1. INTRODUCCION.

La teor(a de las láminas rebajadas de Vlasov ocupa un lugar muy destacado dentro de la teorra general de láminas, por el amplio campo de aplicación que ofrece.

El término "rebajadas" no exige necesariamente esta cualidad geométrica de la lámina, pues corresponde a un conjunto d·e adicionales hipotesis de tipo estético y cinemétlco, pero no geométricas.

El planteamiento del análisis de una estructura en el marco de esta teorfa re­sulta extremadamente sencillo, y permite, por este motivo, el encuentro de solucio­nes anatrticas con relativa faciJidad.

Se ha introducido también en este estudio la simplificación de ~a 11placa cur­vada", simplificación geométrica que exige un cierto rebajamiento o aproximación de la superficie media de la lámina con respecto a una superficie desarrollable.

La solución que se presenta aqur corresponde a una cubierta laminar sobra planta rectangular con dos bordes opuestos apoyados sobre .. trmpanos", y los otros dos, con condiciones de borde muy generales, que pueden ser expresadas mu­chas de ellas en la realidad trsica de una viga.

2. HIPOTESIS Y ECUACIONES GENERALES.

2.1. Hipótesis y aproximaciones.

2.1.1. Hipótesis.

las hipótesis que se consideran, son las correspondientes a una teorfa elástica y lineal de láminas, que puede ser resumida como sigue:

SEPTIEMBRE.· . .tl}68

a) Material eléstico y hookiano. b} Desplazamientos p~queños, es decir:

b-1). Én el planteamiento de las ecuaciones de equilibrio, la geometrla de la lámina corresponde al esta-do anterior a la deformación.

b-2). En el estudio de las ecuaciones de compatibilidad, los productos de los desplazamientos entre s( o por sus derivadas de cualquier orden son despreciables frente a la unidad.

655

656

e) Lámina delgada, es decir, su comportamiento puede ser definido por un ele­mento bidimensional (superficie media) •

d) Hipótesis de Klrchoff.

Con las hipótesis a) y b) se cumple la analogra estática-cinemática de Golden­weizer. (1).

2.1.2. Aproximaciones.

Se consideran, a continuación, el grupo de aproximaciones a la teorra anterior, denominado de ia teorra de láminas rebajadas y placa curvada.

Por lámina rebajada se entiende, aquella en la que los productos de los esfuer­zos de flexión por las curvaturas no deformadas, son despreciables en comparación con los esfuerzos directos o de membrana.

Por placa curvada se supone que existe un conjunto de lineas coordenadas or­togonales («I CX:.J),tal que la primera forma cuadrática fundamental de la superficie media de la lámina es:

Para el caso especial de una lámina cuya superficie media posea una curvatura gaussiana nula, tal conjunto de lrneas coordenadas existe. Para otros tipos de lámi­nas, esta hipótesis es incorrecta.

La validez de la aproximación de la placa curvada para un conjunto dado de U­neas coordenadas, puede ser medida por la pequeñez des comparado con la unidad, en donde s esta definido por la expresión:

a = -1 J [(1 - A1

11)1 + (1 - A11)1 + 4 A111) d O o g

en donde A-111 ~ y Au son los coeficientes de la primera forma cuadrática funda­mental y .0. es el área total de la superficie media.

Para las láminas de traslación, se hace una simplificación caracterfstlca: las li­neas coordenadas se suponen son Uneas de curvatura.

Las aproximaciones expuestas previamente, conducen a las siguientes relacio­nes:

a). Aproximaciones de lámina rebajada:

K1 M11 <N;¡

Consistente con la anterior simplificación estática, existe una aproximación ci­nemática de la teorfa de la lámina rebajada dada por:

K¡ e¡¡< le¡ 1

Este par de aproximaciones asegura la aplicación de la analogfa estatico-cine­mátlca (1).

Otra formulación para la aproximación cinemática, puede ser considerada la siguiente:

REVISTA DB -OBRAS··POBUCA$

b) Aproximaciones de la placa curvada. Si las ecuaciones de la supeñicie media de la lámina son:

entonces:

x1 = x1 (a1, a1)

x1 = x1 (a1, a1)

z = z <··· ··>

A1u = x1, 1 x,,1 + x1,1 x1,1 + z,1 z,1 = 1

A• •• = Xttt x,,. + x.,. x,,. + z,. z,, = 1

A11 = x1,1 x1, 1 + x1,1 x111 + z,1 z,1 =O

Y los coeficientes de la segunda forma cuadrática fundamental son:

L= K1

M =O (lineas de curvatura)

N=K1

En orden de aplicar un proceso de cálculo tipo Levy, se suponen Kt y K2 cons­tantes.

~.2. Ecuaciones de equilibrio.

Con las anteriores hipótesis, las ecuaciones de equilibrio de un elemento dife­rencial de lámina se convierten en:

N11,1 + N11,1 + X1 ==O •...•••.•••••.••. N11, 1 + N1111 + X1 =0 •••• ; .•.•••.••..• M11,1 +M1111 - 0 1 =O .•..••.••.•.....•• M11,1 + M11,1 - Q 1 =O .•.•••..•• , ..•. , .

Q 1,1 + 0 111 + N11 K1 +Nu Ks+Z ==O .•••..

El convenio de signos puede verse ~n la figura 1.

2.3. Relaciones fundamentales.

(2 .2-1) (2.2-2) (2.2-3) (2.2-4) (2.2-5)

Con el fin de deducir las ecuaciones generales, se consideran las siguientes rela­ciones:

Deformaciones! Desplazamientos:

1 e11 = T (u;,¡+u1,1 - 2 K;¡ w)

k;¡=-w,;¡

Siendo:

(i,j = 1, 2)

K¡ 1 = K¡ y K¡¡ ""'O si ; # ¡ pues las lineas (a1, 111) son de curvatura

o- Acciones

b- Esfuerzos membrana

e- Esfuerzos de flexión Figura 1.

