09.VAD y Distribuciones

UNIDAD II: PROBABILIDAD

121 Ctedra de Clculo Estadstico y Biometra Facultad de Ciencias Agrarias UNCUYO / Ciclo 2014

DDIISSTTRRIIBBUUCCIIOONNEESS DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD DDEE VVAARRIIAABBLLEESS AALLEEAATTOORRIIAASS DDIISSCCRREETTAASS

7.1.Introduccin7.2.Distribucin uniforme7.3.Distribucin bernoulli7.4.Distribucin binomial

7.4.1.Generalidades.7.4.2.Propiedades caractersticas de la distribucin binomial7.4.3.Funciones de probabilidad de la vab7.4.4.Aplicaciones de la distribucin binomial

7.5.Distribucin de poisson7.5.1.Generalidades7.5.2.Propiedades caractersticas de la distribucin binomial7.5.3.Funciones de probabilidad de la vap7.5.4.Aplicaciones de la distribucin poisson7.5.5.La distribucin de poisson como una aproximacin a la binomial

77..11.. IINNTTRROODDUUCCCCIINN Se ha visto que las variables aleatorias se relacionan con los experimentos aleatorios, y que en

todos los casos se trata de variables numricas. En este captulo se desarrollarn modelos probabilsticos o modelos estocsticos, que describen el comportamiento de variables aleatorias discretas y en el prximo se introducirn modelos para el caso continuo. En ambos casos se trata de un tipo de modelo formal que puede expresarse mediante una frmula, y que es muy utilizado en el mbito de las ciencias aplicadas para explicar el comportamiento de los fenmenos aleatorios.

Un modelo probabilstico para el caso discreto, expresa la relacin entre los valores de una variable aleatoria discreta y la probabilidad asociada a posibles valores de la misma. en cuyo caso tal regla de correspondencia se denomina funcin de probabilidad. La informacin correspondiente se suele organizar como una distribucin de probabilidad, la cual se refiere a la distribucin de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria. Las distribuciones probabilsticas se pueden representar a travs de una tabla o de una representacin grfica.

Entre los modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas se tiene a los siguientes: Modelo uniforme (discreto). Modela la distribucin de probabilidades de una variable donde

todos sus posibles valores tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Modelo Bernoulli 1. Modela la distribucin de probabilidades para variables dicotmicas con

recorrido RX = {0,1}. Modelo binomial. Modela la distribucin de probabilidades de una variable que se refiere a la

cantidad de xitos que se pueden lograr al realizar una cierta cantidad de experimentos simples con probabilidad de xito constante y con repeticiones independientes.

Modelo multinomial. Este modelo puede considerarse una generalizacin de la distribucin binomial, o sea aplicable al clculo de la probabilidad de obtener n1, n2, ..., nk ocurrencias en k categoras (mutuamente excluyentes) de una muestra de tamao nc=n1+n2+...+ nk.

Modelo geomtrico. Modela la distribucin de probabilidades de una variable que se refiere a realizar cierto nmero de experimentos antes de obtener un xito.

Modelo Poisson 2. Modela la distribucin de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo o cierto espacio. En este curso se utilizarn los modelos uniforme y de Bernoulli para introducir algunos conceptos

bsicos, pero el inters se centrar en los modelos binomial y de Poisson.

1 Jakob Bernoulli o Jacob Bernoulli (1654 - 1705), fue un matemtico y cientfico suizo cuya obra maestra fue Ars

Conjectandi (el Arte de la conjetura), un trabajo pionero en la teora de la probabilidad. Los trminos ensayo de Bernoulli y nmeros de Bernoulli son resultado de su trabajo, publicado siete aos despus de su muerte.

2 Modelo descubierto por Simon-Denis Poisson (1781- 1840), un fsico y matemtico francs que se interes en el clculo de

las integrales y en la distribucin de las cargas elctricas sobre la superficie de los conductores. En 1837 public Recherches sur la probabilit des jugements en matires criminelles et matire civile (Investigacin sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles), donde describi la probabilidad de acontecimientos fortuito ocurridos en un tiempo o intervalo de espacio, cuando la probabilidad de ocurrencia es muy pequea, pero el nmero de intentos es muy grande.

TEMA



77..22.. DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN UUNNIIFFOORRMMEE Se conoce que en el experimento de arrojar al aire un dado legal, todos los puntajes del 1 al 6,

tienen la misma probabilidad de aparecer, y que esta es igual a 1/6.

Definicin 7.1. Distribucin uniforme discreta Sea una variable aleatoria X, en la que cada uno de sus valores x1,x2,., tiene igual probabilidad de ocurrencia. Luego, se dice que X es una variable aleatoria que se distribuye uniformemente sobre n puntos cuya funcin de probabilidad es

!" # Se puede decir entonces que la distribucin uniforme se caracteriza porque todos los valores de

un sistema finito de valores posibles son igualmente probables. Propiedades

Parmetros del modelo k Esperanza matemtica

o media $%&' ( ) * +, Varianza -%&' ., ), / ++,

Desviacin estndar . 0-%&'

Ejemplo 7.1: la variable aleatoria X asociada al experimento de tirar un dado sigue una distribucin uniforme discreta, cuya media es 3,5 y varianza 5,8.

Grfico 7.1. Distribucin de probabilidades de X u (x;k= 6) La expresin &123 ) 4 se lee: variable aleatoria X cuyos valores x siguen una distribucin

de probabilidades uniforme discreta con parmetro k=6.

77..33.. DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN BBEERRNNOOUULLLLII Se conoce que los resultados en el experimento de arrojar al aire una moneda legal,

corresponden a los de una variable dicotmica: ocurre cara (C) u ocurre sello (S). Adems siendo legal, la probabilidad de ocurrencia del evento que generalmente se considera xito es igual a , un valor que se mantendr constante cada vez que se haga este tipo de experimento.

