AritmticaGua para su aprendizaje y

enseanza Tenoch E. Cedillo valosMasami IsodaAntonio Chalini HerreraValentn Cruz OlivaEnrique Vega Ramrez

AritmticaII

Todos los derechos reservados.

Coordinador general: Manuel Cern

Editora: Paloma Nez Aguilera

Diseo: Jaime E. Esquivel

Traduccin: Edgar Krauss

PRIMERA EDICIN, 2012.D.R. c 2012 Manuel Cern.5 de febrero 792, interior11Colonia lamos, C.P. 03100Benito Jurez, Mxico, D.F.E-mail: direccion.editorialsinfin@gmail.comReservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por foto-copia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN: XXXXXXXXXXXXXXImpreso en Mxico. Printed in Mexico.

Secretara de Educacin Pblica

Jos ngel Crdova VillalobosSecretario de Educacin

Rodolfo Tuirn GutirrezSubsecretario de Educacin Superior

Marcela Santilln NietoDirectora General de Educacin Superior

para Profesionales de la Educacin.

Datos de catalogacin bibliogrfica

Cedillo, T., Isoda, M., Chalini, A., Cruz,V. y Vega, E.

Aritmtica: gua para su apredizaje y enseanza SEP, Mxico.

Manuel Cern, 2012ISBN:

rea : MatemticasFormato: Pginas:

Aritmtica III

Nuestro profundo agradecimiento por su valiosa

contribucin a nuestros distinguidos colegas:

Candelaria Gonzlez Polo, Escuela Normal de Atlacomulco, Estado de Mxico;

Esteban Hernndez Vergara, Escuela Normal de Sultepec, Estado de Mxico;

Rusell Renn Iuit Manzanero, Escuela Normal Juan de Dios Rodrguez Heredia, Yucatn;

Eugenio Lizarde Flores, Escuela Normal Rural General Matas Ramos Santos, Zacatecas;

No Sanmartn Romn, Escuela Normal Nmero 1 de Nezahualcyotl, Estado de Mxico.

Aritmtica4

ndice

Introduccin VIII

Parte I :

La enseanza de las matemticas: el papel del

anlisis de videos y de los libros de texto. 1

Qu es el Estudio de Clases 2

Actividades 2

Reflexiones adicionales 2

Actividades 3

Reflexiones adicionales 3

Actividades 3

Reflexiones adicionales 3

Por qu los nios pudieron decir hay algo que est mal?

El potencial de un libro de texto bien secuenciado 4

Actividades 4

Reflexiones adicionales 4

Parte II:

Aprendiendo a aprender matemticas 7

Cmo podemos saber si los nios estn aprendiendo

por s mismos? 8

Exploracin del entorno desde la perspectiva de las

matemticas: reificacin y comprensin. 8

Actividades 8

Reflexiones adicionales 8

El mundo de las matemticas: belleza, simplicidad,

precisin, eficiencia y generalizacin. 9

Actividades 9

Reflexiones adicionales 9

Dnde podemos ver actividades similares

en los dems tomos? 10

Actividades 10

Aprendiendo matemticas a partir de una situacin

especfica: desarrollo del conocimiento matemtico

con comprensin 11

Actividades 11

Aritmtica 5

Reflexiones adicionales 11

Actividades 12

Extensin del mundo de las matemticas: desarrollo

del mundo de las matemticas desde las matemticas 12

Actividades 12

Reflexiones adicionales 12

Actvidades 13

Piensa cmo lo hiciste: desarrollo de ideas y su

generalizacin mediante representaciones formales 14

Actividades 14

Uso de las representaciones como herramientas del

pensamiento 15

Actividades 15

Reflexiones adicionales 15

Actividades 15

Reflexiones adicionales 15

Parte III:

Resolucin de problemas: el gusto por las matemticas 17

Actividades fructferas en la resolucin de problemas:

cmo podemos ir ms all? 19

Actividades 19

Reflexiones adicionales 19

Actividades 19

Reflexiones adicionales 19

Diferencias entre una tarea y un problema: problematizacin 20

Actividades 20

Reflexiones adicionales 20

Formulacin de preguntas y cambios de representacin 21

Actividades 21

Reflexiones adicionales 21

Extensin de las ideas previamente aprendidas 22

Actividades 22

Reflexiones adicionales 22

Desarrollo de la actitud para hacer matemticas

como un matemtico 23

Actividades 23

Reflexiones adicionales 23

Fases de enseanza en la resolucin de problemas 24

Aritmtica6

Planeacin de la clase empleando el pizarrn 26

Actividades 26

Reflexiones adicionales 26

Actividades 27

Reflexiones adicionales 27

Actividades 28

Reflexiones adicionales 28

Actividades 29

Reflexiones adicionales 29

Actividades 30

Reflexiones adicionales 30

Actividades 31

Reflexiones adicionales 31

Actividades 32

Reflexiones adicionales 32

Una til lista de cotejo para planear la clase 33

Actividades 33

Reflexiones adicionales 33

Una lista de cotejo para recopilar las impresiones

de los alumnos 34

Reflexiones adicionales 34

Parte IV:

Anlisis del tratamiento matemtico-pedaggico de los

temas de aritmtica

El tres: primer nmero natural para analizar 38

Primeras nociones sobre la suma y la resta 39

Orden en los nmeros naturales 40

Fortalecimiento de las nociones de suma y resta 41

La suma como operacin aritmtica 42

Introduccin a la nocin de resta 43

Asignacin de un sentido real a las

expresiones matemticas 44

Nmeros entre 10 y 20 45

Estructura del sistema numrico 46

Enriqueciendo el concepto de nmero 48

Hacia el algoritmo de la suma 50

El algoritmo de la suma 52

Propiedades de la suma 54

Aritmtica 7

Hacia el algoritmo de la resta 56

El algoritmo de la resta 58

Relacin entre la suma y la resta 60

Multiplicacin 62

Multiplicacin (4) tablas de multiplicar 64

Multiplicacin (4) tablas de multiplicar 66

Suma con nmeros de tres dgitos 68

Resta con nmeros de tres dgitos 69

La multiplicacin 70

La divisin en situaciones de reparto equitativo 72

La divisin como operacin aritmtica 73

La divisin como sustraccin iterada 74

Divisin con uno y con cero 75

Uso de las propiedades para calcular 76

Divisin con resto 78

Clculo de la division en la forma vertical 80

Propiedades de la divisin 82

Fracciones 84

La longitud de la parte restante 85

Volumen de la parte restante 86

Fracciones propias 87

Un instrumento para medir usando fracciones comunes 88

El sistema de las fracciones comunes 89

Fracciones mayores que uno 90

Fracciones mayores que uno 92

Las fracciones en un contexto de medicin 94

Las fracciones como objetos de estudio 95

Fracciones equivalentes 96

Suma y resta de fracciones 98

Fracciones como cocientes y como nmeros decimales 100

Razones y grficas: concepto de razn 102

Razones y grficas: porcentajes 103

Razones y grficas: grficas que expresan razones 104

Concepto de proporcin 106

Proporcin directa 108

Referencias 110

Aritmtica8

La Subsecretara de Educacin Superior de la Secretara de Educacin Pblica, a tra-vs de la Direccin General de Educacin Superior para Profesionales de la Educa-cin, pone a la disposicin de los docentes y estudiantes de las Escuelas Normales el libro: Aritmtica: gua para su aprendizaje y enseanza. Este volumen consiste en un cmulo de orientaciones didcticas para el tratamiento de los temas de aritmtica que se abordan en la Educacin Bsica; adems, en cada tema se proponen actividades cuya realizacin conducir a los futuros docentes a profundizar su conocimiento pedaggico-mate-mtico del contenido de la asignatura y a relacionarlo con la prctica en el aula.

