1 Introducción a la secuenciación Paz Pérez González Sistemas de Producción Integrados Curso...

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Introducción a la secuenciación

Paz Pérez GonzálezSistemas de Producción Integrados

Curso 2008/2009

Índice

Ejemplo: Los aprendices de Adriá Secuenciación de tareas Problema de secuenciación Algoritmo Complejidad Conclusiones

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Índice


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Ejemplo: Los aprendices de Adrià

Juan y Antonio: Compañeros de piso y estudiantes de ingeniería

Quieren impresionar a dos chicas con sus habilidades en la cocina

Prepararán una cena espectacular para los cuatro Problema:

Juan sólo sabe manejar el microondas Antonio sólo sabe manejar el libro de recetas de su

madre

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Lista de platos: 1er plato: Ensalada con almendras fundidas

Lavar y cortar verduras Plato frío, sólo fundir las almendras (5 minutos de

horno) Preparar

2º plato: Pato a la naranja Preparar pato con el zumo de naranja Hornear durante 60 minutos a 250 ºC

Postre: Bizcocho Comprado en el supermercado, solo desenvolver,

calentar en el horno 90 minutos a 200 º C y presentar

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Organización: Antonio queda a cargo de la preparación y vigilar el

horno Juan queda a cargo de la presentación final

Estimación de tiempos (minutos):

Preparación(Antonio)

HornoPresentación

(Juan)

1er plato 30 5 20

2º plato 20 60 5

postre 5 90 5

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Decisión: ¿cuál debería ser el orden de cada una de las tareas para acabar lo antes posible?

Intentar dar una solución en 5 minutos

Preparación(Antonio)

HornoPresentación

(Juan)

1er plato 30 5 20

2º plato 20 60 5

postre 5 90 5

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Diagrama de Gantt: Herramienta básica para la representación y cálculo de soluciones a los problemas de secuenciación

Ejemplo: representar decisión primer plato ( ), segundo plato ( ), postre ( )

Presentación

Horno

Preparación

T. terminación = 205 min.

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¿Son decisiones relevantes? ¿Existe alguna diferencia entre una decisión y

otra? Lista exhaustiva de todas las decisiones posibles:

Decisión Tiempo terminación (min.)

(primero, segundo, postre) 205

(segundo, primero, postre) 180

(postre, primero, segundo)

162

(segundo, postre, primero) 195

(primero, postre, segundo) 190

(postre, segundo, primero) 177

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Entre la mejor decisión y la peor, hay un 26,5% de diferencia:

Ahorro de tiempo Ahorro de costes

Índice


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Secuenciación de tareas

Definición: Asignación de tareas a recursos escasos a lo largo del

tiempo. Se trata de adoptar una decisión (de entre un conjunto de

decisiones posibles) para optimizar uno o varios objetivos ¿Dónde aparecen problemas de secuenciación?

En la mayor parte de decisiones en la ingeniería de organización, tanto en la industria como en los servicios

Relevancia de la secuenciación ¿Es importante tomar la decisión de secuenciación

correcta? En el ejemplo quedaba claro, pero… ¿también en la práctica?

Algunos estudios sobre el impacto de la secuenciación: Taillard Wein

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Secuenciación de tareas

Dificultad de la secuenciación ¿Es difícil tomar la mejor decisión del conjunto

posible? Depende del tamaño del problema En general, sí

De hecho, se demuestra que para muchos problemas no es factible encontrar la mejor solución del conjunto posible

Restricción adicional: intervalo de decisión

Índice


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Problema de secuenciación

Formulación general de una decisión a tomar Un problema se caracteriza por un conjunto de

parámetros o datos de entrada que son necesarios para resolver el problema.

