1. 復習 2. 3. ブロッホ・ベクトル成分 4. ブロッホ・ …...IU V W...

（付録）「ブロッホ・ベクトルと誘電分極」（１） 1. 復習 2. 密度行列：二準位系 3. ブロッホ・ベクトル成分 4. ブロッホ・ベクトルと電気感受率 5. ブロッホ・ベクトルと誘電分極 6. ブロッホ・ベクトルの歳差運動

暫定版修正・加筆の可能性あり

付録（４１７、４１８）のアプローチ：半古典論 1. ブロッホ・ベクトル（Bloch vector）を利用して二準位系の電子状態を記述する。 2. 電子は量子的、電磁波（光）は古典的に扱う。 3. 電磁波（光）を照射したときに誘起される電気双極子の伸縮運動をブロッホ・ベクトルの歳差運動で記述する。 4. 誘電分極：「振動電場Ｅに誘われて伸縮する電気双極子の集団運動」 5. 電磁波（光）と電子の相互作用に話題を限定。 6. NMR（nuclear magnetic resonance）やESR（electron spin resonance）等で取り扱う、核磁気双極子や電子スピンに関す

るブロッホ・ベクトルについては対象外。

４１７－1

復習：複素電気感受率：半古典論（１）

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

*

*

2

. .

. .2

.,2

,

,

.

ab

aa bb

ab

bb aa

ab

X

X

X

E

c c

i c ci

ic

p Z

t

Z

t

Z

E t ci

ρ

ρ ργ ω ν

ρ ργ ω ν

= − ℘ +

−℘= − ℘ +

+ −

℘ −= +

+ −

電気双極子モーメント：実数表示

誘電分極：実数表示

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2, , , . .X X

bb aa

abX

NP Z t p Z iN E Z c ct t

iρ ρ

γ ω ν−

= ++ −

℘=

誘電分極：複素数表示

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2

, 2, ,, . .bX

b aa

aX

bX X

Ni c ci

P ZE Z tZ ttP t P Zρ ρ

γ ω ν−

= = ++ −

℘

注目：電気双極子モーメントや誘電分極に関して •式中の

•常に、絶対値の自乗で現れる。

•以後、負実数扱い。

2℘

ˆa ex b℘=

[ ][ ]

Re 0

Im 0

℘℘ = <

℘ =

参考：415

注意：赤字（実数）、青字（複素数）

４１７－2

復習：複素電気感受率：半古典論（２）

電気感受率：複素数表示

( ) ( )( ) ( )

2

, ,bb aa

abXX

Nii

ZP Z E ttρ ρ

γ ω ν−

=+ −

℘

( ) ( ) ( ) ( )0 0 ', '', ,X X XE Z t iP Z Et Z tε χ ε χ χ= = +

実部：屈折率

虚部：損失

( )( )

2

220

' bb aaab

N ω νχ ρ ρε γ ω ν℘ −

= −+ −

( )( )

