HIDRÁULICA FLUVIAL

UNIDAD TEMÁTICA 7

INDICE UNIDAD TEMÁTICA 7 ................................................................................................................. 1 1 . LA GEOMETRIA DE LOS CANALES FLUVIALES .................................................................... 1 1 . 1 COMPORTAMIENTO GENERAL ..................................................................... 2 2. CONVENIENCIA DEL ESTUDIO SOBRE MODELOS. ............................................................... 9 A) INVESTIGACIONES SOBRE EL PROTOTIPO ................................................................... 9 B) MODELOS FÍSICOS ................................................................................................. 10 C) MODELOS MATEMÁTICOS ....................................................................................... 16

UNIDAD TEMÁTICA 7

1 . LA GEOMETRIA DE LOS CANALES FLUVIALES A los estudios de la geometría de los cauces naturales se los conoce como geomorfología de los ríos. Su tratamiento lo realizan los geólogos principalmente, pero ellos lo hacen en términos cualitativos y en escala de tiempos de miles de años. Cuando los propósitos son ingenieriles, se requiere información cuantitativa, para períodos de tiempos relativamente cortos, décadas en lugar de milenios. La información disponible es casi exclusivamente empírica y para propósitos de predicción posee niveles de confianza relativamente bajos. Las razones de este empirismo son relativamente simples de entender: la morfología fluvial comprende los más complejos aspectos de la hidrodinámica analizados simultáneamente con bordes erosionables y transportes de sedimentos. Los depósitos de sedimento son generalmente extremadamente inhomogéneos, variando desde rocas, depósitos aluviales hasta diferentes variaciones de arcillas. Los depósitos aluviales pueden tener mezclas compuestas de tamaños de granos y además pueden estar estratificados. En consecuencia cualquier modelo analítico del problema posee enormes dificultades. Es conveniente, para la descripción de los ríos, el separar las características de los mismos con relación a su tamaño. La primera subdivisión se realiza de acuerdo a las pendientes de los cauces, los de montaña, con mucha pendiente, hasta ríos en planicie, de escasos desniveles. Estos tramos, a su turno, podrán estar asociados con comportamientos planimétricos (geométricos) en gran escala, tales como cauces trenzados y meandrosos. Se superponen a estos los comportamientos de los fondos. Además de los cambios de pendientes y la geometría, los caudales varían y el promedio en el tamaño de las partículas de fondo decrece con las distancias hacia aguas abajo.

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En la literatura antigua el decrecimiento de los tamaños de los granos se atribuía al choque entre partículas. La causa más importante es el movimiento de los granos debido al transporte preferencial de ciertos tamaños para ciertas condiciones del escurrimiento. El perfil longitudinal del pelo de agua y del fondo de un río puede ser aproximado por una curva exponencial. Superpuesto a ello se encontraran bajo fondos, curvas, puntos de inflexión, etc. Con el incremento de los caudales y el decrecimiento de las pendientes se produce el agrandamiento de las secciones transversales. La interacción de esta multitud de factores inducen las formas de las secciones transversales de los ríos. Como una generalización, el río puede verse como consistiendo de cursos superior medio e inferior lo que se corresponde con erosión, régimen y estados de erosión y depósitos respectivamente. En el curso superior con mayor pendiente la capacidad de transporte de sedimento es generalmente mayor que el derrubio que provee el valle, lo que conduce a importantes erosiones del fondo de los ríos. El curso medio se observa en latente equilibrio. Acá el transporte sólido es menor que la capacidad de transporte puesto que durante importantes períodos de tiempo ese transporte se reduce, o inclusive se para, por el acorazado puntual de los fondos. En los cauces inferiores, en las zonas deltaicas, la capacidad de transporte decrece debido al decrecimiento en las pendientes. Cuando la capacidad de transporte es menor que los volúmenes de sedimentos transportados desde aguas arriba, el río comienza a depositar. Cada uno de los tramos del río tiene su característica longitudinal y planimétrica propias. Debe notarse que los ríos, como simples canales a superficie, libre existen solamente en longitudes limitadas. El río en general es un sistema intrincado de canales entrecruzados y caudales variables. Las partes de los canales de los ríos se identifican por un orden. Los canales más pequeños sin ramales son considerados como de primer orden. Aguas abajo de la confluencia de dos canales de primer orden se encuentra un canal de segundo orden y dos canales de segundo orden conducen a uno de tercer orden, etc. Pero cuando se juntan canales de primer orden con segundo orden en uno de tercero, éste no cambia su orden hacia aguas abajo. Horton (1945) formuló la ley de los números de orden de los cauces que dice “el número de cauces de diferente orden en una cuenca, tienden lentamente a aproximarse a una serie geométrica inversa, en la cual el primer término de orden es la unidad y la relación es la relación de bifurcación”.

1 . 1 COMPORTAMIENTO GENERAL En la mayor parte de los cauces montañosos o torrentes, el escurrimiento está totalmente controlado por la topografía, donde los cambios geométricos son muy lentos. Cuando los ríos tienen libertad de moverse lateralmente, constantemente buscarán su equilibrio dinámico, su régimen, en respuesta a los caudales variables en el tiempo y a la carga sedimentológica. De esa forma se produce el ajuste de la red de canales, las formas de las secciones transversales, rugosidad de los canales y pendientes. El resultado en el tipo y forma de los canales podrá ser subdividido en tres tipos: canales rectos, meandrosos y trenzados.