Cuando se le dan unos valores concretos a los parámetros de un problema se genera una instancia de ese problema

Proceso de toma de decisiones para planificar la producción, con el propósito de optimizar uno o más objetivos

Decisión sobre el orden de paso de los trabajos/pedidos por los centros de trabajo (máquinas)


En general es un problema de optimización en el que se busca la secuencia (orden de los trabajos en las máquinas) para minimizar un objetivo, bajo ciertas restricciones.

Hallar la secuencia óptima paraMin f.o

s.a r1 … rn

¿De qué datos disponemos? ¿Qué funciones objetivos, y qué restricciones?

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Parámetros del problema (datos) n: número de trabajos m: número de máquinas pij: tiempo de proceso del trabajo j en la máquina i rj: release del trabajo j dj: fecha de entrega del trabajo j wj: peso del trabajo j

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pij

rj dj

wj


Parámetros del problema (para una secuencia dada)

Sij: tiempo de comienzo del trabajo j en la máquina i Cij: tiempo de terminación del trabajo j en la máquina

i [j]: trabajo en la posición j-ésima

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M1

M2

M3

Sij Cij


Parámetros del problema (Relacionados con las fechas de entrega)

Cj : tiempo de terminación del trabajo j en el sistema Lj : retraso/adelanto del trabajo j con respecto a la

fecha de entrega; Lj=Cj-dj

Tj : tardanza; Tj=max(Lj, 0) Uj : trabajos tardíos; Uj=1 si Cj>dj , Uj=0 si Cj≤dj

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Objetivos (Funciones objetivo (Minimizar)) No relacionados con fechas de entrega:

Cmax=max(C1,…,Cn): Tiempo máximo de terminación (makespan). Instante en el que el último trabajo sale del sistema

F= ΣCj: Tiempo de terminación total (flowtime) Fw= ΣwjCj: Tiempo de terminación ponderado total

Relacionados con fechas de entrega: Lmax=max(L1,…,Ln): Máximo retraso. El peor de los casos

en los que no se cumpla la fecha de entrega Tmax=max(T1,…,Tn), con Tj=max(Lj,0): Máxima tardanza.

Considera sólo los retrasos, no los adelantos. T= ΣTj: Tardanza total nT= ΣUj: Número de trabajos tardíos

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Algunos entornos típicos: Una máquina (1) Máquinas iguales en paralelo (Pm) Taller de flujo. Flow Shop. Máquinas en serie (Fm) Taller de flujo flexible. Flexible Flow Shop. Varios

bloques en serie de máquinas en paralelo (FFs) Taller de trabajo. Job shop. Rutas predefinidas (Jm) Taller abierto. Open shop. Rutas a determinar (Om)

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22


Ejemplo: problema AIRCOND Planta de ensamblado de aparatos de aire

acondicionado. Una máquina de ensamblaje procesa los

componentes 1 máquina Los componentes de cada aparato (distintos en cada

caso) llegan a lo largo del tiempo rj

Cada aparato tiene un tiempo de ensamblaje distinto pj

Decisión: cómo secuenciar los pedidos de forma que se minimice el tiempo total de flujo (suma de los tiempos de terminación de cada componente) F= ΣCj

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Modelado (abstracción) del problema: Se tienen n trabajos a procesar en una máquina,

cada uno con su tiempo de proceso pj y su instante mínimo de comienzo rj

El objetivo del problema es determinar el orden de los trabajos de forma que se minimice la suma de los tiempos de flujo (Min F= ΣCj)

Parámetros del problema: Número de trabajos (n) Tiempo de proceso del trabajo j (pj) Tiempo mínimo de comienzo de j (rj)

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Instancia Caso concreto de un problema

Ejemplo: Instancia del problema AIRCON El día 10.01.2009 a las 8:00 se debe decidir el orden

de los siguientes trabajos:

Trabajo

Tiempo proceso (pj)

T. Mínimo comienzo (rj)

#1 20 8:00

#2 10 8:00

#3 25 8:30

#4 15 8:30

#5 30 9:00

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Solución La solución es una respuesta a una instancia de un

problema de decisión A veces se distingue entre solución admisible y

solución inadmisible Solución óptima

Si una solución es la mejor (respecto al objetivo que se ha fijado) entre todas las soluciones posibles, la solución se dice que es óptima

Índice


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Algoritmo

Conjunto de pasos que se aplican de forma sistemática para resolver un problema

En el contexto de secuenciación, servirán para evaluar soluciones o resolver instancias de un problema.