658 REVISTA DE OBRAS POBLICAS

Esfuerzos/ Deformaciones:

N1 l = K [(1 - v) e¡ l + v ll¡ ¡ e,]

M¡ ¡ = D [(1 - 11) le¡ 1 + Y ll; ¡ lcr r]

E 11• D=--

1-,.a y a, 1 es la delta de Kronecker

Se ha utilizado el convenio de sumaclón de Einstein (r = 1, 2).

Función de tensión. Definlcl6n.

Se define:

Con la introducción de la función .¡., las ecuaciones de equilibrio (2.2-1) y (2.2-2) se satisfacen Idénticamente.

Esfuerzos/ Desplazamientos:

M11 =- D (w,11 +" w111)

M11 = - D (w,11 +,. w.u)

M11 = - D (1 - v) w,11 = Mu Q, = - o v• w,. Q, =- ov•w,. R1 = Ql + M1111 = - D [w,,u f- (2 - ·1) w,ttal

:R, = Q, + M,,,1 =- D [w,ut + (2- v) w,111}

Las expresiones de 01 y 02 han sido deducidas de las ecuaciones de equilibrio (2.2-3) y (2.2-4).

2.4. Ecuaciones generales.

Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones de equilibrio y de compatibi­lidad, se deducen las ecuaciones generales. Las ecuaciones de compatibilidad se obtienen inmediatamente de las de equilibrio, utilizando la analogra· estatlca-cine­mática ya mencionada.

Las ecuaciones generales son:

; t: \}• ~ + \J'K. w = El ll [ J X1,u d «t + J X,,, d «t + v (X.,. + X,,.) 1 (2.-4-1)

en donde \/2 es el operador de Laplace: _!.___ + ~ y \l1t< = K1 ~ + K1 ~ a~ a~ a~ a~

SEPTIEMBRE 1968

660

3. DESCRIPCION DEL PROCESO TIPO LEVY.

3.1. Definición.

Se supone que el contorno de la lámina es rectangular de lados /¡ y /2•

La solución tipo Levy corresponde a las siguientes condiciones de borde a lo largo de cx1 = O y cx1 = /¡.

N u = O • Uz = O • w ~ O y M u =O

que se suelen denominar tipo "tfmpano". La solución toma entonces la forma:

... w (a1, a,) = ~ w<mJ

m=t

con w(m) = [ w<mlp {a!) + w(m}c (a1)) sen lm a,

J... = m1t m l¡

w<m> P (cx2) sen A m cx1 se suele denominar solución particular, y w<m> e (cx2) sen A m CXh solución complementaria.

3.2. Solución particular.

Desarrollando en serie de Fourier las cargas exteriores se obtiene:

ao

X1 = ~ C1 m cos A.m a:1

m=l

CD

Xs= ~ CsmSen Am ct1

CD

z =~c. m sen Am C¡

m=l

En general, Clm• C.zm y C3m son funciones de CX2·

Si se considera, primeramente, el caso frecuente de que las cargas exteriores sean independientes de cx2, entonces Clm• C2m y Csm son constantes.

La solución particular puede ponerse en la forma: <D

ol> = ~ •m (a::) sen ).m a1

m=t

CD

w = ~ wm (121) sen ).m a 1

m=l

(3.2·1)

en donde ~m (cx2) y Wm (cx2) son funciones de cx2, tales que su derivada segunda es cero, es decir, 4Jm, 11 = Wm, 1~ =O.

REVISTA DE OBRAS POBLICAS

Introduciendo (3.2-1) en (2.4-1):

~m 1 - <flm- Ks )..lm wm =-[-c. k' m a.- V e, m km] Eh f h •

K:k'm <Z>m+Dk•mwm=- ~1 C1 m-K:C1 mas+C1 m m

-[~v>..•m+ K:K']C1 m-[~k'm +K11]a1 C:m+K1 C8 m

Eh ~ Eh 4i-m = -----------------------

~),8 +K• 1..• Eh m 2 m

Por facilidad de escritura se puede suprimir el índice m en todas las fórmu­las que siguen sin riesgo de confusión. Entonces:

con:

H, = O -1 [ EDh ).4 -t- KBs] Cs -->..•+K•, >..• Eh

Ha = 1 [ (- K1 + v K, )A C1 + >..• C1 l)

Eh ( :h >.• + K•s 1..•)

Sea por definición el vector columna resultante R (15 X 1).

R = matriz columna (ut; u2; w; W,¡;- w,2; Nu; N22; N12; Mn; M22; M12; 01; 02; R1; R2), en donde cada elemento es función de cx2 y varía a lo largo de cx1 como sen A cx~o excepto u1; W11; N12; M12; 01 y Rto que varran como cos A cx¡.

SEPTIEMBRE 1968

Para la solución particular, R se designa por R P y toma la siguiente expresión:

1 H1 K, C, H , + ( H C, ) RP () =----+v 1 o. v • k+- a2 ). ).1 • >..

RP (2) = ( - H1 l 1 + ~ ~1 +Ha K~) a!- ~ { H: k2 + C~) a!1

RP (3) = H1

RP (4) =}., H1

RP (5) =O

~1

662

RP (6) = - .i.!... l

RP (7) = - l 1 H1 - (H: ll + C,) ~t1

RP (8) = -lH2

RP (9) = Olt

Rp(10) = D v l'

KP (11) =O

RP (12) = DA.•

RP(13)=0

RP(14) = D l'

RP (15) =O

El vector desplazamiento se define por:

y el vector de esfuerzos:

En el caso general de que Xt, X2 y Z dependan de a 1 y a2, se puede utilizar como solución particular una tipo Navier es decir, se desarrollan las cargas exte­riores en doble serie trigonométrica, de la forma:

Cl> CD

m~l n=l

... ...

