1 bct ejercicios-de_vectores_resueltos
17
1 Vectores . v u y v u , v u v u → → → → → → → → + − + − − 2 1 2 dibuja vectores, siguientes los son y Si a) Ejercicio nº 1.- ( ) : de s coordenada las Obtén 2 , 2 1 y 3 2, son vectores dos de s coordenada Las b) . − − → → b a − + − + − → → → → → → b a b a b a 3 1 ; 2 1 ; 2 3 : figura la muestra que los y siendo , 3 2 y 2 1 vectores los Dibuja a) → → → → → → → → + + − − v u v u v u , v u Ejercicio nº 2.- ( ) : de s coordenada las obtén , 2 3, y 1 , 3 2 vectores los Dados b) − − → → b a → → → → → → − − + − b a ; b a ; b a 3 1 2 2 3
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1
Vectores
.v u yvu ,vuvu→→→→→→→→
+−+−−212dibuja vectores, siguientes los sonySi a)
Ejercicio nº 1.-
( ) :de scoordenada las Obtén2,21 y32,son vectores dos de scoordenada Las b) .
−−
→→ba
−+−+−
→→→→→→bababa
31;
21;23
:figura la muestra que losysiendo ,32y21vectores los Dibuja a)
→→→→→→→→++−− v uvu vu ,vu
Ejercicio nº 2.-
( ) :de scoordenada las obtén ,23, y1,32vectores los Dados b) −
−
→→ba
→→→→→→
−−+− ba;ba;ba31223
2
: →→→→→→→→
−−++− vu vu,vuv u 31y
322dibuja figura, la muestra que vectores los sonySi a)
Ejercicio nº 3.-
( )→→→→→→
→→
−+−+
−
−
ba;ba;ba
b a
212
515
:vectores los de scoordenada las obtén ,31,y3,52sonyde scoordenada las Si b)
:32 y2,
dibuja ellos, de partir A figura. la muestra que los son y vectores Los a)→→→→→→
→→
++−−− vuvuvu
vu
Ejercicio nº 4.-
( )
→→→→→→
→→
++−+−
−−
ba;ba;ba
ba
22143
:de scoordenada
las obtén ,411, y12,sonyvectores los de scoordenada las Si b)
3
→→→→→→−++− vu;vu;vu 2
212
Ejercicio nº 5.- a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:
( ) :de scoordenada las obtén ,22, y2,43vectores los Dados b) −
− →→
ba
→→→→→→+−+−− ba;ba;ba 42
21
:v uz,y,x →→→→→
yde lineal ncombinació comovectores los Escribe a)
Ejercicio nº 6.-
( ) ( ). 21, y3,51 de lineal ncombinació com 170,vector el Escribe b) −
→→→
cba
: →→→→→v uc b ,a yvectores los de lineal ncombinació como yvectores los Expresa a)
Ejercicio nº 7.-
( ) ( ) .
−−
→→→2,
21 y21,de lineal ncombinació como25,vector el Expresa b) zyx
4
: →→→→→y xcyb,a ede lineal ncombinació comovectores los Escribe a)
Ejercicio nº 8.-
( )( )23,y 1,
21
por formada base la a respecto con 01,vector del scoordenada las Halla b)
−
−
→→
→
vu
w
( ) vectores los por formada base la a respecto con 32, vector del scoordenada las Halla a) −−u
Ejercicio nº 9.-
( )11, y312, −
− wv
: y vectores los de lineal ncombinació como ,, vectores los Expresa b) bazyx
( ) ( ) .1,21 y32, vectores los de lineal ncombinació como 14, vector el Expresa a)
− zyx
Ejercicio nº 10.-
5
( ) ( ) ( ) :1, y23, ,45,Dados kzyx→→
−
Ejercicio nº 11.-
.x
z xk→
→→
que sentido mismo el ydirección misma la con unitario vector un Halla b)
.90 ángulo un formen yque parade valor el Halla a)
( ) ( ) :2, y 31, Si mba→→
−
Ejercicio nº 12.-
( ).