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En los tramos de importante pendiente en los que los caudales y la carga sedimentológica fluctúa violentamente, se pueden producir cierres circunstanciales de los cauces, los que sucesivamente se irán abriendo con el paso de las crecientes. El flujo erosivo sobre los cauces, tomará siempre las menores distancias que le permitan en mínimo consumo energético. Estos tramos de ríos llamados trenzados son la consecuencia de un comportamiento energético y de un tamaño especial de partículas. En los cursos inferiores los ríos aluviales desarrollan canales zigzagueantes llamados meandros. Leopold y Wolman (1957) relacionaron la pendiente J al caudal total QB que separa a los tramos trenzados de los meandrosos como

J = 0,012 QB-044 (1)

Henderson (1961) enunció

J = 0,0002 d(mm).1.15 Q-046 (2)

Que introduce el tamaño del grano d en la expresión. Representado en un gráfico, con las pendientes como ordenadas y los caudales como abscisas, el área por sobre la línea se define por la ecuación siguiente, que indica el dominio de la zona trenzada. La ecuación (2) puede escribirse

J = 0,335 d(mm)1.15 Q-046 (3) deducida para canales estables. El efecto de los escurrimientos variables, la geometría de los meandros fue estudiada por Ackers y Charlton (1970). Es difícil encontrar canales naturales rectos. Esto ocurre para pendientes muy escasas y para pendientes muy pronunciadas. Se encuentran en la naturaleza canales que permanecen rectos por tramos, los caudales hacen que los canales oscilen de lado a lado, manifestándose la existencia de barras en los fondos. Los tres regímenes rectos meandrosos y trenzados se expresan en términos de sinuosidad. La sinuosidad se define como la relación de la longitud del arco λp a la longitud de onda λ, la que se refiere a la distancia entre los puntos de inflexión.

P = λp / λ

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Figura 1 – Relación entre la sinuosidad y la pendiente del cauce (Schumm & Khan) Schumm (1977) mostró que la Figura 1 permanece constante cuando la pendiente se reemplaza por τ0 V. Generalmente la pendiente y el transporte sólido se incrementan con los cambios en los canales desde los rectos a los meandrosos en los trenzados. Los métodos de descripción de la geometría de los canales pueden ser divididos en descripciones empíricas, con o sin justificación teórica, y modelos analíticos. Estos en general utilizan métodos de análisis de estabilidad pero también existen modelos probabilísticos y termodinámicos. Un canal recto tiene parámetros independientes de escurrimiento líquido y de descarga sólida a los que se ajustan los tirantes, anchos y pendientes de los canales. El curso meandroso tiene además la geometría de su planimetría como una variable de la pendiente. Los análisis de estabilidad se iniciaron con los estudios de Callander (1969), Adachi (1967), Engelund y Skovgaard (1973) y Fredsøe (1978). Estos modelos analizan la estabilidad linealizada del escurrimiento a canales rectos no deformables y predicen la formación de barras. Se demostró en laboratorio que algunas pendientes en canales rectos desarrollan primero barras alternadas y gradualmente forman meandros, sinuosidades. En la naturaleza la conformación meandrosa muestra irregularidad y la longitud y amplitud de onda pueden ser descriptas solo desde un punto de vista estadístico. La irregularidad de los elementos proviene de la inhomogeneidad de los terrenos por los cuales el río escurre. Se han propuesto variadas relaciones para la predicción de la longitud del meandro λ y su amplitud a. La longitud de onda λ se refiere a la distancia de los puntos de inflexión

λ = 54,3 Qb 0,5

y Henderson (1967) la corrige como

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λ /A0,5 = 72 Fr

0,5

donde A es el área de la sección transversal, Fr = V / (g y 0) 0,5 , suponiendo que el tirante es proporcional a Q0,43 conduce a

λ = 47 Q0,39

De cualquier forma se encontraron correlaciones más importantes con el ancho promedio del canal, B. Algunas de estas relaciones se pueden observar en la Tabla 1

TABLA 1 - EJEMPLOS DE RELACIONES ENTRE LAS DIMENSIONES DE LOS MEANDROS Y EL ANCHO DE LOS CANALES

LONGITUD DEL MEANDRO

DOBLE AMPLITUD FUENTE

1) λ = 6,5 B0,99 = 6,6 B

am = 18,4 B 0,99 = 17,38 B Inglis

2) λ = 11,45 B

am = 27,3 B

Inglis

3)

am = 10,6 B 1,04 = 14 B Inglis

4) λ = 11 B1,01

λ = 4,6 rc0,98

λ = 10 B1,025

am = 30,8 B am = 3 B 1,1 am = 4,5 B 1.0

Leopold y Wolman Zeller

1) Ríos en zonas planas 2) Ríos en valles escotados 3) Ríos en lechos de inundación

4) Ríos con valles escotados En la Tabla 1 el radio rc de la curva del meandro se incluye como un parámetro también ligado al tirante en al curva. Dado que las curvas de los meandros no son circulares su radio se estima dividiendo el paso del meandro en segmentos de igual longitud y dibujando perpendiculares a éstos segmentos. Las perpendiculares describen un polígono y la distancia desde su centro al punto de máxima amplitud es usado para definir el radio, el que es generalmente dos o tres veces el ancho promedio del canal. El ancho del canal y su tirante son dos muy importantes parámetros. Lacey dedujo para la longitud del perímetro mojado P el que generalmente se

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aproxima al ancho del cauce, una relación independiente del tamaño del sedimento.