Este libro es uno de los resultados del intenso trabajo de estudio e investigacin que la Direccin General de Educacin Superior para Profesionales de la Educacin llev a cabo durante cuatro aos con el Centro de Investigacin y Cooperacin Internacional en Desa-rrollo Educativo de la Universidad de Tsukuba, Japn. Ese trabajo se afin y concret con la colaboracin de 140 profesores de 90 Escuelas Normales del pas que participaron en las acciones de la Comunidad de Prctica Profesional en Enseanza de las Matemticas en el periodo 2008-2012.

Aritmtica: gua para su aprendizaje y enseanza incluye el anlisis de episodios en el aula que conducen a reflexiones relevantes sobre las formas de actuar de experimentados maestros, en particular, al ver cmo ellos elaboran un plan de clase y cmo lo ajustan sobre la marcha a partir de las reacciones de sus alumnos. En este anlisis se abordan compo-nentes esenciales en la formacin de los futuros docentes, como la determinante influencia que ejerce el conocimiento matemtico-pedaggico del maestro en las decisiones que debe tomar en el curso de una clase, durante el ciclo escolar y sus efectos en los aprendizajes de sus alumnos.

El anlisis de episodios en la clase de matemticas se realiza en el marco del mtodo de Estudio de Clases originalmente desarrollado en Japn, este tipo de anlisis permite identifi-car la distancia que hay entre lo que un maestro puede lograr trabajando aisladamente, y lo que puede alcanzar si lo hace de forma colegiada con sus pares y con maestros ms experi-mentados. En estos episodios se destacan competencias que el futuro docente debe cultivar, como la capacidad de escuchar a sus colegas y a sus alumnos, y sobre todo, la capacidad de generar mltiples formas para que sus alumnos desarrollen esas competencias.

Aritmtica 9

Las experiencias en el aula que se analizan en este volumen ratifican que si queremos que a los alumnos les gusten las matemticas, es indispensable que las entiendan, an ms, que las entiendan muy bien. Los resultados de las evaluaciones nacionales e internacionales muestran que es difcil lograr esto, en particular porque requiere que el maestro produzca secuencias didcticas cuya articulacin matemtica permita que los contenidos sean com-prensibles para sus alumnos, es decir, que cada paso que avancen los alumnos se sustente en una clara comprensin de los conocimientos que previamente construy.

El propsito central de este libro es propiciar que los futuros docentes analicen secuencias didcticas matemticamente bien articuladas, esto favorecer que desarrollen competencias docentes que en su momento aplicarn para conducir a sus alumnos en la construccin de una slida estructura conceptual que les haga posible aprender a aprender matemticas. Esto ltimo constituye una meta a la cual debe aspirar un docente y su logro es uno de los grandes propsitos de los nuevos planes y programas de la Educacin Normal. En este sentido, nuestra expectativa es que este libro ofrezca oportunidades de aprendizaje para que los futuros docen-tes disfruten al estudiar matemticas y que, con base en esto, se inicien en la generacin de propuestas didcticas orientadas a que sus alumnos tambin disfruten al construir conocimien-tos matemticos y resolver problemas.

Aritmtica: gua para su aprendizaje y enseanza est organizada en cuatro partes, en la Parte I se trata lo referente al anlisis de una clase de matemticas empleando el mtodo del Estudio de Clases, en qu consiste y cmo podemos aplicarlo fructferamente. En la Parte II, a travs del estudio de casos se discute qu queremos decir con Aprender a aprender mate-mticas, cmo podemos propiciar que ocurra ese tipo de aprendizaje, cmo podemos darnos cuenta si est ocurriendo y qu tipo de actividades son ms adecuadas para propiciar que los alumnos aprendan a aprender matemticas. En la Parte III se trata lo correspondiente al en-foque de resolucin de problemas y las posibilidades que este enfoque brinda para favorecer que los alumnos cultiven el gusto por las matemticas. En la Parte IV se analiza pormenori-zadamente el tratamiento didctico y matemtico de los temas de aritmtica que se estudian en la Educacin Bsica, los materiales de anlisis en esta seccin son las lecciones sobre los nmeros y sus operaciones que se presentan en los once volmenes de la serie Matemticas para la Educacin Normal.