1 introducción a la logica vers 2014 2

UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA - CALIPROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS

LÓGICAGUÍA DE TRABAJO No 1TEMA: INTRODUCCIÓN A LA LÓGICAProfesor: Walter G. Magaña S.

UNIDAD 1INTRODUCCION A LA LOGICA

Objetivos:

1. Utilizar y aplicar las leyes y la simbología del sistema de la lógica matemática en el análisis de argumentaciones y enunciados.

2. Analizar la validez de un razonamiento aplicando las reglas de inferencia y las estructuras del cálculo de la lógica proposicional.

La lógica es un área del conocimiento matemático importante en la construcción de estructuras mentales, conducentes a la adquisición de un pensamiento lógico-formal, el cual es la base para entender y realizar los procesos algorítmicos en cualquier lenguaje de programación. En el siguiente módulo se construirán los fundamentos de la lógica a partir del lenguaje, hasta culminar con el análisis de razonamientos con las estructuras más elaboradas del análisis proposicional.

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

1.1. PROPOSICIONES

El hombre ha hecho uso del lenguaje para comunicarse entre sí; usa conjuntos de palabras del idioma que organizadas “coherentemente” en un contexto determinado transmiten una idea. Sin embargo, en el lenguaje común una misma agrupación de palabras puede tener diversas interpretaciones. Por ejemplo, de la forma o sentido como se expresen: !Cómo amaneció!, o bien ¿Cómo amaneció?.

También de significado, que depende de la situación, por ejemplo: ¡Haga el ejercicio!, puede significar: que realice un ejercicio indicado, que termine un ejercicio o que siga las instrucciones de un ejercicio físico indicado. Sin embargo en la Lógica simbólica un enunciado del lenguaje tiene un significado bien preciso y se llama proposición.

DEFINICIÓN. Proposición.Una proposición es un enunciado al que se le puede asignar un valor de verdad que puede ser verdadero o falso, pero no ambos.

Ejemplo ilustrativo: Los siguientes enunciados son proposiciones:1. 22 + 45 = 672. La naranja es un cítrico.3. Java es un lenguaje de máquina.4. El trapecio es un paralelogramo.5. Gabriel García Márquez es un escritor.

Estas son proposiciones porque enuncian o dicen algo que puede ser verdadero (V) o falso (F). Así en el ejemplo se tiene que las proposiciones 1, 2 y 5 son verdaderas, mientras que las proposiciones 3 y 4 son falsas.

El valor de verdad de una proposición es verdadero, y se denota por V, si la proposición es verdadera, o falso, y se denota por F, si la proposición es falsa.

Las preguntas, los ruegos, los mandatos, las exclamaciones o las conjeturas, aunque son enunciados, no son en sí ni verdaderas ni falsas. Se considera que las oraciones declarativas o enunciativas son las entidades gramaticales a las cuales se les puede asignar cualquiera de los dos valores de estado: verdadero o falso; es decir sólo afirman o niegan algo.

Ejemplo ilustrativo: Los siguientes enunciados no son proposiciones, porque no es posible asignarles un valor de verdad, esto es, verdadero o falso:

Walter G. Magaña S. 2


1. ¿Cuál es su nombre?2. ¡Buen día!3. No todo lo que brilla es oro.4. Un cuadrado es mayor que un círculo.5. 6. Mañana lloverá.

No obstante, el enunciado “a + 3 = b” no es una proposición, ya que no es ni verdadera ni falsa; ésta depende de los valores las variables a y b.

En la lógica proposicional se identifican dos tipos de proposiciones: las simples o atómicas y las compuestas o moleculares. Las proposiciones simples o atómicas son oraciones declarativas, las cuales en general contienen un sujeto perfectamente definido dado por el contexto, un predicado y una inflexión del verbo ser; es decir se le adjudica cierta cualidad al sujeto. Por lo tanto, no se componen de más proposiciones simples y carecen de enlaces o conectivos.

Ejemplo ilustrativo: Son ejemplos de proposiciones simples o atómicas las siguientes:

1. La física es una ciencia experimental. (V)2. El conjunto de divisores enteros de 5 es {1, – 1, 5, –5}.

(V)

3. Todos los rectángulos son cuadrados. (F)

Las proposiciones simples se representan usualmente con las letras minúsculas p, q, r, s, t,. . ., que se denominan variables proposicionales. Aunque algunos matemáticos prefieren usar letras mayúsculas para representar las proposiciones. En lo sucesivo en este documento se utilizarán letras minúsculas para denotar las proposiciones simples.

Se pueden combinar y enlazar dos o más proposiciones simples usando ciertos conectores bien definidos, tales como “y”, “o”, “si. . . entonces. . .”, “a menos que”, “pero”, “ni. . . ni...”, “. . . si y sólo si. . .” entre otros; que actúan como operadores llamados enlaces o conectivos lógicos, considerados operadores binarios, porque involucran al menos dos proposiciones. También se emplea “no” que aunque no opera de manera estricta sobre dos proposiciones, si actúa sobre una sola; por tal rezón se le considera un operador unario.

Las proposiciones compuestas o moleculares se forman por la



combinación de proposiciones simples con los operadores o conectivos lógicos.

Ejemplo ilustrativo: Son ejemplos de proposiciones compuestas o moleculares las siguientes:

1. El Sol es una estrella si y solo si tiene luz propia.2. El 2 es un entero par y es primo.3. No es cierto que el cero no es múltiplo de todo entero.4. 12 es múltiplo de – 2 o es un entero compuesto.

El valor de verdad de una proposición compuesta es verdadero (V) o falso (F) y depende solamente de los valores de verdad de sus proposiciones simples o atómicas componentes. Se determina empleando la regla de conexión de dichas partes por medio de los enlaces o conectivos lógicos (operadores) que a continuación se definirán.

1.2. OPERADORES LÓGICOS

A continuación se definen los operadores básicos que permiten enlazar o conectar dos o más proposiciones simples. Se da paso al estudio de las proposiciones compuestas o moleculares.

1.2.1 LA CONJUNCIÓN

DEFINICIÓN. La Conjunción.Sean p y q dos variables proposicionales, entonces la proposición compuesta “p y q” , que se simboliza como p q , se denomina la conjunción de p y q o proposición conjuntiva de p y q . La conjunción de p y q sólo es verdadera si p y q son ambas verdaderas, en cualquier otro caso es falsa.

Ejemplo ilustrativo: Se consideran los siguientes casos:1. Sean las proposiciones p: Los peces nadan. (V) y q: Los peces respiran por branquias. (V)p q: Los peces nadan y respiran por branquias. (V)2. Sean las proposiciones p: La naranja es un cítrico. (V) y q: El banano es una legumbre. (F)p q: La naranja es un cítrico y el banano una legumbre. (F)3. Sean las proposiciones p: es un entero. (F) y q: es un irracional. (V)



p q: es un entero e irracional. (F)4. Sean las proposiciones p: ¼ > ½. (F) y q: (F)p q: ¼ > ½ y . (F)

Así que se define p q con la siguiente tabla de verdad:

p q p qV V VV F FF V FF F F

Algunas proposiciones equivalentes a la proposición conjuntiva p q son:

1. p y q 2. p pero q3. p también q 4. p además q5. p aunque q 6. p sin embargo q

1.2.2 LA DISYUNCIÓNEl conectivo lógico o tiene un significado ambiguo en el lenguaje

cotidiano, como puede verse en los siguientes dos ejemplos:

Ejemplo ilustrativo 1. Dadas las proposiciones: p: Tengo un billete de $10 000 en mi billetera y q: Tengo un billete de $20 000 en mi billetera.Al enlazarlas con el operador o se tiene la proposición compuesta:

Tengo un billete de $10 000 o uno de $20 000 en mi billeteraEn este caso, parece afirmarse que por lo menos una de las proposiciones es verdadera, pero también ambas pueden ser verdaderas. Aquí se ilustra el uso del conectivo o que se denomina o incluyente y se denota por .

Ejemplo ilustrativo 2. Dadas las proposiciones: p: Es de día y q: Es de nocheEntonces en la proposición compuesta:

O es de día o es de nocheuna y sólo una de las proposiciones componentes es verdadera, y no ambas. En este caso, el uso del conectivo o se llama o excluyente y se denota por .