P = 4,8 Q1/2 En general el ancho B y el tirante y0 ,para un dado sistema de canales, son proporcionales aproximadamente, al caudal medio anual Qm, elevado a la potencia 0,5 y 0,4 respectivamente, donde la constante de proporcionalidad es función del sedimento. Por ejemplo Kellerhals (1967) propuso para cauces con materiales no cohesivos

y0 = 0,42 Q d 0,40 d 90 - 0,12

donde Qd es el caudal dominante, o sea el que se supone que produce la misma geometría que el caudal fluctuante del río. El ancho y el tirante son también funciones del tipo de sedimento y de la carga sedimentológica. Los sedimentos angulosos conducen a canales más anchos y menos profundos, en tanto que los sedimentos finos, a cursos más profundos y angostos. Schumm (1960) correlacionó la relación de ancho a tirante, con el porcentaje de materiales arcillo limoso componentes del perímetro de la sección transversal del canal analizado.

M = (Sc B + 2 S b y 0) / (B + 2 y 0) donde Sc y Sb son los porcentajes de limo y arcilla en el lecho y barrancas respectivamente, considerando que se trata del material pasante la criba 75 µm. La correlación que se obtiene es

B / y0 = 255 M - 1,8 Schumm también sugirió que los canales que sedimentan poseen una relación ancho tirante mayor que el indicado por la ecuación anterior y los canales erosionables poseen una relación menor. Esta ecuación ha sido criticada porque la correlación incluye el ancho y la profundidad en su deducción y el ancho debería ser una función del tipo de sedimento de la barranca. Ferguson (1973) mostró que la información de Schumm conduce a la expresión

B = 33,1 Qma 0,58 Sb

- 0,66 donde Qma es el caudal medio anual de período de retorno 2,33. Schumm también desarrollo expresiones para obtener la longitud del meandro. El ancho del río y su sección transversal son funciones de la carga sedimentológica. Si un tributario por ejemplo, trae grandes cantidades de sólidos suspendidos, el ancho del río aguas abajo de la confluencia podrá decrecer y su tirante incrementarse. Cuando se incrementa la carga sedimentológica, esto se traduce en un incremento del ancho y una disminución del tirante aguas abajo.

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Los modelos analíticos no dan la posibilidad de predecir la geometría de los canales en las extremamente complicadas condiciones naturales por lo que fue necesario su análisis por métodos alternativos. Distintos investigadores introdujeron conceptos termodinámicos de entropía como una analogía de la morfología de los cauces fluviales. La conclusión fundamental es que los canales que se aproximan a la condición de equilibrio, desarrollan un camino que hace mínima su energía potencial por unidad de masa, o sea la teoría del mínimo esfuerzo.

Figura 2 – Relaciones de régimen para ríos arenosos de acuerdo a Chang.

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La variación de energía cinética y las pérdidas por fricción en los cauces esta gobernada por relaciones complejas pero la suma de estas deberá igualar a la pérdida de energía potencial. Para un cauce aluvial la condición necesaria y suficiente de equilibrio se alcanza para la condición de mínima energía. En consecuencia, dado un río con determionados gastos líquidos y sólidos, el mismo tenderá a establecer un ancho, tirante, y pendiente tales que en su camino consuma mínima energía. Chang extendió este argumento y propone que “la condición de equilibrio ocurre cuando la potencia del cauce por unidad de longitud ρ g Q J es un mínimo, sujeta a las condiciones dadas”, por ejemplo dado Q como dato, esto deriva en mínima pendiente (J). Dos mínimos son posibles: a régimen inferior y a régimen superior. La pendiente del canal, para canales en régimen o equilibrio, no puede ser superior a la pendiente del valle Jv, y generalmente la pendiente mínima para el régimen superior Ju es más grande que la del régimen inferior JL. Ambas deberán ser iguales o mayores que Jv. Cuando la mínima iguala a la pendiente del valle, el canal debe ser recto, o mas estrictamente cuando JL = JV, ya que cuando JL > JV entonces JL < JV, que también es una condición posible, y el canal aumentará su longitud proporcionalmente, en consecuencia meandrará. Chang usó las ecuaciones de transporte sólido de Engelund & Hansen, Einstein - Brown y Du Boys y el método de Engelund de la estimación de la resistencia al escurrimiento y llevó a cabo experimentos numéricos. Ello llevó a la Figura 2. reproducida de Chang (1985 -1986). Las líneas I y II definen la Regíon 1. De acuerdo a Chang un canal estable se caracteriza por muy escasa pendiente, muy baja velocidad, poco caudal sólido de fondo, y baja resistencia al escurrimiento en la zona de rizos y dunas. Los canales son relativamente profundos. Los canales construidos por el hombre se encuentran en esta región del gráfico. Los canales naturales que se ubican en esta región del gráfico tienden a meandrar. En la Región 2 los ríos poseen un canal único. La relación entre el ancho del canal a su profundidad es grande y los cauces en esta zona tienden a ser trenzados. En la Región 3 coexisten secciones de ríos con cuencos y rápidas. El ancho del canal y su profundidad son muy sensibles a la pendiente. En esta zona los cauces pueden ser trenzados. Los anchos de los canales de la Región 4 son similares a los de la 3 pero las pendientes son más pronunciadas. El diagrama se basa en fórmulas que, en principio, tienden a ser la mejor aproximación a los procesos naturales. En particular los problemas con las pérdidas de energía en curvas, bifurcaciones y encuentros de canales en ríos trenzados, todavía no

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tienen solucíon analítica. El diagrama de la figura 2 es una importante ayuda para la comprensión de los procesos fluviales naturales.

