1

Vectores

.v u yvu ,vuvu→→→→→→→→

+−+−−212dibuja vectores, siguientes los sonySi a)

Ejercicio nº 1.-

( ) :de scoordenada las Obtén2,21 y32,son vectores dos de scoordenada Las b) .

−−

→→ba

−+−+−

→→→→→→bababa

31;

21;23

:figura la muestra que losysiendo ,32y21vectores los Dibuja a)

→→→→→→→→++−− v uvu vu ,vu

Ejercicio nº 2.-

( ) :de scoordenada las obtén ,23, y1,32vectores los Dados b) −

−

→→ba

→→→→→→

−−+− ba;ba;ba31223

2

: →→→→→→→→

−−++− vu vu,vuv u 31y

322dibuja figura, la muestra que vectores los sonySi a)

Ejercicio nº 3.-

( )→→→→→→

→→

−+−+

−

−

ba;ba;ba

b a

212

515

:vectores los de scoordenada las obtén ,31,y3,52sonyde scoordenada las Si b)

:32 y2,

dibuja ellos, de partir A figura. la muestra que los son y vectores Los a)→→→→→→

→→

++−−− vuvuvu

vu

Ejercicio nº 4.-

( )

→→→→→→

→→

++−+−

−−

ba;ba;ba

ba

22143

:de scoordenada

las obtén ,411, y12,sonyvectores los de scoordenada las Si b)

3

→→→→→→−++− vu;vu;vu 2

212

Ejercicio nº 5.- a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:

( ) :de scoordenada las obtén ,22, y2,43vectores los Dados b) −

− →→

ba

→→→→→→+−+−− ba;ba;ba 42

21

:v uz,y,x →→→→→

yde lineal ncombinació comovectores los Escribe a)

Ejercicio nº 6.-

( ) ( ). 21, y3,51 de lineal ncombinació com 170,vector el Escribe b) −

→→→

cba

: →→→→→v uc b ,a yvectores los de lineal ncombinació como yvectores los Expresa a)

Ejercicio nº 7.-

( ) ( ) .

−−

→→→2,

21 y21,de lineal ncombinació como25,vector el Expresa b) zyx

4

: →→→→→y xcyb,a ede lineal ncombinació comovectores los Escribe a)

Ejercicio nº 8.-

( )( )23,y 1,

21

por formada base la a respecto con 01,vector del scoordenada las Halla b)

−

−

→→

→

vu

w

( ) vectores los por formada base la a respecto con 32, vector del scoordenada las Halla a) −−u

Ejercicio nº 9.-

( )11, y312, −

− wv

: y vectores los de lineal ncombinació como ,, vectores los Expresa b) bazyx

( ) ( ) .1,21 y32, vectores los de lineal ncombinació como 14, vector el Expresa a)

− zyx

Ejercicio nº 10.-

5

( ) ( ) ( ) :1, y23, ,45,Dados kzyx→→

−

Ejercicio nº 11.-

.x

z xk→

→→

que sentido mismo el ydirección misma la con unitario vector un Halla b)

.90 ángulo un formen yque parade valor el Halla a)

( ) ( ) :2, y 31, Si mba→→

−

Ejercicio nº 12.-

( ).

24,siendoy por formado ángulo el Calcula b)

lares.perpendicu seany que parade valor el Halla a)→→→

→→

c c a

b am

( ) ( ) ( ): 32, y3,,41, vectores los Dados −−→→→wmvu

Ejercicio nº 13.-

.→→

→→

w u

u m

y forman que ángulo el Halla b)

lares.perpendicu seanvy que para Calcula a)

( ) ( ) e que para y de valores los Halla .1, e 3, vectores los Considera→→→→

− yxbabyax

Ejercicio nº 14.-

5.x que ylaresperpendicu sean =

( )11, y54,

53 →→

− ba

Ejercicio nº 15.- a) Halla el ángulo que forman los vectores

( ) ?54,

53a larperpendicu fuera1vector el que para de valor el sería ¿Cuál b)

−→→

ax,ux

6

Soluciones ejercicios de Vectores

.v u yvu ,vuvu→→→→→→→→

+−+−−212dibuja vectores, siguientes los sonySi a)

Ejercicio nº 1.-

( ) :de scoordenada las Obtén2,21 y32,son vectores dos de scoordenada Las b) .

−−

→→ba

−+−+−

→→→→→→bababa

31;

21;23

Solución: a)

( ) ( ) ( ) ( )13,74,19,62,2123,2323 b) −=−+−=

−+−−=+−

→→ba

( ) ( )

−=

−+−=

−+−−=+−

→→4,

491,

413,22,

21

213,2

21 ba

( )

−

=

−=

−−−=

−

→→

35,

655,

25

312,

213,2

31

31 ba

:figura la muestra que losysiendo ,32y21vectores los Dibuja a)

→→→→→→→→++−− v uvu vu ,vu

Ejercicio nº 2.-

7

( ) :de scoordenada las obtén ,23, y1,32vectores los Dados b) −

−

→→ba

→→→→→→

−−+− ba;ba;ba31223

Solución: a)