En el lenguaje natural, la disyunción inclusiva se puede diferenciar de la exclusiva o excluyente, puesto que en la primera se encuentra una “o” en medio de las dos proposiciones simples que la componen.



Mientras que en la segunda, se encuentra una “o” antes de la primera proposición y otra en medio de las dos proposiciones simples que la componen.

1.2.2.1. Disyunción Incluyente

DEFINICIÓN. La Disyunción incluyente.Sean p y q dos variables proposicionales, entonces la proposición compuesta “p o q”, que se simboliza como p q, se denomina la disyunción de p y q o proposición disyuntiva de p y q. En este caso, el sentido que se emplea es el inclusivo; esto es, la disyunción es falsa sólo si ambas proposiciones componentes son falsas. La o incluyente usualmente se expresa en el lenguaje formal como y/o.

Ejemplo ilustrativo: Dadas las proposiciones: p: Juan es estudiante y q: Juan tiene 15 años. Se hallará la proposición disyuntiva de p y q, y se analizará las posibilidades de su veracidad:

p q: Juan es estudiante o tiene 15 años.1. Si p es verdadera y q es verdadera, entonces la proposición

compuesta p q es verdadera.2. Si p es verdadera y q es falsa, entonces la proposición compuesta

p q sigue siendo verdadera.3. Si p es falsa y q es verdadera, entonces la proposición compuesta p

q, también es verdadera.4. Si p es falsa y q es falsa, entonces la proposición compuesta p q,

en este caso, es falsa.

Así que se define p q con la siguiente tabla de verdad:

p q p qV V VV F VF V VF F F

1.2.2.2. Disyunción Excluyente

DEFINICIÓN. La Disyunción Excluyente.



Dadas las variables proposicionales p y q, la proposición disyuntiva excluyente de p y q, que se simboliza como p q sólo es verdadera si, y solo si lo es cualquiera de las dos proposiciones componentes pero no ambas.

La tabla de verdad de la o excluyente es la siguiente:

p q p qV V FV F VF V VF F F

Ejemplo ilustrativo: Se consideran las proposiciones p: Juan está en Bogotá y q: Juan está en Cali.

Se procede a hallar la proposición disyuntiva excluyente de p y q, y se analizará las posibilidades de su veracidad:

p q: O Juan está en Bogotá o en Cali.La proposición anterior también se puede expresar como:

p q: Juan está en Bogotá o en Cali, pero no en ambas ciudades.

Es evidente que las dos proposiciones no pueden ser verdaderas simultáneamente, es decir, la veracidad de una de ellas excluye la otra, por lo tanto, si p y q son verdaderas, la proposición compuesta p q es falsa. Análogamente si las dos proposiciones p y q son falsas, la proposición compuesta p q es falsa. Sólo es verdadera en el caso de que una de ellas lo sea.

1.2.3 LA NEGACIÓN

DEFINICIÓN. La Negación.Si p representa una variable proposicional, la proposición compuesta no p, que se simboliza p ó p , se llama proposición negativa o negación de p.

Dada una proposición simple p, la proposición negación de p toma el valor de verdad opuesto de la proposición simple u original; esto es: si p es verdadera, p es falsa, y si p es falsa, p es verdadera. La tabla de verdad es la siguiente:

p pV F



F V

Ejemplo ilustrativo: Dada la proposición p: Pedro está en la clase de matemáticas.Entonces la negación de p se puede hacer de las siguientes maneras:

p: Pedro no está en la clase de matemáticas p: Es falso que Pedro está en la clase de matemáticas p: No es cierto que Pedro esté en la clase de matemáticas

Algunas proposiciones equivalentes a la negación de la proposición p son:

1. No p.2. Es falso que p.3. No es cierto que p.4. No es el caso que p.

EJERCICIOS 1.1

1. De acuerdo con la definición, determinar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones:A. ¡Qué hermoso es el mundo!B. Juan debe estudiar a menos que quiera perder el semestre.C. La división entre cero no esta definida.D. ¿Está difícil el examen?E. Si este año es bisiesto, entonces febrero tiene 29 días.F. Haz el bien y no mires a quien.G. Todos los primos son impares.H. Para vivir mejor, hay que ser mejor.I. La lógica no es tan difícil como yo lo había esperado.J. Estudias y ganas el semestre.

2. Determinar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones, y en tal caso, dé su valor de verdad:A. Algunos mamíferos vuelan.B. Todos los cuadriláteros son rectángulos.C. No usarás una computadora para robar.D. 0 es múltiplo de cualquier número entero.E. 10 531 es un número primo.F. , para todo x Z+.G. , para todo a, b R.H. Todos los números racionales son reales.



I. , para algún x N.J. Él es el profesor de lógica.

3. Considerar las proposiciones p: Betty es atractiva y q: Patricia es atractiva. Suponiendo que feo y atractivo son opuestos; es decir, ser “no atractiva” es equivalente a ser “fea”. Escribir cada una de las siguientes proposiciones en la forma simbólica:A. Tanto Betty como Patricia son feas.B. No es verdad que tanto Betty como Patricia sean atractivas.C. Betty es fea o Patricia es atractiva.D. Betty es fea o Patricia es atractiva, pero no ambas.E. No es cierto que Betty es fea o Patricia es atractiva.

4. Considerar las proposiciones p: Juan es buen estudiante y q: A Juan le gusta jugar ajedrez. Escribir cada una de las siguientes proposiciones en el lenguaje ordinario:

A. p q B. p q C. (p q)D. p ( q) E. ( p q) F. (p q) [ (p q)]

1.2.4 EL CONDICIONAL

DEFINICIÓN. El Condicional.Sean p y q dos variables proposicionales, entonces la proposición compuesta “si p entonces q” , que se simboliza como p q se denomina proposición condicional; p se llama antecedente o hipótesis, y q se denomina consecuente, tesis o conclusión.

Ejemplo ilustrativo: Juan le dice a su esposa: “si me gano la lotería, entonces te compro un carro”; en este enunciado se tienen las proposiciones simples: p: me gano la lotería y q: te compro un carro.

Si cumple su promesa se admitirá que la proposición es verdadera, si la incumple se admitirá que es falsa. Por lo tanto, se tienen cuatro posibilidades:1. Juan se gana la lotería (V) y le compra el carro a su mujer (V); en este caso, cumple su promesa, por tanto, la proposición es verdadera.2. Juan se gana la lotería (V), pero no le compra el carro a su mujer (F); en este caso, incumple su promesa; por ende, la proposición es falsa.3. Juan no se gana la lotería (F), pero le compra el carro a su esposa (V); cumpliendo su promesa, por lo tanto, la proposición es verdadera.



4. Juan no se gana la lotería (F), y no le compra el carro a su esposa (F); por lo tanto, no rompe su promesa y la proposición es verdadera.

La proposición p q es falsa sólo cuando p es verdadera y q es falsa. La tabla de verdad que define el condicional es la siguiente:

p q p qV V VV F FF V VF F V

Las proposiciones condicionales son muy importantes en matemáticas y geometría, y existen varias maneras de enunciar p q. Algunas proposiciones equivalentes muy usuales son:1. Si p, entonces q 2. p q3. q si p 4. q sólo si p5. Si p, q 6. Si p también q7. p es suficiente para q 8. Una condición suficiente para q

es p9. q es necesario para p 10. Una condición necesaria para p

es q11. q con la condición de que p 12. q cuando p13. q siempre que p 14. q cada vez que p15. p implica q 16. q se deduce de p

Ejemplo ilustrativo: Se consideran las proposiciones simples:p: El astro es una estrella y q: El astro tiene luz propiaLa proposición p q se representa con cualquiera de los siguientes enunciados condicionales:

Si el astro es una estrella, entonces tiene luz propia. El astro es una estrella, solo si tiene luz propia. El astro tiene luz propia, si es una estrella. Es necesario que el astro tenga luz propia para que sea una

estrella. Es suficiente que el astro sea una estrella para que tenga luz

propia. El astro tiene luz propia cuando sea una estrella. El astro es una estrella implica que tiene luz propia. El astro tiene luz propia se deduce de ser una estrella.

