(1) Desigualdades e Inecuaciones.pdf

TECSUP - PFR Matemática I

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ÍNDICE

Unidad I: DESIGUALDADES E INECUACIONES

1. Desigualdades ...............................................................................................11.1 Clases de Desigualdades......................................................................11.2 Propiedades .......................................................................................21.3 Intervalos...........................................................................................3

1.3.1. Tipos de intervalos .................................................................32. Inecuación ....................................................................................................7

2.1 Inecuación de primer grado .................................................................72.2 Inecuaciones polinómicas de grado superior al primero ........................ 10

Unidad II: SISTEMA DE COORDENADAS

1. Plano cartesiano .......................................................................................... 172. Ubicación de un punto en el plano cartesiano................................................. 173. Distancia entre dos puntos ........................................................................... 184. División de un segmento en una razón dada .................................................. 20

4.1 Punto de división .............................................................................. 204.2 Aplicación......................................................................................... 21

Unidad III: LA LÍNEA RECTA

1. Introducción................................................................................................ 292. La pendiente de una recta ............................................................................ 293. Ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto de ella...................... 314. Ecuación pendiente - ordenada al origen........................................................ 325. Ecuación de la recta conociendo dos puntos de ella ........................................ 346. Ecuación general de la recta ......................................................................... 347. Rectas verticales.......................................................................................... 358. Ángulo entre dos rectas................................................................................ 35

Unidad IV: LA CIRCUNFERENCIA

1. Introducción................................................................................................ 412. Circunferencia con centro en el origen ........................................................... 413. Circunferencia con centro en el punto p ( h, k ).............................................. 42

Unidad V: LA PARÁBOLA

1. Introducción................................................................................................ 452. Parábolas con vértice en el origen ................................................................. 453. Ecuación estándar de la parábola .................................................................. 49

Matemática I TECSUP - PFR

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Unidad VI: LA ELIPSE

1. Introducción................................................................................................ 612. Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal en uno de los

ejes coordenados......................................................................................... 613. Ecuación de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados ....................... 62

Unidad VII: FUNCIONES

1. Introducción................................................................................................ 672. La gráfica funcional...................................................................................... 673. Funciones notables ...................................................................................... 68

3.1 Función constante............................................................................. 683.2 Función identidad ............................................................................. 693.3 Función lineal ................................................................................... 693.4 Función cuadrática ............................................................................ 693.5 Función cúbica.................................................................................. 703.6 Función valor absoluto ...................................................................... 713.7 Función raíz cuadrada ....................................................................... 713.8 Función periódica.............................................................................. 71

4. Operaciones con funciones ........................................................................... 725. Trazado de gráficas...................................................................................... 72

Unidad VIII:FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. Función....................................................................................................... 852. Función creciente y función decreciente......................................................... 853. Función continua y función discontinua - asíntotas.......................................... 85

3.1 Función seno .................................................................................... 863.2 Función coseno................................................................................. 873.3 Función tangente .............................................................................. 873.4 Función cotangente........................................................................... 88

4. Gráficas trigonométricas generalizadas .......................................................... 89

Unidad IX: LÍMITES DE FUNCIONES

1. Introducción histórica................................................................................... 952. Límite de una función en un punto ................................................................ 953. Límites indeterminados............................................................................... 1034. Continuidad de una función ........................................................................ 1065. Límites trigonométricos .............................................................................. 111

5.1 Límites trigonométricos básicos........................................................ 1115.2 Identidades trigonométricas básicas ................................................. 1125.3 Algunas reglas algebraicas útiles ...................................................... 1125.4 Dominio de las funciones trigonométricas ......................................... 113


3

Unidad X: LA DERIVADA

1. Introducción histórica................................................................................. 1192. El problema de la tangente ......................................................................... 1193. Definición de derivada................................................................................ 124

3.1 Significado geométrico .................................................................... 1253.2 Ecuación de la recta tangente .......................................................... 125

Unidad XI: DERIVADA LATERALES

1. Definición.................................................................................................. 129

Unidad XII: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1. Introducción.............................................................................................. 1412. Reglas de derivación .................................................................................. 143

2.1 Derivada de una suma de funciones ................................................. 1432.2 Derivada del producto de una constante por una función ................... 1442.3 Derivada de un producto de funciones .............................................. 1442.4 Derivada de un cociente de funciones............................................... 146

3. Funciones usuales...................................................................................... 1533.1 Función logaritmo neperiano............................................................ 1533.2 Función exponencial........................................................................ 1543.3 Función seno inversa....................................................................... 1553.4 Función coseno inversa ................................................................... 1553.5 Función tangente inversa................................................................. 156

Unidad XIII:DERIVADA DE FUNCIONES

1. Derivadas de funciones trigonométricas ....................................................... 1592. Derivada de la función logaritmo ................................................................. 1613. Derivada de la función exponencial.............................................................. 1624. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas ..................................... 1625. Cuadro resumen de derivadas..................................................................... 164

Unidad XIV: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

1. Introducción.............................................................................................. 1692. La regla de la cadena ................................................................................. 169

Unidad XV: DERIVADA IMPLÍCITA

1. Clasificación de las funciones ...................................................................... 1812. Notación de las funciones ........................................................................... 1823. Derivación implícita .................................................................................... 182


4

Unidad XVI: LA INTEGRAL INDEFINIDA

1. Introducción.............................................................................................. 1912. Función primitiva de una función................................................................. 1913. Propiedades de las primitivas de una función ............................................... 192

3.1 Primera propiedad .......................................................................... 1923.2 Segunda propiedad ......................................................................... 1933.3 Tercera propiedad........................................................................... 193

4. Integral Indefinida de una función............................................................... 1935. Integrales inmediatas................................................................................. 195

Unidad XVII: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN (I)

1. Integración por descomposición .................................................................. 2011.1 Primera propiedad de las integrales .................................................. 2011.2 Segunda propiedad de las integrales ................................................ 202

2. Integración por cambio de variable (o sustitución)........................................ 2063. Integración por partes................................................................................ 211

Unidad XVIII: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN (II)

1. Integración por descomposición en fracciones parciales ................................ 2231.1 Primera Regla................................................................................. 2241.2 Segunda Regla ............................................................................... 2251.3 Tercera Regla ................................................................................. 227

2. Integración por sustitución trigonométrica ................................................... 233

Unidad XIX: LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Introducción.............................................................................................. 2432. La Integral Definida ................................................................................... 246

2.1 Propiedades de la integral definida ................................................... 2473. Teoremas fundamentales del cálculo integral ............................................... 248

3.1 Primer teorema fundamental ........................................................... 2483.2 Segundo teorema fundamental ........................................................ 248

4. Cambio de variable en una integral definida ................................................. 2505. Integración por partes en una integral definida ............................................ 251

Tecsup – PFR Matemática I

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Unidad I

DDEESSIIGGUUAALLDDAADDEESS EE IINNEECCUUAACCIIOONNEESS

1. DESIGUALDADES

El conjunto de los números reales se dice que es un conjunto ordenado porqueen él se definen relaciones de orden, se dice que:

a > b: siempre que a – b sea positivo y se lee “a es mayor que b”. a < b: siempre que a – b sea negativo y se lee “a es menor que b”.

Otros símbolos usados son:

a b : se lee “a es mayor o igual que b”.

a b : se lee “a es menor o igual que b”.

1.1 CLASES DE DESIGUALDADES

Desigualdades absolutas

Son aquellas que se verifican para cualquier número real que se asigne asus variables.

Ejemplo.-2 5 0x

Es una desigualdad que se verifica para todo valor real, es por eso quepuede indicarse que el conjunto solución es C.S. =

También se dice que una desigualdad es absoluta si esta esindiscutiblemente cierta.

Ejemplo.- 18 6

Es una desigualdad absoluta y por lo tanto se verifica para todo valor real,es decir el conjunto solución es C.S. =

Las desigualdades que no se verifican para algún valor real se les llamanAbsurdas o Falsas, en este caso el conjunto solución es vacío.

Ejemplo.-27 6x

Es una desigualdad absurda ya que no se verifica para algún valor real, esdecir el conjunto solución es C.S. =

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Desigualdades relativas o inecuaciones

Son aquellas que se verifican solo para determinados valores que seasignen a sus incógnitas.

Ejemplo.- 4 8x

La cual solo se verifica para valores de: x > 4

1.2 PROPIEDADES

Ejemplo:5 3

Luego:5 10 3 10

15 13

Ejemplo:

Al sumar las siguientes desigualdades:

4 6

2 3

. . 4 ( 2) 6 3 2 9M a M

Si se multiplican o dividen ambos miembros de una desigualdad por un número positivoresulta una nueva desigualdad del mismo sentido.Esto es:

a > b c > 0 ac > bc

3

Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene unadesigualdad del mismo sentido que las primeras.Esto es:

a > b c > d a + c > b + d

2

Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o se les resta la misma expresión,se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido.Esto es:

a > b a c > b c

1


3

Ejemplo:

En la siguiente desigualdad: 1 3 24

xx

multiplicamos por 4 4 12 8x x

Ejemplo:

En la siguiente desigualdad: 2 5 43

xx

multiplicamos por 3 6 15 12x x

NOTA: Por lo anterior, si se cambia de signo a los 2 miembros de unadesigualdad, la desigualdad se invierte. Así: a b a b

1.3 INTERVALOS

Se les llama así a ciertos subconjuntos de los números reales .

Por ejemplo: si a < b, el conjunto de todos los número reales entre a y bes un intervalo abierto y se denota por ,a b .

1.3.1. TIPOS DE INTERVALOS

Intervalo abierto.- ,a b = x a x b :

Los números a y b se llaman extremos del intervalo, la gráficade un intervalo abierto consta de todos los puntos entre los dosque corresponden a a y b, los signos < , > indican que losextremos del intervalo no están incluidos.

Si se multiplican o dividen ambos miembros de una desigualdad por un número negativoresulta una nueva desigualdad de sentido contrario.Esto es:

a > b c < 0 ac < bc

4

ba


4

Intervalo cerrado.- , :a b x a x b

Intervalos semiabiertos.- , :a b x a x b

, :a b x a x b

Intervalos infinitos.- , :a x x a

, :a x x a

, :b x x b

b x x b , :

EJERCICIOS DE CLASE N°1

En cada una de las siguientes proposiciones, complete con el símbolo dedesigualdad adecuado, de modo que la proposición sea correcta.

1.- Si: 3x 2x 3 2

2.- Si: 3 5x 3 2x 5 2

3.- Si: m 6 m(5) (5)6

ba

ba

ba

a

a

b

b


5

4.- Si: n 2 2 n 2( ) 2

5.- Si: x y x y

6.- Si: 6 1a 12a 2

7.- Si: x a 5x a5

8.- Si: 4 12n n 3

9.- Si: 2 3a b b a 2 3

EJERCICIOS DE CLASE N°2

Expresar en forma de intervalo y gráficamente:

En forma de intervalo Gráficamente

1.- x 6 13

2.- x 2 3


6

3.- x 1 10

4.- x 12

5.- x 13

6.- x 2 3

7.- x 13 1

8.- x6

9.- x 4 7

10.- 0 10x

Anotaciones:


7

2. INECUACIÓN

Se llama inecuación a cualquier desigualdad en la que aparece una variable.

Ejemplo: 22 3 6x x x es una inecuación.

Llamamos solución de una inecuación a todo número real que, sustituido en lavariable satisface la desigualdad.

En las inecuaciones se pueden aplicar todas las propiedades de las desigualdadespues, como ya sabes, las incógnitas representan números.

En particular:

Se pueden transponer términos de un miembro a otro, cambiando el signo delos términos.

Se pueden multiplicar o dividir los dos miembros por un número real positivo.Si se multiplican o se dividen por un número real negativo, la desigualdadcambia de sentido.

2.1 INECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Si después de realizar las operaciones necesarias para quitar paréntesis ydenominadores, para reducir términos semejantes, etc., toma una de lassiguientes formas.

0 , 0 , 0 , 0ax b ax b ax b ax b

donde:incognita

; coeficientes

x

a b

Ejemplo: Resolver la siguiente inecuación,

2( 1) 1 4x x

Resolución suprimimos paréntesis, x x 2 2 1 4transponemos términos, 2 4 2 1x x y reducimos: x 3

La solución, por tanto, la forma todos los números reales menores que 3;

es decir se trata del intervalo abierto ;3 y su representación gráfica

en la recta real es:

3


8

Ejemplo: Halle el conjunto solución de la inecuación:

x x 3 7 11 3

Resolución transponemos términos, x x 3 3 11 7

reducimos, x 6 18

dividimos entre 6, x 3

que es lo mismo decir, 3x

Luego el C.S. = ;3

Gráficamente:

Ejemplo: Cual es el menor número natural que satisface lasiguiente inecuación 5(2 3) 7 3x x

Resolución suprimimos paréntesis, x x 10 15 7 3

transponemos términos, x x 10 7 15 3y reducimos: x 3 12

x 4

Como el menor número natural mayor que 4 es el 5, tenemos que x = 5

Ejemplo: Manuel compra 2 veces el número de cuadernos de S/.5que el de S/.8. Si no tiene más de S/.360 para gastar en cuadernos. ¿Cuálserá el número máximo de cuadernos de S/.5 que puede comprar?

Resolución Sea x el número de cuadernos de S/.8Sea 2x el número de cuadernos de S/.5

(Lo que paga por los cuadernos de S/.5) + (Lo que paga por loscuadernos de S/.8) ≤ Lo que tiene para gastar.

5(2x) + 8(x) ≤ 360

10x + 8x ≤ 360

18x ≤ 360

x ≤ 20

Luego el máximo número de cuadernos que puede comprar es:

2x = 2 ( 20 ) = 40

Nota. una desigualdad del tipo a b c , equivale a decir que:

a b b c

3


9

Ejemplo: Resolver la siguiente expresión, x x 12 2 1

Resolución Es equivalente a resolver

x x x 12 2 1 2 1

x x 13 2 1

(A) (B)

Luego el C.S. = C.S.(A) C.S.(B)

C.S. =

13; 1

2

BLOQUE I

Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado:

1.- x 3 9 0 2.- x 4 20 0

3.- x x 5 3 2 6 4.- x x 10 3 4 4

5.- x 2(5 7 ) 52 6.- x x 3(2 1) 1 13 5

7.- x x 2 9 3 5 8.- x x x x 2( 1) 3 1

9.- x x x x ( 2)( 3) ( 1)( 5) 10.- x x x 9 5 1 9 3

11.-x x

x

1

22 7

12.-x x x

5 2 8 14

23 4 2

13.- x 0 1 3 14.- x 7 5 3 12

15.-x x x

2 3 1 2 19 22

3 6 1816.-

x x

2 5 1 26

3 2 3

17.- x x x x x x x 2 25 ( 3) 6 8 ( 1)( 1) 18.- x 4 2 9 5

19.- x 2

0 4 13

20.-x x

2 3 1

34 2

21.-x

x x

5 4

5 3 3 122

22.-x x x

3 5 5 2 12

6 2 3

-1 132

(A)(B)


10

23.- x x x x x 2 25 (3 2 ) 5 10 3 2(5 ) 24.- x x x 4 1 2 2 6

25.-x

x 5

8 2 62

26.-x

x 3

3 2 1 32

27.-x x

x

1 1

32 4

28.-x x x 5

3 2 6

29.- Si x 2 1 5;4 , ¿A qué intervalo pertenece x3 5 ?

30.- Si x 8 10 6 , calcular a y b en:x

a b

3 4

2

31.- ¿Cuántos números enteros mayores que 1, cumplen con la condición de que latercera parte del número más 15 sea mayor que su mitad más 1?

2.2 INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR ALPRIMERO

Cualquier inecuación polinómica puede ser reducida a una de la forma:

1 1

10( ) ... 0n n

n np x a x a x a x a

donde el símbolo representa cualquier tipo de desigualdad (<,>, ó ).

Los pasos que hay que dar para encontrar la solución son los siguientes:

1. Se calculan las raíces reales del polinomio p x( ) . [Soluciones reales

de p x ( ) 0 ].

2. Se marcan sobre la recta real de forma ordenada las raícesencontradas:

3. Se calcula el signo del polinomio p x( ) en cada uno de los intervalos

en que las raíces dividen a la recta real. Para calcular dicho signobasta dar a x un valor del interior de cada intervalo. Obtendríamosasí un esquema de signos similar al siguiente:

x1 x2 x3

x1 x2 x3

+_ + _


11

4. Si la desigualdad es del tipo: p x( ) >0, la solución será los intervalos con signos + sin incluir las

raíces de p x( ) .

p x( ) <0, la solución será los intervalos con signo – sin incluir las

raíces de p x( ) .

p x( ) 0, la solución será los intervalos con signo + incluidas las

raíces de p x( ) .

p x( ) 0, la solución será los intervalos con signo – incluidas las

raíces de p x( ) .

NOTA.- A las raíces calculadas de la ecuación p x ( ) 0 se les conoce

como puntos críticos.

Ejemplo: Resolver la inecuación de segundo grado: 2 4 5 0x x

Resolución Calculemos las raíces del polinomio 2x 4x 5

resolviendo la ecuación:2 4 5 0x x ( 5)( 1) 0x x

las raíces son, por tanto, x y x 1 21 5

los marcamos ordenadamente sobre la recta real:

Estudiamos el signo de 2 4 5x x en cada uno de los tres intervalos

resultantes. Para ello damos valores arbitrarios a x en cada uno dedichos intervalos.

Por ejemplo: p ( 2) 7 ( ) , p (0) 5 ( ) , p (6) 7 ( )

Resumimos:

Como la desigualdad es del tipo ( )p x >0, la solución es de la forma:

Así el C.S.=, 1 5,

Ejemplo: Resolver la inecuación:4 3 26 0x x x

5-1

5-1

+ +_

+

5

+

-1


12

Resolución Tenemos: x x x 2 2( 6) 0

x x x 2( 3)( 2) 0

las raíces son:x x x 1 2 32 , 0 , 3

luego de ubicarlos ordenadamente y estudiar los signos, tenemos:

Luego: C.S.= , 2 0 3,

IMPORTANTE:

Una expresión cuadrática 2ax bx c que tiene discriminante negativo

( 0 ) es siempre:

I. Positiva, si a 0 .

II. Negativa, si a 0 .

Ejemplo: La expresión cuadrática 22 1x x , con discriminante,2( 1) 4(2)(1) 7 0

Por lo tanto: 22 1x x es siempre positiva, ya que a 2 0

Es decir: 22 1 0x x es una desigualdad absoluta. C.S. =

Ejemplo: Resolver la siguiente inecuación: 2 2 3 0x x .

Resolución Se observa que:2 24 ( 2) 4(1)(3) 8 0b ac

y como a 1 0 , entonces: 2 2 3 0x x x

Es decir: 2 2 3 0x x es una desigualdad absurda o falsa.

Por lo tanto: C.S.=

0-2+_

3

_+


13

BLOQUE II

Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:

1.- 2 4 3 0x x

2.- 2 6 40 0x x

3.- 2 8 12 0x x

4.- 2 10 9 0x x

5.- 2 4 5 0x x

6.- 2 20 21 0x x

7.- 2 3 4 0x x

8.- 2 20 0x x

9.- 2 2 15 0x x

10.- 2 4 3 0x x

11.- 2 6 7 0x x

12.- 2 8 16 0x x

13.- 2 6 40 0x x

14.- 2 6 40 0x x

15.- 2 14 24 0x x

16.- 2 30 29 0x x

17.- 2 2( 2) ( 1) 9x x

18.- 2 2( 3) ( 1) 16x x

19.- 2( 1) 5( 3) 30x x

20.- 2( 5) 2( 9) 11x x

21.- 2 2(2 1) 3 5x x x

22.- 2 2 2(3 ) (2 ) 37x x x

23.- 2 2 2(5 1) (3 1) 33 31x x x

24.- 2 2 2( 1) ( 2) ( 3)x x x

25.- 28 15x x

26.- 227 12x x


14

27.- Siendo 2 7 12 0x x , la suma de los valores enteros que no cumplen con la

inecuación anterior es:

28.- El propietario de una tienda paga a sus vendedores S/.10 por artículo vendidomás una cantidad fija de S/.50000. Otra tienda de la competencia paga S/.15 porartículo y S/.30000 fijos. ¿Cuántos artículos debe vender el vendedor de lacompetencia para ganar más dinero que el primero?

29.- Un padre es 22 años mayor que su hijo. Determine en qué período de sus vidas laedad del padre supera en más de 6 años al doble de la edad del hijo.

30.- ¿Cuáles son los números cuyo triple supera a su doble en más de 20?

31.- La relación entre las escalas de temperaturas Fahrenheit y Celsius está dada por5

( 32)9

C F . Exprese los valores de C correspondientes a 60 80F por

medio de una desigualdad.

Resolver las siguientes inecuaciones:

32.- 2 6 8 0x x 33.- 212 3 0x x

34.- 22 16 24 0x x 35.- 22 10 12 0x x

36.- ( 3) 2 4 4x x x x 37.- 2 2 2( 1) ( 2) 3 7 1x x x x

38.- 2 2( ) ( 1)( 2) 4x x x x x 39.- 2(2 3) 1x

40.- 2 2( 1) 7 ( 2)x x 41.- ( 4)( 5) ( 3)( 2)x x x x

42.- 27( 1) (2 4)(3 2) 3( 5)x x x x 43.- 6( 4) ( 2)( 3) 0x x x

44.- 4( 4) ( 6) 0x x 45.- 2( 3) ( 1) 0x x

46.- 2 2( 4)( 3) 0x x 47.- 2 11 28 0x x

48.- 2 6 9 0x x 49.- 2 2 2 0x x

50.- 3 42 5 0x x 51.- 2 4( 3)( 1) ( 2) 0x x x x


15

Anotaciones:


16

ANOTACIONES

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

.............................................................................................................................

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