1.3.- Aproximación al estado estacionario: Utilicemos un ejemplo numérico. Para ello supongamos que la función de producción es:

Y = K1/2 * L1/2Dividimos los dos miembros de la función de producción por la población activa L.

Y/L = K1/2 *L1/2/LReordenando, tenemos que.

Y/L = (K/L)1/2Dado que y = Y/L y k = K/L, esta ecuación se convierte en:

Y = k1/2Se puede expresar en:

Y = √k

Con esta función de producción, resulta que la producción por trabajador es igual a raíz cuadrada de la cantidad de capital por trabajador.Ejemplo: Supongamos que ahorra el 30% de la producción (s – 0.3), que se deprecia cada año el 10% del stock de capital (δ = 0.1) y que la economía comienza teniendo 4 unidades de capital por trabajador (k = 4). Dadas estas cifras ahora podemos ver que ocurre con la economía con el paso del tiempo

1.- De acuerdo con la función de producción y = √k las 4 unidades de capital por trabajador k, producen 2 unidades de producción por trabajador y.2.- Dado que el 30% de la producción se ahorra y se invierte el 70 % se consume, i = 0,6 y c = 1,43.- Como el 10% del stock de capital se deprecia δ *k = 0,44.- Con la inversión de 0,6 y una depreciación de 0,4, la variación del stock de capital es k = 0,2

Podemos hacer lo mismos cálculos con cada año posteriorUna manera de seguir la evolución de la economía durante muchos años es hallar el stock de capital existente en el estado estacionario.

k = sf(k) – δkPor definición k = 0

0 = sf(k) – δkEn otras palabras:

K*/f(k*) = s/δ

Esta ecuación permite hallar el nivel de capital por trabajador correspondiente al estado estacionario k*,Ingresando los datos y la función de producción en nuestro ejemplo.k*/√k* = 0,3/0,1

Elevando al cuadrado los dos miembros de esta ecuación, obtenemos:

K* = 9El stock de capital correspondiente al estado estacionario es de 9 unidades por trabajador.

Supuestos: y = √k s = 0,3 δ = 0,1 k inicial = 4,0Año k y c i δk k

1 4,000 2,000 1,400 0,600 0,400 0,200

2 4,200 2,049 1,435 0,615 0,420 0,195

3 4,395 2,096 1,467 0,629 0,440 0,189

4 4,584 2,141 1,499 0,642 0,458 0,184

5 4,768 2,184 1,529 0,655 0,477 0,178

10 5,602 2,367 1,657 0,710 0,560 0,150

25 7,321 2,706 1,894 0,812 0,732 0,080

100 8,962 2,994 2,096 0,898 0,896 0,002

Como afecta el ahorro al crecimiento.-

Un aumento de la tasa de ahorro.- s implica que la cantidad de inversión correspondiente a un determinado stock de capital es mayor. Por lo tanto, desplaza la función de ahorro en sentido ascendente. En el estado estacionario inicial k*1, ahora la inversión es superior a la depreciación. El stock de capital aumenta hasta que la economía alcanza un nuevo estado estacionario k*2, con mas capital y producción.Si es elevada, la economía tienen un gran stock de capital y un elevado nivel de producción en el estado estacionario. Si es baja, la economía tiene un pequeño stock de capital y un bajo nivel de producción en el estado estacionario.

y

k

Prod

ucci

ón p

or tr

abaj

ador

Capital por trabajador

δk

S1f(k)

S2f(k)

K*1 K*2

2.- el nivel de capital correspondiente a la regla de oro.- En este apartado utilizamos el modelo de Solow para ver que cantidad de acumulación de capital es optima desde el punto de vista del bienestar económico.

