08/06/02Jorge Baralt-Torrijos1 Teoría de Conjuntos (IV) Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón...

08/06/02 Jorge Baralt-Torrijos 1

Teoría de Conjuntos (IV)

Jorge Baralt-Torrijos

Universidad Simón BolívarJunio 2002


Contenido Políadas Relaciones Funciones Operaciones


Políadas


Df. EsParOrd EsParOrd(x) =a y z (x = Par(SucZ(y))(Par(y)(z)))

EsParOrd(x) =s x es un par ordenado


Df. Prm EsParOrd(x)

[Prm(x) =a y z (Par(SucZ(y))(Par(y)(z)) Prm(x) =s el primer elemento de x]


Df. Sgd EsParOrd(x)

[Sgd(x) =a y z (Par(SucZ(z))(Par(y)(z)) Sgd(x) =s el segundo elemento de x]


Df. ParOrd EsParOrd(x) y = Prm(x) z = Sgd(x)

[ParOrd(y)(z) =a Par(SucZ(y))(Par(y)(z)) y,z =a ParOrd(y)(z)]


Ts. ParOrd EsParOrd(x) x = Prm(x),Sgd(x) a,b = c,d (a = c b = d) a,b = b,a a = b EsElemento(a,b) EsConjunto(a,b)


Df. ParInv EsParOrd(x)

[ParInv(x) =a Sgd(x),Prm(x) ParInv(x) =s el par inverso de x]


Ts. ParInv EsParOrd(x) EsParOrd(ParInv(x)) EsParOrd(x) ParInv(ParInv(x)) = x


Df. ParSubyac EsParOrd(x)

[ParSubyac(x) =a Union(x) ParSubyac(x) =s el par subyacente de x]


Ts. ParSuyac EsParOrd(x) ParSubyac(ParInv(x)) = ParSubyac(x)


Df. EsPoliAdi EsPoliAdi(n)(x) =a (¬ EsParOrd(x) n = 1)

(EsParOrd(x) (k)(EsPoliAdi(k)(Prm(x)) n =Suc(k)))

EsPoliAdi(n)(x) =s x es una políada de adicidad n


Ts. EsPoliAdi ¬ EsParOrd(a) EsPolAdi(1)(a)

EsPolAdi(2)(a,b) EsPolAdi(3)(a,b,c) …


Políadas de adicidad n x1 =a x1

x1,x2 = x1,x2 x1,x2,x3 =a x1,x2,x3 ... x1,x2,…,xn =a x1,x2,…,xn


Relaciones


Ax. de Producto Cartesiano x (EsAgregado(x)

y (y x z u (z v u w y = z,u)))


Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Fundamentación 3. Diferencia 4. Apareamiento 5. Unión 6. Producto Cartesiano


Df. PrC PrC(x)(y) =a {z : u v (u x v y z = u,v)}

PrC(x)(y) =s el producto cartesiano por x de y


Ts. PrC EsClase(PrC(X)(Y)) X PrC(X)(X) X = 0 EsInicial(x) PrC(x)(y) = 0 EsInicial(y) PrC(x)(y) = 0


Ax. de Rotación x (EsAgregado(x)

y (y x z u v (y = v,z,u z,u,v x)))


Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Fundamentación 3. Diferencia 4. Apareamiento 5. Unión 6. Producto Cartesiano 7. Rotación


Df. Rot Rot(x) =a {y : z u v (y = v,z,u z,u,v x)}

Rot(x) =s la rotación de x


Ts. Rot EsClase(Rot(X)) y n (y x EsPolAdi(n)(y) n 3) Rot(x) = 0 EsInicial(x) Rot(x) = 0


Ax. de Transposición x (EsAgregado(x)

y (y x z u v (y = u,z,v z,u,v x)))


Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Fundamentación 3. Diferencia 4. Apareamiento 5. Unión 6. Producto Cartesiano 7. Rotación 8. Transposición


Df. Trp Trp(x) =a {y : z u v (y = u,z,v z,u,v x)}

Trp(x) =s la transposición de x


Ts. Trp EsClase(Trp(X)) y n (y x EsPolAdi(n)(y) n 3) Trp(x) = 0 EsInicial(x) Trp(x) = 0