1.2.5 Proposiciones relacionadas con el condicional: Recíproca, Inversa y Contrarrecíproca.



El condicional de dos proposiciones difiere de la conjunción y de la disyunción de las dos en que este no tiene conmutatividad. Es decir, p q es equivalente a q p y p q equivalente a q p; pero p q no es equivalente a q p. Esta última proposición, q p, es llamada la recíproca o conversa de p q. Muchas de las falacias más comunes del pensamiento surgen de una confusión de una proposición condicional con su recíproca o conversa.

DEFINICIÓN. Recíproca, Inversa y Contrarrecíproca.Dada la proposición condicional p q, se definen las siguientes proposiciones: i. La recíproca: q p ii. La inversa: p qiii. La contrarrecíproca (o contrapositiva): q p

Las tablas de verdad del condicional de las proposiciones p y q y los otros tres condicionales definidos: recíproca, inversa (recíproca de la contrarrecíroca o contrapositiva) y la contrarrecíproca (o contrapositiva) se presentan en la siguiente tabla de verdad:

Proposiciones

Condicional

Recíproca del

condicional

Inversa o recíproca de la contrarrecípro

ca

Contrarrecíproca

p q p q q p p q q pV V V V V VV F F V V FF V V F F VF F V V V V

Ejemplo ilustrativo: Dadas las proposiciones p: Las plantas fabrican su propio alimento y q: Las plantas generan oxígeno.

Entonces el condicional, su recíproca, su inversa y su contrarrecíproca, son:

Condicional, p q: Si las plantas fabrican su propio alimento, entonces generan oxígeno.

Recíproca, q p: Si las plantas generan oxígeno, entonces fabrican su propio alimento.

Inversa, p q: Si las plantas no fabrican su propio alimento, entonces no generan oxígeno.

Contrarrecíproca, q p: Si las plantas no generan oxígeno, entonces no fabrican su propio alimento.



1.2.6. EL BICONDICIONAL

Una proposición p q y su recíproca q p no tiene los mismos valores de verdad. Sin embargo, suele suceder que se combinen en una sola proposición: “p q y también q p”. En este caso, se escribe “p si y sólo si q”, que se simboliza p q, y al conectivo se le llama bicondicional. Por lo tanto, para determinar los valores de verdad de la proposición bicondicional, se debe construir la tabla de verdad de la conjunción:

(p q) (q p)

p q p q q p (p q) (q p)V V V V VV F F V FF V V F FF F V V V

Finalmente, se puede establecer la siguiente definición:

DEFINICIÓN. El Bicondicional.Sean p y q dos variables proposicionales, entonces la proposición compuesta “p si y sólo si q”, que se simboliza como p q, se llama el bicondicional de p y q, y es usual abreviarlo “ssi”.

La tabla de verdad que define el bicondicional es la siguiente:

p q p qV V VV F FF V FF F V

Ejemplo ilustrativo: Al expresar los siguientes enunciados verdaderos:p q: Si un polígono tiene cuatro lados, entonces es un cuadrilátero.q p: Si un polígono es un cuadrilátero, entonces tiene cuatro lados.en una sola proposición bicondicional (p q) se tiene:

Un polígono es un cuadrilátero sí y sólo si tiene cuatro lados.



Las proposiciones condicionales son muy importantes en matemáticas y geometría; existen varias maneras de enunciar p q, las cuales tienen el mismo significado:

1. p si y sólo si q2. q si y sólo si p3. Si p, entonces q, y recíprocamente4. Si q, entonces p, y recíprocamente5. p es una condición necesaria y suficiente para q6. q es una condición necesaria y suficiente para p7. p equivalente con q8. q equivalente con p

Por lo general, en matemáticas y geometría toda definición es una proposición de la forma “…si y solo si…” mediante la cual se trata de exponer de manera unívoca y con precisión la comprensión de un concepto o término o dicción o –si consta de dos o más palabras– de una expresión o locución. Se alude a determinar, por escrito u oralmente, de modo claro y exacto, las cualidades esenciales del tema implicado. (Tomado de Wikipedia.org).

Ejemplo ilustrativo: Algunos ejemplos de definiciones muy importantes en este curso son:

Un entero positivo es primo si y sólo si tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y el mismo entero

Sean a, b ∈ Z con a ≠ 0, a divide a b si y sólo si existe número entero c tal que tal que b = ac.

En esta la última definición se puede establecer que “si a divide a b”, también se dice que “a es un factor de b” o que “a es divisor de b”, o bien que “b es un múltiplo de a” o “b es divisible por a”.

La definición de un concepto en términos de condición suficiente y necesaria establece condiciones de inclusión y exclusión en el conjunto de los elementos caracterizados por el concepto. Así en la segunda definición de divisibilidad en el conjunto de los enteros si a = 3 y b = 12 se tiene que 3 divide a 12 porque existe el entero 4 tal que tal que 12 = 3 4. También se puede decir que 3 es un factor de 12 o que 3 es divisor de 12, o bien que 12 es un múltiplo de 3 o 12 es divisible por 3. Si b = 12 se tiene que a puede tomar del conjunto de los números enteros (Z) exactamente los valores 1, –1, 2, – 2, 3, – 3, 4, –4, 6, –6, 12, –12, que corresponden a los divisores de 12. Así, a = 5 no es un divisor de 12, porque no existe un entero c tal que 12 = 5c.



El bicondicional es el último de los cinco conectivos que se usarán en esta unidad. La siguiente tabla muestra un resumen de todos los conectivos lógicos básicos definidos:

Conectivo Símbolo Definición EscrituraConjunción “y” p qDisyunción(Inclusiva) “o” p qNegación “No”. “Es falso que …” pCondicional “Si ... entonces ...” p qBicondicional “... si y solo si ...” p q

EJERCICIOS 1.2

1. Expresar las siguientes proposiciones a la proposición equivalente “si...entonces...”. Determinar exactamente el antecedente y el consecuente.A. Ganaré el semestre si estudio.B. Para que un polígono sea rectángulo, es necesario que sea cuadrilátero.C. f(x) – L < siempre que x – a < D. Todos lo números primos mayores que 2 son impares.E. Una condición necesaria para el paralelismo es que las rectas no se corten.F. El juez dicta sentencia sólo si conoce todos los hechos.G. Algunos dispositivos de almacenamiento son magnéticos cuando se quieren almacenar datos en un PC.H. Si es un componente físico de un computador, es un componente del hardware.I. Cuando se enciende un computador, este busca un sistema operativo para iniciar.J. Cada caracter consiste en un byte de datos, cuando es un caracter ASCCII.

2. Considerar las proposiciones p: Te gustan los sistemas de información y q: Te gusta navegar en Internet. Escribir cada una de las siguientes proposiciones en el lenguaje ordinario:

A. p q B. p q C. ( q) ( p)D. [(p q) ( q)] ( p) E. ( p q)

3. Escribir el condicional, la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca de cada una de las siguientes proposiciones:



A. Es el dispositivo de salida más importante de un PC, si es el monitor.B. q siempre que p.C. ( p) ( q).D. x = 1 siempre que x2 = 1.E. Hacer las tareas regularmente es una condición necesaria para que yo pueda aprobar el semestre.F. Todos los cuadrados son rectángulos.

4. Si p es V y q es F, determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

A. ( p q) B. ( p q) ( q)C. ( p) [ (p q)] D. ( p q) [( p) ( q)]

5. Si p es F, q es F y r es V determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

A. [(p q) ( r)] r B. {p [( q) ( p)]} ( r)C. [(p q) ( r)] ( p) D. ( p q) [( p) ( q)]



1.3. FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES

1.3.1. PROPOSICIONES ABIERTAS Y FUNCIONES PROPOSICIONALES.

Considere el enunciado “Esta ciudad es la capital de Colombia”, ¿es verdadero o falso? En la forma como está expresado es evidente que no se puede afirmar nada acerca de su veracidad. El enunciado es una proposición verdadera si el nombre de la ciudad es “Bogotá” y sustituye al sujeto “Esta ciudad”. Si el sujeto se sustituye por el nombre de otra ciudad o cualquier otra palabra diferente a “Bogotá”, el enunciado es, evidentemente, una proposición falsa. El conjunto de nombres, por ejemplo de capitales, cuyos elementos son aquellos que se pueden reemplazar en el sujeto “Esta ciudad” se denomina conjunto universo, o conjunto de reemplazamiento, también, dominio de la variable, observando que cualquier otra palabra diferente a “Bogotá” que se sustituya hace falsa la proposición. Una proposición con estas características, se conoce como proposición abierta.