Se suelen expresar en forma de pseudo-código

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Algoritmo

Algoritmo calcula_tiempo_flujo(n, ri, pi, S) Evaluamos una solución S del problema AIRCOND [i] indica la posición i ([i] i ) C[i]: tiempo de finalización del trabajo que ocupa la

posición i en la secuencia dada S Por ejemplo:

p[i] tiempo de proceso del trabajo que ocupa la posición i en S r[i] tiempo mínimo de comienzo del trabajo que ocupa la posición i en

S Pseudocódigo:C[1]= r[1] + p[1]Tiempo_flujo = 0For i=2 to i=n

C[i]= max{r[i], C[i-1]} + p[i]Tiempo_flujo = Tiempo_flujo + C[i]

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Algoritmo

Un algoritmo también puede describir una forma de generar soluciones admisibles (o incluso óptimas) para un problema

Ejemplo: algoritmo ERT (Earliest Release Time) para el problema AIRCOND

Descripción de ERT: Ordenar los trabajos de menor a mayor rj (primero se

procesan los que llegan antes)

Índice


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31

Complejidad

La complejidad de un algoritmo define cómo se incrementan el número de cálculos necesarios en función de los parámetros del problema

La complejidad se denota como O(parametros) Ejemplos:

calcula_tiempo_flujo es O(n) ordenar una lista de n elementos es O(n log (n) ) Resolver el problema de AIRCOND mediante la

evaluación de todas las opciones posibles es O(n!)

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Complejidad

A grandes rasgos, se definen dos tipos de algoritmos en función de la complejidad:

POLINOMIALES (P): Su complejidad es una función polinómica

Ejemplo: ordenar una lista es P NO POLIMONIALES (NP): Su complejidad es mayor

que la de una función polinómica Ejemplo: evaluar todas las soluciones de AIRCOND es

NP Dicho de otra manera, el tiempo de

computación de un algoritmo P (NP) crece de forma (no) polinomial con el tamaño del problema

Ya se ha visto la importancia de encontrar métodos P para resolver los problemas

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Complejidad

Historia Años 50-70: No se encuentran métodos P (simplex no

lo es) para la mayoría de los problemas de secuenciación

… pero se seguía buscando Años 70: Cook (1974) demuestra que existen 6

modelos ‘padres’ de los que se derivan muchos otros modelos (hijos): conjunto de problemas NP

Si se encuentra un método P para un modelo ‘padre’, se puede aplicar a los modelos ‘hijos’

Años 80: Practicamente todos los modelos de secuenciación plantean problemas NP

Luego basta con encontrar un método eficiente para resolver el problema ‘padre’

Año 2009: Todavía no se ha encontrado un método P para los modelos ‘padres’

Luego no se ha encontrado un método P para los problemas ‘hijos’ de SCM

Índice


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Conclusiones

A día de hoy, no se han encontrado métodos para resolver de forma óptima la mayor parte de problemas de secuenciación

Además, hay pocas esperanzas ¿Cómo se aborda este problema en la

práctica? Métodos aproximados Instancias pequeñas

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Conclusiones

Métodos aproximados Similitud

Algunos modelos sí se resuelven en P. Las soluciones óptimas de modelos en P se utilizan para obtener buenas soluciones de modelos NP

Ejemplo: una máquina flujo regular Métodos genéricos

Heurísticas ad hoc reglas ‘de sentido común’ Metaheurísticas procedimientos generales

