A 1o largo de los últimos años hemos impartido la docencia de la Matemática de los

Seguros de Vida en la Universidad Comptrutense de Madrid. Dicha materia se incluía

antes dentro de la ruma actuarial, y actualmente en la licenciatura de segundo ciclo en

Ciencias Actuariales y Financieras. Fruto de esta experiencia docente es el libro que hoy

persentamos con el ánimo de que sea de utilidad y avuda tanto a los estudiantes de la

disciplina como a los actuarios de seguros en el ejercicio de su profesión. También nos

ha motivado la escasez de títulos en castellano dedicados al tema, y esperamos que

con esta publicación estemos acercando los contenidos de la Matemática Actuarial

Vida a todos los potenciales lectores de habla hispana interesados en ei tema.

La obra ha sido escrita como una introducción a 1a Matemática de los Segurbs de

Vida. Nuestro objetivo es que pueda servir de texto parauna primera asignatura de la ma-

teria de seis créditos, pero a su vez hemos intentado que sea 1o suficientemente completa

como para que un lector que haya frnÑzado su lec¡ura posea los conocimientos necesariosparu Áordu. porte.iormente el estudio de temas más avanzados. El libro está redactadopara iector.r qrr" hayan seguido previamente cursos introductorios de cálculo diferenciale intregral, cálculo de probabilidades y de matem ática financiera, al nivel que se vienen

impartiendo en el primer ciclo de las licenciaturas en Administración y Dirección de

Empresas y Economía.Los capítulos constan de una parté teórica suficientemente ejemplificada y de una

parte práctica consistente en ejercicios. Estos últimos o f ien desarrollan y ejemplificanaspectos mencionados en Ia teoúa, o bien exponen resultados no explicados en el ca-

pítulo cuyo conocimiento completa el cuerpo teórico.Hemos cuidado particularmente el aspecto computacional de libro, con laídea de que

el estudio y dominio de los calcuios actuariales deben necesariamente incluir 1a posibiiidadde llevarlos aIa práctica de una forma sencilla y potente. Por ello adjuntamos unos pro-gramas informáticos a través de los cuales se pretenden alc¿rnzar los siguientes objetivós;-En primer lugar, mosuar de qué forma se pueden llevar a cabo todos los cálculos pro-

"ria

ST¡IOJ,NV SOf

'666I oP o4nf .sEn8Psoulos

'Ergo sl " ryr"J

alBuler Io rBp pJEd upnÁe uerE ap oprs u?q sou sJuoiJuzrpntund r{ sor¡uluaiuoJ stls iotil¡snuuu Io opra[..rogrq .rocl orr.r"ry ,ra"¡ Joü .rosa¡o.rd ¡a pnrne;8 srrsanu rerrsoru soura;anb teprilruá rE .óirrrm bp"r¡, ugursa ó.rqrtIa sErluartu opuuorxodord ueq sou anb oruJug ¡a ;od ,plrp?i,t,p ,r,r"ir,1dtuo3 pBprsr;^ -lun ¿l ap (puuntry,{ e;enu¿urC ururouorg) I pupltrqál,ro3 ,{

"rrrrul,rrC EJurouor3 aP oltre{üsuadoq I3P seJosaJo-rcI 'sorageduro¡ so:lsanu u uorf,pnuquol V .uorJejrJg

-nd ns oP EIP Io eiuourl?u]J asar oJqrl alsa anb ua opurtsolu srJ3tur 1a -rod ,q*zo-I e'>r> -rPnC oruoluV E slueurrBln¡n'r¿d I sorpnisE TuCcIyW ugrrppun,T u¡ u tuEn¡ ¡ar.*o'ui 'soluelullf,spet8e eP uolf,ros Pnllqeq PI uIS ugrrf,nporlur ursa rBZIIeulJ sourapod o¡¡

