nE,t DECONOCIMIENTO.

nnCTICA DE LAMATnvITICA

(lolcccin:M A'I'EMATICAS: CULTURA Y APREN DIZAJE

l. Area de conocimiento: didctica de las matemticasAngel Gutinez, Bemardo Gmez Alfonso, Juan Diaz Gdino y Luis Rico Romero

2. Nmeros y operacionesLuis Rico Romero, Encamacin Castro Martnez, Enrique Castro Martnez

3. Numeracin y clculoBemardo Gmez Alfonso

4. Fracciones. I relacin parte-todoSalvador Llinares Ciscar. M." Victoria Snchez Garca

5. Nmeros decimalesJulia Centeno Prez

. Nmeros enterosJos L. Gonzlez Mar. M." Dolores Iriarte Bustos. Alfonso Ortiz Comas, Inmaculada Vargas-Machuca. Manuela Jimeno Prez, Antonio Ortiz Villareio, Esteban Sanz Jimnez

7. DivisibilidadModesto Sierra Vzquez, Andrs Garca. M." T. Gonzlez Astudillo, Mario GonzlezAcosta

8. Problemas aritmticosLuis Puig Espinosa. Femando Cerdn Prez

9. Estimacin en clculo y medidaIsidoro Segovia Alex. Encarnacin Castro Martnez. Enrique Castro Martnez, Luis RicoRomero

f0. Aritmtica y calculadoraFrederic Udina i Abell

ll. Materiales para construir la geometraCarme Burgus Flamerich, Claudi Alsina Catal, Josep M." Fortuny Aymemr

12. Invitacin a la didctica de la geometraClaudi Alsina Catal. Josep M." Fortuny Aymemi, Carme Burgus Flamerich

13. Simetra dinmicaRafael Prez Gmez. Claudi Alsina Catal. Ceferino Ruiz Garrido

14.

15.

16.

t7.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

u.

25.

26.

27.

Proporcionalidad gemetrica y semejanzaGrupo Beta

El mundo de los poliedrosGregoria Guilln Soler

Metodologa activa y ldica de la geometriaAngel Martnez Recio. Francisco Juan Rivaya

El problema de la medidaCarmen Chamorro Plaza. Juan M. Belmonte Gmez

Circulando por el crculoFrancisco Padilla Daz, Amulfo Santos Hernndez, Fidela Velzquez,Manuel Fernndez Reyes

Superficie. VolumenM." Angeles del Olmo Romero, Francisca Moreno Carretero, Francico Gil Cuadra

Proporcionalidad directa. La forma y el nmeroM.' Luisa Fiol Mora. Jos M." Fortuny Aymemi

Nudos y nexos: grafos en la escuelaMoiss Coriat Benarroch. Juana Sancho Gil, Antonio Marn del Moral,Pilar Gonzalo Martn

Por los caminos de la lgicaIns Sanz Lerma. Modesto Arieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz

Iniciacin al lgebraManuel Martn Socas Robayna, Matas Camacho Machin, M." Mercedes Palarea Medina,Josefa Hemndez Domnguez

Enseanza de la suma v la restaCarlos Maza Gmez

Enseanza del producto y de la disinCarlos Maza Gmez

Funciones y grficasJordi Deulofeu Piquet, Carmen Azcrate Gimnez

Azar y probabilidadJuan Diaz Godino, Carmen Batanero Bernabu, M." Jess Caizares Castellano

Encuestas y preciosAndrs Nortes Checa

28.

29. Prensa y matemticasAntonio Fernndez Cano. Luis Rico Rotnero

30. Ordenador y educacin matemtica: algunas modalidades de usoJos A. Cajaraville Pegito

31. Ordenar y clasificarCarlos Maza Gmez, Carlos Ace Jimnez

32. Juegos y pasatiempos en la enseanza de la matemtica elementalJosefa Fernndez Sucasas, M." Ins Rodrguez Vela

33. Ideas y actividades para ensear lgebraGrupoAzarquiel

, r . l

34. Recursos en el aula de matemticasFrancisco Hernn Siguero, Elisa Carrillo Quintela

DID errcA;iilffiffiaMATEMTIA

J.DAZ GODINO. B. GMEZALFONSO

A. GUTIRREZ RODRGUEZL. RICO ROMERO

, ' M. STERRAV^ZQUEZConsejo editor:Luis Rico Romero,Jos M." FortunyAynlemi, Luis Puig Espinosa

EDITORIAL

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SINTESIS

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Indice

Proveedor

Primera reimpresin: febrero 199

Diseo de cubierta: Juan Jos Vzquez

Resewados todos los derechos. Est prohibido, bajo lassanciones penales y el resarcimiento civil previstos enIas leyes, reproducir, registrar o transmitir esta publi-cacin, ntegra o parcialmente, por cualquier sistema derecuperacin y por cualquier medio, sea mecnico, elec-trnico, magntico, electroptico, por fotocopia o porcualquier otro, sin la autorizacin previa por escrito deEditorial Sntesis, S. A.

@ J. Daz Godino, B. Gmez Alfonso,A. Gutirrez Rodrguez, L. Rim Romero,M. Sierra Vzquez

O EDITORIAL SNTESIS, S. A.Vallehermoso, 34. 2801 5 MadridTelfono 91 593 20 98http://www.sintesis.com

Depsito legal: M-2.681 -1999ISBN: 84-7738-1 37-2

Impreso en Espaa - Printed in Spain

La Comunidad de Elucadores Matemticos . .. . .\.1.1. Las profesiones que se derivan de las matemticas .1.2. Profesores de Matemticas . .1.3. La Educacin Matemtica . . . .1.4. Quines constituimos la Comunidad de Educadores Mate-

mticos?Movimiento Internacional de Sociedades y Comisiones deProfesores de Matemticas: perspectiva histrica . . .. . . . . .1.5.1. Desde 1870 hasta la Segunda Guerra Mundial . . . . .1.5.2. De la Segunda Guerra Mundial hasta 1970Movimientos de Profesores y Sociedades de Educacin Ma-temtica en Espaa1.6.1. Antecedentes histricos: 1900-19701.6.2. Antecedentes y actualidad de la Educacin Matem-

tica en Espaa: 197l-1991Actividades1.7.1. Congresos internacionales de la I.C.M.L1.7.2. Reuniones y Congresos en Espaa1.7.3. La infraestructura de la difusin

1.8. Referencias

Las Matemticas y el proceso educativo2.1. El proceso educativo

2.1.1. Introduccin: teora versus prctica2.1.2. Desdenes, desavenencias y anclajes2.1.3. Quin se ha interesado por el proceso educativo? . .2.1.4. Por qu se interesa la psicologa por la Didctica de

las Matemticas? .2.1.5. Qu aporta a la Didctica de las Matemticas el

punto de vista de la psicologa''! . . . . .

l ll l1518

2l1.5.

1.6.

) I4445485056

1.7.

262730

3434

595959606l

62

62

2.1.6. Quin puede decir cmo deberan ensearse las Ma-temt icas?:. . . . .

2.2. Contraste en la enseanza de las Matemticas . .2.2.1. El contraste epistemolgico . .2.2.2. El contraste metodolgico . .. .2.2.3. El contraste psicolgico2.2.4. Otros constrastes .

2.3. Dos grandes teoras del aprendizaje . .2.3.1. Necesitan los profesores conocer teoras?2.3.2. Las grandes teoras del aprendizaje . . .

2.4. lmplicaciones de las teoras en la enseanza: dos modelos2.4.1. Bajo la teoia conductista .2.4.2. Debilidades del conductismo .2.4.3. Bajo la teora cognitiva ..2.4.4. Debilidades del cognitivismo . .

2.5. Eplogo2.6. Bibliografia

Hacia una teora de la Didctica de la Matemtica. .3.1. Introduccin

3.1.1. Componentes y relaciones de la Didctica de la Ma-temtica con otras disciplinas

3.1.2. Inters de la Teorizacin Didctica ...3.2. Epistemologa y Didctica ....

3.2.1. Teorias cientficas y sus tipos3.2.2. Corrientes epistemolgicas . .3.2.3. LaDidctica de la Matemtica como disciplina cien-

tfica .3.3. Principales programas de investigacin en Didctica de la

Matemtica3.3.I. El programa de investigacin del grupo T.M.E. .. . .3.3.2. Enfoque psicolgico de la Didctica de la Matemtica.3.3.3. Hacia una concepcin matemtica y autnoma de la

Didctica3.3.4. Otras teoras relevantes sobre la Didctica de la Ma-

temtica3.4. La Didctica de la Matemtica como saber cientfico. tecno-

lgico y tcnico3.4.t. Disciplina autnoma, pluridisciplinariedad y trans-

disciplinariedad . .3.4.2. Conexin teora-prctica ....

3.5. Conclusin3.6. Referencias

6363636770747474759090

4. La investigacin en Didctica de las Matemticas . 1494.I. Introduccin 1494.2. Qu se entiende por investigacin en Didctica de las Mate-

mticas? 1524.2.1. Delimitando el campo de actividad 1524.2.2. El concepto de calidad de la investigacin 155

4.3. Tipos y metodologas de investigacin en Didctica de lasMatemticas 1594.3.I. Tipos de investigacin 1604.3.2. Mtodos de investigacin . . 167

4.4. Herramientas para la investigacin en Didctica de las Ma-temticas I744.4.1. Fuentes de documentacin4.4.2. Mtodos de recogida de datos

4.5. Temas actuales de investigacin . . .4.6. Estado de la investigacin en Didctica de las Matemticas

en Espaa4.7. Bibliografa

Anexo direcciones tiles .Editoriales y LibrerasRevistasBases de datos .Sociedades

3.

9394

100101r02

l0s105

106109110110112

118

130

t74179182

19019l

195195196197198

119119r24

t39

t4t

t4l143144t45

La Comunidadde Educadores

MatemticosLurs Rrco

Universidad de GranadaMopnsro Srnnu

Universidad de Salamanca

(lomo todos los chistes, transmite una parte de la imagen popular queruodcn tener los miembros de.una profesin en el entorno-ro"l en el quetrirbajan y desarrollan sus funciones. Hay chistes de mdicos, de banqueros,dc comerciantes, de abogados y, menos mal! de matemticos.

lil matemtico es un personaje que no se incorpora al campo de lastitulaciones y profesiones usuales en nuestro pas hast fechas muy recientes.('omo tantos otros cambios en la sociedad espaola, slo puede empezar aapreciarse la incorporacin al mercado de trabajo de titulaos en matemti_cas cn cantidades considerables a partir de los aos 60. por ello, an no estsuficientemente difundido qu son y para qu sirven las matemticas, qutipo de actividades humanas pueden catalogarse como matemticas y qui-nes son y qu hacen los matemticos.