2. Conveniencia del estudio sobre modelos. La verificación de hipótesis correctivas sobre modelos físicos es de gran utilidad, dado que no es posible prácticamente el análisis teórico de la diversidad de circunstancias ligadas a cada problema singular. No obstante, deben vencerse generalmente dificultades que provienen de las grandes reducciones de escala que impone el espacio disponible para las modelaciones y los problemas de similitudes que ello provoca en el comportamiento de sedimentos y condiciones del flujo liquido. Aunque las similitudes de los fenómenos a reproducir son motivo de discusión en muchos casos, los modelos físicos de tramos fluviales pueden dar las indicaciones básicas a tener en cuenta para aumentar la confiabilidad en el logro de los objetivos previstos en el proyecto de sistematizaciones. Su doble justificación radica en los hechos de que por una parte, resulta mucho mas económico experimentar diferentes tipos de obra, lineamientos y distintas disposiciones a ajustar, realizándolas sobre un modelo reducido que sobre el prototipo, y por otra parte, pueden imponerse en el modelo a voluntad, condiciones del régimen del curso de agua tratado en cada caso particular, sin tener que esperar que la naturaleza los produzca en el prototipo. Esta última condición se transforma en principal cuando existe poca experiencia de comportamiento de obras en prototipo agravada por la urgencia en el requerimiento de soluciones. Aún recurriendo a modelos con distorsiones entre escalas verticales y horizontales, y con márgenes fijas o contornos totalmente regidos, los modelos físicos son un medio objetivo cuyos resultados cualitativos y a veces cuantitativos si existen datos suficientes para calibrarlos, resultan de gran valor en la optimización económica de proyectos para correcciones fluviales. Dada la magnitud de la inversión que significan las obras de corrección, los estudios previos tienen una gran incidencia económica, justificando, la utilización de muy distintas metodologías, o más de una simultáneamente, no solo para control y confirmación de resultados sino también en función de complementación reciproca. Dentro de las diferentes posibilidades de enfoques para evaluar acciones correctivas artificiales, se discriminan a continuación los principales sectores de apoyo a la definición de proyectos.

a) Investigaciones sobre el prototipo

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Algunos planes integrales de desarrollo, partiendo de lineamientos generales previamente acordados en cuanto a objetivos y alcances, permiten un avance gradual por etapas en la erección de las obras correctivas previstas. Si en cada una de dichas etapas se controla el grado de aproximación entre las respuestas reales constatadas sobre el prototipo y las esperables en base a especulación teórica, es posible el paulatino ajuste de lineamientos, fundamentaciones y sucesivas correcciones del proyecto. De esta manera, se asegura el logro de los objetivos con la economía que significa evitar futuras modificaciones que implicarían fuertes pérdidas en fondos destinados a remodelaciones siempre excesivamente costosas, y se contribuye eficazmente a los avances en el conocimiento de los comportamientos fluviales y aplicaciones de otras metodología de predicción que se planteen paralelamente, como las que se presentan en resumen seguidamente.

b) Modelos físicos Se trata de un aspecto singular de la aplicación de la correspondencia de parámetros físicos relativos a dinámicas comparables en distintas dimensiones, pero casi siempre respetando afinidades en la semejanza geométrica de los contornos b.1) Modelos hidráulicos. Abarcan todos los que utilizan el agua como elemento fluido de su dinámica. Cabe distinguir los que reproducen las condiciones de flujo entre contornos modelados rígidos y los que parten de estados conocidos de lecho, o lecho y márgenes, materializados con elementos granulares de características adecuadas. Los modelos físicos fluviales pueden separarse en dos tipos fundamentales: los fijos y los de lecho móvil o ejecutados en materiales sueltos. Los primeros se destinan a la investigación de las condiciones hidráulicas que se establecerán en el prototipo y la influencia que sobre los escurrimientos provocarán las correcciones o singularidades artificiales interpuestas. Sus resultados a su vez requieren, en una segunda instancia, ser aplicados a la predicción de los efectos esperables sobre las estructuras o dispositivos considerados, valorando las acciones derivadas de acarreos, transportes y sedimentaciones en base al comportamiento hidráulico de modelo. Asi mismo, cuidando de lograr efectos equivalentes de rugosidad entre modelo y prototipo, ofrecen resultados importantes respecto del funcionamiento hidráulico del conjunto del tramo referentes a niveles y velocidades a prever en prototipo y que son de difícil determinación directa en éste, sobre todo para condiciones extremas del régimen. En la mayor parte de los casos, salvo que se limite la escala de reducción, abarcándose entonces área excesiva en la reproducción, debe recurrirse a la distorsión de la semejanza geométrica para conservar la similitud del escurrimiento liquido, lo cual constituye todavía un inconveniente