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Conclusiones

Instancias pequeñas Aunque los problemas sean NP, si se trata de una

instancia pequeñas (pocas máquinas, pocos trabajos), si puede ser factible resolver el problema en poco tiempo

Métodos eficientes (exactos) de resolución de problemas

Métodos de enumeración Branch & bound (ramifica y acota)

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Entornos en secuenciación

Paz Pérez GonzálezSistemas de Producción Integrados

Curso 2008/2009

Índice

Secuenciación Entornos máquina Condiciones del sistema Función Objetivo Una máquina Máquinas en paralelo Taller de flujo Taller de trabajo Taller abierto Conclusiones

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Secuenciación

Asignación de tareas a recursos a lo largo del tiempo

Proceso de toma de decisiones para planificar la producción, con el propósito de optimizar uno o más objetivos

Decisión sobre el orden de paso de los trabajos/pedidos por los centros de trabajo (máquinas)

¿Dónde aparecen problemas de secuenciación? En la mayor parte de decisiones en la ingeniería de

organización, tanto en la industria como en los servicios

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Secuenciación

Notación: α|β|γ α Entorno máquina

1, Pm, Fm, Jm, Om β Condiciones del sistema

prmu, dj, rj,…

γ Función objetivo Cmax, Lmax, Tmax, F, T,…

Recordar: n: número de trabajos, 1≤ j ≤ n m: número de máquinas, 1 ≤ i ≤ m

Ejemplo: Fm|prmu|Cmax

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Entornos máquina

Una máquina (1) Máquinas iguales en paralelo (Pm) Taller de flujo. Flow Shop. Máquinas en serie

(Fm) Taller de trabajo. Job shop. Rutas predefinidas

(Jm) Taller abierto. Open shop. Rutas a determinar

(Om)

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Índice


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Condiciones del sistema

Fechas de disponibilidad del trabajo (rj) Fechas de entrega (dj) Tiempo de preparación entre trabajos (setup

times) (sjk) Interrupción (preemption, prmp) Precedencia (prec) – Una máquina o en paralelo Rotura de la máquina (brkdwn) Permutación (prmu) – Taller de flujo Bloqueo (block) – Taller de flujo No espera (nwt) – Taller de flujo


Release del trabajo (rj) Instante de disponibilidad del trabajo j P. ej. Un taller de reparaciones. Cada trabajo llega

cuando el cliente entrega el objeto a reparar

Fechas de entrega (dj) Instante en el que el trabajo debe de estar terminado Pueden estar dadas por el cliente, o ser estimadas

en la planificación

r1 r2 d1 d2

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Tiempo de preparación entre trabajos (setup times) (sjk). Si depende de la máquina se nota sijk.

Tiempo de espera del trabajo k después de procesarse el trabajo j.

P. ej. Cambiar una pieza o limpiar la máquina antes de procesar un trabajo

S12S12

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Interrupción (preemption,prmp) Se permite parar de procesar un trabajo, para

procesar otro. Luego el anterior o se reanuda, o empieza de nuevo.

P. ej. Por distintas causas: llegada de un trabajo mas urgente, por necesidad (falta una pieza), para obtener menos tiempos ociosos de las máquinas, etc.

Rotura de la máquina (brkdwn)

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Trabajo a iterrumpirTrabajo iterrumpido

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Presentación

Horno

Preparación

Presentación

Horno

Preparación

prmu Sin prmu, el bizcocho necesita enfriarse más tiempo, y el pato debe reposar para macerarse, y estar caliente para llevarlo a la mesa


Permutación (prmu) El orden de los trabajos es el mismo para todas las

máquinas P.ej. El ejemplo de los aprendices de Adrià. Primer

plato ( ), segundo plato ( ), postre ( )

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Bloqueo (block) Si el búffer (almacenaje) entre máquinas es limitado

y se llena, la máquina que ha terminado el trabajo no puede liberarse (se bloquea). Cuando la máquina siguiente quede libre entra el siguiente trabajo, desbloqueando la anterior.