... ...

siendo:

...

m=l

...

... Cam n sen lm a1 sen 1'-n a,= ~ C3 m (a~) sen A. m a1

m-1

y n1t

1'- =--" '~

REVISTA DE OBRAS POBUCAS

Y se supone que la solución es del tipo:

<O <O

4> = ,! ~ <!Jm n sen ).m a1 sen l'n a 1

m=l n=l

.., ..,

w = ~ ~ w m n sen k m a1 sen l'n a1

m=l n-1

Introduciendo estas e~presiones en las ecuaciones generales, se deduce para el término m n-simo:

Siendo:

cram.,= Amn D(Vm+ll1n)+Bmn(Ktk'm+Kt!11n)

---º--- ().1 + p.l )' = (Ka ).1 + K1 uZ )' Eh m n m rn

Amn (Ks ).lm +K¡ P.1n) + Bmn (}•1m + fL1n )1 ---/-¡; D

fh().lm + P.Sn)'+(K! A_lm +K¡ p.ln)

A =- (k1m +11

1n) r Ctmn_. + C:mn]

m n Eh ).m 1'-n

Bm 11 = -.~ C,mn _J5!_C:mn + e.m n km lln

Se consideran las dos funciones:

cfiom (rz1) = ~ cfiom 11 sen l'n a1

n = 1

... wm (a1) = ~ wm 11 sen !Ln a1

""""'

Y el vector resultante Rp toma en este caso general la siguiente forma (el rn­dice m es suprimido):

SEPTIEMBRE 1968

RP (1 l = - ...!!.... w (a1) + -1- [k~ (a1) + -1- e, (a1) +...!. (.~ • .,(a,) -Jc• (a1) d a1 )] k Eh k• ). ,

RP (2) =K1 J w (rzs) d a1 + Elh [ 41,, (a1) - J J C1 (rza) d a1 + v k1 f 41 (a1) d a1 + ~ fe, (aJ d a1 ]

RP (3J:= w (rza)

RP (-4) =l. w (rz1)

RP (5) = - w,1 (a1)

663

6M

Rp (7) =el>. SI( .. !) -fe, (11z) el "-2

RP (8) =- >.. <l>,a ((!,)

RP (9) = D [).1 w (a1) - ~ w.~~ (a1 )]

RP (10) = D [v /..1 w (a1)- w,sz (a1)J

RP (11) = - D (1 - v) >.. w, 1 (o1)

RP (12) = O [>._3 w (a1) -k w, 11 (a1lJ

RP (13¡ =O p .. • w, 1 (a1)- w,m (a1))

RP (14) =O [)..1 w (cr1)- (2- v) A. w.u (a1)]

RP (15) =O ((2- v) >._: w, 1 (a1)- w,!ts (a1)]

Y de análoga manera al caso anterior, se definen dp y Xp·

3.3. Solución complementaria.

La solución complementaria es la solución general de la ecuación homogénea (2.4-1), es decir:

_] ___ 'iJ' <1> + \711( w = o l Eh

D 'iJ' w - 'iJ2~e ~ = O

(3.3-1)

Se introduce la función de Ambartsumyan W definida por las siguientes igual­dades:

w='iJ• W

el» = - E h \72~e W

La primera ecuación de (3.3-1) se satisface idénticamente, y la segunda, se con­vierte en:

\7d w + 12 (1 - ·•) 'iJ' w =o h• le

(3.3 -2)

Desarrollando W en serie de Fourier, el término m-simo es W = F (<X2) sen). «v y sustituyendo en (3.3-2) se obtiene:

Ecuación diferencial ordinaria de coeficientes constantes cuya ecuación carac­terística es:

Si se realiza la sustitución y2 - ).2 = t, se obtiene:

t'+ 12 (1- vt) !Kt t +(K¡- K,) )..•]'=0 h•

REVISTA DE OBRAS POBLICAS

o bien:

t1 -+ 2 i 1'- [K, t + (K, - K~) 1.11 = O

con:

tJ.= V3(1 - vl)-, y

es decir, dos ecuaciones de segundo grado cuyas ralees dan las ocho de la ecua­ción caracterlstica:

Yt = r, + i s, Ys = r,- i s, y8 =- r1 +i s1

r. =- r,-; s,

r.= r,+ j '•

Ys = r~- i s1

Y1 =- r, +; s, Ys =- r:- i St

en donde:

SEPT1EMBJ5E ·.1968

Si K, > K2 , entonces:

(i = 1, 2).

a¡= k1 - (-1);!1 '/(- K21 + 6,)/2

,¡ = 1'- [ V<K2, + 6.)/2 + (- 1); p.]

a¡=)..~- (-1); 11 V(- K21 + 6,)/2

~; ="' [V<K•, + 61/2- (-11; p.]