uor sufog spurslul s¿l r'Zrfrln ua ersrsrrof,_rau.rolw ap .ropuEaleu un ep_sg Jr?rt! ";?;;;'#: -I^ el sllturad o¡os anb pupr¡qlsod vJtO 'sm/u' uorsuarxa u3uan ria"l,t soreqJrJ so.I .E

uorsrel alde¡¿ Brus¡80¡d I3 ssJop?uopJo sns ua opuE.rer ,",r"r ,,-,b "grp"ri

sors? ,ssrJurl-uas s¿l ;utn¡afa ,rapod t{ se¡tvzrlznsr ured .t>.rQrl

¡e eueduro¡u anb "iainrrp Ia ua s¿pru)} -uoc sufoq ssl ep opruetap uer.uexo un serot.)ei sol e soruppur{rror3J ol[o opo] rocl .alqvr]

Á e¡¡rcuas 'eprdzJ "YoJ

eun aP oleqen ns u:' reruau¡r¡adxa d .re¡nr¡er J'rnar¡ u:pod ourn -ll alsa anb ul 'so.rn8as sol ap ¡euolsa¡o;d ¡e u.rzd o*o, ,soplualuoJ sol ap ugisua;ciu.rorap opu-i6 ¡or{utu Lrn Jezrrv)lv alopu?rtrruJad ,atuerprusa

Ia ¿¡¿d otuel .Etsertu¿¡Jau ¿sclrr -uA Eun ¡euolc¡odord apand afun8ua¡ alsa el) ofauúu¡ p anb sou¡¿suad rnoirJrp u|-"-',

sounE¡e?pseilr,ue:.':::yiü-iff il":l:.lxtJj:;t'il[:]ÍIl']:H3;il"JJr',; 'pl.rese.idtua otrq.'g Ia ua sop¿zrTnl-l aluaruerldup uos ?^epot

anb ui ,solnlrd?r s'T ep oI[orJESap Ia uo soprnlJur oprs upq soloquns ,olm o8rnqor, .r1g ,rJorf,BJnruuoJ ;p soioqurys sol aP osn JaJsq Jp psprsersu urs saprrenlJs solnf,pl sol rEzrleal ,rr*rr.Lol

aldu¡¡ ua soprueruo¡ ua8r¡o ua soperurr'Furá.ror.rrr*rpr¡o¡d ,,{ -srrrrrr'r, ,sodll ap

PPPüU¿J uvt? e1'sauol¡nrafa sq ap soppllnr;JJ.,( ¡Btnrafa'u sprf,uetues .so¡ne¡rdx, *rrJ, -uouror u¿¡8alw anb loplrder v,Per.rod zur) alde¡¡ ofequ;t ap sufoq ,upu,rr*o.rep sl uos opBllnsal IE 'olxer ep ugrsrpe ep ouror rsu 'ocuournu olnf,l?J ,or{gq*r, olnrigJ

'p sapepDudur sns suPol aP oqlJ^o¡d -r¿rss souapod;a1dup,g lr^ru orf? ap uorJsur¿¡Fo"¡c{ap afen8uai Ia r?zrrrn ¡e anb ¿f '¿rurlsrp s;r ugrr¿{ut"o;d"'rrirrr,¡i_ .rlp,rorrr;o-rcf

so¡ u;ed pepr¡ln u¿.¡E ap ,{ ui; oqrip ,roxup"rn surg¡radse seuorJur4de etuelpaur o o'l -193 aP sefog etusrpaur opuBzltBurJoJur oprul^-upq as solnrps sol atuourpuorrrps{ '¿JEBrrrotErrr uAJesaJ Bi op EJrur?-ur.p ¿l ¡¿tuasa¡da.r ap sacader .ras ¡u ¡urr"ni* urcua¡u,rm!:aeP oIJOIIJJ ia ucr¡du as- erurlJ enb ap ;apue;duoc o ,1unlte rol¿^ Iap vzuvuvlelap srAujl ¿ o¡n8es yn ua otp{dq o8sar¡ 1a iuzr¡nnsra ,o¡duaÉ ¡od ,auu¡jd sou anb ¿,i ,atrlys¡:)7-ul áluatu¡z¡nrued sapepTrqrsod uuru¡n nltg .irrngiuelu¡¡¡ sauolsa.rdxa ap odn op.r, *, -r¡g't8 seuolr'luasa¡da¡ elu?IPe.' -ruzr¡u.,srn ,rpod tzsn¡ opun8as Lg .n¡roJ, ?J ua sorsrr¡cj