El subconjunto de elementos del conjunto de reemplazamiento o universo que hacen verdadera la proposición, se denomina conjunto de verdad o conjunto solución de la proposición abierta. Para el ejemplo arriba mencionado es el conjunto unitario {Bogotá}.

Ejemplo ilustrativo: Sea la proposición “x es un par menor que 10”, con x N.

El conjunto universo o dominio de la variable es el conjunto de los números naturales, N = 1, 2, 3, 4, 5,… . Al sustituir los elementos que hacen verdadera la proposición se tiene:“2 es un par menor que 10” (V) “4 es un par menor que 10” (V)“6 es un par menor que 10” (V) “8 es un par menor que 10” (V)

El conjunto {2, 4, 6, 8} es el conjunto de verdad de la proposición.

Una función proposicional de una variable es un enunciado que representa una proposición abierta de una variable. Se representan por P(x), Q(x), R(x), etc.

Ejemplo ilustrativo: Se considera la proposición abierta o función proposicional , donde x R.El conjunto de verdad de la función proposicional P(x) se halla mediante el siguiente proceso algebraico:Factorizando la ecuación , tenemos , por lo



tanto, x = – 4 o x = 1Así el conjunto de verdad de la función proposicional p(x) es:

P = {x / P(x)} = {x R / } = {– 4, 1}

Ahora se considera la función proposicional p(x): (x – 3)2 = x2 – 6x + 9, donde x R. El conjunto de verdad de la función proposicional P(x) es verdadero para cualquier valor de R que se reemplace en la proposición. Algunos casos son:

p(0): (0 – 3)2 = (0)2 – 6(0) + 9 (–3)2 = 0 – 0 + 9 9 = 9

p(–2): (–2 – 3)2 = (–2)2 – 6(–2) + 9 (–5)2 = 4 – (–12) + 9 25 = 25

p(10): (10 – 3)2 = (10)2 – 6(10) + 9 (7)2 = 100 – 60 + 9 49 = 49

p(¾): (¾ – 3)2 = (¾)2 – 6(¾) + 9 (–9/4)2 = (9/16) – (18/4) + 9 81/16 = 81/16

p(0.5): (0.5 – 3)2 = (0.5)2 – 6(0.5) + 9 (–2.5)2 = 0.25 – 3 + 9 6.25 = 6.25

p(–0.2): (–0.2 – 3)2 = (–0.2)2 – 6(–0.2) + 9 (–3.2)2 = 0.04 + 1.2 + 9 10.2 = 10.24

Así el conjunto de verdad de la función proposicional P(x) son todos los reales:

P = {x / p(x)} = {x R / (x – 3)2 = x2 – 6x + 9} = R.

1.3.2. CUANTIFICADORES

Los cuantificadores permiten afirmaciones sobre colecciones enteras de objetos en lugar de tener que enumerar los objetos por su nombre.

1.3.2.1. Cuantificador Universal.

En una gran mayoría de situaciones matemáticas es interesante considerar la posibilidad de que el conjunto de verdad de una función proposicional sea la totalidad de los elementos del conjunto universo, llamado también conjunto referencial (que se simboliza por U o R respectivamente), este se simboliza como x que se lee: “para todo x”, “todo x”, “para cada x” o “cada x” y se llama cuantificador universal. En este caso la proposición se simboliza como (x U) P(x), que se lee: “para todo x elemento de U, se cumple P(x)”, y si el dominio de la variable está sobreentendido, se escribe simplemente (x) P(x), que se



puede leer como: “para todo x P(x)”, “para cada x P(x)” o bien “para cualquier x P(x)”.

Ejemplo ilustrativo 1: Se considera el enunciado “todos los tigres son mamíferos”. El enunciado establece que “si es tigre”, entonces “es mamífero”. El enlace entre los dos predicados se puede establecer con el cuantificador universal, una variable del conjunto universo, una representación en variables de los dos predicados que intervienen en el enunciado y el conectivo condicional (→). Sea U = Conjunto de los animales salvajes; y sea x la variable que representa un elemento cualquiera del dominio; entonces el enunciado se puede escribir como: “Si x es tigre, entonces x es mamífero”. Luego como esta expresión es verdadera para todo elemento del dominio se utiliza el cuantificador universal y se escribe: “Para todo x, si x es tigre, entonces x es mamífero”. Si se simbolizan los predicados como T(x): x es tigre y M(x): x es mamífero y, además, se introducen el símbolo del cuantificador universal y el del condicional, entonces la el enunciado “todos los tigres son mamíferos” se representa con la fórmula x (T(x) → M(x)).

Ejemplo ilustrativo 2: En matemáticas se consideran proposiciones como:A. P(x): x R, (x – 3)2 = x2 – 6x + 9, que en efecto, es una identidad verdadera para todo número real x. Luego, la proposición es verdadera.B. Q(x): x R, x ≤ 3, que no es verdadera para todo número real x. Por ejemplo q(5): 5 ≤ 3 es falsa. Por lo tanto, la proposición es falsa.

1.3.2.2. Cuantificador Existencial.

En muchas otras situaciones matemáticas es importante considerar la posibilidad de que el conjunto de verdad de una función proposicional contenga al menos un elemento del universo U; es decir, el conjunto de verdad no es el conjunto vacío. Esto se simboliza como x que se lee: “para algún x”, “existe x” o “existe al menos un x tal que” y se llama cuantificador existencial. La proposición se escribe como (x U) P(x), o bien (x) P(x) si el dominio de la variable está sobreentendido y que se lee como: “para algún x P(x)”, “existe x tal que P(x)” o “existe al menos un x tal que P(x)” o bien “hay un x tal que P(x)”.

Ejemplo ilustrativo 1: Se considera el enunciado “existe al menos un tigre que es devorador de hombres” significa que significa que un animal salvaje tiene las propiedades de “ser tigre” y “ser devorador de hombre”. Si se utiliza la variable x para denotar tal animal salvaje,



entonces el enunciado se puede escribir como “Existe al menos un x tal que x es tigre y x es devorador de hombres”. Ahora si se simbolizan los dos predicados como T(x): x es tigre y D(x): x es devorador de hombres y se introducen los símbolos del cuantificador existencial y de la conjunción, entonces el enunciado “existe al menos un tigre que es devorador de hombres” queda representado por la fórmula x (T(x) D(x)).

Ejemplo ilustrativo 2: Ejemplos de este cuantificador en matemáticas se tienen en las proposiciones:A. P(x): x R, x2 + 3x – 4 = 0, que es una ecuación y que sólo es verdadera para los valores – 4 y 1; es decir estos son los dos únicos reales que satisfacen la ecuación. Por lo tanto, la proposición es verdadera.B. Q(x): x R, x = x + 1, no existe un número real tal que sumado con 1 se obtenga el mismo real. En consecuencia, la proposición es falsa.

Observe que mientras que el cuantificador universal utiliza la implicación, el cuantificador existencial naturalmente utiliza la conjunción.

1.3.3. Valor de verdad de funciones proposicionales con cuantificadores.

Cuando una función proposicional se precede de un cuantificador, ésta se convierte en una proposición simple, y por lo tanto, tiene un valor de verdad determinado.

Una proposición que contiene un cuantificador universal es verdadera si y solo si el conjunto universo de la variable es igual al conjunto de verdad de la función proposicional. Por lo tanto, el cuantificador universal x afirma que un enunciado es verdadero para todos los valores de la variable x U.

Una proposición con un cuantificador existencial es verdadera si y sólo si el universo de la variable no es vacío. Por lo tanto, el cuantificador existencial, x, afirma que un enunciado es verdadero para al menos un valor de la variable x U.