2

220

'' abbb aa

ab

N γχ ρ ρε γ ω ν

= −+ −

℘

エネルギー差

ω

a

bω ν

電磁波（光）

参照414-4：Ｎの意味 • もともとの意味は、単位体積に存在する

電気双極子数（密度）ですが、今回は、単位体積当たりの原子数と読替

• 上準位の単位体積当たりの原子数

• 下準位の単位体積当たりの原子数

• 電気感受率：両者の差に依存

bbNρ

aaNρ

bb aaN Nρ ρ−これからやりたいこと！ • 密度行列の対角要素ρaa、 ρbbの定常解を求める。 • 定常状態における複素誘電率を求める。

参考：415

４１７－3

復習：二準位系のハミルトニアン（１）

ハミルトニアン：Hamiltonian

0ˆ ˆ ˆH H= −p E

右辺第一項：無摂動ハミルトニアン • ディラック（Dirac）表記を使用 • 二準位系

0

0

ˆ 2ˆ 2

a H a

b H b

ω

ω

=

= −

二準位系：two-level system

励起準位：上準位

基底準位：下準位

エネルギー差 ω

a

b

右辺第二項：相互作用ハミルトニアン

( )intˆ ˆ ˆ ˆH e e= − = − − =p E r E r E

( ) ( ) ( ), cosXE Z KEt tZ Z ν= −

電磁場（光）：Ｘ成分のみ（初期位相：零）

( )intˆ ˆ ,XH exE Z t=

電気双極子と電磁波（光）の相互作用

お詫び：説明省略 • 電気双極子と電磁波（光）の相互作用ハミルト

ニアンの導出 • 参考文献：砂川「量子力学」p.327、岩波書店注目：相互作用ハミルトニアン • 一様電場（電磁波：振動電場ではない！）と電

気双極子の相互作用エネルギーと同じ表現です。 • 参照：403-16

参考：414

４１７－4

相互作用ハミルトニアン：interaction

復習：二準位系のハミルトニアン（２）

( )intˆ ˆ ,XH exE Z t=

電子遷移選択則：電子双極子遷移の場合 selection rules for an electric dipole transition • 波動関数の偶奇性 • 仮定：準位ａb間で電気双極子放射可

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ

a ex a b ex b

a ex b b ex a

= =

= =℘

( )( )

int

*int

*

ˆ ,ˆ ,

ab X

ba X

ba ab

V a H b E Z t

V b H a E Z t

V V

= =

=

=

℘

℘=

行列要素：相互作用ハミルトニアン

複素共役

ハミルトニアン：行列表示

0 intˆ ˆ ˆH H H= +

0 3

1 0ˆ ˆ0 12 2

H ω ω σ

= = −

右辺第一項：無摂動ハミルトニアン


1 0,

0 1a b = =

ａ：励起準位：上準位ｂ：基底準位：下準位

右辺第二項：相互作用ハミルトニアン

int

0ˆ0ab

ba

VH

V

=

次頁：パウリ行列

参考：414

４１７－5

復習：パウリ行列

パウリ行列： Pauli matrices

( ) ( )

1

2

3

1 2

1 2

0 1ˆ ˆ ˆ ˆ

1 0

0ˆ ˆ ˆ ˆ

0

1 0ˆ ˆ

0 1

1 00 1

0 1ˆ ˆˆ0 02

0 0ˆ ˆˆ1 02

x

y

z

a b b a

ii b a a b i

i

a a b b

I a a b b

i a b

i b a

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ

σ σσ

σ σσ

+ −

− +

+

−

= = = + = +

−

= = = − = −

= = = − −

= = +

+= = =

−

= = =

特徴

2 2 21 2 3ˆ ˆ ˆ Iσ σ σ= = =

( ) ( )ˆ ˆ0, det 1i iTr σ σ= = −

1 2 3 2 3 1

2 1 3 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

i ii I

σ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ

= == − =


エネルギー差

ω

a

b

参考：414

４１７－6

-10 -5 5 10

-0.4

-0.2

0.2

0.4

復習：飽和効果（１）

定常状態：実部

( )( )

2

220

' bb aaab

N ω νχ ρ ρε γ ω ν

℘ −= −

+ − ( )1

1bb aa ILρ ρ

ω ν− =

+ −

定常状態：密度行列の対角要素の差

屈折率変化：複素電気感受率の実部

( ) ( )( )

( ) ( )

2

220

2

220

'1

1

ab

ab

ab ab

NIL

NI

ω νχε ω ν γ ω ν

γ ν ωε γ γ ν ω

℘ −=

+ − + −

−℘= −

+ + −

電気感受率の実部：ωを固定

光強度：低

光強度：高

光強度：中

光の角周波数：ν

電気感受率の実部：屈折率変化（分散曲線） • 光強度に依存（飽和効果） • 古典論は「光強度≒零」に対応（参照：415-16）

正常分散

異常分散

正常分散

参考：415

４１７－7

復習：飽和効果（２）

定常状態：虚部

( )( )

2

220

'' abbb aa

ab

N γχ ρ ρε γ ω ν

℘= −

+ −

( ) ( )

( ) ( )

2

220

2 2

220

''1

1

ab

ab

ab

ab ab

NIL

NI

γχε ω ν γ ω ν

γε γ γ ν ω

℘=

+ − + −

℘=

+ + −

電気感受率の実部：損失曲線 • 飽和効果：「光強度：大」のとき損失減 • このとき、媒質は透明になる • 古典論は「光強度≒零」に対応（参照：414-9）

定常状態：密度行列の対角要素の差反転分布（ population inversion ）は不可

-10 -5 5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

光の角周波数：ν

電気感受率の実部：ωを固定

光強度：低

光強度：中

損失：複素電気感受率の虚部

光強度：高

( )1

1bb aa

Iaa bb

ILρ ρ

ω ν

ρ ρ→∞

− =+ −

→ ≤

参考：415

４１７－8

密度行列：二準位系（１）

密度行列：二準位系

( ) ( ) ( )1 ˆ , , , sin cos ,sin sin ,cos2

I U V Wρ θ φ θ φ θ= + • = =a σ a

ブロッホ・ベクトル：Bloch vector


( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,2x y z x y zI U V Wσ σ σ ρ σ σ σ= = + + +σ