En la teora de probabilidad se considera como ensayo de Bernoulli a un experimento aleatorio que se realiza una sola vez, donde se trata de observar si cierto suceso ocurre o no ocurre. Significa que el espacio muestral slo tiene dos resultados, que suelen denominarse como evento xito y evento fracaso, esto es S = {E, F}. Desde el punto de vista de la teora de la probabilidad, tales ensayos estn modelados por una variable aleatoria dicotmica que puede tomar slo dos valores, 0 y 1, que suelen aplicarse respectivamente para etiquetar los eventos fracaso y xito, o sea que x=0 si el suceso no ocurre (se observ el evento fracaso) y x=1 en el caso que ocurra (se observ el evento xito). Definicin 7.2 Distribucin Bernoulli Sea una variable aleatoria X, asociada a la presencia de obtener un xito cuando se realiza un nico experimento con dos posibles resultados (xito o fracaso). Luego, se dice que X es una variable aleatoria que se distribuye uniformemente sobre n puntos cuya funcin de probabilidad es

5 6 6 / 6 !" #

p(x)

1/6

1 2 3 4 5 6 X



Propiedades Parmetros del modelo 7 Esperanza matemtica

o media $%&' ( 7 Varianza -%&' ., 7+ / 7


Ejemplo 7.2. la variable aleatoria X asociada al experimento de tirar una moneda una vez sigue una distribucin Bernoulli, si cara es el evento xito y sello el evento fracaso, la probabilidad de xito es 6 8 y la probabilidad de fracaso es / 6 8. La media es 0,5 y la varianza 0,25.

Grfico 7.2. Distribucin de probabilidades de X b (x; 0,5) La expresin &193: ; se lee: variable aleatoria X cuyos valores por siguen una distribucin

de probabilidades Bernoulli con parmetro pi = 0,5. En forma anloga, el experimento de lanzar un dado legal y considerar como evento xito la

salida del 6, se asocia con una variable dicotmica, esto es S = {6, no 6}. La variable aleatoria X se referir a la ocurrencia del 6, que se etiquetar con 1 (xito) en tanto que 0 representar que salga cualquier puntaje que no sea 6 (fracaso). La probabilidad clsica indica que pi = 1 / 6, de este modo

P(6) = P(X = 1) = p (1) = 1 / 6 0,17 P(no 6) = P(X = 0) = p (0) = 1- p (0) 0,83

77..44.. DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN BBIINNOOMMIIAALL 77..44..11.. GGEENNEERRAALLIIDDAADDEESS.. Se considerar una encuesta de mercado, realizada para predecir las preferencias sobre determinados productos alimenticios, la entrevista de un solo consumidor se parece, en muchos aspectos, al lanzamiento de una sola moneda, porque el consumidor puede indicar que un producto le parece bueno o bien caratularlo con una opinin diferente (regular, malo o desconocido). Otra situacin parecida se dara en el caso de un socilogo rural que se interesa por la fraccin de casas rurales que tienen electricidad donde cada casa podra resultar que est electrificada o no; o de un docente que se interesa por la fraccin del nmero de alumnos que aprueba el curso cuando existe la posibilidad de que un alumno apruebe o bien no apruebe.

En cada uno de los ejemplos dados, hay dos resultados posibles: el resultado de inters, que se llamar xito y el resultado adverso que se considerar un fracaso. Si el estudio se hubiera realizado consultando a un solo consumidor, o a una solo familia rural o a un solo alumno, el modelo probabilstico que se utilizara para describir la correspondiente variable aleatoria habra sido el de Bernoulli. Pero, en estos tres casos, siempre se recurrir al estudio de una muestra de tamao n, de modo que se estar aplicando un ensayo de tipo Bernoulli n veces. Se trata entonces de un proceso repetitivo de ensayos Bernoulli, que se llama proceso de Bernoulli.

Definicin 7.3. Un proceso de Bernoulli tiene las siguientes propiedades:

1. Cada ensayo produce un resultado que se puede clasificar como xito (E) fracaso (F). 2. La probabilidad de un xito, que se denota con pi, permanece constante de un ensayo a otro

(ensayos independientes). 3. A priori se fija el nmero de repeticiones del ensayo (c).

Si en el ejemplo mencionado anteriormente sobre una encuesta de mercado, se entrevista a diez (c=10) consumidores, y dado que: a) cada consumidor podr estar a favor (xito) no (fracaso) de un producto en particular, b) debido a que se trabaja con una muestra seleccionada al azar, cada ensayo es

p(x)

0,5

0 1 X



independiente de otro y, c) pi , la probabilidad de xito permanece constante en cada ensayo (pi = 0,5). Puede decirse entonces que se est frente a un proceso Bernoulli en el que se repite 10 veces un ensayo Bernoulli (c=10). El objetivo es llegar a modelar el comportamiento de X, es decir, la VAD (variable aleatoria discreta) que representa el nmero de consumidores que estn a favor del producto (Rx = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}).

Cuando se cumple todas las caractersticas definidas para un proceso Bernoulli, se dice que se trata de un tipo de experimento denominado experimento Binomial.

Definicin 7.4. Un experimento binomial es un experimento que posee las siguientes propiedades: 1. El experimento consta de una cantidad fija de c ensayos o pruebas idnticas. 2. Cada prueba puede tener uno de dos resultados. Es decir los resultados son dicotmicos

Debido a la falta de una mejor nomenclatura, llamaremos convencionalmente a un resultado xito (E) y al otro fracaso (F).

3. La probabilidad del evento xito en una sola prueba es igual a pipipipi, y permanece constante de una prueba a otra. La probabilidad del evento fracaso es (1-pipipipi).

