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APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS Profesor: Juan Antonio González Díaz Departamento de Métodos Cuantitativos de la Universidad Pablo de Olavide

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APUNTES DE

MATEMÁTICAS

FINANCIERAS

Profesor: Juan Antonio González Díaz

Departamento de Métodos Cuantitativos de la

Universidad Pablo de Olavide

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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE

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Gráficamente

La característica de esta operación es que la variación del capital financiero para

dos momentos de valoración consecutivos es constante y proporcional al valor inicial C0, es

decir el rendimiento en cada período se mantiene constante.

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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE

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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE

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13 meses

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Profesor: Juan Antonio González Díaz

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Gráficamente

La característica de esta operación es que la variación del capital financiero para

dos momentos de valoración consecutivos es constante y proporcional al valor nominal Cn,

es decir el decremento en cada período se mantiene constante.

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Profesor: Juan Antonio González Díaz

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Equivalencia entre tasa de interés y tasa de descuento

Un tanto de descuento “d” será equivalente a un tanto de interés “i” si descontando el mismo Capital Nominal (Cn) durante el

mismo período de tiempo (n) nos da el mismo Valor Efectivo (C0).

Efectivo del Descuento Comercial C0 =Cn (1- n d)

Efectivo del Descuento Racionalin

CC n

⋅+=

10

Serán equivalentes “d” e “i” si los Valores Efectivos son iguales:

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CdnC n

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El descuento bancario es una operación en la que la entidad financiera asume la posición acreedora al entregar su

cliente el valor descontado de un capital financiero futuro documentado mediante un efecto de comercio.

Para la obtención del valor descontado que la entidad financiera entrega al cliente se aplica la ley financiera de

descuento comercial simple al tanto estipulado por la entidad, deduciéndose también las correspondientes

comisiones y gastos asociados a la operación.

Tipos de descuento bancario

• Descuento de efectos comerciales: cuando los efectos a descontar proceden de transacciones comerciales y el

objetivo del descuento es obtener liquidez. Estos efectos se conocen como papel comercial.

• Descuento financiero: cuando se trata de una operación de préstamo que concede la entidad financiera al cliente

que se formaliza a través de un efecto de comercio.

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3601

Cálculo del Efectivo que entrega la entidad financiera:

E = Efectivo entregado por la entidad financiera

N = valor nominal del efecto descontado

d = tanto de descuento anual simple aplicado por la entidad

g = comisión de cobranza. Es una comisión destinada a compensar a la entidad financiera por realizar la gestión del

cobro que se produce en el momento del vencimiento del efecto. La comisión se determina como un porcentaje del valor

nominal.

G = otros gastos asociados a la operación por cuenta del cliente.

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E N

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El cliente debe presentar el efecto a descontar timbrado de acuerdo con la escala de gravamen que en vigor. Por lo tanto, la

cuantía neta o Líquido de la operación de descuento bancario es el siguiente:

TEL −=

Cálculo de la rentabilidad efectiva obtenida por la entidad financiera (ib)

Es el tanto de interés anual simple que mide la rentabilidad obtenida por la entidad financiera en la operación de

descuento. Este tanto efectivo viene dado por el tipo de interés que iguala financieramente las cantidades efectivas

entregadas y recibidas por la entidad financiera en la operación de descuento.

13 6 0

b

nN E i

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� �

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E

0 n

N

Banco paga

Banco recibe

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Cálculo del tanto efectivo para el cliente

Es el tanto de interés anual simple que mide el coste que supone para el cliente realizar la operación de descuento

bancario. Este tanto efectivo viene dado por el tanto de interés anual simple que iguala financieramente la cantidad

liquida recibida en el momento inicial y el nominal del efecto descontado.

13 6 0

c

nL i N

�⋅ + ⋅ =� �� �

Efectos impagados. Letra de resaca.

Si llegado el momento del vencimiento del efecto el librado no paga la cantidad debida, la entidad financiera debe

presentar el efecto al protesto ante notario. Una vez realizado esto, carga al cliente el siguiente efectivo que desea

recuperar :

cppdR GGNccNNE ++⋅+⋅+=

0 n

L

0 n

N

Cliente recibe

Cliente paga

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Profesor: Juan Antonio González Díaz

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VENCIMIENTO COMUN Y VENCIMIENTO MEDIO

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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4 10 18 meses

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15 meses

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23.000 [ 1- 15/3 0,02 ] = 8.000 [1 – 4/3 0,02)] + 8.000 [1 – 10/3 0,02)] + C3 [1 – 18/3 0,02)]

20.700,00 = 7.786,67 + 7.466,67 + C3 [0,88]

C3 = 6.189,39 Euros

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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4 10 18 meses

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15 meses

23,000

23.000 / ( 1+ 15/12 0,06 ) = 8.000 / (1 + 4/12 0,06) + 8.000 / (1 + 10/12 0,06) + C3 / (1 + 18/12 0,06)]

21.395,35 = 7.843,14 + 7.619,05 + C3 / 1,09

C3 = 6.467,15 Euros

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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4 10 t3 meses

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15 meses

23,000

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t3 = 44,4 meses (44 meses y 12 días)

23.000 (1- 15/2 0,01) = 8.000 (1 – 4/2 0,01) + 8.000 (1 – 10/2 0,01) + 7.500 (1 – t3/2 0,01)

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VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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15 meses

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t3 = 33,28 meses (33 meses y 9 días)

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C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t

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LETRAS DEL TESOROAplicación de la Ley Financiera de

Capitalización Simple

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

LETRAS DEL TESORO

Las Letras del Tesoro son títulos de deuda pública emitidos por el Estado como medio de financiación aCorto Plazo.

LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com

Se trata de valores emitidos al descuento, lo que implica que el precio de adquisición es inferior alnominal que recibirá el inversor a su vencimiento (VALOR NOMINAL = 1.000 EUROS)

La duración de la inversión es variable, pudiendo ser de 3, 6, 9 o 12 meses, aunque siempre se expresaen días. De tal forma que…

Una duración de 3 meses equivale a 91 días

Una duración de 6 meses equivale a 182 días

Una duración de 12 meses equivale a 364 días

La diferencia entre el valor nominal que reciben y el precio de adquisición representa el beneficio de lainversión.

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El procedimiento normal de emisión de valores es a través de una subasta competitiva…

LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com

Los inversores presentan al emisor sus peticiones en las que reflejan los valores que desean adquirir, asícomo los precios que están dispuestos a pagar por dichos valores.

Recibidos todas las peticiones, el emisor decide el precio mínimo que acepta, rechazando las peticionesrecibidas con un precio inferior a este precio mínimo.

En las peticiones por vía no competitiva, sólo se indica el importe nominal que se desea adquirir, sinespecificar el precio, aceptándose todas las peticiones en su totalidad.

Precio Mínimo

Precio Medio

PMa

PMePeticiones por debajo del PMa, quedan fuera de la subasta

Peticiones al precio mínimo, compran a PMa

Peticiones a un precio entre PMa y PMe, al precio ofrecido

Peticiones a Pme o superior, compran a PMe

Cálculo del tanto efectivo de la emisión: interés marginal e interés medio

LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com

Los tantos efectivos de la emisión se definen como los tantos de interés anuales simples que ofrecen unamedida de la rentabilidad efectiva que proporcionan las Letras del Tesoro en el momento de la emisión,sin la intervención de la entidad financiera a través de la cuál se realiza la operación.

Según la normativa del Banco de España se calculan sin las comisiones asociadas a la operación yutilizando el año comercial.

Para el interés marginal…

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Para el interés medio…

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Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.

LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com

En este caso se ofrece una medida de la rentabilidad efectiva que proporcionan las Letras del Tesoro deun inversor en concreto, que participa en la operación a través de una entidad financiera, que le cobracomisiones por su intermediación, por la suscripción o compra y por la amortización o venta.

Un inversor puede participar en la operación en el mercado primario, suscribiendo los títulos en laemisión de los mismos, y manteniéndolos hasta su vencimiento, en cuyo caso se aplicarían lascomisiones de suscripción y amortización.

Pero puede también participar en la operación en el mercado secundario, bien comprando las Letras delTesoro a otro inversor en un momento distinto a la emisión, vendiéndolas a otro inversor antes delvencimiento, o ambas opciones, en cuyo caso se aplicarían comisiones de copra y venta. Además, laduración de la inversión, en cualquiera de estos casos sería menor que en el mercado primario.

En este caso, la rentabilidad efectiva de la operación se obtendría planteando una equivalencia entre lacantidad que paga el inversor, ya sea el precio de suscripción o de compra, más comisiones; y el nominalo precio de venta, incluyendo también las comisiones. En este caso, además, se utiliza el año natural.

Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.

LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com

Por tanto, el procedimiento sería el siguiente:

Opción 1: el inversor adquiere títulos en la emisión y mantiene hasta su vencimiento.

El inversor paga:

0 364

..scPMa +

..scPMe +

El inversor recibe:

0 364

..000.1 ac−

( ) cicPMa ef −=��

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⋅+⋅+ 000.1

365

3641 ( ) cicPMe ef −=�

���

⋅+⋅+ 000.1

365

3641

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Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.

LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com

Opción 2: el inversor adquiere títulos en mercado secundario y mantiene hasta su vencimiento.

El inversor paga:

t 364

..ccPC +

El inversor recibe:

t 364

..000.1 ac−

( ) cit

cPC ef −=��

���

−+⋅+ 000.1

365

)364(1

Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.

LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com

Opción 3: el inversor adquiere títulos en la emisión y vende en el mercado secundario.

El inversor paga:

0 t

..scPMa +

..scPMe +

El inversor recibe:

0 t

..vcPV −

( ) cPVit

cPMa ef −=��

���

⋅+⋅+

3651 ( ) cPVi

tcPMe ef −=�

���

⋅+⋅+

3651

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��

Cálculo de la rentabilidad efectiva de una Letra del Tesoro.

LETRAS DEL TESOROwww.clasesuniversitarias.com

Opción 4: el inversor compra y vende títulos en el mercado secundario.

El inversor paga:

t p

..ccPC +

El inversor recibe:

t p

..vcPV −

( ) cPVitp

cPC ef −=��

���

−+⋅+

365

)(1

EJERCICIO 1:

En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%.

Calcule:a) El interés marginal de la emisión

www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO

000.1360

1 =��

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000.1360

36413,978 =�

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EJERCICIO 1:

En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%.

Calcule:

b) La rentabilidad del inversor, si compra a Precio Medio y mantiene las letras hasta su vencimiento

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El inversor paga:

0 364

..scPMe +

El inversor recibe:

0 364

..000.1 ac−

50,9841000003,050,981.. =⋅+=+ scPMe

50,99710000025,000,000.1..000.1 =⋅−=− ac

( ) cicPMe ef −=��

���

⋅+⋅+ 000.1

365

3641 50,997

365

364150,984 =�

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⋅+⋅ efi

%32,1013240949,0 ==efi

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��

EJERCICIO 1:

En la última subasta del Letras del Tesoro a 12 meses se fijó un precio marginal del 97,830% y un precio medio del 98,150%. Un inversor participa en la operación a través de una entidad financiera que cobra unas comisiones de suscripción y compra del 0,3% y de amortización o venta de un 0,25%.

Calcule:

c) Si el inversor vende una Letra en el mercado secundario 150 días antes de su vencimiento, siendo la cotización del mercado de un 99,01%, ¿qué rentabilidad obtendría el inversor para esta letra?

www.clasesuniversitarias.com LETRAS DEL TESORO

El inversor paga:

0 364-150

..scPMe +

El inversor recibe:

0 214

..vcPV −

50,9841000003,050,981.. =⋅+=+ scPMe

60,98710000025,010,990..10,990 =⋅−=− vc

( ) cPVicPMe ef −=��

���

⋅+⋅+

365

2141 60,987

365

214150,984 =�

���

⋅+⋅ efi

%53,0005370628,0 ==efi

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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.