各成分：ブロッホ・ベクトル

４１７－9

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆTr Tr Tr 0, Tr 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆTr , Tr , Tr

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

1ˆ ˆ ˆ ˆ2

ˆTr

x x x y z z x y

x x x

x x y y z z

x x x x x y z x

I i ix x z y

Ix

U V W

I U V W

UI iV iW

U

σ σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

ρσ σ ρσ σ ρσ σ

ρσ σ σ σ σ σ σ σ

ρσ σ σ σ

ρσ

= = =

= = = =

= = = = = =

= + + +

→ = + + +

→ =

密度行列：二準位系（２）






( )ˆ ˆ ˆ ˆ, ,x y zσ σ σ=σ

展開しましょう！

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

1 0 0 1 0 1 010 1 1 0 0 0 12

1 1 cos sin cos sin sin1 11 sin cos sin sin 1 cos2 2

cos 2 cos 2 sin 2sin 2 cos 2 sin 2

i

i

iU V W

i

W U iW iU iW W i

ee

φ

φ

ρ

θ θ φ θ φθ φ θ φ θ

θ θ θθ θ θ

−

− = + + + −

+ − + − = = + − + −

=

４１７－10

密度行列：二準位系（３）


1112

aa ab

ba bb

W U iVU iV W

ρ ρρ

ρ ρ+ −

= = + −


ブロッホ球：Bloch sphere

U軸

V軸

W軸

$$$

φ

球のつもり

θ( ), ,U V W=a

[ ]Rex baσ ρ∝

[ ]Imy baσ ρ∝

z aa bbσ ρ ρ= −

ブロッホ・ベクトル：各成分

[ ] [ ]

[ ] [ ]( )

*

*

2Re 2Re

. .

2 Im 2Im

. .

z aa bb

x ab ba

ab ba ab ab ab

y ba ab

ab ba ab ab

ab

W

U

c c

V

i i ii c c

σ ρ ρ

σ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ

σ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ

= = −

= = =

= + = + = +

= = = −

= − = −

= +

お詫び：ブロッホ・ベクトルの表示例 •右図：Ｗ＞0である。 •通常、吸収媒質では下準位占有確率が上準位占有確率より大きいためW＜0。 •W＞0は反転分布（増幅媒質）。

４１７－11

( )( )