2.1.- Comparación de estados estacionarios.- Todo responsable benevolente de la política económica querría elegir el estado estacionario que proporcionara el nivel de consumo mas alto. El valor k del estado estacionario que maximiza el consumo se denomina nivel de acumulación de capital correspondiente a la regla de oro y se representa por medio de k*oro

Para hallar el consumo por trabajador correspondiente al estado estacionario comenzamos con la identidad de la contabilidad nacional.

y = c + iReordenando tenemos:

c = y – iSustituyendo las variables podemos expresar el consumo por trabajador en el estado estacionario de la forma siguiente:

c* = f(k*9 – δk*

El consumo en el estado estacionario. La producción de la economía se emplea para consumir o invertir. En el estado estacionario, La inversión es igual a la depreciación. Por lo tanto, en el estado estacionario el consumo es la diferencia entre la producción, f(k*), y la depreciación δk*. El consumo correspondiente al estado estacionario de la regla de oro. El stock de capital correspondiente a la regla de oro se representa por medio de k*oro, y el consumo por medio de c*oro.

y

K*

Prod

ucci

ón y

dep

reci

ació

n en

el

est

ado

esta

cion

ario δk

Producción en el estado estacionario f(k*)

K*oro

Capital por trabajador en el estado estacionario

Depreciación (e inversión)en el estado estacionario δk*

C*oro

Ahora podemos obtener una sencilla condición que caracterizara el nivel de capital correspondiente a la regla de oro. Recuérdese que la pendiente de la función de producción es el producto marginal del capital PMK. La pendiente de la línea recta δk es δ. Como estas dos pendientes coinciden en k*oro la regla de oro se describe por medio de la ecuación.

PMK = δLos aumentos del capital reducen el consumo, por lo que k* debe ser superior al nivel de la regla de oro. Por lo tanto, la siguiente condición describe la regla de oro.

PMK – δ = 0La tasa de ahorro y la regla de oro. Solo existe una tasa de ahorro que genera el nivel de capital correspondiente a la regla de oro k*oro. Cualquier variación de la tasa de ahorro desplazaría la curva sf(k) y llevaría a la economía a un estado estacionario en el que el nivel de consumo seria menor.

y

K*

Prod

ucci

ón y

dep

reci

ació

n en

el

est

ado

esta

cion

ario

1.- Para alcanzar el estado estacionario de la regla de oro

2.- La economía necesita la tasa de ahorro correcta.

Δk*

f(k*)

K*oro

Capital por trabajador en el estado estacionario

c*oro sorof(k*)

i*oro

2.2.- Como encontrar el estado estacionario de la regla de oro.- Consideremos la decisión de los responsables de al política económica que tienen que elegir un estado estacionario en una economía. La función de producción seria igual a la otra:

y = √kEl estado estacionario cumple la siguiente ecuación:

K*/f(k*) = s/δY la ecuación se convierte en:

K*/√k = s/0.1Elevando al cuadrado los dos miembros de esta ecuación, hallamos el stock de capital correspondiente al estado estacionario.

k* = 100s2Otra manera de identificar el estado estacionario de la regla de oro es:

PMK = 1/2√k

Como se halla el estado estacionario correspondiente a la regla de oro

Supuestos y = √k δ= 0,1

s k* y* δk* c* PMK PMK - δ

0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 ∞ ∞

0,1 1,0 1,0 0,1 0,9 0,500 0,400

0,2 4,0 2,0 0,4 1,6 0,250 0,150

0,3 9,0 3,0 0,9 2,1 0,167 0,067

0,4 16,0 4,0 1,6 2,4 0,125 0,025

0,5 25,0 5,0 2,5 2,5 0,100 0,000

0,6 36,0 6,0 3,6 2,4 0,083 - 0,017

0,7 49,0 7,0 4,9 2,1 0,071 - 0,029

0,8 64,0 8,0 6,4 1,6 0,062 - 0,038

0,9 81,0 9,0 8,1 0,9 0,056 - 0,044

1,0 100,0 10,0 10,0 0,0 0,050 - 0,050

2.3.- La transición al estado estacionario de la regla de oro.- Conviene examinar dos casos.a.- Cuando la economía comienza teniendo excesivo capital.- La reducción del ahorro cuando la economía comienza teniendo mas capital que en el estado estacionario de la regla de oro. La figura muestra que ocurre con el paso del tiempo con la producción, el consumo y la inversión cuando la economía comienza teniendo mas capital que en el nivel de la regla de oro y se reduce la tasa de ahorro. La reducción de la tasa de ahorro (en el momento t0) provoca un aumento inmediato del consumo y una disminución equivalente de la inversión. A medida que pasa el tiempo y disminuye al unísono. Dado que la economía comienza teniendo demasiado capital, el nuevo estado estacionario tiene un nivel de consumo mas alto que el inicial.

