1 Ejercicios resueltos de programacin linealUna compaa fabrica y venden dos modelos de lmpara L1 y L2. Para su fabricacin se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de mquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la mquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la produccin para obtener el mximo beneficio. 1Eleccin de las incgnitas. x = n de lmparas L1 y = n de lmparas L2 2Funcin objetivo f(x, y) = 15x + 10y 3Restricciones Pasamos los tiempos a horas 20 min = 1/3 h 30 min = 1/2 h 10 min = 1/6 h Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: L1 L2 Tiempo Manual 1/3 1/2 100

Mquina 1/3 1/6 80 1/3x + 1/2y 100 1/3x + 1/6y 80 Como el nmero de lmparas son nmeros naturales, tendremos dos restricciones ms: x0 y0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar grficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes. Resolvemos grficamente la inecuacin: 1/3 x + 1/2 y 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 1/30 + 1/20 100 1/30 + 1/60 80 La zona de interseccin de las soluciones de las inecuaciones sera la solucin al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles. La solucin ptima si es nica se encuentra en un vrtice del recinto. stos son las soluciones a los sistemas: 1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200) 1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

6 Calcular el valor de la funcin objetivo En la funcin objetivo sustituimos cada uno de los vrtices. f(x, y) = 15x + 10y f(0, 200) = 150 + 10200 = 2 000 f(240, 0 ) = 15240 + 100 = 3 600 f(210, 60) = 15210 + 1060 = 3 750 Mximo La solucin ptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750

2 Ejercicios resueltos de programacin linealCon el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolgrafos para la oferta, empaquetndolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondr 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolgrafos; en el segundo, pondrn 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolgrafo. Los precios de cada paquete sern 6.5 y 7 , respectivamente. Cuntos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el mximo beneficio? 1Eleccin de las incgnitas. x = P1 y = P2 2Funcin objetivo f(x, y) = 6.5x + 7y 3Restricciones P1 P2 Disponibles Cuadernos 2 Carpetas 1 3 1 1 600 500 400

Bolgrafos 2 2x + 3y 600 x + y 500 2x + y 400 x0 y0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(x,y)= 6.5 200 + 7 0 = 1300 f(x,y)= 6.5 0 + 7 200 = 1 400 f(x,y)= 6.5 150 + 7 100 = 1 675 Mximo La solucin ptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675

3 Ejercicios resueltos de programacin linealEn una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composicin mnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado slo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composicin de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composicin de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 . Qu cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo? 1Eleccin de las incgnitas. x=X y=Y 2Funcin objetivo f(x,y) = 10x + 30y 3Restricciones

X A B 1 5

Y 5 1

Mnimo 15 15

x + 5y 15 5x + y 15 x0 y0

4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(0, 15) = 10 0 + 30 15 = 450

f(15, 0) = 10 15 + 30 0 = 150 f(5/2, 5/2) = 10 5/2 + 30 5/2 = 100 Mnimo El coste mnimo son 100 para X = 5/2 e Y = 5/2.

4 Ejercicios resueltos de programacin linealSe dispone de 600 g de un determinado frmaco para elaborar pastillas grandes y pequeas. Las grandes pesan 40 g y las pequeas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequea de 1 . Cuntas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea mximo? 1Eleccin de las incgnitas. x = Pastillas grandes y = Pastillas pequeas 2Funcin objetivo f(x, y) = 2x + y 3Restricciones 40x + 30y 600 x3 y 2x x0 y0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(x, y)= 2 3 + 16 = 22 f(x, y)= 2 3 + 6 = 12

f(x, y)= 2 6 + 12 = 24 Mximo El mximo beneficio es de 24 , y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeas .

5 Ejercicios resueltos de programacin linealUnos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantaln, que se venden a 30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende a 50 . No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuntos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 1Eleccin de las incgnitas. x = n de lotes de A y = n de lotes de B 2Funcin objetivo f(x, y) = 30x + 50y 3Restricciones

A Camisas Pantalones 1 1

B 3 1

Mnimo 200 100

x + 3y 200 x + y 100 x 20 y 10 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivo f(x, y) = 30 20 + 50 10 = 1100 f(x, y) = 30 90 + 50 10 = 3200 f(x, y) = 30 20 + 50 60 = 3600 f(x, y) = 30 50 + 50 50 = 4000 Mximo Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia mxima de 4000.