, ,

sin cos ,sin sin ,cos

a U V W

θ φ θ φ θ

=

=

密度行列：二準位系（４）

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

*


1,

iaa ab

iba bb

aa bb ba ab

ee

φ

φ

ρ ρ θ θ θρ

ρ ρ θ θ θ

ρ ρ ρ ρ

− = =

+ = =


状態ベクトル：二準位系

cos sin2 2

ia e bφθ θψ = +

1 0,

0 1a b = =

ａ：励起準位：上準位、ｂ：基底準位：下準位ブロッホ球：Bloch sphere

U軸

V軸

W軸

$$$

φ

球のつもり

θa

( ) ( ), , sin cos ,sin sin ,cosa U V W θ φ θ φ θ= =


４１７－12

密度行列：二準位系（５）


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

cos2 cos , sin

2 2sin2


i

i

i

i

ee

ee

φ

φ

φ

φ

θθ θρ ψ ψ

θ

θ θ θθ θ θ

−

−

= = ⊗

=

状態ベクトル：二準位系

cos sin2 2

ia e bφθ θψ = +



エネルギー差

ω

a

b

４１７－13

( ) ( ), , sin cos ,sin sin ,cosa U V W θ φ θ φ θ= =

４１７－14

密度行列：二準位系（６）

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2


1112

cos sin2 2

, , sin cos ,sin sin ,cos1 sin 2 cos 22

tan

a

iaa ab

iba bb

aa ab

ba bb

i

ee

W U iVU iV W

a e b

U V W

U iV

VU

φ

φ

φ

ρ ρ θ θ θρ

ρ ρ θ θ θ

ρ ρρ

ρ ρ

θ θψ

θ φ θ φ θ

θ θ

φ

− = =

+ − = = + −

= +

= =

± =

=



U軸

V軸

W軸

$$$

φ

球のつもり

θaブロッホ・ベクトル：Bloch vector

ブロッホ・ベクトル成分（１）

Ｗ：上準位占有確率と下準位占有確率の差

aa bbW ρ ρ= −


エネルギー差

ω

a

b

演算子：電気双極子モーメント（ｘ成分のみ）

電気双極子モーメント

ˆ ˆ ˆ aa abx

ba bb

p pe p

p p

= − → =

p r

ˆ ˆ 0ˆ

ˆ ˆ 0a ex a a ex b

exb ex a b ex b

− = − = − = −

℘

℘

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )*

ˆ. . 2 .

ˆ2 2 ,

,

, 0

ˆ2 2 , 0

,

,

ab

ab ba ab ba

X

ba

ba ab ba ab a

X

X b

X

ba

c c c c ap Z t

p Z t

p Z

ex b

p p U iV p b ex a

p p U iV p p

p Z

a xt e b

t ρ

ρ ρ

ρ ρ

= − + = + ℘=

= − = = − = − = − >

= − = = + = =

℘

℘

−

℘

℘ >

４１７－15 ( ). . ,ab abX bap ZU c c p p Ut Uρ= + → = =

電気双極子モーメント：実数表示

非対角成分：時間無依存

ブロッホ・ベクトル成分（２）





対応関係：ブロッホ・ベクトルのUV平面へ射影 •射影ベクトル（図中：青矢印） •密度行列要素：非対角成分（ρba） •電気双極子モーメント（複素数表示）の複素共役

•電気双極子モーメント（実数表示）


U軸

V軸

W軸

$$$

φ

球のつもり

θa

比例定数：時間無依存 • 電気双極子モーメント（ｘ成分のみ）：非対角成分（ba）

• 正実数扱い。

( )ˆ 0abp a ex b= − >

( ) ( )( )

*

*

2,

,ab ab

ba

X ba

X

p p Up Z t

p Z t

iV

U iV

ρ

ρ

= = +

∝ ∝ +

４１７－16

( ), aX bp Up Z t U= ∝

ブロッホ・ベクトルと電気感受率（１）

誘電分極：複素数表示

( ) ( )( ) ( )

* *

2

, ,X X

ab ba ab

N

N p N

P

p

Z

U i

p

V

t Z t

ρ

=

= = +


( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

* *

*

*0

0

0

0

,

' ''

exp exp

,

p

,

ex

X X

X

E Z t

E

K

K

i

i

Z

i t ZE Z

E Z i

P

t

t

Z

Z t ε χ

ε χ χ

ε χ δ ν

ε χ ν δ

=

= −

= − × −

= − −

( ) ( ) ( )( ) ( )

* exp

exp

,X K

K

E i Z t

i t

E Z

E Z

Z t

Z

ν

ν

= − − = −

電磁場（光）：Ｘ成分のみ（初期位相：零）

ブロッホ・ベクトルのUV平面へ射影 •原子位置：位置Ｚを固定 •光の角周波数νで右回り（反時計回りに回転）

•位相遅れ：δ

( ) ( )expba E ZU iV i t KZρ χ ν δ∝ + ∝ − −

tan '' 'δ χ χ=

Ｖ軸：虚軸

Ｕ軸：実軸

複素平面

角周波数：ν

やや誤解を招く表現：複素平面 • 電磁場（光）：右回り赤矢印 • ブロッホ・ベクトル：右回り青矢印 • 位相遅れ：δ

位相遅れ：δ

複素共役の特徴：複素平面上で右回り回転

４１７－17

ブロッホ・ベクトルと電気感受率（２）


損失最大：吸収領域

' 0, '' 0 '',2

i πχ χ χ χ δ= > → = − =

( )* exp ' ''i iχ χ δ χ χ= − = −

2πδ =

やや誤解を招く表現：複素平面 • 電磁場（光）：右回り赤矢印 • ブロッホ・ベクトル：右回り青矢印 • 位相遅れ：δ

' 0, '' 0 ', 0χ χ χ χ δ> → = =

正常分散領域：透明領域

実部：屈折率、虚部：損失

ω ν

ω ν

説明省略：増幅領域

' 0, '' 0 '',2

i πχ χ χ χ δ= < → = = −

ω ν

0δ =

複素平面

４１７－18

ブロッホ・ベクトルと誘電分極（１）

お詫び：以後、古典論、半古典論で得た誘電分極に関する知識を「ごちゃまぜ」で使用

物質：二準位系の原子で構成黒矢印：電子振動、振動方向：ｘ軸

電磁波（光）複素数表示（complex conjugate）

( )( ) ( )