TEORÍA

www.clasesuniversitarias.com

Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

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ntpCiCiCptLCptCL =+⋅=+⋅=⋅=

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Ley homogénea de grado 1 t=0 p=n

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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com

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0 1 2 n -1 n:�E�����

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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

( )2

00

00

)1()1()1(

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iCiiC

iiCiC

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⋅+⋅++⋅

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nn

iCiiC

iiCiC

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)1(1

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1

0

1

0

1

0

+⋅=+⋅+⋅=

⋅+⋅++⋅

−−

1

0 )1( −+⋅

niC

iiCI n⋅+⋅=

− 1

0 )1(

Gráficamente, Cn

C0

n

La característica de la ley financiera de capitalización

compuesta es que los intereses se van acumulando al capital

en cada período para producir nuevos y mayores intereses en

el período siguiente, es decir el rendimiento en cada período

va aumentando

n

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(���������������������� ���� ����� �����������������$����������������������������+���������������������������

� �G++�����

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( ) ( )( ) ( ) iiittL

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+=

−+

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1

)(

00

(������� ������������� ��������������� �������������������������������������������������

LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

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1)1(1

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0000

−+=

−+=−+=−=

n

nn

n

iCI

iCCiCCCI

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")�����������#� ������������=�� ������

El parámetro ik recibe el nombre de tanto de interés compuesto k-esimal, siendo k el número de periodos o

fracciones a considerar que hay en un año. Este tanto k-esimal representa el rendimiento que proporciona un euro

en un k-ésimo de año.

(���!����& C�HHHHHHHH�� �+,����������HHHH������8.%��HHHHHHHHH �8I;L�����HHHHHHHH �+/,

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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

���� ��� �� 5��6 ,7�8��@. nk

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��

� ������ �������������������$� ������

Dado que dos leyes financieras son equivalentes cuando ofrecen la misma proyección financiera de un mismo

capital financiero, se puede deducir la equivalencia entre dos tantos de interés:

%���� �������������)�������"#�$ ��������# ���� ���� ���� ��������� ��� ������� ����#� ��������������������������������� ���#� �� ������������ ���

LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

�� E��; �+�G����� E��; �+�G��M�

n

nk�+G���E��+�G��M�k

TANTO DE INTERÉS NOMINAL: Además del tanto de interés anual, i, y del fraccionado, ik,

existe otro tanto en capitalización compuesta que se denota por Jk , cuya relación viene dada por

Jk= k.ik

y se nombra de distintas formas,

tanto nominal anual reembolsable k-esimalmente

tanto nominal anual acumulable k-esimalmente

tanto nominal anual amortizable k-esimalmente tanto nominal

anual liquidable k-esimalmente

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0 n

C0 CnDescuento

0 n

C0 CnCapitalización

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n iCC +⋅= 10

( )( ) n

nn

n iCi

CC

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10

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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

( ) [ ]n

n

n

nnnR iCiCCCCD −−+−=+⋅−=−= )1(110

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0 h n

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����� ������N�����������'��

( )n

n iCC +⋅= 10

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )nhnh

n

hnh

n

h

h

hn

hn

iCiCC

iiCC

iCC

iCC

+⋅=+⋅=

+⋅+⋅=

+⋅=

+⋅=

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11

11

1

1

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0

0

LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com

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C0 C1 C2

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( ) 40,166.108,01000.12

2 =+⋅=C

( ) 00,080.108,01000.11

1 =+⋅=C

( ) 40,166.108,01080.11

2 =+⋅=C

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11

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iCiC

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+=+

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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.

PROBLEMAS

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

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D 7�)������ ����������,�;;;�RD *����+8����J�J;;�RD *��������9���[�;;;�R

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PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com

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��

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N�������������$������� ����� ���� ��������������� ����� ���������^������ ����^V

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0075,04

03,0

4

44 ===

Ji

PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA

0 3,5 años

2.000

13 meses

i4 = 0,75%

Cn5.500

2 años

7.000

45,13

)1342(

45,3 )0075,01(7000)0075,01(5500)0075,01(2000 ⋅

⋅+⋅++⋅++⋅=nC

∈=++= 48,453.1597,320.796,911.555,220.2nC

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Q�����������!��� ����������������$������� ���������������$������ ������ ��H ( ) k

kii )1(1 +=+

03033919,01)0075,01( 4=−+=i

PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA

5,112

)1342(

5,3 )03033919,01(7000)03033919,01(5500)03033919,01(2000 +⋅++⋅++⋅=

nC

∈=++= 48,453.1597,320.796,911.555,220.2nC

0 3,5 años

2.000

13 meses

i = 3,03%

Cn5.500

2 años

7.000

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��

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PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com

*���� ����������� ����������� ������������������ ����������� ��������������� �����������������������������������������������������������������������������

0 n años

12.000

i= 3%

Cn

PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA

0 n años

10.000

J2 = 4%

Cn

02,02

04,0

2

22 ===

Ji

nn 2)02,01(10000)03,01(12000 +⋅=+⋅

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PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA

nn 2)02,01(10000)03,01(12000 +⋅=+⋅

n

n

)03,01(

)02,01(

10000

12000 2

+⋅

+=

n)03.1

02.1(2,1

2

=

n)01009708,1(2,1 =n)01009708,1ln(2,1ln = )01009708,1ln(2,1ln ⋅= n

14786,18)01009708,1ln(

2,1ln==n +S��9���+���)�,8����

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PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTAwww.clasesuniversitarias.com

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( ) k

kii )1(1 +=+

N�������������$��������� ������� ���������������� ����� ���������^������ ����^,

*������������������ �� ������������$�MD���� ������������� �����8������������ ������ ��&

025,02

05,0

2

22 ===

Ji

050625,01)025,01( 2=−+=i

(�������������@*���%�������������O�6;P

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<������� �� ����%�������������&

24)025,01(9985

x

nC +×=

0 4 años

9.985

J2 = 5%

Cn

75,165.12=nC

PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA

025,02

05,0

2

22 ===

Ji

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10.000 12.165,75

4

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Y�$��������X��������������������������� ������+;�;;;����&��������������X�������������;

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( ) 75,121651100004

=+× i ��5�O�6EP�

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0

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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 332

1233

2

1223122

04,116,12300004,116,102,1005,115000××××××

××+××××=Cn

0 2 años 10 años

15.000 23.000

7años5 años

i2 = 2% J1/2 = 8%J12 = 6% i3 = 4%

005,012

06,012 ==i 16,0

21

08,02/1 ==i

PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA

96,3793762,31436 +=nC

58,374.69=nC

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TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS 1Rentas Constantes (teoría)

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

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0 1 2 n

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0 1 2 n

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−−−−

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321

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Valor actual

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=+⋅+++⋅++⋅++⋅=

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−−−−

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321

321

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Valor final

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Valor final

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i

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321

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Valor actualinaaA ¬⋅=

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Valor actual

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0 1 2

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n

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TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1

a

3

i

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11

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TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1

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PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETASRentas Constantes I

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EJERCICIO 1:

El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.

a) ¿Qué cantidad podría obtener cada año?

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0 3 18

120.000

2 1 17

a

4 5 6

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035,0

)035,01(1120000

18−+−

×= a

a = 9.098,02 Euros

aaa

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EJERCICIO 1:

El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.

b) Si en lugar de recibir el importe obtenido en el apartado a), quisiera recibir una cantidad anual de 12,000 euros, con qué tipo de interés debería trabajar la entidad financiera?

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4 5 6

a a aa

iaaA ¬×= 18

i

i 18)1(112000120000

−+−

×=

aaa

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Para que a sea igual a 12.000,00 Euros, cuál debe ser el tipo de interés?

i

i 18)1(110

−+−

=

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No podemos despejar el valor de i, por lo que utilizamos un sistema para su estimación, que se llama INTERPOLACIÓN, y se compone de 3 pasos

i

i18

)1(110

−+−

= ia ¬= 1810

PASO 1: Representar GRÁFICAMENTE la función , y marcar el valor ina ¬ ia ¬= 1810

ina ¬

i

ia ¬18

i

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PASO 2: INVENTARME tipos de interés hasta obtener un ''18'18 10 ii aa ¬¬ ��

ina ¬

i

1018 =¬ ia

i

Por ejemplo, empiezo con un 6% y calculo el importe de 06.018 ¬a

8276,1006.0

)06.01(1 18

06.018 =+−

=−

¬a

8276,1006.018 =¬a

06,0' =i

He encontrado un, por lo que ahora debo encontrar un 10'18 �ia ¬ ''1810 ia ¬�

OJO!!! Debo utilizar un tipo de interés que, COMO MÁXIMO, SEA UN 1% MAYOR O MENOR!!!

En este caso, debo utilizar un tipo de interés mayo, por lo que pruebo con el 7%

0591,1007.0

)07.01(1 18

07.018 =+−

=−

¬a

Sigue siendo un , pero al estar más próximo a este valor, es el que utilizo, descartando el tipo de interés del 6%

10'18 �ia ¬

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PASO 2: INVENTARME tipos de interés hasta obtener un ''18'18 10 ii aa ¬¬ ��

ina ¬

i

1018 =¬ ia

i

Por ejemplo, empiezo con un 6% y calculo el importe de 06.018 ¬a

8276,1006.0

)06.01(1 18

06.018 =+−

=−

¬a

0591,1007.018 =¬a

07,0' =i

He encontrado un, por lo que ahora debo encontrar un 10'18 �ia ¬ ''1810 ia ¬�

OJO!!! Debo utilizar un tipo de interés que, COMO MÁXIMO, SEA UN 1% MAYOR O MENOR!!!

En este caso, debo utilizar un tipo de interés mayo, por lo que pruebo con el 7%

0591,1007.0

)07.01(1 18

07.018 =+−

=−

¬a

Sigue siendo un , pero al estar más próximo a este valor, es el que utilizo, descartando el tipo de interés del 6%

10'18 �ia ¬

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PASO 2: INVENTARME tipos de interés hasta obtener un ''18'18 10 ii aa ¬¬ ��

ina ¬

i

1018 =¬ ia

i

Sigo intentando obtener un , por lo que pruebo ahora con un 8%

3719,908.0

)08.01(1 18

08.018 =+−

=−

¬a

37,908.018 =¬a

08,0'' =i

De este modo he completado el Paso 2 de la INTERPOLACIÓN, ya que he encontrado lo que buscaba, es decir,

10'18 �ia ¬

06,1007.018 =¬a

07,0' =i

37,91006,10 %8''18%)7('18 == =¬=¬ ii aa ��

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PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.

ina ¬

i

1018 =¬ ia

i

37,908.018 =¬a

08,0'' =i

Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a

07,0' =i

A

B

'A

'B

'

'

B

A

B

A=

Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?

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PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.

ina ¬

i

1018 =¬ ia

i

37,908.018 =¬a

08,0'' =i

Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a

07,0' =i

A

B

'A

'B

'

'

B

A

B

A=

Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?

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PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.

ina ¬

i

1018 =¬ ia

i

37,908.018 =¬a

08,0'' =i

Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a

07,0' =i

A

B

'A

'B

'

'

B

A

B

A=

Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?

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PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.

ina ¬

i

1018 =¬ ia

i

37,908.018 =¬a

08,0'' =i

Estos dos triángulos son equivalentes si el cociente entre sus catetos coincide, es decir, si06,1007.018 =¬a

07,0' =i

A

B

'A

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'

'

B

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B

A=

Tras realizar el PASO 2 del proceso de INTERPOLACIÓN, en la GRÁFICA aparecen tres triángulos, ¿LOS VES?

Pues bien, esos tres triángulos SON SEMEJANTES entre sí, lo que quiere decir que el cociente entre suscatetos coincide. Por tanto, cogemos DOS DE ELLOS (siempre uno de ellos debe ser el triánguloGRANDE!!!

