09. radicales marloner

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

MATEMÁTICAS BÁSICAS

RADICALES OPERACIONES CON RADICALES Un radical es cualquier raíz indicada de una expresión. La radicación es la operación inversa de la

potenciación y se representa por el símbolo n , donde n es el índice del radical y dentro se ubica una

expresión denominada subradical. Para resolver una raíz, se busca una cantidad que elevada a un exponente igual al índice del radical sea igual al subradical. El radical puede ser racional si la raíz indicada es exacta o irracional si no lo es. Ejemplos.

1) El subradical de la expresión 35 +x es 35 +x

2) 216x es un radical racional porque su resultado, x4 , es exacto.

3) 3 417x es un radical irracional porque su resultado no es exacto.

5) 4 46 dc − es un radical de cuarto grado

En los radicales de segundo grado se omite su índice, esto es: 2 aa = .

Si ba n = , a es una raíz enésima de b . Ejemplos

1) Si 932 = entonces 3 es una raíz cuadrada de 9

2) Si 62554 = entonces 5 es una raíz cuarta de 625

Si n es par, 0≥na , por lo que un número negativo no puede tener raíz enésima . Ejemplos

1) Si 16− no tiene raíz cuadrada en R.

2) Si 6 64− no tiene raíz sexta en R.

Si n es par y nab = , también ( )nab −= , así que b tiene dos raíces enésimas, a y a− .

Ejemplos

1) Como 2552 = y ( ) 255

2 =− , 5 y 5− son raíces cuadradas de 25 .

2) Como 8134 = y ( ) 813

4 =− , 3 y 3− son raíces cuartas de 25 .


2

Si n es impar, todo número real tiene exactamente una raíz enésima. Ejemplos

1) 62163 = .

2) 2325 −=−

Si 0≥b , hay una única raíz enésima no negativa de b representada por n b Ejemplo.

Si 2749 = , entonces 7 es una raíz cuadrada de 49 y como ( )2749 −= , 7− es otra raíz cuadrada de

49 . Pero 49 denota exclusivamente a la raíz no negativa de 49 . Si ∈≥ n,m,x 0 N, a ley de exponentes fraccionarios establece que:

n mn

m

xx = Esto es, cualquier expresión elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador y el subradical es la misma expresión elevada a la potencia que tiene el numerador.

En el caso particular, si nm = , se tiene que: n nxx = Los radicales cumplen con las siguientes propiedades: 1) El producto de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del producto de los subradicales.

Esto es: nnn baba ⋅=⋅ si ∈>> n,b,a 00 N. 2) El cociente de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del cociente de los subradicales.

Esto es: nn

n

b

a

b

a = si ∈>> n,b,a 00 N.

3) Un radical de índice n elevado a una potencia m equivale a una raíz de índice n y de subradical

elevado a la potencia m . Esto es: ( ) n mmn aa = si ∈> n,m,a 0 N.

4) La raíz de índice m de un radical de índice n es equivalente a una raíz de índice n de un radical de

índice m y es igual a una raíz de índice nm ⋅ . Esto es: nmn mm n aaa ⋅== si ∈> n,m,a 0 N. Es importante notar que la suma algebraica de dos radicales de cualquier índice no es igual a la raíz de la

suma algebraica de los subradicales. Es decir: nnn baba ±≠± De acuerdo con la ley de exponentes fraccionarios y de las propiedades de los radicales, el objetivo de simplificar un radical es expresarlo en su forma más simple. Es decir, un radical está simplificado cuando: • No se puede extraer ningún factor del radicando (es el menor posible). • No puede reducirse su índice (es el menor posible). • El radicando no es una fracción. • No hay radicales en el denominador de una fracción.