24,siendoy por formado ángulo el Calcula b)
lares.perpendicu seany que parade valor el Halla a)→→→
→→
c c a
b am
( ) ( ) ( ): 32, y3,,41, vectores los Dados −−→→→wmvu
Ejercicio nº 13.-
.→→
→→
w u
u m
y forman que ángulo el Halla b)
lares.perpendicu seanvy que para Calcula a)
( ) ( ) e que para y de valores los Halla .1, e 3, vectores los Considera→→→→
− yxbabyax
Ejercicio nº 14.-
5.x que ylaresperpendicu sean =
( )11, y54,
53 →→
− ba
Ejercicio nº 15.- a) Halla el ángulo que forman los vectores
( ) ?54,
53a larperpendicu fuera1vector el que para de valor el sería ¿Cuál b)
−→→
ax,ux
6
Soluciones ejercicios de Vectores
.v u yvu ,vuvu→→→→→→→→
+−+−−212dibuja vectores, siguientes los sonySi a)
Ejercicio nº 1.-
( ) :de scoordenada las Obtén2,21 y32,son vectores dos de scoordenada Las b) .
−−
→→ba
−+−+−
→→→→→→bababa
31;
21;23
Solución: a)
( ) ( ) ( ) ( )13,74,19,62,2123,2323 b) −=−+−=
−+−−=+−
→→ba
( ) ( )
−=
−+−=
−+−−=+−
→→4,
491,
413,22,
21
213,2
21 ba
( )
−
=
−=
−−−=
−
→→
35,
655,
25
312,
213,2
31
31 ba
:figura la muestra que losysiendo ,32y21vectores los Dibuja a)
→→→→→→→→++−− v uvu vu ,vu
Ejercicio nº 2.-
7
( ) :de scoordenada las obtén ,23, y1,32vectores los Dados b) −
−
→→ba
→→→→→→
−−+− ba;ba;ba31223
Solución: a)
( ) ( ) ( ) ( )1,44,63,22,321,32323 b) −=−+−=−+
−−=+−
→→ba
( ) ( )
−=−−
−=−−
−=−
→→0,
352,32,
342,31,
3222 ba
( )
−−
=
−
−
−=−−
−=−
→→
31,
31
32,11,
322,3
311,
32
31 ba
: →→→→→→→→
−−++− vu vu,vuv u 31y
322dibuja figura, la muestra que vectores los sonySi a)
Ejercicio nº 3.-
8
( )→→→→→→
→→
−+−+
−
−
ba;ba;ba
b a
212
515
:vectores los de scoordenada las obtén ,31,y3,52sonyde scoordenada las Si b)
Solución: a)
( ) ( )
−
=
−+−=−+
−=+
→→
572,
59
53,
5115,23,1
513,
525
515 b) ba
( ) ( )
−=−+
−=−+
−−=+−
→→9,
5126,23,
523,123,
522ba
( ) ( )
−
=−−
−
=−−
−=−
→→
29,
563,1
23,
513,13,
52
21
21 ba
:32 y2,
dibuja ellos, de partir A figura. la muestra que los son y vectores Los a)→→→→→→
→→
++−−− vuvuvu
vu
Ejercicio nº 4.-
( )
→→→→→→
→→
++−+−
−−
ba;ba;ba
ba
22143
:de scoordenada
las obtén ,411, y12,sonyvectores los de scoordenada las Si b)
9
Solución: a)
( ) ( ) ( ) ( )4,101,43,641,141,2343 b) −=−+−=
−
+−−=+−→→ba
( ) ( )
−
=
−
+−=
−
+−−=+−→→
45,3
41,11,2
41,11,2ba
( ) ( )0,121,2
21,1
41,121,2
212
21
=
−
+
−=
−
+−=+→→ba
→→→→→→−++− vu;vu;vu 2
212
Ejercicio nº 5.- a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:
( ) :de scoordenada las obtén ,22, y2,43vectores los Dados b) −
− →→
ba
→→→→→→+−+−− ba;ba;ba 42
21
10
Solución: a)
( ) ( )
−=−−
−=−−
−=−
→→3,