Tabla I

Licenciatura en Matemticas

AndalucaAragnCanariasCantabriaCastilla y LenCataluaComunidad ValencianaExtremaduraGaliciaMadridMurciaPas VascoLa Rioja

222I2

dades Pblicas, segn el mismo Anuario, est clasificado por Areas deconocimiento. Las Areas que corresponden a disciplinas matemticas y elnmero de profesores de cada una de ellas se indican en la tabla 3.

La globalidad de estos profesores supone un 6 por 100 del total deProfesores de los Cuerpos Docentes Universitarios.

En resumen, podemos sealar que los estudios superiores universitariosde matemticas, con carcter profesional especihco, se encuentran concentra-dos en la Licenciatura de Matemticas, y se pueden cursar en 23 centrosdistintos. Ahora bien, seria muy dificil excluir un fuerte componente mate-mtico en los currculos de la mayor parte de las 62 Enseanzas contempla-das en el mencionado Anuario, e incluso hemos de reiterar que la formacininicial para ejercer algunas de las profesiones que se derivan de las matemti-cas se realiza mediante estudios distintos a los de la Licenciatura de Mate-mticas. como veremos, este es el caso de muchos de los Educadores Mate-mticos.

Tabla 2

Tabla 3

Profesorado de Cuerpos Docentes Uniuersitarios

AlgebraAnlisis MatemticoDidctica de la Matemtica . .Estadstica e Investigacin OperativaGeometria y TopologaMatemtica Aplicada ..

Total . 1 561

142 Prof.219l'l'7244tt4665

I.2. PROFESORES DE MATEMATICAS

Las disposiciones legales, LGE, LRU, LOGSE, sealan distintos nivelespara el pro?esorado: Profesor de EGB, Profesores de Bachillerato, Profesoresde Formacin Profesional y Profesores de Cuerpos Docentes Universitarios,indicando en cada caso las condiciones de titulacin mnima y formacinpedaggica requerida para acceder al nivel docente correspondiente.^

Ei profesoiado de Educacin Preescolar y de Educacin Primaria re-quiere el ttulo de Diplomado y su formacin se realiza en las Escuelasniversitarias del Profesorado de EGB fundamentalmente, mediante estu-dios de ciclo corto de tres aos de duracin, sin necesidad de una prepara-cin especial comPlementaria.

El Profesorado de Educacin Secundaria y de Bachillerato requiere elttulo de Licenciado y su formacin se realiza en las Facultades o EscuelasSuperiores correspondientes, mediante estudios de ciclo largo de cinco aosde duracin. La legislacin actual establece para su perfeccionamiento unCurso de Aptitud Pedaggica complementario, que se desarrolla en losInstitutos de Ciencias de la Educacin'

El Profesorado Universitario requiere para impartir la docencia en elSegundo y Tercer Ciclos y para tener plena capacidad investigadora el ttulode Doctoi, y su formacin se tealiza en los Departamentos Universitarioscursando un Programa de Tercer Ciclo de dos aos de duracin y mediantela realizaciln de una Tesis Doctoral. Aunque tericamente hay un perodode formacin pedaggica pafa el profesor universitario, que se sita en laetapa de profeior ayudante, en la prctica esta formacin no est regulada ycarece de orientacin, organizacin y control.

Si bien las condiciones generales permiten adquirir las titulaciones mni-mas en una variedad de centros de Enseanza, en el caso del Profesorado deMatemticas podemos afirmar que las canteras principales son las Faculta-

l5

Escuelas de Estadistica

AndaluciaAragnCataluaComunidad ValencianaMadrid

z

I1II

l4

Curso Ciencias Matemticasambos sexos mujeres

Profesorado EGBambos sexos mujeres

84-8585-8686-8787-8888-89

9 50790229 890

t0 476r1008

4 4274 5604 9575 2ll5 519

73 93375 4r07r 5r967 78465 5r4

55 48956 81855 2t953 42748 308

Tabla 4

des de ciencias Matemticas, para el profesorado que requiere el ttulo deLicenciado o Doctor, y las Escuelas Universitarias de Profesorado de EGB,para el profesorado de Preescolar o Primaria.

La evolucin del nmero de alumnos matriculados por enseanza y sexo,en ambos tipos de centros durante los ltimos aos viene dada en la tabla 4.

En la grlrca se observa el crecimiento sostenido en el nmero de alum-nos que cursan la Licenciatura de Matemticas, con un aumento neto.Tomando como base 100 el total de alumnos del curso 84-85, la evolucinde alumnos en la Licenciatura de Matemticas, comparada con el total dealumnos de las ramas de ciencias Exactas y Naturales queda como indica lagrfrca.

t20

80

60

Todas las ramas de C.Exactas y Naturales 20

K\C Profesorado EGB

Se observa que, aunque hay crecimiento, ste es porcentualmente inferiora la evolucin experimentada en el resto de las Licenciaturas consideradas delas ramas de Ciencias Exactas y Naturales. Otro dato importante es elequilibrio entre los estudiantes de Matemticas de ambos sexos que semantienen aproximadamente al 50 por 100 en los ltimos aos. por el

t6

contrario, la evolucin del nmero de alumnos en la diplomatura de Profe-sorado de EGB tiene un crecimiento negativo en los ltimos aos. El porcen-taje de mujeres en el alumnado de esta Diplomatura se mantiene aproxima-damente en el 75 por 100 durante estos aos.

El Profesorado de Matemticas del nivel universitario procede en suprctica totalidad de la Licenciatura en Matemticas, completada con unDoctorado en algunas de las Areas de Conocimiento antes indicadas. Supreparacin psicopedaggica se ha realizado, en el mejor de los casos, me-diante cursos complementarios de corta duracin y de carcter no sistemti-co y, sobre todo, en el contacto profesional con los compaeros. Este profe-sorado no suele considerar necesaria ninguna formacin didctica para reali-zar sus tareas docentes. La actitud mayoritaria en torno a la Didctica de laMatemtica es de distanciamiento. cuando no de franca hostilidad.

El Profesorado de Matemtica de los niveles de secundaria se ha venidoreclutando igualmente en la Licenciatura de Matemticas, pero en los cincoltimos aos se ha producido cierta escasez de licenciados para cubrir todoslos puestos que demanda el sistema escolar. Se ha comenzado a producir concierta sistematicidad el fenmeno de que sean Licenciados en otras ramas deCiencias sin especial cualilicacin en Matemticas, (Biologa y Qumica prin-cipalmente) los que estn cubriendo puestos docentes para Matemticas enSecundaria. La formacin psicopedaggica de estos licenciados, para perte-necer a los cuerpos docentes de la enseanza pblica, se ha realizado me-diante un Curso de Aptitud Pedaggica impartido en los Institutos deCiencias de la Educacin, de contenido generalista y sin apenas conexinalguna con la Didctica de las Matemticas.

La mayora del profesorado actualmente en ejercicio se ha formadodurante la dcada de los 70, por tanto su formacin responde a planteamien-tos estructurales, con gran nfasis en el formalismo, en la correccin de losprocedimientos y en el control conceptual mediante definiciones y desarrollode clculos simblicos.

El Profesorado de Primaria proviene de la Diplomatura de EducacinGeneral Bsica. Entre las especialidades que tiene el plan de estudios vigentedesde el ao 7l se encuentra la especialidad de Ciencias, que es la quehabilita para impartir la docencia de Matemticas en los niveles superioresde la EGB. En trminos generales se puede decir que el Profesorado dePrimaria tiene una formacin matemtica adecuada para impartir enseanzaen los niveles correspondientes, pero globalmente desconectada de los cono-cimientos que tiene un licenciado. An cuando la formacin psicopedaggicaque tiene un profesor de Primaria es considerable, no suele establecer cone-xin entre esta formacin y el papel que debe ejercer como profesor deMatemticas, salvo en aspectos generales que pueden afectar a cualquierdisciplina.

Nos encontramos con que el Profesorado de Matemticas actualmente

100

17

en ejercicio proviene de dos formaciones muy dispares, Licenciatura y Diplo-matura, cada una de las cuales enfatiza y desarrolla bien la componenteMatemtica bien la Psicopedaggica, descuidando o limitando la otra y sinestablecer relaciones explcitas entre ambas. An cuando ambas formacionesson complementarias, no se ha favorecido una colaboracin sistemtica entreellas, que hubiera resultado fructfera para las dos partes.

En los planes actuales no se contempla una formacin inicial especficapara el Profesorado de Matemticas con lo cual, y debido a la oferta delmercado de ffabajo, los puestos de Profesores de Matemticas van a sercubiertos, cada vez ms en el futuro, por titulados que no slo no tienenformacin adecuada como Profesores, sino que en muchos casos tampoco lavan a tener como matemticos.

1.3. LA EDUCACION MATEMATICA

El anlisis anterior resulta incompleto si no tenemos en cuenta el marcogeneral de la educacin en Espaa durante los ltimos aos.

(J. Gonzlez, l99l).

18

En este contexto el desafio que supone nuestra integracin en las Comu-nidades Europeas plantea nuevas necesidades y demandas al sistema educa-tivo espaol. Entre las ms destacable se encuentran los esfuerzos paramejorar la calidad de la enseanza en todos sus niveles, la necesaria reformade la educacin Secundaria para ampliar el perodo de enseanza obligatoriahasta los dieciseis aos, el ajuste entre la oferta de ttulos de todos los nivelesy la demanda del mercado de trabajo y la necesidad de que desaparezcan lasdistancias y desigualdades educativas debidas a causas sociales, culturales oeconmicas.

Es dentro de este marco en el que la enseanza y aprendizaje de lasmatemticas profundizan y desarrollan su dimensin educativa, plantendo-se nuevas metas y prioridades que desbordan el papel clsico atribuido a estadisciplina, y por esto toma cada vez mayor fuerza una nueva visin de lasmatemticas en el sistema escolar, que denominamos Educacin Matemti-ca. Esta transformacin se explica por el hecho de que las Matemticas estncomenzando a ser uno de los elementos esenciales de la cultura de nuestrapoca en nuestro pas. Esto ocurre porque se da prioridad ala consideracinde que se trata de una de las formas bsicas de expresin mediante la quedotamos de significado y organizamos nuestro mundo, que permiten comu-nicar, interpretar, predecir y conjeturar. Las matemticas no son slo unadisciplina formal que se construye lejos de nosotros y de nuestros intereses,antes bien aparecen en todas las formas de expresin humana.

Nuestro pas se encuentra actualmente en la lnea de las sociedadesmodernas y avanzadas, y en este sentido es de especial importancia la in-tegracin de valores, hbitos, formas de expresin y razonamiento que pro-vienen del campo de la ciencia, y en particular de las matemticas. Por lotanto, al considerar las matemticas como un elemento de la cultura denuestra sociedad, importante pero uno ms, debemos dejar de concebir lasmatemticas como un objeto ya constituido que hay que dominar, y hay quecomenzar a considerarlas como una forma de pensamiento abierto conmargen para la creatividad, cuya ejercitacin hay que desarrollar, respetandola autonoma y ritmo en cada persona.