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en la valoración de los ajustes de funcionamiento logrados a través de los modelos, sobre todo si interesan detalles con interposición de singularidades. Todo ello obliga a adoptar la menor reducción en escala posible, y muchas veces conduce a la realización de los modelos a la intemperie, dado lo prohibitivo del costo de realizar su cobertura Los modelos físicos a lecho móvil incluyen, además de lo apuntado para los fijos, los problemas de similitud de erosiones, sedimentaciones y acarreos. Estos pueden requerir la adopción de materiales de distintas características físicas que las del prototipo, en procura de compatibilizar el cumplimiento de las leyes que rigen los transportes, con las rugosidades equivalentes a lograr, casi siempre también con la interposición de una distorsión adecuada que contemple su funcionamiento integral. Este tipo de modelos solo se presentan posibles con una buena disponibilidad de datos, que abarquen un periodo suficientemente representativo como para evaluar la evolución histórica, cuya reproducción en el modelo será la base de su proceso de ajuste. Esa tarea es en general la mas delicada y extensa, no siempre coronada con el éxito, pero una vez lograda establece el grado de confiabilidad del funcionamiento y la confianza con que podrán apreciarse los resultados de las experiencias a que se sometan en el modelo los dispositivos a ensayar. b.1.1) Se distinguen modelos sin distorsión, y los que presentan alteraciones en escalas homólogas, o sea distorsionados. Los modelos con distorsión se imponen en virtud de que el tirante liquido muy reducido conduce a numero de Reynolds incompatible con la dinámica del prototipo, cuya adopción no ofrecería similitud. Es claro que este artificio apunta a la solución de planteos referentes a lecho móvil, o también a la observación de espectros de flujo a contorno fijo, y aun en caso de lecho granular debe contarse entonces con barrancas resistentes modeladas en forma rígida a causa de la importante variación que la distorsión introduce en los ángulos de los taludes marginales. Del mismo modo, las pendientes de funcionamiento hidráulico deben adecuarse, compensando el excesivo efecto de la velocidad según similitud Froude (eL)v sobre la configuración en planta según (eL)h lo cual prácticamente se logra por tanteos, variando la pendiente general del modelo hasta obtener resultados acordes con el prototipo, teniendo en cuenta que la experiencia acumulada en estos casos aconseja Re > 300. Si bien modelos sin distorsión y lecho móvil son susceptibles de ajuste teórico de su funcionamiento con cierta garantía de similitud en los comportamientos, cuando se opera en base a conocidas y recomendables expresiones analíticas que vinculan parámetros compuestos adimensionales, la representatividad real de los modelos la brinda el ajuste experimental, que debe llegar a reproducir configuraciones históricas conocidas del prototipo.

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Una vez logrado tal ajuste, cualquiera sea la metodología preliminar para la selección de escalas y materiales, con o sin distorsión, o sea constatada la representatividad del mismo respecto de los aspectos cualitativos de interés singular en determinada investigación, una etapa final debe cumplirse en base a resultados de medición de las variables observadas, lo cual se involucra bajo el concepto de calibración del modelo. Se entiende así que el modelo ajustado y calibrado es capaz de responder cualitativamente y cuantitativamente al objeto de las investigaciones, así como establecer las vinculaciones definitivas de escalas para cada efecto testado, incluyendo las escalas de tiempos y la de pendientes., La pendiente (Jm) del modelo, en principio, y dado que constituye m un parámetro difícilmente estimable a priori, pero de gran importancia para la ejecución del modelo con un mínimo de tanteos, puede orientarse en base a condiciones limites que deben satisfacerse: El escurrimiento no debe ser torrencial, o sea la velocidad. _____ ____ Um = Cm √Hm Jm debe ser inferior a su valor crítico Ucr = √g Hm ó sea Jm < g / C2

m Para condiciones normales de transporte sólido según las experiencias del Profesor Krey, la pendiente debe ser superior al octavo de la relación de diámetro representativo de grano respecto al tirante, o sea:

Jm > Dm / 8 Hm con lo cual a priori puede adoptarse una escala ej promedio entre tales limites, o intermedia de acuerdo a los resultados de calibración preliminares, tal que

Dm / 8 Hm < Jm < g /C2m

b.1.2) En general, se trata de modelos en escala muy reducida que obliga a ciertas concesiones respecto de las exigencias que implica la adopción las leyes dominantes de semejanza respecto del problema que se haya planteado. Las similitudes comprenden entonces un cierto alcance de la semejanza, que se considera capaz de orientar los funcionamientos de interés, e indicarlas tendencias y configuraciones representativas conducentes al objeto de las investigaciones. b.1.2.1) Similitud Fluvial. En base a la condición para flujo gradualmente variable según la ecuación diferencial de Saint-Vénant,

J = ∂Z / ∂x = [V2 / C2R] + 1 / 2g ( ∂ν2 / ∂x) + 1 /g ( ∂v /∂t) (1)

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v : velocidad media. Z : acotamiento vertical de pelo libre. x : distancia según línea de corriente. g : aceleración de la gravedad. R : radio hidráulico. C : coeficiente de Chézy. Entre prototipo y modelo surge la condición de similitud hidrodinámica fluvial haciendo de (1) la relación escalar tal que:

eZ / eL = eV2 / ec

2 eR = ev2 / eL = ev / et

y no habiendo distorsión, eL = eR , e imponiendo además la restricción eZ / eL = 1 resulta:

1 = eV2 / ec

e eR = eV2 / eL = ev / et

Surgen las siguientes escalas: ev = et = eL

1/2 (Condición Froude); ec = 1 (Condición Chézy), Si se adopta para Chezy la expresión de Manning

C = R1/6 / n , resulta en = eL1/6 (3)

La rugosidad a partir de expresión de Strickler: n = d90

1/6 / k y teniendo en cuenta (3) surge :

ed 90 = eL La representación del transporte sólido qs en el modelo requiere la invariabilidad del parámetro adimensional qs = ρV*3 donde qs es el gasto sólido (en peso) por unidad de ancho y V* = √τo / ρ = √ghJ es la velocidad de corte de grano. La escala de tiempos sedimentológicos en general resulta entonces:

ets = e (s - 1) eL5/2 / eh

2 con e (s - 1) escala de sólido sumergido

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y para no distorsionados (eh = eL = eR ), Si e (s - 1) = 1, (El mismo material granular en escala de longitudes que el material del prototipo) resulta para la escala de tiempo sedimentológico:

ets = eL1/2 = et

b.1.2.2) Similitud de transporte sólido. Al intervenir la velocidad de corte u*, la naturaleza del fluido de masa especifica ρ y coeficiente de difusividad υ (viscosidad cinemática) que influye en la capa limite que rodea al grano, y tratándose de dos fases (solido-líquido) las fuerzas de masa relativa presentes se introducen con: g (s - 1), donde s = ρs / ρ y g = aceleración. de la gravedad. De lo expresado surge que el fenómeno puede ser interpretado por la expresión general:

φ ν, ρ, ds, ρs ,V*, h, g, ( s - 1) = 0 donde ds es el diámetro medio representativo de granos. Por aplicación del análisis dimensional puede reducirse a los siguientes adimensionales: Φ (π1 . π2 . π3 . π4 ) = 0 (Teorema π o de Buckingam) donde π4 = V* ds / υ = R* (Número de Reynolds de corte de grano), π2 = V*2 / g.(s -1) ds = Y (parámetro de movilidad del grano) π3 = ds / h = Z (relación diámetro-tirante) π 4 = ρs / ρ = S (relación de masa especifica.

Sí R*p = R*m ; Yp = Ym ; Zp = Zm ; Sp = Sm resultaría eL = 1 lo cual implica la imposibilidad de su cumplimiento simultáneo. En caso que se acepte Yp = Ym (que es aceptable para R*p > R*m > 70 y hasta > 20 surge:

ev * 2 / e (s - 1) eds = 1 y con [ ds / h ] p = [ ds / h ] m

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eds = eh

Si es = 1 necesariamente e (s - 1) = 1, y luego de la expresión (1) ___

e V * 2 = e d s ; como V* = √gH J ; e V* = e ½ h, se verifica : ed = eh

b.2) Modelos en aire. Limitando el espejo libre mediante un contorno plano transparente (cristal, acrílico, etc.) es posible generar un flujo de aire entre los extremos del tramo de modelo, lo cual permite en algunos casos la utilización de finas granulometrías representativas en escalas sin distorsión, evitando efectos de cohesión que se producirían con agua. En todos los restantes aspectos y procedimientos se mantiene lo comentado precedentemente, salvo lo concerniente a la pendiente por cuanto la misma no actúa por gravedad en el fluido al tratarse de aire con circulación forzada controlada, pudiendo generalmente modelarse en horizontal. b.3) Material granular. La arena es universalmente utilizada para lechos móviles, con graduación adecuada, generalmente recurriendo a la distorsión de escala vertical para evitar granulometría demasiado fina, o con distorsión de pendiente coadyuvante con la movilidad de las partículas, por tener en este caso el mismo peso especifico y la gravedad como factor actuante. Modernamente se incluye una escala de pesos específicos introduciendo distintos materiales granulares más livianos, tales como como fragmentos graduados de carbonilla, piedra pómez, materiales plásticos y acrílico, que pueden seleccionarse de acuerdo a tamaños y densidades, formas, etc.,adecuados a las escalas y condiciones de contorno m s convenientes. En particular, son preferidos los plásticos para evitar los inconvenientes de heterogeneidad de densidades provocadas por distinta cantidad de aire ocluido en las microcavidades de elementos porosos. Cada laboratorio hace uso preferencial de determinado tipo de material del cual posee generalmente mayor experiencia, y que le facilita la predicción en el buen comportamiento de los modelos que proyecta a fondo móvil. Al respecto, cabe mencionar la carbonilla bituminosa utilizada por la Waterways Experiment Station (USA) y adoptada también por la U.S. Army Corp of Engineer (North Pacific Division Hydraulic Laboratory). b.4) Objetivos investigados por medio de los modelos. Un resumen indicativo incluiría: optimización de localización de azudes, diques y ubicación de sus elementos estructurales de maniobra (válvulas, compuertas, disipadores) incluyendo los efectos de distintos criterios de operación;

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mantenimiento de trechos críticos para la navegación, efecto de dragado con desarrollo óptimo de canales con mínimo mantenimiento y mayor adaptabilidad para amplio espectro de requerimientos de maniobra de las embarcaciones. Como tareas coadyuvantes para las investigaciones, y contribución a la experiencia de los especialistas, cabe acotar la utilización simultánea de los modelos a contorno fijo, como más aptos para el conocimiento de comportamientos hidráulicos (corrientes, direcciones, velocidades) y espectros del flujo tanto superficiales como de fondo. En general, y como aspecto comparativo con otras modalidades de estudios de apoyo para proyectos en lechos fluviales o mantos sedimentarios, es de destacar la objetividad con que pueden apreciarse los comportamientos y funcionamientos de interés‚ a través de cuya visibilidad en ocasiones se evidencian consecuencias insospechadas o la aparición de problemas que demandan soluciones no previstas inicialmente. Por último cabe destacar que el costo de modelos físicos, si bien no despreciable, resulta extraordinariamente ventajoso frente a las erogaciones que significan los mantenimientos y correcciones de obras realizadas directamente en prototipo, sin las orientaciones emanadas de los ensayos en modelos.

c) Modelos matemáticos Aplicando las relaciones analíticas con la interinfluencia de los estados de flujo, estacionarios o variables, y con el transporte sólido consecuente, surge la posibilidad de planteos numéricos sobre esquemas discretos concebidos tanto en diferencias finitas como en elementos finitos, sean unidimensionales o bidimensionales. Además de las vinculaciones fluidodinámicas con pendientes y con tornos interinfluenciados, los condicionamientos deben respetar principios fundamentales como conservación de masa, volumen, cantidad de movimiento, etc. y sus resultados también requieren verificación y calibración ajustados a datos de prototipo. Considerando una aplicación simple, podemos referirnos al desarrollo unidimensional consecuente de la interrupción de aportes sólidos aguas bajo de una presa. El caso tratado con anterioridad en primera aproximación sobre base de la hipótesis de degradación del lecho originario siguiendo un perfil parabólico convexo de profundización gradual, se plantea ahora, a partir de la ecuación de equilibrio de los balances sólidos, que expresa:

δη / δt . dt. dx = δqs / δx . dx . dt

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y adoptando qs = a U b , siendo el caudal liquido especifico

q = constante por hipótesis, resulta U b = q b / H b , obteniéndose: a (q b) . δ (H -b) / δ x = K δ (H -b) / δx Discretizando en base a la figura con identificación por subíndices (i) para ubicación y (j) para tiempos queda:

(ηi,J+1 - ηi,J ) / ( tj+1 - tj ) = K . (H´i -1 J +1) -b - (Hi,J)-b / ( Xi+1 - xi ) que establece el balance de acarreos que ingresan al tramo [(i) - (i + 1)] a través de xi condicionado por H´i -1, j+1 y extraídos del mismo tramo en base al Hi,.j contemporáneo, siendo H´i -1, j+1 una primera aproximación de apoyo para cubrir el real Hi-1, j+1 Adoptando intervalos constantes, ∆ x = x i+1 - xi ; ∆t = t j+1 - tj surge:

K ∆t / ∆x = k y queda: ηi,j+1 = ηi, j + k (H´i-1, j+1 - H i . j-b) (1)

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En cada etapa de tiempo j se establecen los acotamientos ηi de lecho móvil y H´i.j = Zi.j-1 - ηi.j de apoyo al cálculo evolutivo de cada ∆x afectado, operándose en sentido inverso el barrio que ajustar los tirantes líquidos Hi.k+1 con sus nuevas pendientes longitudinales del pelo libre adecuados al tiempo alcanzado j + 1. El ultimo perfil hidráulico as¡ determinado servir de base, junto con su correspondiente del lecho, para determinar ell barrido directo siguiente. La sucesión en cadena desde i = o, j = o es significativa hasta ηi.j +i - ηi.j < ε en corrida directa hacia aguas abajo, siendo ε el error admisible adoptado como insignificante. A tales efectos, siendo H´i , j+1 = zi.j = z i.j - η i , j+1 ______ q = C √ H´ i.j+1 y aceptando C = cte. se obtiene Ji+1 , j +1 = q2 / C2 .H´i , j+1 = λ / ( Zi , j - η i , j+1 ) i ) Z i, j+1 = Zi+1 , j+1 + Ji+1 j+1 ´ ∆X (2) i ) Las cotas de fondo y pelo libre así halladas determinan el nuevo perfil a tratar en el paso de tiempo sucesivo. Los nuevos tirantes líquidos correspondientes serán:

H´ i, j+1 = Zi , j+1 - η i ,j+1 y aplicando reiteradamente el criterio (1) se obtiene la representación discreta de la evolución del lecho en el tiempo, con la precaución de operar en cada barrido directo con H-b i.j+1 siempre nulo, por constituir el aporte inicial supuesto hipotéticamente inexistente. - Ejemplo numérico ∆t = 1250 s. ∆X = 100 m. q = 2 m3/s ; Régimen constante H = 2 m. = Tirante inicial general C= n H1/6 = 28 (2)1/6 ≈ 31,5 ; C2 ≈ 1.000 λ = q2 / C2 = 0,004 qs = a Ub a ≈ 0,01 b ≈ 3 ∈ = 0,001m

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El perfil inicial será , partiendo de la cota de fondo de comienzo del lecho,

ηo.o = 10 m

J = q2 / C2H = 0,002 = 2 o/oo ; ηi.o = - i (∆x) J Zi.o = ηi.o + 2.-m Cotas originarias en metros ηo.o = 10.0; Zo.o = 12.0 η4.o = 9,2; Z4.o = 11.2 η8.o = 8.4; z8.o = 10,4 η1.o = 9,8; Z1.o = 11,8 η5.O = 9,2; Z5o = 11.0 η9.o = 8.2 ; z9.o = 10,2 η2.o = 9,6; Z2.o = 11,6 η6.o = 8,8; Z60 = 10.8 η10..o = 8.4; z10.0 = 10,0

η3.o = 9,4; Z3.o = 11,4 η7.o = 8,6; Z7o = 10.6 η11.o = 8.4; z11.0 = 9,6

ηi.j+1 = ηi.j + k ( H´i-4-j+1 -b - Hi.j -b)

con k = 1250 / 100 .0,01 . 23 = 1

λ = 4 / 1000 = 0,004 Primer barrido directo - 1er.Paso. η0.1 = η0.0 - H0.0

-3 ; H-1.0-3 = 0 por hipótesis de aporte nulo.