voh so sounrEs soT E0 vaIVWstWlfit,'.:t

1

Probabilidad demuerte y superuiuencia

1.1 Introducción

Dada una persona de edad r (o cabeza de edad n) en terminologra actuarial), que a

partir de ahora representaremo,s por (r), no cabe duda de que los sucesos "fallecer

antes de cumpli,r la edad r*t" o "sobTeu'iui,r a,Ia edad r*t"son aleatorios. La

determinación d.e las probabilidades de estos y de otros sucesos relativos a la vida

humana debe constituir el punto de partida de la construcción de Ia matemática

de los seguros de vida.

!.2 Principales variables aleatorias

Para reaiiza^r un estudio riguroso de las probabilidades de muerte y supervivencia

hemos de referirnos a algunas variables aleatorias y a su distribución de probabili

dad. Este es el objetivo del siguiente apartado.

1.2.1 Ed,ad, d,e muer-te d,e un rec'ién nacid,o

Denotamos por X alava¡iable aleatoria " edad de muerte de un recién naaido", eü€ '

supo4emos continua. Representando por F a su función de distribución, tendremos

F(r) : P(X < r) ( r .1)

donder)0VF'(0) : ¡ .

Conocida F pueden determina¡se fácilmente las siguientes probabilidades:

a) Probabitidad de que un recién nacido fallezca entre las edades n y r * t,

P(, < X 1 n+Ú) : F(r * t ) - F(r) '

bf-Probabilidad de que un recién nacido sobreviva a la edad r,

P(X>r): I -F(")

1

(1 ) ,

(1.3;

l1t:,-y

(o'r)("),"-tp

:úe:@)l

, @)¿-t

rp:-_

(")"p

(g'r)

rod epep grpue^ p€prsuepep ugrJunJ ns 'enurluoc erJo?eai€ alq€rrc eun sas ¡ anb opandns ,sgruapy

(a'i) ozr [T#:Gu:("<x/?+rlx>r)¿

(¿.r) (l+r)s _ (")r: (r* r j X > r)dsePsP-rilq

-eqord saluarn3rs se1 resardxe IIcgJ sa €rcue^r^¡adns ap ugicury €l a?u€rpotr,{.f : (O)" elueurelrorC

'0 ?r (")¿ - I: (r < X)¿ =, (r)s

*ss olsa 'pepa €qcrp tspr^ uo' aouecl€ oprc€u u?rceJ un enb ap p€p$qeqord

"l €uoicJodo¡d sou x PePe epec eJed anb eilenbe se €nua^r¿¡adns ep ugrcury €T

DnuetuxnJadns ap ugxlunt t.A.["r ep JoI€A 1e eas enb

erernbienc fo'ugrcnqlr?qp ap ugrcury e1 'e¡¡a ap rrped e ,raualqo ered oprceu u?rcerun aP a?renru ap p€pa ei ep ugrcnqrrlsrp ap ugrcunJ €l op reuodsrp els€q anb o1 rod

(:.. * / t+r>.x> *)¿: (7+.r),¿

enb sourelo¡

(r),q - @)¿

'r > ñ, opuenc 0 : (á)i{ alueure?uepi^g

: (¿ > ,¡)¿ ,= (ñ),,tr

anb sou¡eue1 (ugrcnqrrl

-s.P ep ugrcunJ ns e !. ¡od d €rJol"ale elqeF"^ €p€lrc 'eÍ E ,A rod opueluasardag

r.púpe ep Duosr?d oun ep e?renu "p

pvpg 6"A.1

I

"ti;t

(q'r)r 1ñ.

