÉNDULO SIMPLE

Por haber ganado altura, decimos que adquiere energía potencialgravitatoria. Es decir, en el centro no tiene energía potencial y en losextremos si. Podemos entonces, aplicar el principio de conservación de la

energía y afirmar que la energía cinética del centro se ha transformado enpotencial en los puntos de máxima amplitud.




ECUACIONES DEL PÉNDULO SIMPLE

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x = A cos (ωt + φ) = A cos (2πƒt + φ) x = A sen(ωt + β) = A sen (2πƒt + β)

Periodo del péndulo:

T = 2π L / g




PÉNDULO FÍSICO

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El período del péndulo físico para

pequeñas amplitudes de oscilación:

Al desplazarse el cuerpo, el peso (mg), causa un momento detorsión de restitución:

τ = - (mg) (d senθ)

El péndulo físico oscila solamentepor acción de su peso




Si se suelta el cuerpo, oscila;

Para ángulos pequeños, el movimientoserá armónico simple. (al aproximar senθ

con θ). Entonces: τ = - (mg d) θ

Para amplitudes mayores, el movimiento esarmónico, pero no simple.

Frecuencia:

Momento

de inercia:Periodo:




SUPERPOSICIÓN DEL M.A.S.

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La superposición tiene lugar cuando dos fuerzas perturbadorasactúan simultáneamente siendo el movimiento resultante la

suma de los distintos M.A.S.

x1(t) = A1 sen (ω1t + ψ1)x2(t) = A2 sen (ω2t + ψ2)

x(t) = x1(t)+ x2(t) = = A1 sen(ω1t + ψ1) + A2 sen(ω2t + ψ2)





En una dimensión: FRECUENCIAS IGUALES

Α) φ1 = φ2 -> interferencia constructiva

Β) φ1 = φ2 + π -> interferencia destructivaC) φ

1

= φ2

+ π /2 -> MAS en cuadratura

Casos particulares:

Resulta un M.A.S. de la misma frecuencia, donde: A2 = A1

2 + A22 + 2A1 A2 cos|φ1 −φ2|

tg α = A1 sen φ1 + A2 sen φ2

A1 cos φ1 + A2 cos φ2

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FRECUENCIAS DISTINTAS

PULSACIONES

El movimiento resultante no es un MAS

La amplitud resultante será:

A2 = A12 + A2

2 + 2A1 A2 cos (Φ1 −Φ2)

Es el resultado de la superposición de dos M.A.S. defrecuencias ligeramente diferentes.

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t sent At x ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

22cos)( 2121 ω ω ω ω




En dimensiones perpendiculares:

FRECUENCIAS IGUALES x(t) = A sen (ωt + α) y(t) = B sen (ωt + β)

Con δ = α – β eliminamos t, y obtenemos:

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¿Cómo se forman las

figuras de Lissajous?


http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/oscilaciones/perpenDireccion/oscila3.htm





FRECUENCIAS DISTINTAS

x = A sen (ω xt + α) y = B sen (ω yt + β)

La trayectoria no será una elipse,salvo que ω x= ω y

En el caso general es una

curva conocida como “curvade Lissajous”.




RESUMEN


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