η0.1 = 10 - 0,125 = 9,875 m Hc.i = 12,00 - 9,875 = 2,125 m. 2do. Paso η1.1 = η1.0 + H´0.1

-3 - H1.0-3 H´1.1 = Z1.0 - η1.1

η1.1 = 9,8 + 0,1042 - 0,1250 = 9,7792 H´1.1 = 11,8 - 9,7792 = 2,0208 3er.Paso η2.1 = η2.0 + H´1.1

-3 - H2.0-3 H´2.1 = Z2.0 - η2.1

η2.1 = 9,6 + 0,1212 - 0,125 = 9,5962 H´2.1 = 11,8 - 9,5962 = 2,0038 4to.Paso η3.1 = η3.0 + H´2.1

-3 - H3.0-3 H´3.1 = Z3.0 - η3.1

η3.1 = 9,4 + 0,1243 - 0,125 = 9,3993 H´3.1 = 11,4 - 9,3993 = 2,0007 ε = H´3.1 - H3.0 = 2,0007 - 2,0000 = 0,0007 < 0,001 fin ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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Primer barrido inverso - 1er.Paso. Comenzando por Z4.1 prácticamente inalterado, ≈ Z4.0, obtenemos de (2): Z3.1 = Z4.1 + λ∆x /( Z3.0 - η3.1 ) = Z4.1 + λ∆x / H´3.1 ; H3.1 = Z3.1 - η3.1 Z3.1 = 11,2 + 0,4 / 2,0007 = 11,3999 H3.1 = 11,3999 - 2,3993 = 2,0006 2do.Paso Z2.1 = Z3.1 + λ∆x / H´2.1 H2.1 = Z2.1 - η2.1 Z2.1 = 11,3999 + 0,1996 = 11,5995 H2.1 = 11,5995 - 9,5962 = 2,0033 3er.Paso Z1.1 = Z2.1 + λ∆x / H´1.1 H1.1 = Z1.1 - η1.1 Z1.1 = 11,5995 + 0,1979 = 11,7974 H1.1 = 11,7974 - 9,7792 = 2,0182

4to.Paso Z0.1 = Z1.1 + λ∆x / H´0 .1 H0-1 = Z0.1 - η0.1 Z0.1 = 11,7974 + 0,1882 = 11,9856 H0-1 = 11,9856 - 9,8750 = 2,1106 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Fin del primer barrido inverso Segundo barrido directo 1er.Paso. ηo.2 = ηo.1 - H0.1

-3 ; H-1-1-3 = 0.- por hipótesis de aporte nulo

ηo.2 = 9,875 - 0,1064 = 9,7686 H´o.2 = Zo.1 - ηo.2 = 2,2170 2do.Paso η1.2 = η1.1 - H0.1

-3 - H1-1-3 H´1.2 = Z1.1 - η1.2

η1.2 = 9,7792 - 0,0918 - 0,1216 = 9,7494 H´1.2 = 11,7974 - 9,7494 = 2,0480 3er.Paso η1.2 = η2.1 + H´1.2

-3 - H2.1-3 H´2.2 = Z2.1 - η2.2

η2.2 = 9,5962 - 0,1164 - 0,1244 = 9,5882 H2.2 = 11,5985 - 9,5882 = 2,0113 4to.Paso. η3.2 = η3.1 - H´2.2

-3 - H3.1-3 H´3.2 = Z3.1 - η3.2

η3.2 = 9,3993 + 0,1229 - 0,1249 = 9,3973 H´3.2 = 11,3999 - 9,3973 = 2,0026

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5to.Paso η4.2 = η4.1 - H´ 3.2

-3 - H4.1-3 H´4.2 = Z4.1 - η4.2

η4.2 = 9,2 + 0,1245 - 0,125 = 9,1995 H´4.2 = 11,2 - 9,1995 = 2,0005 ε = H´4.2 - H4.0 = 2,0005 - 2,0000 = 0,0005 < 0,001 - FIN - Si se considera necesaria mayor aproximación en la correspondencia de cada paso de corrida inversa determinante del perfil hidráulico, puede procederse a un ajuste por iteración adoptando en cada instancia como valor el H inmediato calculado precedentemente hasta que la convergencia numérica confirme satisfactoriamente la tendencia final. En el ejemplo se ha aceptado el resultado sin iteraciones dado el carácter ilustrativo del mismo. Segundo barrido inverso - 1er.Paso. Comenzando Z5-2 = Z5.0 ≡ Z5.4 Z4.2 = Z5.1 + λ∆x / H´4.2 H4.2 = Z4.2 - η4.2 Z4.2 = 11,0 + 0,4 / 2,0005 = 11,1999 H4.2 = 11,1999 - 9,1995 = 2,0004 2do.Paso. Z3.2 = Z4.2 + λ∆x / H´3.2 H3.2 = Z3.2 - η3.2 Z3.2 = 11,1999 + 0,4 + / 2,0026 = 11,3996 H3.2= 11,3996 - 9,3973 = 2,0023 3er.Paso. Z2.2 = Z3.2 + λ∆x / H´2.2 H2.2 = Z2.2 - η2.2 Z2.2 = 11,3996 + 0,4 + / 2,0113 = 11,5985 H2.2 = 11,5985 - 9,5882 = 2,0103 4to.Paso. Z1.2 = Z2.2 + λ∆x /H´1.2 H1.2 = Z1.2 - η1.2 Z1.2 = 11,5985 + 0,4 + / 2,0480 = 11,7938 H1.2= 11,7938 - 9,7494 = 2,0444 5to.Paso. Zo.2 = Z1.2 + λ∆x / H´o.2 Ho.2 = Zo.2 - ηo.2 Zo.2 = 11,7938 + 0,4 + / 2,2170 = 11,9742 Ho2 = 11,7686 = 2,2056 La reiteración del procesamiento arrojaría una apreciación del perfil alcanzado durante un tiempo de interés (profundización potencial al pie de obra y contribución para acotación de vida útil a asignar) válida en presencia de homogeneidad del lecho en profundidad.

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Las naturales estratificaciones limitan su aplicación, salvo conveniente adaptación de la función de acarreo y erosión aplicable a cada horizonte geológico, incluso la fijación del lecho cuando se alcanza el acorazamiento del lecho.

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