Si K1 = K2 =K e {esfera), se obtiene:

Siendo en todos los casos:

Y la solución general es:

a) Si K1 =Jf K2:

a 1 =k1

~~ = 2 p. K. a1 = l.t

Pt =o

F (a1) = e- r, •• [A1 cos s1 a1 + A2 sen s1 a1] + e- '• •• [A3 cos s2 a1 + A4 sen s1 a1)

+e- r, ~.fA~ cos s1 Ps + A8 sen s, Psi+ e- '• ~. [A1 cos s, Ps + Aa sen •s Psi (3.3-3)

665

666

en donde:

En este caso r2 = :A y s2 = O:

F (a2l =e- r, "• [A1 cos s1 'la+ A1 sen s1 cr1] +e- '• "• (A3 +A, cr1)

+e- r, ~. [A11 cos s1 P1 + A6 sen s1 ~2) +e- '• p, [A7 + A8 ~zl (3.3- 4)

La ecuación (3.3-3) puede ponerse en la forma:

F (a!)= 1 10>, p, (az) A,2 T a<0)2 P: (at) Aa, + B10l, Pa (~!) Ali6 + a!Ol, P: (~,) A78

siendo:

con:

con:

&!Ol¡ = (1, 0) (1 X 2)

p1 (a~)= [······-~-~-'!_~~-~-~~-~~-~-·------- i ------~~--~~-~~-~~~--~~-~~---··· ] (2 X 2) _ 8 - rja,senr¡o:2 : 8 - r¡01COSJÍOt

(i=1,2)

(j, k= 1, 2, 3, 4)

Y de manera análoga la ecuación (3.3-4) se convierte:

F (~:Zt) = a<O) 1 Pa (a:) An + aa<Ol: p': (as) Au + 1 101 a Pa (Pzl A&s + 8'101 p': (~,) A78

8t!O): = (1,0)

[e-"••

p'2(a:)= .

(1 X 2)

a: e- A ''] (2 X 2) e ~a,

Para determinar las sucesivas derivadas de F (eh), se procede por recurrencia:

a) K1 =F K2. Sea:

(3.3-S)

(i = O, 1. 2, 3, ... ).

Si se deriva esta igualdad, considerando que:

d p (a1)

d = t; P; (r.tz) a,

t- =r J 1 ---~--~~- ----~-~----- s¡ - r1

(2 X2) (i = 1,2)

REVISTA DE OBRAS POBLICAS

se deduce:

di+l ffo:.) n n '+1 e~ ---. -----' .. ,_ = 8 1 1 t 1 p 1 (r.~) An + 8 1

2 t~ Pz (o:z) A~• + (- 1 1 8 1' t, Pi (~1) A LS do:zl+•

luego:

8~¡ + 1) = 8~j) f. 1 1 1

Ecuación de recurrencia, cuya solución es:

(j) (0} (j) [ · ·¡ ( S¡ ) . ( '/ ( S¡ ) ] 81 = 81 f¡ = (- 1)1 (rt;+ s2;)1 • cos jartg--;;- 1 (- 1 )1 r1¡ + st1)1r sen jartg ~

La ecuación (3.3-5) puede ponerse en la forma más compacta:

di F~o:1) =8(ilp (as)Ait:u+(-1)¡ 8<i1 P(~s)Ai07a d a1'

siendo:

(1 X 4)

(4X4)

(4 X 1)

14 X 1)

Procediendo de manera análoga al caso anterior, se llega a:

di F ( az) = 81il p (a) Auu + (- 1 )i 8Cil p (~a) AH78

d ai siendo:

8 c;> = [81il, 1 8 .(1>

1 1 (1 X 4)

[

P1 (a:) 0 ] P(o:~) = ... ---·-----· -----------·

O P's (o:,)

(4X 4)

(1 X2)

Las demás magnitudes tienen igual significado que en el caso a).

SEPTIEMBRE I968 667

Tabla 1.- (Matriz G.)

1 ' 1 , 2 ~ 4

1 5 ' e 7 8

1

1

! 1 --------1

1

1 -K,).. , -(K,+vK,))..' . 1

. . ! . . __ / + (2+vl K,)..

1 1

1 '

2 1

. K,)..' . Ko+vK, 1 . . ! . .

-(2+vl K,)..' 1

-~----1

3 1 ).'

. -2)..' . 1

1 1

. . 1 . 1

1 1 ---1 1

1 4 ).' . -2)..' . ).. . . .

1 1 1 1

---1 1

5 . ),.' . -2}..' 1

. 1 . ' . 1

1

1

1

1

1

!

1 6 . . K'!.'Eh . -K,Eh 1 . !

. . 1

1

1 1

7 -K,)..' Eh . K, )..'Eh 1

. 1

. . . . 1

1 ' 1 1

8 . -K,)..'Eh . i K,)..Eh

1

. 1

. . 1

. 1

---

1

9 )..'O . -(2 +vlA.'O 1 . (1 +2v)A.'O • 1 -vO .

1

¡ 1

10 V A.' o . -(1 +2v))..'O 1 . !2+vlA.'O . 1 -0 1 .

1 1

11 . -(1-v)A.'O . 2 (1-v) )..'O 1

. -(1-v))..O 1 . . -121

1

)..'O . -3)..'0 . 3)..'0 . -)..0 .

13 -1

:

. )..'O . -3)..'0 . 1 3)..'0 . -0 1

1

1

14 A.' O . -(4- v)A.'O . (5-2v)A.'O 1 . -(2-v)A.O .

-(5-2v)A.'O 1 1

1

---'

15 . (2-v)A.'O . . (4-v)A.'O ' . -0

La expresión de la matriz resultante R, que se denomina Re por corresponder a la solución complementaria, es para los dos casos considerados:

Re= G j 8P(a,)A1m + Ja 8 P (Psl Ati87al

donde G se muestra en la tabla 1, y su dimensión es (15 x 8).

B = [B<i>} (i =O, 1, 2, ... , 7), dimensión (8 X 4), es decir, la (i + 1)-fila está formada por la matriz B<i> definida anteriormente.

J 8 =matriz diagonal (1,-1, 1,-1, 1, -1, 1, -1). El producto J8 B se designaré en lo sucesivo por C. El vector desplazamiento es:

de=[ ~ l = [

-w,1 e

El vector de esfuerzos es:

Re (1) ~ = Gd [8 P (a1) A 1141 + C P (p,) AKisl

Re (2)

Re (3)

Re (5)

siendo Gd y G.r las correspondientes submatrices de la matriz G.

