Lic. RAUL R. RAMIREZ INFANTE

CLASE : PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE UNA MUESTRA

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA• Es un supuesto acerca del valor o valores

que toma un parámetro en particular en una población

• El propósito es ayudar al investigador a tomar una decisión acerca de una población mediante el análisis de una muestra extraída de ella. La verdad o falsedad de una hipótesis nunca se conoce con certeza, si no se examina toda la población, lo cual resulta poco práctico.

Pasos a seguir:

1º) Formular las hipótesis:Hipótesis Nula (H0).- Es aquella sobre la cual el investigador está dispuesto a creer a priori como verdadera y cuya validez será sometida a comprobación.Hipótesis Alternativa (H1).- Se formula teniendo en cuenta lo que evidencia la muestra; es la conclusión a la que se espera llegar como resultado de la prueba.

Prueba de Hipótesis para el Promedio Poblacional: μ

Bilateral A la derecha A la izquierda

0:0 H

0:1 H 01 : H

0:0 H

0:0 H

01 : H

Paso 1.-

Paso 2: Elección del nivel de significación

Paso 3:Paso 3: Estadístico de pruebaEstadístico de prueba

Normal

tablausar

nXZc

_

_

)( 0

RRRIstudentt

tablausarS

nXtc

_

_

)( 0

n

pZc )1(

ˆ

00

0

Pasos a seguir

• 2º) Elegir el nivel se significación ().- Se elige antes de que la prueba se lleve a cabo; siendo los valores de más usados:

• = 0.05 y = 0.01

• 3º) Determinar la variable estadística de prueba y calcular su valor a partir de los datos contenidos en la muestra: Z, T, 2 ,..etc.

Pasos a seguir

4º Tomar la decisión.- Rechazar o no H0

5º Formular la conclusión

• Al tomar la decisión de aceptar o rechazar H0 en base a la información contenida en la muestra tomada de la población en estudio, existe el riesgo de llegar a una conclusión incorrecta, generándose dos tipos de errores:

Riesgos en la toma de decisiones• Error de tipo I.- Se comete al rechazar H0

siendo esta verdadera, la probabilidad de cometer un error de tipo I se denota por , conocido también como nivel de significancia.

• Error de tipo II.- Se comete al aceptar H0 siendo esta falsa. La probabilidad de cometer este tipo de error de denota por β

• La probabilidad de cometer ambos tipos de errores puede reducirse , incrementando el tamaño de la muestra.

Decisión Ho es verdadera Ho es falsa

Acepta Ho No ha error Error tipo II

Rechaza Ho Error tipo I No hay error

Realidad

Resumen de las situaciones posibles cuando se toma una decisión en prueba de hipótesis:Resumen de las situaciones posibles cuando se toma una decisión en prueba de hipótesis:

Ho: Rosario es inocenteH1: Rosario es culpable.Error Tipo I: ejemploAfirmar que Rosario es culpable, cuando realmente es inocente.Error Tipo II:Afirmar que Rosario es inocente, cuando realmente es culpable.

Pruebas de hipótesis acerca de una sola media

A) Cuando la varianza 2 es conocida.- Si la muestra aleatoria proviene de una población normal con media y 2 conocida, entonces la distribución de la media muestral es normal con media y varianza= 2/nLa variable estadística para esta prueba:

nX

Z)(

Ejemplo 1

Una empresa que se dedica a verificar auditorías, revisa una muestra aleatoria de 16 auditorías antes de dar el visto final. El gerente de la empresa afirma que el tiempo empleado en revisar una auditoría es en promedio 7 días. Sabe por experiencia que el tiempo de revisión empleado en las auditorías se distribuyen normalmente con una variabilidad de 2.3 días.La muestra registró una duración media de 8.2 días. ¿Cuál es su conclusión al nivel de significación 0.05?

Solución

1) H0: = 7 H1: ≠ 7 (prueba bilateral)2) = 0.053) Prueba estadística:

087.23.216)72.8()(

nX

Zcal

4) La Regla de decisión será rechazar H0 si: Zc > 1.96. Por lo tanto:Decisión: Se Rechaza H0

5) Conclusión: No se cumple lo que afirma el gerente.

Ejemplo 2Un determinado proceso de empaquetar un producto está controlado, si el peso medio del producto empaquetado es a lo más 400 gramos. Si en una muestra aleatoria de 100 paquetes del producto se ha encontrado que el peso medio es de 395 gramos. ¿Se podría concluir que el proceso está fuera de control al nivel de significación 5 %?. Suponga que el peso de los productos empaquetados se distribuye normalmente con desviación estándar de 20 gramos.

Solución

H0: ≤ 400 ( El proceso está en control )H1: > 400 ( El proceso está fuera de control ) = 0.05

5.220

100)400395()( nX

Z

La regla de decisión será rechazar H0 si: Zc > 1.64. Por lo tantoDecisión.- Rechazar H0

Conclusión.- El proceso está fuera de control

B) Cuando la varianza 2 es desconocida

Si la muestra aleatoria proviene de una población normal con media y 2 desconocida, entonces la distribución de la media muestral sigue una distribución t La variable estadística para esta prueba:

SnX

t)(

Ejemplo

Una máquina expendedora de refrescos que funciona a base de monedas, se diseñó para servir en promedio 7 onzas de bebida por vaso. Con el objeto de verificar lo anterior se eligieron 10 vasos llenos de bebida y se midieron los contenidos. La media y la desviación estándar de las mediciones fueron: 7.1 onz y 0.12 onz. ¿La máquina funciona adecuadamente?. Use = 0.05

SoluciónH0: = 7 onzas H1: 7 onzas = 0.05

63.212.010)71.7()(

SnX

t

La regla de decisión será rechazar H0 si: tc < -2.2622 ó tc > 2.2622. Por lo tantoDecisión.- Rechazar H0

Conclusión.- La máquina no está funcionando adecuadamente

Prueba de Hipótesis para la Proporción Poblacional:

Bilateral A la derecha A la izquierda

0:0 H

0:1 H 01 : H

0:0 H 0

:0 H

01 : H

Paso 1.-

Paso 2: Elección del nivel de significación

Paso 3:Paso 3: Estadístico de pruebaEstadístico de prueba

n

PZc )1( 00

0

RRRI

Ejemplo 3:

Se debe decidir si los lotes que llegan a una fábrica deben ser aceptados o devueltos al proveedor. Los artículos de este lote vienen con una garantía de 10% de artículos defectuosos. Si hay evidencia que es más de 10% se rechazará el lote. Para tomar una decisión se elige una muestra aleatoria de 625 artículos y se encuentran que 550 no son defectuosos. ¿Cuál será la decisión? Use alfa = 0.01

RRRI

1.0:

1.0:

1

H

Ho

01.0Z=2.33

Solución

n

PZc )1( 00

0

667.1

625)10.01(10.0

10.012.0

cZ

33.299.01 ZZZ tabla Como Zc =1.667<Zcrit=2.33No se rechaza Ho. Es decir, no hay evidencias que el % de artículos defectuosos sea mayor a 10%. No hay razón para rechazar el lote.

12.062575 P

RRRI