4. Las pruebas son independientes. 5. Interesa conocer x, que es el nmero de xitos observados en c pruebas.

Ejemplo 7.3: De un proceso de produccin que supondremos arroja un 25% de artculos defectuosos, se seleccionan tres artculos al azar que se inspeccionan y se clasifican como defectuosos no defectuosos. En el contexto de la inspeccin de calidad de los procesos productivos se suele designar como xito al resultado: artculo defectuoso. El nmero de xitos es una variable aleatoria X que toma valores enteros de 0 a 3. Es ste un experimento binomial?

1. El experimento consiste en c=3 ensayos o pruebas de Bernoulli que se repiten. 2. Cada ensayo es independiente de los otros (que un artculo sea defectuoso o no defectuoso

no influye en el resultado que arroja otro artculo). 3. Cada ensayo arroja un resultado que se puede clasificar como xito o fracaso. (cada artculo

podr ser defectuoso o no defectuoso). 4. La probabilidad de xito permanecer constante en cada prueba. (siempre que se seleccione

un artculo, ste tendr una probabilidad de 0,25 de ser defectuoso). 5. La variable aleatoria X representa el nmero de artculos defectuosos en todo el

experimento. (Rx = {0, 1, 2, 3}). Por lo tanto, despus del anlisis de los tems anteriores, se concluye que se trata de un

experimento binomial. Los ocho resultados posibles del experimento anterior (2x2x2) y los valores de la variable aleatoria X se reflejan en la siguiente tabla:

Resultado x i Ningn defectuoso DDD 0

Uno defectuoso DNN 1

1 1

NDN NND

Dos defectuosos DDN 2 DND 2 NDD 2

Tres defectuosos DDD 3

77..44..22.. PPRROOPPIIEEDDAADDEESS CCAARRAACCTTEERRSSTTIICCAASS DDEE LLAA DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN BBIINNOOMMIIAALL El nmero de xitos en c experimentos de Bernoulli es una variable discreta que se asocia con

una variable aleatoria binomial. La distribucin de probabilidad de una variable binomial se llama distribucin binomial, y los correspondientes valores de la funcin de probabilidad se denotan como 5 6, lo que indica que c (nmero fijo de ensayos Bernoulli) y 6 (probabilidad del evento xito) son los parmetros de tal distribucin. Se justificar ahora la expresin presentada.

Para desarrollar la frmula de la probabilidad de x xitos en c pruebas, para un experimento binomial:

1) se considerar un orden especfico de x xitos y (c-x) fracasos; la probabilidad de este resultado en particular, debido a que las pruebas (c=3) son independientes se obtiene al multiplicar las correspondientes probabilidades de los diferentes resultados para cada prueba experimental. Por otra parte se conoce que cada xito ocurre con una probabilidad pi y cada fracaso con probabilidad + / 7. Por tanto, la probabilidad para el orden especfico es 73+ / 7



esto es resulta N en la primera prueba; en la segunda D y en la tercera N. Como se conoce que histricamente el proceso produce alrededor de un 25% de artculos defectuosos, se puede suponer que la probabilidad de xito es pi = 1/4, de modo que 1-pi = 3/4. Luego:

( ) ( ) ( ) ( )649

43

41

43

.. =

== NPDPNPNDNP

Pero el resultado una sola de las tres unidades es defectuosa se corresponde con tres puntos del espacio muestral. 2) Se debe determinar ahora el nmero total de puntos muestrales en el experimento que tiene x xitos y (c-x) fracasos. Este nmero es igual al nmero combinatorio >

Ctedra de Clculo E

77..44..44.. AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEENota: Al graficar la funcin de probabilidadse debe tener en cuenta que en el eje de abscisas se representan los valores de la VAD X, y en el eje de ordenadas se representan las correspondientes a dichos valores de la variable

Otros ejemplos de distribuciones de VAB

(a)

Grfico 7.4. Distribuciones de probabilidad binomial para (a) c=10,

Notar: que la distribucin binomial resulta simtrica cuando asimtrica positiva.

Grfico 7.

Nota: Al graficar la distribucin de probabilidad acumuladacorresponde con un grfico escalonado, en el eje de abscisas se representan los valores de la VAD X, y en el eje de ordenadas se representan las probabilidades acumuladas,

Ejemplo 7.4: Las observaciones durante un largo perodo muestran que un cierto componente de la fauna silvestre en los primeros cinco aos de vida es Supngase que un investigador procura una mueshacer seguimiento del ciclo de vida

Estadstico y Biometra Facultad de Ciencias

EE LLAA DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN BBIINNOOMMIIAALL

funcin de probabilidad de una variable aleatoria discreta (grfico de lneas)se debe tener en cuenta que en el eje de abscisas se representan los valores de la VAD X, y en el eje de ordenadas se representan las probabilidades puntualescorrespondientes a dichos valores de la variable

Grfico 7.3. Funcin de probabilidad de Otros ejemplos de distribuciones de VAB

(a)

(c) . Distribuciones de probabilidad binomial para (a) c=10,

c=20, pi =0,50

que la distribucin binomial resulta simtrica cuando pi

Grfico 7.5. Funcin de distribucin acumulada de

distribucin de probabilidad acumuladasponde con un grfico escalonado, para una variable binomial

en el eje de abscisas se representan los valores de la VAD X, y en el eje de ordenadas se representan las probabilidades acumuladas, F(x), correspondientes a dichos v

Las observaciones durante un largo perodo muestran que un cierto componente de la fauna silvestre en los primeros cinco aos de vida es

un investigador procura una muestra de cuatro hacer seguimiento del ciclo de vida.

p(xI)

0 1 2 3 4


126ias Agrarias UNCUYO / Ciclo 2014

de una variable aleatoria discreta (grfico de lneas)se debe tener en cuenta que en el eje de abscisas se representan los valores de la VAD X, y en el

probabilidades puntuales o probabilidades masa (p

Funcin de probabilidad de una VAB

(b)

. Distribuciones de probabilidad binomial para (a) c=10, pi =0,10; (b) c=10, pi =0,50; y (c)

pi =1/2; mientras que si pi 1-pi resulta

. Funcin de distribucin acumulada de una VAB

distribucin de probabilidad acumulada simbolizada como F(x), que se binomial se debe tener en cuenta que

en el eje de abscisas se representan los valores de la VAD X, y en el eje de ordenadas se correspondientes a dichos valores de la variable.