Se supone búffer infinito cuando los ítems son pequeños (p.ej. tornillos)

Si el búffer es cero, el trabajo no deja la máquina hasta que la siguiente está libre.

Índice


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Función Objetivo

No relacionados con fechas de entrega: Cmax=max(C1,…,Cn): Tiempo máximo de terminación

(makespan). Instante en el que el último trabajo sale del sistema

F= ΣCj: Tiempo de terminación total (flowtime) Fw= ΣwjCj: Tiempo de terminación ponderado total

Relacionados con fechas de entrega: Lmax=max(L1,…,Ln): Máximo retraso. El peor de los casos

en los que no se cumpla la fecha de entrega Tmax=max(T1,…,Tn), con Tj=max(Lj,0): Máxima tardanza.

Considera sólo los retrasos, no los adelantos. T= ΣTj: Tardanza total nT= ΣUj: Número de trabajos tardíos

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Una máquina

1|β|γ Simpleza Caso especial de los demás medios Un medio más complejo se puede estudiar como una

sola máquina Una consulta de un médico suele estar secuenciada

mediante la regla FIFO (First In First Out)

Una máquina 1||Cmax

Makespan o tiempo máximo de terminación: Cmax=max(C1,…,Cn), con Cj tiempo de terminación del trabajo j en el sistema (instante en el que sale del sistema)

El problema se denota 1||Cmax

Ejemplo: Secuenciar en una máquina 4 trabajos con el objetivo de minimizar el makespan, si los tiempos de proceso son:p1=4 p2=10 p3=6 p4=18

56

57

Secuencia [1,2,3,4]

Secuencia [3,4,1,2]

Secuencia [4,2,1,3]

38

38

38

M1

M1

M1

Cuando no hay ninguna restricción la resolución de este problema es inmediato

Cmax=Σ pj

Una máquina 1||Cmax

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Una máquina 1||ΣCj

Flowtime o tiempo de flujo para un trabajo j de una secuencia dada es el tiempo que transcurre desde que entra el primer trabajo de la secuencia hasta que sale el trabajo j-ésimo

El tiempo de flujo total es: F=ΣCj = C1+…+Cn

El problema se denota 1||ΣCj


Ejemplo: Secuenciar en una máquina 4 trabajos con el objetivo de minimizar el tiempo de flujo total, si los tiempos de proceso son:p1=4 p2=10 p3=6 p4=18

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60


Se observa que en una máquina el tiempo de flujo es Cj=p[1]+…+p[j]

La regla SPT (Shortest Processing Time) es óptima para este problema.

SPT: secuenciar primero el trabajo con menor tiempo de proceso

p[1]<p [2] <…<p[n]

ΣCj=C1+…

+Cn=

p[1]+

p[1]+p[2]+

p[1]+p[2]+p[3]+

+……+p[1]+p[2]+…… +p[n]

np[1]+ (n-1)p[2]+……+p[n]


Regla SPT para el ejemplo anterior

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1 3 42

Secuencia [1,2,3,4]

Secuencia [3,4,1,2]

Secuencia [4,2,1,3]

Secuencia optima

ΣCj

=72

ΣCj =82

ΣCj

=96

ΣCj = 120

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Una máquina 1||ΣwjCj

Tiempo de flujo total ponderado: Fw=ΣwjCj = w1C1+…+wnCn

Es la extensión del problema anterior El problema se denota 1||ΣwjCj

El peso es un factor de importancia añadido a cada trabajo j.

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Ejemplo: Secuenciar en una máquina 4 trabajos minimizando el tiempo de flujo total ponderado, si los tiempos de proceso y los pesos asociados son:p1=3 p2=6 p3=6 p4=5

w1=0 w2=18 w3=12 w4=8

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La regla WSPT (Weighted Shortest Processing Time) es óptima para este problema.