Por otra parte, la prolongacin de la enseanza obligatoria hasta los 16aos debe suponer un factor de homogeneizacin social y un aumento delnivel cultural. Los problemas que se derivan de este nuevo marco legal sonconsiderables ya que las prioridades educativas deben dirigirse a elevar elnivel de la formacin y conocimientos de todos los jvenes, tambin enmatemticas, sin discriminar y culpabllizar a aquellos alumnos que no alcan-cen ururs com,petencias determinadas. \

Esto no pone en tla de juicio la neesidad de contar con minorasaltamente cualifrcadas en investigacin de punta, y que la orientacin de esasminoras se comience a considerar desde el sisteina escolar, pero esas mino-ras no pueden estar divorciadas del medio social que las sostiene y que les

19

da su razn profunda de existencia, por tanto, no pueden contrapornerseambas formaciones y, menos an, orientar el sistema educativo para seleccio-nar a los integrantes de esas minoras con abandono de los intereses msgenerales de la totalidad de la poblacin escolar.

La difusin de valores democrticos, de integracin social y comunica-cin y las necesidades del mercado de trabajo son tambin elementos clavesa tener en cuenta en la planihcacin y desarrollo de las matemticas escola-res.

El panorama general descrito plantea unas modificaciones profundas enel modo usual de ensear matemticas. Los cambios afectan a mltiplesdimensiones; asi el Profesor de Matemticas se encuentra con que se hanproducido cambios importantes en lo que se considera conocimiento mate-mtico al destacarse las estrategias para la resolucin de problemas y elconocimiento de procedimientos como aspectos con entidad propia; todoello lleva necesariamente a una revisin y reorganizacin de los contenidos.Tambin se ha modificado el modo de trabajar en el aula; desde las clasesdiseadas nicamente sobre lecciones magistrales hasta llegar a la dinmicade grupos con nfasis en la participacin, elaboracin de alternativas pro-pias, discusin y toma de decisiones razonadas, hay una gran distancia quese est recorriendo en el momento actual. Finalmente, y condicionado porlos cambios anteriores, estamos asistiendo a una revisin a fondo sobre laevaluacin del aprendizaje de los alumnos. La evaluacin debe ser orienta-dora y formativa antes que sumativa y sancionadora, la evaluacin debetener en cuenta no slo el dominio de definiciones y conceptos o la ejecucinde destrezas, sino que debe contemplar competencias ms generales, inclu-yendo la actitud hacia la propia matemtica. El modo de evaluacin, losinstrumentos, y las frnalidades, el modo de comunicar los juicios realizados ysu empleo para diagnosticar las dificultades en el aprendizaje, junto con lasconsecuencias que pueden derivarse de las sucesivas evaluaciones paru lapromocin de los escolares, son otras tantas cuestiones abiertas an en elcampo de la enseanza de las matemticas.

Estas modilicaciones, que se derivan de las necesidades sociales, econmi-cas y cienthcas de nuestro pas, nos obligan -obligan a la comunidad deProfesores de Matemticas- a tomar una perspectiva ms amplia y profun-da de qu son y para qu sirven las matemticas y qu papel deben desempe-ar en la formacin de los jvenes. Si hasta el momento han predominadolos componentes instructivos del conocimiento matemtico, cada vez seaprecia con mayor fuerza la insuficiencia de ese planteamiento y se vatomando conciencia de que la formacin matemtica es una dimensinrelevante de la educacin de los nios y adolescentes. De ah que se hable deEducacin Matemtica, con una visin ms integradora de las capacidadeshumanas que se desarrollan mediante los procesos de aprendizaje de lasmatemticas.

20

sin embargo, en el momento actual, nos encontramos que el profesoradoresponsable de llevar adelante toda esta tarea no tiene, como colectivo, laformacin adecuada para ello. Hay profesores en los que predomina ladimensin educativa general sobre las competencias especficas matemticas;hay otros profesores en los que el predominio en la transmisin de conoci-mientos matemticos no permite atender a los valores formativos generales.Quizs sea este el momento de abandonar los esquemas clsicos en laformacin del Profesorado en nuestro pas y avanzar hacia un nuevo modelode profesor, el educador matemtico, en el que las componentes cientificasestn integradas con una formacin psicopedaggica slida y una formacinmetodolgica adquirida en un perodo de prctica bien orientado y estructu-rado. Mantener el sistema actual supone admitir que hay educadores queincidentalmente ensean unas matemticas cuya complejidad intelectuai ydidctica desconocen, o bien que hay unos matemticos que descienden reiterar en el aula unas matem ticas aparentemente triviales de cuyo valorcultural, dihcultad cognitiva y proceso de aprendizaje lo ignoran todo. Elsistema actual considera la educacin matemtica al margen de las profesio-nes para las que se necesita una formacin propia diferenciada, ms comouna aficin particular que como una necesidad social, y de ah la pocaentidad institucional que se le concede.

superar el marco clsico en el que se ha venido contemprando la ense-anza de las matemticas en nuestro pas es uno de los retos que tieneplanteados no slo la comunidad actual de profesores de matemtiias sino,principalmente la administracin educativa y, en particular, la universidadcomo responsable de la formacin inicial del Profesorado. Slo una revisina fondo de las necesidades que se derivan de la comprensin amplia yprofunda del papel cultural que las matemticas desempean puede aportar-nos el marco adecuado y los elementos de juicio suficientes para llevaradelante esta tarea de revisin y reestructuracin de la educacin matemti-ca en nuestro pas.

r.4. QUIENES CONSTITUIMOS LA COMUNIDADDE EDUCADORES MATEMATICOS?

Si bien la aceptacin del predominio de los factores educativos quesurgen de la enseanza de las matemticas sobre los meramente instructivospuede tener un origen y fundamentacin ideolgico, no cabe duda quetambin hay razones sociales, culturales y econmicas que avalan esta consi-deracin; igualmente hay una explicacin racional de la mayor validez deeste planteamiento, como hemos argumentado anteriormente. Por ello espertinente plantearse la cuestin de a quines afectan estas consideraciones,

2l

quines de los profesores de matemticas deben considerar su profesindesde esta perspectiva.

Entendemos por educador matemtico a toda persona que pretendeformar o instruir a. otra, u otras, mediante las matemticas, es decir, conside-ra las matemticas, en todo o en parte, como objeto de educacin para laspersonas a cuya formacin y desarrollo est contribuyendo.

Con nuestro planteamiento no exento de aspectos polmicos, puedeconsiderarse educador matemtico a todo profesional de la enseanza cuyoobjetivo es transmitir nuevos conocimientos matemticos a personas enformacin. Dentro de esta poblacin estn comprendidos los profesoresuniversitarios, an cuando la materia que transmitan sea de alta especialidde incluso est en proceso de investigacin. Tambin consideramos educado-res matemticos a los profesores de Secundaria, tanto en la etapa obligatoriacomo en la postobligatoria; los profesores de matemticas de los actualescentros de Bachillerato, Formacin Profesional y otras enseanzas de segun-do grado estn, por derecho propio, dentro de nuestra poblacin. Igualmente,son educadores matemticos la totalidad de profesorado de la EducacinPreescolar y Educacin General Bsica que estn implicados en la formacinmatemtica de los nios; en esta categoria incluimos igualmente al profesorcorrespondiente de la Educacin Permanente de Adultos y de EducacinEspecial.

No cabe duda de que las prioridades y necesidades formativas son muydistintas en cada una de las etapas educativas contempladas. En el niveluniversitario predomina la formacin en profundidad, el conocimiento de laorganizacin actual y los resultados avanzados ms destacables en cada unade las ramas de las matemticas, as como los campos de investigacin a losque los alumnos en formacin pueden dedicarse, pero todo ello no excluye ladimensin humana y cultural de ese conocimiento sino que, ms bien, lesirve de contrapunto crtico y de marco de referencia, permitiendo que elmatemtico no se aleje del medio social e intelectual en el que, necesaria-mente, tiene que trabajar y al cual se debe.

En los niveles universitarios tcnicos, escuelas tcnicas, o bien en losdedicados a estudios de economa y estadstica o, ms en general, en todosaquellos estudios en los que las matemticas constituyen una herramientaimprescindible, incluidas algunas ramas de Formacin Profesional, la forma-cin matemtica que predomina es la que corresponde a la matemticaaplicada. En estos casos no deberan tener tanta importancia el desarrolloterico especfico cuanto la capacidad para emplear los conceptos y procedi-m,ientos matemficos en la modelizacin de fenmenos que pong;an de mani-hesto los elementos cuantitativos, figurativos y l$icos, asi como las relacio-nes que se pueden establecer entre ellos. Los modelos nos permiten estable-cer inferencias y relaciones que nos llevan a determinadas conclusiones sobreel modelo con lo que se puede predecir el comportamiento futuro del fen-

22

meno modelizado y, por tanto, conjeturar los cambios que se van a produciry las regularidades que se van a mantener. En todo este proceso hay igual-mente una dimensin educativa profunda con la que no slo se quieremejorar la capacidad de pensamiento y el desarrollo de la racionalidad de losestudiantes sino tambin la apreciacin y creacin de belleza.

En la Educacin Preescolar, Primaria y Secundaria predomina el carc-ter formativo y de desarrollo de capacidades humanas en el aprendizaje delas matemticas. La formacin que han de lograr los alumnos de estosniveles y las competencias especficas que deben adquirir han de ser parte deun conocimiento til y prctico que no slo contribuya al desarrollo intelec-tual de los nios y jvenes en formacin, sino que tambin les sirva comofactor de integracin en su medio social y cultural y como elemento depromocin personal.

El profesor de matemticas, en cualquiera de sus niveles, se encuentracon unas componentes educativas relevantes que interesan por la dimensinsocial del conocimiento que estn transmitiendo y cuya consideracin esimportante para la consecucin del aprendizaje de sus alumnos que es, endefinitiva, la meta que se quiere alcanzar. Seguramente muchos profesionalesde la docencia, en cualquiera de sus niveles, pueden tener serias reservas conbastantes de las afirmaciones que aqu hacemos en relacin con las funcionesque desempean las matemticas dentro del perodo de la educacin obliga-toria y con el nfasis puesto en las caractersticas formativas que tienen elestudio y aprendizaje de las matemticas en las etapas no obligatorias delsistema docente. Sin embargo, entendemos que todo profesional de la ense-fianza de las matemticas, al plantearse honestamente su trabajo de forma-cin y transmisin de conocimientos, tiene en cuenta y contempla su accincomo una actuacin profundamente educativa, y por ello debe quedar inclui-do en la comunidad de educadores matemticos. Ms an, la conceptualiza-cin de la Educacin Matemtica no estar completa hasta que los profeso-res de todos los niveles no contemplen de modo natural su trabajo como unaparte diferenciada de una gran tarea comn.