Las observaciones durante un largo perodo muestran que la probabilidad de vida de un cierto componente de la fauna silvestre en los primeros cinco aos de vida es de 0,2.

cuatro animales de la especie y le quiere

0 1 2 3 4 X


126

de una variable aleatoria discreta (grfico de lneas), se debe tener en cuenta que en el eje de abscisas se representan los valores de la VAD X, y en el

)(x ,

=0,50; y (c)

resulta

F(x), que se se debe tener en cuenta que

en el eje de abscisas se representan los valores de la VAD X, y en el eje de ordenadas se alores de la variable.

la probabilidad de vida de de 0,2.

animales de la especie y le quiere



a) Cul es la probabilidad de que exactamente dos animales sobrevivan?

15,0)64,0)(04,0(!2!2

!4)2(

)8,0()2,0()2()2(;)8,0()2,0()( 224244

==

===

p

CpntessobreviviepCxp xxx

b) Cul es la probabilidad de que al menos dos animales sobrevivan?

19,04096,04096,01)8,0()2,0()8,0()2,0(1

)1()0(1)4()3()2()2().(

3141

4040

==

=

=

++==

CCpp

pppXPdosalmenosP

c) Cul es la probabilidad de que todos los animales sobrevivan?

0016,0)1()2,0(!0!4

!4)8,0()2,0()4(

4

0444

==

= Cp

Ejemplo 7.5: Se inspeccionan los grandes lotes de productos que llegan a una planta manufacturera a fin de encontrar artculos defectuosos, mediante un plan de muestreo. Se selecciona una muestra aleatoria de n artculos de cada uno de los lotes y se inspeccionar la muestra, anotando el nmero x de defectuosos. Si X es menor que o igual a algn nmero de aceptacin a especificado, se aceptar el lote. Si X es mayor que a, se rechazar el citado lote. Supngase que un fabricante utiliza un plan de muestreo con c = 10 y a = 1. Si el lote contiene exactamente 5% de artculos defectuosos, cul es la probabilidad de que el lote sea aceptado? Cul es la probabilidad de que sea rechazado?

Bajo la suposicin de que el lote contiene 5% de defectuosos, la probabilidad de que un artculo, extrado de l sea defectuoso, es pi =0,05. Entonces la probabilidad de observar x defectuosos en una muestra de c=10 artculos es:

xx

xCxp

=1010 )95,0()05,0()(

Se ha especificado que el lote ser aceptado, cuando x sea menor o igual que al nmero de aceptacin a=1. Por lo tanto, la probabilidad de aceptacin de un lote con estas caractersticas es:

086,0914,01)(1)(914,0)95,0()05,0()95,0()05,0()1()0()( 91101100100

===

=+=+=

aceptarPrechazarPCCppaceptarP

Ejemplo 7.6: Una representacin grfica de la probabilidad de aceptacin del lote, contra la fraccin de defectuosos pi , se llama curva caracterstica de operacin de un plan de muestreo para aceptacin de lotes. Calcular la probabilidad de aceptacin de lotes en el caso de un plan de muestreo con un tamao muestral c=5 y un nmero de aceptacin a=0 para las fracciones de defectuosos del lote considerando pi=0,1; 0,3 y 0,5.

550

05)0()( qqppaceptarP =

==

03105050

16807030

59009010

5

5

5

,),(),(,),(),(,),(),(

===

===

===

pi

pi

pi

aceptarP

aceptarP

aceptarP

Con los resultados se puede trazar la curva de operacin caracterstica para el plan de muestreo (3 puntos intermedios de la curva). Adicionalmente se que la probabilidad de aceptacin tiene que ser igual a 1 cuando pi =0 y tiene que ser 0 cuando pi =1.

p Grfico 7.6. Curva caracterstica de operacin para c=5 y a=0

.



77..44..44..11.. TTAABBLLAASS DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD PPAARRAA LLAA DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN BBIINNOOMMIIAALL El clculo de probabilidades binomiales es un trabajo tedioso cuando c es grande. Para simplificar

los clculos, se recurre a una tabla de la funcin de distribucin F(x), que da la suma de las probabilidades binomiales desde x=0 hasta x=c, para c = 5, 10, 15, 20 y 25, y diferentes valores de pi .

Para mostrar como utilizar la tabla, supngase que se desea encontrar la suma de las probabilidades binomiales desde x = 0 hasta x = 3, para un experimento binomial con c = 5 pruebas y pi=0,3. Es decir, se quiere calcular

)3()2()1()0()(3

0ppppxp

x

+++==

donde xxx

xp

=

5)7,0()3,0(5)(

Para entrar en la tabla, primero hay que localizar a c=5. Luego, ya que los valores tabulares dan

=

a

x

xp0

)( , se busca el valor tabulado en la fila correspondiente a x=3 y en la interseccin con la columna de pi =0,3 se encuentra el valor tabulado buscado: 0,9692, que corresponde a la suma de las probabilidades binomiales desde x=0 hasta a=3 (para c=5 y pi =0,3), esto es

F(3) = =

3

0)(

x

xp = 0,9692.