Esta regla secuencia los trabajos según:w[1]/p[1] > w[2]/p[2] > …> w[n]/p[n]

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Ejemplo: Secuenciar en una máquina 4 trabajos minimizando el tiempo de flujo total ponderado, si los tiempos de proceso y los pesos asociados son:p1=3 p2=6 p3=6 p4=5

w1=0 w2=18 w3=12 w4=813 42

Secuencia [1,2,3,4]

Secuencia optima

ΣwjCj

=388

ΣwjCj

=502

ΣwjCj

=520

Secuencia [3,4,1,2]

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Una máquina 1||Lmax

El retraso para un trabajo j es la diferencia entre el instante en el que el trabajo sale del sistema y la fecha de entrega. Lj = Cj-dj

Minimizar el máximo retraso es :Min Lmax=Min max(Cj – dj)

El problema se denota 1||Lmax


Ejemplo: Secuenciar en una máquina 4 trabajos con el objetivo de minimizar el máximo retraso, si los tiempos de proceso y las fechas de entrega son:p1=4 p2=10 p3=6 p4=18

d1=8 d2=12 d3=11d4=10

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La regla EDD (Earliest Due Date) es óptima para este problema.

EDD: secuenciar primero el trabajo con menor fecha de entrega d[1]<d[2]<…<d[n]


Ejemplo: Secuenciar en una máquina 4 trabajos con el objetivo de minimizar el máximo retraso, si los tiempos de proceso y las fechas de entrega son:p1=4 p2=10 p3=6 p4=18

d1=8 d2=12 d3=11d4=10

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1 34 2

Lmax = max {C[1]-d[1], C[2]-d[2], C[3]-d[3], C[4]-d[4]} =

max {4-8,14-12,20-11,38-10} = max{-4,2,9,28}

= 28

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Máquinas en paralelo

Máquinas iguales en paralelo (Pm) Los trabajos pueden ser procesados en cualquiera de

las máquinas P. ej. Un consultorio con varias consultas de médicos.

Las cajas de un supermercado.

Máquinas en paralelo

Pm|β|γ Generalización del caso con una máquina Caso especial del taller de flujo flexible Es un caso muy común en la vida real Un ejemplo puede ser las cajas de un

supermercado

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Máquinas en paralelo Pm||Cmax

Este problema es NP La regla LPT es un algoritmo que proporciona

buenas soluciones, con un determinado error en comparación con la óptima (si ésta se puede hallar).

LPT: Longest Processing Time first. LPT: Asignar primero los m trabajos con mayor

tiempo de proceso a las m máquinas. Cuando una máquina se quede libre, asignar el siguiente trabajo a dicha máquina, hasta que se hayan asignado todos.

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74

Ejemplo: Secuenciar en 3 máquinas en paralelo 9 trabajos con los siguientes tiempos de proceso:p1=3 p4=10 p7=6

p2=18 p5=9 p8=9

p3=4 p6=15 p9=10


75

M1

M2

M3

6 3

7

2

5

194

8

29


La regla LPT da una solución buena, pero no la óptimap1=3 p4=10 p7=6

p2=18 p5=9 p8=9

p3=4 p6=15 p9=10

76

M1

M2

M3

6

372

5

19

4 8

28


Existe una cota para la relación entre la solución óptima y la que da la regla, por lo que sabemos cómo es de buena nuestra solución

Cmax(LPT)/Cmax(OPT) ≤ 4/3 – 1/3m 29 ≤ (4/3 – 1/9)* Cmax(OPT) = 1.22* Cmax(OPT)

Máquinas en paralelo Pm||ΣCj

Este problema es P La regla SPT es óptima. SPT: Shortest Processing Time first. SPT: Asignar primero los m trabajos con menor

tiempo de proceso a las m máquinas. Cuando una máquina se quede libre, asignar el siguiente trabajo a dicha máquina, hasta que se hayan asignado todos.