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PASO 3: Aplicar la teoría de los TRIÁNGULOS SEMEJANTES.

ina ¬

i

1018 =¬ ia

i

37,908.018 =¬a

08,0'' =i

06,1007.018 =¬a

07,0' =i

ina ¬

i

1018 =¬ ia

i

37,908.018 =¬

a

08,0'' =i

06,1007.018 =¬a

07,0' =i

''''

18'18''18'18

ii

aa

ii

aa iiii

−=

−¬¬¬¬

07,0

100591,10

07,008,0

3719,90591,10

−=

i

De donde despejamos el valor de i, que resulta %08,7=i

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��

EJERCICIO 1:

El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.

c) Si no encontrara ninguna entidad financiera que le ofreciera el interés calculado en el apartado b) y decide trabajar con el interés del 3,5% que le ofrece la primera entidad, cuántas extracciones anuales de 12,000 euros podría obtener?

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0 3 n

120.000

2 1 n-1

a

4 5 6

a a aa

035,0

)035,01(112000120000

n−+−

×=

n = 12,5222398 años

aaa

inaaA ¬×=

65,0ln035,1ln =×− n

035,1ln

65,0ln−=n

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n−+−= )035,01(135,0 65,0)035,01( =+

− n

65,0ln035,1ln =− n

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��

EJERCICIO 1:

El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.

d) En caso de que se trate de un número de extracciones no enteras, calcular cómo y cuando agotaría los 120.000 euros.

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0 3 n

120.000

2 1 12

a

4 5 6

a a a

035,0

)035,01(112000120000

12−+−

×≠

aaa

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12,52

C

5222398,1212

)035,01(035,0

)035,01(112000120000 −

+++−

×= C

€37,215.6=C

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EJERCICIO 1:

El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.

d) Calcule el valor de la extracción complementaria si se realizara al año de la última extracción de 12.000 euros.

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0 3 13

120.000

2 1 12

a

4 5 6

a a a

035,0

)035,01(112000120000

12−+−

×≠

aaa

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C

1312

)035,01(035,0

)035,01(112000120000 −

+++−

×= C

€36,318.6=C

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EJERCICIO 1:

El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.

e) Calcule el valor de la extracción complementaria si se realizara junto con la última extracción de 12.000 euros.

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0 3 13

120.000

2 1 12

a

4 5 6

a a a

035,0

)035,01(112000120000

12−+−

×≠

aaa

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1212

)035,01(035,0

)035,01(112000120000 −

+++−

×= C

€70,104.6=C

+C

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��

EJERCICIO 1:

El señor Previsor ha conseguido vender un apartamento por 120.000 €. Decide invertir ese importe en una entidad financiera a cambio de recibir una renta constante al final de cada año, durante los 18 años que le restan hasta alcanzar su jubilación. La entidad financiera le ofrece un interés del 3,5% anual.

f) Calcule el valor de la extracción complementaria si la cobrara en el momento inicial.

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0 3 13

120.000

2 1 12

a

4 5 6

a a a

035,0

)035,01(112000120000

12−+−

×≠

aaa

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C++−

×=−

035,0

)035,01(112000120000

12

€99,039.4=C

C

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��

PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETASRentas Constantes II

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EJERCICIO 2:

Queremos comprar una maquinaria para nuestra empresa y consultamos con tres proveedores diferentes. Cada uno de ellos nos propone una forma de pago diferente. Compare la opción más favorable utilizando un porcentaje de valoración del 5%.

a) El proveedor A nos propone financiar la compra en 14 pagos constantes de 5,000 euros, el primero de ellos al final del primer año.

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Para poder comparar las diferentes opciones de compra debo calcular el valor de cada una de ellas en el mismo momento, para poder así compararlas. Es decir, debo calcular el valor actual de cada renta.

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��

0142 1 134

iaaA ¬×= 14

05,0

)05,01(1000.5

14−+−

×=A

A = 49.493,20 Euros

5.000

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3

5.000 5.000 5.000 5.000 5.000

EJERCICIO 2:

Queremos comprar una maquinaria para nuestra empresa y consultamos con tres proveedores diferentes. Cada uno de ellos nos propone una forma de pago diferente. Compare la opción más favorable utilizando un porcentaje de valoración del 5%.

b) El proveedor B nos propone un pago inicial del 15,000 euros y siete pagos anuales de 6,500 euros. El primero de ellos, tres años después de la compra

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��

092 1 84

2

7 )1(000.15 −

¬ +×+= ixaaA i

27

)05,01(05,0

)05,01(1500.6000.15

−−

++−

×+= xA

A = 49.114,67 Euros

15.000

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3

6.500 6.500 6.500 6.500

5

6.500

7

6.500

6

6.500

EJERCICIO 2:

Queremos comprar una maquinaria para nuestra empresa y consultamos con tres proveedores diferentes. Cada uno de ellos nos propone una forma de pago diferente. Compare la opción más favorable utilizando un porcentaje de valoración del 5%.

c) El proveedor C nos financia la compra de la maquinaria mediante 8 pagos anuales constantes de 7,300 euros, el primero de ellos al momento de la compra.

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��

082 1 4

)1(8 ixaaA i +×= ¬

)05,01(05,0

)05,01(1300.7

8

++−

×=

xA

A = 49.540,53 Euros

7.300

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3

7.300 7.300

5

7.300

7

7.300

6

7.3007.300 7.300

EJERCICIO 3:

El señor Fortunato ha heredado de su abuelo una finca rústica. Como no sabe nada de campo, decide vender la finca a una empresa agrícola interesada. Si el porcentaje de valoración es del 3% y los rendimientos de la finca se estiman en 16.000 euros anuales, calcule el importe que el señor Fortunato pedirá por dicha finca.

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��

02 1 4

i

aA =∞

03,0

000.16=

∞A

A = 533.333,33 Euros

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3

16.000 16.00016.000 16.000

EJERCICIO 4:

Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:

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0102 1 84 3

a

5 76

aa

9

2a 2a 2a 2a 2a 3a 3a

R1 R2 R3

321 RRR AAAA ++=

i

82

353

)1()1(1

3)1()1(1

2)1(1 −

−−

−−

+⋅+−

⋅++⋅+−

⋅++−

⋅= ii

iai

i

ia

i

iaA

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��

EJERCICIO 4:

Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:

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0102 1 84 3

a

5 76

aa

9

2a 2a 2a 2a 2a 3a 3a

R1 R2 R3

321 RRR SSSS ++=

i

i

iai

i

iai

i

iaS

1)1(3)1(

1)1(2)1(

1)1( 22

57

3−+

⋅++⋅−+

⋅++⋅−+

⋅=

EJERCICIO 4:

Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:

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0102 1 84 3

a

5 76

aa

9

a a a a a a a

R1 R2

21 RR AAA +=

i’

555

)1('

)'1(1)1(1 −−−

+⋅+−

⋅++−

⋅= ii

ia

i

iaA

i

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��

EJERCICIO 4:

Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:

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0102 1 84 3

a

5 76

aa

9

a a a a a a a

R1 R2

21 RR SSS +=

i’

'

1)'1()'1(

1)1( 55

5

i

iai

i

iaS

−+⋅++⋅

−+⋅=

i

EJERCICIO 4:

Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:

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0102 1 84 3

a

5 76

aa

9

2a 2a 2a 2a 2a 3a 3a

R1 R2 R4

4321 RRRR AAAAA +++=

532

53

323

)1()'1('

)'1(13)1(

'

)'1(12)1(

)1(12

)1(1 −−−

−−

−−−

+⋅+⋅+−

⋅++⋅+−

⋅++⋅+−

⋅++−

⋅= iii

iai

i

iai

i

ia

i

iaA

i’i

R3

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EJERCICIO 4:

Plantee la equivalencia que permita calcular el valor actual y final de las siguientes rentas:

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0102 1 84 3

a

5 76

aa

9

2a 2a 2a 2a 2a 3a 3a

R1 R2 R4

4321 RRRR SSSSS +++=

'

1)'1(3)'1(

'

1)'1(2)'1(

1)1(2)'1()1(

1)1( 22

35

252

3

i

iai

i

iai

i

iaii

i

iaS

−+⋅++⋅

−+⋅++⋅

−+⋅++⋅+⋅

−+⋅=

i’i

R3

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TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Variables en Progresión

Aritmética (teoría)

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA

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n

n

n

n iaiaiaiaiaA −−−

−−−+⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅= )1()1()1()1()1( )1(

1

3

3

2

2

1

1 �

nnipnaipnaipaipaiaA

−−−−−−+⋅−+++⋅⋅−++++⋅+++⋅+++⋅= )1())1(()1())2(()1()2()1()()1(

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1

12 )1(−

¬− +⋅⋅= iapA in

2

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¬− +⋅⋅= iapA in

)2(

)2(1 )1( −−

¬−−− +⋅⋅=n

innn iapA

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¬−− +⋅⋅=n

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¬−−

¬−

¬−¬ +⋅⋅++⋅⋅+++⋅⋅++⋅⋅+⋅=n

inn

n

innininin iapiapiapiapaaA

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2)2(

1)1(

)1()1(1

)1()1(1

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)1()1(1 −−

−−−−−

−−−−

−−−

−−

¬ +⋅+−

⋅++⋅+−

⋅+++⋅+−

⋅++⋅+−

⋅+⋅=n

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⋅+⋅−

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i

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RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA

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TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Variables en Progresión

Geométrica (teoría)

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

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RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

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PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETASRentas Variables

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EJERCICIO 1:

Acabo de comenzar mis estudios de Administración de Empresas en la Universidad Pablo de Olavide de Sevillaynecesito ahorrar dinero para pagar un Master en un país extranjero que cursaré dentro de cuatro años, cuando finalice el grado. El coste del Master es de 30,000 euros.

Una entidad financiera me ofrece dos opciones de inversión, ambas a un tipo de interés anual del 3%

Primera: Un pago anual creciente en 500 euros cada año.

Segunda: Un pago anual creciente acumulativamente en un 4%

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a) Qué cantidad debo pagar el primer y último año en la Primera Opción?

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a+4p = 6.680,14 euros

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EJERCICIO 1:

Acabo de comenzar mis estudios de Administración de Empresas en la Universidad Pablo de Olavide de Sevillaynecesito ahorrar dinero para pagar un Master en un país extranjero que cursaré dentro de cuatro años, cuando finalice el grado. El coste del Master es de 30,000 euros.

Una entidad financiera me ofrece dos opciones de inversión, ambas a un tipo de interés anual del 3%

Primera: Un pago anual creciente en 500 euros cada año.

Segunda: Un pago anual creciente acumulativamente en un 4%

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b) Qué cantidad debo pagar el primer y último año en la Segunda Opción?

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EJERCICIO 2:

Tras el fallecimiento de mi tío Ruperto, recibimos en herencia mi hermano y yo dos fincas rústicas.Ambas generan unos beneficios anuales de 15,000 euros el primer año. Sin embargo se estima que los beneficios de

la primera se incrementen cada año en 1,500 euros, mientras que en la segunda se incrementarán cada año de forma acumulativa en un 2%.

Con qué finca rústica elegirías quedarte?

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0 1 42 3

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Finca 1:

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www.clasesuniversitarias.com RENTAS VARIABLES. PROBLEMAS

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TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Fraccionadas (teoría)

www.clasesuniversitarias.com

Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

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RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com

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RENTAS FRACCIONADAS

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PROBLEMAS DE RENTAS DISCRETASRentas Fraccionadas

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EJERCICIO 1:

Unos sellos que mi padre me regaló cuando era pequeño, han incrementado su valor enormemente. Tanto es así que acabo de venderlos por 25,000 euros. Como empiezo en 4 meses un grado en Administración de Empresas de cuatro años de duración, he decidido invertir este importe en una entidad que me abonará una cantidad trimestral, la primera de ellas dentro de cuatro meses.

Calcular la cantidad que cobraré cada vez, si la entidad trabaja con un tipo de interés del 3% efectivo mensual

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21

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a = 1.666,92 euros

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EJERCICIO 2:

A consecuencia de los impagos producidos, un cliente nos adeuda un importe que asciende a 18.000 euros. Nos propone para cancelar la deuda, pagar una cantidad trimestral durante cinco años. Utilizando un tipo de interés anual del 4% con liquidaciones semestrales.