Ax. de Dominio x (EsAgregado(x)

y (y x z (z u EsParOrd(z) y = Prm(z))) )


Resumen de Axiomas 1. Extensión 2. Fundamentación 3. Diferencia 4. Apareamiento 5. Unión 6. Producto Cartesiano 7. Rotación 8. Transposición 9. Dominio


Df. Dom Dom(x) =a {y : z (z x EsParOrd(z) y = Prm(z))}

Dom(x) =s el dominio de x


Ts. Dom EsClase(Dom(X)) y (y x ¬ EsParOrd(y)) Dom(x) = 0 EsInicial(x) Dom(x) = 0


Df. Inv Inv(x) =a Dom(Trp(PrC(x)(x)))

Inv(x) =s la inversa de x


Ts. Inv EsClase(Inv(X)) y (y x ¬ EsParOrd(y)) Inv(x) = 0 EsInicial(x) Inv(x) = 0


Df. Rng Rng(x) =a Dom(Inv(x))

Rng(x) =s el rango de x


Df. Cmp Cmp(x) =a Un(Rng(x))(Dom(x))

Cmp(x) =s el campo de x


Df. Nucleo Nucleo(x) =a Inv(Inv(x))

Nucleo(x) =s el núcleo de x


Ts. Nucleo EsAgregado(Nucleo(x)) y (y x ¬ EsParOrd(y)) Nucleo(x) = 0 EsInicial(x) Nucleo(x) = 0


Df. EsRelacion EsRelacion(x) =a x = Nucleo(x)

EsRelacion(x) =s x es una relación


Ts. EsRelacion EsRelacion(0) EsRelacion(x) EsInicial(x) x = 0 EsIndividuo(x) ¬ EsRelacion(x) EsRelacion(Inv(x)) EsRelacion(Nucleo(x))


Ts. Núcleo Inv(x) = Inv(Nucleo(x)) Dom(x) = Dom(Nucleo(x)) Rng(x) = Rng(Nucleo(x)) Cmp(x) = Cmp(Nucleo(x))


Df. PtC PtC(1)(x) =a Dom(PrC(x)(x))

PtC(Suc(Suc(n)))(x) =a PrC(PtC(Suc(n))(x))(x)PtC(Suc(n))(x) =s la potencia cartesiana Suc(n) de x


Df. RstrI RstrI(y)(x) =a {z : EsParOrd(z) z x Prm(z) y)}

RstrI(y)(x) =s la restricción izquierda en y de x


Df. RstrD RstrD(y)(x) =a Inv(RstrI(y)(Inv(x)))

RstrD(y)(x) =s la restricción derecha de x en y


Df. Rstr Rstr(y)(x) =a Intsc(RstrD(y)(x))(RstrI(y)(x))

Rstr(y)(x) =s la restricción de x en y


Df. Img Img(y)(x) =a Rng(RstrI(x)(y))

Img(y)(x) =s la imagen de x según y


Funciones


Df. DomS DomS(x) =a {y : z (z x EsParOrd(z) y = Prm(z))}

DomS(x) =s el dominio de singularidad de x


Ts. DomS DomS(x) Dom(x) y DomS(x) z (<y,z> x) DomS(x) = DomS(Nucleo(x))


Df. Ap z (<y,z> x)

[Ap(x)(y) =a z (<y,z> x) Ap(x)(y) =s la aplicación de x a y x(y) =a Ap(x)(y)]


Df. EsUnvc EsUnvc(y)(x) =a Intsc(y)(Dom(x)) DomS(x)

EsUnvc(y)(x) =s x es unívoco en y


Ts. EsUnvc EsUnvc(Dom(x))(x) DomS(x) = Dom(x) EsUnvc(x)(0)


Df. EsFuncion EsFuncion(x) =a EsRelacion(x) EsUnvc(Dom(x))(x)

EsFuncion(x) =s x es una función


Ts. Funcion EsFuncion(x) DomS(x) = Dom(x)


Operaciones


Df. EsOperacion EsOperacion(x) =a EsFuncion(x) EsRelacion(Dom(x))

EsOperacion(x) =s x es una operación

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