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1. ANALISIS DE UN RESERVORIO CIRCULAR MEDIANTE FEM

Analizar la pared de un reservorio circular de radio interior 10m, espesor de la pared 0.20m, altura de la pareddesde la losa de fondo 3m. Considerar solamente el caso estático por la presión de agua

Se realizará un cálculo mediante el Método de los Elementos Finitos, modelándolo la pared del reservoriocircular como un sólido de revolución, la sección trasversal característica y las cargas se muestran en la figura.

Para el análisis, la sección trasversal de la pared se discretiza en tres elementos cuadriláteros de cuatronodos, la numeración de los nudos y los elementos se muestra seguidamente.

Numeración de nudos Identificación de elementos

Autor:Edmundo

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El análisis con tre elementos cuadriláteros de cuatro nodos es solamente con fines ilustrativos, para un análisisreal se deberá discretizar con tantos elementos hasta que satisfaga un resultado adecuado.

2. ARGUMENTOS

2.1 nudos

las coordenadas de todos los nudos, cada fila representa un punto, donde:Columna 1: coordenada radial "r"Columna 2: coordenada axial "z"

NODE1 2

12

3

4

5

6

7

8

10 010.2 0

10 1

10.2 1

10 2

10.2 2

10 3

10.2 3

:=

2.2 Elementos

Identificación de todos los elementos en el sistema, cada fila representa a un elemento, donde:Columna 1: número del nudo global, correspondente al nudo local 1Columna 2: número del nudo global, correspondente al nudo local 2

Autor:Edmundo




Columna 3: número del nudo global, correspondente al nudo local 3Columna 4: número del nudo global, correspondente al nudo local 4

MEMB1 2 3 4

12

3

1 2 4 33 4 6 5

5 6 8 7

:=

2.3 Propiedades

Módulo de elasticidad del material:

kg

m2E 21 108⋅:=

Coeficiente de Poisson: ν 0.3:=

Espesor(en radianes) t 2 π⋅:= radianes

2.4 Condiciones de contorno

Define los grados de libertad restringidos en la estructura, donde:Columna 1: número del nudo donde existe restricción del desplazamientoColumna 2: "UR?" ¿existe desplazamieto en la dirección radial?Columna 3: "UW?" ¿existe desplazamiento en la dirección axial?, para ambos, la condición: 0 es libre y 1restringido

SUPP1 2 3

12

1 1 12 1 1

:=

2.5 cargas

2.5.1 Cargas puntuales.[kgf]

Las cargas puntuales actuan directamente sobre los nudos, deben ser ingresados directamente en elsistema de orientación global, cada columna representa:Columna 1: Número del nudo donde actúa la cargaColumna 2: Carga puntual en la dirección radialColumna 3: Carga puntual en la dirección axial

Estas cargas son en realidad distribuidas linealmente en toda la longitud de la circunferencia de radio 10m,entonces sus equivalentes puntuales para cada nodo será

NLF1 2 3

12

3

4

1 52.2·10 03 51.6·10 0

5 49.5·10 0

7 43.2·10 0

:=

Autor:Edmundo




3. MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE CADA ELEMENTO

Reference:D:\FEM\Sólido de revolución C4N\0 Solido de Revolucion C4N - Funciones.xmcd

Se obtiene la matriz de rigidez local para el elemento: m 1:=

3.1 Propiedades del elemento Matriz de proiedades

Espesor

t 2 π⋅→ D

2.827 109×

1.212 109×

0

1.212 109×

1.212 109×

2.827 109×

0

1.212 109×

0

0

8.077 108×

0

1.212 109×

1.212 109×

0

2.827 109×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

3.2 Matriz del elemento "B" "Deformación unitaria desplazamiento" de 4x8 - que relaciona las cuatrodeformaciones unitarias con los 8 desplazamientos nodales y está dado por.

Las funciones de forma

Matriz Jacobiano, que representa la transformación del sistema cartesiano al sistema normalizado

la matriz "B" está dado por

Autor:Edmundo




3.3 matriz de rigidez está dado por.

devido a que la integral anterior al ser evaluado explícitamente es muy pesado, se opta por evaluar la funciónnuméricamente, para cada elemento de la matriz de rigidez.

