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1 Factorizar un polinomio consiste en convertir un polinomio en un producto de expresiones algebraicas. Un polinomio tiene factor común sí y sólo sí todos los términos del polinomio tienen el mismo monomio como divisor y pueden ser: Factor común numérico: es el máximo común divisor de los coeficientes de los términos del polinomio. Factor común literal: es el formado por cada variable que es factor común, con el menor exponente. El máximo común divisor (MCD) es el número, más grande posible, que permite dividir a dos o más números. •Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.) Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 10: 1, 2, 5 y 10 Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores. Recordemos … . M á ximo com ú n divisor Caso 1 . Monomio como factor com ú n .
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Factorizar un polinomio consiste en convertir un polinomio en un producto de expresiones algebraicas. Un polinomio tiene factor común sí y sólo sí todos los términos del polinomio tienen el mismo monomio como divisor y pueden ser: Factor común numérico: es el máximo común divisor de los coeficientes de los términos del polinomio. Factor común literal: es el formado por cada variable que es factor común, con el menor exponente. El máximo común divisor (MCD) es el número, más grande posible, que permite dividir a dos o más números. •Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)
Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20 10: 1, 2, 5 y 10 Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores.
Recordemos…. Máximo común divisor
Caso 1. Monomio como factor común.
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•Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.). Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 12 y 18: Paso 1. Tienes que saber las reglas divisibilidad. Se descomponen los números en productos de factores primos, (ver nota). Por ejemplo para 12, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2 y 3. Paso 2. El producto de estos factores comunes de las dos cantidades, elevados al menor exponente es el máximo común divisor de los números dados.
Nota: un número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0, que únicamente se puede dividir por sí mismo y por 1 para dar una solución exacta (por tanto, para todos los otros números por los que intentemos dividir el número primo no dará solución exacta). Ejemplo: Divisores de 3= (1, 3) Divisores de 7=(1, 7) Divisores de 9=(1, 3, 9) no es primo, es divisible por 3 además de 1 y 9 El 1 se considera primo, aunque sólo tiene un divisor. El 2 también cumple las características de número primo; y es el único número primo que es par.
M.C.D .12 = (2) (2) (3) = (2²) (3) M.C.D. 18 = (2) (3) (3) = (3²) (2) M.C.D. (12, 18) = 2 x 3 = 6
12 18 2
6 9 2
3 9 3
1 3 3
1 1
divisores comunes
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Ejemplo de monomio como factor común: a) 24x³+12y² = 12 (2x³+y² ) Obtenemos el M.C.D.
M.C.D. (24) (12) = (2) (2) (3) = 12 El Factor común numérico de la expresión algebraica es 12. El segundo factor resulta de dividir la expresión original entre 12, así: De tal manera que:
b) a⁴+2a³-5a² = a² (a² +2a -5)
Obtenemos el factor común formado por la variable de menor exponente, en este caso es a². El primer factor es a² por lo que éste es nuestro primer factor, el segundo se calcula dividiendo la expresión original entre el Factor Común. De tal manera que:
FACTOR COMÚN NÚMÉRICO
FACTOR COMÚN (variable con menor
exponente)
FACTOR COMÚN LITERAL
divisores comunes
24 12 2
12 6 2
6 3 2
3 3 3
1 1
2323
212
1224yx
yx
Segundo factor.
2323 2121224 yxyx
5252 2
2
234
aaa
aaa
)52(52 22234 aaaaaa
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Factoriza en dos factores. Monomio como factor común: Procedimiento: Paso 1. Obtén el Factor común (primer factor), en este caso es a. Paso 2. Obtén el segundo factor, divide la expresión original entre el factor común: Paso 3. El resultado es un binomio formado por el factor común multiplicando al segundo factor:
Ejercicio de afirmación 26.
aba2
baa
aba2
aba2
Segundo factor
Ejercicio de afirmación 27.
bcab
Ejercicio de afirmación 28
22 62 axxa
mnm 128 2
Ejercicio de afirmación 29.
mabbxabaabba 22232 48563
Ejercicio de afirmación 3O.