Ejercicio: Resolver el problema con los datos del anterior para este caso.

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Índice


78

79

Taller de flujo

Taller de flujo. Flow Shop. Máquinas en serie (Fm)

Todos los trabajos deben de pasar por todas las máquinas, con la misma ruta, empezando por una primera hasta la última

Cuando un trabajo termina en una máquina, espera en la cola de la siguiente si esta está ocupada. Las salidas de los trabajos de las colas se determinan con la regla FIFO.

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Preparación Horno Presentación

Trabajos Máquinas

Taller de flujo

El aprendiz de Adrià es un problema de tipo flowshop

Taller de flujo F2||Cmax

El algoritmo de Johnson es óptimo para este problema

Sea C1={j/ p1j<p2j} y C2={j/ p1j>p2j} Ordenar C1 según la regla SPT para p1j

Ordenar C2 según la regla LPT para p2j

La secuencia [SPT(1)-LPT(2)] es óptima para nuestro problema

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Ejemplo: Secuenciar en un taller de flujo de dos máquinas 5 trabajos, con los siguientes tiempos de proceso:

Dar el valor del makespan. Hallar el makespan para otra secuencia cualquiera y comprobar que da igual o peor que para la secuencia dada por el algoritmo de Johnson.

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j 1 2 3 4 5

p1j 3 4 5 1 2

p2j 2 4 1 3 4


Secuencia óptima: [4,5,2,1,3]

Otra secuencia [5,1,3,4,2]

83

M1

M2

1 2 3 4 5

16

M1

M2

19

Taller de flujo Fm|prmu|Cmax

Fm||Cmax es NP para más de dos máquinas Fm|prmu|Cmax es NP también

Numerosos métodos heurísticos proporcionan buenas soluciones para estos problemas

La heurística constructiva NEH da buenas soluciones para Fm|prmu|Cmax en tiempos de cómputo razonables

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NEH Paso 1: Ordenar los trabajos en función de la suma

de los tiempos de proceso (pj= ∑ipij) de forma descendente. La secuencia obtenida es la secuencia inicial.

Paso 2: Tomar los dos primeros trabajos de la secuencia inicial y seleccionar de los dos órdenes posibles el que de mejor valor de Cmax

Paso 3: Para cada trabajo j de la secuencia inicial, hallar el makespan de las j posibles secuencias obtenidas tras insertar el trabajo en todas las posiciones posibles, seleccionando aquella que de menor valor.

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Ejemplo: Secuenciar en 3 máquinas en serie 3 trabajos con los siguientes tiempos de proceso (pij, 1≤i≤m, 1≤j≤n)

p11=3p21=4 p31=2 1

p12=2p22=1 p32=4 2

p13=4p23=5 p33=4 3

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Ejemplo: Secuenciar en 3 máquinas en serie 3 trabajos con los siguientes tiempos de proceso (pij, 1≤i≤m, 1≤j≤n)

p11=3p21=4 p31=2 1

p12=2p22=1 p32=4 2

p13=4p23=5 p33=4 3

p1=3+4+2=9 p2=2+1+4=7p3=4+5+4=13

Secuencia inicial: [3,1,2]

87


88

M1

M2

15

16

M3

[3,1]

[1,3]M1

M2

M3


89

17

19

[3,1,2]

M1

M2

M3

M1

M2

M3

[2,3,1]

19

[3,2,1]

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Trabajo1

Trabajo2

Trabajo3

Taller de trabajo

Taller de trabajo. Job shop. Rutas predefinidas (Jm)

Los trabajos deben pasar por todas las máquinas, y las rutas están predefinidas.

Taller de trabajo J2||Cmax

Se puede reducir al problema F2||Cmax, por lo que es resoluble en tiempo polinomial

J1= {j/ M1-M2} y J2= {j/ M2-M1} Ordenar los trabajos de J1 mediante el algoritmo de

Johnson. Ordenar los trabajos de J2 mediante el algoritmo de

Johnson intercambiando la máquinas, es decir, tomando como máquina 1 la máquina 2 y viceversa.