3.4. Método de los desplazamientos. Solución Inicial.

La solución inicial corresponde a condiciones homogéneas cinemáticas de contorno nulas, es decir:

d0 = O a lo largo de ~X2 =O y ~X2 = /2.

SI se indica con un subrndice o la solución inicial, se cumple:

R1 = RP+ R,.

con las condiciones:

d 0 (o)= o= do Os)

o en forma más explicita estas condiciones pueden expresarse:

[ t~~] + [ ~::~~~!-:::-:::] l ::] = [:]

y como P (O) = 1 (matriz unidad):

[ ::] = - [-G~:~P~(IJ ! ~~:·p~jJ ] -1 r :::: ] (3.4-1)

SEPTIEMBRE 1968 :669.

670

Y de aquf la solución Ro está determinada a partir de (3.4-1), puesto que:

Ro= Rp + [G 8 P («si , G C P (~!)] [~ .. -~~~]

A~rr8

y en particular se conocen los vectores esfuerzos Xo (O) y Xo (/2) a lo largo de Jos bordes c:1e2 = O y c::t2 = /2 de la lámina.

Para aplicar la técnica standard del método de los desplazamientos, es necesa­rio conocer las matrices de rigidez de la lámina y de las vigas de borde.

3.5. Matriz de rigidez de la lámina en ejes locales.

Si se designa por comodidad de escritura:

d, =de (lz)

d 0 =de (0)

A= [A1234J As671

entonces:

X¡= XC (1~)

X 0 =Xc (0)

[::] = [···::-: ·. ~-~!~~--1-::-~·p·(i~)··] A

[:: 1 :=r--:~-:--~--~!~-~--1··=·:-~·¡¡·(i~)-· J A

Eliminando A entre las anteriores ecuaciones:

o bien:

en donde k s es la matriz de rigidez de la lámina en ejes locales.

3.6. Transformación de rotación.

Sea G el centroide de la viga de borde (ver fig. 2). Los ejes 2 y 3 son los prin­cipales de inercia de la sección normal de la viga.

cp es el ángulo entre el eje 2 y a 2• Origen en el eje 2 y sentido positivo levógiro.

P, F'2, fr8 y M'1 son las fuerzas y momento actuando en D (punto de intersec­ción del eje de la lámina con la viga) producidas por los esfuerzos x, y son ac­ciones externas actuando sobre la viga a lo largo de su directriz.

REVISTA DE OBRAS POBLICAS

Si:

F~[i] ~~[~] o~[ cos cp -sen 'P J sen 'P cos'

se cumplen las siguientes relaciones estáticas en los bordes «2 = /2 y cx2 = O, res­pectivamente:

'·=-·o. x,

F",= OoXo

Y las análogas relaciones cinemátlcas:

d' ==0- 1D l 1 l

d'0 = 0 01 D0

pues o-x = 0 1 (matriz ortogonal).

lamina

Viga

3 Figura 2.

3.7. Tranatormacl6n de traslación.

Superficie media de la lamina

Sean a y b las coordenadas de D respecto a Jos ejes .principales de Inercia (2 y 3) situados en el centrolde de la viga.

SEPTIEMBRE 1968 671

672

Las ecuaciones de equilibrio de la viga son:

X1 =F'a

X1 = F'1

X1 = F'1

G1 = F'1 b- F"1 o

G1 =-f"-1 b

G1 = F'1 a

Introduciendo la notación:

G1 Gs X f 1 =X1--+-= 1

'• '• F1 = Xa+G,, a

F1 =X1 -G1, 1

M 1 =G1

La aproximación en la ecuación de F1 es consistente con la teorra de las lámi­nas rebajadas, puesto que:

y

siendo r2 y ra los radios de curvatura de las proyecciones de la directriz de la viga sobre los planos principales G 12 y G 13, respectivamente, es decir:

Entonces, se deduce:

o ma.s compactamente:

o bien:

con:

1 '• = - R1 sen cp = --sen cp K,

R1 coscp =

1=1Y

7-1 = [ 1

a k

bA. .

•

-b

1 -coscp K, •

. ][id

a

REVISTA DE OBRAS·POBI:.ICAS

Y las análogas relaciones cinemáticas son:

D = (1 1 )'D

D' = r' D

Siendo el vector desplazamiento en el punto G:

Las relaciones anteriores referidas a lo largo de los bordes cx2 = O y cx2 = /2 to­man la forma siguiente:

F, = T, F', D'1 = r', D't

Fo = To F'o D'o = r', Do

3.8. Matriz de rigidez de la lámina. Ejes viga.

Las dos vigas de borde a lo largo de cx2 = O y cx2 = /2 se numeran por O y 1, respectivamente. Según los apartados 3.6 y 3.7 se obtiene:

.xo = o-•o r-'o Fo = lfo Oo)- 1 Fo

.x, =- o-•, r-', F, = -(T1 0,)- 1 F, d8 = o-'o r'0 D0 = (T0 Oo)' Do d 1 = o-', r', D, = (T, 0 1)' D,

Sustituyendo estas relaciones en la ecuación (3.5-1 ), se llega: .

es decir, la matriz de rigidez de la lámina en ejes viga es:

K', ~ [ :::: ::~:] ~ [ ~;;;·~;~:;:~:::· ;~::~:;;;:~)']' o sea:

3.9. Matriz de rigidez de la viga. Ejes locales.

El problema general es complejo y se suele introducir en su resolución algunas simplificaciones (ver, por ejemplo, la referencia 4).

Para la mayorra de las aplicaciones prácticas son válidos los resultados si­guientes:

SEPTIEMBRE Ir;68 673

674

Matriz de rigidez de la viga, K.,:

[ F, l = [K:, • l [ D1 ] =K., [ D1l

fo K.,o D0 Do

en donde:

y:

K.,,= ja,m!, y K.,o = jalm la

a 11 = E~•A

H a 11 =-A=att ,.