Ejemplo ilustrativo: A continuación se establece el valor de verdad de las siguientes proposiciones que contienen un cuantificador:



A. (F)B. (V)C. (F)D. Todas las aves vuelan. (F)E. (x R), x ≤ 3. (V)

1.3.4. Negación de funciones proposicionales con cuantificadores.

Para analizar la negación de funciones proposicionales que contienen cuantificadores, es conveniente introducir el cuadro de oposición de la Lógica Tradicional que presentaba cuatro tipos fundamentales de enunciados que se conocen como proposiciones categóricas. Desde tiempos de Aristóteles, interesó examinar ciertas relaciones lógicas existentes entre estos cuatro tipos de proposiciones categóricas.

Definición. Una proposición categórica es una proposición que relaciona dos clases, o categorías. Las dos clases, en cualquier proposición categórica, se colocan en una relación de sujeto-predicado. Así, proposición categórica es una proposición que afirma o niega que una clase o categoría sujeto, S, está contenida, totalmente o en parte, en una clase predicado, P.

En primer lugar, veamos las cuatro formas de proposiciones categóricas que se han empleado tradicionalmente y que son importantes en la lógica matemática, a saber:

Todo S es P A Universal afirmativo x P(x)Ningún S es P E Universal negativo x P(x)Algún S es P I Particular afirmativo x P(x)Algún S no es P O Particular negativo x P(x)

En las formas anteriores, S significa un sujeto del cual se afirma o niega algo, y P es el predicado, esto es, lo que se dice del sujeto. Las dos primeras proposiciones son universales, siendo la primera afirmativa y la segunda negativa. Las dos últimas son particulares, siendo la primera afirmativa y la segunda negativa. Las vocales A, E, I y O provienen de los verbos latinos AffIrmo y nEgO.

Ejemplo ilustrativo:A. Todos los hombres son mortales

A Universal afirmativo



B. Ningún hombre es mortal E Universal negativoC. Algún hombre es mortal I Particular afirmativoD. Algún hombre no es mortal O Particular negativo

Enseguida se muestra el cuadro de oposición que se elaboró desde Aristóteles y la Lógica Tradicional en el que quedaron reflejadas las relaciones entre estos cuatro modelos básicos de proposiciones categóricas:

La distinción entre proposiciones afirmativas y negativas se llama distinción (u oposición) de cualidad, en tanto que la distinción entre universales y particulares se denomina distinción (u oposición) de cantidad. A y E son contrarias, y las proposiciones contrarias se definen como aquellos pares de proposiciones universales que difieren en cualidad. I y O son subcontrarias, y se definen como aquellos pares de proposiciones particulares que difieren en cualidad. A y E son, respectivamente, las contradictorias de O e I, difiriendo tanto en cantidad como en cualidad.

Se ha presentado este breve análisis con el fin de mostrar que en la lógica matemática, la negación de cualquier forma de las cuatro proposiciones clásicas es sencillamente su contradictoria. Se establece:

La negación de una función proposicional con un cuantificador universal es equivalente a la negación de la misma función proposicional, precedida por el cuantificador existencial, y viceversa.

Simbólicamente se puede escribir: [(x U) P(x)] ( x U) [ P(x)]

Esta proposición se lee: “No es verdad que para todo x U, P(x) es verdadero”, y es equivalente a “Existe un x U tal que P(x) es falso”.

Walter G. Magaña S.

A E

I O

Contrarias

Contradictorias

Subcontrarias

21


En igual forma se escribe: [( x U) P(x)] (x U) [ P(x)]

La anterior proposición se lee: “No es verdad que existe un x U, tal que P(x) es verdadero”, y es equivalente a “Para todo x U, P(x) es falso”.

La siguiente tabla proporciona algunas de las negaciones comunes con cuantificadores:

Proposición NegaciónTodos... Algunos...noAlgunos... Ningún... (Todos...no)Algunos...no Todos...Ningún... Algunos...

Ejemplo ilustrativo 1: Escribir la negación de cada una de las siguientes proposiciones:A. Todos los números primos son impares. (F)B. Algunos profesores son malos.C. tal que (F)D. , (V)

Solución:A. Algunos números primos no son impares. (V)B. Todos los profesores no son malos.C. , , o bien , (V)D. tal que (F)

Ejemplo ilustrativo 2: Determinar la negación de cada uno de los siguientes enunciados en símbolos y en palabras:A. Algunos estudiantes no prestan atención a la clase.B. Hay estudiantes que prestan atención a la clase.C. Ningún estudiante presta atención a la clase.Solución:

Se considera la siguiente simbolización:P(x): x presta atención a la clase.

A. Algunos estudiantes no prestan atención a la clase. Simbolización: x ( P(x)) Negación: [x ( P(x))] x P(x)Negación en palabras: Todos los estudiantes prestan atención a la clase.



B. Hay estudiantes que prestan atención a la clase.Simbolización: x P(x)Negación: [x P(x)] x [ P(x)]Negación en palabras: Todos los estudiantes no prestan atención a la clase.

C. Ningún estudiante presta atención a la clase. Simbolización: x ( P(x)) Negación: [x ( P(x))] x P(x)Negación en palabras: Algunos estudiantes prestan atención a la clase.

Una variable x que se introduce en una expresión lógica por un cuantificador está unida al más cercano cuantificador envolvente. Una variable se dice que es una variable libre si no está unido a un cuantificador. Similarmente en un bloque de lenguaje de programación estructurado, una variable en una expresión lógica se refiere al más cercano cuantificador dentro de cuyo ámbito este parece.

Ejemplo 1: Escribir en símbolos el enunciado “Todo ser humano tiene una madre”.Solución: Se reescribe la proposición como: “Para todo ser humano, ese ser humano tiene una madre”. Se introduce la variable x y se consideran las proposiciones: H(x): x es un ser humano y M(x) x tiene una madre, el dominio de x consiste en el conjunto de todos los seres vivos. Entonces el enunciado se lee como: “Para todo ser humano x, x tiene una madre”, entonces se simboliza como: x(H(x) → M(x)).

Ejemplo 2: Escribir en símbolos el enunciado “Cada estudiante del curso de Lógica está estudiando Precálculo”.Solución: Se reescribe la proposición como: “Para todo estudiante del curso de Lógica, ese estudiante está estudiando Precálculo”. Se introduce la variable x y se considera la proposición: P(x): x está estudiando Precálculo. Si el dominio de x consiste en el conjunto de los estudiantes del curso de Lógica, entonces el enunciado se simboliza como x P(x). Pero si el dominio es el conjunto de los estudiantes de la universidad, es necesario introducir la proposición L(x): x es un estudiante del curso de Lógica. De esta forma el enunciado se expresa como: “Para todo estudiante x, si x es un estudiante del curso de Lógica, entonces x está estudiando Precálculo”. Entonces el enunciado se simboliza como: x(L(x) → P(x)).



Ejemplo 3: Escribir en símbolos el enunciado “Algún estudiante del curso de Lógica habla Inglés”.Solución: Se reescribe la proposición como: “Existe algún estudiante del curso de Lógica que habla Inglés”. Se introduce la variable x y se considera la proposición: I(x): x habla Inglés. Si el dominio de x consiste en el conjunto de los estudiantes del curso de Lógica, entonces el enunciado se simboliza como x I(x). Pero si el dominio es el conjunto de los estudiantes de la universidad, es necesario introducir la proposición L(x): x es un estudiante del curso de Lógica. De esta forma el enunciado se expresa como: “Existe algún estudiante x, tal que x es un estudiante del curso de Lógica y x habla Inglés”. Entonces el enunciado se simboliza como: x(L(x) I(x)).

Ejemplo 4: Escribir en palabras el enunciado que representa la fórmula: x (Gato(x) x (Negro(x))), donde el dominio consiste en el conjunto de todos los animales.Solución: Aquí, la variable x en Negro(x) está universalmente cuantificada, mientras que toda la expresión está antecedida por el cuantificador existencial. La expresión implica que “existen gatos y todos son de color negro”.