No es fcil delimitar en las Estadsticas Ohciales cuantos docentes que-dan comprendidos en nuestra tipificacin del educador matemtico'y tampo-co es sencillo determinar en muchos casos si el contenido de la enseanza sepuede considerar o no prioritariamente matemtico. De todos modos, ancuando no podamos cuantificar con precisin a nuestra poblacin, s hayunos datos de referencia que nos pueden servir para determinar su tamaoaproximado.

Segn la Estadstica de la Enseanza en Espaa, Niveles no Universita-rios, del Curso 85-86 (MEC-1988), los Profesores de los distintos nivelesdocentes, tanto de la enseanza privada como pblica, fueron:

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Niueles Docentes Total Profesores

Educacin Preescolar 39 573Educacin General Bsica 1.o y 2." Ciclos ll7 807Educacin General Bsica 3.'Ciclo 75638Educacin Permanente Adultos 3 341Educacin Especial 11464Bacillerato Unificado Polivalente y COU 75 550Formacin Profesional 49 408

Tabla 5

Evidentemente, no todos los Profesores computados son educadores ma-temticos ya que no contemplan las matemticas como rea de formacin oconocimiento a cuya transmisin tengan que contribuir. cada una de laspoblaciones anteriores podemos multiplicarla por un coeficiente de reduc-cin, estimado a la baja, que nos permita tener una aproximacin delprofesorado implicado en enseanza de matemticas --{esde los niveles mselementales hasta los ms superiores. Obtenemos as la siguiente tabla:

Tabla 6

Los datos totales estimados nos dicen que un 38 por 100 del profesoradode los niveles no universitarios contemplados tienen competencia en la edu-cacin matemtica de nuestros nios y jvenes, constituyendo una poblacinde, al menos, 142 000 personas.

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Tambin es ilustrativo conocer la poblacin escolar a la que atendieronesos profesores, durante el mencionado curso 85-86.

Tabla 7

Niueles Docentes Alumnos matriculados

Educacin Preescolar | 127 348Educacin General Bsica 5594285Bachillerato y COU 1238874Formacin Profesional 738 340

Total 8 698 847

Si dividimos el total de alumnos matriculados entre el total estimado deeducadores matemticos, tenemos un total de 16 educadores matemticospor cada 1 000 alumnos como indice aproximado de atencin a la EducacinMatemtica por parte del Sistema Escolar no Universitario en Espaa,durante el Curso 85-86.

Estos datos nos permiten tener una primera medida pero no sirven paraconocer cuntos alumnos por trmino medio atiende un profesor de mate-mticas, ya que los profesores de primaria dan clase a un slo grupo mien-tras que los de secundaria atienden a tres o cuatro grupos; tambin hay quetener en cuenta que en algunos cursos de secundaria y COU no se dan clasesde matemticas.

No conocemos datos de otros pases, pero conviene que comencemos acomparar cul es el grado de prestacin que nuestra sociedad proporciona anios y adolescentes en nuestro campo de trabajo en relacin con lo que sehace en los pases avanzados, y cul es la evolucin que se ha experimentadoen los timos aos.

A los datos de la tabla 8 hay que aadir los 1 571 Profesores de nivelesUniversitarios considerados en la tabla 3. Aunque los datos se han obtenidode Cursos diferentes, la cifra global sigue siendo un dato de referencia comoestimacin a la baja del total de Profesores que interviene en la EducacinMatemtica en nuestro pas. Desglosando esta cifra segn la titulacin mni-ma del profesorado tenemos:

Tabla 8

Educadores matemticos * Diplomados Licenciadosl,t4 000 130 000 14 000

* Los datos proceden del Curso 85-86 para niveles no universitarios y del curso 88-89 paraniveles universitarios.

Niueles Docentes

Educacin PreescolarEducacin GeneralBsica Lo y 2.'CicloEducacin GeneralBsica 3." CicloEducacin PermanenteAdultosEducacin EspecialBachillerato UnificadoPolivalente y COUFormacin Profesional

Total

Total Prof.

39 s73

Lt7 807

75 638

3 341tt 454

75 55049 408

Coeficiente Total Estimado

50%

750

25 o/o

25 o/o25 Vo

l0 0l0 o/o

18 786

88 355

18 909

8352826

7 5554940

372781 r42206

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Dadas las consideraciones realizadas con anterioridad sobre la formacininicial de los Diplomados, y Licenciados en relacin con la EducacinMatemtica vemos que, por su composicin, nuestra comunidad est pocoequilibrada ya que consta de un bloque principal (90 por 100) de profesoresdiplomados encargados de transmitir los conceptos y procedimientos bsicosiniciales de las matemticas a los nios y adolescentes, y de un bloque delicenciados universitarios (10 por 100) que realizar una formacin msprofunda pero ms selectiva sobre los jvenes. La escasez de conexionesentre ambos niveles de profesores, la carencia de una formacin inicialcomn, la ausencia de planes de trabajo conjuntos, la contraposicin artifi-cial de intereses, han mantenido a lo largo de los ltimos aos una suspica-cia, cuando no una ignorancia mutua, que no son beneficiosas en absoluto.

Dos son los medios tradicionalmente utilizados para estructurar a lascomunidades y colectivos profesionales: el movimiento asociativo y la crea-cin y sostenimiento de medios propios de comunicacin interprofesional.veamos cules son los antecedentes y perspectivas de nuestra comunidad enestos dos aspectos.

I.5. MOVIMIENTO INTERNACIONAL DE SOCIEDADESY COMISIONES DE PROFF,SORES DE MATEMATICAS:PERSPECTIVA HISTORICA

El carcter corporativo de la profesin docente se observa con claridaden la organizacin de sociedades de Profesores de Matemticas y en laexistencia de Comisiones Internacionales que aglutinan a los miembros de laprofesin; a continuacin se presenta una sntesis de este movimiento organi-zativo en los ltimos cien aos, distinguiendo dos grandes perodos: elprimero comprende desde la fundacin de la primera Sociedad de profesoresde Matemticas, en 1871, hasta la Segunda Guerra Mundial; el segundo,desde el final de esta guerra hasta la celebracin del primer congresoInternacional de la

Asociacin se dedica a cuestiones relacionadas con los cambios de programa(Walusinski, 1986).

Las asociaciones profesionales fueron durante esta poca responsables delas mejoras en educacin alentando y proporcionando medios para el cam-bio hacia nuevas ideas.

La C.I.E.M.: 1908-1945La idea de crear una Comisin Internacional sobre Educacin Matemti-

ca, fue sugerida por primera vez por el americano D.E. Smith en 1905, en larevista

1.5.2. De la Segunda Guerra Mundial a 1970

La C.I.E.A.E.M.

Despus de la Segunda Guerra Mundial la I.C.M.I. que se haba desliga-do de la asociacin de matemticos, se convertira en 1952, en una seccin dela Unin Matemtica Internacional, I.M.U. (International MathematicalUnion).

Se sentia la necesidad de crear una comisin ms gil, en la que participa-rn adems de matemticos otras personas interesadas en Educacin Mate-mtica, en particular psiclogos y pedagogos. Efectivamente, la rpida ex-pansin de la educacin secundaria, con el proceso de democratizacin quese produce al finalizar la Segunda Guerra Mundial, plantea nuevos proble-mas en la enseanza de las Matemticas que rebasan el mbito de losmatemticos, exigiendo la colaboracin de otros profesionales.

As, en 1950 se crea la (1958). Laprimera obra contiene artculos de tres matemticos: G. Choquet, J. Dieu-donn y A. Lichnerowicz, un psiclogo: J. Piaget, un pedagogo de las mate-mticas: C. Gattegno y un lgico: E. W. Beth, lo que prueba el inters de laComisin por aunar voluntades desde las distintas disciplinas. La segundaobra est dedicada al material de enseanza con una serie de artculos dediversos especialistas, destacando los dedicados al matemtico en elque se haban puesto esperanzas como nuevo material en aquellos momen-tos; pero concede gran importancia a la primera parte de la obra, en la quese tratan cuestiones relacionadas con la actividad matemtica del alumnodesde sus aspecto psicolgico (Gattegno), filoshco (Servais), pedaggico (E.Castelnuovo).

Mouimientos renouadores en los Estados UnidosTambin en la dcada de los 50 se inicia un movimiento renovador en los

Estados Unidos de Amrica. Segn M. Kline (1973) cuando los EstadosUnidos entraron en la Segunda Guerra Mundial los militares constataron ladeficiente preparacin matemtica de los soldados, teniendo que organizarcursos para elevar el nivel de sus conocimientos. Despus de la guerra seintent corregir esta mala preparacin, hacindose hincapi en la renovacinde los programas en la enseanza secundaria.

Kline (1973) y Howson (1979) sealan que posiblemente el primer proyec-to de desarrollo curricular en Matemticas corresponde al (U.I.C.S.M.) creado en 1952 porMax Beberman.

Hay que mencionar tambin el esfuerzo realizado por la para redactar un nuevo curriculo para la enseanzasecundaria con la creacin del (S.M.S.G.) dirigido por E. G. Begle.

3t

El Coloquio de Royaumont

En noviembre de 1959 la (O.E.C.E.), la actual O.C.D.E., organn un Seminario de diez dasen Royaumont (Francia) que ser conocido con el nombre de Coloquio deRoyaumont. Estuvo presidido por M. H. Stone, de la Universidad de Chica-go participando en el mismo unos setenta profesores de una veintena depases (M. Sierra, 1990). Los trabajos se agruparon en tres secciones: Nuevasconcepciones en el campo de las matemticas. Nuevas concepciones de laenseanza de las matemticas. Problemas de ejecucin de las reformas.

Howson y otros (1981) consideran que la conferencia pronunciada por J.Dieudonn ha sido determinante en la enseanza de las matemticas, puestoque en ella esboz un nuevo programa para secundaria, presidido por elespritu del estructuralismo bourbakista; esto fue mucho ms importante queel histrico Abajo Euclides! latrzado en la misma conferencia.

A continuacin del Coloquio de Royaumont, un grupo de expertos sereuni en Dubrownik (Yugoslavia) en el verano de 1960 durante cuatrosemanas, tambin bajo los auspicios de la O.E.C.E.; en esta reunin seelebor un programa para la enseanza secundaria as como unas lneasmetodolgicas para su desarrollo; se encuentra recogido en la publicacin dela O.E.C.E.: .

Durante la dcada de los 70 el movimiento reformador, las llamadas se extiende por el mundo: en Blgica con G. Papy,en Canad con Z. P. Dienes, en Polonia con A. Krigowska, en Gran Bretaacon Fletcher, en Francia con Dieudonn, Choquet, Revuz, etc., en Espaacon Abellanas, etc. El cambio de rumbo se inicia en el Segundo CongresoInternacional de la I.C.M.I. celebrado en Exeter y se consolida en el TercerCongreso Internacional, en 1979, en Karlsruhe (R.F.A.).