3

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES A TRAVÉS DE LA EXTRACCI ÓN DE FACTORES DEL SUBRADICAL Un radical se puede simplificar cuando contiene factores cuyos exponentes son divisibles por el índice y se procede de la siguiente manera: • La parte numérica del subradical se descompone en factores de tal forma que sean potencias con

exponentes múltiplos del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical. • La parte literal del subradical se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible

con exponentes múltiplos del índice de la raíz. Ejemplos.

1) aaaaaaa 2323291824245 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

2) 4 34 3444 344 73333381243 kkkkkkk =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

3) 3 223 62333 6233 7545454125500 yxxyyyxxyyxxyx =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=

4) 5 435 4553555 9685 968222223264 wzvvwzzzwwvvzwvzwv =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

5) ( ) ( ) abaaabaaabaabaa 2222248422222234 −=−=−=−

6) ( ) ( ) ( )nmanmanmnmaanamnam +=+=++=++ 222224222222

7) 32

32

2

3

233

36

3

23

3

3

5

4

22

9

22

3

22

3

28

729

16

729

b

a

b

a

b

a

b

a

bb

aa

bb

aa

b

a ==⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=

8) abccabccbbaaccbbaacba 11211211444438622862973 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

INCLUSIÓN DE UN FACTOR EN UN SUBRADICAL En este caso se eleva la expresión por introducir a la potencia que indique el índice del radical, se efectúa el producto de subradicales y el resultado se expresa con el mismo índice. Ejemplos.

1) 8051654542 ===

2) ( ) 322

12343232 aaaaaaa ===

3) ( ) βαβαβαβα 222

252555 ===

4) 2189

118

3

118

3

12

==

=

5) ( ) ( ) ( ) ( ) xyxxyxyx

xyx

yx

xyx

yx

xyx +=+=

++=

++=

++ 2

2

2

6) ( ) 3 53 23 33 23 33 21282642424 wwwwwww ===

7) ( ) 4 354 34 44 3444 3

966166262 baabaabaaba ===

8) ( ) 5 135

4

3

5 5105

4

3

552

5

4

3

29

27243

273

273 mk

m

kmk

m

kmk

m

kmk ===


4

EXPRESAR UN RADICAL COMO UNO DE ÍNDICE MENOR Otra forma de simplificación de un radical consiste en transformarlo a uno equivalente que posea un índice menor. Para ello, se expresa cada uno de los factores del subradical en su forma de exponente fraccionario, se simplifican las fracciones y se vuelve a transformar a radical. Ejemplos.

1) xxxx === 2

1

4

2

4 2

2) ( ) 4 34

3

8

6

8

1

68 6 kkkkk ====

3) ( ) 44

1

12

3

12

1

3126666216 ====

4) ( ) 33

1

3

1

6

1

226 22 mnnmnmnm ==⋅=

5) 22

22232

2

1

2

1

2

1

10

5

10

5

10

1

5

5

10

5 aaaaaa =

===

=

6) ( ) ehhehehehe 555525 2

1

2

1

2

1

4

2

4

2

4

2

4

1

2224 22 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=

7) ( ) 3 223

2

3

2

3

2

9

6

9

6

9

6

9

1

6669 66422264 βαβαβαβαβα ===⋅⋅=

8) ( ) 4 24

2

4

1

4

2

8

4

8

2

8

4

8

1

4248 42422216 xyyxyxyxyx ===⋅⋅=

OPERACIONES CON RADICALES DEL MÍSMO ÍNDICE. Radicales semejantes son aquellos que tienen igual radicando y el mismo índice, es decir, sólo difieren por el coeficiente. Ejemplos.

1) x4 y x9 son radicales semejantes

2) 3 26 ab− y 3 2

4

5ab son radicales semejantes

3) x8 y 37 x no son radicales semejantes

Para sumar o restar radicales se simplifican a su forma más elemental y se reducen los radicales semejantes. Ejemplos.