EJERCICIOS 1.3

1. Escribir V (verdadero) o F (falso) para cada una de las siguientes proposiciones; modifique cada proposición falsa para convertirla en verdadera:A. x R, | x | > 0B. x R, .C. x R, x2 ≥ 0C. x R, (x – 5)2 = x2 – 10x + 25D. No existe ningún número real x tal que | x + 7 | ≤ 0.E. No existe ningún número real x tal que x2 < 0.

2. Escribir la negación de cada una de las siguientes proposiciones:A. Todos los libros de matemáticas son difíciles de leer.B. Algunos enteros son negativos.C. Ningún entero par es divisible entre 5.D. Algunos lenguajes de computación no son estructurados.E. Algunos enteros no son impares.F. Algunos rectángulos son cuadrados.G. Algunos rectángulos no son cuadrados.H. Ningún operador de la Lógica es unario.



I. Algunos sistemas no son abiertos.J. Ningún programa de computación es peligroso.

3. Escribir en palabras cada una de las siguientes fórmulas; considerando las siguientes proposiciones: P(x): x es un perro, N(x): x es negro y B(x): x es bravo, y el dominio es el conjunto de todos los animales.

A. x (P(x) N(x)) B. x (P(x) ( N(x)))C. x (P(x) x (B(x))) D. x (P(x) N(x))E. x (P(x) N(x) (B(x))) F. x ((P(x) (N(x)) B(x)))G. x (P(x) (N(x) B(x))) H. x (P(x) (N(x) B(x)))

4. Se consideran las siguientes proposiciones: C(x): x tiene un teléfono celular; T(x): x tiene una tablet y P(x): x tiene un PC portátil. Escribir cada uno de los siguientes enunciado en símbolos en términos de C(x), T(x), P(x), cuantificadores y conectivos lógicos. El dominio para los cuantificadores consiste en el conjunto de los estudiantes del curso.

A. Un estudiante del curso tiene teléfono celular, una tablet y un PC portátil.

B. Todos los estudiantes del curso tienen un teléfono celular, una tablet o un PC portátil.

C. Algún estudiante del curso tiene un teléfono celular y una tablet pero no un PC portátil.

D. Ningún estudiante del curso tiene un teléfono celular, una tablet y un PC portátil.

E. Para cada uno de los tres dispositivos electrónicos: teléfono celular, tablet y PC portátil, hay un estudiante del curso que posee uno de esos dispositivos electrónicos.



1.4. CALCULO PROPOSICIONAL

1.4.1. FORMULAS.Con estos cinco conectivos lógicos con los que se han trabajados

expresiones tales como p q, p q, p q, p q y p; se construyen proposiciones compuestas más complejas, haciendo combinaciones de las anteriores. Entonces es necesario especificar la manera en que los símbolos (variables proposicionales y conectores lógicos) pueden colocarse juntos.

DEFINICIÓN. Fórmula.Fórmula es una expresión que contiene una secuencia finita o cadena de variables proposicionales simples o atómicas (p, q, r, etc.) y conectores lógicos (, , , , , etc.) que satisface las siguientes reglas:(1) Cualquier variable proposicional es una fórmula.(2) Si p es una fórmula, entonces p es una fórmula.(3) Si p y q son fórmulas, entonces p q, p q, p q, p q y p son fórmulas.

El valor de verdad de una fórmula dependerá de los valores de verdad de las variables proposicionales simples o atómicas que la componen. El número de combinaciones que tengamos en una tabla de verdad dependerá del número de variables proposicionales distintas que intervengan en la fórmula, siendo igual a 2n, donde n es el número de variables proposicionales diferentes que intervienen en ella.

Ejemplo ilustrativo: Construir la tabla de verdad para la fórmula[(p q) ( p)] q:

Solución:En este caso, en la fórmula intervienen dos variables

proposicionales distintas, por lo tanto se tienen 22 = 4 combinaciones posibles.

p q p q p (p q) ( p) [(p q) ( p)] q.V V V F F VV F V F F VF V V V V VF F F V F V

DEFINICIÓN. Fórmula tautológica.



Se dice que una fórmula es tautológica o tautología si y sólo si su valor de verdad es verdadero, independientemente de que los valores de verdad de sus variables proposicionales componentes sean falsos o verdaderos. Es decir, una tautología es una proposición compuesta que siempre es verdadera.

En la Lógica, tenemos varias tautologías que son importantes. Entre ellas, tenemos: La ley del medio excluido: p p La ley de no contradicción: (p p) La ley de la inferencia contrapositiva (o Modus Tollendo Tollens):

[(p q) ( q)] p

Ejemplo ilustrativo: Mostrar, mediante una tabla de verdad, la veracidad de ley de la inferencia contrapositiva (o Modus Tollendo Tollens):

[(p q) ( q)] pSolución:

p q p q q (p q) ( q) p [(p q) ( q)] pV V V F F F VV F F V F F VF V V F F V VF F V V V V V

DEFINICIÓN. Fórmula contradictoria.Se dice que una fórmula es contradictoria o una contradicción si y sólo si su valor de verdad es falso, independientemente de que los valores de verdad de sus variables proposicionales componentes sean falsos o verdaderos. Es decir, una contradicción es una proposición compuesta que siempre es falsa.

Ejemplo ilustrativo 1: Mostrar, mediante una tabla de verdad, la ley de contradicción: p p.Solución:

p p p pV F FF V F

Ejemplo ilustrativo 2: Probar que la expresión (p q) ( p q) es una contradicción:



Solución:

A Bp q p q p p q ( p q) A BV V V F V F FV F F F F V FF V V V V F FF F V V V F F

DEFINICIÓN. Fórmula sintética o contingencia.Se dice que una fórmula es sintética o contingencia si y sólo si la misma no es una tautología ni una contradicción.

Ejemplo ilustrativo: Mostrar que la fórmula no es tautología ni contradicción:

p ( q r) (p q) ( r)Solución:

En este caso, en la fórmula intervienen 3 variables proposicionales distintas, por lo tanto se tienen 23 = 8 combinaciones posibles.

A Bp q r q qr p ( q r) pq r (pq) ( r) A BV V V F V V V F V VV V F F F F V V V FV F V V V V F F F FV F F V V V F V V VF V V F V V F F F FF V F F F V F V V VF F V V V V F F F FF F F V V V F V V V

La expresión p ( q r) (p q) ( r) representa una fórmula sintética o contingencia.

1.4.2. REGLAS DEL CÁLCULO PROPOSICIONAL

DEFINICIÓN. Proposiciones Lógicamente Equivalentes.



Las proposiciones compuestas P y Q son lógicamente equivalentes si y solo si siempre tienen el mismo valor de verdad; es decir, P Q es siempre una tautología. Algunas veces se denota por P ≡ Q. En este artículo se usa el símbolo para denotar que P y Q son lógicamente equivalentes.

Se presenta a continuación una lista de importantes tautologías seleccionadas por su utilidad. Estas tautologías pueden demostrarse con tablas de verdad. En la lista V representa una tautología y F una contradicción.

1. Leyes de identidad: a. (p F) p b. (p V) p2. Leyes de dominación: a. (p V) V b. (p F) F3. Leyes de Idempotencia: a. (p p) p b. (p p) p4. Ley de la doble negación: ( p) p5. Ley de contradicción: (p p) F6. Ley de la no contradicción: (p p)7. Ley de complemento (p p) V8. Ley del tercio excluido: p p

9. Leyes conmutativas:a. (p q) (q p)b. (p q) (q p)c. (p q) (q p)

10. Leyes asociativas:a. p (q r) (p q) rb. p (q r) (p q) rc. p (q r) (p q) r

11. Leyes distributivas:a. p (q r) (p q) (p r)b. p (q r) (p q) (p r)c. p (q r) (p q) (p r)d. p (q r) (p q) (p r)

12. Leyes transitivas: a. (p q) (q r) (p r)b. (p q) (q r) (p r)

13. Leyes de Demorgan: a. (p q) ( p q)b. (p q) ( p q)

14. Leyes de implicación: (Equivalencias del condicional)

a. (p q) ( p q)b. (p q) [ (p q)]c. (p q) (p q)

15. Ley de la contrarrecíproca: (o de la contraposición) (p q) ( q p)16. Ley de reducción al absurdo: [(p q) (r r)] (p q)17. Ley del razonamiento directo: (Modus Ponendo Ponens)

[(p q) p] q



18. Ley del razonamiento indirecto: (Modus Tollendo Tollens)

[(p q) q] p

19. Ley del silogismo disyuntivo: (Modus Tollendo Ponens) [(p q) p] q

20. Leyes de simplificación: a. (p q) pb. (p q) q

21. Ley de adjunción o adición: p (p q)22. Ley de inferencia por casos: [(p q) (p r)] [p (q r)]23. Equivalencias del condicional:

a. [(p q) (p r)] [p (q r)b. [(p q) (p r)] [p (q r)c. [(p r) (q r)] [(p q) r]

24. Equivalencias del bicondicional:

a. (p q) (p q) (q p)b. (p q) ( p q)c. (p q) (p q) ( p q)d. (p q) (p q)

EJERCICIOS 1.4

1. Elaborar las tablas de verdad de cada una de las siguientes leyes del cálculo proposicional:

A. Ley conmutativa 9. b B. Ley asociativa 10. cC. Leyes distributivas 11. b y c D. Ley transitiva 12. aE. Leyes de Demorgan 13. a y b F. Leyes de implicación 14. a y cG. Ley de la contrarrecíproca 15. H. Ley de reducción al absurdo

16.I. Ley del razonamiento directo (Modus Ponendo Ponens) 17.J. Ley del razonamiento indirecto (Modus Tollendo Tollens) 18.K. Ley del silogismo disyuntivo (Modus Tollendo Ponens) 19.L. Ley de inferencia por casos 22.M. Equivalencia del condicional 23. c.N. Equivalencia del bicondicional 24. c y d.

2. Elaborar la tabla de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:A. ( p q) ( q) B. [(p q) ( r)] rC. (p q) [p ( q)] D. [(p q) ( r)] rE. ( p q) [( p) ( q)] F. [(p q) ( r)] [(q p) r]

3. Construir una o más proposiciones compuestas que tengan cada una los valores de las columnas (A), (B) y (C) de la siguiente tabla de verdad:



p q r (A) (B) (C)V V V V F VV V F F F VV F V V F VV F F F V FF V V F F VF V F F F VF F V V F FF F F F F V

4. Usando solamente (conjunción), (disyunción) y (negación) escribir una proposición equivalente a cada una de las siguientes:

A. p q B. p q C. (p q)D. (p (q)) E. (p q)

5. Usando solamente (disyunción) y (negación) escribir una proposición equivalente a p q. Usar este resultado para probar que cualquier tabla de verdad puede representarse por el significado de dos conectivos (disyunción) y (negación).

1.5 REGLAS DE INFERENCIA

Se denominan reglas de inferencias a los siguientes razonamientos válidos elementales, a partir de los cuales se demuestran razonamientos donde la conclusión es consecuencia lógica de otras premisas.

1. Regla de separación (Modus Ponendo Ponens)Esta ley significa “modo afirmando afirmo”. El modus ponendo

ponens emplea la regla del condicional; es decir, si tenemos un condicional verdadero del cual se afirma que el antecedente es verdadero, entonces se tiene como conclusión la afirmación del consecuente. La forma o estructura de esta ley es:

P1: p qP2: pC: q

Ejemplo ilustrativo:p q: Si es de mañana , entonces el sol brilla Premisa 1p: Es de mañana Premisa 2



q: Por lo tanto, el sol brilla Conclusión

Ejemplo: Los siguientes casos ilustran el manejo de la ley:

A.P1: m tP2: m______________C: t

B.P1: kP2: k l____________C: l

C.P1: (p q) sP2: p q_______________C: s

D.P1: a bP2: b___________C: ¿?No se puede afirmar nada

2. Regla de inferencia contrapositiva (Modus Tollendo Tollens)La ley Modus tollendo tollens significa “modo negando niego”,

esta ley establece que dado un condicional verdadero y se tiene la negación de su consecuente como verdadero, entonces se concluye la negación de su antecedente. La forma o estructura de la ley es la siguiente:

P1: p qP2: qC: p

Ejemplo ilustrativo:p q: Si es de mañana , entonces el sol brilla Premisa 1 q: El sol no brilla Premisa 2 p: Luego, no es de mañana Conclusión

Ejemplo: Los siguientes casos ilustran el manejo de la ley:

A.P1: m tP2: t______________C: ( m)C: m

B.P1: lP2: k l____________C: k

C.P1: (r s) tP2: t______________C: (r s)C: r s

D.P1: u vP2: v_____________C: ¿?No se puede afirmar nada

3. Regla de simplificación disyuntiva (Modus Tollendo Ponens)Esta ley significa “modo negando afirmo” y establece que dado

una disyunción verdadera y teniendo la negación de cualquiera de las



proposiciones componentes como verdadera, entonces se concluye la afirmación de la otra proposición. Su forma o estructura es la siguiente:

P1: p qP2: pC: q

óP1: p qP2: qC: p

Ejemplo ilustrativo:p q: Juan tiene un Smartphone o una tablet Premisa 1 p: Juan no tiene un Smartphone Premisa 2q: Por tanto, tiene una tablet Conclusión

O bienp q: Juan tiene un Smartphone o una tablet Premisa 1 q: Juan no tiene una tablet Premisa 2p: Por tanto, tiene un Smartphone Conclusión

Ejemplo: Los siguientes casos ilustran la ley

A.P1: m nP2: m______________C: n

B.P1: sP2: r s __________C: r

C.P1: (m s) tP2: (m s)_______________C: t

D.P1: d fP2: d____________C: ¿?No se puede afirmar nada

4. Regla de la cadena de inferencias o Ley del Silogismo Hipotético

Esta ley es la que se conoce como transitividad del condicional y establece que cuando el consecuente de un primer condicional es el antecedente de un segundo condicional, entonces se puede concluir el condicional formado por el antecedente del primero con el consecuente del segundo. La estructura es la siguiente:

P1: p qP2: q rC: p r

Ejemplo ilustrativo:p q: Si la bola roja golpea a la bola blanca,

entonces la bola blanca golpea a la bola negraPremisa 1

q r: Si la bola blanca golpea a la bola negra, Premisa 2



entonces la bola negra se muevep r: Luego, si la bola roja golpea a la bola blanca,

entonces la bola negra se mueveConclusión


A.P1: m nP2: n t______________C: m t

B.P1: s tP2: r s ____________C: r t

C.P1: (u v) tP2: t s______________C: (u v) s

D.P1: k lP2: k m_________C: ¿?No se puede afirmar nada

5. Regla de inferencia conjuntiva o Ley de la conjunciónEsta ley fundamenta el hecho de que si dos proposiciones son

premisas (que se asumen como verdaderas), entonces se puede inferir la conjunción de las dos proposiciones. Su estructura es la siguiente:

P1: pP2: qC: p q

Ejemplo ilustrativo:

p: Pedro entrena fútbol Premisa 1q: Juan practica tenis Premisa 2p q: Pedro entrena fútbol y Juan practica tenis Conclusión


A.P1: m P2: n ______________C: m n

B.P1: (k l)P2: m _____________C: (k l) m

C.P1: s tP2: r _________________C: (s t) r

D.P1: a P2: b c______________C: a (b c)

6. Regla de simplificación conjuntivaEsta regla establece que si se tiene la conjunción de dos

proposiciones, entonces se puede inferir como verdadera cualquiera de las dos proposiciones que la componen.



P1: p qC: q

ó bien P1: p qC: p


p q: Juan tiene un PC portátil y una tablet Premisa 1p: Juan tiene un PC portátil Conclusión

O bienq: Juan tiene una tablet Conclusión

Ejemplo: Los siguientes casos ilustran la leyA.P1: m n______________C: m

B.P1: (k l) m_______________C: (k l)

C.P1: (s t) r__________________C: r

7. Regla de inferencia por casosEsta regla establece que dados dos condicionales que tienen el

mismo consecuente, entonces se puede inferir un condicional que tiene como antecedente la disyunción de los antecedentes de los condicionales dados implicando el mismo consecuente.