La I.C.M.I. despus de la Segunda Guerra Mundial

A partir de 1952la I.C.M.I. vuelve a resurgir como una subcomisin de la (LM.U.) con la participacin, ahora, de27 pases; el esquema seguido en los primeros aos de su renacimiento fue elmismo que el de antes de la Segunda Guerra Mundial aunque ahora elacento est puesto en el papel de la matemticas en el mundo actual.

Los temas tratados o propuestos fueron los siguientes;

- Amsterdam (1954): el papel de las matemticas y de los matemticosen el mundo actual. Instruccion matemtica para los estudiantes de 16a 21 aos.

- Ginebra (1955): continuacin del tema de Amsterdam sobre el papelde las matemticas y matemticos en el mundo actual. Enseanza delas matemticas hasta los quince aos. Bases cientficas de las mate-

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mticas en la enseanza secundaria y la preparacin cientfica de losprofesores de la enseanza secundaria.

Precisamente en la reunin de Ginebra destac la intervencin de Freu-denthal que propuso un giro de la Comisin en el sentido de que deberapasar del nivel descriptivo-comparativo que habia tenido hasta entonces apromover estudios e investigaciones como por ejemplo: necesidad de unapreliminar aproximacin intuitiva a la enseanza de la geometra; la ayudaque la psicologa puede prestar en las primeras etapas del aprendizaje yenseanza de las matemticas; importancia de la enseanza de la geometra;la lgica y la enseanza de las matemticas. (Desforge, 1955). Segn Howson(1984) la reunin de Ginebra, aunque no tuvo un impacto inmediato en laComisin, fue muy importante al sembrar la semilla de futuros cambios.

En 1959 tuvo lugar el Coloquio de Royaumont al que nos hemos referidoen otro punto; aunque no fue organizado por la LC.M.I., tanto su presidenteM. H. Stone como otros de sus miembros destacados estuvieron presentes enel mismo; no sorprende por tanto que en los siguientes Congresos de laI.M.U. en Estocolmo (1962) y Mosc (1966) la I.C.M.I. dedicara la mayorparte del tiempo a la

1.6. MOVIMIENTO DE PROFESORES Y SOCIEDADESDE EDUCACION MATEMATICA EN ESPAA

1.6.1. Antecedentes histricos: 1900-1970

Aunque Espaa particip desde su fundacin en la I.C.M.I., sin embargo,el movimiento reformista de comienzos de siglo no tiene repercusin ennuestro pas posiblemente porque la estructura social, poltica y acadmicano propiciaba un clima adecuado para hacer una reforma de la enseanza delas matemticas. As, Schubring (1987) al clasificar a los pases que integra-ban la LC.M.I. por su grado de actividad reformista antes de comenzar laSegunda Guerra Mundial, sita a Espaa dentro del grupo caracterizadopor su falta de inters en este movimiento; incluso indica que haba menosactividad en Espaa que en algunas de sus ltimas colonias.

Espaa permaneci al margen de este movimiento, entre otras razonesan pendientes de analizar en un estudio ms profundo, por el bajo nivel dela Matemtica espaola como ciencia. Este bajo nivel fue denunciado porRey Pastor en su discurso de ingreso en la Real Academia de CienciasExactas, Fisicas y Naturales, el dia 14 de noviembre de 1920 (S. Ros y otros,1979). En este discurso presenta un panorama de una actividad matemticaanclada en el pasado, de tal modo que la matemtica de la segunda mitad delsiglo xx, la de Riemann, Klein, Poincar, Cantor, etc., era desconocida en ladocencia e investigacin universitaria, permaneciendo limitada al ClculoInfinitesimal como la ms alta cuestin accesible a la Matemtica universita-ria. Rey Pastor seal en su discurso las enormes trabas que encontr en losmedios universitarios al tratar de conseguir autorizacin para que, al margendel cuadro de enseanzas oficiales, pudiesen gurar cursos libres de Anlisisy Geometra. Este era el estado de la matemtica espaola en esas pocas,por lo que difcilmente se poda esperar una actitud receptiva con los movi-mientos renovadores en educacin matemtica. Sin embargo, segn S. Ros yotros (1979), gracias a la labor de Rey Pastor se puede asegurar que en losaos treinta existe ya en Espaa una cultura matemtica contempornea conaportaciones originales a nivel europeo, ya que Rey Pastor y sus discpulosdirectos o indirectos publican trabajos importantes en las principales Revis-tas internacionales; esto se va a traducir tambin en el campo de la ensean-za de las Matemticas a nivel secundario, gracias esencialmente a la labor deun discpulo de Rey Pastor, Pedro Puig Adam, durante el perodo siguiente ala Guerra Civil Espaola.

En la poca que estamos considerando, aparecen instituciones que, aun-que no dedicadas especficamente a la educacin matemtica, van a emplearuna parcela de su actividad en este campo, produciendo en algunos casosexcelentes resultados; de este modo, debemos mencionar el Instituto-Escuela,la Escuela de Estudios Superiores del Magisterio, Escuela Normales y la

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seccin de Pedagoga de la Facultad de Filosofa de la universidad central.El Instituto-Escuela de Madrid (1918-1936) pretenda contribuir a la

formacin del futuro profesorado admitiendo estudiantes que estaban si-guiendo estudios en las Facultades de Filosolia y Letras y en la de ciencias;se trataba de abordar de un modo nuevo la preparacin del profesorado, yaque sta se haca en la prctica misma de las enseanzas. La preparacincomprenda: a) Prcticas en el Instituto-Escuela, b) Preparacin cienthca, c)Estudios pedaggicos y filoshcos. Se organizaba en dos perodos: uno enEspaa con un plazo mnimo de dos aos, y otro en el extranjero durante unao, para los aspirantes ms cualificados.

La Escuela Superior del Magisterio (o Escuela de Estudios Superiores delMagisterio) (1909-1932) fue puesta en marcha por la Junta Central de prime-ra Enseanza, siendo su misin la de formar Profesores de Escuelas Norma-les e Inspectores de Primera Enseanza. Lo que nos interesa resaltar aqu esque en ella se formaron excelentes profesores que elevaron el nivel cientficoy pedaggico de las Normales (Ruiz Berrio, 1979; Escolano, 1982); estosprofesores se aglutinaron en torno a la Asociacin de Profesores Numerariosde Escuelas Normales con su Revista de Escuelas Normales que durante lapoca de la dictadura de Primo de Rivera y de la Repblica reflej la vida deestos centros y el movimiento nacional e internacional sobre la formacin delprofesorado, postulando para el caso espaol un nivel universitario; precisa-mente, el Editorial del nmero 83 de la Revista lleva por ttulo (El triunfo denuestra Asociacin), refirindose al nuevo Plan de Estudios de 1931, quecoloc a las Normales espaolas en situacin avanzada a la altura de lasinnovaciones alemanas (Molero Pintado, 1987). En este plan de estudios, elprograma de la asignatura Metodologa de las Matemticas comprende dospartes: la primera abarca los estudios de la psicologa del nio respecto delaprendizaje de las Matemticas y cuestiones fundamentales de Metodologacomo Objeto, Valor educativo y utilitario de las Matemticas, Caracrerespropios de la Matemtica, Caracteres generales de su enseanza. La segundaparte est dedicada al estudio de la Didctica especfica y de los programasescolares; asimismo incluye cuestiones sobre la Historia de la Matemticas.Adems, como complemento de las clases de Metodologa los alumnosdeban realizar prcticas docentes en las Escuelas Anejas dirigidas por losprofesores de la Normal de sus respectivas materias, quienes tomaran parti-cipacin activa en el trabajo escolar. El plan de estudios del 31 formexcelentes maestros en Matemticas y en las dems ramas del saber, con unprestigio reconocido por toda la comunidad educativa espaola.

La Seccin de Pedagoga de la Facultad de Filosofia y Letras de Madrid(1932-1936) elabor el primer plan sistemtico de formacin de profesores deSegunda Enseanza (Ruiz Berrio, 1980). A esta formacin estaba dedicado elCertificado de Estudios Pedaggicos y su propsito era habilitar a los licen-ciados en Filosofia y Letras o en ciencias para optar a ctedras de Instituto

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de Segunda Enseanza o Escuelas Normales. Este intento qued frustradopor la Guerra Civil.

La Guerra Civil (1936-1939) supuso una ruptura con la poltica educativallevada a cabo por la Repblica. Despus de unos aos de provisionalidad, laLey de Enseanza Primaria de 1945 y laLey de Ordenacin de la EnseanzaMedia de 1953 constituyeron el ordenamiento legal del nuevo rgimen enmateria educativa. A partir de 1945 se inician intentos de aadir a la forma-cin cienthca del profesorado estatal de Enseanza Media una formacinpedaggica y as entre ese ao y 1953 se celebran Reuniones Pedaggicas enla Universidad de Verano de Santander.

En esta poca brilla con luz propia en la educacin matemtica la frgurade D. Pedro Puig Adam (1900-1960); no es nuestra intencin hacer aqu unaresea de la vida y obra de Puig Adam, que se puede encontrar en otroslugares, D. Rodrguez(1960), J. R. Pascual (1960), J. Fernndez Biarge (1985);lo que queremos resaltar es que con Puig Adam, como miembro de laC.LE.A.E.M., se inicia un periodo muy fecundo de relaciones con los artlicesy grupos de las ms avanzada ideas sobre la Didctica de la Matemtica enlos aos 50, con los Gattegno, Fletcher, Servais, Castelnuovo, etc. Nombra-do en 1955 para dirigir la Seccin de Didctica de la Matemtica del Centrode Orientacin Didctica (C.O.D.) del Ministerio de Educacin y Ciencia,promovi hasta su muerte, en 1960, numerosas Reuniones de Catedrticosde Matemticas de Enseanza Media, destacando tambin su enorme preo-cupacin ante la falta de profesorado cualificado para impartir esta materia,ya que solamente un 20 por 100 del profesorado que enseaba matemticasera licenciado en esta disciplina.

Se debe a Puig Adam el haber trado a Espaa la XI Reunin Inter-nacional de la C.I.E.A.E.M., celebrada en Madrid en abril de 1957 aportandoa la misma una exposicin de material didctico para cuarenta lecciones decarcter heurstico, con explicacin de las experiencias didcticas correspon-dientes. Escribi obras cuyo autntico valor se est empezando a redescubrir;as, Didctica Matemtica Eurstica (1956); El material didctico matemticoactual (1958); La matemtica y su enseanza actual (1960); Declogo de laDidctica Matemtica Media (1955). En estas obras trat de plasmar susideas sobre la enseanza de las matemticas, como la primaca del acto deaprender sobre el de ensear; la necesidad de la accin del nio en el procesode enseanza; la enseanza no slo activa sino heurstica; la concepcin de lamatemtica como una actividad pensante en eterna produccin.