E~A a 11 =--=a11 r, au=O=Ott

a 1t = f -----'1'--'-"-1

- + --· - + = a., [

).,1 1 '1 '· ~ ¡ ,, j r1 r!: r1 2 r1 (1 + v)

a11 =E [k' 1, r¡11 + - 1•- -t ~ + )..l

1' ]

r11 r•1 r1

1 2 rl1 (1 + ·1)

au=E - --- =au [

- ),1 '· .,. '· ).1 ,, ]

r1 r11 r1

1 2 r1 (1 + v)

au=f -+-+----[ '· '· ls ,, ] r11 r': 2 rs ( L + v)

siendo:

1 'l)s=l--,­

)..1 rt,

1 'la=l--­

AI rs,

A es el área de Ja sección transversal constante de la viga.

/ 2 e /8 son sus momentos princ~pales de inercia.

1 t es el momento torsional de inercia.

Para la formación de la matriz de rigidez de una estructura compuesta de lá­minas y vigas, se utilizarán las técnicas stiNidard de los métodos matriciales. El mo­delo de formación de la matriz de rigidez depende muy fntlmamente de la ordena­ción topológica existente entre los distintos elementos estructurales.

REVISTA DE OBRAS POBL/C.AS

4. EJEMPLO DE APLICACION. (*).

4.1. Datos

Se estudia una lámina de las siguientes caracterfsticas:

/1 = 50,000 m. /2 = 50,000 m. h =0,3823 m.

K1 = -0,0050 m-1 •

K2 = 0,0100 m-1 •

E= 1 000 000 t./m.2 •

"= 0,25. x1 = o,oo X2 =0,00.

Z = 78,54 sen ( ;, a 1 ) t.1m.2.

Número de armónicos que se consideran en la solución N= 1. Las condiciones de borde homogeneas se definen por un vector IBC (/) de

ocho componentes. Las cuatro primeras se refieren al borde otz = O y las restantes a él otr. = lz.

JBC (1) = O significa que la condición cinemáti-ca d (1) o d (1- 4), según el bor­de, se anula y IBC (/) = 1 indica que la condición estática x (1) o x (/- 4), según el borde, se anula.

En el ejemplo que se presenta, se han supuesto los bordes cx2 = O y cx 2 = 12 li­bres, es decir:

IBC = (1,1,1,1,1,1,1,1,).

La salida de resultados son los valores del vector R, correspondientes a una malla de N 1 puntos en la dirección cx1, por N 2 puntos en la dirección ot2 represen­tada en la salida de resultados por x1 y x,.

En este caso:

4.2. Ruultedoe.

N1 = 11. N2 = 11.

Se ha utilizado un ordenador electrónico IBM-7090, para el que se ha programa­do en lenguaje FORTRAN IV la resolución del ejemplo anterior, obteniéndose fos re­sultados que se exponen a continuación.

(•) El ejemplo que se presenta ha sido estudiado utilizando un procedimiento Indirecto de célculo, por el Dr. D. Gunarekera en su tesis doctoral (1967) en la Universidad da Londres. Sus resultados no coinciden con los presentados en esta articulo.

SEPTIEMBRE 1968 675

5. BIBLIOGRAFIA.

1. Go/denweizer, A. L.:"'Theory ot Elastlc Th/n She//es". Pergamon Presa Oxford, 1961. 2, Vlasov, V. Z.: "General Theory of Shells and lts Ap/lcation in Englneerlng"'. N.A.S.A. TTF-99, 1964. 3. Munro, J.: "The linear Analysls off thln Shallow Shells". Journal of the lnstnutlon of Civil Englneers.

July 1961, Vol. 19. 4. Powe/1, G. H.: "lnteraction of edges beams with doubly curvad shells". A.S.C.E. Structural Dlvlslon,

June, 1966.

6. NOTACION UTILIZADA.

(X¡, X2, Z) ........... .

(a:¡, <X2) ............. .

'Y ..................... .. K1 , K2 ••••••••.••••.•

h .................... . E .................... .

V •••••••••••••••••••••• U¡, u2, w ............ . e u, e12, 9r.! ......... . k 11, k1.2, k22 •........

N u, N12. N22 ....... . Mu,o M12• M22 ..... .. Ql, Q2 .............. . R1, R2 ••••••••••••••••

1 i .................... .

Ejes ortogonales cartesianos. Líneas de coordenadas de la superficie media de la lámina. Vector unitario normal a la superficie media de la lámina. Curvaturas principales. Espesor de la lámina. Módulo de elasticidad. Coeficiente de Poisson. Desplazamientos de un punto de la superficie media de la lámina. Deformaciones (grupo membrana). Deformaciones (grupo flector). Esfuerzos (grupo membrana). Esfuerzos (grupo flector). Esfuerzos cortantes. Esfuerzos cortantes de Kirchoff. Indica derivación respecto a <X1·

RBVIST A DE OBRAS POBLICAS

RAICES:

u:~~~oooou ,o. ooooonu. ,,~ tZD"' -u. co~ooo o. O!OOOO lUQOOOOUO. Ool:O lft,:JJ~IU!!t 1 U 11 Ulll-111