*

exp

,X

i

E Z t

Z KE t Zν= −

誘電分極：物質全体で見れば「振動電場Ｅに誘われて伸縮する電気双極子の集団運動」

( ) ( ) ( )0* exp , tan '' ',X i tEP Z KZt Zε χ ν δ δ χ χ= − − =

電気感受率：複素数表示物質固有

( )* exp' ''

ii

χ χ δ

χ χ

= −

= −

個々の原子に注目すると二準位系：two-level system

エネルギー差

ω

a

b

４１７－19

ブロッホ・ベクトルと誘電分極（２）

電磁波（光）複素数表示（complex conjugate）

( ) ( ) ( )* exp,X iE Z t Z KE t Zν= −

ある特定の原子（二準位）に注目すると • 原子位置：位置Ｚを固定 • 振動電場Ｅに誘われて伸縮する電気双極子

( ) ( ) ( ) ( )* exp, ,X ba U iV i t Z Z tK KZ tp E Z Zt ρ χ ν δ φ ν δ∝ ∝ + ∝ − − → = − −


U軸

V軸

W軸

$$$

φ

歳差運動

θa

何が言いたいのかな：複素共役の特徴は複素平面上で右回り回転 • ブロッホ・ベクトル（図中：黒矢印）がＷ軸の回りを歳差運動（precession）する。 • UV平面への射影ベクトルの長さから電気双極子の伸縮運動（分極振動）の大小を見積もることができる。

４１７－20

ブロッホ・ベクトルの歳差運動（１）


U軸

V軸

W軸

$$$

φ

θa

Ｗ：上準位占有確率と下準位占有確率の差：吸収媒質の場合

0aa bbW ρ ρ= − <

Ｕ、Ｗ：物理的な意味 •振動電場Ｅに誘われて伸縮する電気双極子の挙動をブロッホ・ベクトル（図中：黒矢印）の歳差運動で表現。

•歳差運動は

•歳差角周波数は光の角周波数νに等しい。 •上準位占有確率と下準位占有確率が等しいとき、電気双極子の伸縮運動（分極振動）が最大になる。

•このとき、ブロッホ・ベクトルのUV平面への射影ベクトル（図中：青矢印）の長さが最大（＝１）になる。

•逆に考えると、射影ベクトルの長さから電気双極子の伸縮運動（分極振動）の大小を見積もることができる。 •長い射影ベクトル：分極振動大 •短い射影ベクトル：分極振動小

( ),Z t t ZKφ ν δ= − −

注意： •上準位占有確率と下準位占有確率が等しいとき、誘電分極（分極振動）を最大にできる。 •個々の原子に対して上準位占有確率と下準位占有確率が50%である重ね合わせ状態が要求される。例えば

•原子の半分相当が上準位を占有して、残り半分相当が下準位占有している確定状態ではない。

( ) 2a b+

歳差運動

４１７－21

cos baU iVθ ρ= + ∝a

ブロッホ・ベクトルの歳差運動（２）

電子双極子の伸縮運動（分極振動）を最大にする条件

0aa bb

aa bb

WI

ρ ρρ ρ

= − =→∞ →

定常状態：密度行列の対角要素の差反転分布（ population inversion ）は不可参照：417-7

( )1

1bb aa

Iaa bb

ILρ ρ

ω ν

ρ ρ→∞

− =+ −

→

照射光強度を最大にすればよいのですが… 密度行列の運動方程式の定常解から得た電気感受率を眺めてみますと

屈折率変化：複素電気感受率の実部（417-7）

( )( )

2

220

' ' 0bb aabb aa

ab

N ρ ρω νχ ρ ρ χε γ ω ν

=℘ −= − → =

+ −

( )( )

2

220

'' '' 0bb aaabbb aa

ab

N ρ ργχ ρ ρ χε γ ω ν

=℘= − → =

+ −

損失：複素電気感受率の虚部（417-８）

予測：密度行列の運動方程式の定常解とは無縁のようです。非定常解（ある時点で照射をやめる！）を求める必要があります。

４１７－22

1. 復習 2. 3. ブロッホ・ベクトル成分 4. ブロッホ・ …...IU V W...

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