1) 565254525454516208022 =+=⋅+⋅=⋅+⋅=+

2) 523353523353543959202745222 −−=⋅−⋅−⋅=⋅−⋅−⋅=−−

335 −=

3) 32527938172575263243175 ⋅−⋅−⋅+⋅=−−+


5

3107339753527339753527339752222 −−+=⋅−−+=⋅−⋅−⋅+⋅=

372 −=

4) 0373235373235349343251471275222 =−+=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+

5) 21625551634516429257800580332044507 ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=−+−

2455543524423572455543254423572222222 ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=

5202521005125322105 −=−+−=

6) 262524236225216725032222 ⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+ 262524 −+=

23=

7) 2102529210022528120050162222 ⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+

242102529 =−+=

8) 3232353493433953169123275489222 ⋅+⋅−⋅=⋅+⋅−⋅=+−

32736315336323335349 =+−=⋅+⋅−⋅=

Para efectuar la multiplicación de radicales se multiplican respectivamente los coeficientes y los subradicales, ubicando este último producto bajo el signo de radical y se simplifica. Ejemplos.

1) 232318632 =⋅==⋅

2) 730731073106310322152 =⋅=⋅==⋅

3) 333 333 2183627

4

24389

4

3bababaaba =⋅==⋅

4) 333 3333334304352435250013220415

6

1453 =⋅⋅=⋅⋅==⋅⋅ ,

Para dividir dos radicales, se dividen respectivamente los coeficientes y los subradicales, ubicando este último cociente bajo el signo de radical y se simplifica. Ejemplos.

1) 2232

64 =

2) 35

1

10

32 =a

a

3) kkkkkk

k

2

3

4

62

4

32

4

38

4

3

24

1633 333 3

3 2

3 5

==⋅⋅===

4) yyyyyyy

xy

xy

236

43

6

49

6

4

44

3

362

1

223

5

8

=⋅=⋅==


6

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES DE ÍNDICE DIFERENTE Los radicales no semejantes no se pueden reducir, por lo que la suma y la resta no son posibles. Para multiplicar dos radicales de diferente índice: • Se halla el MCM de los índices. • El MCM se divide entre cada índice de la raíz y cada radicando se eleva a este resultado. • Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes. • Se multiplican los radicandos como potencias de la misma base, es decir sumando los exponentes. • El radicando se descompone en factores procurando que sean potencias con exponentes múltiplos

del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical aquella parte que lo permita. Ejemplos.

1) 3 22xx ⋅

el índice común es 6 , por lo tanto:

( ) 66 66 76 436226 33 2

444422 xxxxxxxxxxx =⋅==⋅=⋅=⋅

2) 4 38423 aab ⋅


( ) ( ) ( ) 8 664448 6234448238 44 3

2212221284238423 abaabaaabaab ⋅=⋅=⋅=⋅

8 428288 410102212212 baaba == 4 28 422

2242212 ababaa =⋅=

3) 4 33 2232 baba ⋅


( ) ( ) 12 11512312 1117312 39388123312

4224 33 223232323232 baabababababababa ==⋅=⋅=⋅

12 115272 baa=

4) 5 43 216

4

34

3

2nmm ⋅


( ) ( ) ( ) ( )15 3123

4105

215 3123105153

4155

25 43 222

2

1164

2

1164

12

616

4

34

3

2nmmnmmnmmnmm ⋅=⋅=⋅=⋅

15 31212101022

2

1nmm ⋅= 15 3715 37715 371571515 32222

128222

122

2

12

2

1nmmnmmnmmnm =⋅===

Para dividir dos radicales de diferente índice: • Se halla el MCM de los índices. • El MCM se divide entre cada índice de la raíz y cada radicando se eleva a este resultado. • Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes. • Se dividen los radicandos como potencias de la misma base, es decir restando los exponentes. • El radicando se descompone en factores procurando que sean potencias con exponentes múltiplos

del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical aquella parte que lo permita.


7

Ejemplos.