(p'r)

'? + r Á q sapepe s"el erlua €czeII€J r p€pa ap euosrad eun anb ap p€p{iq€qord

vorA aa so¿n)íIs soT AA WUYWSIVW

(c

7

,rF-

PROBABILIDADESDEMUERTE Y.'UPERVTVENCIA '

1.2.4 Vida residual

Dada üna persóna de edad a, s'¿.' uida resi,d,ual'o bien su tiempo de ui'da hasta Ia

muerte es otra va¡iable aleatoria que representaremos por Tr. Sie¡do G" su función

de distribución, tendremos que

G,(t) : P(7,3t) ¿ > 0

es ia probabilidad de que una persona viva a la edad r f.úlezca en el transcurso de

ü años, esto es, antes de cumpiir la edad n * t.

Es claro que ?1" : Y, - u Y que To : X. Además,

G*(t) : F,(r + Ú) :s(¿)-s(r+ú)

(1.11)

-.vGo(¿) : F(t)

Siendo I una va¡iable aleatoria continua, su función de densid¿"d. es

s(")

(1.10)

(1.12)

(1.14)

g.(t):#({9#.0) :-*#

1.2.5 Número de años completos de ui'da hasta Ia muerte

Definamos ahora ia variable aleatoria discreta número d,e años ,n*il"tot d'e uida

hasta Ia muerte de una personl' de edad r, gug representaremG por Kr.

P(K, : k) : P(k < T, <k + 1) , t : 0, I ,2,--- i i . i l ¡

Por ser ?1, continua, no importa el carácter estricto o no estricto ie las desigualdadesanteriores. Ciertamente

P(K, - k) : G,(k+ 1) - G,(k)

¡ empleando la función de supervivencia,

^ '") - s(r * k + 1) s(r) - s(r+ k)P(K,-k) : f f - - f f :

para k entero no negativo.

s(r)I r . rD.)

(on)e+ad? Ede -(s + r)s'(r)s(")s(e+sar)s'(s+n)s(r+s+r)s

_ sdr+g

"I

:sapepryqeqotdserorJe.]u€ sel ap sapepardord se¡icuas seun3p uglcenwluoJ ? soluerpüelqg

'ab/8 :odeluese¡de¡es anb'1 +s+ r As +n sep€pe sel oJlua€ezeil€J x peps ep euosred eun anb ap p€pr¡Iq€qord e¡ souraüa? I = ] €xed(sn)

(")t

(l+r+0)s-(sar)s

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t, r

s +r sop€pa s€yor?ua ellzeI1r;! x p€pa ep euos¡ad eun anb ap pep{iqeqo:d :"ó+/" (c

' I -'b1 +'d1

enb orelc sg 'r pDpa DI D pnp?.IDlJoutap o?uD] €wluouap as .,t 'b alu€rPeü eluasardar as enb '1-¡'x pepa €I ep se+üeBczaileJ x p€pa al) ezeqec eun anb ep pepilq"qord e1 souroua? T:1 opu€nC

(")t

: (s)'¡7 . (r*s)'C : (+ +s í,,L> s)¿ -,btlr

(rfr)s-(")u: (i,D: (+

-

,¡,)¿ - sb?

:?+rp€pe €l reZuecle ep selu€ eczall€J x pppe ep

"zeq€c eun enb aP peP1¡qfqord :'Dr (q

'fr pnp? DI D Dl?uanzn^ndns ap oT.tD! eururouep as .Á '1 ep

rol" Ie opuer+iluo'*d tod elueserdar es p€pqlq€qord epg 'l1-r Pepa q "Pt,r

uoc a)ü?cl€ ,t p€pa ap €zeq"c eun enb ap p€p$qeqo.rd eI sotueue+ I : ? €xed

(¿t:r)

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.? + r pepe €I epr^ uoc acu€cl€ x pepa ep €zoq€c eun enb eP p€P$qeqord :'d? (e