A comienzos de 1962 se constituy en el seno del Centro de OrientacinDidctica, la

implantacin de este nuevo currculo no fue sencilla y su puesta en prcticademasiado precipitada en sus comienzos, de manera que muchos profesorestuvieron que ir estudiando los nuevos contenidos casi en simultneo con susalumnos en los primeros aos. Pero la transformacin se realiz y, al cabo deun par de cursos, los profesores impartan con soltura los nuevos programas.Esto oblig a una tarea, compartida por bastantes profesores, de prepara-cin en cursos y cursillos seguidos de reuniones, debates, elaboracin ydiscusin de materiales y, en general, una cantidad de horas de trabajo queprovocaron una actualizacin de contenidos y metodologia para el profeso-rado de matemticas. Hecha la transformacin se comenzaron a apreciar losnumerosos fallos que fundamentaban los nuevos programas y las implicacio-nes e inconvenientes que se derivaban del mismo.

La tensin a la que se haba sometido al Profesorado produjo unareaccin de rechazo a las (1972), (1973) y , ste ltimo dirigido por los profesores George yJulia Matthews.

Transformado el C.E.N.I.D.E. en Instituto Nacional de Ciencias de la Edu-cacin Q.N.C.I.E.) se continan celebrando reuniones nacionales con motivode presentar y discutir los Proyectos de Investigacin aprobados con cargo alos Planes de Investigacin Educativa.

A mediados de los 70 ya se conocen mltiples crticas al currculo de lasnuevas matemticas y se tiene conciencia de que no es el camino adecuado.Hay un intento de vuelta a lo bsico, sin que, por otra parte, exista unafundamentacin slida en las teoras del aprendizaje que permita desarrollarunos nuevos programas, perdiendo as la base psicologca que tanto habiaayudado a promocionar a las matemticas modernas. Pero ya el ambientesocial y educativo de mediados de los 70 no admite soluciones anteriores a laL.G.E. del 70. Los Profesores han aprendido a reunirse, a trabajar, a discutir,a plantearse y buscar soluciones a sus propios problemas. En esta pocapodemos datar la contribucin de la mayor parte de los Grupos de renova-cin en Educacin Matemtica en nuetro pais.

Estos grupos actuaron en torno a un proyecto propio, impulsados poralguien con mayor personalidad o carcter, pero con un esquema de trabajode grupo, y con poca o nula ayuda institucional en sus comienzos; sesostuvieron por la certeza moral de que la tarea emprendida era importantey necesana.

Levantar el plano de todos los grupos que surgieron en esta poca en elcampo de la Educacin Matemtica es una tarea an no realizada, por ellonombrar a algunos supone olvidar a la mayora, no obstante podemos

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sealar que a mediados de los 70 tenan ya un espacio creado y una produc-cin propia el Grupo Zero de Barcelona, el Grupo Cero de Valencia, elEquipo Granada-Mats de Granada, los educadores matemticos agrupadosen torno a Rosa Sensat, que continuaron trabajando y procluciendo toda ladcada de los 80.

Otros grupos se constituyen a finales de los 70 o comienzos de los 80 ycomienzan una produccin y trayectoria propia. Entre ellos tenemos elGrupo Beta de Badajoz, el grupo Gauss de Salamanca y el Grupo Azarquielde Madrid.

Por esta misma poca hay otros grupos que enfocan las tareas deleducador matemtico desde una perspectiva ms amplia y ven la necesidadde constituir Sociedades de Profesores de Matemticas con las que abordarun campo de trabajo que se va volviendo cada vez ms complejo. Algunos deestos grupos se disuelven y pasan a constituir sociedades, entre las quedestacamos la Sociedad Canaria de Profesores de Matemticas (1978), la Sociedad Aragonesa de Profesores de Matemticas (1981) y la Sociedad Andaluza de Profesores de Matemticas (1981), esta ltima fusionada en 1988 con la Asociacin de Profesores deMatemticas de Andaluca,bajo la denominacin de Sociedad Andaluza deEducacin Matemtica .

Estas Sociedades se plantean objetivos genricos muy semejantes. En losEstatutos de la S.A.E.M. Thales (1988), encontramos enunciados sus fines delsiguiente modo:

.

La coincidencia de fines, la escasez de medios y la necesidad de compartirinformacin y organizar actividades comunes plantean a las Sociedades deProfesores, todas ellas de mbito territorial autonmico, la necesidad deconstituir una federacin y dar carcter formal y regular a todas las reunio-nes y coordinaciones que se estaban realizando de hecho.

A comienzos del 89 se elaboran y presentan los estatutos de la Federa-cin Espaola de Sociedades de Profesores de Matemticas.

En la actualidad la Federacin est constituida por nueve Sociedades:Andaluza, Aragonesa, Canaria, Castellonenca, Navarra, Extremea, Madri-

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lea, Gallega y Alicantina, y su objetivo fundamental explcito es la mejorade la enseanza y aprendizaje de las matemticas. El nmero de miembrosde los que consta la federacin es, aproximadamente, de 2750, distribuidoscomo sigue:

Tabla 9Sociedad Nmero de socios.

Andaluza l25OCanaria 670Aragonesa g0Navarra 150Castellonenca 150Madrilea 150Extremea 100Gallega 100Alicantina 100

La fuerza del movimiento asociativo espaol en educacin matemticacomienza a ser apreciada fuera de nuestra fronteras. por un lado, la partici-pacin de profesores espaoles en congresos y reuniones internacionalescomienzan a ser destacable. un punto de inflexin se consigue en lggg enBudapest, en el vI I.C.M.I. A mediados de 1990 el catedrtico de AnlisisMatemtico Miguel de Guzmn es elegido presidente del LC.M.I. por unperodo de cuatro aos, lo que supone un espaldarazo moral a la comunidadespaola de educacin matemtica.

La cuota de responsabilidad de los educadores espaoles tambin laencontramos en el P.M.E. y la G.I.E.A.E.M., en cuyos grupos directivos hay,igualmente, profesores espaoles. Esta participacin se contina con la pr-sencia en congresos, simposios y jornadas de todos los niveles, y ,. hu..usual la presencia activa de profesores espaoles en estas reuniones, conintervenciones muy dignas e integracin natural en los grupos de trabajo yaconstituidos.

Dos buenos resmenes de los antecedentes y claves del momento actuallos puede encontrar el lector en las conferencias de los profesores prezJimnez y Balbuena castellano en las Actas de las IV Jornadas Andaluzas deEducacin Matemtica de la S.A.E.M. Thales (Mlaga, 19g9).

Para concluir esta seccin presentamos un resumen de un Documento dediscusin que elaboramos para las mencionadas Jornadas, y que trata desituar al educador matemtico como miembro de un coletivt que tieneencomendadas unas determinadas tareas sociales cuya ejecucin debe reali-zarse de forma coordinada con sus compaeros de profsin.

c)

. contar con el material didctico en el mercado y tambin conlas guas y documentos que expliquen su utilizacin;

. contar, igualmente, con medios y recursos de carcter general,en especial una sala de montaje audiovisual, un aula de graba_cin y otra de informtica;

. disponer de un taller para elaboracin de material didcticopropio y un aula laboratorio en donde llevar a cabo el desarro_llo de experiencias o los trabajos de seminario.

Esta red de centros debe tener una difusin geogrlica ampliapara que pueda resultar asequible a todo el profesorado.

Con carcter de poltica inmediata conviene dotar a los ac_tuales Centros de Profesores C.E.p.'s de un Departamento deEducacin Matemtica en el que se coordinen los servicios ante-riores. El mantenimiento y potenciacin del Centro de Docu_mentacin sobre Educacin Matemtica de cdiz se consideraprioritario.Un sistema que regule la actualizacin del profesorado y quecontemple:. su realizacin durante el horario de trabajo, sin necesidad de

recurrir al tiempo libre del profesorado;. la incentivacin econmica y profesional de aquellos profeso_

res dedicados a la innovacin y mejora de la enseanza:. la fundamentacin de las actividades y la prctica de los ense_

antes sobre una base terica e investigadora;. la difusin eficaz de los trabajos realizados en la comunidad

educativa;. una coordinacin efectiva entre los distintos niveles docentes

que fomente el trabajo conjunto y estmule la cooperacin einvestigacin educativas;

. una regulacin de la catera docente que comprenda todos losniveles.

Un marco de actuacin que amplie y potencie la autonomiaprofesional del Educador Matemtico; esto conlleva que, indivi-dualmente, debe estar regulada la participacin en la toma dedecisiones que afectan al contexto educativo, e igualmente, debengeneralizarse las responsabilidades profesionales.

Hay que regular tambin el control social de la tarea docentede forma peridica, sobre unos parmetros de cumplimiento enel ejercicio de la profesin y de productividad.

Colectivamente, las Sociedades de profesores de Matemticasdeben ser consultadas en todas aquellas actuaciones e iniciativas

que emprenda la Administracin y que afecten al campo de laEducacin Matemtica. De forma institucional se requerir in-formes a la Sociedades y se les encomendar el desarrollo detareas especficas en su campo profesional.

e) coordinadamente, la Administracin y las sociedades promove-rn la creacin y contribucin al mantenimiento de un centro depublicaciones y de material didctico relativo a la enseanza y elaprendizaje de las matemticas.

f) Li frnanciacin de las actividades que realicen las .Sociedadescon carcter regular o peridico tendr carcter institucional.

Se promover mediante una poltica adecuada de Becas yAyudas la constitucin de equipos de investigacin, la elabora-cin de proyectos y el intercambio entre profesores de diferentescomunidades autnomas-

d se recabar de la comisin Europea la coordinacin con elprofesorado de otros pases de la comunidad, favoreciendo lasui.ita. de estudios y los intercambios. Dada la experiencia euro-peaenelcampodelaEducacinMatemticayloscentrosdeinvestigacin eiistentes, se establecer un sistema para facilitar elacceso del profesorado a estos centros, a sus fuentes documenta-les y bases de datos y a sus tcnicas de trabajo e investigacin

4. Las sociedades federadas en la Federacin de Sociedades Espaolasde Profesores de Matemticas, deben contribuir a la creacin de unestado de opinin sobre todas aquellas cuestiones relacionadas con laEducacin y lu Mut.- atica. Para ellos deben promover su difusinmediante la redaccin de documentos, suscitar su discusin y debate,y elaborar conclusiones sobre cada uno de los temas estudiados>.

Antes de cerrar este apartado queremos sealar otras formas de organi-zaciln importantes que se dan dentro de la Comunidad de Educadores enEspaa.