Secuenciar los trabajos de J= J1 U J2 en cada una de las máquinas, priorizando los trabajos de J1 en la máquina 1, y los trabajos de J2 en la máquina 2.

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Ejemplo: Secuenciar en un taller de trabajo de dos máquinas 5 trabajos, con los siguientes tiempos de proceso y rutas de paso por las máquinas:

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j 1 2 3 4 5

p1j 3 4 5 1 2

p2j 2 4 1 3 4

Ruta M2-M1 M2-M1 M1-M2 M1-M2 M1-M2


J1={3,4,5}: C1={4,5}, C2={3} [4,5,3] J2={1,2}: C1={1,2}, C2=Ø [1,2]

94

j 1 2 3 4 5

p1j 3 4 5 1 2

p2j 2 4 1 3 4

Ruta M2-M1 M2-M1 M1-M2 M1-M2 M1-M2

M1

M2

15

[4,5,3,1,2]

[1,2,4,5,3]

Taller de trabajo Jm||Cmax

Jm||Cmax es NP pq es una generalización de Fm||Cmax, y éste último es NP

La heuristica Shifting Bottleneck proporciona buenos resultados. Este método reduce el problema en varios subproblemas 1|rj|Lmax mediante un procedimiento basado en caminos críticos (que indican la localización del cuello de botella). Como 1|rj|Lmax es NP, un método de Branch and Bound que proporciona buenas soluciones es aplicado para cada subproblema de Jm||Cmax

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96

97

Taller abierto

Taller abierto. Open shop. Rutas a determinar (Om)

Los trabajos deben pasar por todas las máquinas, pero no hay restricción en la ruta. Cada trabajo puede pasar primero por la máquina que mejor convenga.

Taller abierto O2||Cmax

La Regla LAPT (Longest Alternate Processing Time first) es óptima para este problema.

Cuando una máquina está libre, seleccionar el trabajo con el mayor tiempo de proceso en la otra máquina.

Al principio, puede que un trabajo pueda ser seleccionado para ser secuenciado primero en las dos máquinas. En este caso da igual la máquina en el que éste sea procesado.

Cuando una máquina está libre, los trabajos que ya han sido completados en la otra máquina tienen prioridad cero para procesarse en la máquina libre.

Dos trabajos que ya han sido procesados en una de las máquinas tienen la misma prioridad para la otra.

98


Ejemplo: Secuenciar en un taller abierto de dos máquinas 5 trabajos, con los siguientes tiempos de proceso:

99

j 1 2 3 4 5

p1j 3 4 5 1 2

p2j 2 4 1 3 4


El trabajo con mayor tiempo de proceso es el trabajo 3 en la máquina 1, por lo tanto es secuenciado primero en la máquina 2.

100

M1

M2

15

j 1 2 3 4 5

p1j 3 4 5 1 2

p2j 2 4 1 3 4

Taller abierto Om||Cmax

Es NP Si los tiempos de proceso son 0 ó 1, el

problema es resoluble en tiempo polinomial Om|prmp|Cmax es resoluble en tiempo

polinomial también

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Conclusiones

Hay algunos problemas de secuenciación que se pueden resolver mediante algoritmos que proporcionan la solución óptima

La mayoría de los problemas son NP:

102

1 Pm Fm Jm Om

1||T P2||Cmax F2||∑Cj Jm||Cmax O2||∑Cj

1||∑wjUj P2||∑wjCj

F2||Lmax O2||Lmax

Paz Pérez González

Departamento de Organización Industrial y Gestión de Empresas

[email protected]

http:// taylor.us.es/paz

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1 Introducción a la secuenciación Paz Pérez González Sistemas de Producción Integrados Curso...

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