'€prcouoc sourarpuodns uglcnqlJ+slP aP ugroun¡ e.,{nc

'lenprsar epr^ €rrol€eie elqer.re el ep sorueJr?red 'l€uorceu¡elul lelxenlc€ u9rJ€1ou

ei opuealdu¡a o¡ad (elueru.rorJelu€ oprcelq€lsa sorueq eÁ anb proueAl^Jedns,,{ alranur

ep s€crsgq sap€pr¡q€qo:d sel ap seunSle e o enu ep soue¡rJaJa; sou opeqrede e+se Trg

Errualr^radns rt glranu op serlsgq sap€p¡1lq€qold 8'I

varA sa so¿n ss soI aa v)uvws.Iwu

PROBABILIDADES DE MUERTEY SUPERVTVENCIA 5

esto es, ia probabilidad de que una cabeza de edad z alcance con vida la edad

n + s * ú es igual a la probabilidad de que (z) aicance ia edad r+ s por la deque (z * s) alcance con vida la edad r * s * ú. Ciertamente para t entero ypositivo

t iPa : Pa Pt+I......Pa+t-7

: sPa tQ'¿+ss(")

(1.20)

2.

(1.21)s(r * s)

esto es, la probabilidad de que (r) fallezca entre las edades r * s, r * s * tes igual a la probabilidad de que (r) alcance con vida la edad o * s por laprobabilidad de que (c * s) fallezca antes de alcanza¡ Ia e<lad r * s * ú.

3. Recordqndo ahora la variable aleatoria Kr, número de años completos de vidahasta la muerte de una persona de edad r, tenemos (siempre para valores nonegativos y enteros de k):

P(K" - k) : G"(k + 1) - G,(k) : k/q. , : kpe et+k G.22)

L.4 Tanto instaptáneo de mortalidad

Definiremos a continuación uno de los elementos clave de la matemática de losseguros de vida: eI tanto ir¿stantó,neo de mortalíd,ad o fuerza di rnortalidad.

Sabemos que la probabilidad de que una persona de edad r f.allezca entrelas edades n y r''.,

P(*<X1r ' f X>r¡ :F(c) - F(*)

1- r(c)

Puesto que X es una variable aleatoria continua con función de densidad /(c), y su-poniéndo que / es una edad muy cercana a r, esta probabiiidad puede aproximarsepor {P#El tanto instantó.neo de mortaJidad a la edad x (o fuerza de mortali,dad a la edadr), que se representa por pr, * define como

f(")F1": I _ F(fr)

(1.23)

lr)s(rd? )uI :

G;;Fu7 : ((r)s)u7 - ((i + r)s)u1 : zp,ri

.cr

t- t+rJ

IS',B

opue:3a1m

' zP --zr!

@Eure- -

anb e¡:pepge?rour ep oeugqu€lsur olu€? Iap ugrcunJ ue ,b? [. ad? souresa:dxg .1

'sosecsounSp so{u€a^ 'e?s? ep ugrcury üa serorrelue se¡er3¡da so1 ua ssprugep sapspqrq-eqord sel resaldxe aiqrsod so p€pq€lrorrr ep oeug?u€3sur o+u€? Io oproouo3

?P _ _ t+rr! f6 a'\

(ar)uIp

G'¡ ozczcnta asnVn) anb o"rc¡c DJInser oursxzur,sv .?+rpnp? Dle (r) ep popr,p?lou ep nztan{ DI ouor u?r.qun? nTaldtayut apand as anb ugz.sa;dra

(l)"c_t _t*,rt(t)'o

reualqo n.tod.topnur,u.Louap fl, .topo"nu,nu p (r)s "tod r?p?ap D?sDg

(gz"r)

(sz'r)

(+ + r¡s(+ + "){

a 7on6z sa + -l fr pDp? DI D pDpxlvlrour ep oaugluvJrux o?up] lflr u ugrf,u^Jasqo