Autor:Edmundo




GDL m( )T 1 2 3 4 7 8 5 6( )=

k 1( )

2.999

0.317

2.973−

0.064

1.512−

0.319−

1.448

0.061−

0.317

0.973

0.064−

0.794−

0.321−

0.487−

0.061

0.308

2.973−

0.064−

3.05

0.324−

1.474

0.067

1.512−

0.321

0.064

0.794−

0.324−

0.974

0.067−

0.307

0.319

0.487−

1.512−

0.321−

1.474

0.067−

3.05

0.324

2.973−

0.064

0.319−

0.487−

0.067

0.307

0.324

0.974

0.064−

0.794−

1.448

0.061

1.512−

0.319

2.973−

0.064−

2.999

0.317−

0.061−

0.308

0.321

0.487−

0.064

0.794−

0.317−

0.973

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

1011= GDL m( )

1

2

3

4

7

8

5

6

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

..... de igual manera para todos los elementos

Autor:Edmundo




4. MATRIZ DE RIGIDEZ ENSAMBLADO


Todas las matrices de rigidez de los elementos se ensambla en una sola, simbólicamente se podríarepresentar así K ki∑← Seguidamente se muestra un código compacto para que ensambla la matriz de

rigidez.

la matriz de rigidez ensamblado es

K

11 12 13 14 15 16

56

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

11-1.512·10 10-3.193·10 0 0 0 010-3.214·10 10-4.869·10 0 0 0 0111.474·10 96.682·10 0 0 0 09-6.682·10 103.069·10 0 0 0 0

11-5.945·10 0.124 111.448·10 9-6.132·10 11-1.512·10 10-3.193·10

0.125 11-1.589·10 96.132·10 103.081·10 10-3.214·10 10-4.869·10116.1·10 -0.126 11-1.512·10 103.214·10 111.474·10 96.682·10

-0.126 111.949·10 103.193·10 10-4.869·10 9-6.682·10 103.069·1011-1.512·10 103.193·10 112.999·10 10-3.168·10 11-2.973·10 9-6.386·10103.214·10 10-4.869·10 10-3.168·10 109.733·10 96.428·10 10-7.945·10111.474·10 9-6.682·10 11-2.973·10 96.428·10 113.05·10 103.239·1096.682·10 103.069·10 9-6.386·10 10-7.945·10 103.239·10 ...

=

Autor:Edmundo




5. VECTOR DE FUERZAS NODALES

Se procede de manera similar, simbólicamente se puede expresar mediante F cargas_nodales_equivalentes∑← El programa siguiete ensambla solamente las cargas que actuan en los

nudos

el vector resultante es.

F

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

52.2·100

0

051.6·10

0

0

049.5·10

0

0

043.2·10

0

0

0

=

Autor:Edmundo




6. DESPLAZAMIENTOS


6.1 Imposición de las condiciones de contorno

La matriz de rigidez de toda la estructura "K" fue ensamblado sin tomar en cuenta los grados de libertadrestringidos, modificando la matriz para los grados de libertad con desplazamiento restringido, se tiene.

Km

1 2 3 4 5

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

3071·10 103.168·10 11-2.973·10 96.386·10 111.448·10103.168·10 3071·10 9-6.428·10 10-7.945·10 96.132·1011-2.973·10 9-6.428·10 3071·10 10-3.239·10 11-1.512·1096.386·10 10-7.945·10 10-3.239·10 3071·10 103.193·10

111.448·10 96.132·10 11-1.512·10 103.193·10 115.998·109-6.132·10 103.081·10 103.214·10 10-4.869·10 -0.124

11-1.512·10 10-3.214·10 111.474·10 9-6.682·10 11-5.945·1010-3.193·10 10-4.869·10 96.682·10 103.069·10 0.124

0 0 0 0 111.448·10

0 0 0 0 9-6.132·10

0 0 0 0 11-1.512·10

0 0 0 0 10-3.193·10

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 ...

=

6.2 Resolución del sistema de ecuaciones

La matriz Km representa los coeficientes del sistema de ecuaciones que se formó tomando en cuenta todoslos grados de libertad, y el vector de fuerzas el término independiente. se podría resolver de muchas manerasel sistema de ecuaciones, para el presente se resolverá formando la matriz aumentada y por eliminación deGauss.

augment Km F, ( )

1 2 3 4 5

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3071·10 103.168·10 11-2.973·10 96.386·10 111.448·10103.168·10 3071·10 9-6.428·10 10-7.945·10 96.132·1011-2.973·10 9-6.428·10 3071·10 10-3.239·10 11-1.512·1096.386·10 10-7.945·10 10-3.239·10 3071·10 103.193·10

111.448·10 96.132·10 11-1.512·10 103.193·10 115.998·109-6.132·10 103.081·10 103.214·10 10-4.869·10 -0.124