( ) ( ) ( ) ( )1,44,63,22,321,32323 b) −=−+−=−+

−−=+−

→→ba

( ) ( )

−=−−

−=−−

−=−

→→0,

352,32,

342,31,

3222 ba

( )

−−

=

−

−

−=−−

−=−

→→

31,

31

32,11,

322,3

311,

32

31 ba

: →→→→→→→→

−−++− vu vu,vuv u 31y

322dibuja figura, la muestra que vectores los sonySi a)

Ejercicio nº 3.-

8

( )→→→→→→

→→

−+−+

−

−

ba;ba;ba

b a

212

515

:vectores los de scoordenada las obtén ,31,y3,52sonyde scoordenada las Si b)

Solución: a)

( ) ( )

−

=

−+−=−+

−=+

→→

572,

59

53,

5115,23,1

513,

525

515 b) ba

( ) ( )

−=−+

−=−+

−−=+−

→→9,

5126,23,

523,123,

522ba

( ) ( )

−

=−−

−

=−−

−=−

→→

29,

563,1

23,

513,13,

52

21

21 ba

:32 y2,

dibuja ellos, de partir A figura. la muestra que los son y vectores Los a)→→→→→→

→→

++−−− vuvuvu

vu

Ejercicio nº 4.-

( )

→→→→→→

→→

++−+−

−−

ba;ba;ba

ba

22143

:de scoordenada

las obtén ,411, y12,sonyvectores los de scoordenada las Si b)

9

Solución: a)

( ) ( ) ( ) ( )4,101,43,641,141,2343 b) −=−+−=

−

+−−=+−→→ba

( ) ( )

−

=

−

+−=

−

+−−=+−→→

45,3

41,11,2

41,11,2ba

( ) ( )0,121,2

21,1

41,121,2

212

21

=

−

+

−=

−

+−=+→→ba

→→→→→→−++− vu;vu;vu 2

212

Ejercicio nº 5.- a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:

( ) :de scoordenada las obtén ,22, y2,43vectores los Dados b) −

− →→

ba

→→→→→→+−+−− ba;ba;ba 42

21

10

Solución: a)

( ) ( )

−=−−

−=−−

−=−

→→3,

471,12,

432,2

212,

43

21 b) ba

( ) ( )

−=−+

−=−+

−−=+−

→→6,

272,24,

232,22,

4322 ba

( ) ( ) ( ) ( )10,52,28,32,22,4344 −=−+−=−+

−−=+−

→→ba

:v uz,y,x →→→→→

yde lineal ncombinació comovectores los Escribe a)

Ejercicio nº 6.-

( ) ( ). 21, y3,51 de lineal ncombinació com 170,vector el Escribe b) −

→→→

cba

Solución: a)

b) Tenemos que encontrar dos números, m y n, tales que:

:decir es ,→→→⋅+⋅= cnbma

11

( ) ( )

( ) ( )

( )

+−=

−+

=

−⋅+

⋅=

nmnm

nnmm

nm

23,5

17,0

2,3,5

17,0

2,13,5117,0

1171721517

52317

50

23175

0=→=→+=

=

+=−=

+=

−=

nnnn

mnnm

nm

nm

nm

55 == nm

Por tanto:

:decir es ,15→→→⋅+⋅= cba

( ) ( )2,13,51517,0 −+

=

: →→→→→v uc b ,a yvectores los de lineal ncombinació como yvectores los Expresa a)

Ejercicio nº 7.-

( ) ( ) .

−−

→→→2,

21 y21,de lineal ncombinació como25,vector el Expresa b) zyx

Solución: a)

b) Hemos de encontrar dos números, m y n, tales que:

:decir es ,→→→⋅+⋅= znymx

12

( ) ( )

( ) ( )

( )

+−+=−

+−=−

+−=−

nmnm

nnmm

nm

22,2

2,5

2,2

2,2,5

2,212,12,5

+−=−=

+−=−−=

+−=−+=

+−=−

+=mn

mnnm

mnnm

nm

nm

nm1

2101

210222

210

2222

5

38

31111;

31111310121210 =+−=+−==→−=−→−−=−−→+−=− mnmmmmmm

Por tanto:

:decir es ,38

311 →→→

+= zyx

( ) ( )

+−=− 2,

21

382,1

3112,5

: →→→→→y xcyb,a ede lineal ncombinació comovectores los Escribe a)

Ejercicio nº 8.-

( )( )23,y 1,

21

por formada base la a respecto con 01,vector del scoordenada las Halla b)

−

−

→→

→

vu

w

Solución: a)

b) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:

:decir es ,→→→⋅+⋅= vnumw

13

( ) ( )

( ) ( )

( )

+−−=

−+

−=

−+

−=

nm,nm,

n,nm,m,

,n,m,

232

01

232

01

2312101

21

4242

622

262

20

32

1−=

−=→−=

−=

=−−−=

+=

−−=nn

nn

mnnm

nm

nm

m = -2n = 1

Por tanto:

:decir es ,211

→→→⋅

−+⋅= vuw

( ) ( )23211

2101 ,,, −−

−=

−

→→→

21,1 :son y por formada base la a respecto de scoordenada Las vuw

( ) vectores los por formada base la a respecto con 32, vector del scoordenada las Halla a) −−u