Tabla 7.1. Fragmento de una tabla de valores de la funcin de distribucin acumulada binomial

c x pi

0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 c 5 0 - - - - - - - - - - - - - 0 1 - - - - - - - - - - - - - 1 2 - - - - 0,8369 - - ---- - - - - - 2 3 - - - - 0,9692 - - --- - - - - - 3 4 - - - - - - - - - - - - - 4

La tabla puede utilizarse tambin para encontrar una probabilidad binomial especfica, por ejemplo p(3) para c=5, pi =0,6. En este caso se procede segn

[ ] [ ]

1323,08369,09692,0

)()(

)2()1()0()3()2()1()0()3(2

0

3

0

=

=

=

+++++=

== xx

xpxp

pppppppp

Por lo tanto, un valor individual de p(x) es igual a la diferencia entre dos sumas que son entradas adyacentes, dadas en una columna de la tabla. Ejemplo 7.7. Obtener la media y la desviacin tpica para la distribucin de probabilidad binomial relacionada con un experimento donde c=10 y pi =0,1 y calcular la probabilidad de que X caiga en el intervalo ( ) 2 .

La media y la desviacin tpica para la distribucin de probabilidad de la VAB resultan

( )( )( ) 95,09,01,010)1(1)1,0)(10(

===

===

pipi

pic

c

El valor paramtrico de 1= indica el centrado del grfico de probabilidades y el intervalo 90,29,090,11)95,0(212 ===

muestra que x=0, 1, 2. Por lo tanto, la probabilidad de que x caiga en el intervalo ( ) 2 es igual a

=

=++2

0)()2()1()0(

x

xpppp

Esta probabilidad acumulada se encuentra en la tabla de la funcin de distribucin de la VAB para , 6 y @, como 0,930. 77..44..44..22.. PPRROOPPOORRCCIIOONNEESS BBIINNOOMMIIAALLEESS

Todos los problemas sobre VAB estudiados hasta aqu se han referidos a la variable X, que representa el nmero de xitos en experimentos con c pruebas de Bernouilli. Muchas veces interesa trabajar con la proporcin de xitos en c pruebas de Bernouilli. La proporcin en un experimento binomial se corresponde con una VAB expresada como X/c.

La nueva variable aleatoria X / c se distribuye de una forma similar a la VAB X. En otras palabras,



el hecho de dividir cada valor x por c, no cambia ninguna de las probabilidades, y los parmetros de la distribucin probabilstica son:

Propiedades

Esperanza matemtica o media $%&' ( 7 Varianza -%&' ., 7+ / 7U


Ejemplo 7.9. Sea la probabilidad de xito es 0,10 y el nmero de observaciones es 100. Encontrar la media y la desviacin estndar de la distribucin probabilstica, tanto para el nmero de xitos X, como para la proporcin de xitos (X/c).

Variable Media Desviacin tpica X: Nmero de xitos 6 06 / 6 0E B

X/c: Proporcin de xitos 6 V6 / 6 VE B

La media de 10 en lo referente al nmero de xitos se interpreta como el nmero promedio de xitos a largo plazo en muestras de 100 observaciones, y en forma semejante, la proporcin de xitos a largo plazo en muestras de 100 es 0,10. Las dos desviaciones estndar reflejan la variabilidad que se presentar a largo plazo, respectivamente 3 y 0,03. Cabe observar que si la proporcin se considera en forma porcentual, en este caso el 3% de 100 es 3; de de modo que las dos formas alternativas son equivalentes.

77..55.. DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN DDEE PPOOIISSSSOONN 77..55..11.. GGEENNEERRAALLIIDDAADDEESS

Despus de conocida la aplicacin hecha por S. D. Poisson, se encontr que la distribucin de Poisson describa con mucha precisin la probabilidad de las muertes producidas en el ejrcito prusiano a causa de las coces de los caballos, as como del nmero de suicidios de mujeres y nios. Una aplicacin ms contempornea ha sido la modelacin del nmero de bombas arrojadas por aviones con impacto/cuadrcula territorial durante la segunda guerra mundial y el nmero de avistajes de objetos voladores no identificados/espacio geogrfico. En el campo profesional de las carreras de la Facultad tambin encuentra importantes aplicaciones asociadas a eventos raros, que son aquellos con baja probabilidad de ocurrencia como la distribucin de fallas en relacin al control de calidad (n de defectos/artculo, n de reparaciones en mantenimiento industrial, etc.), o el patrn de la variabilidad correspondiente a la distribucin de la abundancia de especmenes de aves y de insectos en fracciones espaciales (reas en: m2, km2, etc.), cabezas de ganado por hectrea, cantidad de huevos de un insecto en una oviposicin, as como el nmero de bacterias por muestra de agua potable o de nemtodos por unidad de volumen del suelo y otros. Tambin la distribucin de probabilidades discreta de Poisson tiene actualmente un amplio abanico de aplicaciones en el rea de la investigacin de operaciones, con relacin al nmero de llegadas o solicitudes de servicio por unidad de tiempo en los puestos de peaje de una va frrea, en las cajas registradoras o cajas bancarias, o la utilizacin de las pistas de aterrizaje de un aeropuerto. En medicina la variable nmero de llegada de infartados a un centro de atencin es una variable Poisson.

Grfico 7.7. Parte de un rollo de papel y rea base para contar la ocurrencia de fallas.

Muestra

X

X

X

X



Se llaman experimentos de Poisson a aquellos experimentos que arrojan valores numricos de una variable aleatoria X referidos al nmero de ocurrencias durante un intervalo dado de espacio o tiempo. El intervalo temporal puede tener cualquier longitud razonable al caso, como puede ser un minuto, un da, una semana, un mes o incluso un ao, y el intervalo espacial podra corresponderse con un segmento de una lnea, un rea o un volumen.

Definicin 7.6 Un experimento de Poisson se deriva del proceso de Poisson y tiene las siguientes propiedades:

1- El nmero de resultados que ocurren en un intervalo o regin especfica es independiente del nmero que ocurre en cualquier otro intervalo o regin del espacio disjunto.