471,12,
432,2
212,
43
21 b) ba
( ) ( )
−=−+
−=−+
−−=+−
→→6,
272,24,
232,22,
4322 ba
( ) ( ) ( ) ( )10,52,28,32,22,4344 −=−+−=−+
−−=+−
→→ba
:v uz,y,x →→→→→
yde lineal ncombinació comovectores los Escribe a)
Ejercicio nº 6.-
( ) ( ). 21, y3,51 de lineal ncombinació com 170,vector el Escribe b) −
→→→
cba
Solución: a)
b) Tenemos que encontrar dos números, m y n, tales que:
:decir es ,→→→⋅+⋅= cnbma
11
( ) ( )
( ) ( )
( )
+−=
−+
=
−⋅+
⋅=
nmnm
nnmm
nm
23,5
17,0
2,3,5
17,0
2,13,5117,0
1171721517
52317
50
23175
0=→=→+=
=
+=−=
+=
−=
nnnn
mnnm
nm
nm
nm
55 == nm
Por tanto:
:decir es ,15→→→⋅+⋅= cba
( ) ( )2,13,51517,0 −+
=
: →→→→→v uc b ,a yvectores los de lineal ncombinació como yvectores los Expresa a)
Ejercicio nº 7.-
( ) ( ) .
−−
→→→2,
21 y21,de lineal ncombinació como25,vector el Expresa b) zyx
Solución: a)
b) Hemos de encontrar dos números, m y n, tales que:
:decir es ,→→→⋅+⋅= znymx
12
( ) ( )
( ) ( )
( )
+−+=−
+−=−
+−=−
nmnm
nnmm
nm
22,2
2,5
2,2
2,2,5
2,212,12,5
+−=−=
+−=−−=
+−=−+=
+−=−
+=mn
mnnm
mnnm
nm
nm
nm1
2101
210222
210
2222
5
38
31111;
31111310121210 =+−=+−==→−=−→−−=−−→+−=− mnmmmmmm
Por tanto:
:decir es ,38
311 →→→
+= zyx
( ) ( )
+−=− 2,
21
382,1
3112,5
: →→→→→y xcyb,a ede lineal ncombinació comovectores los Escribe a)
Ejercicio nº 8.-
( )( )23,y 1,
21
por formada base la a respecto con 01,vector del scoordenada las Halla b)
−
−
→→
→
vu
w
Solución: a)
b) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:
:decir es ,→→→⋅+⋅= vnumw
13
( ) ( )
( ) ( )
( )
+−−=
−+
−=
−+
−=
nm,nm,
n,nm,m,
,n,m,
232
01
232
01
2312101
21
4242
622
262
20
32
1−=
−=→−=
−=
=−−−=
+=
−−=nn
nn
mnnm
nm
nm
m = -2n = 1
Por tanto:
:decir es ,211
→→→⋅
−+⋅= vuw
( ) ( )23211
2101 ,,, −−
−=
−
→→→
21,1 :son y por formada base la a respecto de scoordenada Las vuw
( ) vectores los por formada base la a respecto con 32, vector del scoordenada las Halla a) −−u
Ejercicio nº 9.-
( )11, y312, −
− wv
: y vectores los de lineal ncombinació como ,, vectores los Expresa b) bazyx
Solución: a) Hemos de hallar dos números, m y n, tales que:
:decir es ,→→→⋅+⋅= wnvmu
( ) ( )
( ) ( )
( )
−−+=−−
−+
−=−−
−⋅+
−⋅=−−
nmnm
nnmm
nm
3,23,2
,3
,23,2
1,131,23,2
( )
−−−−=−=−−
−−=−+=−
−−
=−
+=−
mmnm
nmnm
nmnm
223922
3922
33
22
462223515669669
=+−=−−=−=→=−→+−=−−→++−=−
mnmmmmmm
14
Por tanto:
:decir es ,43→→→
+−= wvu
( ) ( )1,1431,233,2 −+
−−=−−
( )43 son y por formada base la a respecto con de scoordenada Las ,wvu −
→→→
. b)
( ) ( ) .1,21 y32, vectores los de lineal ncombinació como 14, vector el Expresa a)