Resultado nQmero 1 u,. IZ XI •o,,FJlt:t.-01 -O.:J4:JZI:-Ol -D.4&JIIJ:·01 •DoJJt.Cf'!·Ot ·O,tHlF·OJ -Q,'lllQIJI-·0'!1 OoJ1H<;-IJt Ool3~Cl!o-O' 0 0 "bl'!''•.,, Q,o..,~7E•0! t'o'il'"'f-3'. -O ... OU-OZ -o-~lBe.t-OZ •0o):J611:•0l •O.l'JIII<;-OZ •Oo13.60~-Q2 ·O,b'~<>'*•'O Oot!D0 .. -02 Oo2Sf1Tf·I'U• O.'"~tl":-·07 O.C.IKI-,;-(12 0.'-ltO!f-Gi!' O·"'tlt-01 o.420IE•Ol O.J6::H~-Ol 0•2'>'311':-01 o.•,-.Y .. -01 o.nlln-')a •0.~381'.:•'>1 -o.2e:ts~-o• -o,J6,,~-or -n.c.ZtJ'tE-Gl -o.6.~S!I.E-D1 O••'Jlbt.-QI Oo8099t-•01 Oo61JII'H:-Ol Oo'JOU~0:-01 0.2641~·01 O.lJ'J!U-nA •Ooll>JH'-Q' ·O,"'On!II:•Of -Q.~8e9~·0• -ll,80"Cif;-01 -O,,l6E'•'JL Ooll16t 00 o.aoe.u· oo o.90Zit-Ol o.D5:J30:•0J t',l•'>•H·•Ol o.tll'!l--0'1 -o.~6.48~-o~ -u.t-~')80:-G' •Oo010?7t•n• -o,' O'!'~ t'O -o.tJI6f 30 OolZOIE 00 OoU49E 00 O.'li7Uf:-OI Oof09.'!.01 ll,H'JZf-01 O."UOif•.,ll -O,H':Jl~-nl -P,fO'f'ft:--01 -0,0171'11:·-(U -0.!149~ 00 •O,•ZOR!' 'JO o.tllt.t 1.10 o.J.oe.u; oo 0,90Z1E-Ol o.eos"'ae-ol O.l448t-Ol n.pnF-1'18 ~O.l'-411~-ol -n.'>~"'8!'-0' -o.c;~o:n~-'l' -o.~ Deo lE oo -o.•lle." oo o.•~J.t.t-01 o.,O'J'It;-OI o.68e~tt-Ol D·500:J'=-oJ o,Z6J~t'•Ot o.:nlf-0,. -o.z,.n.;-o1 -o.soo~~o1 -o.~aao~-IJ• -0.80901f-CI' ~o.ll516f-:Jt D·"••t-01 Oo"Z68t-Ol Ool63lf-tll OoZ61..--01 OolJRn-OI OoTU!0:-001 -Oo.'.li'J~-01 •Ool,36E:·Ol •O •. Hillf::-01 -O,tolfo,'?-ct -0.6.U8f-G1

-o."ou-oz -o.•n6E'-OZ _M0·3~61E-OZ -o.zsar.::-oz -O.U60ii•OZ -0.6'"41.'-lO o.nfoo~-oz o.zs~n-oz oo~'!Uf·l!~ o .... II!6E-02 o.•~•-oz _-O.,lJZt-01 -o.~•~zt-01 -Oo4ti31E-Ol -0.336'fE-01 -D,Ili\E-91 -0,9\00if-0'!1 0.1111~-0l (I,J3t"'!-OJ Ooto6J!o;:-CJ 0,54-SZF-01 o.~ntt=-01

Resultado nOmero 2 u2. •4 ~ -&. -U,,l•ltt-UI -O•'~UliSt•Ol •Oollb'" 00 •0,! .. 0~0, 00 -'),l';1117f 00 -O,J6D'J+,o 00 ·0,)36')1: 00 -Oo99IAI:-01 •Ci,5214~;•(j' -~,')~,z¡..-:¡a -a. •1).,.,!,..-r .. -•I,(IJ'o1., oo -o.t"'-6" oo -o.•tooc. OC' -U·''""~ oo -o.J roo= 'lO -"·'"40" oo -o.t05'" 1111 -o·"'~:o-.~-o· -P..!:::~•?"'·:l" ·O, -Oo'J(IJf~-oJ -O ... !I!Itt-UI -U.tU~ 00 -n.J':Io'\Of 00 -Go•'>JOf 00 -O.l!o'oO!: no -0.1::119"' 00 •Q,Q .. II:7,':•0' •0,50:07"-('1 -C,.,IM't·Ot' -Q, -U,-t•.:.,r-111 -u,I./.161:-Ul -u,¡OO:!': 00 ·O•I' ''" UO -O.lZ"!':II; QO -O,!Il'T'! 00 •O,;OC'Zi' ')0 ·0,7276~-('• ·0.:.!8?5•-c• -O,"I31oO,·O• -Oo -U,o!O'IZl-01 -O,.J9l1':•0l -O,!Jt9t<;·OI •Oollo34')~·Cll -0.6611~-QI •Ooill)to~0:-01 •Q,'))<Ilt•o'1 •0,~'1~'1:-01 ·-o..ZO~lf-()l -Q,;t1Z,F-Q• "':0• -Oolilo'-09 -Q,4-~ZO':-O'f -(),lo?;tl':-OIJ •t",l"'1~-tl9 -O,J!>CIO!'-n<l -O,IJ!lt-0"" -o:~zl!'!•O'!I -OoC,.!iil0~-00 •C,Z3lt-~-('~ -C,ll,'-4í:•l•

O. Q,o!Qf!r~·JJJ 0,,9zlt•Ol O.').J'fl"i-QI O.!>'l4~"'-CI O.t. ... rJf.-1)! 0.6J4-'JE--Ol O.~n9l'E•OI Ool9:!1!'-Dl O,ii!Ofl!"-0! o,z•ZOF-08 u. o • .J~l,I--UI u.tZl'fJo~-01 o.aoo¿..:: oo I"J,•,•nt oo Ool!lS" oo O.tll'l": no o.:ooz=: no Oo1ll'I!•I:-O! o.38Z~F-n1 l),;.a3c."'-:>• Do O,,rur~·OJ 0.<1~81!1--01 OolJIIJI:: llO Ool~'oOO, 00 O.*e>~Of 00 0.1!15G;: UO 0,1!191: 00 Q,a!:oi'IZ0:-01 O,SO'!IfE-o~ Q,SJRI!:•OR o. o.,,~,t-01 u.IO'Il~ oo ll.t'-'r!IO:: ou n.•t•U"' I"JI) o.JT!'III, oo 0.!71JOo: oll o,•to4~ no o.:o~t-: o-, o.::o!>Z!:o"-IJI u.!>~tt?~-011

Oo::OZH•~·UI Q.o,r91~·01 O,U!>'Jt; 00 0.1 .. 05::, 00 OolMI1'0: 00 0.\6(',; 00 Ooi'Jt.''! 00 Q,"41A~-o• 0~,1!!41!-01 0.-.,6?'·•011.