Calcular el importe del primer pago si:

a) Las cantidades trimestrales se incrementan en 50 euros cada trimestre.

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18.000 a

T1

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4

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T19 T20

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T0 T6

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En este problema debo tener en cuenta una serie de factores:Me dan un tipo de interés J2

La renta es trimestral

Primero calculo el interés semestral equivalente al J2 02,02

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2

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Ji

Como hemos visto en la fórmula, necesito calcular el interés trimestral

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18.000 a

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⋅+−

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a+p

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T3

a+3p

T4

a+4p

T5

a+5p a+18p

T19 T20

5 años

T0 T6

a+19p

a = 538,43 euros

EJERCICIO 2:

A consecuencia de los impagos producidos, un cliente nos adeuda un importe que asciende a 18.000 euros. Nos propone para cancelar la deuda, pagar una cantidad trimestral durante cinco años. Utilizando un tipo de interés anual del 4% con liquidaciones semestrales.

Calcular el importe del primer pago si:

b) Las cantidades se mantienen constantes para cada trimestre se incrementan en 100 euros cada año.

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18.000

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inin vnai

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a a a a a+p a+p a+p a+p a+2p a+2p a+2p a+2p a+4pa+4p

a+4pa+4p

a+3p

En este problema debo tener en cuenta una serie de factores:Me dan un tipo de interés J2

La renta es trimestralLa renta es constante cada trimestre pero variable de año en año en progresión aritmética

Este tipo de rentas variables de año en año y constantes para cada periodo k-esimal se resuelven en dos partes

1 COMO SI SE TRATARA DE UNA RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

2 COMO NO ES ANUAL SINO TRIMESTRAL, SE CORRIGE

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+ ,

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)04,1504,0

)0404,1(1(

04,0

100

04,0

)0404,1(1000.18 5

55−

−−

⋅+−

⋅+−

⋅= a00995049,0

1)00995049,1( 4−

Primero calculo el interés semestral equivalente al J2

( ) k

k

k

k ii )1(1'

' +=+

Como hemos visto en la fórmula, necesito calcular tanto el interés trimestral (periodicidad de la renta) como el interés anual (variabilidad de la renta) equivalentes al tipo de interés semestral

0404,01)02,01( 2=−+=i

Entonces resolvemos en los dos pasos ya comentados:

02,02

04,0

2

22 ===

Ji

00995049,01)02,01( 4

2

4 =−+=i

a = 804,89 euros

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PRÉSTAMOS I: Préstamos que se amortizan

mediante pago único de capital(teoría)

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

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Situación

Inicial A

Situación

Alternativa B

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

0 1 2 nn-1

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Situación

Alternativa B

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

0 1 2 nn-1

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Situación

Inicial A

Situación

Alternativa B

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

0 1 2 nn-1

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(i’)

Situación

Inicial A

Situación

Alternativa B

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

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PRESTAMO PAGO ÚNICO DE CAPITAL

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PROBLEMAS DE Préstamos que se amortizan

mediante pago único de capital

Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

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EJERCICIO 1:

Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal junto con los intereses en un solo pago a los 15 años. El interés pactado asciende al 5%

a) ¿Qué cantidad debe entregar el prestatario al finalizar la operación?b) Llegado el final del año 5, su empresa generara recursos suficientes para cancelar el préstamo en su totalidad. Si

el tipo de interés de mercado fuera del 3,5%, que cantidad debería abonar para dicha cancelación?c) Si en lugar de cancelar el préstamo de forma total, hubiera entregado a cuenta 25.000 euros, ¿qué cantidad le

quedaría pendiente de abonar al finalizar la operación?

PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com

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EJERCICIO 1:

Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal junto con los intereses en un solo pago a los 15 años. El interés pactado asciende al 5%

a) ¿Qué cantidad debe entregar el prestatario al finalizar la operación?

0 1 2 nn-1

C niC )1( +⋅

La cantidad a abonar al finalizar el préstamo sería , que, para los dato de este problema resultaría:niC )1( +⋅

15)05,01(000.30)1( +⋅=+⋅

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EJERCICIO 1:

Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal junto con los intereses en un solo pago a los 15 años. El interés pactado asciende al 5%

b) Llegado el final del año 5, su empresa generara recursos suficientes para cancelar el préstamo en su totalidad. Si el tipo de interés de mercado fuera del 3,5%, que cantidad debería abonar para dicha cancelación?

0 1 2 nn-1

C niC )1( +⋅

0 1 2 nn-1

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(i’)

Situación Inicial A

Situación Alternativa B

Sólo podemos cambiar una situación porotra cuando ambas sean equivalentes

A(n)=B(n)

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PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com

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Sustituyendo en la equivalencia los datos del problema, quedaría:

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EJERCICIO 1:

Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal junto con los intereses en un solo pago a los 15 años. El interés pactado asciende al 5%

c) Si en lugar de cancelar el préstamo de forma total, hubiera entregado a cuenta 25.000 euros, ¿qué cantidad le quedaría pendiente de abonar al finalizar la operación?

0 1 2 nn-1

C niC )1( +⋅

0 1 2 nn-1

hP

h

(i’)

Situación Inicial A

Situación Alternativa B

Sólo podemos cambiar una situación porotra cuando ambas sean equivalentes

A(n)=B(n)

n

hn

h

n AiPiC ++⋅=+⋅− )()'1()1(

PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com

nA

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Sustituyendo en la equivalencia los datos del problema, quedaría:

nA+⋅=⋅− )515(15 )035,1(000.25)05,1(30000

EurosAn 88,102.27=

PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com

EJERCICIO 2:

Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal en un solo pago a los 15 años y los intereses anualmente. El interés pactado asciende al 5%

a) ¿Qué cantidad debe entregar el prestatario al finalizar la operación)b) Llegado el final del año 5, su empresa generara recursos suficientes para cancelar el préstamo en su totalidad. Si

el tipo de interés de mercado fuera del 3,5%, que cantidad debería abonar para dicha cancelación?c) Si en lugar de cancelar el préstamo de forma total, hubiera entregado a cuenta 25.000 euros, ¿cuál el el saldo

pendiente sobre el que pagaría intereses cada año y que tendría que devolver al finalizar la operación?

PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com

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EJERCICIO 2:

a) ¿Qué cantidad debe entregar el prestatario al finalizar la operación?

0 1 2 nn-1

C CiC +⋅

La cantidad a abonar al finalizar el préstamo sería , que, para los dato de este problema resultaría:CiC +⋅

000.3005,0000.30 +⋅=+⋅ CiC Euros00,500.31=

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Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal en un solo pago a los 15 años y los intereses anualmente. El interés pactado asciende al 5%

iC ⋅ iC ⋅ iC ⋅

EJERCICIO 2:

Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal junto con los intereses en un solo pago a los 15 años. El interés pactado asciende al 5%

b) Llegado el final del año 5, su empresa generara recursos suficientes para cancelar el préstamo en su totalidad. Si el tipo de interés de mercado fuera del 3,5%, que cantidad debería abonar para dicha cancelación?

0 1 2 nn-1

hX

h

(i’)

Situación Inicial A

Situación Alternativa B

Sólo podemos cambiar una situación porotra cuando ambas sean equivalentes

A(n)=B(n)

)(

' )'1( hn

hihn iXCSiC −

¬− +⋅=+⋅⋅

PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com

0 1 2 nn-1

C CiC +⋅iC ⋅ iC ⋅ iC ⋅

h h+1

iC ⋅iC ⋅

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Sustituyendo en la equivalencia los datos del problema, quedaría:

)515()515(

)035,1(000.30035,0

1)035,1(05,0000.30 −

⋅=+−

⋅⋅ hX

EurosX n 47,742.33=

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)515()035,1(000.3009,597.17 −⋅=+ hX

0 1 2

hP

h(i’)

Situación Inicial A

Situación Alternativa B

Sólo podemos cambiar una situación porotra cuando ambas sean equivalentes

A(n)=B(n)

PAGO ÚNICO CAPITAL. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com

0 1 2 nn-1

C CiC +⋅iC ⋅ iC ⋅ iC ⋅

h h+1

iC ⋅iC ⋅

c) Si en lugar de cancelar el préstamo de forma total, hubiera entregado a cuenta 25.000 euros, ¿cuál el el saldo pendiente sobre el que pagaría intereses cada año y que tendría que devolver al finalizar la operación?

nn-1

SiS +⋅iS ⋅

h+1

iS ⋅

EJERCICIO 2:

Un estudiante solicita un préstamo de 30.000 euros para invertirlos en crear su propia empresa. Se compromete a devolver el nominal en un solo pago a los 15 años y los intereses anualmente. El interés pactado asciende al 5%

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Sustituyendo en la equivalencia los datos del problema, quedaría:

SS +−

⋅⋅+⋅=+−

⋅⋅−

−−

035,0

1)035,1(05,0)035,1(000.25000.30

035,0

1)035,1(05,0000.30

)515()515(

)515(

EurosS 82,728.7=

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)1035,0

1)035,1(05,0(97,264.35000.3009,597.17

10

+−

⋅+=+ S

SSiSiPCSiC ihn

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¬− '

)(

' )'1(

Sólo podemos cambiar una situación por otra cuando ambas sean equivalentes

A(n)=B(n)

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PRÉSTAMOS II: Sistema Francés:

anualidad constante(teoría)

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

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SISTEMA FRANCÉS

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imimCam ⋅+⋅−−= 213 )(

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SISTEMA FRANCÉS

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SISTEMA FRANCÉS

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SISTEMA FRANCÉS

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a iSI kk ⋅= −1 kk Iam −= kkk mTT += −1 kkk mSS −= −1

a iSI nn ⋅= −1 nn Iam −= CTn = 0=nS

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iCa

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SISTEMA FRANCÉS

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Ca

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iSI ⋅= 12 22 Iam −= 212 mTT += 212 mSS −=a

a iSI nn ⋅= −1 nn Iam −= CTn = 0=nS

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PROBLEMASPréstamos que se amortizan

mediante anualidad constante

Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

www.clasesuniversitarias.com

EJERCICIO 1:

Una empresa solicita un préstamo de 50.000 euros para la compra de una maquinaria. Se compromete a devolver el nominal más los intereses mediante anualidades constantes, en 10 años, y con un interés del 5%

Calcule la fila sexta del cuadro de amortización del préstamo (correspondiente al quinto año de amortización)

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año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente

5 a I5 m5 T5 S5

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SISTEMA FRANCES. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com

año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente

5 a I5 m5 T5 S5

Anualidad

ina

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05,0

)05,01(1

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Cuota de Interés

iSI kk ⋅= − 1 iSI ⋅= 45

05,0)410(4 ¬−⋅= aaSiknk aaS ¬−⋅= )( 27,866.3205,0

)05,1(123,475.6

6

4 =−

⋅=−

S

EurosI 31,643.105,027,866.325 =⋅=

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año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente

5 a I5 m5 T5 S5

Cuota de amortización

kk Iam −=

Total amortizado

ikk smT¬

⋅= 1

11 Iam −=

i

imT

1)1( 5

15

−+⋅=

31,643.123,475.655 −=−= Iam Eurosm 92,831.45 =

iCam ⋅−=1 23,975.305,0000.5023,475.61 =⋅−=m

EurosT 65,965.2105,0

1)05,1(23,975.3

5

5 =−

⋅=

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año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente

5 a I5 m5 T5 S5

Saldo pendiente de amortizar

kk STC += 65,965.21000.5055 −=−= TCS EurosS 35,034.285 =

año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente

5 6.475,23 1.643,31 4.831,92 21.965,65 28.034,35

EJERCICIO 2:

Un préstamo se amortiza según el siguiente esquema:- Durante los primeros dos años no se realiza ningún pago- A partir del tercer año, tres anualidades constantes de cuantía a- Después tres anualidades de cuantía ‘2a- Por último, cuatro anualidades de cuantía ‘3ª

a) Plantear la ecuación financiera que permitiría calcular la cuantía del préstamo.