Ejercicio nº 9.-

( )11, y312, −

− wv

: y vectores los de lineal ncombinació como ,, vectores los Expresa b) bazyx

Solución: a) Hemos de hallar dos números, m y n, tales que:

:decir es ,→→→⋅+⋅= wnvmu

( ) ( )

( ) ( )

( )

−−+=−−

−+

−=−−

−⋅+

−⋅=−−

nmnm

nnmm

nm

3,23,2

,3

,23,2

1,131,23,2

( )

−−−−=−=−−

−−=−+=−

−−

=−

+=−

mmnm

nmnm

nmnm

223922

3922

33

22

462223515669669

=+−=−−=−=→=−→+−=−−→++−=−

mnmmmmmm

14

Por tanto:

:decir es ,43→→→

+−= wvu

( ) ( )1,1431,233,2 −+

−−=−−

( )43 son y por formada base la a respecto con de scoordenada Las ,wvu −

→→→

. b)

( ) ( ) .1,21 y32, vectores los de lineal ncombinació como 14, vector el Expresa a)

− zyx

Ejercicio nº 10.-

Solución: a) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:

:decir es ,→→→⋅+⋅= znymx

( ) ( )

( ) ( )

( )

+−+=

+−=

+−=

nmnm

nnmm

nm

3,2

21,4

,2

3,21,4

1,213,21,4

+=−+=−

=+=−

+−=+=

+−=

+=mmmm

nmnm

nmnm

nm

nm43183148

3148

3148

312

24

15

43131177=+=+=

=→=mn

mm

Por tanto:

:decir es ;41→→→⋅+⋅= zyx

( ) ( )

+−= 1

2143214 ,,,

b)

( ) ( ) ( ) :1, y23, ,45,Dados kzyx→→

−

Ejercicio nº 11.-

.x

z xk→

→→

que sentido mismo el ydirección misma la con unitario vector un Halla b)

.90 ángulo un formen yque parade valor el Halla a)

Solución:

de ha escalar producto su lares),perpendicu (sean 90 de ángulo un formen y que Para a) zx :cero a igual ser

( ) ( )45045,14,5 =→=−=⋅−=⋅

→→kkkzx

→x de módulo el Hallamos b)

( ) 41162545 22 =+=−+=→x

:será que sentido y dirección misma la con unitario vector El→x

−

414,

415

( ) ( ) :2, y 31, Si mba→→

−

Ejercicio nº 12.-

( ).

24,siendoy por formado ángulo el Calcula b)

lares.perpendicu seany que parade valor el Halla a)→→→

→→

c c a

b am

16

Solución:

:cero ser debe escalar producto su lares,perpendicu sean y que Para a) ba

( ) ( ) 6062,3,1 =→=−=⋅−=⋅

→→mmmba

( ) ( )( )

=−

=⋅

−=

+⋅−+

⋅=

⋅

⋅=

∧

→→

→→→→

2002

201064

2431

2,43,1, b)2222

ca

cacacos

''48'798,14,0 =

∧→−=

→→ca

( ) ( ) ( ): 32, y3,,41, vectores los Dados −−→→→wmvu

Ejercicio nº 13.-

.→→

→→

w u

u m

y forman que ángulo el Halla b)

lares.perpendicu seanvy que para Calcula a)

Solución:

:decir es cero, ser de ha escalar producto su lares,perpendicu sean y que Para a)→→vu

( ) ( )43043341 =→=+−=⋅−=⋅

→→mmm,,vu

( ) ( )94,0

22114

131714

3241

122, b)2222

−=−

=⋅

−=

−+⋅+−

−−=

⋅

⋅=

∧

→→

→→→→

wu

wuwucos

'.'46'20160,Así, =

∧→→wu

( ) ( ) e que para y de valores los Halla .1, e 3, vectores los Considera→→→→

− yxbabyax

Ejercicio nº 14.-

5.x que ylaresperpendicu sean =

Solución:

:decir es cero, ser de ha escalar producto su lares,perpendicu sean e que Para )1.º→→yx

( ) ( )3

0313 abbab,,ayx =→=+−=−⋅=⋅→→

:5 a igualamos e de módulo el Hallamos)2.º→x

259593 2222 =+→=+=+= aaax

17

−=→−=

=→=→±=→=−=

344

344

16169252

ba

baaa

Por tanto, hay dos posibilidades:

34,4;

34,4 2211 −=−=== baba

( )11, y54,

53 →→

− ba

Ejercicio nº 15.- a) Halla el ángulo que forman los vectores

( ) ?54,

53a larperpendicu fuera1vector el que para de valor el sería ¿Cuál b)

−→→

ax,ux

Solución:

→−=−

=−

=

+⋅+

−=

⋅

⋅=

∧

→→

→→→→

14,0251

251

112516

259

54

53

, a)ba

bacacos

''48'798, =

∧→

→→ca

:cero ser debe escalar producto su lares,perpendicu sean y que Para b)→→au

( )430430

54

53

54,

53,1 =→=−→=−=

−⋅=⋅

→→xxxxau