)( baa
Factor común
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Es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos del polinomio. Ejemplo 1: 3m (a+b) + p (a+b) Analicemos: Ambos términos contienen el factor común (a+b), por lo que éste es el primer factor, el segundo factor se calcula dividiendo cada parte de la expresión entre el factor común
3m(a+b) + p (a+b) (a+b)
y el conjunto resultado de la división viene a ser el segundo factor : (3m+p) (segundo factor)
El resultado es :
3m(a+b) + p (a+b) = (a+b) (3m+p) Ejemplo 2: 2) a(c-d) -3 (c-d) + b (c-d) = (a-3+b) (c-d) Analicemos: Todos los términos contienen el factor común (c-d) , por lo que éste es el primer factor, el segundo factor se calcula dividiendo cada parte de la expresión entre el factor común
a(c-d) -3 (c-d) + b (c-d) (c-d)
y el conjunto resultado de la división viene a ser el segundo factor: (a -3 + b) (segundo factor)
El resultado es : (a-3+b) (c-d)
FACTOR COMÚN
FACTOR COMÚN (primer factor)
expresión original
FACTOR COMÚN
FACTOR COMÚN (primer factor)
expresión original
Caso 1l. Polinomio como factor común.
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Factoriza en dos factores. Polinomio como factor común: Procedimiento: Paso 1. Obtén el Factor común (primer factor), en este caso el polinomio común es: (x+1) Paso 2. Obtén el segundo factor, divide la expresión original entre el factor común: Paso 3. El resultado es un binomio formado por el factor común multiplicando al segundo factor:
Ejercicio de afirmación 31.
)1()1( xbxa
)1()1( xbxa
Segundo factor
Ejercicio de afirmación 32.
)1(3)1( aax
Ejercicio de afirmación 33
)1()1(2 xyx
nbabam )()(
Ejercicio de afirmación 34.
)1(3)1(2 nynx
Ejercicio de afirmación 35.
)1(x
Factor común
bax
xbxa
1
)1()1(
)( ba
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Si una suma contiene cuatro términos o más, es posible agruparlos de manera adecuada. En este caso no hay un factor común a todos los términos, lo que sí hay son factores comunes a ciertos términos que nos permiten formar grupos, es decir, se trata de agrupar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor común monomio y como consecuencia un factor común polinomio. Posteriormente se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor. Ejemplo 1: Factorar ax + bx + aw + bw Paso 1. Primero se agrupan los términos que tengan un factor común :
(ax + bx) + (aw + bw)
Paso 2. Se saca el factor común: x (a + b) + w (a + b)
Paso 3. Agrupamos los factores comunes x y w en un paréntesis como primer factor y el segundo factor (a + b) en otro paréntesis, de tal manera:
ax + bx + aw + bw = ( x+ w ) (a + b)
Ejemplo 2: Factorar 3x + 3y + ax+ ay Paso 1. Primero se agrupan los términos que tengan un factor común :
(3x + 3y ) + ( ax+ ay) Paso 2. Se saca el factor común:
3 (x + y) + a (x + y) Paso 3. Agrupamos los factores comunes 3 y a en un paréntesis como primer factor y el segundo factor (y+ y) en otro paréntesis, de tal manera:
3x + 3y + ax+ ay = (3 + a) ( x+ y )
Caso l1l. Factor común por agrupación de términos.
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Factoriza en dos factores. Factor común por agrupamiento de términos: Procedimiento: Paso 1. Obtén el Factor común (primer factor), asociando por parejas entre paréntesis, los términos comunes de la expresión: Paso 2. Saca el factor común de cada expresión. El factor común de: (a²+ab) es a El factor común de: (ax+bx) es x De tal manera que: Paso 3. Agrupa los factores comunes en una expresión (entre paréntesis) que multiplique al segundo factor (a+b), así:
Ejercicio de afirmación 36.
bxaxaba2
))(( baxa
Ejercicio de afirmación 37.
44 3223 mxnxnm
)()( 2 bxaxaba
)()( baxbaa
bxaxaba2
Factorar en dos factores. Factor común por agrupamiento de términos:
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Ejercicio de afirmación 38
bnanbmam
byaybxax 422
Ejercicio de afirmación 39.
222222 33 byyabxxa
Ejercicio de afirmación 4O.
Factoriza en dos factores. Factor común por agrupamiento de términos:
Factoriza en dos factores. Factor común por agrupamiento de términos:
Factoriza en dos factores. Factor común por agrupamiento de términos:
