1 Departamento Ciencia de la Computación e Inteligencia Artificial. Curso 2003-04 CAPITULO 1 1....

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Departamento Ciencia de la Computación e Inteligencia Artificial. Curso 2003-04

CAPITULO 1

1. Problemas de Satisfacción de Restricciones (CSP).

Definición del problema de satisfacción de restricciones (CSP). Áreas de aplicación.

Especificación de un problema CSP: variables, dominios y restricciones.

Tipología de restricciones (discretas y continuas, aridad de las restricciones, fuertes y débiles, restricciones lineales, disyuntivas, etc.).

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““Constraint Satisfaction is a Constraint Satisfaction is a simple but powerful idea”simple but powerful idea”

Rina Dechter,

In 'Constraint Processing' Morgan Kaufmann Pub. (2003)

CSP

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s e n d+ m o r em o n e y

• Variables: s,e,n,d,m,o,r,y• Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y{0,…,9}• Restricciones

103(s+m)+102(e+o)+10(n+r)+d+e=104m+103o+102n+y

Coloreado de Mapas• Variables: x,y,z,w• Dominios: x,y,z,w :{r,v,a}• Restricciones: binarias

x y, yz, z x, ...

x y

zw

Objetivos

• Consistencia

• Soluciones

El Problema de las 8 Reinas…

EJEMPLOS 1

4


Juan, Pepe y Paco nacieron y viven en ciudades diferentes (Málaga, Madrid y Valencia). Además, ninguno vive en la ciudad donde nació.

Juan es más alto que el que vive en Madrid. Paco es cuñado del que vive en Valencia. El que vive en Madrid y el que nació en Málaga tienen nombres que comienzan por distinta letra. El que nació en Málaga y el que vive ahora en Valencia tienen nombres que comienzan por la misma letra.

Donde nació y vive cada uno?Donde nació y vive cada uno?

EJEMPLOS 2

5


Existen 3 periódicos (P1, P2, P3) y 4 lectores (L1, L2, L3, L4), que desean leer los periódicos en el mismo orden.

Ready-Time

P1 P2 P3 Due-Time

L1 0 5' 10' 2' 30'L2 0 2' 6' 5' 20'L3 0 10' 15' 15' 60'L4 0 3' 5' 5' 15'

Problemas de Horarios, Asignación de Recursos, Scheduling, etc...

Problemas de Horarios, Asignación de Recursos, Scheduling, etc...

Obtener la asignación óptima (scheduling) de lectura.

EJEMPLOS 3

6


"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30 minutos) o en metro (40-50 minutos).

Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos después de que Luis saliera de casa“

Cuestiones:– ¿Esta información es consistente?– ¿Es posible que Juan haya usado el tren y Luis haya usado el

Metro?– ¿Cuales son los posibles tiempos en los que Luis pudo haber

salido de casa?, etc.

EJEMPLOS 4

7


i

j

TparTimpar

i

j

Tpar Timpar

i

j

TparTimpar

i

j

Tpar Timpar

Tiempo de ExpediciónTiempo de Expedición

Tiempo de Recepción(cruce)

Tiempo de Expedición(cruce)

Sucesión no Automática

i

Sucesión Automática

i + 1

Tiempo de Recepción(alcance)

Tiempo de Expedición(alcance)

EJEMPLOS 5

8


h (altura de la viga)

Vibraciones

No Vibraciones

Conductos atravesando lasvigas

Conductos por debajo de las vigas

Conexiones de ángulo doble

Conexiones de lámina simple

W (longitud de la viga)

0

1

2

3

4

• Variables: altura de viga, longitud de viga, canto de forjado

• Dominios continuos: altura, longitud : [0, 10]

• Restricciones: vibraciones, refuerzos, conexiones, etc.

Refuerzos

Suelo fexible para evitarvibraciones

-a-

Conductosatravesando las vigas

-b-

Conductos pordebajo de las vigas

-c-

Conexiones deángulo doble

-d-

Conexiones delámina simple

-e-

viga

Canto delforjado

Objetivos

• Consistencia

• Intervalos de tolerancia

• Soluciones

• etc

EJEMPLOS 6

9


Problemas de Satisfacción de Restricciones

CSP

Metodología de Resolución de problemas

INTELIGENCIA ARTIFICIAL

CSP

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Un Problema de Satisfacción de Restricciones (CSP)

se puede representar como:

• Un Conjunto de Variables: X={x1, x2, ..., xn}

• Dominios de Interpretación (D = <D1,…,Dn> ) para las

variables: xiDi

• Un Conjunto de Restricciones entre las variables:

C ={c1, c2, ..., cm}

Definición de CSP

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MODELACIÓNCSP

VariablesDominios

Restricciones

(EXPRESIVIDAD)(EXPRESIVIDAD)

1)

RESOLUCIÓNCSP

Técnicas ResoluciónCSP

(EFICICIENCIA)(EFICICIENCIA)2)

Modelización CSP

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s e n d+ m o r em o n e y

• Variables: s,e,n,d,m,o,r,y

• Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y:{0,…,9}

• Restricciones

• Variables: s, e, n, d, m, o, r, y• Dominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9}• Restricciones:

• Todas Diferentes, • 103(s+m) + 102(e+o) + 10(n+r) + d + e= 104m + 103o + 102n + 10e+y

Especificación CSP

Modelización 1

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• Variables: s, e, n, d, m, o, r, y• Dominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9}• Restricciones:

• se, sn, sd, sm, so, sr, sy, en, ed, em,….. • d+e = y+10c1

• c1+n+r = e+10c2

• c2+e+o = n+10c3

• c3+s+m = 10m+o

Modelización 2

s e n d+ m o r e m o n e y

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Resolución

s e n d+ m o r e m o n e y

MODELACIÓNCSP

RESOLUCIÓNCSP

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Objetivos

ConsistenciaConsistencia del problema (existe solución).

Obtener una o todas las solucionessoluciones del problema.

Obtener los dominios mínimos.

La solución que optimizaoptimiza una función objetivo o multi-objetivo.

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Objetivo de un CSP:

• Tiene solución? Consistencia.

• Obtener una solución. Obtener todas las soluciones.

• Obtener una solución óptima, o al menos una buena solución, medida por alguna función objetivo.

Algoritmos para CSP:

• Técnicas de Búsqueda (Algoritmos CSP): Obtienen una solución, guiados por heurísticas.

• Técnicas Inferenciales (Algoritmos de propagación): Obtienen las consecuencias de las restricciones explícitamente conocidas del problema.

Objetivos

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Dado un CSP (X, Di, C),

• Una instanciación (o asignación) de las variables X es una asignación de valores a las variables en sus dominios:

x1=v1, x2=v2, ..., xn=vn / viD

• Una solución del CSP es una instanciación consistente de las variables, de forma que se satisfacen todas las restricciones del problema.

• Un valor v es un valor consistente (o posible) para xi si existe una solución del CSP en la cual participa la asignación x i=v.

• Un CSP es consistente sii tiene al menos una solución.

Conceptos básicos

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• Un CSP discreto es aquel en el que todas las variables sondiscretas, es decir, toman valores en dominios finitos.

• Un CSP continuo es un CSP en el que todas las variables son continuas, es decir, tienen dominios continuos.

• Un CSP mixto consta de variables continuas y discretas.

• Un CSP binario es aquel en el que todas las restricciones tienen a los sumo dos variables respectivamente.

• Un CSP no binario o n-ario es aquel en el que las restriccionestienen cualquier cualquier número de variables.

Conceptos básicosVariables

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• Discretas: las variables participantes están acotadas en dominios discretos.

• Continuas: las variables participantes están acotadas en dominios continuos.

• Binarias: son restricciones en las que sólo participan dos variables.

• N-arias: son restricciones en las que sólo participan cualquier número de variables (n>2).

• Fuertes (hard): son restricciones cuya satisfabilidad es imprescindible.

• Débiles (soft): son restricciones cuya satisfabilidad no es imprescindible.

• Difusas (fuzzy): son restricciones definidas sobre niveles de preferencia.

• Disyuntivas: son restricciones compuestas por un conjunto disjunto de restricciones.

Conceptos básicosRestricciones

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N-reinas

Definición: posicionar n reinas en un tablero deajedrez n x n, de forma que no se ataquen.

Formulación: 1 reina por fila• variables: reinas, Xi reina en la fila i-ésima• dominios: columnas posibles {1, 2, . . . , n}• restricciones: no colocar dos reinas en– la misma columna– la misma diagonalrel(Rij)= {(a,b)| a b |i -j| |a -b|}Características:• CSP binario, discreto y finito

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Coloreado de Grafos

Definición: Dado un grafo,• n nodos• m colores,asignar un color a cada nodo de forma que no hayados nodos adyacentes con el mismo color.Formulación:• variables: nodos• dominios: colores posibles• restricciones: nodos adyacentes

Características:• CSP binario, discreto y finito

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Crucigrama

Definición: Dada una rejilla y un diccionario, construirun crucigrama legal.

Formulación:• variables: grupo de casillas para una palabra (slots)• dominios: palabras del diccionario con la longitud adecuada• restricciones: misma letra en la intersección de dos palabras

Características:• CSP binario, discreto y finito (dominios grandes)

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Restricciones Temporales

Definición: dado un conjunto de sucesos que ocurrenen intervalos temporales con ciertas relaciones, encontrar una asignación temporal

consistente.

Formulación:• variables: sucesos• dominios: intervalo temporal para cada suceso• restricciones: distancia temporal permitida entresucesos; relaciones temporales antes, después, solapado, etc.

Características:• CSP binario, continuo, con restricciones disyuntivas

T0

T1 T2

T3 T4

{[10, 20]}

{[30, 40], [60, ]}

{[10, 20]}

{[20, 30], [40, 50]}

T0: Tiempo inicial (en este caso, 8:00 h.)T1 / T2: Tiempo en que Juan sale de casa / llega al trabajo.T3/T4: Tiempo en que Luis sale de casa / llega al trabajo.

{[60, 70]}

"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30

minutos) o en metro (40-50 minutos).

Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además,

sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos después de que Luis saliera de casa"

"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30

minutos) o en metro (40-50 minutos).

Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además,

sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos después de que Luis saliera de casa"

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Problema de diseño

a) Solución por defecto para los arcos dados:

b) Versión teniendo en cuenta aspectos estéticosy geotecnológicos:

c) Bases para diseñar los detalles de los pilares:

e) Diseño final:

d2) Pilaressobre elperalte

d3) Pilaresen el agua

Backtracking sobrelos detalles dediseño de los pilares

d1) Pilaresdemasiadocerca

? ?

Definición: el problema consiste en llevar a cabo el diseño de un puente que debe constar de pocos arcos donde es preferible que los pilares no toquen el agua, con pilares lo más bajos posibles.

Formulación:• variables: partes y elementos del diseño• dominios: valores permitidos para cada parte y elemento• restricciones: propiedades que las partes deben satisfacer.

Características:• CSP no binario, mixto, con restricciones hard, soft y difusas.

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Un CSP binario se suele representar mediante un grafo, donde:

Nodos: VariablesArcos: Relaciones binarias entre las variables.

X1 R12 x2x3 R35 x5x1 R15 x5x4 R42 x2x4 R45 x5x2 R25 x5

X1

X2

X3X5

X4

CSPs binarios & n-ariosBinario

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Un CSP no binario no se suele representar mediante un grafo, sino como un hiper-grafo perdiendo toda la funcionalidad existente sobre la teoría de grafos. donde:Nodos: VariablesArcos: Relaciones binarias entre las variables.

C123

CSPs binarios & n-ariosNo Binario

X1 X2 X3

X5X4

X7

X6C24567

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Consistencia de nodo Consistencia de nodo (1-consistencia)(1-consistencia)

Un nodo (xi) es consistente si al menos un valor en su dominio es consistente con la restricción unaria del nodo:

10xi 15, D(Xi):{0, 10}

Un grafo red es nodo-consistente sii todos sus nodos son consistentes:xiCSP, viD / (xi ci0) se cumple para xi=vi (ie: Dci0{

Consistencia: Niveles1-consistencia

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Consistencia de arco Consistencia de arco (2-consistencia)(2-consistencia): :

Un arco (xi {cij} xj) es consistente si y solo si para cada asignación de xi en su dominio, existe una asignación para xi, tal que la restricción {cij} se satisface.

Por ejemplo el arco:

es consistente, pero no lo sería si cij en vez de fuese

Un grafo es arco-consistente si todos sus arcos son consistentes.

cijCSP,vidi vjdj / (xi cij xj) se cumple para xi=vi, xj=vj

xi xjCij

[3,6] [8,10]


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Azul, Rojo

Azul

Azul, RojoVerde Azul, Verde

X1

X4

X2

X3

Azul, Rojo

Azul

Azul, RojoVerde Azul, Verde

X1

X4

X2

X3

Grafo Inicial Grafo arco-consistente

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3-Consistencia: 3-Consistencia: Un grafo es 3-consistente sii todas sus 2-sendas son

consistentes: "cij Í CSP, "viÎdi, "vjÎdj / (xi=vi cij xj=vj) Þ $vkÎdk / (xi=vi cik xk=vk) Ù (xj=vj

cjk xk=vk)

Senda-Consistencia (Montanari, Mackworth, 1976): – Una k-senda (x1, x2, ..., xk, xj) es consistente sii para cualquier

valor v1d1 y vjdj, tal que la restriccion (x1=v1 c1j xj=vj) se cumple,

– Entonces existe una secuencia de valores – v2d2, v3d3, ..., vkdk – tal que las restricciones (v1 cl2 v2), (v2 c23 v3),...., (vk ck,j vj)

se cumplen.


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