P1: p rP2: q rC: (p q) r

Ejemplo ilustrativo:p r: Si estudias con dedicación, entonces ganas

el semestre.Premisa 1

q r: Si haces tus trabajos, entonces ganas el semestre.

Premisa 2

(p q) r: Luego, si estudias con dedicación o haces tus trabajos, entonces ganas el semestre.

Conclusión

Ejemplo: Los siguientes casos ilustran la reglaA.P1: m nP2: r n___________________C: ( m r) n

B.P1: (k l) mP2: s m____________________C: (k l) s m

C.P1: (s t) rP1: q r_______________________C: (s t) q r



8. Regla de la adición Esta regla permite adicionar o agregar cualquier otra proposición

a una dada previamente como premisa y que obviamente es verdadera, si y solo si se establece la disyunción de las dos proposiciones; esto es válido porque de esta forma se puede garantizar la veracidad del enunciado inferido. Esta regla se expresa de la siguiente manera:

P1: p_________C: p q


p: Juan tiene un PC portátil Premisa 1p q:: Juan tiene un PC portátil o una tablet Conclusión


A.P1: s t________________C: (s t) r

B.P1: (m n)_______________C: (m n) t

C.P1: k___________C: k l

1.5.1 Introducción a la demostración formal (Análisis de la validez de un argumento)

Con las tautologías y las reglas de inferencias podemos especificar precisamente lo que es una demostración válida en el cálculo proposicional. Un teorema consiste en algunas proposiciones H1 , H2 ,..., Hn llamadas hipótesis del teorema, las cuales se asumen como verdaderas, y una proposición C que será su conclusión. Aquí H1 , H2 ,..., Hn y C representan proposiciones. Un teorema con hipótesis H1 , H2 ,..., Hn y conclusión C es verdadero siempre que

(H1 H2 ... Hn ) C.

De esta manera el teorema es verdadero si y solo si la fórmula(H1 H2 ... Hn ) C

es una tautología.

La demostración formal de un teorema consiste en una sucesión de proposiciones, que termina con la conclusión C, y que se



consideran válidas por alguna de varias razones: por ser una hipótesis, una tautología conocida, o puede ser derivada de alguna de las proposiciones anteriores de la sucesión por medio de reglas de sustitución o puede ser inferida de proposiciones anteriores con las reglas de inferencias.

La forma mas natural de demostración es la demostración directa, en la cual se muestra que las hipótesis H1 , H2 ,..., Hn implican la conclusión C : H1 H2 ... Hn C .

Ejemplo ilustrativo 1: Se quiere verificar, mediante reglas de inferencia, la validez del siguiente argumento:

P1: r tP2: s r P3: sP4: rC: t

Solución:La manera formal, más usual, de proceder es mediante las Reglas

de Inferencias y se hace el siguiente razonamiento directo:

P1: r t HipótesisP2: s r HipótesisP3: s HipótesisP4: r HipótesisC: t Regla 1: regla de separación (M.P.P.) aplicada a las

premisas P1 y P4

Explicación: En este caso basta aplicar la regla de inferencia 1: regla de separación (M.P.P.) a las premisas P1 y P4 para obtener como consecuencia lógica t.

Obsérvese que en el razonamiento las premisas P2 y P3 no son necesarias para establecer la validez del razonamiento. Es preciso anotar que los razonamientos válidos lo son con independencia del contenido particular de las proposiciones.

Ejemplo ilustrativo 2: Analizar, mediante reglas de inferencia, la validez del siguiente argumento:



Si estudio entonces no fallaré en Matemáticas. Si no juego fútbol entonces estudiaré. Pero fallé en Matemáticas. Por lo tanto, jugué fútbol.

Solución:Se simboliza el argumento como sigue, utilizando las siguientes variables:e: Estudio f: Fallar en Matemáticas j: Jugar fútbol

Entonces el razonamiento tiene la forma:P1: e f P2: j e P3: f ______________C: j

El mejor método para analizar la validez del argumento es el que a partir de las premisas dadas (hipótesis) se van relacionando las conclusiones lógicas secundarias que a partir de ellas se originan y que por tener el valor de verdad verdadero, pueden considerarse como premisas auxiliares. A la derecha se escribe la justificación respectiva:

P1: e f HipótesisP2: j e HipótesisP3: f HipótesisP4: e Regla 4, Modus Tollendo Tollens (MTT) entre P1 y P3P5: ( j) Regla 4, MTT entre P2 y P4P6 = C: j Ley de la doble negación (Propiedad 2)

Por lo tanto, el razonamiento es válido. En lo sucesivo este será el método que se empleará.

EJERCICIOS 1.5

1. En cada uno de los problemas siguientes, representar simbólicamente cada razonamiento y, empleando reglas de inferencia, decidir sobre la validez de cada uno. En cada combinación de premisas, citar la regla de inferencia utilizada. (Recomendación: emplee equivalencias lógicas del cálculo proposicional).



1.1. Para que valga la pena tomarlo es suficiente que sea un excelente curso. Las calificaciones no son justas o no vale la pena tomar el curso. Pero las calificaciones son justas. Por lo tanto, éste no es un excelente curso.

1.2. Si los precios son bajos, entonces los salarios son bajos. Los precios son bajos o no hay control de precios. Hay inflación, si no hay control de precios. Pero no hay inflación. Por lo tanto, los salarios son bajos.

1.3. La lógica es fácil o le gusta a muchos estudiantes. La lógica no es fácil siempre que las matemáticas sean difíciles. Por lo tanto, si a muchos estudiantes no les gusta la lógica, las matemáticas no son difíciles.

1.4. Si no me corto el pelo, entonces me quedaré en casa. Voy al cine. Por lo tanto, me corté el pelo.

1.5. Pedro y Simón son de la misma edad, o Pedro es de más edad que Simón. Si Pedro y Simón son de la misma edad, entonces Laura y Pedro no son de la misma edad. Si Pedro es de más edad que Simón, entonces Pedro es de más edad que Pilar. En consecuencia, Laura y Pedro no son de la misma edad o Pedro es de más edad que Pilar.

1.6. Si trabajo, no estudio. No es cierto que trabaje y apruebe lógica. Pero aprobé lógica. Luego, estudié.

1.7. No es cierto que Jorge no es culpable y Juan no está diciendo la verdad. Juan no está diciendo la verdad y el Juez va a condenar a Jorge. Por lo tanto, Jorge es culpable.

1.8. Si x > 15, entonces x2 > 125. No es cierto que x 15 o x = 0. Por lo tanto, x2 > 125.

1.9. Si no trabajo, entonces puedo estudiar. No es cierto que trabaje y practique un deporte. Pero practico un deporte y leo un libro. Por lo tanto, puedo estudiar.

1.10. La Computación es fácil o solo la estudian los ingenieros de Sistema. La Computación no es fácil cuando la Lógica es difícil. La Computación no solo la estudian los ingenieros de sistemas y programar es fácil. Por lo tanto, la lógica no es difícil.



2. Verificar, mediante reglas de inferencia, la validez de cada argumento. En cada combinación de premisas indicar la regla de inferencia empleada.

2.1. P1: p q P2: r q P3: p ______________ C: r

2.2. P1: r q P2: p q P3: (p r) s _____________ C: s

2.3. P1: p q P2: q r P3: r s _____________ C: s p

2.4. P1: r s P2: p P3: p q P4: (p q) r ______________ C: s

2.5. P1: (p q) P2: q p ____________ C: q

2.6. P1: (p q) (r s) P2: q s P3: p s ______________________ C: r s

2.7. P1: l m P2: k l P3: g P4: g e P5: m b P6: e k ___________ C: b

2.8. P1: t (p s) P2: q p P3: r s P4: r q _______________ C: t

2.9. P1: (p q) P2: r P3: p t P4: t r ______________ C : q

3. Ricardo argumenta lo siguiente:“Si la computación es fácil, entonces haré el programa. La lógica no se entiende o la computación es fácil. Pero la lógica es entendible.”

Combinando adecuadamente todas las proposiciones dadas, determinar una conclusión válida del argumento de Ricardo.

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