1 LOGARITMOS. 2 Recordemos el concepto de potencia Sus propiedades:
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1
LOGARITMOS
2
Recordemos el concepto de potencia
n
a
a a
a a a
a a a a a a a n
0
1
2
1
veces
M
K
n m n ma a a mn n ma a
n n na b a b n n
n
a a
b b
Sus propiedades:
nn m
m
aa
a
nn
aa
1
3
Realizar las operaciones y contestar las preguntas:
1642¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 2 para que el resultado fuera 16?4
37¿A qué potencia tuvimos que elevar el
número 7 para que el resultado fuera 343?
3
25¿A qué potencia tuvimos que elevar al número 5 para que el resultado fuera 1/25?-2
03 1
251
343
¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 3 para que el resultado fuera 1?0
4
Ahora el exponente va a ser una incógnita. Encontrar su valor teniendo en cuenta la misma pregunta.
648 x ¿ A qué potencia tuvimos que elevar el número 8 para que el resultado fuera 64 ?
251
5 x ¿ A qué potencia tuvimos que elevar el número 5 para que el resultado fuera 1/25 ?
2166 x ¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 6 para que el resultado fuera 216 ?
55 x ¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 5 para que el resultado fuera 5 ?
14 x ¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 4 para que el resultado fuera 1 ?
x=2
x=-2
x=3
x=1
x=0
5
OPERACIÓN LOGARITMO
5 5x si 1x 5log 5 x 1x 5log 5 1
1
864
x
si
2x 81
log64
x 2x 81
log 264
2 16x
si
si
4x 2log 16 x
si
4x 2log 16 4
3log 1 00x3log 1 x0x3 1x
9 3x 12
x 9log 3 x 12
x 91
log 32
6
OPERACIÓN LOGARITMO
Generalizando la equivalencia:
5 125x 5log 125 x
na ba b nlog
a 1 a 0! OJO ! OJO ¡¡
7
2log 32
101
log100
1
10100
x Descomponiendo y con
propiedades de potencias
1
10100
x
x 2 32x Descomponiendo
32 25
-2
8log 2 x 8 2x 3 12 2
x
3log 1 x 3 1x Propiedad de
potencias1 3
0
52 2x 5x
210 10x 2x
3x 1 x 13
03 3x 0x
5
8
Logaritmo base 10
La notación científica expresa números en potencias de 10, de ahí, se toma que los
logaritmos en base 10 se llaman logaritmos comunes.
El símbolo log x , se usa como una abreviatura de log10 x siempre que x>0
log1=
log 10=
1log =
100
0
1
2
log
log
log
x
x
=
=
- =
10
10
100
x
No está definido
x
9
Definición de eEn administración, se utiliza la fórmula del interés
compuesto para determinar en un número de n periodos por año la cantidad acumulada de capital
n
nCA
11
Donde A es la cantidad acumulada de un capital
C en n periodos de rendimiento.
Si se evalúa la expresión:n
n
11
n (1+1/n)n
1 2,0
10 2,59374
1000 2,71692
100000 2,71826
n
e ,n
n
11 2 7182
Tenemos que e es un número irracional tal que: 2< e < 3
10
Logaritmo en base e
Por ser entonces e, una base importante en la administración se define loge x = ln x
Los logaritmos base e, se llaman logaritmos naturales y se expresan como
ln x
e ex si x = 1 ln e = x 1x lne = 1
e e 2x si x = 2 ln 2e = x 2x ln 2e = 2
ee
3
1x si x = -3 ln3
1= x
e 3x
ln3
1= -3
e
11
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
a log 1 0log31 x 3 1x a 0 103 1 0x
14
log14
x 1 14 4
x
11 14 4
a a11x
log33y x x y=3 3 x=y log xa a = x
a a log 1
y 5log5 x log log5 5x = y x=y loga xa = x
log =-5 5 x 5 5xx = ?
El log a x, si x≤0 no está definido.
12
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Multiplicación.
log A Ba log A log Ba a
Alog log A log B
Ba a a
log B na
División:
Potencia:
log Ban
En logaritmos comunes
loglog
loga
bb =
a
lnlog
lna
bb =
a
En logaritmos naturales
Cambio de base:
loglog
logu
au
bb =
a
13
Encontrar el valor de las siguientes expresiones:
a.) log 2 + log 5=
log(2·5) =log10 =1
b.)
3·log10 –log(1/10)
= log 103 – log10-1
= log (103/ 10-
1)= log(104)
=4
3c.) log 8
log8 0 90311 8928
log3 0 4771,
,,
ln8 2 07941 8928
ln3 1 0986,
,,
1 89283 8,