Resultado n(unero 3 w . • o! •• -o. -Gol.!lOI: UO •Oo:I!'Jilt 00 -Oo! .. -.7: '10 -n,4iJolo~ DO •Q.4ZTJE 00 -0.40f-~ UU -'J,!'r~P 00 •Ool~'l" On -C.'l.!OI:: '11' •0,'1!1'll!-o1'

Do Dol!:orZ~-01 Oo'rii<IH-01 0 .... 11 .. "'•"' n,t'"'.b~·OI O.RJ24!'-0l O,l''t~6-:·0• 0.6Y!I'rf•Ol Oo4oll'li!.--0' Ool51Zf-OI Ool6to'!E•311 O. DoltiOZt DO Uo~4-Z'n: UO Oo4-ll 1'! 00 n,o,'!ito!lt. 00 0.5931!!' 00 0.5~4!:1~ ""0 o.•n 7F QD Q,Jttlli Ql) Oo!8C1E OP Oo!!'U"-07 O• Oo.tll'!ll> 00 Oo'J'f$2t: 00 O.lltlloo\E 00 0,0')-JI!" 00 OolOO'!It Ol Oo95.,,!i 00 0ol!l6"! Ott O,!:oOJlC! 00 O.lUIII: no 0,)2071'•01 u. o.ttOoo. oo o.rb08"= oo o.t06.t~ 01 n.un .. nt o.t~OI•f ot o.tZl1!! 01 o,10toT~ 01 o.T&OIIf'l oo o ... oooe oo o.~P~f-:n O. 0,4JOW OQ 0.1'\'lllot 00 OoUZI!I" 01 Ool~l6': 'll o.t1•olol! Ot OoJ32tof:: 01 O.UZ81! Ol O,A196E 00 0 ... 309~ 00 0,1.4)10::-{lf Oo U,.4QOOf: 00 OolóOI!:t: 00 Ool041:- 01 O.l'l5J~ Dl O.t201toE l)t 0ol23U! 01 Ool047E 01 OoftJOIIII~ 00 Oo4000t 00 t'o611-.t•01' U. Oo3U'If 00 0 1 ~9JZ't 00 OolfJIIo.., 00 Oo'II!IQII~' 00 Ool009': Ot Q,ct!;'tllil;' 1)0 OoiiH-."' 00 0.5Wll: DO Oo,U•f 00 Oo!l071!'-GJ O• OoliiOzt 00 0,,4Zlf 00 0,4n ~ 00 O.'J!Itt~" 00 Oo~S4)f 00 Q,to71 ft' 00 O.lUT.!' 00 O.II!OZF 00 P,•p~Jf-01 Oo O,Ztl:tF-01 Ooto8'Zt:-ol o .... nU-01 O.F91b~-Ul 3 .. l!l24ol'-nl Q,JOt&f•OI 0.6n~·Ol Oo4-801ZF.-O~ O,l5fli:•OI 0.264-Sf-01

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Resultado número 4 w,1. ltl X' -o.zeo•!l~-ol -u.on;J~·Ul •t>o1tlZ'!-Ol -0.\.,,,.':-01 -0.11i101e.~-uz •O,Io26"'"-00 Oolf2<161:-0Z Oo15l'lf•01 o.z•n•r.-n• o.l,5n-tn o.Z6B~E-01

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Resultado nOmero 5 w,2. 12 ••

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-O.Z'f38t·UI -U.~':I-t'Jt.-"1 ·O.I.,"l~-n¡ -p,ao••t~-'-1' ·O·"')(i'foE·Ol ·0,"!14~"")1 -O.tt~l!-0.!. -0 .. 5~•!1·:·0' •Ool9!•~~o: -O.l0:!'.t·08 •O. •Oo'!l611t·Ol •0,hQi16t·Ul •O.Kl 0'J~-n¡ •0,"1'>1':·111 ·0,!0 75~ 00 ·0,'l'7~t..,·n• -c.•z4,f-flt -Ool'OZII"'•IJI -I:I,!!IIIJ!-0! -O,!'l!I'I~·O't -O. -0•'''"''!---01 wU,'J<IO!Jt-01 ·<J·"ll,~·•ll ·O,<>r>'ll~-nt -o.I'J!-,~ 00 -c, ... ~IIJ~-•H -0,0!2),~-01 -0.~9!.lF·'J• -O,:Jlto!l=-n• -o,•Z.JS!';·08

Resultado número 6 N11•

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Resultado número 7 N ••

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Resultado número 8 N12•

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Resultado número 9 Mu.

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Resultado número 10 M~:z· ll .., -o. -o.l89o;l~·04 -O,SS14E·04 -o.no;~ao;-0., -O,'JOZJt·04 -O,'JliJtE-04 -o.e•UlE-04 ·Oo1'5'll~-(14 -0.~,141'·04 -0.789'15-M -O.~OUf·•t

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Resultado número 12 Q 1•

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Resultado número 13 0 2•

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Resultado número 14 R1•

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Resultado número 15 Ro¿.

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