1) 3

2

3

3

x

x


( )( )

6 46

2

6

6 2

632

3

2

39

27

3

3

3

3x

x

x

x

x

x

x ===

2) 4 2

3 3

4

8

a

ba


( )( )

6 2312 46212 4612

6

412

12

63

4124

123

2

124

3

4 2

3 3

886464

0964

4

8

4

8

4

8bababa

a

ba,

a

ba

a

ba

a

ba ======

3) 5 2

3 345

mn

nm


( )( )

15 9215 921515 91715

63

1520

153

2

155

34

5 2

3 34

125312531253125355

nm,mnmm,nm,nm

nm,

mn

nm

mn

nm =====

4) 4 322

6 543

3

18

zyx

zyx


( )( )

12 212

966

1086

123

322

122

543

4 322

6 543

1227

324

3

18

3

18zy

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx===

para extraer la raíz de un radical, se multiplican los índices y se simplifica. Ejemplos.

1) 36 23 2 aaa ==

2) 22886 363 ===

3) ( ) 48 28 24 2552525 aaaa ===

4) ( ) 3 2155215 105 3 10 xxxx ===

RACIONALIZACIÓN DE RADICALES Racionalizar consiste en eliminar los radicales del denominador de una fracción. Para lograr esto, se multiplican las dos componentes del cociente por una expresión que contenga el radical por eliminar y que cumpla que al multiplicarse, el denominador resulte una expresión racional.


8

Ejemplos. Racionalizar las siguientes fracciones:

1) 3

1

multiplicando el numerador y el denominador por 3 :

3

3

3

3

3

1 =⋅

2) 54

3

multiplicando el numerador y el denominador por 5 :

( ) 20

53

54

53

5

5

54

3 ==⋅

3) 49

3

a

multiplicando el numerador y el denominador por ( )43

9a :

( )( )

( )a

a

a

a

a

a

a

a

a 3

729

9

7293

9

93

9

9

9

34 34 34 3

4 3

4 3

4===⋅

4) 335

6

x

multiplicando el numerador y el denominador por ( )3 2

3x :

( )( )

( )( ) x

x

x

x

x

x

x

x

x 5

92

15

96

35

36

3

3

35

63 23 23 2

3 2

3 2

3===⋅

Ejemplo.

Efectuar la operación 4

3

2

1

3

1 +− y racionalizar el resultado.

Solución.

32

3

2

2

3

1

3

3

2

3

2

2

2

1

3

1

2

3

2

1

3

1

4

3

2

1

3

1

4

3

2

1

3

1 +−=⋅+⋅−=+−=+−=+−

2

2

6

35

2

2

3

3

32

5

2

2

32

5 −=−⋅=−=

Cuando se quiere racionalizar una fracción cuyo denominador sea un binomio que posea radicales de segundo grado, se multiplican las dos componentes del cociente por el binomio conjugado del denominador y se simplifica. Ejemplos. Racionalizar las siguientes fracciones:


9

1) 21

23

+−

multiplicando el numerador y el denominador por 21− , que es el binomio conjugado del denominador:

5241

245

21

22233

21

21

21

23 −=−

−=−

+−−=−−⋅

+−

2) 34

325

−+

multiplicando el numerador y el denominador por 34 + , que es el binomio conjugado del denominador:

3213

31326

316

6383520

34

34

34

325 +=+=−

+++=++⋅

−+

3) 3425

19

−

multiplicando el numerador y el denominador por 3425 + , que es el binomio conjugado del denominador:

2

376295

4850

376295

316225

376295

3425

3425

3425

19 +=−+=

⋅−⋅+=

++⋅

−

4) 7332

7334

+−

multiplicando el numerador y el denominador por 7332 − , que es el binomio conjugado del denominador:

51

211887

6312

63211824

7934

79216211238

7332

7332

7332

7334

−−=

−+−=

⋅−⋅⋅+−−⋅=

−−⋅

+−

17

29216

51

872118 −=−=

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