En primer lugar estn los Grupos de renovacin, de los que antes hemosmencionado algunos de los ms conocidos. La actividad de los gruposcontina siendo muy importante en el impulso a la innovacin y mejora en laenseanza de la matemticas y su actitud independiente y, a veces, fuerte-mente crtica constituye un estmulo permanente tanto para la Administra-cin como para el resto de los compaeros.

Con estructura similar a los Grupos, pero con un carcter menos perso-nal y voluntarista estn los Seminarios de trabajo, potenciados en los lti-mos aos por la Administracin Educativa con pequeas ayudas econmi-cas. La constitucin de un Seminario responde a la necesidad compartidapor varios profesores, no necesariamente de matemticas, de coordinar SuSactuacioneJen un aspecto concreto de su actividad profesional y desarrollar

d)

42 43

un estudio detallado sobre el mismperidicas, unos objetivos, una disrdesarrollo y ejecucin. El trabaio drmente, en un plazo hjo y conlleva laveces deriva en su publicacin en unnidades el papel de los cE.p.'s como promotores de la constitucin y trabajode los Seminarios ha sido determinante.

La convocatoria anual de ayudas para Seminarios ha supuesto un impor_tante estmulo para el trabajo "n "quipo y el intercamuio " lnror,nacin ydocumentacin entre ros profesorer,!u'. n rrao

"prou"";;JJ;;, ros educa_dores matemticos.rciones de los educadores matemticosanizacin en otros colectivos dedicadosnerales; tal es el caso del Movimientor (M.C.E.p.), el colectivo pedaggico

Finarmente, aunque ajenos al movimiento asociativo, hay otros dos espa-cios en los que confluyen profesores de matemti"u, *uffiio pror.sonut_mente y en donde aparecen problemas relativos a la Educcin Matemtica;se trata de los Centros de profesores, popularmente C.E.p.,s, y los Equipos deInvestigacin, constituidos y financial . u"u".o con los planes de pro_mocin General del Conoimiento. Sobjetivos diferentes, de actuaciones emcativa para promover la Formacin Icionar la Investigacin en Didctica dees pronto para hacer un balance del relactuaciones, pero tanto los objetivos ppuestos a disposicin permiten p."u".ilos Equipos de Investigacin en el fulEspaa.

1.7. ACTIVIDADES

ual que cualquier otra comunidadnas y medios de comunicacin quen entre sus miembros y la transmi_ico. Entre stos destacan los Encuen_ran a nivel local, regional, nacional o:acin matemtica (informes, mono_comunicacin.

l,;#*T I "i'rf" :T:.,'"lT".." ..;

44

mundo; sin embargo, s nos parece oportuno hacer una resea de los Con-gresos Internacionales de la I.C.M.L por ser stos puntos de encuentro, cadacuatro aos, de educadores matemticos de todo el mundo que al volver asus pases de origen difunden las ideas principales que se hacen sentir enestos Congresos Internacionales. Tambin hacemos una referencia al caso denuestro pais detenindonos en los Congresos nacionales e internacionales.

La infraestructura de la difusin merece la pena ser tratada con deteni-miento pues va a ser clave dentro de los sistemas de comunicacin.

1.7.1. Los Congresos internacionales de la I.C.M.I.

Como ya hemos explicado se sinti la necesidad de organizar Congresosinternacionales dedicados exclusivamente a la educacin matemtica; la ideahrc lanzada explcitamente por Freudenthal al hacerse cargo de la presiden-cia de la I.C.M.I. en 1967 decidindose que el Primer Congreso Internacionalcon este nuevo estilo tuviese lugar en Lyon (Francia) en 1969. Alrededor deseiscientos educadores de cuarenta y dos paises asistieron al mismo; lareunin const de veinte ponencias plenarias complementadas con contribu-ciones de los miembros congresistas.

Este Congreso redact una resolucin que comprenda cinco puntos ydos recomendaciones de la I.C.M.I. Los puntos se referan a:

1. Los contenidos y mtodos, que son inseparables, y deben ser objetode estudio permanente.

2. Se debe llevar a cabo la colaboracin del profesorado de matemti-cas y de otras disciplinas.

3. Desarrollar la cooperacin internacional.4. La formacin de los profesores de matemticas debe ser continua.5. La pedagogia de las matemticas, como ciencia autnoma, debe

encontrar un lugar en los Departamentos universitarios de matemti-cas o en los institutos de investigacin.

Las recomendaciones fueron:a) Estudiar los problemas de informacin internacional sobre la

enseanza de las matemticas, en particular el de centros inter-nacionales de informacin y la creacin de un boletn informati-vo.

b) Para el prximo Congreso atribuir ms importancia a la ense-anza en preescolar, a la enseanza elemental, a la enseanza delas matemticas para todos los jvenes y a la de adultos(r.c.M.r., 1969).

En esta resolucin se establecan objetivos muy ambiciosos, algunos delos cuales estn hoy por cumplir.

45

- Sesiones plenarias.- Grupos di accin, que giraron en torno a los distintos niveles educati-

uos por edades, formacin del profesorado, matemticas para adultosy para Ia formacin tcnica y vocacional.

- biupor temticos, que trataron cuestiones puntuales como , , entre otros.

- Areas temticas como Evaluacin, competiciones, Enseanza de laGeometria. Relaciones entre la Historia y la Pedagogia de la Matem-ticas, Lenguaje y Matemticas, Psicologa de la Educacin Matemti-ca. Teora de la Educacin Matemtica, etc.

- Presentaciones nacionales.

Adems, numerosos posters y comunicaciones de los participantes mos-traron la enorme voluntad de trabajo en el campo de la educacin matemti-

greso tuvo un da especial dedicado a Matemticas, Educacin y Sociedadsobre los contextos culturales y proyecciones sociales que presentan lasMatemticas de nuestro tiempo; se celebraron tambin reuniones y asam-bleas de los grupos de trabajo internacionales del LC.M.I., anuncios deCongresos.o-o t que realiz la Sociedad Andaluza de Educacin Matem-tica i presentando el Proyecto del Congreso Iberoamericano para elao 1990, exhibiciones de libros, pelculas, materiales, etc'

Entre las ideas que han presidido las diversas aportaciones del congreso,c. Alsina (1988), destaca: a) el papel que jugar el impacto tecnolgico, b) loscambios curriculares, comunes a casi todos los pases, c) notable preocupa-cin prospectiva, d) los procesos de visualizacin van tomando cuerpo comomedis alternativos a lipresentacin formal usual, e) prdida de la credibili-

parece consolidarse como ciencia autnoma.El Sptimo congreso Internacional sobre Educacin Matemtica tendr

lugar en euebec (anad) en 1992; ser presidido por el espaol M. deGuzmn nombrado Presidente de la LC.M.I. para el perodo l99l'94; ac-

47

tualmente las numerosas gestiones realizadas para que el octavo congreso,en 1996 se celebre en Espaa han culminado con xito y ha sido aprobada lacandidatura de la ciudad de sevilla como sede del LC.M.I.-vIII de 1996.

1.7.2. Reuniones y Congresos en Espaa

Desde mediados de los aos cincuenta se comienzan a celebrar en Espa-a reuniones y encuentros de profesores de matemticas con el objetivo demejorar la calidad de la enseanza; en otro lugar de este captulo se hasealado que la XI Reunin Internacionar de la C.I.E.A.E.M. (1957) secelebr en nuestro pais. Tambin se celebran la XXI en Ganda (196g), parael estudio del tema

de su enseanza. Destaquemos las Jornadas sobre Educacin Matemticaque, con carcter bianual, vienen realizando las Sociedades Newton, Thales yPedro Ciruelo, los Cursos organizado por los Institutos de Ciencias de laEducacin de diversas Universidades , los Cursos de formadores y asesoresde C.E.P.'s organizados a nivel estatal o de comunidad autnoma y la multi-tud de Jornadas, encuentros y cursos que tanto los C.E.P.'s como los Semina-rios de una comarca o pueblo vienen realizando con regularidad. Tenemosas un panorama activo y dinmico de nuestra comunidad.

De muchas de estas Jornadas se levantan Actas que se editan posterior-mente y que resultan ser documentos inapreciables para el conocimiento dela evolucin y estado actual de la educacin matemtica en nuestro pais.Estn publicadas actualmente las Actas de los cuatro primeros Congresos dela J.A.E.M., e igualmente las Actas de las cuatro primeras Jornadas de laSociedad Thales.

1.7.3. La infraestructura de la difusin

La red de difusin de los estudios sobre educacin matemtica es grandea nivel internacional; los problemas de difusin de trabajos sobre educacinmatemtica son importantes, en parte porque se trata de una disciplinanueva y en parte por los escasos recursos dedicados a estos trabajos. En esteapartado se tratan los sistemas ms habituales de comunicacin entre loseducadores matemticos, considerndose las publicaciones peridicas, librosy otros medios de comunicacin.

a) Publicaciones peridicasConstituyen la forma ms accesible de distribucin de conocimientos en

un campo como la didctica de la matemtica; son relativamente baratas,proporcionan un acceso bastante rpido y son especialmente efectivas en lacomunicacin internacional; es posible publicar revistas en varios idiomas yalgunas de las publicaciones estn editadas en ms de un idioma.

Las revistas han sido una de las primeras seales de la aparicin de temasespecializados en el siglo xx. Por lo que se refiere a la didctica de lamatemtica, desde antes de comienzos de siglo se publicaba francesa, etc. Hay otra dirigida expresamente alos profesores de educacin primaria como , . etc.

Aunque en todas las revistas mencionadas anteriormente suelen aparecer

51

artculos relacionados con los ordenadores, hay otras que tratan exclusiva-mente este campo del saber como r, (Matematics and Computer EducationD, (Micromath>, etc.

En cuanto a los idiomas en que se publican las revistas sobre educacinmatemtica, el ingls es el idioma predominante. Hemos efectuado un re-cuento de las revistas relerenciadas en el Z.D.M. obteniendo que el 52 por100 lo son en ingls, el 34 por 100 en alemn, un 6 por 100 en francs y un 8por 100 en otros idiomas.

En lo que se refiere al caso espaol, a partir de 1983 aparecen revistasdedicadas a la educacin matemtica

Tabla 11

N., de ttulos N." de.eie-mplares Media eiemplares(mles) tulo (miles)

MatemticasTotal reascientficas

637 5219 8,19

4960 23 325 4.70

total de ejemplares impresos en ese mismo ao. La media de ejemplares porttulo es casi el doble que la media del total de reas cientf,ras. Este datopuede entenderse a la vista del gran porcentaje de manuales didcticoseditados sobre el total de ttulos de matemticas, muy superior al global delas reas cientficas.