2- La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una regin pequea es proporcional a la longitud del intervalo o al tamao de la regin, y no depende del nmero de resultados que ocurren fuera de este intervalo o regin.

3- La probabilidad de que ocurra ms de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal regin pequea es insignificante

Para utilizar la distribucin de Poisson en clculo de las probabilidades para modelar el comportamiento de una VA, se requiere cumplir con cuatro supuestos bsicos:

1) debe ser posible dividir el intervalo de tiempo considerado en un nmero grande de pequeos subintervalos, de manera que la probabilidad de ocurrencia en cada uno de ellos sea muy pequea. 2) la probabilidad de una ocurrencia en cada uno de los subintervalos debe permanecer constante a lo largo del perodo que est considerndose. 3) la probabilidad de dos o ms ocurrencias en cada subintervalo tiene que ser suficientemente pequea como para ignorarla. 4) una ocurrencia (o no ocurrencia) en un subintervalo no debe afectar a otra ocurrencia (o no ocurrencia) en cualquiera de los otros subintervalos; es decir, las ocurrencias deben ser independientes. Consideremos el nmero de llegadas por hora a un banco.

A continuacin se ilustran estos conceptos:

Suposicin Ejemplo del banco

Es posible dividir el intervalo de tiempo considerado en pequeos subintervalos.

La probabilidad de una ocurrencia permanece constante a lo largo de los intervalos.

La probabilidad de dos o ms ocurrencias en un subintervalo es suficientemente pequea como para ignorarla.

Las ocurrencias son independientes.

Puede dividirse la hora en subintervalos de un segundo cada uno.

Se elige una hora en la que es razonable prever que el flujo de clientes es constante.

Es imposible que dos personas entren al banco simultneamente (o sea, en el mismo segundo)

Las llegadas al banco no estn incluidas por las dimensiones de la cola.

Resulta importante identificar que la unidad de medicin de tiempo o de rea presenta caractersticas de continuidad, pero que la variable aleatoria nmero de ocurrencias es discreta. Adems, cabe notar que es imposible contar las ocurrencias del evento complementario, por ejemplo el nmero de accidentes que no ocurrieron, el nmero de llamadas que no se realizaron o el nmero de defectos que no se presentaron en un centmetro cuadrado.

77..55..22.. PPRROOPPIIEEDDAADDEESS CCAARRAACCTTEERRSSTTIICCAASS DDEE LLAA DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN PPOOIISSSSOONN El nmero de xitos en c experimentos de Bernoulli es una variable discreta que se asocia con

una variable aleatoria El lmite inferior del nmero de acontecimientos en todas esas situaciones es cero, y el lmite superior - por lo menos tericamente- es infinito, aun cuando en la mayora de los ejemplos presentados sera difcil imaginar un nmero ilimitado de ocurrencias. De este modo, la variable Poisson, que toma valores de cero a un nmero infinito de ocurrencias por unidad, puede no representar exactamente cualquiera de los procesos aleatorios mencionados en pginas anteriores, pero en muchas oportunidades se ha demostrado que el modelo de Poisson resulta til para aproximar estrechamente tales procesos.



77..55..33.. FFUUNNCCIIOONNEESS DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD DDEE LLAA VVAAPP

Definicin 7.7. Sea X una variable aleatoria discreta que representa el nmero de ocurrencias con relacin a una base temporal o espacial. 1) Se dice que X tiene una distribucin Poisson con funcin de probabilidad:

>=

===

casosdemslosen

xparax

expxXP

x

.,

,...,,!)()(

0

0210

donde p(x): da la probabilidad de que el evento x suceda exactamente k veces. : es un parmetro positivo que representa una tasa media de veces que puede esperarse la ocurrencia de un fenmeno en el intervalo considerado

e: es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...) 2) La probabilidad de que una variable aleatoria X sea menor o igual a un valor especfico de x, se determina por la funcin de la distribucin acumulada

( )

==xx i

x

i

i

x

exFxXP

!);(

; para xi.= 0,1, 2, 3, . (7.4)

donde F(x): da la probabilidad de la ocurrencia de x veces o menos del evento xito.

Propiedades

Parmetros del modelo W Esperanza matemtica

o media $%&' ( W Varianza -%&' ., W

Desviacin estndar . 0-%&' El nico parmetro necesario para caracterizar una poblacin descrita por la distribucin de

Poisson es la tasa media de ocurrencia de los sucesos, simbolizada con la letra griega lambda (). Puede definirse lambda como la tasa media de ocurrencia por unidad de temporal o espacial considerada.

As, si =1,0 se refiere a la llegada de los clientes la un banco, la ley de probabilidad de Poisson est indicando que a largo plazo se produce a razn de 1,0 clientes por minuto, con una varianza de llegadas tambin igual a 1,0.

77..55..44.. AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN PPOOIISSSSOONN En el grfico 7.8 se ilustra una tpica distribucin de probabilidades de una VA Poisson.

Obsrvese que casi toda la probabilidad se concentra cerca del origen (valores 0, 1), y que la probabilidad de observar grandes valores de la variable aleatoria es muy pequea. Cuando se dice que una variable aleatoria est distribuida segn el modelo de Poisson, se suele interpretar que una distribucin de frecuencias relativas de ocurrencias respecto a esa variable, tiene un patrn de variabilidad que se puede representar aproximadamente o razonablemente con tal modelo.

Grfico 7.8. Distribucin de probabilidades de una VA Poisson para =1,0 Debe notarse que an cuando se considera que la VAP toma un nmero infinito de valores, tal



como ocurre con todas las funciones de masa discretas slo un nmero discreto de valores de x tienen probabilidades positivas, y los valores de probabilidad resultan muy pequeos a medida que los valores de x se diferencian ms respecto a . Las grficas tpicas de las distribuciones de Poisson muestran una asimetra marcadamente positiva, pero cuando no tiene un valor muy cercano a cero, la forma de la distribucin de Poisson es bastante simtrica. Tambin por los axiomas de probabilidad se sabe que la suma de las probabilidades correspondientes a todos los valores de x debe ser igual a 1,0. En casos prcticos debido a que no se consideran infinitos valores de la variable, la suma solo resulta aproximada a 1,0.