− zyx
Ejercicio nº 10.-
Solución: a) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:
:decir es ,→→→⋅+⋅= znymx
( ) ( )
( ) ( )
( )
+−+=
+−=
+−=
nmnm
nnmm
nm
3,2
21,4
,2
3,21,4
1,213,21,4
+=−+=−
=+=−
+−=+=
+−=
+=mmmm
nmnm
nmnm
nm
nm43183148
3148
3148
312
24
15
43131177=+=+=
=→=mn
mm
Por tanto:
:decir es ;41→→→⋅+⋅= zyx
( ) ( )
+−= 1
2143214 ,,,
b)
( ) ( ) ( ) :1, y23, ,45,Dados kzyx→→
−
Ejercicio nº 11.-
.x
z xk→
→→
que sentido mismo el ydirección misma la con unitario vector un Halla b)
.90 ángulo un formen yque parade valor el Halla a)
Solución:
de ha escalar producto su lares),perpendicu (sean 90 de ángulo un formen y que Para a) zx :cero a igual ser
( ) ( )45045,14,5 =→=−=⋅−=⋅
→→kkkzx
→x de módulo el Hallamos b)
( ) 41162545 22 =+=−+=→x
:será que sentido y dirección misma la con unitario vector El→x
−
414,
415
( ) ( ) :2, y 31, Si mba→→
−
Ejercicio nº 12.-
( ).
24,siendoy por formado ángulo el Calcula b)
lares.perpendicu seany que parade valor el Halla a)→→→
→→
c c a
b am
16
Solución:
:cero ser debe escalar producto su lares,perpendicu sean y que Para a) ba
( ) ( ) 6062,3,1 =→=−=⋅−=⋅
→→mmmba
( ) ( )( )
=−
=⋅
−=
+⋅−+
⋅=
⋅
⋅=
∧
→→
→→→→
2002
201064
2431
2,43,1, b)2222
ca
cacacos
''48'798,14,0 =
∧→−=
→→ca
( ) ( ) ( ): 32, y3,,41, vectores los Dados −−→→→wmvu
Ejercicio nº 13.-
.→→
→→
w u
u m
y forman que ángulo el Halla b)
lares.perpendicu seanvy que para Calcula a)
Solución:
:decir es cero, ser de ha escalar producto su lares,perpendicu sean y que Para a)→→vu
( ) ( )43043341 =→=+−=⋅−=⋅
→→mmm,,vu
( ) ( )94,0
22114
131714
3241
122, b)2222
−=−
=⋅
−=
−+⋅+−
−−=
⋅
⋅=
∧
→→
→→→→
wu
wuwucos
'.'46'20160,Así, =
∧→→wu
( ) ( ) e que para y de valores los Halla .1, e 3, vectores los Considera→→→→
− yxbabyax
Ejercicio nº 14.-
5.x que ylaresperpendicu sean =
Solución:
:decir es cero, ser de ha escalar producto su lares,perpendicu sean e que Para )1.º→→yx
( ) ( )3
0313 abbab,,ayx =→=+−=−⋅=⋅→→
:5 a igualamos e de módulo el Hallamos)2.º→x
259593 2222 =+→=+=+= aaax
17
−=→−=
=→=→±=→=−=
344
344
16169252
ba
baaa
Por tanto, hay dos posibilidades:
34,4;
34,4 2211 −=−=== baba
( )11, y54,
53 →→
− ba
Ejercicio nº 15.- a) Halla el ángulo que forman los vectores
( ) ?54,
53a larperpendicu fuera1vector el que para de valor el sería ¿Cuál b)
−→→
ax,ux
Solución:
→−=−
=−
=
+⋅+
−=
⋅
⋅=
∧
→→
→→→→
14,0251
251
112516
259
54
53
, a)ba
bacacos
''48'798, =
∧→
→→ca
:cero ser debe escalar producto su lares,perpendicu sean y que Para b)→→au
( )430430
54
53
54,
53,1 =→=−→=−=
−⋅=⋅
→→xxxxau