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03 12

C

2 1 11

a

4 5 6

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7

2a

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10

3a

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SISTEMA FRANCES. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com

03 12

C

2 1 11

a

4 5 6

a 2a 3a3a

7

2a

8

2aa

9

3a

10

3a

Equivalencia en el momento 0

84

53

23

)1()1(1

3)1()1(1

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i

iai

i

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Equivalencia en el momento 2

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333

2 )1()1(1

3)1()1(1

2)1(1

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−−−

+⋅+−

⋅++⋅+−

⋅++−

⋅=+⋅ ii

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i

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i

iaiC

2)1( iC +

EJERCICIO 2:

Un préstamo se amortiza según el siguiente esquema:- Durante los primeros dos años no se realiza ningún pago- A partir del tercer año, tres anualidades constantes de cuantía a- Después tres anualidades de cuantía ‘2a- Por último, cuatro anualidades de cuantía ‘3ª

b) Si la entidad financiera trabaja con un interés del 4% y el importe del préstamo asciende a 50,000 euros, calcule el importe de la primera anualidad (año 3) y la última (año 12)

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2 1 11

a

4 5 6

a 2a 3a3a

7

2a

8

2aa

9

3a

10

3a

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333

2 )1()1(1

3)1()1(1

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i

ia

i

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64

333

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)04,1(13)04,1(

04,0

)04,1(12

04,0

)04,1(1)04,1(000.50 −

−−

−−

⋅−

⋅+⋅−

⋅+−

⋅=⋅ aaa

))04,1(04,0

)04,1(13)04,1(

04,0

)04,1(12

04,0

)04,1(1()04,1(000.50 6

43

332 −

−−

−−

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⋅+⋅−

⋅+−

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03 12

C

2 1 11

a

4 5 6

a 2a 3a3a

7

2a

8

2aa

9

3a

10

3a

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)04,1(13)04,1(

04,0

)04,1(12

04,0

)04,1(1()04,1(000.50 6

43

332 −

−−

−−

⋅−

⋅+⋅−

⋅+−

=⋅ a

)606277,893409,477509,2(080.54 ++⋅= a

Eurosa 65,314.3=

Eurosa 94,943.93 =

2)1( iC +

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PRÉSTAMOS III: Sistema Uniforme:

Cuota de amortización constante(teoría)

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

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n

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11 TCS −=

mIa k += iSI kk ⋅= −1 m mTT kk += −1 mSS kk −= −1

mIa n += iSI nn ⋅= −1 m CTn = 0=nS

SISTEMA UNIFORME

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n

iCm

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iSI ⋅= 12 m mTT += 12 mSS −= 12mIa += 2

mIa n += iSI nn ⋅= −1 m d

n iCT )1( +⋅= 0=nS

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SISTEMA UNIFORME

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SISTEMA UNIFORME

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SISTEMA UNIFORME

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SISTEMA UNIFORME

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SISTEMA UNIFORME

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PROBLEMASPréstamos que se amortizan

mediante cuotas de amortización constante

Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

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EJERCICIO 1:

Una empresa solicita un préstamo de 50.000 euros para la compra de una maquinaria. Se compromete a devolver el préstamo mediante cuotas de amortización constantes, en 10 años, y con un interés del 5%

Calcule la fila sexta del cuadro de amortización del préstamo (correspondiente al quinto año de amortización)

SISTEMA UNIFORME. PROBLEMASwww.clasesuniversitarias.com

año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente

5 ak I5 m T5 S5

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año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente

5 a5 I5 m T5 S5

Cuota de Amortizacón

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Cm =

10

000.50=m Eurosm 000.5=

Total Amortizado

kmT k ⋅= EurosT 000.25000.555 =⋅=

SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS

Saldo pendiente de amortizar

kk TCS −= mknmkmnS k ⋅−=⋅−⋅= )( EurosS 000.25000.555 =⋅=

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año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente

5 a I5 m5 T5 S5

Cuota de Interés

iSI kk ⋅= − 1

Anualidad

kk Ima +=

000.30000.56)410(4 =⋅=⋅−= mS

05,0000.305 ⋅=I

SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS

EurosI 500.15 =

500.1000.55 +=a Eurosa 500.65 =

año Anualidad C. Interés C. Amortización Total Amortizado Saldo Pendiente

5 6.500 1.500 5.000 25.000 25.000

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EJERCICIO 2:

Un préstamo que se amortiza mediante el sistema uniforme, presenta las siguientes características:- Durante los primeros dos años no se realiza ningún pago- A partir del tercer año, tres cuotas de amortización de cuantía m- Después tres cuotas de amortización de cuantía 2m- Por último, cuatro cuotas de amortización de cuantía 3m

a) Plantear la ecuación financiera que permitiría calcular la cuantía del préstamo.

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03 12

C

2 1 11

m

4 5 6

m 2m 3m3m

7

2m

8

2mm

9

3m

10

3m

SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS

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03 12

C

2 1 114 5 6 7 8 9 10

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SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS

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EJERCICIO 2:

Un préstamo que se amortiza mediante el sistema uniforme, presenta las siguientes características:- Durante los primeros dos años no se realiza ningún pago- A partir del tercer año, tres cuotas de amortización de cuantía m- Después tres cuotas de amortización de cuantía 2m- Por último, cuatro cuotas de amortización de cuantía 3m

b) Si la entidad financiera trabaja con un interés del 4% y el importe del préstamo asciende a 50,000 euros, calcule el importe de la primera cuota de amortización (año 3) y la última cuota de amortización (año 12)

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03 12

C

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SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS

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EJERCICIO 2:

Un préstamo que se amortiza mediante el sistema uniforme, presenta las siguientes características:- Durante los primeros dos años no se realiza ningún pago- A partir del tercer año, tres cuotas de amortización de cuantía m- Después tres cuotas de amortización de cuantía 2m- Por último, cuatro cuotas de amortización de cuantía 3m

c) Con los datos del apartado b) calcular la anualidad correspondiente al octavo año.

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03 12

C

2 1 114 5 6 7 8 9 10

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SISTEMA UNIFORME. PROBLEMAS

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mIa 288 += 24,575.2213,442.18 ⋅+=a

Eurosa 61,592.68 =

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EJERCICIOS REPASO I

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EJERCICIOS DE REPASO

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0 6 meses 7 años

1.000 2.500

4 años

3.000

22 trimestres

0,5 años 5,5 años

3 años

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EJERCICIOS DE REPASOwww.clasesuniversitarias.com

EJERCICIOS DE REPASO

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0

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364 días

EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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0

962,41 983,56

100 días

EJERCICIOS DE REPASO

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56,983)365

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990,56 996

364días

EJERCICIOS DE REPASO

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100 días

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C C

90 días

EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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3

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EJERCICIOS DE REPASO

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0 8 años

47.952

3 años

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01,03

03,0

3

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2

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2

22 ===

Ji

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48.000 60.623,86

8

EJERCICIOS DE REPASO

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( ) 86,606231480008

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0

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 362

162136

2

1624122

09,116,102,109,116,102,1005,1×××××××

×××+××××= ACCn

0 2 años 18 años

C A

12 años6 años

i2 = 2% J1/2 = 8%

5 años

J12 = 6% i3 = 9%

005,012

06,012 ==i 16,0

21

08,02/1 ==i

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

4

4

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4

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS REPASO II

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EJERCICIOS DE REPASO

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EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

Introduccion.

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Un empréstito es una modalidad especial de préstamo por la cual el prestatario recibe un capital dividido enfracciones llamadas obligaciones y que son representadas por títulos negociables. En las obligaciones secompromete el pago de un interés o cupón y la devolución del principal con unas condiciones pactadaspreviamente.

La emisión puede hacerse

•Por la propia entidad emisora, que directamente pone en circulación los títulos con el riesgo de la nocolocación del total.

•A través de un banco o grupo de bancos que adquiere la totalidad del empréstito e impone un comisión enconcepto de gestión.

Ventajas para el prestatario (EMISOR):

•Se salva la dificultad de encontrar un único prestamista para grandes capitales

•Conveniencia de no depender de un único acreedor

•Facilita la inversión al pequeño ahorrador

Ventajas para el prestamista (OBLIGACIONISTA)

•Supone un posibilidad de inversión diversificando sus riesgos.

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Introduccion.

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Para cada obligación hemos de diferenciar los siguientes conceptos de VALOR:

• VALOR NOMINAL, es el valor que aparece impreso en los títulos y representa la fracción de préstamo de la que espropietario el obligacionista. Se utiliza, además, como valor de referencia.

•VALOR DE EMISIÓN, valor al que se ponen en circulación los títulos. Generalmente será igual o inferior al valornominal (prima de emisión).

• VALOR EFECTIVO O DE COTIZACIÓN, valor que tiene el título en el mercado secundario en un determinadomomento.

• VALOR DE REEMBOLSO O DE AMORTIZACIÓN, valor por el que la entidad emisora se compromete a retirar eltítulo de circulación, es decir, a amortizarlo. Generalmente será igual o superior al valor nominal (prima deamortización).

EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

Introduccion.

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Además, la emisión de un empréstito conlleva gastos de diversa índole:

- Emisor: constitución de garantía real (hipoteca), gastos de protocolo y registro, comisión a intermediarios,publicidad, marketing…

- Obligacionista: impuesto sobre la renta, derechos de custodia…

Llamaremos efectivo de la emisión al producto del nº de títulos por el valor de emisión. Llamaremos líquido de

la emisión al valor anterior deducidos los gastos satisfechos en la emisión.

EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

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Clasificación de los Empréstitos.

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•Según el desembolso que realizan los suscriptores,

•A la par

•Sobre la par (prima de emisión)

•Bajo la par

•Según los intereses que reciben las obligaciones

•Interés fijos (periódicos o con cupón, acumulados o sin cupón)

•Interés variable

•Interés fijo y participación en beneficios de la empresa (dividendos)

•Según el plazo de reembolso

•Sin plazo de reembolso

•Sin cancelación escalonada

•Con cancelación escalonada

•Plan de amortización anual establecido a priori

•Plazo máximo de amortización pero sin plan anual

EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

Clasificación de los Empréstitos.

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•Según el pago por reembolso•A la par•Sobre la par o con prima de amortización•Con premios o lotes

•Según la naturaleza de la entidad emisora•Privados•Públicos

EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

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Nomenclatura de los Empréstitos.

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Nh=Número de títulos vivos al inicio del período h, h=1,…,n

N1= Número de títulos emitidos

n= duración de empréstito

Mh= número de títulos amortizado en el período h

mh= pago por amortización del periodo h

C= valor nominal de cada título

C·i= cupón periódico

i= tanto de interés del empréstito

Ih= Pago por cupones del período h

Th= Títulos amortizados hasta el período h

ah= Anualidad o término amortizativo del período h

ah=Ih+mh

ah=C·i·Nh+C·Mh

EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

Empréstitos que vamos a estudiar en este curso.

www.clasesuniversitarias.com EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

Empréstito Normal o Puro: anualidad constante y amortización a la par.

Empréstitos que se amortizan mediante rentas:

Empréstito que se amortiza mediante anualidades variables en progresión aritmética de razón “d”.

Empréstito que se amortiza mediante anualidades variables en progresión geométrica de razón “r”.

(empréstitos de tipo II, operaciones de emisión en las que las anualidades son variables pero los cupones se mantienen constantes durante la vida del empréstito)

Empréstitos Cupón Cero: sólo se pagan intereses a los obligacionistas cuyos títulos amortiza.

Empréstitos con pago de cupón fraccionado.

Empréstitos con amortización única total.

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Empréstitos que vamos a estudiar en este curso.

www.clasesuniversitarias.com EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

Empréstitos con reducción del nominal: todos los títulos se mantienen vivos hasta el final del empréstito ycada año se amortiza una cantidad del nominal.

Empréstitos no amortizables: el único compromiso por parte del emisor es el pago de cupones de formaindefinida.

Empréstitos con características comerciales: prima de emisión, prima de amortización, lotes y pérdida delúltimo cupón.

Empréstito con prima de amortización y cupón vencido fijo

Empréstito con pago de cupón anticipado

Empréstito con reembolso a la par y pérdida del último cupón vencido (amortización seca)

Empréstitos amortizables a la par, con cupón vencido fijo y lotes.

Tanto efectivo para el obligacionista y para el inversor.

Cuadro de Amortización

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MÉTODO DE REDONDEO. A partir de los valores teóricos Mh se calculan los valores reales, que seránlos que se incluyan en el cuadro de amortización, por simple redondeo y asegurándonos que suman eltotal de títulos emitidos.

AÑO ah Ih mh Mh Th Nh+1

0 - - - - - N1

1 a1=I1+m1 N1·C·i C·M1 M1 M1 N1-M1

2 a2=I2+m2 N2·C·i C· M2 M2 M1+ M2 N1-(M1+ M2)

… … … … … … …

EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

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Cuadro de Amortización

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MÉTODO DE CAPITALIZACIÓN DE LOS RESIDUOS. Aproximamos por defecto la diferencia entre laanualidad teórica y la anualidad práctica o real. La diferencia o residuo se capitaliza para ser utilizada enla amortización del año siguiente.

AÑOAnualidad disponible

Anualidad real

IhAmortización

teóricaMh

Amortización real

Residuos

0 - - - - - - -

1 at1=a a1=I1+m1 N1·C·i at

1-I1 C·M1 R1=a1t-a1

2 at2=a+R1(1+i) a2=I2+m2 N2·C·i at

2-I2 C· M2R2=a2

t-a2

… … … … … … … …

EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

Cuadro de Amortización

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MÉTODO DE CAPITALIZACIÓN DE LOS RESIDUOS. Aproximamos por defecto la diferencia entre laanualidad teórica y la anualidad práctica o real. La diferencia o residuo se capitaliza para ser utilizada enla amortización del año siguiente.

AÑOResiduos

capitalizadosTh Nh+1

0 - - N1

1 R1(1+i) M1 N1-M1

2 R2(1+i) M1+M2 N1-(M1+M2)

… … … …

EMPRÉSTITOS. INTRODUCCIÓN

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EMPRÉSTITO NORMAL O PURO

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EMPRÉSTITO NORMAL O PURO

Amortización mediante Anualidad Constante: Empréstito Normal o Puro.

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Son los llamados Empréstitos de Tipo I, en los que tanto la anualidad como el interés permanececonstante. En este caso ah=a y la anualidad se calcula a través de la ecuación que establece laequivalencia financiera entre lo que la sociedad emisora está comprometida a pagar en el momento inicialy la actualización financiera del flujo de anualidades, que emplea en la amortización de obligaciones ypago de intereses periódicos

inin a

CNaaaCN

|

1|1

⋅=�⋅=⋅

Segundo calculo el número de títulos amortizado cada año

11 mIa +=Año 1:11 MCiCNa ⋅+⋅⋅=

C

iCNaM

⋅⋅−= 1

1

Año 2:22 mIa +=

22 MCiCNa ⋅+⋅⋅=C

iCMNa

C

iCNaM

⋅⋅−−=

⋅⋅−=

)( 1122

C

iCM

C

iCNaM

⋅⋅+

⋅⋅−= 11

2)1(1112 iMiMMM +⋅=⋅+=

Primero calculo la anualidad

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EMPRÉSTITO NORMAL O PURO

Amortización mediante Anualidad Constante: Empréstito Normal o Puro.

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Año 3: 33 mIa +=33 MCiCNa ⋅+⋅⋅=

C

iCMMNa

C

iCNaM

⋅⋅−−−=

⋅⋅−=

)( 21133

C

iCM

C

iCM

C

iCNaM

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅−= 211

3iMiMMM ⋅+⋅+= 2113

)1(2223 iMiMMM +⋅=⋅+= 2

13 )1( iMM +⋅=

Año k:)1(

1 )1( −+⋅=

k

k iMM

Para obtener M1: nMMMMN ++++= ...3211

)1(

1

2

1111 )1(...)1()1( −+⋅+++⋅++⋅+=

niMiMiMMN

))1(...)1()1(1( )1(2

11

−+++++++⋅=

niiiMN

inSMN ¬⋅= 11

inS

NM

¬

= 11

EMPRÉSTITO NORMAL O PURO

Amortización mediante Anualidad Constante: Empréstito Normal o Puro.

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Tercero: calculo el total de títulos amortizados.

hh MMMT +++= ...21

Cuarto: el número de títulos vivos en cada momento puede calcularse a partir de la anterior expresión,teniendo en cuenta en cualquier caso, que Nh está definido al principio de cada año.

11 −−= hh TNN

ihh SMT|1=

1

111 )1(...)1( −+++++=

h

h iMiMMT

Quinto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de obligaciones que se amortizancada año (Mk) por el Valor Nominal de cada título (C)

CMm hh ⋅=

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EMPRÉSTITO NORMAL O PURO

Amortización mediante Anualidad Constante: Empréstito Normal o Puro.

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Sexto: la cuota de interés de cualquier año se calcula multiplicando la cuantía del cupón (Ci) por elnúmero de títulos vivos al principio de ese año.

Séptimo: la suma de la cuota de interés y de la cuota de amortización, determinarán la anualidadconstante

iCNI hh ⋅⋅=

Hay que distinguir entre la anualidad teórica y la anualidad real, derivadas del número de obligaciones realy teórico que se amortizan cada año.

Todo esto difiere por el proceso de redondeo

CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=hh mIa +=

EMPRÉSTITO NORMAL O PURO

Ejemplo de Empréstito Normal o Puro.

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Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 1000 títulos u obligaciones de 100€ de nominal cada uno de ellos a amortizar mediante anualidad constante durante 10 años y por el que se pagará un cupón anual por título de 8€.

Calculamos la anualidad teórica

inaaCN¬

⋅=⋅1

ina

CNa

¬

⋅= 1

08,0

)08,1(1

100000.110−

⋅=a €95,902.14=a

Y calculamos el número de títulos que se amortizan el primer año,

inS

NM

¬

= 11

i

i

NM

n1)1(

11

−+=

08,0

1)08,1(

000.1101

−=M 03,691 =M

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EMPRÉSTITO NORMAL O PURO

Ejemplo de Empréstito Normal o Puro.

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Para calcular, a partir de M1, los títulos que se amortizan cada año, )1(1 iMM hh +⋅= −

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"�#Total

EMPRÉSTITO NORMAL O PURO

Ejemplo de Empréstito Normal o Puro.

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Podemos resolver el empréstito,

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EMPRÉSTITOS CON NÚMERO DE OBLIGACIONES CONSTANTE

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EMPRÉSTITO NUMERO OBLIGACIONES CONSTANTE

Introduccion.

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Primero: Se calcula el número de obligaciones constantes que se amortizan cada año.

n

NMMMMM n

1321 ... ======

Segundo: Calculamos el número de obligaciones amortizadas hasta cierto momento se calculafácilmente como

MhMMMTh ⋅=+++= ...

Tercero: El número de obligaciones vivas al principio del período h,

))1((11 −−=−= − hnMTNN hh

Se trata de Empréstitos en los que el interés permanece constante y durante los n períodos que dura elEmpréstito se amortiza el mismo número de obligaciones.

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EMPRÉSTITO NUMERO OBLIGACIONES CONSTANTE

Introduccion.

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Cuarto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de obligaciones que se amortizancada año (M) por el Valor Nominal de cada título (C), que en este caso será una cantidad constante.

CMmh ⋅=

Quinto: la cuota de interés de cualquier año se calcula multiplicando la cuantía del cupón (Ci) por elnúmero de títulos vivos al principio de ese año.

iCNI hh ⋅⋅=

Sexto: la suma de la cuota de interés y de la cuota de amortización, determinarán la anualidad

CMiCNa h ⋅+⋅⋅=hh mIa +=

EMPRÉSTITO NUMERO OBLIGACIONES CONSTANTE

Introduccion.

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En este tipo de empréstitos la anualidad no es constante. Sin embargo, la variablidad que representan,tiene una concordancia, como podemos ver…

111 mIa +=Año 1: MCiCNa ⋅+⋅⋅= 11

Año 2:222 mIa += MCiCNa ⋅+⋅⋅= 22

MCiCMNa ⋅+⋅⋅−= )( 12

iMCMCiCNa ⋅⋅−⋅+⋅⋅= 12iMCaa ⋅⋅−= 12

Año 3: 333 mIa += MCiCNa ⋅+⋅⋅= 33MCiCMNa ⋅+⋅⋅−= )2( 13

iMCMCiCNa ⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅= 213iMCaa ⋅⋅⋅−= 213

Año h: iMChaah ⋅⋅⋅−−= )1(1

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Ejemplo de Empréstito con Amortización Constante de Obligaciones.

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Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 1000 títulos u obligaciones de 100€ de nominal cada uno de ellos a amortizar el mismo número de títulos durante 10 años y por el que se pagará un cupón anual por título de 8€.

Calculamos el número de títulos que se amortizan cada año,

n

NM 1=

10

000.1=M 100=M

Para estos datos, podemos resolver el Empréstito, en su totalidad, si nos piden que elaboremos el cuadrode amortización, o para un año(s) concretos, de manera similar.

EMPRÉSTITO NUMERO OBLIGACIONES CONSTANTE

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Podemos resolver el empréstito,

Ejemplo de Empréstito con Amortización Constante de Obligaciones.

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EMPRÉSTITO NUMERO OBLIGACIONES CONSTANTE

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EMPRÉSTITOS CON CUPÓN CERO Y ANUALIDAD CONSTANTE

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO

Introduccion.

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Primero: Calculamos la anualidad teórica constante a través de la equivalencia básica, como elempréstito normal,

inaaNC ¬⋅=⋅ 1

Segundo: Calculamos el número de obligaciones que se amortiza cada año, obteniendo en primer lugar, M1

En este empréstito, la entidad emisora sólo paga interés a aquellas obligaciones que son amortizadas.Cada anualidad contiene, por tanto, el pago por la amortización del número de títulos que se amortiza, másel pago por cupones de dichas obligaciones, capitalizadas el número de años que se han mantenido vivas.

Pero en este caso la anualidad es igual ah

h

h MiCa ⋅+⋅= )1(

El año 1,11 )1( MiCa ⋅+⋅= De donde

)1(1

iC

aM

+⋅=

ina

NCa

¬

⋅= 1

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EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO

Introduccion.

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A partir de M1, podemos calcular el resto de las Mh, a partir de la equivalencia:

de donde,

1

1

1 )1(

)1(

+

+

+ ⋅+⋅

⋅+⋅=

h

h

h

h

h

h

MiC

MiC

a

a1

1 )1(1

iM

M

a

a

h

h

+⋅==

+

1

1 )1( −

+ +⋅= iMM hh

Generalizando, h

h iMM −

+ +⋅= )1(11

Tercero: Calculamos el número de obligaciones vivas al comienzo de cada año. Lo hacemos teniendo encuenta que, cualquier año, el valor actualizado de las anualidad es pendientes de vencimiento, será igual alnúmero de títulos vivos por el cupón acumulado (cupón cero)

ihnh

h aaNiC ¬−+ ⋅=⋅+⋅ 1)1(h

ihnh

iC

aaN

)1(1

+⋅

⋅= ¬−

+

Introduccion.

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Cuarto: obtenemos el total de títulos amortizados hasta un momento determinado

hh MMMMT ++++= ...321

EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO

)1(

1

2

1

1

11 )1(...)1()1( −−−−+⋅+++⋅++⋅+=

h

h iMiMiMMT

[ ])1(21

1 )1(...)1()1(1 −−−−+++++++⋅=

h

h iiiMT

)1(1 iaMT ihh +⋅⋅=¬

Como,)1(

1iC

aM

+⋅= y

ina

NCa

¬

⋅= 1 entonces,

)1(

1

1iC

a

NC

M in

+⋅

= ¬

)1(

11

ia

NM

in +⋅=

¬

Sustituyendo en la formula de Th,1N

a

aT

in

ihh

¬

¬=

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Introduccion.

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Quinto: la anualidad real la calculamos mediante la fórmula:

EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO

Séptimo: la cuota de interés de cualquier año se calcula restando a la anualidad real la cuota deamortización ya calculada.

hhh maI −=

Sexto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de títulos que se amortiza ese año porel nominal.

CMm hh ⋅=

h

h

h MiCa ⋅+⋅= )1(

Ejemplo de Empréstito con Anualidad Constante y Cupón Cero

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Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 10.000 títulos u obligaciones de 150€ de nominal cada uno a una tasa de interés anual constante del 5%, que se amortizará en los próximos 5 años mediante anualidad constante y cupón cero.

Calculamos la anualidad constante (teórica),

ina

CNa

¬

= 1

05,0

)05,1(1

150000.105−

⋅=a €22,462.346=a

EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO

Y calculamos el número de títulos que se amortizan el primer año,

)1(

11

ia

NM

in +⋅=

¬)05,1(

05,0

)05.1(1

000.1051

⋅−

=−

M76,199.21 =M

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Para calcular, a partir de M1, los títulos que se amortizan cada año, 1

1 )1( −

+ +⋅= iMM hh

Ejemplo de Empréstito con Anualidad Constante y Cupón Cero

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EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO

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Ejemplo de Empréstito con Anualidad Constante y Cupón Cero

EMPRÉSTITO CON CUPÓN CERO

Podemos resolver el empréstito,

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EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL

www.clasesuniversitarias.com

Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL

Empréstito con Reducción de Nominal

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En este caso todos los títulos permanecen vivos hasta el final del empréstito, y cada año se amortiza unacantidad del nominal, generalmente constante.

Ch = cantidad pendiente de amortizar al inicio del año h

Ah = cantidad que se amortiza el año h

Mh = cuantía total amortizada hasta el año h

Como consideramos que todos los años se amortiza la misma cantidad de nominal…n

CAAh ==

La cuantía total amortizada hasta el año h, sería AhM h ⋅=

Y la cantidad de nominal que queda por amortizar al principio del año h, sería )1(( −−⋅= hnACh

Page 198: juangonzalezdiaz.com · 5 ) ( ˆ ) . ˆ ) ˆ ˆ˙ Q ˆ # ˆ ˘ ˆ & (1 ) 1 Dc Dr ni ni Dc Dr = + + = ( ˆ . C . ( ˆ ˘ . ˆ $ ˆ 1. N 2. ˆ . E . n i C i

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EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL

Empréstito con Reducción de Nominal

www.clasesuniversitarias.com

Calculamos las cuotas de amortización, que será el número de títulos vivos (todos) por la cantidad que se amortiza decada título.

ANmh ⋅= 1

La cuota de interés se obtendrá multiplicando el interés, por la cantidad de cada título pendiente de amortizar, por elnúmero de títulos vivos.

iCNI hh ⋅⋅= 1

EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL

Empréstito con Reducción de Nominal

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hhh mIa +=

Luego calculamos la anualidad, que sería igual a la cuota de interés más la cuota de amortización.

iCNI hh ⋅⋅= 1

n

CNANmh ⋅=⋅= 11

n

CNiCNa hh ⋅+⋅⋅= 11

Y en este caso, la anualidad representa una Renta Variable en Progresión Aritmética, de razónn

iCN ⋅⋅− 1

Año h:n

CNiCNa hh ⋅+⋅⋅= 11 ))1(((1

n

Cihn

n

CNah +⋅−−⋅⋅=

)1)1(((1 +⋅−−⋅⋅

= ihnn

CNah

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EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL

Empréstito con Reducción de Nominal

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Año h+1:n

CNiCNa hh ⋅+⋅⋅= ++ 1111 ))((11

n

Cihn

n

CNah +⋅−⋅⋅=+

)1)((1 +⋅−⋅⋅

= ihnn

CNah

Año h+1 – Año h: )1))1((()1)(( 111 +⋅+−⋅

⋅−+⋅−⋅

⋅=−+ ihn

n

CNihn

n

CNaa hh

in

CNaa hh ⋅−⋅

⋅=−+ 11

1n

iCNaa hh

⋅⋅−=−+

11

Por tanto, también podemos calcular la cuantía de cualquier anualidad a partir de la anualidad delprimer año, ya que son variables en progresión aritmética…

Ejemplo de Empréstito con Reducción de Nominal

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Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 7,500 títulos u obligaciones de 200€ de nominal cada uno de ellos a una tasa de interés constante del 4,5%, que se amortizará en los próximos 8 años mediante empréstitos con reducción de nominal, siendo la cantidad que se amortiza de cada títulos, constante cada año

EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL

Empezamos calculando la cantidad de nominal que se amortiza cada año…

n

CAAh == 25

8

200=== AAh

Y ya estamos en disposición de resolver el cuadro de amortización

Page 200: juangonzalezdiaz.com · 5 ) ( ˆ ) . ˆ ) ˆ ˆ˙ Q ˆ # ˆ ˘ ˆ & (1 ) 1 Dc Dr ni ni Dc Dr = + + = ( ˆ . C . ( ˆ ˘ . ˆ $ ˆ 1. N 2. ˆ . E . n i C i

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Podemos resolver el empréstito,

EMPRÉSTITO CON REDUCCIÓN DE NOMINAL

Ejemplo de Empréstito con Reducción de Nominal

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EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN

Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.

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Este tipo de empréstito se caracteriza porque presenta una prima de amortización como característicacomercial, es decir, las obligaciones se amortizan por un valor superior al nominal

)( PCMm hh +⋅=La cuota de amortización estará formada por,

hhh mIaa +==Y por tanto, la anualidad será igual a )( PCMiCNa hh +⋅+⋅⋅=

Hasta ahora sólo sabemos resolver un Empréstito con una anualidad del tipo.

CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=

Por lo que vamos a convertir la anualidad del empréstito con prima de amortización en un empréstito“normal” a través de un proceso de “normalización”.

Page 202: juangonzalezdiaz.com · 5 ) ( ˆ ) . ˆ ) ˆ ˆ˙ Q ˆ # ˆ ˘ ˆ & (1 ) 1 Dc Dr ni ni Dc Dr = + + = ( ˆ . C . ( ˆ ˘ . ˆ $ ˆ 1. N 2. ˆ . E . n i C i

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EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN

Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.

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)( PCMiCNa hh +⋅+⋅⋅=

Este proceso de normalización consiste en transformar, la anualidad

'CPC =+

Y para ello convertimos,

En una anualidad que sepamos como resolver, del tipo,

''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=

'' iCiC ⋅=⋅

Con los valores C’ e i’ resolveremos el empréstitocomo si fuera un empréstito normal

''

C

iCi

⋅=�

EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN

Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.

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'|

1'|1

''

in

ina

CNaaaCN

⋅=�⋅=⋅

Segundo calculo el número de títulos amortizado cada año

11 mIa +=Año 1:11 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=

'

''11

C

iCNaM

⋅⋅−=

Año 2:22 mIa +=

22 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅='

'')(

'

'' 1122

C

iCMNa

C

iCNaM

⋅⋅−−=

⋅⋅−=

'

''

'

'' 112

C

iCM

C

iCNaM

⋅⋅+

⋅⋅−= )'1(1112 iMiMMM +⋅=⋅+=

Primero calculamos la anualidad

Page 203: juangonzalezdiaz.com · 5 ) ( ˆ ) . ˆ ) ˆ ˆ˙ Q ˆ # ˆ ˘ ˆ & (1 ) 1 Dc Dr ni ni Dc Dr = + + = ( ˆ . C . ( ˆ ˘ . ˆ $ ˆ 1. N 2. ˆ . E . n i C i

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Año 3: 33 mIa +=33 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=

'

'')(

'

'' 21133

C

iCMMNa

C

iCNaM

⋅⋅−−−=

⋅⋅−=

'

''

'

''

'

'' 2113

C

iCM

C

iCM

C

iCNaM

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅−= '' 2113 iMiMMM ⋅+⋅+=

)'1(' 2223 iMiMMM +⋅=⋅+= 2

13 )'1( iMM +⋅=

Año k:)1(

1 )'1( −+⋅=

k

k iMM

Para obtener M1: nMMMMN ++++= ...3211

)1(

1

2

1111 )'1(...)'1()'1( −+⋅+++⋅++⋅+=

niMiMiMMN

))'1(...)'1()'1(1( )1(2

11

−+++++++⋅=

niiiMN

'11 inSMN ¬⋅=

'

11

inS

NM

¬

=

EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN

Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.

www.clasesuniversitarias.com

Tercero: calculo el total de títulos amortizados.

hh MMMT +++= ...21

Cuarto: el número de títulos vivos en cada momento puede calcularse a partir de la anterior expresión,teniendo en cuenta en cualquier caso, que Nh está definido al principio de cada año.

11 −−= hh TNN

ihh SMT|1=

1

111 )'1(...)'1( −+++++=

h

h iMiMMT

Quinto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de obligaciones que se amortizancada año (Mk) por el Valor Nominal de cada título (C) más la Prima de Amortización (p)

)( PCMm hh +⋅=

EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN

Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.

Page 204: juangonzalezdiaz.com · 5 ) ( ˆ ) . ˆ ) ˆ ˆ˙ Q ˆ # ˆ ˘ ˆ & (1 ) 1 Dc Dr ni ni Dc Dr = + + = ( ˆ . C . ( ˆ ˘ . ˆ $ ˆ 1. N 2. ˆ . E . n i C i

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Sexto: la cuota de interés de cualquier año se calcula multiplicando la cuantía del cupón (Ci) por elnúmero de títulos vivos al principio de ese año.

Séptimo: la suma de la cuota de interés y de la cuota de amortización, determinarán la anualidadconstante

'' iCNI hh ⋅⋅=

En el caso de que existieran además Lotes anuales, únicamente habría que incluir en la anualidad elnúmero de Lotes a repartir,

)( PCMiCNa hh +⋅+⋅⋅=hh mIa +=

EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN

Empréstito con Prima de Amortización y Cupón Vencido Fijo.

hhh LPCMiCNa ++⋅+⋅⋅= )(hhh LmIa ++=

Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.

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Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 10.000 títulos u obligaciones de 15€ de nominal cada a una tasa de interés anual constante del 4,5%, que se amortizará en los próximos 5 años mediante anualidad constante, con una prima de amortización de 3€. Se sortean además 10 lotes anuales de 10€

Primero debemos realizar la normalización,

EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN

PCC +='

iCiC ⋅=⋅ ''

€18315' =+=C

18

045,015

''

⋅=

⋅=

C

iCi 0375,0'=i

)( PCMiCNa hh +⋅+⋅⋅=De tal forma que convertimos la anualidad, del tipo,

En una anualidad, del tipo, ''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=

Page 205: juangonzalezdiaz.com · 5 ) ( ˆ ) . ˆ ) ˆ ˆ˙ Q ˆ # ˆ ˘ ˆ & (1 ) 1 Dc Dr ni ni Dc Dr = + + = ( ˆ . C . ( ˆ ˘ . ˆ $ ˆ 1. N 2. ˆ . E . n i C i

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Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.

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Y calculamos el número de títulos que se amortizan el primer año,

'

11

inS

NM

¬

=

'

1)'1(

11

i

i

NM

n−+

=

0375,0

1)0375,1(

000.1051

−=M 52,855.11 =M

EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN

h

in

La

CNa +

⋅=

¬ '

1 ' 1010

0375,0

)0375,1(1

18000.105

⋅+−

⋅=

−a €34,249.40=a

Calculamos la anualidad teórica

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Para calcular, a partir de M1, los títulos que se amortizan cada año, )'1(1 iMM hh +⋅= −

EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN

Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.