t0

La tasa de ahorro disminuye

Producción ( y)

Consumo (c)

Inversión (i)

b.- Cuando la economía comienza teniendo poco capital.- El aumento del ahorro cuando la economía comienza teniendo menos capital que el estado estacionario de la regla de oro. En la figura muestra que ocurre con el paso del tiempo con la producción, el consumo y la inversión cuando la economía comienza teniendo menos capital que el nivel de la regla de oro y aumenta la tasa de ahorro. El aumento de la tasa de ahorro (en el momento t0) provoca una disminución inmediata del consumo y un aumento equivalente de la inversión. A medida que pasa el tiempo y aumenta el stock de capital, la producción, el consumo y la inversión aumentan al unísono. Dado que la economía comienza teniendo menos capital que en la regla de oro, el nuevo estado estacionario tiene de consumo mas que el inicial.

t0 Tiempo

Consumo (c)

Inversión (i)

Producción ( y)

La tasa de ahorro aumenta

3.- El crecimiento de la población.- El modelo de Solow muestra que la acumulación de capital no puede explicar por si sola un crecimiento económico continuado.3.1.- El estado estacionario con crecimiento de la población.- Como hemos señalado antes, la inversión eleva el stock de capital y la depreciación lo reduce; pero ahora hay una tercera fuerza que altera la cantidad de capital por trabajador: el crecimiento del numero de trabajadores hace que disminuya el capital por trabajador.El crecimiento de la población en el modelo de Solow.- El crecimiento de la población es, al igual que la depreciación, una de las razones por las que disminuye el stock de capital por trabajador. Si n es la tasa de crecimiento de la población y δ es la tasa de depreciación, (δ + n)k es la inversión de mantenimiento, es decir, la cantidad de inversión necesaria para mantener constante el stock de capital por trabajador k. Para que la economía se encuentre en un estado estacionario, la inversión sf(k) debe contrarrestar los efectos de la depreciación y del crecimiento de la población (δ + n)k. Se encuentra en el punto en el que se cortan las dos curvas.

La variación del stock de capital por trabajador es:k = i – (δ + n)k

Nuestro análisis con crecimiento de la población es muy parecido al anterior. Primero sustituimos i por sf(k). La ecuación puede expresarse en:

k = sf(k) – (δ + n)k

Inve

rsió

n, in

vers

ión

de c

reci

mie

nto

Inversión, sf(k*)

K*

Capital por trabajador

Inversión de mantenimiento, (δ + n)k

El estado estacionario

3.1.- Los efectos del crecimiento de la población.- Influencia del crecimiento de la población. Un aumento de la tasa de crecimiento de la población de n1 a n2 desplaza la recta que representa el crecimiento de la población y la depreciación en sentido ascendente. El nuevo estado estacionario k*2 tiene un nivel mas bajo de capital por trabajador que el inicial k*1. por lo tanto, el modelo de Solow predice que las economías que tienen unas tasas mas altas de crecimiento de la población tienen unos niveles mas bajos de capital por trabajador y, por lo tanto, unas rentas mas bajas.

Dado que la producción del estado estacionario es f(k*) y la inversión del estado estacionario es (δ + n)k*, podemos expresar el consumo correspondiente al estado estacionario de la forma siguiente:

c* = f(k*) – (δ + n)k*Utilizando un argumento casi idéntico al anterior, llegamos a la conclusión de que el nivel de k* que maximiza el consumo es aquel con el que.

PMK = δ +nO lo que es lo mismo:

PMK – δ = n

2.- Reduce el stock de capital en el estado estacionario

1.- Un aumento de la tasa de crecimiento de la población

Inve

rsió

n, in

vers

ión

de m

ante

nim

ient

o

K*1

Capital por trabajador

(δ + n2)k

(δ + n1)k

Sf(k)

K*2 K

Resolver los siguientes casos:1.- El milagro del crecimiento japonés y alemán.2.- El ahorro y la inversión en todo el mundo.3.- El crecimiento de la población del todo el mundo.