No disponemos de datos relativos a los ltimos aos, pero s es cierto quese viene notando un incremento en la edicin de libros de matemticasdistintos de los manuales escolares y libros de texto. Este incremento seaprecia en libros de historia y cultura relacionados con las matemticas, enlibros de juegos de ingenio y lgica y en publicaciones especficas del Area deDidctica de la Matemtica. Dentro de este desarrollo se inscribe la colec-cin a la que pertenece esta obra .Este proyecto, entusisticamente apoyado por la Editorial sntesis, ha su-puesto la coordinacin de un total de 34 ttulos que recogen los temas msimportantes de la enseanza de las matemticas, cuya lista completa puedeencontrarla el lector en esta misma obra.

casi todas las editoriales que trabajan temas relativos a educacin man-tienen en sus catlogos algunos ttulos relacionados total o parcialmente con

la educacin matemtica. Se puede as indicar que un catlogo de obras encastellano sobre enseanza y aprendizaje de las matemticas o temas directa-mente conectados, excluidos los libros de texto, actualmente disponiblespuede estar alrededor de los 500 ttulos. No resulta por tanto sencillo haceruna seleccin limitada de las obras ms importantes ya que, en cierto modo,todas lo son. Lo que s es destacable son las facilidades y oportunidades quehoy da tiene el Profesorado de Matemticas para disponer de una buenabiblioteca profesional con la que organizar y orientar su trabajo.

Quedan an algunos pasos por dar en la poltica de publicaciones sobreeducacin matemtica en Espaa. Uno de ellos es que las Sociedades deProfesores, o la Federacin, pongan en marcha una editorial propia, queconjugue la promocin de autores espaoles junto con la traduccin de losttulos ms interesantes publicados en otros idiomas.

Otros pasos importantes son la dotacin de buenas y completas bibliote-cas y hemerotecas sobre Educacin Matemtica en los Centros de Profesoresy Centros Universitarios relacionados en la formacin del Profesorado, ascomo la existencia de bibliotecas bsicas en todos los centros de enseanza.

Un mayor seguimiento crtico por parte de las revistas profesionalessobre las publicaciones del momento servir tambin para maraar las pautasy prioridades, corregir errores, sealar referencias y establecer indicadores decalidad del producto.

La produccin y edicin de libros es un paso importante, pero no elnico para lograr consolidar un mercado de publicaciones en educacinmatemtica; no menos importante es la red de distribucin, difusin y ventade los libros editados. Lograr una buena distribucin supone la existencia delibreras especializadas en un producto an tan escaso y con tan poca salidacomo el libro de educacin matemtica; estas libreras deben disponer deunos fondos estables con la totalidad de la oferta editorial del momento ytambin de catlogos en los que se puedan consultar los fondos existentes ylas novedades que se producen peridicamente. Conviene mencionar a lalibrera Alsur de Granada y a la librera Pons de Zaragoza, por su meritoriatarea de mantener permanentemente informados a los educadores matemti-cos sobre bibliografia disponible en este campo de trabajo.

c) Otros elementosLibros y revistas no son los nicos elementos de difusin; las bases de

datos juegan un papel importante en la recuperacin de la informacin; yahemos comentado la base de datos M.A.T.H.D.I. del Z.D.M. Adems pode-mos citar la E.R.I.C.-S.M.E.A.C. en la Universidad de Ohio, y la base dedatos U.M.L de tesis doctorales; aunque no son especficas de educacinmatemtica, su notable extensin permite encontrar muchas entradas ennuestro campo.

Tabla 12

Matemticas Total reas cientficas

N.o ttulos Porcentaje N.' ttulos PorcentajeManualesddcticosTextos infantily juuenilOtros gneros

342

t1284

s3,68

t7)44,58

698

7I4 19I

14,07

1,4384,49

54 55

En nuestro pas debemos resaltar el centro de documentacin de Didc-tica de la Matemtica fruto de un convenio entre la consejera deEducacin y ciencia de la Junta de Andaluca, la lJniversidad de Cdiz y laS.A.E.M. ; entre los servicios del centro estn el proporcionar a losusuarios informacin, listados bibliogrficos, fotocopias y artculos, prsta-mos de libros y acceso a bases de datos internacionales.

Los juegan tambin un importante papel en lacomunicacin; esta expresin ha sido utllizada por price (1963) para denomi-nar a las comunidades cientficas informales que relacionan a investigadoresde diferentes centros interesados en temas comunes mediante sistemas espe-cficos de intercambio informativo como reuniones restringidas, contactospersonales, etc. En efecto, los especialistas en educacin matemtica dediferentes pases intercambian informacin y opiniones en reuniones especia-les patrocinadas por organismos como la I.C.M.I., U.N.E.S.C.O., O.C.D.E.,Ministerio de Educacin, etc.; dentro de cada nacin hay tambin contactosinformales entre los miembros de la comunidad de educadores matemticos.

Los resultados de estas reuniones consisten en la produccin de docu-mentos que sirvan para adoptar lneas comunes de trabajo e investigacin, obien establecer referencias para el currculo de matemticas de los diversosniveles.

1.8. REFERENCIAS

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2.1.2. Desdenes, desavenencias y anclajesa) El hecho es que son muchos los profesores de Matemticas que

desdean aquello que huele a teora, en particular si se trata deteoras que cuestionan su estilo docente. No debe extraar que Skin-ner (1984, p9. 2q sealara que (es de destacar que campea unadespreocupacin general por los mtodos de enseanza>.

Las argumentaciones son variadas: unos cuestionan la utilidadde las teoras y otros su validez. As, se dice que las teoras delaprendizaje no han aportado gran cosa, ni la pueden aportar, acercade cmo hay que ensear, ya que la enseanza es un rte en el queintervienen factores humanos impredecibles que dependen funa-mentalmente de lo que hace el maestro en el aula y, por ello, comorealmente se aprende a ensear es enseando y no pensando cmo-damente sentado en una mesa de despacho.

En otro orden de cosas, se considera que las teoras son ideales yde laboratorio, para pocos alumnos, y que la realidad es otra cosa.Hay quien afirma que las conclusiones tericas le dejan perplejo,puesto que en su terreno, el de las Matemticas, una ahrmacin esfruto de consideraciones rigurosamente lgicas y formalmente proba-das, mientras que las conclusiones tericas educativas son especula-ciones que manejan variables imprecisas (atencin, actitud, motiva-cin, ambiente, concepciones, disponibilidad, etapas o niveles cogni-tivos,...) deducidas de muestras experimentales particulares (lugar,tiempo y modelo social), limitadas (a un colectivo) y contaminadas(por la propia experimentacin). En el fondo lo que subyace es lafalta de adecuacin entre las teoras descriptivas del aprendizaje y lasteoras prescriptivas de la instruccin y que (Hart, 1981, pg.216).

b) Otro hecho evidente, es que cuanto ms se mira lo que ocurre en laenseanza de las Matemticas ms desavenencias se ven entre losprofesionales, los profesionales y las autoridades, los profesionales ylos padres y entre todos ellos a la vez, en cuanto a la forma en quedebe dirigirse la enseanza. Ah tenemos las campaas para ensearMatemticas mediante

Desdn, desavenencias y anclajes en el pasado son' en parte' frutodelafal tadeinformacinqueacompaaalossereshumanos.Noesrazonable cerrar los ojos y creer que slo es vlido Io que uno escapaz de pensar. Otros han pensado sobre lo mismo y muchas vecescon gran acierto.

2.1.3. Quin se ha interesado por el proceso educativo?

principales rezan asi'.1. Promover contactos internacionales e intercambiar informacin cien-

tfica en la Psicologa de la Educacin Matemtica'

,L

6l

2. Promover y estimular la investigacin interdisciplinar en la mencio-nada rea con la cooperacin de psiclogos, matemticos y profeso-res de Matemticas.

3. Avanzar en la profundizacin y mejor comprensin de aspectos psi-colgicos de la enseanza y aprendizaje de las Matemticas y lasimplicaciones de ello.

2.1.4. Por qu se interesa la Psicologia por la Didcticade las Matemticas

El intento conductista de explicar el aprendizaje humano en trminos deestmulo-respuesta y reforzamiento recibi un duro golpe a linales de losaos 50 de la mano de la premisa de que entre estimulo y respuesta ocurrealgo importante. Se postula que es un error creer que la relacin entreestmulo y respuesta explica lo que ocurre en el aprendizaje. En realidad slo1o describe; la clave para comprenderlo reside en el fenmeno mental queinterviene entre el estimulo y la respuesta.

La Psicologa se interesa por el aprendizaje, luego no debe extraar queacuda all donde se est produciendo por antonomasia: la escuela. En eselugar hay entre otras cosas aprendizaje matemtico, en gran parte relaciona-do con el razonamiento en la forma ms pura (despegado de emociones ysentimientos). Es natural que la Psicologa, interesada en comprender elfenmeno mental que interviene en el aprendizaje, sienta inters por elproceso de adquisicin de los conocimientos matemticos y en particular porla relacin entre razonamiento y aprendizaje.

2.1.5. Qu aporta a la Didctica de las Matemticas el puntode vista de la Psicologa

La psicologa de la educacin matemtica mira la enseanza y el aprendi-zzje de las Matemticas desde un enfoque nuevo (de hecho es un campo deconocimientos relativamente joven). A diferencia del enfoque tradicional enel que las Matemticas escolares se inspiran en la lgica interna de lasMatemticas y en la incorporacin de las nuevas ideas que se derivan de lapropia evolucin (pinsese en las ), el enfoque psi-colgico intenta comprender qu hacen los alumnos cuando se encuentranfrente a las Matemticas. Se asume que el aprendizaje de las Matemticastiene su propia psicologa, que los estudiantes y profesores tienen ideaspropias acerca de las Matemticas en las situaciones de aprendizaje y que losprofesores estarn mejor equipados para su tarea si pueden comprendercmo se ven las Matemticas desde la perspectiva del que aprende.

62

Aunque es un hecho la falta de conocimientos de Psicologa que tienenlos matemticos y la falta de conocimiento de Matemticas que tienen lospsiclogos, esto no debe justihcar la falfa de comunicacin entre matemti-cos o profesores de Matemticas y psiclogos de la educacin matemtica.Es paradjico que (un matemtico que nunca aceplatia un teorema sin unademostracin, es capaz de presentar y defender con fuerza sugerencias didc-ticas sobre las Matemticas sin apoyarse en ninguna evidencia explcita de lainvestigacin y sin sentir la necesidad de analizar objetiva y sistemticamentelos efectos educativos de sus ideas> (Fischbein, 1990 a, p9.2).

2.1.6. Quin puede decir cmo deberan ensearse las Matemticas

Para dar respuesta a esta pregunta ha aflorado en los ltimos aos grancantidad de informacin, cuya dimensin se refleja en la multitud de publica-ciones, congresos, jornadas y encuentros dedicados al tema. Sin embargo, y apesar de lo mucho que se ha escrito sobre el particular, la mayora de losmortales, incluso los que no han ledo nada sobre la enseanza de