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Podemos resolver el empréstito,

EMPRÉSTITO CON PRIMA DE AMORTIZACIÓN

Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.

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EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN

Empréstito con Pérdida del Último Cupón

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Este tipo de empréstito se caracteriza porque las obligaciones amortizadas pierden el derecho a cobrar elcupón correspondiente a dicho período, por lo que sólo recibirán, en el periodo de su amortización, elnominal (o nominal más prima de amortización, si procede)

Y por tanto, la anualidad será igual a iCMCMiCNa hhh ⋅⋅−⋅+⋅⋅=

Y como sólo sabemos resolver un Empréstito con una anualidad del tipo.

CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=

Vamos a convertir la anualidad del empréstito con pérdida del último cupón, en un empréstito “normal” através de un proceso de “normalización”.

De donde,hh MiCiCNa ⋅−⋅+⋅⋅= )1(

Page 208: juangonzalezdiaz.com · 5 ) ( ˆ ) . ˆ ) ˆ ˆ˙ Q ˆ # ˆ ˘ ˆ & (1 ) 1 Dc Dr ni ni Dc Dr = + + = ( ˆ . C . ( ˆ ˘ . ˆ $ ˆ 1. N 2. ˆ . E . n i C i

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)1( iCMiCNa hh −⋅⋅+⋅⋅=

Este proceso de normalización consiste en transformar, la anualidad

')1( CiC =−⋅

Y para ello convertimos,

En una anualidad que sepamos como resolver, del tipo,

''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=

'' iCiC ⋅=⋅

Con los valores C’ e i’ resolveremos el empréstitocomo si fuera un empréstito normal

''

C

iCi

⋅=�

Empréstito con Pérdida del Último Cupón

EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN

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'|

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''

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ina

CNaaaCN

⋅=�⋅=⋅

Segundo calculo el número de títulos amortizado cada año

11 mIa +=Año 1:11 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=

'

''11

C

iCNaM

⋅⋅−=

Año 2:22 mIa +=

22 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅='

'')(

'

'' 1122

C

iCMNa

C

iCNaM

⋅⋅−−=

⋅⋅−=

'

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'

'' 112

C

iCM

C

iCNaM

⋅⋅+

⋅⋅−= )'1(1112 iMiMMM +⋅=⋅+=

Primero calculamos la anualidad

Empréstito con Pérdida del Último Cupón

EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN

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Año 3: 33 mIa +=33 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=

'

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'' 21133

C

iCMMNa

C

iCNaM

⋅⋅−−−=

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'

'' 2113

C

iCM

C

iCM

C

iCNaM

⋅⋅+

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⋅⋅−= '' 2113 iMiMMM ⋅+⋅+=

)'1(' 2223 iMiMMM +⋅=⋅+= 2

13 )'1( iMM +⋅=

Año k:)1(

1 )'1( −+⋅=

k

k iMM

Para obtener M1: nMMMMN ++++= ...3211

)1(

1

2

1111 )'1(...)'1()'1( −+⋅+++⋅++⋅+=

niMiMiMMN

))'1(...)'1()'1(1( )1(2

11

−+++++++⋅=

niiiMN

'11 inSMN ¬⋅=

'

11

inS

NM

¬

=

Empréstito con Pérdida del Último Cupón

EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN

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Tercero: calculo el total de títulos amortizados.

hh MMMT +++= ...21

Cuarto: el número de títulos vivos en cada momento puede calcularse a partir de la anterior expresión,teniendo en cuenta en cualquier caso, que Nh está definido al principio de cada año.

11 −−= hh TNN

ihh SMT|1=

1

111 )'1(...)'1( −+++++=

h

h iMiMMT

Quinto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de obligaciones que se amortizancada año (Mk) por el Valor Nominal de cada título (C)

CMm hh ⋅=

Empréstito con Pérdida del Último Cupón

EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN

Page 210: juangonzalezdiaz.com · 5 ) ( ˆ ) . ˆ ) ˆ ˆ˙ Q ˆ # ˆ ˘ ˆ & (1 ) 1 Dc Dr ni ni Dc Dr = + + = ( ˆ . C . ( ˆ ˘ . ˆ $ ˆ 1. N 2. ˆ . E . n i C i

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Sexto: la cuota de interés de cualquier año se calcula multiplicando la cuantía del cupón (Ci) por elnúmero de títulos vivos al principio de ese año.

Séptimo: la suma de la cuota de interés y de la cuota de amortización, determinarán la anualidadconstante

iCMiCNI hhh ⋅⋅−⋅⋅=

En el caso de que existieran además Lotes anuales, únicamente habría que incluir en la anualidad elnúmero de Lotes a repartir,

hh mIa +=

hhh LmIa ++=

Empréstito con Pérdida del Último Cupón

EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN

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Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 10.000 títulos u obligaciones de 150€ de nominal cada a una tasa de interés anual constante del 5%, que se amortizará en los próximos 5 años mediante anualidad constante y pérdida del último cupón.

Primero debemos realizar la normalización,

)1(' iCC −⋅=

iCiC ⋅=⋅ ''

€5,142)05,01(150' =−⋅=C

18

045,015

''

⋅=

⋅=

C

iCi 052632,0'=i

iCMCMiCNa hhh ⋅⋅−⋅+⋅⋅=De tal forma que convertimos la anualidad, del tipo,

En una anualidad, del tipo, ''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=

EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN

Ejemplo de Empréstito con Pérdida del Último Cupón

Page 211: juangonzalezdiaz.com · 5 ) ( ˆ ) . ˆ ) ˆ ˆ˙ Q ˆ # ˆ ˘ ˆ & (1 ) 1 Dc Dr ni ni Dc Dr = + + = ( ˆ . C . ( ˆ ˘ . ˆ $ ˆ 1. N 2. ˆ . E . n i C i

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Y calculamos el número de títulos que se amortizan el primer año,

'

11

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NM

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1)'1(

11

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i

NM

n−+

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052632,0

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−=M 26,800.11 =M

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052632,0

)052632,1(1

5,142000.105−

⋅=a €43,537.331=a

Calculamos la anualidad teórica

EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN

Ejemplo de Empréstito con Pérdida del Último Cupón

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Para calcular, a partir de M1, los títulos que se amortizan cada año, )'1(1 iMM hh +⋅= −

EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN

Ejemplo de Empréstito con Pérdida del Último Cupón

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Podemos resolver el empréstito,

EMPRÉSTITO CON PÉRDIDA DEL ÚLTIMO CUPÓN

Ejemplo de Empréstito con Pérdida del Último Cupón

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EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO

Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.

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Los pagos en concepto de cupón se realizan al inicio de cada período y no al final como en el resto de lossistemas de amortización. De esta forma, la amortización al tanto de interés anticipado z, da lugar a lassiguientes anualidades:

hhh mIa += +1 hh MCzCNa ⋅+⋅⋅= +1

Debemos realizar un proceso de normalización para transformar el Empréstito con Cupón Anticipadoanterior, en un Empréstito Normal o Puro, del tipo

CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=

Como,hhh MNN −=+1

Podemos sustituir hhh MCzCMNa ⋅+⋅⋅−= )( hhh MCzCMzCNa ⋅+⋅⋅−⋅⋅=

hh MzCCzCNa ⋅⋅−+⋅⋅= )( hh MzCzCNa ⋅−⋅+⋅⋅= )1(

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Este proceso de normalización consiste, por tanto, en transformar la anualidad

)1(' zCC −⋅=

Y para ello convertimos,

En una anualidad que sepamos como resolver, del tipo,

''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=

zCiC ⋅=⋅ ''

Con los valores C’ e i’ resolveremos el empréstitocomo si fuera un empréstito normal

''

C

zCi

⋅=�

EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO

Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.

hh MzCzCNa ⋅−⋅+⋅⋅= )1(

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'|

1'|1

''

in

ina

CNaaaCN

⋅=�⋅=⋅

Segundo calculo el número de títulos amortizado cada año

11 mIa +=Año 1:11 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=

'

''11

C

iCNaM

⋅⋅−=

Año 2:22 mIa +=

22 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅='

'')(

'

'' 1122

C

iCMNa

C

iCNaM

⋅⋅−−=

⋅⋅−=

'

''

'

'' 112

C

iCM

C

iCNaM

⋅⋅+

⋅⋅−= )'1(1112 iMiMMM +⋅=⋅+=

Primero calculamos la anualidad

EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO

Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.

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���

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Año 3: 33 mIa +=33 ''' MCiCNa ⋅+⋅⋅=

'

'')(

'

'' 21133

C

iCMMNa

C

iCNaM

⋅⋅−−−=

⋅⋅−=

'

''

'

''

'

'' 2113

C

iCM

C

iCM

C

iCNaM

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅−= '' 2113 iMiMMM ⋅+⋅+=

)'1(' 2223 iMiMMM +⋅=⋅+= 2

13 )'1( iMM +⋅=

Año k:)1(

1 )'1( −+⋅=

k

k iMM

Para obtener M1: nMMMMN ++++= ...3211

)1(

1

2

1111 )'1(...)'1()'1( −+⋅+++⋅++⋅+=

niMiMiMMN

))'1(...)'1()'1(1( )1(2

11

−+++++++⋅=

niiiMN

'11 inSMN ¬⋅=

'

11

inS

NM

¬

=

EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO

Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.

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Tercero: calculo el total de títulos amortizados.

hh MMMT +++= ...21

Cuarto: el número de títulos vivos en cada momento puede calcularse a partir de la anterior expresión,teniendo en cuenta en cualquier caso, que Nh está definido al principio de cada año.

11 −−= hh TNN

ihh SMT|1=

1

111 )'1(...)'1( −+++++=

h

h iMiMMT

Quinto: la cuota de amortización se calcula multiplicando el número de obligaciones que se amortizancada año (Mk) por el Valor Nominal de cada título (C)

CMm hh ⋅=

EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO

Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.

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Sexto: la primera cuota de interés se paga al principio del primer año y es igual a

Séptimo: la suma de la cuota de interés y de la cuota de amortización, determinarán la anualidadconstante

zCNI hh ⋅⋅=+1

En el caso de que existieran además Lotes anuales, únicamente habría que incluir en la anualidad elnúmero de Lotes a repartir,

CMzCNa hh ⋅+⋅⋅=+1hh mIa +=

hhh LCMzCNa +⋅+⋅⋅=+1hhh LmIa ++=

EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO

Empréstito con Cupón Anticipado y Anualidad Constante.

zCN ⋅⋅1

Ejemplo de Empréstito con Cupón Anticipado

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Supongamos que una determinada empresa desea emitir un empréstito con las siguientes características:Se emiten 10.000 títulos u obligaciones de 150€ de nominal a una tasa de interés anticipado anual constante del 5%, que se amortizará en los próximos 5 años mediante anualidad constante.

Primero debemos realizar la normalización,

)1(' zCC −⋅=

zCiC ⋅=⋅ ''

€5,142)05,01(150' =−⋅=C

50,142

05,0150

''

⋅=

⋅=

C

zCi 0526315,0'=i

CMzCNa hh ⋅+⋅⋅= +1De tal forma que convertimos la anualidad, del tipo,

En una anualidad, del tipo, ''' CMiCNa hh ⋅+⋅⋅=

EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO

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Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.

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Y calculamos el número de títulos que se amortizan el primer año,

'

11

inS

NM

¬

=

'

1)'1(

11

i

i

NM

n−+

=

0526315,0

1)0526315,1(

000.1051

−=M 26,800.11 =M

'

1 '

ina

CNa

¬

⋅=

0526315,0

)0526315,1(1

143000.105−

⋅=a €26,700.332=a

Calculamos la anualidad teórica

EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO

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Para calcular, a partir de M1, los títulos que se amortizan cada año, )'1(1 iMM hh +⋅= −

Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.

EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO

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(-($. �+

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Podemos resolver el empréstito,

Ejemplo de Empréstito con Prima de Amortización.

EMPRÉSTITO CON CUPÓN ANTICIPADO

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