1 Factor Común

8/18/2019 1 Factor Común

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4to año FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS PROF. AVENDAÑO, RUBÉN

Factor común

Si varios sumandos tienen un factor común,

podemos transformar la suma en producto extrayendodicho factor .

a · b + a · c = a · (b + c)

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

a · b − a · c = a · (b − c)

2 · 5 − 2 · 3 = 2 · (5 − 3)

10 − 6 = 2 · 2

4 = 4

Sacar factor común es el proceso inverso ala propiedad distributiva.

Ejemplos

1) 17 · 38 + 17 · 12 = 17 (38 + 12)

2) 6 · 59 + 4 · 59 = 59 (6 + 4)

3) 7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 = 5 (7 − 3 + 16 − 4)

4) 6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 = 4 (6 − 3 + 9 − 5)


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FACTORIZACION DE POLINOMIOS: es transformar el

polinomio dado en un producto.

La factorización no siempre es posible, los polinomios que se

pueden factorizar presentan características según las cuales

se agrupan en los siguientes casos:

Primer caso: Factor común en un polinomio

Definición: Si en todos los términos de un

polinomio figura uno o varios factores comunes,dicho polinomio es igual al producto de esos

factores por el polinomio que resulta al dividir

cada termino por ese factor.

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Ejemplos

Segundo caso: FACTOR COMÚN POR AGRUPACION DETERMINOS


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Se llama factor común por agrupación de términos, si lostérminos de un polinomio pueden reunirse en grupos detérminos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número detérminos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Siqueda la misma expresión en cada uno de los grupos entreparéntesis, se la saca este grupo como factor común,quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos

de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estosproblemas.

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común

(2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b )

Saco el factor común de cada grupo

a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

( 2x -y +5 )(a + b)

Ejemplos:

1) 17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz=2) mx + 2m – x – 2 + 3x + 6=


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Cuadrado de un binomio

Un binomio al cuadrado (suma) es igual esigual al cuadrado del primer término, más el dobleproducto del primero por el segundo más elcuadrado segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b 2

(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Un binomio al cuadrado (resta) es igual esigual al cuadrado del primer término, menos eldoble producto del primero por el segundo, más elcuadrado segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b 2

EJEMPLOS:

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto


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Un trinomio cuadrado perfecto es eldesarrollo de un un binomio al cuadrado.

a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2

a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2

RESOLVER:

1) x2 − 2x + 1 = 2) x2 − 6x + 9 = 3) x2 − 20x + 100 =4) x2 + 10x + 25 =

Cubo de un binomioEl cubo de un binomio es de la forma:

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)= (a+b)2*(a+b)==(a2+2ab+b2) (a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3

Realizando la multiplicación de forma algebraica podemoscomprobar que el resultado sea correcto:


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Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Desarrollar (a+2)3

Fórmula: cubo del primer término + el triple producto delcuadrado del primer término por el segundo + el triple

producto del primer término por el cuadrado del segundo + elcubo del segundo término.

Cubo del primer término =(a)3= a

3

Triple producto del cuadrado del primero por el segundo =(3)(a)2(2)= 6a2 Triple producto del primer término por el cuadrado delsegundo = (3)(a)(2)

2 =12a

Cubo del tercer término = (2)3= 8De esta forma: (a+2)

3= a3+6a2+12a+8

Ejemplo 2: Desarrollar (x2+3y)3

Fórmula: cubo del primer término + el triple producto delcuadrado del primer término por el segundo + el tripleproducto del primer término por el cuadrado del segundo + elcubo del segundo término.

Cubo del primer término = (x2)3= x6 Triple producto del cuadrado del primero por el segundo=(3)(x2)2(3y)=9x4y


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Triple producto del primer término por el cuadrado delsegundo = (3)(x2)(3y)2 =27x2y2 Cubo del tercer término = (3y)3= 27y3 De esta forma: (x2+3y)3= x6+9x4y+27x2y2+ 27y3

Cubo de la diferencia de dos cantidades

El cubo de la diferencia de dos cantidades es de la forma:

(a-b)3=(a-b)(a-b)(a-b)= (a-b)2*(a-b)=(a2-2ab+b2) (a-b)= a3-3a2b+3ab2+b3

Realizando la multiplicación de forma algebraica podemoscomprobar que el resultado sea correcto:

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Desarrollar (x-1)3 Fórmula: cubo del primer término - el triple producto delcuadrado del primer término por el segundo + el triple

producto del primer término por el cuadrado del segundo - elcubo del segundo término.

Cubo del primer término = (x)3= x3 Triple producto del cuadrado del primero por el segundo =

(3)(x)2

(-1)=-3x2

Triple producto del primer término por el cuadrado delsegundo = (3)(x)(-1)2 =3xCubo del tercer término = (-1)3= -1De esta forma: (x-1)3= x3-3x2+3x-1


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Ejemplo 2:Desarrollar (x-2)3 Fórmula: cubo del primer término - el triple producto delcuadrado del primer término por el segundo + el triple

producto del primer término por el cuadrado del segundo - elcubo del segundo término.

Cubo del primer término = (x)3= x3 Triple producto del cuadrado del primero por el segundo =(3)(x)

2(-2)=-6x

2

Triple producto del primer término por el cuadrado delsegundo = (3)(x)(-2)2 =12xCubo del tercer término = (-2)3= -8

De esta forma: (x-1)3= x3-6x2+12x-8

4º CASO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

8 a3 + 12 a2 b + 6 a b2 + b3 = ( 2 a + b )3

Luego verificamos dos condiciones:

y Entonces3*(2a)2*b=12*a2*b3*2a*b2=6ab2

5º CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS

36 a2 – 25 b2 = (6 a + 5 b ) . ( 6 a – 5 b )

6 a 5 b


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Es una resta entre dos términos cuadráticos.

Se calcula la raíz cuadrada de cada uno de ellos. En un

paréntesis habrá una suma y en otro una resta entre esos

términos.

PRUEBA:(6 a + 5 b ) . ( 6 a – 5 b ) = 36 a2 – 30 a b + 30 a b – 25 b2

LEY CANCELA

Sexto caso: Suma o diferencia de potencias a la n

La suma de dos números a la potencia n, an +bn sedescompone en dos factores (siempre que n sea un númeroimpar):

Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

La diferencia también es factorizable y en este caso noimporta si n es par o impar. Quedando de la siguientemanera:

Ejemplo:

Regla nemotécnica:


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P NUNCA

S

I SUMA

P SIEMPRE

R

I RESTA

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