'rV + r fr. r sapapa sDI ar?ua nczaT1n! r popa ep nuosnd, oun anbep pvp?I?qoqoLd r,I o'tirol nV 'rl "mTatdtaluz 'oJa? n ouDJJ?? elueulaJuagt{ns rg nnrl'aqnc o1gs anb ua J?,Jszsux a7un7,tod,tu? sg 'l <'d sauo?,sD?o svUlnlu ue anb oluent uer?ue? D?srq 'oTteiLc sa ou oTsa anb Jnlou JnDUayunT-todut? sg ' (f +" : p opli,DnJ (se

oTsa) I * r 'r sepvpe svl ar?ua mza11nt r popa ep Duosred nun enb ap pnpqzqoqotdoI D?uesaJda¿ 'rl anb asu,cnpap n3".tpod rou?yuv ugztzu{ap D? aO I ugrcearasqg

@rt)tP

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_,DEJ -:-@quw--@F-- "

anb orelc se '(r),s- - (z)/ anb €?uanc ua opuaruaJ'0 <'rl e+ueiü€lrar3

I

jJ

vabsa sovntas soI sqv)ilYwslvw

PROBABILIDADES DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA

por Io que

IP, : ¿- I!*'F"d"

asimismo

tQa:!-e- l Ín""o '

y haciendo en esta e<presión el cambio de va¡iablefacilidad

tPs : e- üP'+'d"

vtQr:1 - e- I3P'*"a"

2. Expresemos ahora la función de densidad de [ (vidafunción del tanto instantáneo. Sabemos que

- g'(t ' : -of(*t '

multip,.icando y dividiendo por s(x*t) tenemos,

(1.28)

s : z - r, se obtiene con

(1.29) /

(1.30)

residual de (z)) en ,,

( 1. : ¡1)

Tasa central de mortalidad

En iélaciOn con el tanto instantáneo de mortalidad. se define la tasa central d,emortalid,ad a la edad,x (o entre las edades fi , r* 1), que representaremos media¡rtern,r, como la media d. p, ponderada por la función de supervivencia en dichointervalo, esto es,

IÍ*t P" s(z) dzITts: -Ti{*

* (1.32)

Realizando el cambio de variable s : z - fr, y posteriormente dividiendo el numerador y denominador por s(r), tenemos elementalmente

' "[ot ¡2,a" s(r*s) ds It p.+" *# ," IJ "p,

pza" ds

/" {ÍfiLa" Ii "P.ds

fuimismo la tasa central de mortalidad entre las edades r y r * n es

IÍ*^ p, s(z)'dz Jí ,p, p,¡" ds

s,(t):-'"(3{-4## : tPa ttro+t

(1.33)

nff i r :[i+" s(z) dz

(1.34)

sepor ap €rcue'¡e ggc er €ztlu"xe' atlu,r p€pe €un "o n ";:X:;iltl[3HX]#/ of\ of

(gs'r) (+p'¿, I l -?p'd,t l 7: "((J)s)

-(íJ)a :(¿)"to¡z\ *+J / rc+J

enD xPq

o¡du¡oc IIrgJ sg ''J ep ezver;r"^ €l €Fcl€c as e3o19ue €ur¡oJ ep opuepesord't : (+)"r'f - n 4 3 ered enb sourelo¡q

o: ((r)'C - r) ? iiñ' n ?d+ - (+)'p - I

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enb e¡(

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or or: +p ((?),'-' - r)".+/ * ""ftt!)'C

- r)?- :7p(7)'6 , **J

: ('J)g :'eo

anb o1:od

qit (7)'6 : np n tP : nP

'((l)'C-r)-=o ñ 4:n

opuetuol 'salred rod opuel3alur

tP (t)'6 + '[ : (J)s :'?