Para las aplicaciones prcticas del modelo Poisson, es necesario determinar empricamente la tasa media a la que ocurren los sucesos. Esto es, hay que conocer el valor de , quiz sobre la base de un estudio previo de la situacin (muestra). Una vez conocido el valor de , se pueden utilizar las funciones de probabilidad de Poisson para determinar la probabilidad de que tengan lugar exactamente x ocurrencias o sucesos en el intervalo de tiempo especificado o bien la de un evento compuesto (X

Ctedra de Clculo

Utilizando el enfoque empirista de la proprobabilstica de la variable Poisson empleando las frecuencias relativas para ponderar los valores de la variable.

Z%' [Recurdese que, en la distribrespectivamente es con relacin al centrado y a la variabilidadfavorable al supuesto de que Poisson durante ciertos periodos de tiempo.obtendrn valores exactamente iguales, pero como hay escasa diferencia esto da confianza respecto a la suposicin planteada.

Otro anlisis a realizar para obtener mayor informacin consiste en realizar un ajustamiento del modelo Poisson. Se emplear con esta finalidad una tabla cuyo encabezamiento es el siguiente:

Tabla 7.

Cantidad de llegadas

La columna ltima de esta modelo Poisson. Esta serie de frecuencias deobservadas de la segunda columnainformacin emprica a favor de la suposicin planteada inicialmentediscrepancias notables se comenzar a sospechar que habr que describir el comportamiento de la variable observada utilizando otro modelo para acercarse al conocimiento de la verdadera distribucin de la poblacin de donde se extrajo la muestra.

Ms adelante se presentarpermitirn dilucidar este problema y alcanzar una conclusin en trminos probabilsticos acerca de la distribucin poblacional.

77..55..44..11.. TTAABBLLAASS DDEE En realidad, las tabla

muy semejante a las tablas binomiales, aunque a primera vista Poisson es una funcin slo de la media del proceso, las tablas estn diseadas para proporciprobabilidades con base en la media del proceso

Tabla 7.5. Fragmento de una

La tabla proporciona sumas de probabilidades, al igual que la to menos ocurrencias P(Xprobabilidad para una funcin de distribucin acumulada, tambin puede utilizarse con criterios similares a los vistos en el caso Poisson

3 Hay bibliografa que utiliza el smbolo

x

culo Estadstico y Biometra Facultad de Cien

Utilizando el enfoque empirista de la probabilidad, se obtendrn los parmetros de la distribucin probabilstica de la variable Poisson empleando las frecuencias relativas para ponderar los valores de la

\%' QRYR B7E ! ' [ \%' / \%' QRYR / JQ

[ BE . Recurdese que, en la distribucin de Poisson, y 2 toman el mismo valor, pero su interpretacin respectivamente es con relacin al centrado y a la variabilidad. Se observa que el resultado obtenido es favorable al supuesto de que las llegadas de los clientes a las cajas pueden seguPoisson durante ciertos periodos de tiempo. Dado que se tienen datos muestrales (n=100) nunca se obtendrn valores exactamente iguales, pero como hay escasa diferencia esto da confianza respecto a

sis a realizar para obtener mayor informacin consiste en realizar un ajustamiento del modelo Poisson. Se emplear con esta finalidad una tabla cuyo encabezamiento es el siguiente:

Tabla 7.4. Ajustamiento del modelo Poissondel nmero de clientes que llega a una caja mercadista

(1) Cantidad de

llegadas R (2)

N de clientes observados R

(3) R

La columna ltima de esta tabla contiene las frecuencias tericasmodelo Poisson. Esta serie de frecuencias debe compararse con las correspondientes frecuencias observadas de la segunda columna R. Cuanto mayor sea la similitudinformacin emprica a favor de la suposicin planteada inicialmente

epancias notables se comenzar a sospechar que habr que describir el comportamiento de la variable observada utilizando otro modelo para acercarse al conocimiento de la verdadera distribucin de la poblacin de donde se extrajo la muestra.

s adelante se presentarn herramientas, proporcionadas porpermitirn dilucidar este problema y alcanzar una conclusin en trminos probabilsticos acerca de la

PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD PPAARRAA LLAA DDIISSTTRRIIBBUtablas de la funcin de distribucin de Poisson, F

muy semejante a las tablas binomiales, aunque a primera vista Poisson es una funcin slo de la media del proceso, las tablas estn diseadas para proporciprobabilidades con base en la media del proceso para diferentes valores de la variable X.

ragmento de una tabla de distribucin de probabilidad acumulada de Poisson

tabla proporciona sumas de probabilidades, al igual que la tP(X x), dada la media del proceso

probabilidad para una funcin de distribucin acumulada, tambin puede utilizarse con criterios similares oisson para encontrar una probabilidad

Hay bibliografa que utiliza el smbolo en lugar de


iencias Agrarias UNCUYO / Ciclo 2014

babilidad, se obtendrn los parmetros de la distribucin probabilstica de la variable Poisson empleando las frecuencias relativas para ponderar los valores de la

. JQRYRK 8@7 / B7E toman el mismo valor, pero su interpretacin Se observa que el resultado obtenido es

las llegadas de los clientes a las cajas pueden seguir una distribucin de Dado que se tienen datos muestrales (n=100) nunca se

obtendrn valores exactamente iguales, pero como hay escasa diferencia esto da confianza respecto a

sis a realizar para obtener mayor informacin consiste en realizar un ajustamiento del modelo Poisson. Se emplear con esta finalidad una tabla cuyo encabezamiento es el siguiente:

Poisson a la distribucin clientes que llega a una caja mercadista

(3) R

(4) N de clientes

esperados aR

frecuencias tericas aR, calculadas utilizando el be compararse con las correspondientes frecuencias o mayor sea la similitud significa que se tiene ms

informacin emprica a favor de la suposicin planteada inicialmente y, contrariamente, si se observan epancias notables se comenzar a sospechar que habr que describir el comportamiento de la

variable observada utilizando otro modelo para acercarse al conocimiento de la verdadera distribucin

, proporcionadas por la Estadstica Inferencialpermitirn dilucidar este problema y alcanzar una conclusin en trminos probabilsticos acerca de la

BUUCCIINN PPOOIISSSSOONN de distribucin de Poisson, F(x), se utilizan de modo

muy semejante a las tablas binomiales, aunque a primera vista no lo parezcan. Como la distribucin de Poisson es una funcin slo de la media del proceso, las tablas estn diseadas para proporcionar las

para diferentes valores de la variable X. tabla de distribucin de probabilidad acumulada de Poisson

tabla proporciona sumas de probabilidades, al igual que la tabla binomial acumulativa, para x , dada la media del proceso ()3. Adems si bien da valores de

probabilidad para una funcin de distribucin acumulada, tambin puede utilizarse con criterios similares para encontrar una probabilidad Poisson especfica, P(X=x) = p(x).


133

babilidad, se obtendrn los parmetros de la distribucin probabilstica de la variable Poisson empleando las frecuencias relativas para ponderar los valores de la

toman el mismo valor, pero su interpretacin Se observa que el resultado obtenido es

ir una distribucin de Dado que se tienen datos muestrales (n=100) nunca se

obtendrn valores exactamente iguales, pero como hay escasa diferencia esto da confianza respecto a

sis a realizar para obtener mayor informacin consiste en realizar un ajustamiento del

, calculadas utilizando el be compararse con las correspondientes frecuencias

significa que se tiene ms si se observan

epancias notables se comenzar a sospechar que habr que describir el comportamiento de la variable observada utilizando otro modelo para acercarse al conocimiento de la verdadera distribucin

Estadstica Inferencial, que permitirn dilucidar este problema y alcanzar una conclusin en trminos probabilsticos acerca de la

se utilizan de modo . Como la distribucin de

onar las

para x Adems si bien da valores de

probabilidad para una funcin de distribucin acumulada, tambin puede utilizarse con criterios similares



Ilustracin. Probabilidades obtenidas a partir de la tabla acumulativa de Poisson Probabilidad deseada para Incluir los resultados Clculos Probabilidad

0.8 x 1 0, 1 Se lee directamente 0.809 1.2 x < 3 0, 1, 2 Se lee P(x 2) 0.879 1.5 x = 0 0 Se lee directamente 0.223 2.0 x > 3 4, 5, 6, ( )31 xP 0.143 2.6 1 < x 4 2, 3, 4 )1()4( xPxP 0.610 3.8 1 x 4 1, 2, 3, 4 )0()4( = xPxP 0.646 5.6 1 x 4 1, 2, 3, 4 )1()4( xPxP 0.338 6.0 x 5 5, 6, 7, )4(1 xP 0.715

Para valores de que no se encuentran en la tabla, se puede encontrar una ms amplia, o interpolar (en el caso de valores aproximados) en la tabla, o recurrir a las frmula dadas.

77..55..55.. LLAA DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN DDEE PPOOIISSSSOONN CCOOMMOO UUNNAA AAPPRROOXXIIMMAACCIINN AA LLAA BBIINNOOMMIIAALL En determinadas circunstancias la distribucin de Poisson se puede utilizar para aproximar

probabilidades binomiales. La aproximacin es ms adecuada cuando el nmero de observaciones es mayor, y la probabilidad del xito 6 est cerca de O 1. Es deseable contar con un mtodo alternativo para obtener probabilidades binomiales, por las siguientes razones:

1- La distribucin binomial describe adecuadamente muchas situaciones interesantes. 2- La mayora de las tablas se limitan a L @. 3- La frmula binomial puede requerir de un gran esfuerzo para obtener una solucin exacta.

Las ventajas de la aproximacin son que la exactitud se altera muy poco, y que el esfuerzo comprendido es considerablemente menor. Para utilizar la aproximacin, es necesario determinar solamente la media o el valor esperado de la distribucin binomial. Este valor se utiliza como la media del proceso para la distribucin de Poisson. Es decir, el promedio del proceso es igual al promedio binomial 6. Ejemplo 7.8: Obtenga la probabilidad de encontrar cuatro artculos defectuosos de una muestra de 300 tomada de un enorme lote, en el que se dice que hay un 2% de artculos defectuosos.

Como los valores c=300 y pi = 0,02 estn ms all de la variedad de valores presentados en la tabla binomial, las alternativas seran buscar una tabla ms extensa, y recurrir a la frmula binomial

( ) ( )2964 98,002,04

300)4(

==xP

(lo que representara una tarea muy difcil), o bien, utilizar la aproximacin de Poisson, con pi x= . De esta manera

X 6 B@ F A partir de la frmula de Poisson se observa que:

135,0!4

6!

)4(64

====

e

x

exP

x

El mismo resultado se puede obtener utilizando una tabla de Poisson: cuando X F, a partir de la tabla P(x = 4) es 0,135. En la tabla 7.6 se hace una comparacin entre algunas de las caractersticas fundamentales de las distribuciones de Poisson y binomial.

Tabla 7.6. Comparacin entre las distribuciones binomial y Poisson Binomial Poisson

Resultados posibles Enteros de 0 a n Enteros de 0 a +

Observaciones Conteo de xitos o de fracasos Conteo slo de xitos

Parmetros 6

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