11-1.512·10 10-3.214·10 111.474·10 9-6.682·10 11-5.945·1010-3.193·10 10-4.869·10 96.682·10 103.069·10 0.124

0 0 0 0 111.448·10

0 0 0 0 9-6.132·10

0 0 0 0 11-1.512·10

=

Autor:Edmundo




11

12

13

14

15

16

0 0 0 0 1.512 10

0 0 0 0 10-3.193·10

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 ...

rref augment Km F, ( )( )

13 14 15 16 17

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 -57.684·10

0 0 0 0 -51.096·10

0 0 0 0 -57.626·10

0 0 0 0 -5-1.288·10

0 0 0 0 -42.057·10

0 0 0 0 -68.123·10

0 0 0 0 -42.044·10

0 0 0 0 -5-1.806·10

1 0 0 0 -43.347·10

0 1 0 0 -8-2.957·10

0 0 1 0 -43.326·10

0 0 0 1 ...

=

donde los desplazamientos están representados por la última columna

donde:Columna 1: nudoColumna 2: desplazamiento en XColumna 3: desplazamiento en Y

Q

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

00

0

0-57.684·10-51.096·10-57.626·10-5-1.288·10-42.057·10-68.123·10-42.044·10-5-1.806·10-43.347·10-8-2.957·10-43.326·10-5-2.554·10

=

Qo

1

2

3

4

5

6

7

8

0

0

7.684 10 5−×

7.626 10 5−×

2.057 10 4−×

2.044 10 4−×

3.347 10 4−×

3.326 10 4−×

0

0

1.096 10 5−×

1.288− 10 5−×

8.123 10 6−×

1.806− 10 5−×

2.957− 10 8−×

2.554− 10 5−×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Autor:Edmundo




16 2.554 10

7. REACCIONES EN APOYOS

Las reacciones se obtienen mediante

donde:Columna 1: nudoColumna 2: reacción en XColumna 3: racción en Y

K Q⋅ F−

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

5-2.759·106-1.015·105-1.149·1061.015·10

-9-8.382·10-9-2.212·10-82.395·10-91.863·10-8-3.178·10-93.027·10-8-4.328·10-9-7.683·10-82.864·10

-10-4.657·10-8-1.362·10

-10-9.313·10

= R

1

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

5-2.759·106-1.015·105-1.149·1061.015·10

-9-8.382·10-9-2.212·10-82.395·10-91.863·10-8-3.178·10-93.027·10-8-4.328·10-9-7.683·10-82.864·10

-10-4.657·10-8-1.362·10

-10-9.313·10

= Ro1

2

2.759− 105×

1.149− 105×

1.015− 106×

1.015 106×

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

Autor:Edmundo




9. CONLUSIONES


Los resultados obtenidos serán comparados con un análisis realizado en SAP2000 v12.0.0 educacional, parauna discretización inicial en 03 cuadriáteros decuatro nodos.

9.1 Desplazamientos

Joint OutputCase U1 U3Text Text m m

1 DEAD 0 02 DEAD 0 03 DEAD 0.000077 0.0000114 DEAD 0.000076 -0.0000135 DEAD 0.000206 0.0000081236 DEAD 0.000204 -0.0000187 DEAD 0.000335 -2.957E-088 DEAD 0.000333 -0.000026

TABLE: Joint Displacements

Qo

1

2

3

4

5

6

7

8

0

0

0.000077

0.000076

0.000206

0.000204

0.000335

0.000333

0

0

0.000011

0.000013−

0.000008

0.000018−

0−

0.000026−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

donde los resultados tanto del análisis actual y los efectuados con sap2000 v12.0.0 son los mismos

9.2 Reacciones en los apoyos.

Joint F1 F3Text Kgf Kgf

1 -275903.06 -1014994.672 -114861.99 1014994.67

TABLE: Joint Reactions

Ro1

2

275903.06−

114861.99−

1014994.67−

1014994.67⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=

con resultados idénticos, en esta parte no es necesario comparar los resultados con los del sap2000 v12.0.0,simplemente se debe comprobar el equilibrio estático de la estructura y cumple en el presente análisis.

con esto se garantiza implícitamente el equilibrio interiores al elemento y en cada nodo.

9.3 Tensiones

.... la evaluación de las tensiones para cada punto en el elemento, en las próximas versiones.

Finalmente, que los resultados coincidan solamente garantiza el éxito que se logró resolviendo el sistemapaso a paso, para una obtensión real de los resultados, se debe buscar el número de elementos necesariosrefinando la malla de los elementos finitos, hasta converger con un resultado aceptable.

Autor:Edmundo




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