-+J' 'úg tod eluasardar es [. oyaTdtuot

(ozpau, opm o) Dp?a ep pzunJ,adsa €ufiIlouap es tJ eP ecll9lualetu ezueradsa e1

: ayaldtuoc opln ep nzuo"ndsg I'9'I

.s€orrgrunü selres ep d serdordun sapr3a?q ep ercueS¡e¡ruoc "l

ap apuadap €rcuelsrxe

e.ltnc 'solueruour sop€llc sol ep olnolgc Ie grclIFc€J sou enb ol ' ¡? ( r ered 6 : (c)s

enb 1e1 m e?z,Iun pope eÍ;:l ep elcuelspe €l sourareldas€ elueleP€ ua "rol{"

e6 ''X Ás¿ serroleele salqelru^-sel ep so+uaruour so¡eu¡t¡d sól uglc"nulluoc € sour€rPuelqo

€pI^ ap eztrsrads5l 9'I

vort aq so¿n sssol so vaIWZIwl

PROBABILIDADES DE MU ERTE Y SUPERVIi/ENCI¡1

1.5.2 " Esperanza de uida abreuiada

Calculemos ahora Ia esperanza matemática de K, (númeró de iiños completos devida hasta la rnuerte). Se denomina esperanza de uida abreuiada y se representapor er.

e,: E(K,) : i k p(K,- k) : i *s(¿+k)-s(r+,k+1) _

s(r)k:O k:0

_ (s(r+ 1) - s(r+2)) + 2 (s(c+ 2) - s(r+3)) +3 (s(r+3) - s(r+a)) +. .s(z)

(1.37)

De nuevo la existencia de la edad límite asegura la convergencia de estas series.Procediendo de forma análoga tenemos que

E(k-\) :É k2 P(K,-k) : f r ' s(c+'h)-s(¿+k+1)

&:o k:o s(z)

: | ,Qr* 1) r+rp,&:0

Por !o que

vnr(K,) : E(K\)-E(K,) ' : É,r**1) r+ip"- fÉ o*,o") 'k:o \r:o /

1.6 Modelos de supervivencia

Hemos visto en apartados anteriores que las probabilidades básicas de muerte ysupervivencia pueden calcula¡se con faciüdad a partir de la ley de mortalidad (otanto instantáneo de mortalidad) ¡.4r. Este hecho ha provocado que los estadísticosy demógrafás hayan ded.icado grand.es esfuerzos a la búsqueda de una ley de mor-talidad que sea víJida para cualquier población humana, quizás motivados por eléxito de las leyes físicas en la explicación de los fenómenos naturales. Este esfuerzoha resultado vano, y no.ha sido posible encontrar esa ley universal de mortalidad,que probablemente no erciste.

Por otra parte, los modernoJ oidenadores hacen posible calcular con facili-dad las citadas probabilidades b¿ísicas sin necesidad de conta¡ con dicha ley. Sin

(1.38)

(ep'r)

(tr'i)

Qvl)trl-?-f :'b+:(?)"c

,aluau.r€hqo ,sa lenprsal qpl^ olq€rJ€^ €l ep ugrcnqlrlslp aP ü9I3ünJ €T

P€Pri€e¡ ei ue ?cur.re^ es ou

elueurenqo anb o1 ,onpra.rpq lep r p€pe el ep ou r{ + ap epuedap o¡gs (pepa €qcIP ?Pse+u€ elreruu ap o) sog€ ? e?u€rnP €Icüe l^radns ep P"Pillq€qord e1 anb es1rgsqg

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'peprsuap ap ugrcunJ aluarpuod."-o" *1 .{

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s€l s€po1 ¡eue?qo elqrsod sa €Icue Lr¡edns ep ugl:)unJ el ep llxed e 'souraqes ouloC

(oB'r) c',1-? : "p,t lf --a : od't : (r)s

:€IOue r,¡r.¡edns ep uglcunJ ns soure3ualqo.re3n1 ¡eu¡r¡d ue €IJBluauoJ € e oI[ sou '(o1n1¡dec aluarn3rs 1a aseg,r)

€opglsri{ ercuel:odrur ns oruoc ¡se 'so1nc1.€c sol ep pePrIIOe¡ e1 .{ iercueuodxe da1 e1

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